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41.1 Fortsetzung der L-Reihen

Der Brief ist offenbar die Antwort auf eine Anfrage Hasses nach einem einfachen Beweis der Fortsetzbarkeit der Weberschen L-Reihen. Wie es scheint, bereitet Hasse seine Vorlesung über Klassenkörpertheorie vor, die er im Sommersemester 1932 dann gehalten hat. Es geht um die Fortsetzbarkeit der L-Reihen L(s,x) auf die gesamte rechte Halbebene. Dabei ist eine Kongruenzgruppe H in k gegeben, und x ist ein Charakter der zugehörigen Faktorgruppe nach H. Die Situation ist also wie im Brief Nr. 38 vom 16.6.1931, vgl. 38.3.1. Nur ist jetzt kein Oberkörper K von k vorgegeben.

In der Ausarbeitung seiner Vorlesung [Has33c] diskutiert Hasse die Frage, ob L(1,x)≠0 ist für x≠1. Er stellt fest, dass es höchstens einen Charakter x≠1 geben kann, für welchen L(1,x) = 0 ist, und dieser müsste reell sein. Dies aber tritt nicht ein, sagt Hasse:

„Es gibt zwei wesentlich verschiedene Methoden zum Beweis. Der eine, kürzere, ist funktionentheoretisch und beruht auf einem Satz über Dirichletsche Reihen mit positiven Koeffizienten. Man braucht aber überdies die Fortsetzbarkeit aller L-Funktionen in die rechte Halbebene, die nur mit großem Aufwand zu gewinnen ist. Die andere Methode ist arithmetisch-körpertheoretisch und führt in die Klassenkörpertheorie. Diese letztere werden wir anwenden.“ 

Wie es scheint, möchte Hasse wissen, ob man auch ohne Klassenkörpertheorie, aber auch ohne großen sonstigen Aufwand, einen Beweis für das Nichtverschwinden der L-Funktionen für s = 1 und x≠1 finden kann. Dann würde ja daraus nach der Dirichletschen Methode direkt abzulesen sein, dass die Primideale in H und auch die in jeder Nebenklasse nach H die Dichte 1 h besitzen. Das konnte ja Artin nach seiner im Brief Nr.38 angegebenen Methode nur dann, wenn er den dort mit K bezeichneten Erweiterungskörper hat.

Artin hat, wie wir sehen, auch keinen Erfolg bei seinen Versuchen gehabt. Wenn er schreibt, dass man nur die Fortsetzbarkeit für Realteil R(s) >1 2 benötige, dann bezieht er sich auf die übliche Schlussweise, dass man ja nur quadratische, also reelle Charaktere x in Betracht zu ziehen braucht. Für diese wäre es ausreichend, wenn man s = 1 2 setzen könnte.

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