1. Wichtige Begriffe aus der Theorie der Fundamentalgruppe und der Überlagerungen.
2. Motivation: Abstand zwischen Punkten und Länge von Kurven im euklidischen Raum.
3. Pseudoriemannsche Mannigfaltigkeiten. Der Gradient einer Funktion.
4. Abbildungen zwischen PR-Mannigfaltigkeiten.
5. Die Levi-Civita kovariante Ableitung und Geodätischen.
6. Die Exponentialabbildung und das Lemma von Gauß.
7. Vollständige Mannigfaltigkeiten und der Satz von Hopf-Rinow.
8. Orientierbare Mannigfaltigkeiten und das Riemannsche Volumen.
9. Mannigfaltigkeiten mit Rand und der Satz von Stokes.
10. Der Krümmungstensor und die Schnittkrümmung. Krümmung von isometrischen Immersionen und die zweite Fundamentalform.
11. Ricci- und Skalarkrümmung. Lokale Entwicklung der Metrik.
12. Krümmung von Flächen und Topologie: der Satz von Gauß-Bonnet.
13. Jacobi Felder und konjugierte Punkte.
14. Der Satz von Cartan-Hadamard und Cartan über Räume nicht positiver Krümmung.
15. Cartan-Hadamard Mannigfaltigkeiten
16. Geodätische als kritische Punkte der Länge. Erste und zweite Variation der Länge.
17. Positive Krümmung: der Satz von Bonnet-Myers.

1. 14.10. - Vorstellung des Moduls: Beziehung zwischen Krümmung (lokal definiert) und globalen topologischen Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten. Abstandsfunktion im euklidischen Raum, Länge von Kurven und Geradenstücke. Verallgemeinerung zu offenen Teilmengen.
2. 16.10. - Länge von Kurven auf Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums. Definition von Riemannscher Metrik auf allgemeinen Mannigfaltigkeiten. Satz: das Infimum der Länge der Kurven zwischen zwei Punkte ist eine Abstandsfunktion, die die Topologie der Mannigfaltigkeit induziert.
3. 17.10. (Übungstunde) - Definition von Fundamentalgruppe. Beispiele. Homotopie.
4. 21.10. - Pseudo-Riemannsche Metriken: lokale Darstellung, flache Beispiele. Gradient einer Funktion. Konform äquivalente PR-Metriken.
5. 23.10. - Existenz von Riemannschen Metriken. Orthogonalität und das Kriterium für nicht ausgeartete Untervektorräume. Hyperflächen in PR-Mannigfaltigkeiten. Beispiele: Hyperbolischer, de-Sitter und anti-de-Sitter Raum.
6. 24.10. (Übungstunde) - Überlagerungen, Decktransformationen, Zusammenhang mit der Fundamentalgruppe, Überlagerungen von Mannigfaltigkeiten.
7. 28.10. - Existenz des Normalenbündels. Pseudoorthogonale Vektorbündels. Beispiel: der Pullback von (TM,g) durch Abbildungen. Das Normalenbündel einer PR-Immersion. Isometrische Einbettungen, (lokale) Isometrien. Erster Satz von Myers-Steenrod. Isometriegruppe: (Rahmen)-homogene Mannigfaltigkeiten.
8. 30.10. - Killing Vektorfelder. Das Rahmenbündel. Eine Isometrie ist bestimmt durch ihre Wirkung auf einer orthonormalen Basis (Beweis später). Zweiter Satz von Myers-Steenrod. Beispiel: pseudoeuklidische Räume und die Niveaumengen ihrer quadratischen Formen sind Rahmen-homogen. Der euklidische Raum, die Sphäre und der hyperbolische Raum sind die einzige einfach zusammenhängende Rahmen homogene R-Mannigfaltigkeiten (Beweis später). Klassifizierung von 1-dimensionalen PR-Mannigfaltigkeiten bis auf (lokalen) Isometrien.
9. 04.11. - Klassifizierung von immersierten Kurven. Parametrisierung nach der Bogenlänge. Verzerrte Produkte und Polarkoordinaten der Riemannschen Modellräumen. PR-Submersionen: horizontale Hochhebungen und Existenz durch eine vertikale, transitive, isometrische Wirkung.
10. 06.11. - Quotienten von Mannigfaltigkeiten durch freie und eigentliche Linkswirkungen: der Fall von diskreten Gruppen. Beispiele: Tori, projektive Räume. PR-Überlagerungen. Hochhebungen von Isometrien und die Deckgruppe.
11. 11.11. - Metrikserhaltende kovariante Ableitungen auf pseudoorthogonalen Vektorbündeln. Lokale Darstellung, globale Existenz, Verhalten unter Pullback. Die Parallelverschiebung ist eine Isometrie. Torsion für kovariante Ableitungen auf dem Tangentialbündel und seinen Pullback-Bündeln.
12. 13.11. - Existenz und Eindeutigkeit der Levi-Civita Ableitung. Levi-Civita Ableitung von isometrischen Immersionen. Beschleunigung von Kurven: Definition und Darstellung in einer Karte. Definition von Geodätischen.
13. 18.11. - Reparametrisierung von Geodätischen. Das geodätische Vektorfeld. Die Exponentialabbildung. Normalumgebungen.
14. 20.11. - Lineare Darstellung von lokalen Isometrien in Normalkoordinaten. Beweis der Injektivität von Iso(M,g) --> O(M,g). Lemma von Gauß.
15. 25.11. - Lemma von Gauß für Modellräume. Minimierende Geodätische in einem geodetischen Ball. Geodätische Bälle und die Abstandsfunktion. Gleichmäßige Normalumgebung. Geodätische einer R-Mannigfaltigkeit sind genau die lokal minimierenden Kurven.
16. 27.11. - Minimierende Kurven mit Anfangspunkt p existieren, falls alle Geodätischen durch p für alle Zeiten definiert sind. Cauchy-Folgen und metrische Vollständigkeit. Der Satz von Hopf-Rinow.
17. 02.12. - Definition des Injektivitätsradius. Vollständigkeit und Abbildungen zwischen R-Mannigfaltigkeiten: isometrische Immersionen und Überlagerungen. Locale Isometrien mit Definitionsbereich einer vollständigen Mannigfaltigkeit sind R-Überlagerungen (mit Abschätzung des Injektivitätsradius).
18. 04.12. - Minimierende Kurven in einer gegebenen Homotopieklasse von Kurven zwischen zwei Punkten. Orientierung auf Vektorbündeln. Volumenformen.
19. 09.12. - Pullback-Orientierung. Orientierung auf direkten Summen. Induzierte Orientierung auf Untermannigfaltigkeiten. Das PR-Volumenelement. Das PR-Volumenelement auf Untermannigfaltigkeiten.
20. 11.12. - Integral von Differentialformen auf orientierten Mannigfaltigkeiten. Das äußere Differential. Mannigfaltigkeiten mit Rand. Der Satz von Stokes.
21. 16.12. - PR-Krümmungstensorfeld. Symmetrien der Krümmung. Algebraische Krümmungstensoren. Algebraische Krümmungstensoren sind durch Auswertung auf Quadrupel (X,Y,Y,X) bestimmt. Schnittkrümmung. Charakterisierung von Mannigfaltigkeiten mit konstanter Krümmung. Die Gauß-Krümmung von Flächen. Krümmung von isometrischen Immersionen. Die zweite Fundamentalform ist symmetrisch und tensoriell.
22. 18.12. - Krümmung von isometrischen Immersionen: die Gauß-Formel. Die Gauß-Formel für lokale Immersionen. Rahmen-homogene Mannigfaltigkeiten besitzen konstante Krümmung. Berechnung der Krümmung von Sphären und hyperbolischen Räumen. Total geodätische isometrische Immersionen. Schnittkrümmung als Gauß-Krümmung einer total geodätischen eingebetteten Fläche. Die Gauß-Formel für Hyperflächen: der Formoperator.
23. 08.01. - Formoperator und Hauptkrümmungen. Beispiel: positiv definierter Formoperator und Lage der Hyperfläche bezüglich des Tangentialraums. Theorema Egregium von Gauß. Ricci und Skalarkrümmung. Lokale Entwicklung der Metrik. Schnittkrümmung und lokale Ausbreitung der Geodätischen durch einen Punkt. Formel für die Gauß-Krümmung auf Riemannschen Flächen als Funktion eines positiven, orthonormalen Rahmens.
24. 13.01. - Der Endomorphismus j. Die geodätische Krümmung und die Winkelfunktion für immersierte Kurven. Orientierte kompakte Fläche mit Rand und Ecken und ihre Zerlegungen.
25. 15.01. - Triangulierungen und die Euler-Charakteristik. Winkeländerung entlang stückweise Immersionen. Der Umlaufsatz von Heinz Hopf über kleine m-Ecke. Satz von Gauß-Bonnet für kleine m-Ecke. Die globale Version des Satzes von Gauß-Bonnet.
26. 20.01. - Familie von Kurven, die zwei Untermannigfaltigkeiten verbinden, und ihre Variationsfelder. Jacobi-Felder und die Jacobi-Gleichung: Existenz und Eindeutigkeit. Jacobi-Felder die in t=0 verschwinden und die Exponentialabbildung.
27. 22.01. - Das Lemma von Cartan und der Satz von Killing-Hopf über Räume konstanter Krümmung. Hauptlemma über Jacobi-Felder für Räume nicht-posiver Krümmung.
28. 27.01. - Der Satz von Cartan-Hadamard. Cartan-Hadamard Mannigfaltigkeiten: Geodätische m-Ecke; Kosinussatz und Summe der inneren Winkel in 3- und 4-Ecken; der Gradient und die Hessesche Form der Abstandsfunktion.
29. 29.01. - Satz von Cartan über Fixpunkte in nicht positiver Krümmung. Fundamentalgruppe einer vollständigen R-Mannigfaltigkeit nicht positiver Krümmung sind torsionfrei. Erste Variation der Länge: kritische Punkte der Länge sind genau die Geodätischen, die senkrecht zu M_0 und M_1 stehen. Zweite Variation der Länge.
30. 03.02. - Räume positiver Ricci-Krümmung: der Satz von Bonnet-Myers (das kommt nicht in der ersten Klausur vor, aber ist relevant für die Nachklausur).
31. 05.02. - Probeklausur.

Jede Studentin und jeder Student wird eine Aufgabe aus der Übungszettel während der Übungsstunde am Donnerstag vorrechnen. Der vorherige Montag sollte er oder sie zu Kevin gehen und ihm die vorgeplante Lösungsidee präsentieren.

• Blatt 1 - Online. Beweisidee.
• Blatt 2 - Online. Beweisidee.
• Blatt 3 - Online. Beweisidee ohne Aufgabe 4.
• Blatt 4 - Online. Beweisidee ohne Aufgabe 3 und 4.
• Blatt 5 - Online. Beweisidee ohne Aufgabe 3 und 4.
• Blatt 6 - Online. Beweisidee ohne Aufgabe 5.
• Blatt 7 - Online. Beweisidee ohne Aufgabe 3 und 4.
• Blatt 8 - Online. Beweisidee ohne Aufgabe 4.
• Blatt 9 - Online. Aufgaben 2,3,4 korrigiert. Beweisidee ohne Aufgabe 4.
• Blatt 10 - Online. Aufgabe 4 korrigiert. Beweisidee.
• Blatt 11 - Online. Aufgabe 4 korrigiert. Beweisidee.
• Blatt 12 - Online. Beweisidee.