Datum unbekannt, Brief von Artin an Hasse

4 Datum unbekannt, Brief von Artin an Hasse

Zum II Ergänzungssatz VII.¹³

Lieber Herr Hasse!

Zunächst meinen besten Dank für Ihren Brief. Selbstverständlich ist Ihre Herleitung einfacher. Ich bin aber unterdessen zu einer allgemeinen Formel für jedes semiprimäre gelangt, wenn also 1 (mod ²) (also ebensogut rat[ionale] Zahl (²).) Damit ist im Kreiskörper der Ergänzungssatz erledigt, da dort jede Zahl durch Multiplikation mit einer Einheitswurzel semiprimär wird. Die Formel bezieht sich aber nicht auf den Zähler , sondern auf den Zähler . Sie lautet: (Körper beliebig)

|-----------------------------------------------------------| |F ür jedes l-1 | | sum 2-(- 1)n-1 ( (a - 1)n) | | ( ) - ----- S z------- | |a =_ 1 (mod c2) ist: c- = z n=1 n lc | | a | | | |z Einheitswurzel, c = 1 - z . | -------------------------------------------------------------

Beweis: Ich setze wie bei Ihnen: (Die Entwicklungsmöglichkeit ist leicht einzusehen)

a =_ (1- c2)c2 (1- c3)c3 ...(1- cl)cl (mod cl+1) .

Das Glied 1 -

kommt nicht vor, da

1 (

²).

Man nehme beiderseits den Logarithmus und entwickle in Reihen. Wir suchen rechts das Glied mit . Die rechte Seite lautet:

sum l ( sum oo nn ) - cn c--- . n=2 n=1 n

Da n > 2 ist (hier wird wieder das semiprimär gebraucht) kommen, weil

Primzahl ist, für n≠

nur die Glieder 2l
c--
2l

,… in Frage. Sie enthalten aber ersichtlich höhere Potenzen von

. Bleibt also nur n =

= 1. Der Koeffizient rechts von

ist also -c. Die linke Seite sieht so aus:

sum oo (-1)n-1 --------(a - 1)n . n=1 n

Für das Glied mit kommen aber, da - 1 durch ² teilbar ist, nur die Glieder bis = l--1-
2 in Frage. (Auch = ist nicht notwendig trotz des Nenners.)

-cl ist also das Glied mit cl in l- 1 sum 2 (-1)n-1- n 2 -b = n (a - 1) . (b ist durch c teilbar, was wir gleich n=1 brauchen)

Sei nun:

' 2 ' 3 ' l-1 l l+1 b =_ c2c + c3c + ...+ cl- 1c + clc (mod c )

Dann ist:

1S( b) =_ c'+ c'+ ...+ c' + c l c 2 3 l-1 l (mod c, also mod l) 1S( b) =_ c'+ c'+ ...+ c' (wegen S(cl) =_ 0(l2) l c 2 3 l-1

[Randnotiz von Artin:] Ich mache langsam Fortschritte in -adik. Nun logarithmiere ich schon!

Also:

( ) cl = S( b-)- S( b) = S -b-(1- c) = S(z b-) . lc l lc lc

Nun ist wie Sie wissen:

(c) = (--c---)cl = zcl a 1 - cl

Also:

( c-
a ) = ^{-
₌₁ S}

[Randnotiz von Artin:] Als -adiker können Sie schreiben: (ca) = ^{-S( log )}
für 1 (mod ²). Hoffentlich ist nicht wieder ein Rechenfehler passiert, es ist sehr heiss!

Daraus in bekannter Weise in beliebigen Körpern.

Dass Potenzen eine Rolle spielen ist kein Wunder, siehe = 2.

Diese Formel scheint mir die endgültige zu sein. Hoffentlich gelingt etwas ähnliches beim allgemeinen Reziprozitätsgesetz.

Ich kann bis Dienstag bleiben, werde also, wenn Sie mich so lange bei Ihnen dulden, etwa Montag abend wegfahren. Ich freu mich schon sehr darauf wieder mal mit Ihnen beisammen zu sein. Hoffentlich ist das Wetter gut.

Mit herzlichen Grüssen an alle Bekannten

Ihr

E. Artin

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