Differentialgeometrie I
Modulbeschreibung (pdf)
Literatur
- Johannes Walcher, Skript für Differentialgeometrie I, Uni Heidelberg, Sommersemester 2017.
- Wolfgang Kühnel, Differentialgeometrie, 6. Auflage, Aufbaukurs Mathematik, Springer Spektrum, 2013.
- Werner Ballmann, Einführung in die Geometrie und Topologie, 2. Auflage, Mathematik Kompakt, Birkhäuser, 2018.
- John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Second Ed., GTM 218, Springer, New York, NY, 2013.
- William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Revised Second Ed., Pure and Applied Mathemtics 120, Academic Press, Inc., Orlando, FL, 1986.
- John M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds, Second Ed., GTM 176, Springer, 2018.
Inhalt des Kurses
Skript (Aktualisiert 22.07.2019)
- Wichtige Begriffe aus der Topologie
- Definition von topologischen und glatten Mannigfaltigkeiten.
- Glatte Abbildungen. Der Tangential Raum. Das Differential einer Abbildung.
- Immersionen und Submersionen. Einbettungen und Untermannigfaltigkeiten.
- Vektorbündel und Tensoren.
- Vektorfelder, Flüße und die Lie-Ableitung.
- Zusätzliche Strukture auf Vektorbündeln: Orientierung, Skalarprodukte.
- Zusammenhänge auf Vektorbündeln und Krümmung.
- Skalarprodukte auf Vektorbündeln.
Vorlesungsfortschritt
- 15.04. - Motive aus der Differentialrechnung im euklidischen Raum. Topologische Räume.
- 16.04. (Übungstunde) - Kompakte und Hausdorffsche Räume. Topologie erzeugte von einer Familie von Teilmengen. Basen. Die Gerade mit zwei Ursprüngen.
- 17.04. - Stetige Abbildungen und Homöomorphismen. Disjunkte Vereinigung, Kartesisches Produkt, Initial- und Finaltopologie. Topologische Mannigfaltigkeiten.
- 23.04. (Übungstunde) - Mehr über die Produkttopologie und Kompaktheit. Zusammenhängende Räume.
- 24.04. - Verträgliche Karten. Glatte Atlanten. Differenzierbare Strukturen. Glatte Mannigfaltigkeiten und glatte Funktionen. Beispiele: offene Teilmenge des euklidischen Raums, abstrakte Vektorräume, die n-dimensionale euklidische Sphäre.
- 29.04. - Der n-dimensionale Torus. Offene Teilmengen von glatten Mannigfaltigkeiten und Produkte von Mannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten. Glatte Abbildungen. Diffeomorphismen.
- 06.05. - Eigenschaften von glatten Abbildungen. Glatte Funktionen mit kompaktem Träger.
- 08.05. - Zerlegungen der Eins. Beispiele und allgemeine Existenz.
- 13.05. - Der Tangentialraum und das Differential: geometrische Definition.
- 15.05. - Lineare Struktur auf dem Tangentialraum in p. Übergangsabbidungen liefern Basiswechsel. Linearität des Differentials und seine Darstellung in lokalen Koordinaten. Definition von Immersionen, Submersionen, Einbettungen.
- 20.05. - Tangentialvektoren als Derivationen.
- 22.05. - Lokale Darstellung von Immersionen und Submersionen. Charakteristische Eigenschaft von surjektiven Submersionen und injektiven Immersionen.
- 27.05. - Untermannigfaltigkeiten. Lie-Gruppen und Wirkungen. Beispiel: Orthogonale Gruppen.
- 29.05. - Der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit. Vektorbündel.
- 03.06. - Trivialisierungen und Übergangsfunktionen. Kriterium für Vektorbündel. Rahmen.
- 05.06. - Subbündel und die vertikale Distribution. Pull-Back-Bündel. Algebraische Konstruktionen auf Vektorbündel (Duale, Direkte Summe, Tensorprodukt).
- 12.06. - Multilineare Abbildungen zwischen Vektorbündeln. Der Raum der Schnitten eines Vektorbündels. Charakterisierung der multilinearen Abbildungen zwischen den Räumen von Schnitten von Vektorbündeln.
- 17.06. - Das Zurückziehen von Schnitten. Kontravariante und kovariante Tensoren auf Mannigfaltigkeiten. Das Kotangentialbündel und das Differential von Funktionen.
- 19.06. - Das Pull-Back von kovarianten Tensoren durch glatte Abbildungen. Verwandte kontravariante Tensoren. Existenz von verwandten kontravarianten Tensoren durch Einbettungen. Pull-Back von Kontravarianten Tensoren durch Immersionen.
- 24.06. - Integralkurven von Vektorfelder. Maximale Lösungen. Fluß eines Vektorfeldes (Hilfsatz 8.5 ohne Beweis).
- 26.06. - Äquivalenz zwischen Flüßen und Vektorfeldern. Lie-Ableitung von Tensoren. Lie-Ableitung von Funktionen.
- 01.07. - Lie-Ableitung von Vektorfeldern. Lie-Klammer und Kommutativität von Flüßen.
- 03.07. - Kovariante Ableitungen: Motive und affine Struktur.
- 08.07. - Wirkung von Bündelhomomorphismen auf kovarianten Ableitungen. Kovarianten Ableitungen auf trivialen Bündeln. Kovarianten Ableitungen sind lokale Objekte. Zusammenhangsformen, Cristoffelkoeffizienten und ihre Transformationsregeln.
- 10.07. - Pull-back kovariante Ableitung. Parallele Schnitte und Parallelverschiebung.
- 15.07. - Die Krümmung als Hindernis zur Konstruktion von parallelen Schnitten um einen Punkt. Flaches Vektorbündel um einen Punkt.
- 17.07. - Das äußere Differential von 1-Formen. Die Krümmung in einer Trivialisierung. Kovariante Ableitungen und algebraische Operationen.
- 22.07. - Kovariante Ableitungen auf dem Tangentialbündel: die Torsion. Skalarprodukte auf Vektorbündeln: Definition und Existenz. Riemannsche Metriken und der Isomorphismus zwischen Vektorfelder und 1-Formen.
- 24.07. - Scheinklausur.
Übungsblätter
Abgabe in den Briefkasten 04, 1.OG Mathematikon, INF 205
- Blatt 1 - Abgabe: bis 25.04.2019 um 16 Uhr
- Blatt 2 - Abgabe: bis 02.05.2019 um 16 Uhr
- Blatt 3 - Abgabe: bis 09.05.2019 um 16 Uhr
- Blatt 4 - Abgabe: bis 16.05.2019 um 16 Uhr
- Blatt 5 - Abgabe: bis 23.05.2019 um 16 Uhr
- Blatt 6 - Abgabe: bis 31.05.2019 um 11 Uhr
- Blatt 7 - Abgabe: bis 06.06.2019 um 16 Uhr
- Blatt 8 - Abgabe: bis 13.06.2019 um 16 Uhr
- Blatt 9 - Abgabe: bis 21.06.2019 um 11 Uhr
- Blatt 10 - Abgabe: bis 27.06.2019 um 16 Uhr
- Blatt 11 - Abgabe: bis 04.07.2019 um 16 Uhr
- Blatt 12 - Abgabe: bis 11.07.2019 um 16 Uhr
- Blatt 13 - Abgabe: bis 18.07.2019 um 16 Uhr
Liste der Aufgaben (mit Beweisidee), die als erste Aufgabe in der Klasur erscheinen können.