47 02.12.1932, Brief von Artin an Hasse

2.12.32

Lieber Herr Hasse!

Eine unangenehme Nachricht. In der Arbeit von Herrn Schäfer und auch in der Ihren findet sich eine Unrichtigkeit, so dass der Hauptidealsatz im Rahmen der kompl[exen] Multipl[ikation] noch immer nicht bewiesen ist.¹⁶⁹ Es handelt sich um folgendes:

Nehmen Sie etwa den Körper R(). Die Normen x² + 5y² der ungeraden Zahlen sind 1 (mod 4). Das Nichthauptideal = (3,1 + ) hat die Norm 3 -1 (mod 4), also sind die Normen aller ungeraden Ideale der Nichthauptklasse -1 (mod 4). Erst recht findet man also in dieser Klasse kein Ideal mit einer Norm 1 (mod 12).

Folglich versagt der Schäfersche Beweis und ebenso Ihr Beweis in diesem Fall.

Ich habe versucht die Lücke auszufüllen, es ist mir aber nicht gelungen. Nur Folgendes habe ich zu Stande gebracht:

Bewiesen ist: Ist N 1 (mod 12), so gilt der Satz. Da nun das Quadrat jedes zu 12 primen Ideals die Bedingung erfüllt, ist jedenfalls das Quadrat jedes Ideals Hauptideal.

Führt man den Beweis für statt für , so findet man: Ist N 1 (mod 4), so ist die dritte Potenz von Hauptideal also wegen des vorigen auch selbst. Es gilt also schärfer:

Aus N 1 (mod 4) folgt dass Hauptideal. Der Hauptidealsatz ist also nicht bewiesen für solche imaginär-quadratische k über denen k(i) unverzweigt ist, denn dann gibt es nur eine Idealgruppe vom Index 2 mit N 1 (mod 4) und dem Führer 1. Das sind die Körper R() mit m≠ - 1 und m 3 (mod 4).

Ein ganz kleines Stück kommt man noch weiter. Es genügt ein einziges Ideal anzugeben, das Hauptideal wird und für das N -1 (mod 4) ist. Ist nun p > 0 ein Primteiler von m der -1 (mod 4) ist, p = ² in k, so ist ein solches Ideal. Es wird nämlich in k() ersichtlich das Hauptideal () und dieser Körper ist im Klassenkörper enthalten. Es bleiben noch diejenigen m, bei denen alle Primteiler 1 (mod 4) sind (z.B. m = -5). Das Ideal = (2,1 + ) ist in k(i) das Hauptideal (1 + i). Bildet man = , so ist N = . Ist also m 3 (mod 8), so ist ein solches Ideal.

Es sind also unerledigt die Körper R() mit m -1 (mod 8) (etwa R()), bei denen alle Primteiler von m die Form 4n + 1 haben.

Weiter bin ich nicht gekommen und ich sehe auch keinen Weg dazu.

Darf ich bei dieser Gelegenheit noch auf eine kleine Unrichtigkeit in Ihrer Arbeit hinweisen, die sich aber in Ordnung bringen lässt. Die Transfomationsklasse lässt sich nicht so normieren wie auf Seite 316 unten angegeben ist. Erreichen kann man nur

a d 1 (mod 4).

Aber damit kommt man glücklicher Weise beim Beweis aus. Allerdings genügt es nicht von ₁₂(S) zu wissen, dass für S E (mod 12)  ₁₂(S) = 1 ist (Seite 120), sondern es muss für S (mod 12) mit c 1 (mod 4)  ₁₂(S) = 1 gezeigt werden. Das folgt etwa aus der Formel.

Vielleicht fällt Ihnen ein, wie man den Beweis zu Ende führen kann.

Wir haben uns sehr über Ihren Aufenthalt bei uns gefreut¹⁷⁰ . Meine Frau liest andauernd in dem Buch.

Mit vielen Grüssen Ihr

      Artin

Beste Grüße

      N. Artin¹⁷¹

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