09.03.1932, Brief von Artin an Hasse

42 09.03.1932, Brief von Artin an Hasse

9. März 1932

Lieber Herr Hasse!

Vielen Dank für den Sonderabdruck und Ihren Brief. Ich habe inzwischen auch über die Dinge nachgedacht, formuliere sie aber noch anders. Ich möchte Ihnen darüber berichten bemerke aber dass Sie die Formeln noch in Ihre Schreibweise umschreiben müssen, da ich die Reihenfolge verkehrt nehme, mich aber daran gewöhnt habe.

1.) K Körper, Gruppe, c_, Faktorsystem zu u mit Relationen

s usa = a us ; usut = cs,tust .

Assoziativitätsrelation

s cs,tcst,r = ct,rcs,tr .

Übergang von u zu v =

u führt auf das Faktorsystem

s c's,t = dsdtcs,t . dst

Ich schreibe kurz für das Faktorsystem

s dsdt-= F(ds) . dst

Die Elemente können Zahlen oder Ideale sein.

2.) Setzen Sie prod c_, = a ; prod c_, = b , so ergibt die Assoziativitätsrelation, wenn man die Produkte über oder über oder über durch die ganze Gruppe bildet, die drei folgenden Relationen (N = Norm K/k):

bb = N(c_,)b	oder N(c_,) =	(1)
ab = ba	oder b^-1 = 1, also ist b ambig.	(2)
c_,ⁿa = aa	oder c_,ⁿ =	(3)

Die dritte Relation ist die wichtigste. Sie zeigt wohl am schnellsten und leichtesten sowohl für Zahlen wie für Ideale den Satz, dass die n-te Potenz jedes Faktorensystems ~ (1) ist.

3.) F() = 1 <== ==> = a^1- wo a = sum ≠0 .
Sowohl für Zahlen wie für Ideale.¹⁵⁶

4.) Unter dem -Beitrag eines idealen F[aktor]s[ystems] verstehe ich den Beitrag, den die Teiler von zu c_, liefern. Ein Faktorsystem das nur aus -Teilern besteht nenne ich ein primäres . Dann ist jedes Faktorsystem eindeutig Produkt von zu verschiedenen gehörigen primären.¹⁵⁷

5.) Ich bestimme die Gruppe aller -primären Faktorensysteme modulo den ~ (1):
Wegen (3) ist c_,ⁿ = s
asa-t
ast für jedes Faktorsystem c_,. Ist darin a beliebiges Ideal aber so, dass eine n-te Idealpotenz herauskommt, so ist das so bestimmte c_, ein ideales Faktorsystem. Man setze:

sum r a = P r m s.r, mr ganze Zahlen. s s

durchlaufe ein Vertretersystem von

mod

, also

sum G = rZp (ich potenziere (Ps)t = Pts)

das genügt. Ich verabrede noch, dass m von

nur gemäss der Restkl[asse] abhängen soll. Ist also z beliebiges Element von

= Zerlegungsgruppe, so soll gelten

mrzs =_ mrs (mod n)

(4)

Damit eine n-te Potenz herauskommt muss gelten:

sum sum sum mrsr + mrtsr - mrstr =_ 0 (mod n)

Dabei sind die nur mod zu verstehen. Ersetzt man im mittleren Glied durch ^-1, so erhält man:

r s-1r r m s + m t - mst =_ 0 (mod n)

(5)

und man hat die Kongruenzen (4), (5) aufzulösen.

Man setze in (5) = 1 und erhält¹⁵⁸ , wenn man kurz m statt m¹ schreibt:

m^{^-1}	m - m (mod n) also
m	m_^-1 - m_^-1 (mod n).	(6)

Setzt man (6) in (5) ein, so ist (5) identisch befriedigt. Man braucht also nur noch (4). Setzt man (6) in (4) ein, und berücksichtigt, dass

^-1

und

^-1 beliebige Paare sind, so folgt:

m_z - m_z	m - m (mod n)	(7)
für jedes z . Wenn

h	= m - m₁	(8)
gesetzt wird, so folgt

h_z - h_z	h - h .	(7^' )

Setzt man

= 1, so folgt

hzs =_ hz + hs (mod n) z aus Zp ,s beliebig.

(9)

Aus (9) folgt (7^') wieder identisch. Aus (8) folgt

h1 =_ 0 (mod n)

(10)

Jetzt ist im Ganzen:

mst =_ hs-1t- hs-1 (mod n) ,

(11)

wobei (4) und 5 gelten wenn 9 gilt.

(9) kann, wenn die Werte h_z bekannt sind, als Definition der Werte für die Restklasse gelten wenn h bekannt ist. Dann braucht also (9) nur noch für den Spezialfall zu gelten. Also muss h_z eine isomorphe Abbildung von auf¹⁵⁹ die additive Gruppe der Restklassen mod n bedeuten. Das ist alles was bleibt.

Setzen wir jetzt (11) ein in a so kommt, wenn wir n-te Potenzen zu einer n-ten Idealpotenz bⁿ vereinigen: (Wir rechnen ja modn.)

sum sum h -1 .r - h -1 .r as = bns P r s r

Wobei

im Index ein ganz bestimmtes Vertretersystem durchläuft, sonst aber nur mod

zu gehen braucht. Wir addieren im Exponenten die Summe

sum sum ------- hr-1sr = h(s-1r)-1 r ,

der ausgezeichnete Vertreter der Klasse von

ist:

sum sum ------- as = bnsP(s - 1) hr-1r + (hr-1s- h (s-1r)-1) r,

nun ist

^-1

= (

^-1

) ^. z^-1 mit einem bestimmten z aus

, also ist

(12)

a = bⁿc^1- ^.

^{h_z ^.}

z =

^-1

(

^-1

)

Geht man die z, die auftreten können durch, so kommt nach Reidemeister (es sind seine Erzeugenden) sicher Erzeugende von darunter vor. Ist also h_z nicht die identische Darstellung in den Restklassen, so ist der Exponent nicht immer 0 (mod n). Ein a der Form bⁿc^1- mit beliebigem b und c liefert aber, wie Sie sofort sehen, lauter h_z 0 (mod n).

Also ist a modulo bⁿc^1- genau durch die Darstellung h_z von in den Restklassen mod n gegeben, und dem Produkt von zwei a-Vektoren ist die Summe der h_z zugeordnet.

Ein a der Form bⁿc^1- liefert nun gemäss (3) ein c_, = s
bsbt
bs,t ~ 1. Also ist die Gruppe der -primären c_, mod den ~ 1 isomorph mit der Gruppe aller Darstellungen von durch Restklassen modulo n. Diese Gruppe aber ist isomorph mit der Faktorkommutatorgruppe von . Also:

Die gesuchte Gruppe der -primären c_, ist isomorph mit der Faktorkommutatorgruppe von .

Ist insbesondere kein Diskriminantenteiler, so ist die Gruppe cyklisch von der Ordnung f. Dann ist also f die kleinste Zahl so dass die f-te Potenz jedes -primären Faktorsystems ~ 1 ist.

Nun ist es wohl klar wie das Zerlegungsgesetz lautet:

Es sei ein passender Modul. zerfällt dann und nur dann in Primideale f-ten Grades, wenn f die Ordnung der -primären Faktorensysteme modulo der Gruppe

=_ F (as) (mod f)

ist.

zerfällt vollständig, wenn jedes

-primäre Faktorsystem

F(a) (mod

) ist.

Ich habe noch keine Zeit gehabt über den Beweis nachzudenken der nicht schwer sein kann. Ich habe nur den abelschen Spezialfall Gruppe (2,2) und die symmetrische Gruppe der Ordnung 6 geprüft also den Fall des kubischen Körpers. Es ist alles in Ordnung und stimmt in diesen Fällen. Im abelschen Fall lässt sich alles im Grundkörper normieren und führt auf die alte K[lassen]körpert[heorie.]

Im nicht abelschen Fall kommt einfach die alte Methode heraus die Klassenkörpertheorie anzuwenden auf Unterkörper in bezug auf die der ganze Körper cyklisch ist. So muss auch der Beweis mühelos herauskommen. Es ergibt sich also nur das eine Neue am Zerlegungsgesetz, dass es invariant formuliert und die verschiedenen Gruppen in den verschiedenen Körpern in einheitlichen und übersichtlichen Zusammenhang gebracht sind.

Dagegen kann natürlich keine Rede von einer Isomorphie sein. Im symm[etrischen] Fall 6 kommen für die Faktorensysteme modulo F(a) (mod ) 6 Klassen heraus (natürlich cyklisch):

1,K, K2, K3, K4,K5.

Dabei sind 1 die vollst[ändig] zerfallenen, K³ die mit f = 2 und K² und K⁴ die mit f = 3. Interessanterweise bleiben K und K⁵ frei von primären c_,, wie aus dem Zerl[egungs]ges[etz] folgt, da es keine unzerlegt bleibenden

gibt. Wohl aber gibt es in K und K⁵ Faktorensysteme. Etwa das Produkt eines primären der Ordnung 2 mit einem der Ordnung 3. In diesem Fall ist wie gesagt alles bewiesen.

Bei einer endgültigen Darstellung werden natürlich die Rechnungen dann zu vermeiden sein, wenn auf die abstrakte Bedeutung des verschränkten Produkts mit Idealen eingegangen wird. Die Bedeutung ist diese:

Sei die Gruppe aller Ideale, die Gruppe aller au. Dann ist gekennzeichnet als Erweiterung von die

als Normalteiler enhält,
/ ,
Die Nebengruppen liefern in die Isomorphismen von .

Die Komposition der Faktorensysteme lässt sich zwar invariant in naheliegender Weise deuten, aber nicht schön.

Selbst werden Sie sich wohl überlegt haben, wie die Faktorensysteme abzuändern sind wenn man Erzeugende und Relationen einführt. Das übliche Faktorsystem ist nur der Fall der Cayleyschen Gruppentafel.

Ich habe den Eindruck, dass noch etwas ganz Neues hinzukommen muss um zu Isomorphie und zu Existenzsätzen zu kommen. Dieses Zerlegungsgesetz ist nur eine etwas verschönte Zusammenfassung der Anwendung der gewöhnlichen Klassenkörpertheorie .

Mit vielen herzlichen Grüssen von Haus zu Haus

Ihr Artin

Kommentare zum Brief Nr. 42:

42.1 Der erste Brief über Faktorensysteme.

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