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43 10.03.1932, Brief von Artin an Hasse


10. März 1932

Lieber Herr Hasse! 161

Noch einige Kleinigkeiten zum gestrigen Brief. Bezeichnungen wie gestern:

prod a as (1) cs,t = as ; (2) cns,t = -s-t-; t ast (3) cs,tcst,r = cst,rcs,tr ; (4) usut = cs,tust ; (5) u a = asu . s s
Ist a's = bsnc1-sas, so liefert a's „dasselbe“ Faktorensystem wie as. Ich schreibe dann a's ~ as auch dann wenn die as überhaupt kein Faktorensystem liefern, d.h. sich keine n-te Idealpotenz ergibt.

Liefern die as ein Faktorensystem, so folgt aus (2): Bei festem t ist ast ~ asats; ebenso bei festem s und variablem t.

Behauptet wird nicht, dass die ast ein Faktorsystem ergeben. Nun folgt bei festem c aus G:

ac-1sc ~ ac-1sacc- 1s ~ ac-1acs-1acc-1s also c s c s-1 c ac-1sc ~ ac-1acas = ac-1acac as ~ acac-1as ~ a1as ~ as, da aus (2) folgt a1 = cn ~ 1 . 1,1
Also liefert ac-1scc bei festem c ein zu cs,t äquivalentes Faktorensystem
ds,t = ccc-1sc,c-1tc .

Dass bei beliebigem cs,t auch ds,t ein Faktorensystem ist, folgt unmittelbar aus (3). Aber nur für Ideale ergibt sich seine Äquivalenz mit cs,t. Es ist dies zu bezeichnen als das durch Anwendung von c aus cs,t entstehende Faktorensystem. Seine unsymmetrische Bauart rührt daher, dass in der Definition (4) eine Seite ausgezeichnet ist. Daher darf nicht ohne weiteres cs,tc genommen werden. Wir haben also:

Jedes ideale Faktorensystem ist invariant gegenüber der Gruppe G.

Nun zur gestrigen Berechnung der p-primären Faktorensysteme. Wenn Sie eine Abbildung hz der Zerlegungsgruppe hernehmen, so gehört dazu ein p-primäres Faktorsystem as(P). Ersetzen Sie P durch Pt, und in der gruppentheoretischen Rechnung überall die Isomorphie r --> trt-1, ferner sei statt hz genommen ht-1zt, z aus tZt-1, als Abbildung, so rechnen Sie leicht nach, dass in diesem Sinn

as(tP) = (at-1st(P))t ist.
Daher liefert tP bei gegebener Abbildung „dasselbe“ Faktorsystem wie P. Ebenso leicht ist zu sehen, dass as(P) nicht davon abhängt (im Sinn der Äquivalenz) welches Vertretersystem r mod Z gewählt wird.

Es sei nun p kein Diskr[iminanten]teiler . Dann kann eine ausgezeichnete Abbildung hz der Zerlegungsgruppe auf die Restklassen modulo n gegeben werden. Nämlich h[K-] P =_ n- f (mod n), wo [ ] K- P das Frobenius’sche Symbol ist. Dann ist also jedem Primideal p ein ganz bestimmtes Faktorsystem cik(p) zugeordnet.

Frage: Darf man es wagen, das Reziprozitätsgesetz im Anschluss an das gestrige Zerlegungsgesetz zu formulieren? Wie ist klar.

      Mit besten Grüssen

      Ihr Artin

Die Invarianz bei c der cs,t kann auch für Zahlen aber auf anderem Wege gezeigt werden. Innerer Automorphismus mit uc der Algebra.

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