Algebraische D-Moduln

Spezialvorlesung im Sommersemester 2014

Termine

Vorlesung Montags 14 - 16 Uhr HS 5 / INF 288
Übungen nach Bedarf tba tba

Vorlesungsthemen

Eine wichtige topologische Invariante für das Studium algebraischer Varietäten ist ihre Fundamen­tal­gruppe, deren Darstellungen genau den lokalkonstanten Garben entsprechen. Interessante Beispiele solcher Darstellungen erhält man durch die Monodromieoperation auf lokalen Lösungen linearer partieller DGL mit gewissen Regularitätseigenschaften, und es stellt sich die Frage, ob man jede lokalkonstante Garbe auf einer komplexen Varietät so beschreiben kann. Eine erste Antwort hierauf gibt Delignes Theorie der regulären Zusammenhänge auf algebraischen Vektorbündeln. In Verallgemeinerung hiervon kann die Theorie der D-Moduln als eine algebraische Beschreibung linearer DGL durch Modulgarben unter einem Ring von Differential­operatoren betrachtet werden, ihre Anwendungsgebiete gehen jedoch weit über diesen (historisch motivierten) Ursprung hinaus und reichen von der algebraischen Geometrie, Hodge-Theorie und Topologie komplexer Varietäten bis hin zur Darstellungstheorie halbeinfacher Lie-Algebren.

Wir wollen in dieser Vorlesung die Struktur algebraischer D-Moduln studieren und dabei als einen Höhepunkt die Riemann-Hilbert-Korrespondenz anvisieren, welche eine tiefliegende Verbindung zwischen algebraischer Geometrie, Analysis und Topologie herstellt. Nebenbei werden wir einige wichtige Konstruktionen der homologischen Algebra kennenlernen, die seitdem auch in andere Bereiche der Mathematik Eingang gefunden haben.


Voraussetzungen

Grundlagen über kohärente Garben, etwa aus einer Vorlesung zur algebraischen Geometrie oder zu komplexen Räumen.


Literatur

  • Ryoshi Hotta, Kiyoshi Takiuchi & Toshiyuki Tanisaki, D-modules, perverse sheaves and representation theory, Birkhäuser (2008) [UB]
  • Armand Borel et al., Algebraic D-modules, Academic Press (1987) [UB]
  • Jan-Erik Björk, Analytic D-modules and applications, Kluwer (1993) [UB]
  • Pierre Deligne, Equations différentielles à points singuliers réguliers, Springer Verlag (1970) [UB]