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16 04.09.1927, Brief von Artin an Hasse


Hamburg, am 4. September 1927 135

Lieber Herr Hasse!

Ich bin in grosser Sorge dass Sie meinetwegen Ihre ganzen Pläne umwerfen müssen und ich möchte Sie bitten das doch nicht zu tun, sondern mir einfach abzuschreiben wenn es Ihnen nicht passt. Mein jetziger endgültiger Reiseplan hat sich nun etwas verschoben. Ich fahre am Dienstag den 13.September, vermutlich morgens hier ab und bin so gegen halb eins in Halle. Die genaue Zeit schreibe ich noch. Es würde nun von Ihrer Zeit abhängen, ob ich Sie einen oder zwei Tage in Anspruch nehmen darf. Aber bitte doch ja nichts meinetwegen zu verschieben. Ihre Angelegenheiten gehen doch selbstverständlich vor und passt es Ihnen jetzt nicht, so lässt sich doch vielleicht auf meiner Rückreise etwas machen. Darf ich Sie bitten, mir noch zu schreiben ob es Ihnen zur angegebenen Zeit passt und entschuldigen Sie mein andauerndes Verschieben des Datums. Jetzt steht es fest. Haben Sie auch nochmals herzlichen Dank für die freundliche Einladung. 136

In den letzten Tagen bin ich zu nichts gekommen aber vor acht Tagen bin ich unter die Rechner gegangen. Die ganzen Dinge mit ln-primär und (a) l- haben mich so geärgert, dass ich beschloss spezielle Fälle auszurechnen.137

Ich nahm die Fälle 4, 8, 9 im Körper der zugehörigen Einheitswurzeln. Die Resultate sind diese:

Ist zn = e2pi/ln , so dass also zn-1 = znl etc. ist und wird cn = 1 -zn gesetzt, so gilt der zweite Ergänzungssatz in der bekannten, leicht verallgemeinerten Fassung.

Für a =_ 1 (mod cn) im Körper R(zn) gilt:

|-------------------------| | ( log a) | |( ) -S zn -n--- | | cn- = zn l cn | ---a--ln-------------------
Sie stimmt wie gesagt für 22,23 und 32. Natürlich kann ich sie nicht allgemein beweisen.

Für den Fall l2 kann ich aber wenigstens allgemein zeigen, dass:

( ) log(1- cl2) ( ) - S z2----2----2- --c2--- = z lc2 1 - cl22 2
ist. Da nun die Elemente (1 -cna) für a < ln mit zu l primen a und noch (1 -cnln ) eine multiplikative Basis bilden (Ersatz für Takagische Basis), so ist gezeigt, dass im Fall l2 die obige Formel für das letzte Basiselement (1 - c2l2 ) gilt. Da nun
( ) -cn--- = 1 1- can ln
ist, wenn a prim zu l, so hat man noch zu beweisen:
( ) log(1---ca2)- 2 S z2 l2c2 =_ 0 (mod l )
für (a,l) = 1. Wenn das gezeigt ist, hat man die Formel allgemein. Das aber kann ich nicht (oder nur für 4,8,9).

Für l3 kann ich aber nicht einmal mehr zeigen dass die Formel für (1 - c3l3 ) stimmt.

Ich bin jetzt fest überzeugt, dass dies der zweite Ergänzungssatz im Kreiskörper ist und bin über die einfache Bauart dieser Formel ausserordentlich erstaunt. Wenn nun a primär ist, so folgt aus Ihrer Formulierung des R[eziprozitäts]g[esetzes]138 , dass ( ) acn durch dieselbe Formel gegeben ist.

Weitere Fälle wie 27, 25, 49, 16 ect. auszurechnen ohne allgemeine Methode, übersteigt meine rechnerische Geduld, da das dazu erforderliche Berechnen von S(cni) für zu grosse Werte von i notwendig wird und bereits für 8 und 9 sehr langweilig ist. Hoffentlich fällt Ihnen da etwas ein.139

Für das R[eziprozitäts]g[esetz] selbst gilt sicher eine ähnliche Formel wie die von Ihnen aufgestellte, doch habe ich sie mir nicht überlegt. Sie ist ganz bestimmt nicht irgendwie komplizierter und das ist doch erstaunlich.

Aber was ln-primär ist, weiss ich für 4, 8, 9. Ich habe mich bemüht eine gemeinsame Formel für die drei Fälle zu finden und fand nur die folgende, von der ich aber überzeugt bin, dass sie nicht die allgemeine ist, da ich schon ihre Invarianz gegen Substitutionen des Körpers bezweifle. Immerhin gebe ich sie in der fraglichen Form schon der Abkürzung halber.

Für ln = 4, 8 und 9 ist a eine ln-primäre Zahl, wenn (für a =_ 1 (mod cn))

loga =_ a(lc1 + l2c2 + ...+ lncn) + lnlogq (mod lnc1)
ist. Dabei ist a irgend eine rationale Zahl und q =_ 1 (modcn) irgend eine Zahl des Kreiskörpers.

Ich bin aber überzeugt, dass das nicht allgemein stimmt, da sie nur für 4,8,9 invariant ist. Vielleicht fällt Ihnen aber jetzt die richtige Verallgemeinerung ein. Das Glied ln log q rührt natürlich von dem Beitrag qln bei a her und ist für n > 1 keineswegs zu vernachlässigen. Vielleicht kann man mit seiner Hilfe der ersten Klammer die „richtige“ Gestalt geben.

Ich habe bei meinen mannigfachen Versuchen gesehen, wie schwer die Dinge mit der bisherigen l-adik sind. Ein Jammer, dass man nichts vernünftiges mit l V~ n-- a anfangen kann, da ja die Reihe nicht immer konvergiert. Ebenso, dass es keine Formel gibt um stets vom log a zu a zu gelangen, da wieder elog a nicht immer konvergiert.140

Mit der Henselschen Arbeit über diese Frage kann ich auch nichts anfangen. Aber da wissen Sie ja besser Bescheid. 141

Mit vielen Grüssen und einer Empfehlung an Frau Gemahlin

      Ihr Artin

Es scheint mir als wäre allgemein für primäres m: 142

( ) ( ) S m---1 m- = z l lc1 ? l ln

Kommentare zum Brief Nr.16:

  16.1 Der zweite Ergänzungssatz für ln

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