Lehrveranstaltungen Prof. Schmidt: Sommersemester 2014
Kommentiertes
Vorlesungsverzeichnis der Fakultät für Mathematik und
Informatik
Vorlesung:
Algebraische Zahlentheorie II
Zeit/Ort: Mi 11:00-13:00, INF 288 / MathI HS 3; Fr 09:00-11:00, INF 288 / MathI HS 3
Übungen: Mi, 14:00-16:00, INF 288 / MathI
HS 3
Großgebiet: Algebra und Zahlentheorie
Zuordnung: Reine Mathematik
Themenvergabe
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Anmeldung |
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Leistungspunkte |
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Fortsetzung |
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Inhalt:
Inhalt ist die Theorie der Erweiterungen lokaler Körper und
ihres Verzweigungsverhaltens, die Theorie der Klassenformationen
sowie lokale Klassenkörpertheorie.
Literatur:
E. Artin, J. Tate: Class Field Theory
J.W.S. Cassels, A. Fröhlich: Algebraic Number Theory
S. Lang: Algebraic Number Theory
J. Neukirch: Algebraic Number Theory
J. Neukirch: Klassenkörpertheorie
Voraussetzungen: Kenntnisse aus der Vorlesung
Algebraische Zahlentheorie I
Zielgruppe: Studierende der Studiengänge Diplom/BA
Mathematik ab dem 6. Studiensemester/MA Mathematik / Scientific
Computing ab dem 2. Studiensemester
Prüfungsform: Klausur oder mündliche Prüfung
Link zum Moodle: https://elearning2.uni-heidelberg.de/
Link zum Müsli: https://www.mathi.uni-heidelberg.de/muesli/
WICHTIG:
Detaillierte Informationen über die Klausur, Zulassungsregeln,
Anmeldefristen etc. finden Sie auf der elearning-Plattform
Moodle. Wenn Sie
(auch als Wiederholer) an der Prüfung teilnehmen wollen, melden
Sie sich bitte dort im Kurs Algebraische Zahlentheorie II“ an,
um Informationen zu erhalten. Das Kurskennwort erfahren Sie in
der ersten Vorlesung.
Spezialvorlesung:
Einführung in die Theorie der Kreisteilungskörper (Dr.
M. Witte)
Zeit/Ort: Di 14:00-16:00, INF 288 / MathI HS 4
Übung: Übungen zu Einführung in die Theorie der
Kreisteilungskörper Mo 14:00-16:00, INF 288 / MathI HS 3
Großgebiet: Algebra und Zahlentheorie
Zuordnung: Reine Mathematik
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Anmeldung |
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Leistungspunkte |
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Fortsetzung |
Themenvergabe |
Inhalt:
Kreisteilungskörper spielten, insbesondere wegen ihrer Beziehung
zu der Fermat-Vermutung, in der Entwicklung der modernen
algebraischen Zahlentheorie eine tragende Rolle. Es war die
Fermat-Vermutung, die Kummer dazu motivierte, die Arithmetik
dieser Körper einer tiefschürfenden Untersuchung zu unterziehen.
Das Fehlen einer eindeutigen Primfaktorzerlegung in ihren
Ganzheitsringen brachte ihn zur Entwicklung des heute
fundamentalen Konzepts der Idealklassengruppe. Die Ordnung
dieser Gruppe, die Klassenzahl, misst, wie weit der
Ganzheitsrings eines Zahlkörpers von einem faktoriellen Ring
entfernt ist. Eines der erstaunlichsten Ergebnisse der modernen
Zahlentheorie ist die Einsicht, dass sich die Arithmetik der
Kreisteilungskörper durch gewisse komplex-analytische
Funktionen, die Dirichlet'schen L-Funktionen, codieren lässt. So
kann man etwa die Klassenzahl aus der Kenntnis der Werte dieser
L-Funktionen an der Stelle 1 zurückgewinnen. Aber auch die Werte
an negativen ganzzahligen Stellen enthalten wichtige
arithmetische Informationen. Diese Werte sind stets algebraische
Zahlen, lassen sich also insbesondere als Elemente von
p-adischen Körpern auffassen. Auf diese Weise bestimmen sie
eindeutige p-adische Funktionen, die die arithmetische
Information von der komplex-analytischen Welt in die p-adische
Welt übertragen. In der Tat lassen sich diese p-adischen
L-Funktionen nun nutzen, um tiefliegende Resultate über die
Struktur der Klassengruppe von Kreisteilungskörpern zu
erzielen. Der genaue Zusammenhang tritt jedoch erst
deutlich zutage, wenn man nicht einen einzelnen
Kreisteilungskörper betrachtet, sondern den gesamten Turm der pn-ten
Kreisteilungskörper hinaufsteigt. Diese Erkenntnis des
japanischen Mathematikers Kenkichi Iwasawa war die Geburtsstunde
einer fruchtbaren Theorie, die heute seinen Namen trägt und die
letztendlich auch zu einem wichtigen Baustein für Andrew Wiles
bei dem endgültigen Beweis der Fermat-Vermutung wurde. Der
Anspruch dieser Vorlesung ist es, einige wichtige Etappen dieser
Entwicklung nachzuvollziehen und den Hörer mit den fundamentalen
Ergebnissen aus der Theorie der Kreisteilungskörper vertraut zu
machen.
Literatur:
Washington: Introduction to Cyclotomic Fields
Lang: Cyclotomic Fields I+II
Coates, Sujatha: Cyclotomic Fields and Zeta Values
Voraussetzungen: Algebra I, Algebraische Zahlentheorie
Zielgruppe: Studenten der Mathematik (Bachelor/Master)
Prüfungsform: mündliche Prüfung
Hauptseminar: Arithmetische
Homotopietheorie
Zeit/Ort: Do 09:00-11:00, INF 288, MathI HS 2
"Perfectoid spaces" ProgrammBachelor-Seminar
Zeit/Ort: Do
14:00-16:00, INF 288, MathI HS 5
Zeit/Ort: Do 17:00-19:00, INF 288 / MathI HS 2
Vortragsankündigungen auf der Homepage des MI