Bücher zum Thema

1. A. Weil, Number theory. An approach through history. From Hammurapi to Legendre, 1984 (Geschichte)
2. J. Silverman, J. Tate, Rational points on elliptic curves. Undergraduate Texts in Mathematics, 1992, Dm 48 (elementare und gute Einführung)
3. A. van der Poorten, Notes on Fermat's Last Theorem; Wiley 1996, 222 pp. (etwas Hintergrund zu Wiles' Beweis der Fermatschen Vermutung).
4. Yves Hellegouarch, Invitation aux mathematiques de Fermat - Wiles; Paris 1997, 397b pp, FF 285 (elementare Heranfuehrung an Wiles' Beweis der Fermatschen Vermutung).
5. N . Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms. Graduate Texts in Mathematics 97, 1993 (etwas anspruchsvoller)
6. N. Koblitz, Algebraic Aspects of Cryptography, Springer 1998 (enthält eine elementare Einführung in hyperelliptische Kurven und deren kryptographische Anwendung)
7. R. Pinch, Computational Number Theory (Faktorisierungsmethoden (ECM) und Primzahltests)
8. H. McKean, V. Moll, Elliptic Curves. Function Theory, Geometry, Arithmetic (hübsche Darstellung, teilweise ohne Beweise)
9. T. Ono, Variations on a Theme of Euler : Quadratic Forms, Elliptic Curves, and Hopf Maps; 1994 (nett und teuer)
10. D. Husemoeller, Elliptic curves (vergriffen). Graduate Texts in Mathematics 111, 1987 (Standardreferenz)
11. J. Silverman, The arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics 106, 1986 (Standardreferenz)
12. J.W.S. Cassels, Lectures on elliptic curves. London Mathematical Society Student Texts 24, 1991 (etwas eigenwillige Einführung)
13. A. Knapp, Elliptic curves Mathematical Notes 40, Princeton Univ. Press 1992, $ 40 (gute Einführung)
14. G. Cornell (ed.) et al, Modular forms and Fermat's last theorem. Springer 1997 (Wiles' Beweis)
15. J.E. Cremona, Algorithms for Modular Elliptic Curves (Tabellen und viel Hintergrund)
16. A. Robert, Elliptic curves, Lecture Notes in Math. 326, Springer-Verlag 1973 (vergriffen; das Buch ist vieeel besser als es auf den ersten Blick scheinen mag).
17. Elliptic Functions and Elliptic Integrals von Viktor Prasolov und Yuri Solovyev ist eine empfehlenswerte Einführung in elliptische Kurven über den komplexen Zahlen.
18. Fermat's Dream von Kazuya Kato ist ein eben erschienenes Büchlein, das u.A. elliptische Kurven bespricht.
19. Arithmétique des courbes elliptiques et théorie d'Iwasawa von B. Perrin-Riou studiert elliptische Kurven mit CM mittels Iwasawatheorie.

Übersichtsartikel

1. Von J. Silverman gibt es den Artikel "A survey of the arithmetic theory of elliptic curves" im oben erwähnten von Cornell et al. herausgegebenen Boston-Band. Vom selben Autor stammt auch "Recent (and not so recent) developments in the arithmetic theory of elliptic curves" im Nieuw Arch. Wiskd. 7 (1989), 53-70.
2. Henri Cohens Artikel "Elliptic curves", in `From number theory to physics' Springer-Verlag, 212-237 (1992); auch sein Buch `A course in computational algebraic number theory' enthält ein Kapitel über elliptische Kurven.
3. D. Zagiers Artikel `Elliptische Kurven: Fortschritte und Anwendungen' findet man im Jahresbericht der DMV 92 (1990), 58-76.
4. Roel Stroekers Artikel `Aspects of elliptic curves. An introduction' steht im Nieuw Arch. Wiskunde, III. Ser. 26 (1978), 371-412.
5. Von H.G. Zimmer gibt es `Zur Arithmetik der elliptischen Kurven', eine hundertseitige Zusammenfassung der wichtigsten Resultate und Vermutungen, in Ber. Math.-Stat. Sekt. Forschungsges. Joanneum 271, (1986).
6. L. Washingtons Artikel `Number fields and elliptic curves' findet man in Number theory and applications, Banff/Can. 1988, 245-278 (1989).
7. Eher geschichtlich angehaucht ist das Büchlein von Ch. Scriba, `Zur Geschichte der Bestimmung rationaler Punkte auf elliptischen Kurven: Das Problem von Beha-Eddin `Amuli', Ber. Sitz. Joachim Jungius-Ges. Wiss., Hamburg 1(1982/83), 52 S. (1984).
8. Im Büchlein "Lebendige Zahlen" von W. Borho et al. gibt es einen Artikel "Algebraische Kurven und diophantische Gleichungen" von Hanspeter Kraft.
9. Der Artikel über Beppo Levis Beiträge zur Theorie der elliptischen Kurven von N. Schappacher und R. Schoof ist hier als gziptes dvi-file erhältlich.
10. Etwas schwer zu lesen ist das survey "Diophantine equations with special reference to elliptic curves" von J.W.S. Cassels im J. Lond. Math. Soc. 41, 193-291 (1966).
11. Etwas schwer zu finden ist ein Seminarbericht aus dem Jahre 1982, in dem die Artikel "Courbes elliptiques" von R. Lardon, "La theorie de Kummer" von A. Faisant, "Fonctions modulaires et invariant modulaire" von G. Philibert und "Courbes elliptiques et multiplication complexe" von M. Waldschmidt stehen. Lediglich von letzterem Artikel gibt es eine Übersetzung.
12. Schliesslich darf natürlich Tates `The arithmetic of elliptic curves' nicht fehlen, sozusagen die Mutter aller surveys über elliptische Kurven: sie steht in den Invent. Math. 23, 179-206 (1974).

Weblikationen

Eine elementare Einführung findet sich hier. Bjorn Poonen hat eine Einführung in elliptische Kurven für den `math circle' in Berkeley geschrieben. Helene Verrill erklärt das Gruppengesetz auf elliptischen Kurven.

Tabellen elliptischer Kurven findet man bei Cremona, Oisin McGuinness, Tom Womack, Andrej Dujella, sowie bei Hisanori Mishima. Daneben gibt es Daten über ganzzahlige Punkte auf Mordellkurven y² = x³ - k. Ein online skript von Koblitz findet sich hier.

Skripten zum Thema

1. Die legendären Artikel von Charlap und Robbins, bzw. Charlap und Coley stehen hier. Darin findet man eine ordentliche Diskussion von Sachen wie der Assoziativität des Gruppengesetzes (via Divisoren), der Hasseschranke, oder der Weilpaarung auf einem minimalen technischen Niveau. Kult!
2. Eine sehr ausf\"uhrliche Einf\"uhrung liegt auf dem server der Uni Dublin.
3. Eine Eunführung in die Welt der elliptischen Kurven über p-adischen Zahlen von C. Goldstein.
4. Vorlesungen über elliptische Kurven I, II und algebraische Kurven von Michael Stoll.
5. W. Rupperts Vorlesung Diophantische Approximationen und Diophantische Gleichungen enthält einiges über elliptische Kurven; auf der gleichen Seite gibt es auch weitere einführende Vorlesungen aus dem Dunstkreis der arithmetischen algebraischen Geometrie.
6. Milnes Lecture Notes über elliptische Kurven (engl.) sind exzellent, aber auch hier werden viele Beweise durch Referenzen erledigt.
7. Eben entdeckt habe ich die "Lectures on modular forms" von Igor Dolgachev, die bis zur Taniyama-Shimura-Vermutung vordringen.
8. Connells Handbook elliptischer Kurven (engl.) ist vollständig, was Beweise angeht, aber unvollendet.
9. Miles Reid has given a course on elliptic curves and weblished a detailed outline.
10. Hege Frium studiert elliptische Kurven in Hesse Form (2001)
11. John Cremona gives infos on his lectures on Rational points on curves.
12. Lecture Notes by William Stein (Serre conjectures etc.)
13. Von Brian Osserman gibt es lecture notes über Kolyvagin's Application of Euler Systems to Elliptic Curves; von einem Seminar zu einem verwandten Thema gibt es Skripte von Tom Weston
14. Von Alice Silverberg gibt es Lecture Notes on Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry.
15. Loic Merel hat Arbeiten über die Arithmetik elliptischer Kurven und über Torsionspunkte auf E(K); sh. auch J. Theor. Nombres Bordeaux 11 (1999).
16. Ralph Greenberg hat auf seiner Seite diverse surveys über Iwasawatheorie elliptischer Kurven.
17. Matt DeLong hat eine Doktorarbeit über den Zusammenhang zwischen Selmergruppen elliptischer Kurven mit rationaler 3-Isogenie und 3-Klassengruppen quadratischer Zahlkörper geschrieben.
18. Susanne Schmitt hat sich mit der Mordell-Weil Gruppe elliptischer Kurven über quadratischen Zahlkörpern beschäftigt.
19. Garikai Campbell hat eine Doktorarbeit über elliptische Kurven mit grossem Rang und nicht-trivialer Torsion geschrieben.
20. Joyes elementare Einführung (frz.)
21. Der Zusammenhang zwischen elliptischen Kurven und kongruenten Zahlen wird von Ed Eikenberg erklärt.
22. Stevenhagens Einführung (engl.), sowie ein Seminar von Bart de Smit.
23. Skripte der "Arizona Winter School 1999" von Cremona, Mazur, Rubin, Stein und anderen findet man hier.
24. Von Klaus Rolshausen findet man hier eine Dissertation über Eléments explicites dans K₂ d'une courbe elliptique.
25. Eine Vorlesung von Nils-Peter Skoruppa über Höhen
26. Bei Matthias Rauer findet man slides eines Vortrags, sowie eine Möglichkeit, per Mausklick Punkte auf elliptischen Punkten zu addieren.
27. Jürgen Gerhard hat seine Studienarbeit im Fach Informatik über Theorie und Anwendungen elliptischer Kurven als ps-file zur Verfügung gestellt. ghostview kann nur bis Seite 6 lesen, aber das Ausdrucken klappt.
28. Jochen Stein hat eine Diplomarbeit über Nullstellen von L-Funktionen gewisser elliptischer Kurven geschrieben.
29. Vorlesungen in griechisch hat < a href = "http://www.math.uoc.gr/dept/lecture-notes.html">Jannis Antoniadis ins web gestellt. Siehe auch hier.
30. Ed Schaefer hat einige seiner Vorträge aufgeschrieben; im wesentlichen geht es um die Berechnung der Mordell-Weil Gruppe von Jacobischen -- als Einführung sind die Vorträge hervorragend geeignet!
31. Elliptic curves over finite fields von Eric von York
32. Michael Adam beschaeftigt sich in seiner Diplomarbeit mit einer Herleitung der Struktur der n-Torsionspunkte elliptischer Kurven mittels "elementarer algebraischer Geometrie" (Prof. Harder ist nicht der einzige, der sich das vielleicht noch elementarer gewünscht hä:tte); immerhin ist das vielleicht ein willkommener, die weblizierten Vorlesungen über algebraische Geometrie (Chambert-Loir, Franke, Harder, Ruppert) einer näheren Durchsicht zu unterziehen.
33. Moduli Schemes of Elliptic Curves ist eine masters thesis von Kai-Wen Lan
34. Ebenfalls um Torsionspunkte geht es in der masters thesis "The Field of N-torsion Points of an Elliptic Curve over a Finite Field von Adam van Tuyl
35. Matt Baker befasst sich in seiner Dissertation mit Torsionspunkten auf modularen Kurven; die Arbeit nebst einigen anderen verwandten findet man hier.
36. Ein workshop über elliptische Kurven vom schematheoretischen Standpunkt aus findet sich auf der Seite von Berndt Schwerdtfeger
37. Einige Arbeiten über elliptische und hyperelliptische Kurven von Annegret Weng
38. Papers from an NAS Colloquium on Elliptic Curves and Modular Forms
39. Die Rationalität der Zetafunktion glatter projektiver Varietäten nach Dwork von Charles-Antoine Louet und Oliver Wittenberg.
40. Um Anwendungen der abc-Vermutung u.a. auf elliptische Kurven geht es bei Stéphane Fischler
41. Weitere interessante Diplom- und Doktorarbeiten bekommt man auf Anfrage von folgenden Leuten: Christian Wittmann gibt einen Überblick über die elementaren Eigenschaften elliptischer Kurven, soweit sie für Anwendungen auf Primzahltests gebraucht werden, und Heuisu Ryu beschäftigt sich in seiner Dissertation mit der Konstruktion nichttrivialer Tate-Shafarevich-Gruppen durch Heegnerpunkte.
42. Die Doktorarbeit von D. Ulmer über The arithmetic of universal elliptic modular curves geht ebenfalls in die vollen.
43. Auf der folgenden Seite finden sich einige hübsche Artikel; insbesondere eine Arbeit ü:ber Familien von Modulformen. Man beachte, dass alle Dateien gzipt vorliegen, auch wenn das nicht gesagt wird.
44. In Eric's treasure trove liegt eine elementare Einführung mit links auf viele Literaturhinweise; seit der Publikation seines Archivs kommt man aber nicht immer an alles via www heran.
45. Dave Rusin's Seite enthält ebenfalls einige lesenswerte Sachen.
46. FLT bietet einen hübschen Überblick und skizziert die Grundlagen für den Beweis von Wiles.
47. Hier ist ein kleines Manuskript von Jeff Gilles über p-adische Zahlen. Das habe ich von der Seite surveys geklaut, wo sich auch weitere lesenswerte Artikel zum Thema Primzahltests und elliptische Kurven finden.
48. Jeff Achter hat eine undergraduate thesis "On computing the rank of elliptic curves" geschrieben und webliziert.
49. Von H.G. Zimmer gibt es einen Artikel, der hier einfach paper2.dvi heisst. Dieser ist eben in den Eger Proceedings erschienen und behandelt "Basic Algorithms of Elliptic Curves".
50. An der Uni Bremen gibt's Diplomarbeiten über "Eine Gleichung für die Modulkurve X₀(15)" von Franziska Hennig und "Additionsformeln für Jacobi-Varietäten hyperelliptischer Kurven via Theta-Relationen" von Sönke Maseberg.
51. Catherine O'Neil untersucht die Jacobische von Kurven mit Geschlecht 1, sowie expliziten 3-Abstieg.
52. Für historisch Interessierte sei auf die Jacobi-Seite von Eric Conrad verwiesen: insbesondere findet man dort Übersetzungen einiger Artikel Jacobis ins Englische.
53. Man kann bekanntlich Gleichungen 5. Grades mit elliptischen Funktionen lösen; der Artikel (frz) von Gael Benabou und Eric Colin de Verdière zeigt wie.

Artikel

1. John Cremona interessiert sich in erster Linie für die Berechnung des Rangs elliptischer Kurven.
2. François Morain beschäftigt sich vor allem mit Primalitätstests, diskreten Logarithmen, und dem Zählen von Punkten auf elliptischen Kurven.
3. Reynald Lercier zählt ebenfalls Punkte.
4. Philippe Michel beschäftigt sich mit der analytischen Theorie elliptischer Kurven (Sato-Tate, L-Reihen, Siebmethoden).
5. Franck Leprévost befasst sich mit Kurven höheren Geschlechts.
6. Andrej Dujella untersucht vor allem diophantische m-tupel.
7. F. Pellarin untersucht Isogenien zwischen elliptischen Kurven.

Einführungen in die algebraische Geometrie

1. Eine Einführung in die algebraische Geometrie und die kommutative Algebra, die diesen Namen auch verdient, findet man (in Frz.) bei Antoine Chambert-Loir, oder, noch kürzer, bei David `GroTeXdieck Madore, der auch viele weitere lesenswerte Artikel zur Verfügung gestellt hat.
2. Ein Kurs in algebraischer Geometrie von Alexei Gorodentsev.
3. Anspruchsvollere Einführungen in die algebraische Geometrie und die kommutative Algebra stammen von Prof. Franke (Komm.alg.dvi) und Prof. Harder (AlGeo.dvi bzw. AlGeo.ps).
4. Introduction to Algebraic Geometry bu Ravi Vakil and by Igor Dolgachev
5. Introduction à la géométrie algébrique von Oliver Debarre.

Elliptische Kurven in der Kryptographie

1. Safuat Hamdy hat eine Diplomarbeit über elliptische Kurven und ihre Anwendungen in der Kryptographie geschrieben. Eine Überarbeitung davon findet sich hier.
2. For a list of articles on ECM factoring methods, see ECMNET
3. Faktorisierung von N = pq² mit elliptischen Kurven von Peter Ebinger und Edlyn Teske
4. Rainer Wilmink hat eine Examensarbeit über Elliptic Curve Cryptosystems verfasst.
5. Auf der page von Artur Merke steht eine Ausarbeitung eines Seminarvortrags über Elliptische Kurven in der Kryptographie.
6. Von J. Borst (Eindhoven 1997) gibt es eine master's thesis über "Public Key Cryptography using Elliptic Curves".
7. Niels Frimodt Sørensen, Aarhus 1999, hat eine Masters thesis namens "Construction of Elliptic Curves Suitable for Cryptosystems by Reduction" geschrieben.
8. Eine Sammlung von Artikeln von Sohn Gyo Yong
9. Matthias Bauer hat eine Diplomarbeit ueber elliptische Kurven und Kryptographie.
10. Weitere Diplomarbeiten in diesem Zusammenhang findet man auf der Seite der Arbeitsgruppe Buchmann, außerdem auf dieser Seite insbesondere eine master thesis über den "diskreten Logarithmus auf gewöhnlichen elliptischen Kurven mit einem Endomorphismenring kleiner Klassenzahl" von Annegret Weng.
11. Die Studienarbeit von Jürgen Gerhard hatte "Elliptische Kurven - Theorie und Anwendungen" zum Thema. (Das ps-file scheint korrupt zu sein)
12. Von Florian Scheuer existert eine Seminararbeit Elliptische Kurven in der Public Key Verschlüsselung als pdf-file.
13. Elliptische Kurven und Kryptographie von Mario Taschwer
14. Rolf Berndt hat einen Vortrag über "Mathematik und Geheimnisse" geha-te-em-elt.
15. Um hyperelliptische Kurven in der Kryptographie geht es auf dieser Seite von Pierrick Gaudry.
16. Thomas Laubrock hat seine Diplomarbeit Krypto-Verfahren basierend auf elliptischen Kurven als html-tutorial mit Java-Applets zur Verfügung gestellt.
17. Kryptographische Algorithmen" erklärt die Arbeitsgruppe 2 "Sicherheitsarchitektur".
18. Su puedes leer Espanol, dann gibt's "TECNICAS Y ALGORITMOS DE ENCRIPTACION DE DATOS" von Marco Antonio Alvarado Juárez

Diplomarbeiten in Bonn

1. D. Baeumer, Ch. Schettling, Bestimmung gewisser L-Reihenwerte mit Hilfe eines Satzes von Waldspurger, Bonn 1993;
2. Ch. Barheine, Die Heckeoperatoren der Achterknotengruppe und eine elliptische Kurve über $\Q(\sqrt{-3})$, Bonn 1993
3. D. Becker, Ein Algorithmus zur Weierstrass-Gleichung, Bonn 1998
4. M. Fontaine, Eine algebraische Konstruktion elliptischer Einheiten, Bonn 1988
5. P. Friessem, Projektive ebene Kurven, Bonn 1975
6. F. Gillar, Über den Rang von elliptischen Kurven, Bonn 1989
7. Ch. Häsemeyer, Einige Fragen aus der Theorie der elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation, Bonn 1998
8. Ch. Heinen, Eine Konstruktion des feinen Modulschemas für elliptische Kurven mit voller n-Struktur, Bonn 1986
9. R. Henseler, Untersuchung der elliptischen Kurve y² = x³ - Dx auf ihren Führer und Berechnung der zugehörigen Wurzelzahl, Bonn 1985
10. G. Kings, Über Bedingungen für Punkte unendlicher Ordnung über Q auf den Kurven E: y² = x³ - l²x, Bonn 1988
11. H. Kischel, Ein Algorithmus zur Bestimmung von Torsionspunkten auf elliptischen Kurven über quadratischen Zahlkörpern, Bonn 1988
12. H. König, Selmergruppen und globale Einheiten: zur Arithmetik elliptischer Kurven, Bonn 1987
13. H. Luschberger, Torsion elliptischer Kurven, Bonn 1974
14. G. Neus, Über den von den Punkten n-ter Ordnung einer elliptischen Kurve mit komplexer Multiplikation erzeugten Körper, Bonn 1974
15. K.-H. Schütz, Über die Gruppenstruktur auf projektiven ebenen Kubiken, Bonn 1975
16. M. Weiand, Heegnerpunkte unendlicher Ordnung, Bonn 1986

Anwendungen

1. einem tutorial für elliptische Kurven von certicom,
2. einem ebensolchen von cryptomathic

Bekanntlich haben elliptische Kurven auch zur Lösung des Gaußschen Klassenzahlproblems beigetragen. Eine Bestimmung aller komplexquadratischer Zahlkörper mit Klassenzahl bis 100 hat Mark Watkins vorgenommen.