5.5 Allgemeines Reziprozitätsgesetz

Die Formel (14) der gemeinsamen Arbeit von Artin und Hasse betrifft den zweiten Ergänzungssatz und liefert eine Verschärfung von (12), weil sie für alle 1 mod gültig ist. Eine entsprechende Verschärfung für das Allgemeine Reziprozitätsgesetz (10) wurde zur selben Zeit von Hasse allein entwickelt. Artin scheint davon zu wissen, denn er erwähnt im Brief Nr.4:

In Band 154 des Crelleschen Journals, unmittelbar vor der gemeinsamen Arbeit mit Artin, erschien nun die Arbeit [Has25d] von Hasse mit der folgenden Formel (16) für den Umkehrfaktor. Die Formel sieht ziemlich kompliziert aus; bemerkenswert ist die Tatsache, dass darin die -adischen Logarithmen vorkommen, so wie es schließlich auch in der Artin–Hasse Formel (14) der Fall ist.

Die Situation in (16) ist dieselbe wie in (14) und (15) und braucht daher nicht mehr erläutert zu werden. Die Formel gilt für alle , 1 mod .

(16)

wobei:

Die Formel gilt nicht nur im Einheitswurzelkörper () sondern genauso auch in jedem Oberkörper k (), und S bedeutet die Spur von k nach .

Hasse hat die Formel (16) schon in Marburg im September 1923 vorgetragen. Jedoch ist er dabei nicht stehengeblieben. Denn entsprechend wie im Falle des zweiten Ergänzungssatzes gilt auch hier, dass im Falle eines echten Oberkörpers k von () die Formel (16) noch nicht die feinstmögliche Formulierung ist, weil sich in k zerlegen kann. Dazu publizierte Hasse noch eine weitere Arbeit [Has25e], in der er diese Zerlegung berücksichtigt, doch er kann das nur wenn in k unverzweigt ist – so wie es auch im Falle des zweiten Ergänzungssatzes der Fall war. Die Arbeit erschien ebenfalls in Band 154 des Crelleschen Journals [Has25a], so wie die oben zitierten Arbeiten Hasses zum Reziprozitätsgesetz und auch die gemeinsame Arbeit Artin–Hasse.

Über dieses neue Ergebnis trug Hasse dann am 25.September 1924 auf der DMV-Jahrestagung in Innsbruck vor.