Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
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„Continuous K-theory and cohomology of rigid spaces“
Christian Dahlhausen, Universität Regensburg

Continuous K-theory is a variant of algebraic K-theory for rigid spaces (nonarchimedean analytic spaces). In this talk, I will relate the bottom K-theory group of a rigid space with its top cohomology group with integral coefficients. I will begin with some recollections about algebraic K-theory for schemes and then introduce continuous K-theory for rigid spaces, as defined by Morrow and further studied by Kerz-Saito-Tamme. Afterwards, I will present an easy proof of my result in the regular case assuming resolution of singularities. This will be done in terms of Berkovich spaces and their skeleta (which will be used as a black box). The general result avoids the assumption of resolution of singularities and works with Zariski-Riemann type spaces instead which are defined as the limit over all models. Despite not a scheme anymore, these Zariski-Riemann type spaces behave, due to a result by Kerz-Strunk, from the K-theoretic point of view similar as a regular model does. The content of this talk is based on my PhD thesis advised by Moritz Kerz and Georg Tamme. Stetige K-Theorie ist eine Variante von algebraischer K-Theorie, welche für starr-analytische Räume (nichtarchimedische analytische Räume) ausgelegt ist.. In meinem Vortrag werde ich letztendlich die unterste stetige K-Gruppe eines starr-analytischen Raumes mit der obersten Kohomologiegruppe mit ganzzahligen Koeffizienten in Verbindung setzen. Zu Beginn werde ich kurz die algebraische K-Theorie rekapitulieren und schließlich stetige K-Theorie für starr-analytische Räume, wie sie von Morrow definiert und von Kerz-Saito-Tamme weiter erkundet wurde, einführen. Anschließend werde ich einen einfachen Beweis meines Resultates darlegen, der Regularität und Auflösung von Singularitäten voraussetzt. Dieser bedient sich der Theorie der Berkovichräume und deren Skelette, welche wir ohne weitere Erläuterung verwenden werden. Das allgemeine Resultat hingegen kommt ohne Auflösung von Singularitäten aus und verwendet indes eine Art von Zariski-Riemann-Räumen, welche als Limes über alle Modelle definiert sind. Obwohl diese keine Schemata mehr sind, verhalten sie sich aus K-theoretischer Sicht in ähnlicher Weise wie es ein reguläres Modell täte; dies folgt aus einem Resultat von Kerz-Strunk. Dieser Vortrag beruht auf meiner Dissertation, die ich unter Anleitung von Moritz Kerz und Georg Tamme angefertigt habe.

Freitag, den 24. Mai 2019 um 13:30 Uhr, in INF 205, SR A Freitag, den 24. Mai 2019 at 13:30, in INF 205, SR A

Der Vortrag folgt der Einladung von The lecture takes place at invitation by Prof.Dr. Alexander Schmidt