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5 12.07.1923, Postkarte von Artin an Hasse


12. Juli 1923 14

Lieber Herr Hasse!

VIII.) [Zur] Umrechnung von ( ) c- a = z- sum n=1l-21   n- 1 (--1)--- n S( n ) (a---1)--z lc für a =_ 1(c2) auf ( ) l- a bilden Sie ( ) cm- a = ( ) 1---zm a indem Sie z durch zm ersetzen. ( l) -- a ist das Produkt über diese Symbole. Um es zu vereinfachen, ist noch X = sum m=1l-1  m -mz-m- 1- z   modulo cl-2 auszudrücken, wie Sie erkennen, da a - 1 durch c2 teilbar ist. Nun ist ersichtlich:

( l-1 ) X = -z -d-log prod (1- xm) = dx ( [ m= prod 1 x=z ]) d-- --(1--xm)- = -z dx log prod (1 - x) + (l- 1) log(1 - x) ( ) x=z =_ +z d--log e(x) - --z-- (mod l) , dx x=z 1- z
wo e(x) aus e = cl- 1 ----- l entsteht, wenn z durch x ersetzt wird. Der Ausdruck hängt noch ab von der Art und Weise wie e durch z ausgedrückt werden. Zwei verschiedene e(x) sind aber mod(xl - 1) kongruent, ihre Differentialquotienten unterscheiden sich nur um xl - 1 oder lxl-1. Für x = z also kongruent. Nun ist also:

+z d ( c c2 cl-2) z X =_ --- --- - 1- --x- -x-- .... -x--- - -- (mod l), e dx 2 3 l- 1 x=z c wo (cx = 1- x . ) z 1 2 3 2 l- 2 l-3 z X =_ + e- + 2-+ 3c + 4-c + ...+ l--1c - c- (mod l) ( ) =_ - z- 1-+ 1c+ 1c2 + ...+ --1--cl- 3- 1 - c- ...- cl- 3 - z- e 2 3 4 l- 1 c (mod l) ( l-2) =_ z- e+-1-+ 1---c--- - z- (mod l) e c z c c e-+-1 l- (wegen c nicht modulo c, also nicht modulo l) z 1 1 l-2 =_ ec-+ e =_ ec- (mod c ) .
[Also:] X =_ 1-- ec (mod cl-2).

Oder: X =_ l -l c (mod cl-2). So erhalten Sie die Formel:

|------------------------------------| | sum l- 12 n-1 ( n) | |( ) - (-1)----S (a---1)- | 2 | l- n=1 n cl | a =_ 1 (mod c ) : a = z | --------------------------------------
Die Formel ist formal einfacher, rechnerisch aber komplizierter als die andere, der höheren c-Potenzen (negative) wegen. Sie enthält die im vorletzten Brief gegebene Formel. Sie werden über mein dauerndes Bombardement schon böse sein.

Also auf Wiedersehn und herzliche Grüsse

      Ihr Artin

Kommentare zu den Briefen Nr.1-5:

Die ersten 5 Briefe sind innerhalb weniger Tage verfasst worden, und sie beziehen sich alle auf das Konzept der gemeinsamen Arbeit von Artin und Hasse über den zweiten Ergänzungssatz für einen ungeraden Primzahlexponenten l.15 Sie können daher als eine Einheit betrachtet werden, und sie werden demgemäß gemeinsam kommentiert.

  5.1 Die Vorgeschichte
  5.2 Hasses Vortrag in Hamburg
  5.3 Artins Umdrehverfahren
  5.4 Zweiter Ergänzungssatz
  5.5 Allgemeines Reziprozitätsgesetz
  5.6 Die L-Reihenarbeit
  5.7 Die Lücke 1923–1926

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