Hasses Ideen zur lokalen Klassenkörpertheorie und zum Normsymbol sowie zum Zugang zur globalen Klassenkörpertheorie von der lokalen Theorie her wurden in seiner Arbeit [Has33a] fortgesetzt, die er Emmy Noether zum 50.Geburtstag am 23.März 1932 widmete – denn Emmy Noether war es gewesen, die mit ihm laufend über diese Fragen eine anregende Korrespondenz führte. (Siehe [LR06].) Eigentlich ist der Gegenstand dieser Arbeit die Strukturtheorie der Algebren über Zahlkörpern. Der Zusammenhang mit dem Normsymbol besteht darin, dass die lokalen Invarianten der Algebren mit Hilfe des lokalen Normsymbols definiert werden können – und dass die lokale Theorie der Normen nunmehr auch direkt aufgebaut werden kann, ohne Bezugnahme auf die globale Klassenkörpertheorie. Zwar führt das Hasse in jener Arbeit nur für zyklische Erweiterungen durch, denn das ist ausreichend für die Anwendung auf die Algebrentheorie. Aber die formale Ausdehnung auf den abelschen Fall lag auf der Hand. Dazu erschien kurz darauf eine Arbeit von Chevalley [Che33a]. Aus der Korrespondenz von Chevalley mit Hasse geht hervor, dass beide unabhängig voneinander dieses Ergebnis gewonnen hatten, dass Hasse jedoch die Publikation dem jüngeren Chevalley überließ.
Der Zusammenhang der Algebrentheorie mit der Klassenkörpertheorie ist unter historischem Aspekt ein faszinierendes Thema. Hier stellen wir nur fest, dass diese ganze Entwicklung u.a. auf dem Briefwechsel Hasse-Artin aus dem Jahre 1927 beruht, angeregt durch die „ganz dumme Frage“ aus Artins Brief Nr.10. Weitere Hinweise zu dieser Entwicklung finden wir in dem Briefwechsel Hasse-Noether. Siehe dazu [Roq05b] und [LR06].