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3 Datum unbekannt, Brief von Artin an Hasse


Zum II Ergänzungssatz III.

Lieber Herr Hasse!

Hoffentlich ist diese dritte Mitteilung die letzte! Ich möchte Ihnen aber noch eine Formel mitteilen die wohl die wahre ist:

In jedem Körper gilt für:

( ) l+-1- a =_ 1 mod c 2 , ( ) ( ) -S a---1 l- = z cl , c = 1- z . a
Hier ist also der Exponent bis auf l+-1- 2 herabgedrückt.

Es genügt, wie aus meinem Brief folgt, die Formel für den Kreiskörper zu beweisen.

  1. S(cn) = l für 1 < n < l - 1 wie Sie leicht nachrechnen.
  2. Setzen wir e = l-1 c---- l, so ist e eine Einheit. Nun genügt c der Gleichung (c-1)l+1 = 0. Ausgerechnet und durch cl dividiert findet man:
    sum l (-1)n-1 (l ) -------- cn-1 = 0 n=1 l n
    Für 1 < n < l - 1 ist nun n-1 (-1)---- l ( l n) =_ 1- n (mod l). Dies gibt:
    sum l 1-cn-1 =_ -e (mod l) . Also: n=1n 1 1 1 e =_ -1 - -c - --c2- ...- -----cl-2 (mod l) . 2 3 l - 1
  3. Sei s >l + 1 ----- 2. Dann ist ( l ) -----s- 1+ ec = z-1   (s < l).

    Beweis:

    ( ) ( s ) -1( )s-1+l ---l--- = --ec--- ---c--- 1+ ecs 1 + ecs 1 + ecs (Nach Multiplikationsregel) ( )s -1 = ---c--- Da der erste Faktor ersichtlich 1 ist 1 + ecs (Kongruenz nach Nenner).

    s s 1 s+1 1 s+2 1 l l+1 1 + ec =_ 1 - c - 2c - 3c ... - l--s-+-1c (mod c ) ( ) ( ) =_ (1 - cs)( 1- 1cs+1 1- 1-cs+2 ... ( 2 ) 3 ----1--- l l+1 ... 1- l - s+ 1 c (mod c ) l + 1 (wegen s > -----), also weiter (p -adik !!!) 2 =_ (1 - cs)(1 - cs+1)1/2(1 - cs+2)1/3 ... ----1--- ll - s+ 1 l+1 ...(1- c ) (mod c )) .
    Demnach, da für s < l gilt ( ) ---c-- 1 - css = ( s ) --c--- 1- cs = 1, also
    ( ) --c--- 1- cs = 1:
    ( ) ( ) ---1---- c c l- s + 1 1-+-ecs = 1---cl ,
    folglich:
    s - 1 ( l ) ( c )--s+--1 ( c ) -1 ------s = -----l = -----l . 1+ ec 1- c 1 - c
    Rechte Seite unabhängig von s. Also können wir  s = l  setzen und erhalten nach Ihrer Formel:
    l ( l ) ( l ) S( ec-) 2 ------s = ------l = z lc = zS(e ) . 1 + ec 1 + ec
    Nun ist:
    2 2 e =_ 1 (mod c) also S(e ) =_ - 1 (mod l), (S(1) = l- 1) .
    Demnach:
    ( l ) l+ 1 -----s- = z-1 für s > -----. 1+ ec 2
  4. Sei a =_ 1(cl) : a = 1 + gcl. Dann ist wie sie sofort bestätigen g =_ -S( ) a- 1 -cl-- (mod c), also:
    ( ) a =_ 1 - S a---1 cl (mod cl+1) cl a - 1 l- S(--cl- ) l+1 =_ (1 + c ) (mod c ) .

    Nach Ihrer Formel etwa und wegen I folgt:

    ( ) cl 1 --l--- S( --) -S(cl -1) 1+ cl = z cl = zl = z , also: a- 1 ( ) ( )- S( --l--) - S(a---1 ) l- = --l--- c = z cl . a 1 + cl
  5. Sei s >l+-1- 2, s < l - 1. Es sei bewiesen, dass für a =_ 1 (mod cs+1) gilt ( ) l- a = z-S(a--1- cl) . (Dies ist der Fall für s = l - 1 wegen IV. Daher Induktion.)

    Nun sei a =_ 1 (mod cs)),  a = 1 + egcs, wo e unsere Einheit ist. Es ist:

    ( ) eg = a---1 =_ - S a---1 (mod c) . cs cs
    Da e =_ -1 (mod c) , g =_ S( ) a--1- cs. Also:
    (a - 1 ) a =_ 1 + S ---s- ecs (mod cs+1). c
    Wir setzen:
    ( ( ) ) a---1 s s+1 b = a 1 - S cs ec =_ 1 (mod c ).
    Ferner ist b = a - aS( ) a---1 csecs =_ a - S( ) a---1 csecs (mod cl+1), (wegen s >l-+-1 2). Also haben wir:
    ( ) ( ) ( ) -1 l- = l- ------l------- . a b 1- S(a-c1s )ecs
    1. 1 - S( ) a---1 csecs =_ (1 + ecs)-S(a---1 cs) (mod cl+1) , (wegen s >l+-1- 2) also
      ( ) a- 1 l -1 ( l )S( --s--) - S(a---1 ) ------a-1---s- = -----s- c = z cs . 1- S( cs )ec 1+ ec

    2. ( ) l- b = ( ) -------l------ a - S( a-s1)ecs c. Also wegen b =_ 1 (cs+1) nach Voraussetzung
      ( ) a---1 a--1- ecs- - S cl - S( cs )cl = z =
      -S( a---1)+ S( a--1-)S(cs-1) = z cl cs l .
      Nach I ist  S( s-1) c---- l = 1- lS(cs-1) = 1,  also:
      ( ) a - 1 a - 1 l- - S(---l-) + S(---s-) b = z c c .

    a.) b.) geben zusammen:

    ( l) - S(a---1 ) -- = z cl , a
    wenn a =_ 1  (cs). Damit ist alles bewiesen. Die Formel enthält alle vorigen Fälle, wie Sie leicht sehen können.

    Recht herzliche Grüsse

    Ihr Artin

    N.B. Das Rekurieren auf die frühere Formel lässt sich natürlich auch vermeiden. Ebenso ist der Exponent ganz nach dem Satze von Landsberg.12 d = ll-2.

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