Announcement: We are offering student research projects for Winter semester 2024/25 on topics related to Coxeter groups and buildings, see Projects 6 - 8 on this page. The application deadline is June 16.
Wöchentlicher Zeitplan
Vorlesung: Donnerstags 11:00 - 12:30 SR 4, Freitags 9:15 - 10:45 SR 3 Übungsklasse: Montags 11:15 - 12:45 SR 3
Einige Vorlesungen werden aus der Ferne über Zoom gehalten und in SR 3 projiziert.
Teilnehmer, die nicht kommen möchten, können den Vortrag streamen. Direkter Link hier. Meeting-ID: 647 7558 7269 Kenncode: Coxeter
Jede Woche wird am Freitag ein Übungsblatt veröffentlicht, das am
darauf folgenden Freitag abzugeben ist und zwei Wochen später im
Tutorium besprochen wird. In der ersten Woche findet kein Tutorium
statt, und in der zweiten Woche wird an Präsenzübungen gearbeitet.
Bewertung
Die Bewertung erfolgt durch eine mündliche Prüfung am Ende des Semesters.
Die Teilnahme an den Vorlesungen und Übungsklassen sowie die Abgabe
der Hausaufgaben ist freiwillig. Die Teilnehmer werden jedoch ermutigt,
an den Übungsblättern zu arbeiten, ihre Arbeit einzeln oder in Gruppen
einzureichen, und ihre Lösungen in den Übungsklassen zu präsentieren.
Die Hausaufgaben können per E-Mail an jquintanilha "at"
mathi.uni-heidelberg.de, oder über meinen Briefkasten im 3. Stock
abgegeben werden.
Programm
Benötigte Vorkenntnisse: Lineare Algebra und grundlegende Gruppentheorie. Übungsblatt 0 (Präsenzübungen)
Themenblock 1: Coxetergruppen
Coxetergruppen, ihre kombinatorischen Eigenschaften und geometrische Realisierungen
Woche 01 (18/19 April): Erste Beispiele und eine Einführung
Inhalt: Fano Ebene, Beispiele und eine formale Definition; Wiederholen: Darstellung einer Gruppe über Quotienten von freien Gruppen, semidirekte Produkte Material: [GM] Chapter 7, [L] Kapitel 2.2 jeweils für Gruppenpräsentierungen mittels
Erzeugern und Relationen Lernziele:
Was ist eine Gruppenpräsentierung mittels Erzeuger und Relationen?
Wie sind Coxetergruppen definiert?
Welche Beispiele für Coxetergruppen haben Sie gesehen?
Woche 02 (24/25 April): Kombinatorik von Coxetergruppen
[über Zoom, Donnerstags im SR 1]
Inhalt: Wortlänge und Wortmetrik, Eigenschaften davon; Spiegelsysteme, Deletion und
Exchange condition, Cayleygraphen Material: [T] Kapitel 2.1 bis 2.4,
[D] Beweis Theorem 3.4.2 (Thm 2.22 in [T])
oder [BB] Sec 1 Lernziele:
Was ist ein Cayley graph? Kennen Sie Beispiele?
Was sind Spiegelsysteme für Coxetergruppen? Kennen Sie (Nicht-)Beispiele?
Was ist die deletion condition?
Was ist die exchange condition?
Woche 03 (2/3 Mai): Kombinatorik von Coxetergruppen/Tits Darstellung
Inhalt: Beweis der Charakterisierung von Coxetergruppen mittels deletion und exchange
condition Material: [T] Kapitel 2, gegebenenfalls die Literaturhinweise in diesem Kapitel Lernziele:
Wie werden Coxetergruppen durch die deletion und exchange condition charakterisiert?
Wie beweist man das?
Was ist das Wortproblem?
Was hat das Wortproblem mit der Charakterisierung über die deletion condition zu tun?
Inhalt: Tits Darstellung einer Coxetergruppe; Treuheit der Darstellung, Konsequenzen davon Material:
[T] Kapitel 3, gegebenenfalls die Literaturhinweise in diesem Kapitel;
[H] Beweis Satz 5.5 Lernziele:
Was ist die Tits'sche Darstellung einer Coxetergruppe?
Welche Eigenschaften und geometrische Interpretation hat sie?
Was ist eine treue Darstellung?
Wie zeigt man, dass die Tits'sche Darstellung treu ist?
Was hat das für Folgen für die Gruppe?
Notizen: VL07 (Live-Notizen: VL07) Übungsblatt 4 - bis zum 17. Mai vormittags einzureichen.
Woche 05 (16/17 Mai): Treuheit der Tits Darstellung part 2 -- Coxeter Komplexe
Inhalt: Treuheit der Tits Darstellung. Konsequenzen davon. Geometrische Interpretation der
Tits Darstellung. Klassifikation der endlichen und affinen Coxetergruppen, Beispiele in
Dimension 2. Lernziele:
Was bedeutet es für die Tits Darstellung treu zu sein?
Was hat das für Konsequenzen?
Was ist eine geometrische Darstellung?
Inhalt: Definition parabolische und special Untergruppen. Definition und Konstruktion
Coxeterkomplex, kurze Wdh Simplizialkomplexe, Beispiele. Lernziele:
Was ist eine special subgroup und ein special coset?
Was ist der Coxeter Komplex?
Warum ist der Coxeter Komplex ein Simplizialkomplex?
Welche (lokalen) Eigenschaften hat er?
Wie lassen sich Coxeterkomplexe noch charakterisieren?
Inhalt: Definition Bruhat Ordnung. Charakterisierung über Unterausdrücke. Geometrische
Interpretation über gefaltete Galerien. Material: [H] Section 9 Lernziele:
Was ist Bruhat Ordnung?
Wie kann man sie über Unterausdrücke charakterisieren?
Wie ist der Zusammenhang mit Galerien im Coxeterkomplex?
Woche 08 (6/7 Juni): Weak order and the word problem
Inhalt: The weak order, the lattice property, word problem and word property Material: [BB] Chapter 3.1 - 3.3 Lernziele:
Was ist die schwache Ordnung?
Welche Eigenschaften hat sie?
Was ist ein Gitter (=lattice) und warum liefert die schwache Ordnung solche?
Was ist das Wort-Problem einer Gruppe?
Ist das Wort-Problem für Coxetergruppen lösbar?
Was ist die Wort-Eigenschaft einer Coxetergruppe?
Themenblock 2: Gebäudetheorie
Woche 09 (13/14 Juni): Axiomatische Definition von Gebäuden
[über Zoom]
Inhalt: Axiomatischer Zugang zu Gebäuden, Konstruktion SL2-Baum und Fano-Ebene Lernziele:
Was ist ein (simpliziales) Gebäude?
Wie wird der SL_2 Baum konstruiert?
Was sind Gitterklassen und wie wird Nachbarschaft definiert?
Woher weiß man wie der Baum verzweigt?
Was ist die Fano Ebene und der Heawood Graph? Wie hängen die beiden zusammen?
Warum liefert die Fano Ebene ein Gebäude?
Woche 10 (20/21 Juni): Beispiele und etwas Strukturtheorie
Inhalt: Sphärisches GL_3 Gebäude Retraktionen, Homotopietyp eines Gebäudes Material: [T] Kapitel 6, [B] Kapitel IV 1-3,5,6 Lernziele:
Kennen Sie Beispiele?
Was sind Retraktionen?
Wie ist das sphärische Gebäude zu GL_3(q) definiert?
Woche 11 (27/28 Juni): Gebäude als Kammernsysteme
Inhalt: Kammernsysteme, W-wertige Abstandsfunktionen, Galerien, Gebäude als
Kammernsysteme, Äquivalenz der Definitionen, nochmal Retraktionen Material: [T] Kapitel 7.1 bis 7.4 , Kapitel 8; sowie [R] Chapter 1 und 3 Lernziele:
Was ist ein Kammernsystem? Kennen Sie ein Beispiel, das kein Gebäude ist?
Was sind Galerien und W-wertige Abstandsfunktionen?
Wie charakterisiert man ein Gebäude als Kammernsystem?
Woche 12 (4/5 Juli): BN-Paare
Inhalt: Definition BN-Paare, Bruhat-Zerlegung, Gebäude zu einem BN-Paar, Wirkung auf dem
Gebäude und Eigenschaften, parabolische Untergruppen Material: [T] Chapter 9.1 bis 9.4 + eventuell weiterführende Literaturhinweise in diesem Kapitel,
[B] Chapter V, Section 1,2 Lernziele:
Was ist ein BN-Paar? Können Sie ein Beispiel nennen?
Wie konstruiert man aus einem BN-Paar ein Gebäude?
Was ist die Bruhat-Zerlegung und was bedeutet sie geometrisch für das Gebäude?
Was ist der Zusammenhang zu Retraktionen?
Was sind parabolische Untergruppen und warum sind diese interessant?
Woche 13 (11/12 Juli): Sphärische und affine BN-Paare
[über Zoom]
Inhalt: Explizite Konstruktionen, affine und sphärische BN-Paare, Körper mit Bewertung, p-
adische Zahlen Material: [T] Chapter 9.5, [B] Chapter V Sec 3, 5, 8
eventuell [R] Chapter 8 Lernziele:
Wie unterscheiden sich sphärische und affine BN-Paare?
Wie konstruiert man ein sphärisches Gebäude aus einem BN-Paar (in konkereten Beispielen)?
Wie konstruiert man ein affines Gebäude zu einer Gruppe über einem Körper mit Bewertung?
Was ist der Zusammenhang zwischen affinen und sphärischen Gebäuden?
Woche 14 (18/19 Juli)
Literatur
[B] Kenneth Brown: Buildings
[BB] Anders Björner, Francesco Brenti: Combinatorics of Coxeter groups
[D] Mike Davis: The geometry and Topology of Coxeter groups
[GM] Israel Grossmann, Wilhelm Magnus: Groups and their graphs
[H] James Humphreys: Reflection groups and Coxeter groups
[L] Clara Löh: Geometric Group Theory
[R] Marc Ronan: Lectures on buildings
[T] Anne Thomas: Geometric and topological aspects of Coxeter groups and buildings