Mathematik und Kultur 12. März 2009 __________________________________________________________________

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Die fünf Platonischen Körper zeichnen sich durch besondere Regelmäßigkeit aus. Die Seitenflächen eines solchen Körpers sind regelmäßige Polygone derselben Art und Größe: Gleichseitige Dreiecke sind es beim Tetraeder, Oktoaeder und Ikosaeder; Quadrate beim Würfel und Fünfecke beim Dodekaeder.

Der Name eines Platonischen Körpers richtet sich nach der Anzahl seiner Seitenflächen:

Verbindet man die Mittelpunkte der Würfelseiten miteinander, so entsteht ein dem Würfel einbeschriebenes Oktaeder. Umgekehrt: Verbindet man die Mittelpunkte der Oktaderseiten miteinander, so entsteht ein einbeschriebener Würfel. Deshalb nennt man Würfel und Oktaeder dual zueiander. Entsprechend sind Dodekaeder und Ikosaeder zueinander dual. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual.

Der Name dieser Körper bezieht sich auf Platon (ca.450 v.Chr.), Philosoph und Mathematiker aus Athen, sie waren jedoch schon vorher bekannt. Platon hat sie in einem Werk ausführlich beschrieben und sie den Elementen Feuer, Wasser, Luft, Erde zugeordnet. Da es jedoch 5 Körper sind aber nur 4 Elemente zur Verfügung standen, so wurde der fünfte Körper (das Dodekaeder) dem ganzen Weltall zugeordnet.

Bei Euklid (ca. 300 v.Chr.) wird bewiesen, dass es nur diese 5 regelmäßigen Körper gibt. Mit anderen Worten: Es gibt keine anderen Körper, deren Seitenflächen regelmäßigen Polygone derselben Art und Größe sind. Möglicherweise war das auch schon vorher bekannt.

Archimedes (ca. 250 v.Chr.) fügte den Platonischen regelmäßigen Körpern noch 13 andere, sogenannte halbregelmäßige Körper hinzu. Die Seitenflächen dieser Körper sind wiederum regelmäßige Polygone, aber sie sind nicht alle von derselben Art. Auf dem Blatt 3 sind fünf dieser archimedischen Körper abgebildet.

Einer davon, das „abgestumpfte Ikosaeder“, trägt das Muster eines Fußballs. Es besteht aus 12 regelmäßigen Fünfecken und 20 regelmäßigen Sechsecken; es besitzt 90 Kanten und 60 Ecken.

Abbildungen der Platonischen und der Archimedischen Körper hat Leonardo da Vinci gegeben, als Teil seiner Illustrationen zu einem Buch von Luca Pacioli über den goldenen Schnitt (1509).Es scheint, dass dies die ersten Abbildungen dieser Körper überhaupt waren. Es ist nicht bekannt, ob Leonardo Modelle dieser Körper wirklich gesehen hatte, oder ob er seine Zeichnungen aufgrund theoretischer Beschreibungen angefertigt hat.

Es ist jedoch bekannt, dass in der römischen Zeit z.Bsp. das Dodekaeder als Kunstgegenstand ziemlich verbreitet war. Die Abbildung rechts unten zeigt ein Dodekaeder aus römischer Zeit, das im Jahre 1985 in der Nähe von Genf gefunden wurde. Das Stück ist aus Blei mit versilberten Oberflächen, in welche die Namen der 12 Tierkreiszeichen eingraviert sind.

In der modernen Kunst finden sich Abbildungen der Platonischen und der Archimedischen Körper u.a. bei Escher (1898-1972).

Es gilt der folgende Polyedersatz von Euler (1707-1783):

wobei:

Man kann dies für die Platonischen Köper nachzählen; siehe obige Tabelle. Es ist aber bemerkenswert, dass dieser Satz nicht nur für die Platonischen Köprer gilt, sondern auch für die Archimedischen halbregelmäßigen Polyeder, und ganz allgemein für alle Polyeder im Raum. Zum Beispiel auch für das durch die geodätische Kuppel gebildete Polyeder, das auf Seite 3a gezeigt ist. Solche geodätischen Kuppeln basieren auf einer Weiterentwicklung der regelmäßigen Körper; sie wurden von dem Architekten Buckminster Fuller entwickelt.

Denkt man sich die Verbindungsstäbe dieser Kuppel als Gummibänder, fasst man dann oben in die Kuppel hinein, so kann man sie auseinanderziehen und erhält ein ebenes Netz. Es besteht aus Punkten und Verbindingslinien dieser Punkte. Solche Netze werden auch Graphen genannt. Der Mathematiker Euler gilt als der Begründer der sogenannten Graphentheorie.

Jedes Verkehrssystem kann als ein Graph gezeichnet werden, mit Haltepunkten und Verbindungslinien. Die Graphentheorie liefert u.a. Programme, mit Hilfe deren man den Verkehr möglichst optimal planen kann. Heute spricht man auch von Logistik.

Zu Blatt 3b:

Die heute so genannten „Fullerene“ sind sphärische Moleküle von Kohlenstoffatomen, die hohe Symmetrieeigenschaften besitzen. Das bekannteste ist C₆₀, das 2 × 60 = 120 Symmetrien besitzt, genau so viel wie das Ikosaeder. Die Anordnung der Atome in diesem Molekül entspricht dem abgestumpften Ikosaeder (Fußball). Im Jahre 1996 erhielten drei Chemiker den Nobelpreis für Chemie für die Entdeckung dieser Moleküle. Es gibt mannigfache Anwendungen, z.Bsp. künstliche Diamanten für die Industrie, Herstellung von Katalysatoren. Auch: Anti-Aging Creme!

Der Name „Fullerene“ wurde gewählt zu Ehren von Buckminster Fuller, dessen Globe-Strukturen (siehe Blatt 3a) ebenfalls auf den Symmetrieeigenschaften des Ikosaeders aufbauen.