11.1 Primäre und hyperprimäre Zahlen

Um die diesbezüglichen Fragen Artins zu verstehen, ist es notwendig, die bei Hasse und Artin verwendeten Bezeichnungen und die Terminologie zu kennen. k sei ein Zahlkörper, der die m-ten Einheitswurzeln enthält. l bezeichnet eine in m aufgehende Primzahl, und ln die genaue Potenz, mit der l in m aufgeht. z ist eine primitive l-te Einheitswurzel und c = 1 - z der Primteiler von l im Körper der l-ten Einheitswurzeln. Artin fragt, welchen Exponenten t man benötigt, um aus einer Kongruenz a  =_ 1 mod ct schliessen zu können, dass a primär für l ist, d.h. dass l teilerfremd ist zum Führer von k(  --
m V~  a).73 Und entsprechend, wenn „primär“ durch „hyperprimär“ ersetzt wird; das bedeutet, dass jeder Primteiler von l im Kummerschen Körper k(m V~ a--) vollzerlegt ist. (Artin bezeichnet die Primteiler von l im Körper k mit dem Buchstaben li.) Fragen dieser Art sind für explizite Reziprozitätsformeln von Bedeutung.

Möglicherweise hat Artin nur den Fall m = ln und k = Q( V~ --
ln1) im Auge. In jedem Falle ist aber seine Behauptung nicht richtig, dass man mit (1 - z)l als Modul auskommt (also t = l). Das hat Artin offenbar ziemlich bald selbst bemerkt, wie aus seinem nächsten Brief Nr. 12 vom 29.7.1927 hervorgeht. Dort vermutet er, dass (1 -z)ln ausreicht. Im allgemeinen scheint wohl auch dies nicht richtig zu sein. Die genauen Exponenten wurden später von Hasse in Teil II seines Klassenkörperberichts [Has30a] angegeben; vgl. §9, Sätze X und XI jenes Berichts.

Vgl. auch den Brief Nr.14 vom 6.8.1927 und 14.2.