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1 09.07.1923, Brief von Artin an Hasse


Hamburg, am 9. Juli 19231

Lieber Herr Hasse!

Endlich die Antwort werden Sie sagen. Also ich bitte kniefällig um Entschuldigung für mein so spätes Schreiben aber…na Sie kennen mich ja. Ich hatte mir ein so schönes System von Ausreden konstruiert sehe aber, dass das schliesslich keinen Zweck hat.2 Zunächst meinen besten Dank für Ihre freundliche Einladung. Nun wissen Sie aber, dass ich Samstag Kolleg habe. Ich könnte also erst nachmittag gegen 5 wegfahren, da kein anderer Zug geht. Wenn es Ihnen also passt und ich Sie nicht störe, würde ich nächsten Samstag abends gegen 1 2 8h mit dem D-Zug – ich glaube 7h35 in Kiel eintreffen. Sollte ich einen früheren Zug finden, so schreib’ ich Ihnen noch. Ebenso bitte ich Sie, mir eine Karte zu schreiben, wenn Ihnen etwas dazwischen kommen sollte, wir also die Sache verschieben müssten. Ich komme aber nur wenn ich Ihrer Frau Gemahlin und Ihnen keine Unannehmlichkeiten verursache.

Nun der mathematische Teil.

Zunächst möchte ich zeigen dass man Ihre schöne Formel3

( ) ( ) a---1 -l S lc0 a = z

doch nach meiner Methode4 herleiten kann und zwar direkt und für beliebige Körper.

k enthalte z, ist also Oberkörper vom Kreiskörper R(z). Sz(a) sei die Relativspur von a in bezug auf R(z), S die Absolutspur in k, S die in R(z). Dann ist S(a) = S(Sz(a)).

Nach Takagi (Reziprozitätsgesetz) gilt nun, (§2 Satz 5) unter Nz die Relativnorm von a verstanden (in Bezug auf R(z)) :

( l) ( l ) -- = ---- a Nza
(das rechte Symbol im Kreiskörper genommen).

Nun soll a =_ 1 (mod lc0) sein, also:

a = 1+ glc0 .
Dann ist
N a =_ 1+ S (g)lc (mod l2c2 ) z z 0 0
also:
( ) ( ) -l = -----l------ in R(z) . a 1+ Sz(g)lc0
In R(z) gilt aber, wie Sie ja wissen, dass durch das Umdrehverfahren5
( ) ( ) b---1 -l S lc0 b = z
beweisbar ist. So findet man also:
(a - 1) ( l) S ----- -- = zS(Sz(g)) = zS(g) = z lc0 a
für beliebige Körper.

Nun aber kommt das Schöne! Die Formel gilt nicht nur für a =_ 1 (mod lc0) sondern sogar schon:

Wenn a =_ 1 (mod l)  ist, gilt:
( ) l- a = zS( ) a--1- lc0  .

Also genau dasselbe. Sie werden sagen, dass im Exponenten keine ganze Zahl steht? Doch! Zunächst ist nach Voraussetzung g = a--1 l ganz, also auch g' = Sz(g).

Nach dem Satz von Landsberg hat nun jede Zahl aus dem Ideal 1 d (d Differente) eine ganze Spur.6 Also ist S( ) -g' c 0 = S( ) a--1- lc 0 ganz da in R(z) : d = c0 ist.

Übrigens stammt diese Formel von Ihnen. Es ist nämlich nach Ihrer zweiten Mitteilung ( ) l- a = zf'(1) -a--, wenn a =_ a (mod l) und a im Kreiskörper liegt. Drücken Sie den Exponenten durch Spuren aus und steigen Sie dann wie vorhin von einem beliebigen Körper zum Kreiskörper herab, so erhalten Sie für beliebige Körper diese Formel. Ist a =_ a (mod l) und a rational, so ist einfach a zu ersetzen durch a- a. Das ist selbstverständlich.

Um Ihnen noch etwas Neues mitzuteilen: Ich habe jetzt die allgemeinen L-Reihen mit Frobenius’schen Gruppencharakteren gefunden, die bei beliebigen Körpern dasselbe leisten wie die gewöhnlichen L-Reihen bei Abelschen.7 Mit ihnen die z-Relationen in beliebigen Körpern.8 Nebenbei die Formulierung des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes in beliebigen Körpern (ohne dass Einheitswurzel im Körper liegt)9 und Beweis bei Primzahlgrad. Ferner eine Vermutung (bestimmter Form) über das Zerlegungsgesetz der in der Diskr[iminante] aufgehenden Primzahlen eines Körpers mit einfacher Gruppe – sagen wir mal des Ikosaederkörpers.10 Die Arbeit ist schon im Druck, vielleicht kann ich Ihnen Samstag schon Fahnen zeigen. Wenn also noch etwas dazwischen kommt – Karte genügt. Mit herzlichen Grüssen und Handküssen an Frau Gemahlin

      Ihr Artin

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