Moduli von Vektorbündeln

Spezialvorlesung im Wintersemester 2014/15

Termine

Vorlesung	Montags	11-13 Uhr	HS 3, INF 288
Übungen	nach Bedarf	tba	tba

Vorlesungsthemen

Eine allgemeine und sehr mächtige Methode zum Studium geometrischer Objekte ist es, sie in Familien variieren und entarten zu lassen. Dies führt zur Betrachtung von Modulräumen, deren Punkte die jeweiligen Objekte parametrisieren; solche Modulräume spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der algebraischen Geometrie, Differentialgeometrie und Physik. Nach einer kurzen Einführung in den Begriff eines Modulraumes werden wir in dieser Vorlesung ein prominentes Beispiel aus der algebraischen Geometrie betrachten: Modulräume semistabiler Garben auf projektiven Varietäten. Dabei werden wir zunächst die benötigten Grundlagen der Geometrischen Invariantentheorie entwickeln, das Konzept einer semistabilen Garbe einführen und Beschränktheitsaussagen für Familien solcher Garben diskutieren. Unser Hauptziel wird dann die Konstruktion der Modulräume mit einer eleganten Methode von Carlos Simpson sein, welche sich auch auf Higgs-Bündel und andere Verallgemeinerungen von D-Moduln anwenden lässt. Je nach Zeit und Interessenlage sind dann verschiedene weiterführende Themen denkbar, etwa ein Einblick in die nichtabelsche Hodge-Theorie und Konsequenzen für Fundamentalgruppen komplexer algebraischer Varietäten.

Voraussetzungen

Grundkenntnisse aus der algebraischen Geometrie

Literatur

1. C. Simpson,
   Moduli of representations of the fundamental group
   of a smooth projective variety I,
   Publ. Math. IHÉS 79 (1994) 47-129 [NUMDAM]
2. D. Huybrechts and M. Lehn,
   The geometry of moduli spaces of sheaves (2nd ed.),
   Cambridge University Press (2010) [UB]
3. J. Le Potier,
   Lectures on vector bundles,
   Cambridge Studies in Advanced Mathematics 54 (1997) [CUP]
4. C. S. Seshadri,
   Fibrés vectoriels sur les courbes algébriques,
   Astérisque 96, SMF (1982) [UB]