30 18.09.1930, Brief von Artin an Hasse

Berlin, den 18. Sept. 1930

Lieber Herr Hasse!

Vielen Dank für Ihren Brief. Nach kurzem Aufenthalt in Hamburg bin ich nach Berlin gefahren⁷ und hier zum Arbeiten gekommen. Darüber möchte ich einiges erzählen:⁸

1.) Mich störte in Ihrem Bericht der Satz auf Fahne 73, Zeile 10 von oben.⁹ Hier haben Sie die vollständige Definition von L(s,):

Sei Primideal, die zugehörige Substitution in K/k, die aber nicht eindeutig bestimmt ist, die Trägheitsgruppe, e ihre Ordnung. Man setze:

s,

Alle Relationen und Sätze gelten jetzt von vornherein genau.

2.) Mich störte noch viel mehr die Bemerkung auf Fahne 72, Absatz nach Satz XI.¹⁰ Daher kann ich Ihnen jetzt auch die vollständige Funktionalgleichung angeben, in der lediglich die „Gausssche Summe“ W() mit dem Absolutbetrag 1 nicht direkt angegeben ist.

Die genaue Funktionalgleichung lautet: Es ist

-

i,

i,

i,

i,

Aus dem bisherigen folgt schon, dass alle Exponenten in (s,) positive ganze Zahlen sind, so dass L(s,) auch für R(s) < 0 regulär und unverzweigt ist. In R(s) < 0 hat L(s,) nur Nullstellen angebbarer Ordnung in 0,-1,-2,-3,….

Es bleibt noch das Zeichen (,K/k) zu erklären, das ich den Führer des Charakters nenne. Ich gebe ihn gleich vollständig an.

Sie werden jetzt an Heckesche Grössencharaktere denken und an die Beziehungen zur Relativdiskriminante. Natürlich geht das, es ist aber nicht erforderlich, da das im Folgenden angegebene von vornherein die gewünschten Eigenschaften hat.

3.) Damit bin ich bei dem Teil angelangt der mich noch mehr interessiert als das Vorangehende. Es ist die Verallgemeinerung der Diskr[iminanten]-Führerformel auf beliebige Körper.¹¹

Es sei die Trägheitsgruppe, _i die i-te Verzweigungsgruppe, e die Ordnung von , p^R_i die von _i. Endlich durchlaufe die Gruppe , _i die Gruppe _i. Die Auswahl von und _i bei gegebenem des Grundkörpers ist gleichgültig (sie hängt ja noch vom gewählten Primteiler in K ab; dabei sei K/k galoisch).

Man setze jetzt

,K/k

a) Es ist ein ganzes Ideal aus k. Das ist der tiefste Satz und zwar der, der alles über Trivialitäten erhebt. Dass der Exponent von grösser gleich 0 ist, ist sofort zu sehen. Das schwere ist der Nachweis, dass er ganz ist. Aber auch das ist mir gelungen.

b) Ist K₁/k auch galoissch und K K₁, aber schon in K erklärbar, dann ist

c) Ist Zwischenkörper, ein Charakter in K/ und der induzierte Charakter, so gilt:

/k

/k

d) Für den Hauptchar[akter] ist () = 1.¹² Setzt man also für den H[aupt]ch[arakter] ein, so folgt:

e) Ist K abelsch, so ist (,K/k) der Führer der Klassenkörpertheorie. Das ist leicht zu zeigen, auf diesem Satz basiert a) und ist der tiefste Schluss bei a).

f) Ist K der kleinste galoissche Körper in dem (,K/k) erklärbar ist, so gehen in genau diejenigen Primideale aus k auf, die in K verzweigt sind.

g) Ist k der Körper der rationalen Zahlen, so ist () = 1 dann und nur dann, wenn der Hauptcharakter ist.

h) Ist k beliebig, ein gegebenes Ideal, N eine Schranke für den Grad von K/k, so tritt als Führer nur in einer beschränkten Menge von Relativkörpern mit höchstens dem Grad N auf, wenn immer der kleinste Körper genommen wird in dem erklärbar ist.

i) Konjugiert algebraische Charaktere haben gleiche Führer.

Das ist vorläufig das Wichtigste was ich zu erzählen habe.¹⁴ Ich habe vorher viel über ⁿ-primär gerechnet, aber nichts herausbekommen. Die Arbeit von Weddle ist mir leider unzugänglich.¹⁵ Lediglich ²-primär konnte ich schaffen. Eine Basiszahl dafür lautet

 

Aber damit habe ich weiter nichts anfangen können. Die Basis für ³-primär habe ich auch noch bestimmt, sie ist aber so kompliziert dass man ihr nichts ansehen kann.

Sie sind doch nicht böse wegen der „Einführung“ bei 1.) und 2.). Sie sind natürlich nur Scherz.

Bis zum 25.September bin ich noch in Berlin unter der Adresse

Dann bis etwa 8.Oktober in

Leider habe ich Ihre Karte mit der neuen Anschrift in Hamburg vergessen. Sie kommen aber doch wohl mal in die Universität.

Mit den besten Grüssen auch an Frau Gemahlin und auch von meiner Frau

      Ihr Artin

Die neuen Ergebnisse stützen doch sehr die Vermutung der Ganzheit von L(s,).¹⁶

Kommentare zum Brief Nr.30:

  30.1 L-Reihen
   30.1.1 Definition
   30.1.2 Funktionalgleichung
   30.1.3 Führer
   30.1.4 Emmy Noether
  30.2 ⁿ-primär
   30.2.1 Weddle