Rationale Punkte auf elliptischen Kurven

von Prof. Dr. O. Venjakob, Dr. Th. Bouganis, WS 07.

Termin: Donnerstag, 14:00 s.t. HS 2.


Anmeldung: Bitte per e-mail bei Thanasis Bouganis bouganis@mathi.uni-heidelberg.de


Beginn: 18.10.07

Vorbesprechung: 11.10.07, Ort: INF288 in HS5, Zeit: 14:00 s.t

Beschreibund des Seminars in .pdf.


Inhalt:Elliptische Kurven bilden eine Klasse von Kurven, die eine zentrale Rolle in verschiedenen Gebieten der Mathematik spielen. In der Funktionentheorie begegnet man ihnen im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen und Modulformen. In der Arithmetischen Geometrie, einer Mischung von Geometrie und Zahlentheorie, liefern elliptische Kurven sehr wichtige Darstellungen von Galoisgruppen. Ferner betrachtet man elliptische Kurven in der Kombinatorik im Zusammenhang mit dem sogennanten Kugel-Packung-Problem. Schließlich haben elliptische Kurven wichtige Anwendungen in der Kryptographie (Elliptische-Kurven-Kryptographie) und Kodierungstheorie. Eine elliptische Kurve $E$ über dem Körper der rationalen Zahlen $Q$ lässt sich als Nullstellenmenge eines kubischen Polynoms in zwei Variablen mit Koeffizienten in $Q$ definieren, z.B. $y^2=x^3+ax+b$ für $a,b \in Q$. Die Theorie der Diophantischen Gleichungen beschäftigt sich mit den Lösungen solcher Gleichungen in den rationalen Zahlen $Q$. Es stellt sich heraus, dass die Menge $E(Q) := \{(x,y) \in E : x \in Q, y \in Q\}$ eine abelsche Gruppenstruktur besitzt. Das Hauptziel dieses Seminars ist der Satz von Mordell. Er besagt, dass $E(Q)$ eine endlich erzeugt Gruppe ist. Das ist ein Ergebnis mit vielfätigen Auswirkungen auf die Entwicklungen der modernen Zahlentheorie. Außerdem werden wir auch eine Anwendung der Theorie der elliptischen Kurven zur Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen betrachten, die eine zentrale Rolle in der Kryptographie spielt. Im Lauf des Seminars sollen folgende Themen behandelt werden:


Vorkenntnisse: Lineare Algebra I und II


Literatur:

 [ST] J.Silverman, J.Tate Rational points on elliptic curves, Undergraduate Text in Mathematics, Springer, 1992.


Termine, Themen, Sprecher:

Datum # Thema Sprecher(in) Für
18.10.07 1 Kegelschnitte und rationale Punkte T.Wojtyna 1
25.10.07 2 Kubische Kurven und die Gruppenstruktur D.Janka 1
8.11.07 3 Die Weierstrass Normalform und elliptische Kurven, V.Kuchta 1
15.11.07 4 Explizite Beschreibung des Gruppengesetzes, Punkte der Ordnung zwei und drei, C.Weiß,I.Heimbuch 2
22.11.07 5 Der Satz von Nugell und Lutz I U.Schmitt,K.Heimpel,M.Arends 3
29.11.07 6 Der Satz von Nugell und Lutz II U.Schmitt,K.Heimpel,M.Arends 3
6.12.07 7 Die Höhefunktion und das Descent-Verfahren M.Maier,M.Girod 2
13.12.07 8 Eigenschaften der Höhenfunktion A.Buchner,K,Gozemba 2
20.12.07 9 Abbildungen zwischen elliptischen Kurven R.Neumann,A.Petkova 2
10.01.08 10 Die Endlichkeit des Indexes [E(Q):2E(Q)], Bewweis des Satzes von Mordell P.Graewe,M.Schmälzle 2
17.01.08 11 Der Rang der Gruppe E(Q) und seine Berechenbarkeit J.Dueck,A.Mutafoglu 2
24.01.08 12 Elliptische Kurven über endlichen Körper N.Rebel 1
31.01.08 13 Anwendeungen zur Primfaktorzerlengung natürlicher Zahlen I G.Volland,S.Janz 2
7.02.08 14 Anwendeungen zur Primfaktorzerlengung natürlicher Zahlen II G.Volland,S.Janz 2