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31 23.09.1930, Brief von Artin an Hasse


Berlin, den 23. Sept. 1930

Lieber Herr Hasse!

Vielen Dank für Ihren freundlichen Brief. Was die Veröffentlichung in Crelle betrifft, so möchte ich Ihnen folgendes vorschlagen:27

Ich hatte schon vor, die Untersuchungen in zwei Teile zu zerlegen: 1.)Gruppentheoretische Struktur der Diskriminante algebraischer Zahlkörper. 2.) Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren. Diese Teilung will ich vornehmen, weil mir 1.) von allgemeiner Wichtigkeit zu sein scheint, unabhängig von der Anwendung bei 2.). Ich verspreche mir von einem weiteren Ausbau der Führertheorie noch sehr viele weitere Resultate. Z.B. habe ich eine kleine Hoffnung für den Klassenkörperturm. In einer Untersuchung über die L-Reihen aber würde das völlig untergehen. Publiziere ich es aber selbständig, so werden es doch vielleicht einige Leute beachten, die beim Lesen des Titels L-Reihe die Arbeit mit Grauen beiseite legen würden.

Ich möchte Ihnen nun vorschlagen, dass ich 1.) bei Ihnen drucken lasse, 2.) aber aus alter Anhänglichkeit in Hamburg. Das passt auch insofern ganz gut, als ja bei Ihnen Ihre eigene Führerarbeit28 erschienen ist, in Hamburg aber andrerseits die erste Publikation über L-Reihen. Erscheint Ihnen die Trennung und diese Gesichtspunkte nicht auch richtig? Die genaue Niederschrift werde ich erst am 15.Oktober machen können, da ich nicht wesentlich früher in Hamburg eintreffen werde und vorher doch nicht zu einer Ausarbeitung komme.

Bei dieser Gelegenheit möchte ich noch fragen: War Ihnen die Formel für f(x,K/k) im Abelschen Falle bekannt? Wenn nicht, so ist sie immerhin noch eine kleine Ergänzung auch zur Klassenkörpertheorie. 29

Nun komme ich meinerseits mit einer grossen Bitte. Wie Sie vielleicht erfahren haben, habe ich die weitere Herausgabe der Sammlung Hilb bei der Akademischen Verlagsgesellschaft übernommen. Nun hätte ich da gar zu gerne auch ein Buch von Ihnen. Wäre es Ihnen nicht möglich in dieser Sammlung ein Buch über komplexe Multiplikation zu schreiben? Ich habe schon mit dem Verleger verhandelt. Wir nehmen jeden Beitrag von Ihnen. Ich denke hauptsächlich an komplexe Multiplikation, weil da bisher überhaupt kein brauchbares Buch vorliegt. Aber auch alles sonstige würde ich gerne nehmen. Wie denken Sie darüber. Erfüllen Sie doch meine Bitte! Einen Termin würde ich Ihnen auch nicht stellen wollen, da ich weiss wie sehr Sie bisher schon mit dem „Bericht“ überlastet worden sind. Das würde ich alles Ihnen überlassen.30

Nun komme ich zu l2-primär .31 Ich gehe von Ihrer Formel

( ) (ja,jb) prod --c--- p0a + q0b c = jpa+qb
für ungerades ln aus, und schreibe sie mir zunächst auf unsere alte ta-Basis um. Da wird sie einfacher. Beim Umschreiben braucht man nicht den Wert von (c) j einzusetzen, sondern kann alles direkt machen. Man erhält
( ) ( ) ( ) (ta,tb) -c-- b oo prod --c--- b --c--- -a c = ta+b . ta+lnb . taln+b , n=1
in der viel weniger Faktoren vorkommen. Die Formel ist noch für beliebiges a,b richtig. Im Falle l = 2 leichte Modifikation. Lassen wir aber l ungerade.

Sind a und b prim zu l, so folgt aus unserer Arbeit Punkt 8, dass

( ) oo ( )b ta,tb- = prod -c-- c n=1 ta+b
ist. Im Falle a = ln aber folgt für zu l primes b:
( ) prod oo ( )b tln,tb = --c---- . c n=1 tln+lnb

Im ersten Fall ist a + b < 2ln, also nach Punkt 15 unserer Arbeit:

n ( ) ( ) -l--- a + b b ta,tb = za + b ln c
was auch nur für durch l teilbares a + b des Intervalls
ln < a+ b < nln - (n- 1)ln-1
von 1 verschieden sein kann.

Im Falle n = 2 bedeutet das:  l2 < a + b < l2 + (l - 1)l, also:

1.) a + b = l2, wo dann (ta,-tb) c = zb ist,

2.) a + b = l2 + kl mit 1 < k < l - 1, wo dann:

l (l2 + kl) l (l+ k) (ta,tb) ----- 2 b ----- b ----- = z l+ k l = zl+ k l c
nach Hilfssatz 2 unserer Arbeit. Dabei ist
( ) ( ) l+ k = l+ k = (l+-1)(l+--2)...(l-+-k) =_ 1 (mod l) l k 1 2 ...k
und l + k =_ k (mod l), so dass
( ) lb ta,tb- = z k c
ist. (Der Exponent natürlich ganz mod l2 verstanden.) Bleibt noch ( ) tl2,tb- c zu bestimmen. Im Produkt genügt dann n = 1, so dass:
( ) ( )b tl2,tb- = --c--- c tl2+bl
ist. Wieder genügt der Fall 1 < b < l - 1 und es ist:
l2 (l2 + bl) l (l+ b) (t 2,tb) 2------ 2 b ----- b -l---- = z l + bl l = zl+ b l = zl . c
Das ergibt jetzt bei anderer Schreibweise folgende Tabelle für das Normenrestsymbol: Es ist:
(tl2,tb) l c = z fü r b = 1,2,...,l- 1 ( ) ta,tl2-a- = z-a fü r (a,l) = 1, 1 < a < l2- 1 . c la (ta,tl2-a+kl) - -- c = z k fü r k = 1,2,...,l- 1, (a,l) = 1, kl+ 1 < a < l2- 1
und endlich ( ) ta,tb c = 1 für die anderen ta,tb unserer Basis.

Ein primäres q kann gleich in der Form q = tl2 prod (a,l)=1 1<a<l2-1 taxa angesetzt werden, wo die xa zu bestimmen sind.
Da q =_ 1 (mod c1l = cl2 ) sein muss, sind dabei die xa alle durch l teilbar. Nun muss gelten:

( ) q,tb (tl2,tb) prod (ta,tb)xa c = c . c = 1 für alle tb der Basis. (a,l)=21 1<a<l -1
Für b = l2 ist nach der Tabelle vermöge xa =_ 0 (mod l) schon alles erfüllt. Sei also b prim zu l. Da die xa durch l teilbar sind, folgt aus der Tabelle, dass vom Produkt nur das eine Glied mit a = l2 - b stehen bleibt. Man hat nun zu unterscheiden:

1.) b = 1,2,…l - 1; dann lautet die Gleichung:

zl+bxl2-b = 1,
also:
l 2 xl2-b =_ -b (mod l ) .
2.) b > l + 1; dann lautet sie:
zbxl2-b = 1, also xl2-b =_ 0 (mod l2).
Es kann also gesetzt werden:
- l -l - -l- q = tl2 .tl2-11tl22-2...tl2l--(1l- 1)
Da nun j2l2 schon primär ist, kann tl2 ersetzt werden durch jl2. Potenziert man aus und lässt analog alles weg was jenseits des Primäritätsmoduls liegt, so erhält man:
q =_ 1- cl2 + lcl2-1 + lcl2-2 + ...+ --l--cl2-(l-1) (mod l2c1) . 1 2 l+ 1
Dabei dürfen die Brüche l n nach dem Modul l2 behandelt werden. Nun ist ( l n) = -l n .l--1- 1 .l--2- 2...l--(n--1)- (n - 1) =_ (-1)n-1l- n (mod l2) für 1 < n < l - 1. Also ist:
l2 (l ) l2-1 (l) l2- 2 ( l ) l2- (l-1) q =_ 1 - c + 1 c - 2 c + ...- l- 1 c ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) =_ 1 - cl2 + cl2-l - l c + l c2 - l c3 + ...+ l cl-1 . 1 2 3 l - 1
Oder:
2 2 ( ) 2 q =_ 1- cl + cl- l (1- c)l- 1+ cl = _ 1 - cl -lc1 ,
wobei c1 = 1 - z1 = 1 - (1 - c)l gesetzt ist. Also ist die Zahl:32
|---------l2-l---| -q-=-1--c----c1-|
l2-primär im l2-ten Kreiskörper und somit l2-primär in jedem Oberkörper, also auch l2-primär für jeden Primteiler l von l in jedem Oberkörper des Kreiskörpers. Da sie / =_ 1 (mod lc1l) ist, ist sie die gesuchte Basis für die primären Zahlen.

Da haben Sie also den Beweis. Wie Sie sehen, bin ich mit dem Kopf durch die Wand gegangen. Das habe ich auch noch im Falle l3-primär getan. Ergebnis: Ein ellenlanger Ausdruck für q, dem man weiter nichts ansehen kann. Es lohnt sich also nicht ihn hinzuschreiben. Vielleicht lag das an meiner Ungeschicklichkeit, und vielleicht erraten Sie nun das Richtige. Ich glaube hier kommt es aufs Erraten an. In der Führersache und der Funktionalgleichung musste ich auch alles erraten.

Welche Behauptungen stellt eigentlich Weddle33 auf? Ich schrieb Ihnen schon, dass mir seine Arbeit unzugänglich ist.

Darf ich Sie endlich noch bitten, mir ganz kurz die Ergebnisse von Frl. Taussky zu erzählen? Das interessiert mich sehr.34

Ja, Sie werden enttäuscht sein von dem l2-primär, aber vielleicht finden Sie in dem Brief doch noch etwas brauchbares.

Darf ich Sie nun noch bitten, mir nach Reichenberg zu schreiben: Adresse: Artin, bei Dr. Hübner, Reichenberg Č.S.R., Felgenhauerstrasse 20.

Ich verreise nämlich in den nächsten Tagen dorthin.

Mit den besten Grüssen auch an Frau Gemahlin und auch von meiner Frau

      Ihr Artin

Kommentare zum Brief Nr.31:

  31.1 Zwei Publikationen
  31.2 Hasses Führer-Arbeit
  31.3 Buchprojekte
  31.4 Olga Taussky

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