21 18.11.1928, Brief von Artin an Hasse

Hamburg, den 18. November 1928.

Ich möchte Ihnen kurz einiges über die Hauptidealisierung in Unterkörpern des Klassenkörpers mitteilen, wenn auch nur negatives.²⁵ Furtwängler hat mir geschrieben und die fragliche Gruppe mitgeteilt. Es handelt sich um folgende: Drei Erzeugende S₁,S₂,T. Es ist dabei T der Kommutator von S₁ und S₂, ist mit den beiden anderen Elementen vertauschbar und es ist S₁⁴ = T, S₂² = 1. Also besteht die Faktorgruppe der Kommutatorgruppe aus 8 Elementen vom Typus 4,2. Es handelt sich also um eine sehr einfache Gruppe der Ordnung 16 und ich versuchte nun einen imaginär quadratischen Körper zu finden, bei dem dieser Sachverhalt eintrifft. Das geht nun in der Tat, denn der erste Körper, für den die Klassengruppe vom Typus 2,4 ist, hat schon diese Eigenschaft. Es handelt sich um k = R(). Sein Klassenkörper vom Relativgrad 8 hat schon die gesuchte Eigenschaft, dass in keinem seiner Unterkörper irgend eine Klasse der Ordnung 4 zum Hauptideal wird; es ist dies erst in K selbst der Fall. Man kann auch noch zeigen, dass auf jeden Fall der zweite 2-Klassenkörper von k die oben angegebene Gruppe hat. Man weiss auch noch, dass dieser zweite 2-Klassenkörper der volle erste Klassenkörper für jeden relativ quadratischen Unterkörper mit je der Klassenzahl 8 und auch noch des Geschlechterkörpers mit der Klassenzahl 4 ist. Alle diese Eigenschaften lassen sich durch sehr wenig Rechnung zeigen, und ergeben sich fast von selbst unter Benutzung der relativ quadratischen Unterkörper. Es ist natürlich nicht so sehr wichtig ein Gegenbeispiel zu haben, aber vielleicht leistet der Körper gelegentlich noch mehr bei der Widerlegung analoger Vermutungen. Aus diesem Grunde habe ich Ihnen geschrieben.

In meinem letzten Brief stellte ich eine Anfrage bezüglich der imaginär quadratischen Körper.²⁶ Ich bemerke eben, dass sich die dort angegebene Behauptung, wenn sie sich beweisen lässt, nur auf ≠2 beziehen kann. Denn sonst gäbe es Gegenbeispiele. Ich muss auch noch sagen, dass ich diesen Satz bezweifle, falls er nicht etwa schon bewiesen ist. Er erscheint mir noch ein bisschen unwahrscheinlich. Aber ich werde es ja von Ihnen hören, was mit dem Satz los ist. Sonst nichts neues.

Recht herzliche Grüsse und eine Empfehlung an Ihre Frau Gemahlin,

      Ihr Artin

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