Modulformen und L-Funktionen

Termin: Mittwoch, 14:00 s.t. HS 5.

Beginn: 18.04.07

Motivation:(aus algebraischer Geometrie) Sei E eine elliptische Kurve, die über Q definiert ist. Der Satz von Mordell und Weil behaupt, dass die abelsche Gruppe E(Q) der rationalen Punkte von E eine endlich erzeugte Gruppe ist. Nach der Vermutung von Birsch und Swinnerton-Dyer gibt es eine starke Beziehung zwischen E(Q) und einem analytischen Objekt von E, der so gennanten L Funktion von E, die hier mit L(E,s) bezeichnet wird. Nach ihrer Definition ist diese Funktion eine analytische Funktion in der Halbebene Re(s) > 3/2. Obwohl diese L-Funktion in dem Rahmen der algebraischen Geometrie definiert ist, kann man (bis heute) in diesem Rahmen ihre vermutlichen Eigenschaften (analytische Fortsetzung und Funktionalgleichung) nicht beweisen. Es war Shimura, Taniyama und Weil, die eine Beziehung zwischen elliptischen Kurven und Modulformen vermutet haben, die die vermutliche Eigenschaften impliziert.

Grob gesagt behaupt die Shimura-Taniyama-Weil Vermutung für elliptische Kurven über Q, die von Andrew Wiles bewiesen wurde, dass man zu jeder elliptischen Kurve E über Q eine elliptische Modulform (Spitzform) f zuordnen kann, so dass L(E,s)=L(f,s) (für Re(s)>3/2) gilt. Hier bezeichnen wir mit L(f,s) die so gennante L-Function von f. In dem Rahmen der Modulformen kann man beweisen, dass L(f,s) eine analytische Fortsetzung auf C und eine Funktionalgleichung besitzt und auf diese Weise bekommt man die analytische Fortsetzung und Funktionalgleichung von L(E,s). Diese Beziehung zwischen elliptischen Kurven und elliptischen Modulformen durch ihre L-Funktionen ist ein Teil einer allgemeinen Vermutung, die als das Langlands Program bekannt ist.

Das Ziel dieses Kurses besteht darin, den Raum den elliptische Modulformen zu studieren und seine Struktur durch die Theorie von Atkin und Lehner (Multiplicity one Theorem) zu verstehen. In diesem Zusammenhang spielt die so gennante Hecke Algebra eine entscheidende Rolle, wie auch die L-Funktionen der Modulformen, die durch den Satz von Weil (Convers Theorem) zu sehen ist. Wenn die Zeit reicht, werden wir auch sehen, wie man den Begriff von elliptsichen Modulformen zum Begriff der automorphische Formen von GL(2) erweitern kann und auf diese Weise eine Verbindung zu der Darstellung Theorie der Gruppe GL(2) über die Adele von $Q$ gewinnen kann.

Inhalt:  
Literatur:
  1. D.Bump, ''Automorphic forms and representations'', Cambridge Studies in Adv. Math 55, Cambridge 1998
  2. E.Freitag, R.Busam, ''Funktionentheorie'', Springer-Lehrbuch 1993
  3. S.Gelbart ''Automorphic forms on adele groups'', Annals of Math.Studies 83, Princeton 1975
  4. H.Hida, ''Elementary theory of L-functions and Eisenstein series'' LMS Student Texts 26, CUP 1993
  5. T.Miyake, ''Modular Forms'' Springer-Verlag 1989
  6. G.Shimura, ''Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions'', PUP 1971
 
Voraussetzungen: Grundkenntnisse in Algebra und Analysis
Zielgruppe: Studierende der Mathematic höherer Semester