Cliffordalgebren

Sei k ein Körper der Charakteristik ungleich 2, und V ein quadratischer Raum, d.h. ein endlicher k-Vektorraum V der Dimension n mit einer quadratischen Form q : V → k. Sei O(V) ⊃ SO(V) die Gruppe der Isometrien in Gl(V). Das Zentrum von SO(V) und O(V) besteht aus ±id_{V}.

Die Cliffordalgebra von V ist ein Paar (C(V), ϕ), wobei C(V) eine assoziative k-Algebra mit Einselement ist, und wobei ϕ : V → C(V) eine k-lineare Abbildung ist, welche \underline{universell} ist mit der Eigenschaft

ϕ(v)^{2} = q(v) · 1_{C} .

D.h. für jedes Paar (A, ϕ_{A}) mit einer k-Algebra A und einer k-linearen Abbildung ϕ_{A} : V → A mit der Eigenschaft ϕ_{A}(v)^{2} = q(v) · 1_{A} gibt es einen eindeutig bestimmten k-Algebrenhomomorphismus ψ : C(V) → A mit der Eigenschaft ϕ_{A} = ψ ∘ ϕ

\xymatrix{V \ar[r]^{ϕ} \ar[d]^{ϕ_{A}} & C(V) \ar@{.>}[dl]^{∃!ψ} \\ A}

Die universelle Eigenschaft bestimmt (C(V), ϕ) offensichtlich eindeutig bis auf Isomorphie. Mit (C(V), ϕ) hat auch (C(V)^{opp}, ϕ) mit c_{1} ·_{opp} c_{2} := c_{2} · c_{1} die universelle Eigenschaft. Daraus folgt C(V) ≅ C(V)^{opp} und somit die Existenz einer Involution c ↦ c^{∗} von C(V), welche auf ϕ(V) die Identität ist ϕ(v)^{∗} = ϕ(v). Es gilt (c_{1}c_{2})^{∗} = c_{2}^{∗}c_{1}^{∗} und (c_{1} + c_{2})^{∗} = c_{1}^{∗} + c_{2}^{∗}.

Aus der universellen Eigenschaft folgt, daß für k-lineare isometrische Abbildungen f : V → W ein eindeutiger k-Algebrenhomomorphismus C(f) existiert (Fortsetzungseigenschaft), welcher das Diagram

\xymatrix{V \ar[r]^{ϕ_{V}} \ar[d]^{f} & C(V) \ar@{.>}[d]^{∃! C(f)} \\ W \ar[r]^{ϕ_{W}} & C(W)}

kommutativ macht. Somit hängt C(V) als ℤ/2ℤ-graduierte Algebra bis auf Isomorphie nur vom Isomorphietyp des Raums V ab.

Die \underline{ℤ/2ℤ -Graduierung} ist dabei definiert wie folgt: Die Isometrie −id_{V} induziert einen Isomorphismus F von C(V) der Ordnung 2. Die Zerlegung

C(V) = C^{+}(V) ⊕ C^{−}(V)

in Eigenräume bezüglich des Automorphismus F macht C(V) zu einer ℤ/2graduierten Algebra. Für invertierbares d setzt man

Int^{ε}(d)c = (−1)^{|d||c|} · dcd^{−1} .

Man definiert die \underline{Konjugation} auf C(V) durch

\overline{c} = F (c^{∗}) = (−1)^{|c|} · c^{∗} .

Dies ist eine Involution, welche auf ϕ(V) Multiplikation mit −1 ist. (Warnung: Man verwechselt dies im Fall k = ℂ leider leicht mit der komplexen Konjugation!)

Getwistete Tensorprodukte

Die Existenz der Cliffordalgebren zeigt man durch eine andere Konstruktion entweder als Quotient der Tensoralgebra, oder wie folgt: Ist b_{1}, .., b_{n} eine Orthogonalbasis von V mit a_{i} = q(b_{i}), dann ist nämlich C^{ε}(V) = C^{ε}(a_{1}) ⊗_{k}^{ε} ... ⊗_{k}^{ε} C^{ε}(a_{n}) als \underline{ℤ/2-graduiertes Tensorprodukt}, d.h. (a_{1} ⊗_{k}^{ε} a_{2})(a′_{1} ⊗_{k}^{ε} a′_{2}) = (−1)^{|a_{2}||a′_{1}|}a_{1}a′_{1} ⊗_{k}^{ε} a_{2}a′_{2}. Allgemeiner

C^{ε}(V ⊕ W) = C^{ε}(V) ⊗_{k}^{ε} C^{ε}(W) .

Man zeigt dann, daß diese Algebra die universelle Eigenschaft der Cliffordalgebra erfüllt. Es folgt für das graduierte Zentrum Z^{ε}(C^{ε}(V)) = k · id.

\underline{Beispiel 1}: Ist V = k · e eindimensional mit q(e) = a, dann ist C(V) = C(a) = k · 1_{C} + k · e mit e^{2} = a · 1_{C} und C^{−}(a) = k · e sowie C^{+}(a) = k · 1_{C}.

\underline{Beispiel 2}: Ist V = k ·e+k ·e^{∗} eine hyperbolische Ebene mit q(e) = q(e^{∗}) = 0 und q(e + e^{∗}) = 1 sowie q(e − e^{∗}) = −1, dann induziert

e ↦ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , e^{∗} ↦ ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

einen graduierten Isomorphismus von C^{ε}(V) ≅ End^{ε}(k^{1|1}) auf den graduierten Matrixring. Achtung: e^{∗} hat a priori nichts zu tun mit der oben definierten Involution ∗. Siehe aber die Dualitätsformel am Ende des Abschnitts.

\underline{Der hyperbolische Fall}: Allgemeiner sei V \underline{hyperbolisch}, also eine m-fache Summe von hyperbolischen Ebenenen. Dann gilt

C(V) = ⨂^{ε} End^{ε}(k^{1|1}) = End^{ε}(k^{N|N})

für N = 2^{m}. Dies folgt aus End^{ε}(A) ⊗_{k}^{ε} End^{ε}(B) = End^{ε}(A ⊗_{k}^{ε} B) für beliebige Superräume A und B vermöge (N ⊗^{ε}M)(a⊗^{ε}b) = (−1)^{|M||a|}N(a)⊗^{ε} M(b).

Folgerung: Sei n = 2m gerade und q nicht ausgeartet, dann ist jeder Automorphismus ρ der k-Algebra C(V) von der Form ρ = Int(d), d.h. ρ(c) = dcd^{−1}. Das Element d ist eindeutig bestimmt bis auf einen Skalar aus k^{∗}. Das Zentrum von C(V) ist k · 1_{C}.

\underline{Beweis}: Wir suchen ein d ∈ C^{∗}(V) mit ρ(c)d = dc für alle c ∈ C(V). Dies ist ein k-lineares Gleichungssystem. Es genügt dieses Gleichungssystem über einem Erweiterungskörper \overline{k} zu lösen. Man kann daher V über \overline{k} als hyperbolisch annehmen. Man reduziert die Aussage damit auf den bekannten Fall des Matrixrings. QED.

\underline{Dualität}: Im hyperbolischen Fall für F = (e_{1} − e_{1}^{∗})...(e_{m} − e_{m}^{∗}) gibt es ein kommutatives Diagramm

\xymatrix{C^{ε}(V) \ar[d]_{(.)^{∗} ∘ Int^{ε}(F)} \ar[r]^{≅} & End^{ε}(k^{N|N}) \ar[d]^{(.)^{T} (Transposition)} \\ C^{ε}(V) \ar[r]^{≅} & End^{ε}(k^{N|N})}

Einen Beweis findet man im Anhang.

Chirale Elemente

Da ϕ injektiv ist, identifizieren wir in der Regel V mit ϕ(V). Sei von jetzt an q nicht ausgeartet und n = 2m gerade. Wir schreiben auch C anstatt C(V). Es gibt dann wegen der obigen Folgerung ein Element Γ ∈ C(V) mit der Eigenschaft

F = C(−id_{V}) = Int(Γ) .

Γ ist eindeutig bis auf einen Skalar und wird als \underline{chirales} Element bezeichnet. Für eine Orthogonalbasis gilt k · Γ = k · b_{1}... · b_{n}. Es gilt Γ^{2} = D(q) · 1_{C} und N(Γ) = \overline{Γ}Γ = (−1)^{m}Γ^{2}. Hierbei ist D(q) = (−1)^{m}det(S) die Diskriminante der quadratischen Form q (und ist wohldefiniert bis auf Quadrate in (k^{∗})^{2}). Im hyperbolischen Fall ist die Diskriminante 1 und es gilt Γ^{2} = 1 für

Γ = (e_{1} + e_{1}^{∗})(e_{1} − e_{1}^{∗}) ... (e_{m−1} + e_{m−1}^{∗})(e_{m} − e_{m}^{∗}) .

Auf C(V) existiert eine aufsteigende Ringfiltration F il^{0} = k · 1_{C}, F il^{≤1} = k · 1_{C} + V,... mit F il^{≤i}/F il^{<i} = Λ^{i}(V). Insbesondere wird im höchsten Grad F il^{≤n}/F il^{<n} von Γ erzeugt. Die \underline{Berezin}-Projektion

Ber : C(V) → F il^{≤n}/F il^{<n} ≅ k · Γ ≅ Λ^{n}(V)

definiert nach Wahl eines chiralen Elements Γ eine k-Linearform, welche auf Superkommutatoren verschwindet. Es folgt

Ber(Int^{ε}(d)(c)) = Ber(c)

für homogene Elemente c, d ∈ C^{ε}(V) für die d invertierbar ist. Zur Erinnerung Int^{ε}(d)c = (−1)^{|d||c|}dcd^{−1}. Diese Linearform Ber definiert eine k-Bilinearform

C(V) × C(V) → k

mittels

< c_{1}, c_{2} > = Ber(\overline{c}_{1} · c_{2}) .

Ist V hyperbolisch, dann ist Ber auf C^{ε}(V) ≅ End^{ε}(k^{N|N}) bis auf eine Konstante die Superspur (denn beide Linearformen verschwinden auf Superkommutatoren). Weiterhin sei Ber(Γ\overline{c}_{1}c_{2}) die \underline{Pfisterform}.

Spinorgruppen

Es sei C^{∗} die Gruppe der Einheiten der Algebra C(V). Wir betrachten dann die Gruppe aller Automorphismen von C(V), welche den Unterraum V ≅ ϕ(V) in sich überführen. Nach obiger Folgerung sind alle Automorphismen von C(V) innere Automorphismen. Man erhält also die Gruppe

GP in(V) = {d ∈ C^{∗} | dϕ(V)d^{−1} = ϕ(V)} .

Wegen q(dvd^{−1}) · 1_{C} = (dvd^{−1})^{2} = dv^{2}d^{−1} = q(v) · 1_{C} induziert Int(d) für d ∈ GP in(V) eine bijektive Isometrie f von V. Wie bereits gesehen, wird umgekehrt jede Isometrie f : V → V von einem Automorphismus C(f) von (C, V) induziert. Beispielsweise wird k^{∗} · Γ auf Int(Γ) = (−1)^{n}Int^{ε}(Γ) = −id_{V} abgebildet. Weiterhin liegen alle Elemente v ∈ V mit q(v) ≠ 0 bezüglich der Einbettung ϕ in GP in(V). Genauer: Int(v) induziert auf V das negative der Spiegelung σ_{v} an der zu v-orthogonalen Hyperebene wegen vv′v^{−1} = q(v)^{−1}vv′v = q(v)^{−1}(−v^{2}v′ + 2(v, v′)v) = −σ_{v}(v′). Man erhält durch d ↦ Int(d)|V eine exakte Sequenz

0 → k^{∗} → GP in(V) → O(V) → 0

mit der zentralen Untergruppe k^{∗}.

\underline{Beispiel 3}: Im Fall n = 2 identifizieren wir Gl(2, k) mit C^{∗} wie in Beispiel 2. Dann ist diag(α, δ) in GP in(V) und induziert die orthogonale Abbildung f(e) = \frac{α}{δ}e, f(e^{∗}) = \frac{δ}{α}e^{∗}.

\underline{Variante}: Natürlicher als die Einschränkung von Int(d) auf V ist eigentlich die getwistete Einschränkung Int^{ε}(d)|V : GP in(V) → O(V). Auch dies definiert einen surjektiven Homomorphismus wegen Int^{ε}(d) = Int(d_{0}^{|d|}d) für ein d_{0} ∈ GP in(V) welches −id_{V} induziert. Manche Formel sieht dann so aus, als würde q durch −q ersetzt. Insbesondere induziert Int^{ε}(v) die Spiegelung σ_{v} am Vektor v (falls q(v) ≠ 0).

\underline{Die Norm N}: Für d ∈ GP in(V) und v ∈ V gilt dvd^{−1} = v′ ∈ V ⊂ C^{−} und daher wegen \overline{v} = −v, \overline{v}′ = −v′ also \overline{d}^{−1}v\overline{d} = dvd^{−1}. Setze N(d) = \overline{d}d. Es folgt N(d)v = vN(d) für alle v ∈ V. Da V die Algebra C(V) erzeugt, liegt also N(d) im Zentrum von C(V). Es folgt N(d) ∈ k · 1_{C} für alle d ∈ GP in(V). Für v ∈ V mit q(v) ≠ 0 gilt beispielsweise v ∈ GP in(V) mit N(v) = −v^{2} = −q(v). Die \underline{Norm} N definiert einen Homomorphismus

N : GP in(V) → k^{∗} .

Der Kern der Norm N ist die Gruppe P in(V). Das Urbild der Gruppe SO(V) ⊂ O(V) in P in(V) nennt man die \underline{Spinorgruppe} Spin(V). Beachte P in(V) ∩ k^{∗} = {±1_{C}}. Man erhält daher eine exakte Sequenz

0 → {±1} → P in(V) → O(V) → k^{∗}/(k^{∗})^{2} .

Die rechte Abbildung ist die \underline{Spinornorm} SN : O(V) → k^{∗}/(k^{∗})^{2} und diese ist im allgemeinen nicht surjektiv. Die Spinornorm ist wie folgt definiert: Für f ∈ O(V) und C(f) = Int(d) ist d bis auf einen Skalar λ ∈ k^{∗} eindeutig bestimmt. Setze SN(f) = N(d) mod (k^{∗})^{2}. Dann kann f genau dann zu einem Element in P in(V) geliftet werden, wenn gilt SN(f) = 1. Der Lift ist eindeutig bis auf einen Skalar λ in {±1}.

\underline{Beispiel 4}: Die Matrix diag(α, δ) ∈ Gl(2, k) von Beispiel 3 wird durch d = α · ee^{∗} + δe^{∗}e ∈ C^{∗} repräsentiert. Wegen \overline{d} = α · e^{∗}e + δ · ee^{∗} ist N(d) = αδ. Somit ist

SN(( \begin{matrix}\frac{α}{δ} & 0 \\ 0 & \frac{δ}{α} \end{matrix} )) = αδ · (k^{∗})^{2} = \frac{α}{δ} · (k^{∗})^{2} .

\underline{Beispiel 5}: Sei k = ℝ: Die Spinornorm SN : SO(V) → ℝ^{∗}/(ℝ^{∗})^{2} ≅ \{±1\} ist im hyperbolischen Fall surjektiv. Der Kern ist eine Untergruppe vom Index 2 in O(V) und SO(V), falls k = ℝ. Im definiten Fall ist SN dagegen nicht surjektiv.

Wir bemerken, daß die Gruppe Spin(V) ebenso wie die Gruppen SO(V) und O(V) nur von der Ähnlichkeitenklasse von q abhängen. D.h. eine Reskalierung q ↦ λ · q liefert isomorphe Gruppen. Dies folgt aus der Tatsache, daß Spin(V) in C^{+}(V) liegt

Spin(V) ⊂ C^{+}(V) .

Das Zentrum von Spin(V)

Der Fall 2|m: Für \underline{gerades} m sind die folgenden drei Eigenschaften äquivalent:

• D(q) ∈ (k^{∗})^{2}

• Es existiert ein Element in P in(V), welches auf das zentrale Element −id_{V} ∈ O(V) abgebildet wird.

• Zentrum(Spin(V)) = ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ = < Γ > × < −Γ >.

Es ist klar, daß k^{∗} · Γ ∈ GP in(V) auf −id_{V} abgebildet wird. Die Norm von Γ, also die Spinornorm von −id_{V}, ist aber gerade die Diskriminante. Ist die Diskriminante ein Quadrat, dann kann Γ so normiert werden daß gilt Γ^{2} = N(Γ) = 1. Dies zeigt die erste Äquivalenz. Das in O(V) zentrale Element −id_{V} ∈ SO(V) liftet zu Γ. Γ ist aber nicht mehr zentral in P in(V), denn das Zentrum von P in(V) ist ±1_{C} (siehe die Irreduzibiltät von P in(V), nächster Abschnitt). Da die Elemente in Spin(V) aber alle in C^{+}(V) liegen, vertauschen sie mit ±Γ. Somit ist für gerades m das \underline{Zentrum} von Spin(V) gleich

1_{C}, Γ, −Γ, −1_{C} .

Da die Umkehrung trivial ist, folgt daraus die zweite Äquivalenz. QED.

Nun zum Fall, wo die Diskrimante D(q) trivial ist und \underline{m ungerade} ist: In diesem Fall ist das \underline{Zentrum} von P in(V) gleich der Gruppe der vierten Einheitswurzeln in k

μ_{4}(k) .

Wegen N(Γ) = (−1)^{m}D(q) = (−1)^{m} liftet −id_{V} genau dann zu P in(V), wenn i = \sqrt{−1} ∈ k. Dann sind ±iΓ die zwei möglichen Liftungen und es gilt (iΓ)^{2} = −1_{C}. Somit ist das Zentrum zyklisch von der Ordnung 4.

\underline{Adjungierte Operation}: Die Gruppe GP in(V) operiert durch Konjugation auf C(V) und respektiert die Filtration F il. Die Konjugationsdarstellung von GP in(V) zerfällt in die direkte Summe ⨁_{i=0}^{n} Λ^{i}(V). Hierbei operiert GP in(V) über den Quotienten O(V). Die Darstellungen Λ^{i}(V) von O(V) sind irreduzibel (für i ≠ m sogar unter SO(V)) und es gilt bezüglich der Paarung < ., . >

Λ^{n−i}(V) ≅ Γ ⊗ Λ^{i}(V)^{dual} .

Hierbei operiert O(V) auf dem eindimensionalen Raum k · Γ \underline{axial}, d.h. mit dem Determinanten Charakter der orthogonalen Gruppe O(V).

Die Pin-Darstellung

Sei nun V \underline{hyperbolisch}. Dann existiert eine ausgezeichnete Darstellung von GP in(V), nämlich die Pin-Darstellung auf dem Pin-Modul P = P (V) = k^{N}, N = 2^{m} bezüglich des Homomorphismus GP in(V) ↪ C^{∗} ≅ Gl(N, k). Diese Darstellung ist eine irreduzible Darstellung von GP in(V) sowie von P in(V), und faktorisiert nicht über O(V). Zur Irreduzibilität: Wegen des Schur Lemmas genügt es den Zentralisator von P in(V) in C(V) = End_{k}(P) zu berechnen. P in(V) enthält ein Erzeugendensystem von V aus nicht isotropen Vektoren. Daher ist der Zentralisator von P in(V) gleich dem Zentralisator von ganz C(V), also eindimensional und gleich k · 1_{C}. Beachte C(V) wird von V als Algebra erzeugt, und ist andererseits isomorph zu einer Matrixalgebra.

Für feinere Betrachtungen nun eine etwas modifizierte Beschreibung des \underline{Pin-Moduls} P. Sei V hyperbolisch und V = L^{∗} ⊕ L eine Zerlegung in maximal isotrope Teilräume. Sei e_{1}^{∗}, .., e_{m}^{∗} eine Basis von L^{∗} und e_{1}, .., e_{m} eine duale Basis von L. Setze |0⟩_{L} = e_{1}^{∗} · ... · e_{m}^{∗} in C(V). Dann ist

P_{L} = C(V) · |0⟩_{L} ≅ Λ^{•}(L) · |0⟩_{L}

ein C(V)-Linksideal in C(V). Man sieht dann leicht, daß die Abbildung C(V) → End_{k}(P_{L}) ein Isomorphismus ist. Die Einschränkung auf GP in(V) ⊂ C^{∗} definiert die P in(V)-Darstellung auf dem Pin-Modul P_{L}. Da O(V) transitiv auf den Lagrange Zerlegungen V = L^{∗} ⊕ L operiert, sind alle so definierten Darstellungen von GP in(V) isomorph zueinander. Die Paarung < c_{1}, c_{2} >= Ber(\overline{c}_{1} · c_{2}) eingeschränkt auf P_{L^{∗}} und P_{L}

< ., . >: P_{L^{∗}} × P_{L} → k

ist P in(V)-equivariant und wegen < |0⟩_{L^{∗}}, |0⟩_{L} >≠ 0 nichtausgeartet (da es irreduzible Moduln sind) und (−1)^{m}-symmetrisch. P_{L^{∗}} ist isomorph zu P_{L} als Modul unter P in(V). Denn P_{L^{∗}} = dP_{L}d^{−1} für d ∈ GP in(V) mit Bild f ∈ O(V) und SN(f) = 1 sowie

f(L^{∗}) = L .

\underline{Zur Existenz von d}: ObdA sei dazu n = 2. Dann ist f ∈ O(V) die Spiegelung am Element v = e − e^{∗} mit N(v) = −q(v) = 1.

Somit ist die Pin-Darstellung P_{L} von P in(V) \underline{selbstdual}. Dies ist nicht mehr richtig für die Darstellung der größeren Gruppe GP in(V) auf P_{L}. Hier gilt

P_{L} ⊗_{k} P_{L} ≅ P_{L^{∗}} ⊗_{k} P_{L} → N ⊗_{k} k ,

wegen < d · s^{∗}, d · s > = N(d)· < s^{∗}, s > für d ∈ GP in(V) und s^{∗} ∈ P_{L^{∗}} resp. s ∈ P_{L}. Also als GP in(V)-Modul gilt

(P_{L})^{dual} ≅ N^{−1} ⊗_{k} P_{L} .

Zur Erinnerung ρ(g)^{dual} := (ρ(g)′)^{−1}. Die adjungierte Darstellung von GP in(V) auf End_{k}(P_{L}, P_{L}) = C(V) ist aber isomorph zu (P_{L})^{dual} ⊗_{k} P_{L}. Es folgt

P_{L} ⊗_{k} P_{L} ≅ N ⊗_{k} ⨁_{i=0}^{n} Λ^{i}(V) .

\underline{Variante}: Betrachtet man nur die Operation der Untergruppe Spin(V), kann man auch so argumentieren: Der Spin(V)-Modul (C, Ad) mit der Operation c ↦ d^{−1}cd entspricht P_{L}^{dual} ⊗_{k} P_{L} ≅ End_{k}(P_{L}). Das Tensorprodukt P_{L} ⊗_{k} P_{L} entspricht dem Spin(V)-Modul (C, ⊗^{2}) mit der Operation c ↦ (d^{T})cd. Einen Spin(V)-äquivarianten Isomorphismus

(C, Ad) → (C, ⊗^{2})

liefert die Abbildung c ↦ F · c. Beachte

F · (d^{−1}cd) = d^{T} (F · c)d

wegen d^{T} = Fd^{−1}F für alle d ∈ Spin(V). Die Transposition (.)^{T} ist ein Spin(V)-äquivarianter Automorphismus von (C, ⊗^{2}). Wegen |d| = 0 gilt

\xymatrix{(C, Ad) \ar[r]^{≃} \ar[d]_{(−1)^{\frac{m(m−1)}{2}} (.)^{∗}} & (C, ⊗^{2}) \ar[d]^{(.)^{T}} \\ (C, Ad) \ar[r]^{≃} & (C, ⊗^{2})}

Wegen F(F^{−1}c)^{∗} = Fc^{∗}(F^{−1})^{∗} = (−1)^{\frac{m(m−1)}{2}} Fc^{∗}F^{−1} = (−1)^{\frac{m(m−1)}{2}} c^{T} kommutiert das Diagramm.

Die Spindarstellungen

Sei V hyperbolisch. Schränkt man die Pin-Darstellung P_{L} auf die Spinorgruppe Spin(V) ein, wird die Darstellung P_{L} reduzibel. Sie zerfällt in zwei irreduzible Spin(V)-Moduln S_{L}^{±}

P_{L} = S_{L}^{+} ⊕ S_{L}^{−} .

Bezüglich der Identifikation P_{L} ≅ Λ^{•}(L) gilt dabei

S_{L}^{±} = Λ^{±}(L) .

Wegen Mackey’s Lemma kann P_{L} höchstens in zwei irreduzible Darstellungen der Spinorgruppe zerfallen. Somit sind die \underline{Spinormoduln} S_{L}^{+} und S_{L}^{−} irreduzible Spin(V)-Moduln. Alternativ, der Kommutator von Spin(V) in C(V) ist k · 1_{C} + k · Γ.

\underline{Zur Konstruktion}: In der Tat kommutiert die Gruppe Spin(V) ⊂ C^{+}(V) mit dem Element Γ ∈ GP in(V). Andererseits gilt

Γ|0⟩_{L} = |0⟩_{L} .

Beachte (e_{1}+e_{1}^{∗})(e_{1}−e_{1}^{∗}) = (1−2e_{1}e_{1}^{∗}) sowie (e_{1}+e_{1}^{∗})(e_{1}−e_{1}^{∗})...|0 >_{L}= |0 >_{L}. Es folgt Γ · c|0⟩_{L} = ΓcΓ^{−1}|0⟩_{L}.

Somit operiert Γ auf P_{L} ≅ Λ^{•}(L) durch die Konjugation F = int(Γ), welche die ℤ/2-Graduierung auf C(V) und damit auf Λ^{•}(L) induziert. Somit operiert Spin(V) auf den ±-Eigenräumen von int(Γ) separat. P_{L} zerfällt also in die beiden Darstellungen auf Λ^{±}(L). Wir haben dabei Γ so normiert, daß −Γ im Kern der Darstellung S_{L}^{+} liegt und Γ im Kern der Darstellung S_{L}^{−}.

Da Γ zentral in Spin(V), aber nicht zentral in GP in(V) ist, gilt σΓσ^{−1} = −Γ und somit

S_{L}^{±} ∘ σ ≅ S_{L}^{∓}

für jedes σ ∈ P in(V) \ Spin(V). σ induziert einen äußeren Automorphismus von Spin(V) wegen P in(V)/Spin(V) ≅ O(V)/SO(V) ≅ ℤ/2ℤ, da V hyperbolisch ist. Resume: Γ und −Γ operieren mit −1, 1 auf S_{L}^{+} und mit 1, −1 auf S_{L}^{−}. Dies beschreibt die Operation des Zentrums von Spin(V), welches von ±Γ (m gerade) resp. ±iΓ (m ungerade) erzeugt wird. Es folgt für S = S_{L}^{±}

Hom_{Spin(V)}(S ⊗ S, S) = 0 .

Im Vergleich dazu ist die Operation auf Λ^{i}(V) gegeben durch (−1)^{i}, (−1)^{i} und es gilt

Λ^{i}(V) ∘ σ ≅ Λ^{i}(V) .

Schließlich sei bemerkt

(S_{L}^{±})^{dual} ≅ S_{L}^{±ε} , ε = (−1)^{m} .

\underline{Beweis}: Das Element

F = (e_{1} − e_{1}^{∗})...(e_{m} − e_{m}^{∗})

liegt in P in(V) mit F^{2} = (−1)^{m(m+1)/2}, und induziert die Abbildung

f = (−1)^{m} ( \begin{matrix}0 & E \\ E & 0 \end{matrix} )

aus O(V). Daher gilt f(L^{∗}) = L und somit int(F) : P_{L^{∗}} → P_{L}. Genauer P_{L^{∗}}(d) ≅ P_{L}(FdF^{−1}). Diese Abbildung ist äquivariant und twistet die Darstellung S_{L^{∗}}^{±} = (S_{L}^{±})^{dual} in Abhängigkeit von der Restklasse det(f) = (−1)^{m} von f in O(V)/SO(V), identifiziert mit ±1.

\underline{Dynkin Diagram D_{m} von SO(V)}:

[figure: • S^{+}; σ; •; •; ...; •; •; Λ^{1}; Λ^{2}; Λ^{m−3}; Λ^{m−2}; • S^{−}]

Die Moduln Λ^{2}(S) und Symm^{2}(S)

Sei V hyperbolisch, also n = 2m gerade. Wir nehmen außerdem aus Bequemlichkeit 2|m an, da sonst einige Formeln in der Formulierung Fallunterscheidungen benötigen, weil z.B. m/2 nicht definiert ist.

Wir erinnern an die Existenz von Spin(V)-Isomorphismen zwischen den Darstellungen (C(V), ⊗^{2}) und (C(V), Ad). Mit anderen Worten P_{L} ⊗_{k} P_{L} ≅ P_{L}^{dual} ⊗_{k} P_{L} = ⨁_{i=0}^{n} λ_{V}^{i}. Wir erinnern daran, daß bezüglich der adjungierten Operation gilt (C^{i}(V), Ad) = λ_{V}^{i}. Die Zerlegung in die Teilräume C^{±}(V) wird wegen 2|m auch von der Tensordarstellung repektiert. Für die Spin(V)- Moduln S^{±} = S_{L}^{±} gilt

(C^{+}(V), ⊗^{2}) ≅ (S^{+} ⊗_{k} S^{+}) ⊕ (S^{−} ⊗_{k} S^{−}) ≅ ⨁_{i=0}^{m} λ_{V}^{2i}

sowie

(C^{−}(V), ⊗^{2}) ≅ (S^{+} ⊗_{k} S^{−}) ⊕ (S^{−} ⊗_{k} S^{+}) ≅ ⨁_{i=0}^{m−1} λ_{V}^{2i+1} .

Dies folgt aus P_{L} ⊗_{k} P_{L} ≅ ⨁_{i=0}^{n} λ_{V}^{i} durch Vergleich der Operation des Zentrums.

Konjugation mit einem σ ∈ O(V) \ SO(V) vertauscht die beiden Spindarstellungen S^{±}. Es folgt

(S^{±} ⊗_{k} S^{±}) ≅ (λ_{V}^{m})^{±} ⊕ ⨁_{i=0}^{m/2−1} λ_{V}^{2i} .

Dies ist nur ein Isomorphismus! Die zu λ_{V}^{2i} isomorphe Komponente ist nämlich ein Teilraum von C^{2i}(V) ⊕ C^{n−2i}(V). Die beiden Summanden sind nicht isomorph als O(V)-Modul, sind aber isomorph als SO(V)-Moduln.

Aus dem letzen Isomorphismus folgt dim_{k} Hom_{Spin(V)}(End(S^{±}), λ_{V}^{2} ) = 1 für alle m > 2. Genauer gilt dann sogar S ⊗_{k} S ≅ S^{dual} ⊗_{k} S ≅ End(S) für die beiden Spinmoduln S = S^{±}. Genauer gilt sogar (beachte 2|m)

dim_{k} Hom_{Spin(V)}(Λ^{2}(S), λ_{V}^{2} ) = 1 , (4 |m) .
dim_{k} Hom_{Spin(V)}(Symm^{2}(S), λ_{V}^{2} ) = 1 , (4 |̸m) .

Dazu folgendes: Der Spin(V)-Modul (C^{+}(V), ⊗^{2}) zerfällt in die Untermoduln der symmetrischen und antisymmetrischen Tensordarstellung, d.h. in die beiden T -Eigenräume unter der Transposition T.

Der Isomorphismus (C^{±}(V), ⊗) ≅ (C^{±}(V), Ad) (siehe vorletzter Abschnitt) erhält die Graduierung (wegen 2|m) und bildet die (.)^{T} -Eigenräume ab auf die (−1)^{m(m−1)/2}(.)^{∗}-Eigenräume. Wegen

C^{+}(V)_{∗=1} ≅ ⨁_{i gerade} C^{2i}(V) , C^{+}(V)_{∗=−1} ≅ ⨁_{i ungerade} C^{2i}(V)

folgt also im Fall 4|m

C^{+}(V) ∩ Λ^{2}(P_{L}) ≅ ⨁_{i ungerade} λ_{V}^{2i}

C^{+}(V) ∩ Symm^{2}(P_{L}) ≅ ⨁_{i gerade} λ_{V}^{2i} .

Im Fall 2|m und 4 |̸m dagegen vertauschen sich gerade die beiden Fälle.

C^{+}(V) ∩ Λ^{2}(P_{L}) ≅ ⨁_{i gerade} λ_{V}^{2i}

C^{+}(V) ∩ Symm^{2}(P_{L}) ≅ ⨁_{i ungerade} λ_{V}^{2i} .

Liealgebren und Spinoren

Sei V hyperbolisch mit 4|n. Sei 𝔤 eine k-Liealgebra, welche die Liealgebra so(V) als Unteralgebra enthält. Dann gilt 𝔤 = so(V) ⊕ S. Hierbei ist S ein so(V)-Modul. Es gilt

• Der Kommutator [,] auf so(V) ist der Kommutator von so(V).

• Der Kommutator [,] auf so(V) × S ist die Lie Algebra Aktion [X, s] = X · s für X ∈ so(V), s ∈ S.

Ist S isomorph zu einem der beiden Spinmoduln S = S_{L}^{±}, dann gilt

• Der Kommutator [,] auf S×S ist wegen der Jacobi Identität eine so(V)- äquivariante k-bilineare Abbildung von S × S nach so(V). Wegen der Äquivarianz und Antisymmetrie faktorisiert diese in der Form

S ⊗ S → Λ^{2}(S) → so(V) ⊂ so(V) ⊕ S = 𝔤

wegen Hom_{Spin(V)}(S ⊗ S, S) = 0. Also gilt für den Kommutator auf S

[,]_{S×S} : Λ^{2}(S) → so(V) .

Diese Spin(V)-äquivariante Abbildung ist wegen der Irreduzibilität von

(so(V), Ad) ≅ λ_{V}^{2}

eindeutig bestimmt bis auf einen Skalar.

Umgekehrt definieren Daten dieser Art eine \underline{einfache} (!) Liealgebra 𝔤, falls [,] antisymmetrisch fortgesetzt die Jakobi-Identität erfüllt. Dazu genügt (!), daß die (de fakto) kanonische äquivariante Abbildung

T : S ⊗_{k} S ⊗_{k} S → Λ^{2}(S) ⊗_{k} S → so(V) ⊗_{k} S → S,

d.h. also T (s_{1}, s_{2}, s_{3}) = [s_{1}, s_{2}] · s_{3}, die Gleichung (∗)

T (s_{1}, s_{2}, s_{3}) + T (s_{2}, s_{3}, s_{1}) + T (s_{3}, s_{1}, s_{2}) = 0

erfüllt. Wegen der Antisymmetrie von T in den ersten beiden Variablen ist dazu äquivalent T (Λ^{3}(S)) = 0 für Λ^{3}(S) ⊂ S ⊗_{k} S ⊗_{k} S, falls char(k) ≠ 2, 3.

\underline{Ein Ansatz}: Sei (., .) eine symmetrische Spin(V)-invariante k-Bilinearform auf S. Eine solche Form (., .) ist eindeutig bestimmt bis auf einen Skalar und existiert genau dann, wenn 8|n (siehe das Kapitel über das fermionische Modell). Setze

T (s_{1}, s_{2}, s_{3}) = s_{1}(s_{2}, s_{3}) − s_{2}(s_{1}, s_{3}) .

T ist antisymmetrisch in s_{1}, s_{2} und erfüllt Gleichung (∗) wegen der Symmetrie von (., .)

s_{1}(s_{2}, s_{3}) − s_{2}(s_{1}, s_{3}) + s_{2}(s_{3}, s_{1}) − s_{3}(s_{2}, s_{1}) + s_{3}(s_{1}, s_{2}) − s_{1}(s_{3}, s_{2}) = 0 .

Es bleibt dann nur zu prüfen, ob die Projektion von T auf so(V), d.h. die von T induzierte äquivariante Abbildung

Λ^{2}(S) ↪ S ⊗ S ≅ End(S) ↪ End(P_{L}) ≅ ⨁_{i=0}^{n} λ_{V}^{i} ↠ λ_{V}^{2} ⊕ λ_{V}^{n−2},

nichttrivial ist! Dies genügt es etwa auf dem Höchstgewichtvektor v zu überprüfen. Hierzu benutzen wir in den folgenden beiden Beispiele das im nächsten Abschnitt erklärte \underline{fermionische Modell}. Zur Erinnerung λ_{V}^{2} ≅ λ_{V}^{n−2} ≅ so(V) als Spin(V)-Moduln:.

\underline{Der Fall n = 8}: Sei S = S^{+} = Λ^{2•}(k^{4}). Dann ist der Höchstgewichtvektor v in Λ^{2}(S) gleich

v = (θ_{1}θ_{2}) ∧ (θ_{1}θ_{2}θ_{3}θ_{4}) .

Man sieht, daß die obige Abbildung v nicht auf Null abbildet. Die Liealgebra 𝔤 existiert also. Sie ist isomorph zu so(9), also vom Typ B_{4}.

\underline{Der Fall n = 16}: Sei S = S^{+} = Λ^{2•}(k^{8}). Der gesuchte Höchstgewichtvektor v in Λ^{2}(S) ist

v = (θ_{1}θ_{2}) ∧ (θ_{1}θ_{2}θ_{3}θ_{4}θ_{5}θ_{6}θ_{7}θ_{8}) − ∑_{^{1}≤i<j≤8}(θ_{1}θ_{2}θ_{i}θ_{j}) ∧ ∗(θ_{i}θ_{j}) .

Man sieht wieder sofort, daß die obige Abbildung v nicht auf Null abbildet. Die Liealgebra 𝔤 existiert also, und ist die Ausnahmeliealgebra E_{8}.

Im allgemeinen würde die Konstruktion eine einfache Liealgebra vom Rang m und von der Dimension (2m^{2} − m) + 2^{m−1} liefern. Eine solche kann für n > 16 nicht existieren.

Das fermionische Modell

Wir betrachten einen hyperbolischen quadratischen Raum V = L ⊕ L^{∗} mit einer festen Lagrange Zerlegung. Die Matrizen

g(A) = ( \begin{matrix}E & A \\ 0 & E \end{matrix} ) , g(U) = ( \begin{matrix}U & 0 \\ 0 & (U′)^{−1} \end{matrix} )

erzeugen den Stabilisator SO_{L}(V) in SO(V) des Raumes L ⊂ V. Sei nun m gerade. Jedes Element in SO(V) schreibt sich dann in der Form g(U)·h, wobei h ein Produkt von Matrizen vom Typ f und g(A) ist. Aber SN(g(A)) = 1 und SN(f) = 1. Die Matrizen U ∈ Gl(L) mit SN(g(U)) = 1 definieren eine Untergruppe Gl(L)^{+} von Gl(L). Der Spinorkern in O(V) wird daher von den Elementen g(A), f und g(U) mit U ∈ Gl(L)^{+} erzeugt. Ist m ungerade, dann ist jedes Element in O(V) von der Form g(U) · h, wobei h ein Produkt von Matrizen vom Typ f und g(A). Wieder gilt SN(g(A)) = 1 und SN(f) = 1. Der Spinorkern von ganz O(V) wird jetzt von den Elementen g(A), f und g(U) mit U ∈ Gl(L)^{+} erzeugt.

Aus Beispiel 4 schließt man leicht, daß die Spinornorm auf Gl(L) durch die Determinante gegeben wird

SN(g(U)) = det(U) · (k^{∗})^{2} .

Daraus ist Gl(L)^{+} die Untergruppe von Gl(L) aller Matrizen, deren Determinante ein Quadrat in k^{∗} ist.

Sei GP in_{L}(V) das Urbild in der Gruppe GP in(V) des Stabilisators von L in der Gruppe O(V) . Dann erzeugt F und GP in_{L}(V) die Gruppe GP in(V). Für d ∈ GP in(V) und |0⟩_{L^{∗}} = e_{1}...e_{m} gilt

d|0⟩_{L^{∗}} = χ(d)|0⟩_{L^{∗}}

für einen gewissen Charakter χ von GP in(V), sowie

d · c · |0⟩_{L^{∗}} = dcd^{−1} · d · |0⟩_{L^{∗}} = χ(d)dcd^{−1} · |0⟩_{L^{∗}} .

Der Charakter χ ist trivial auf Γ.

Den Pinmodul P_{L} kann man dann beschreiben wie folgt:

Der \underline{fermionische Fockraum} sei der k-Vektorraum aller superkommutativen Polynom-Funktionen auf L. Dessen Elemente sind gerade und ungerade kwertige Funktionen h(θ) ∈ Λ^{•}(L^{∗}). Das Berezin Integral ∫_{L} f(θ, η)dη einer supersymmetrischen Funktion f(θ, η) = ∑_{I} f_{I}(θ)η_{I} von antikommutierenden Variablen η_{1}, ..., η_{m} auf L^{∗} mit Werten in einer superkommutativen k-Algebra A ist hierbei definiert durch die Projektion auf den Term f_{{12...m}}(θ). Hierbei seien die f_{I}(θ) aus A die Taylor-Koefizienten f(θ, η) ∈ A ⊗_{k}^{ε} Λ^{•}(L).

Satz: Auf dem fermionischen Fockraum operiert F mit der Fouriertransformation (bezüglich des \underline{Berezin-Integrals})

F(h)(θ) = ∫_{L} exp(− ∑_{i=1}^{m} θ_{i}η_{i}) · h(η)dη .

Es gilt F^{2} = (−1)^{m(m+1)/2} · id. Weiterhin, g(U) mit U ∈ Gl(L)^{+} operiert durch Pullback

h(θ) ↦ det(U)^{−1/2} · h(U′θ) .

(θ wurde hierbei als Spaltenvektor aufgefaßt.) g(A) operiert durch

h(θ) ↦ exp(− ∑_{i<j} A_{ij}θ_{i}θ_{j}) · h(θ) .

Die von diesen Substitutionen erzeugte Gruppe G ist Spin(V) (m gerade) oder P in(V) (m ungerade) und die zugehörige Darstellung ist isomorph zur Darstellung auf P in_{L} mit einem natürlichen Isomorphismus F ock : P_{L} ≅ Λ^{•}(L^{∗}). Die k-bilineare Paarung

(h_{1}, h_{2}) = ∫_{L} \overline{h_{1}(η}) · h_{2}(η)dη

auf dem Fockraum ist G-invariant, als solche eindeutig bestimmt bis auf einen Skalar, und erfüllt (h_{2}, h_{1}) = (−1)^{m(m+1)/2} · (h_{1}, h_{2}).

\underline{Bemerkung}: Wie man sich leicht überlegt ist exp(− ∑_{i<j} A_{ij}θ_{i}θ_{j}) auch in positiver Charakteristik wohldefiniert!

\underline{Bemerkung}: Bei der Operation der g(U) muß durch Wahl einer Wurzel eine Wahl getroffen werden. Die Überlagerungsgruppe G̃l(L) von Gl(L)^{+} aller Paare (U, α) mit U ∈ Gl(L) und α^{2} = det(U) operiert kanonisch.

\underline{Wellenpackete}: Zum Abschluß sei bemerkt, daß im Fall 2|m die Funktionen

f_{A}(θ) = exp(− ∑_{i<j} A_{ij}θ_{i}θ_{j})

ein Erzeugendensystem von S_{L}^{+} bilden. Dazu genügt die Stabilität des erzeugten Unterraums unter Spin(V) wegen der Irreduzibilität von S_{L}^{+}. Daß die Substitutionen g(U) unf g(A) den Raum erhalten ist klar. Für die Fourier Transformation gilt

F(f_{A}) = P f(−A) · f_{A^{−1}} ,

falls A invertierbar ist. Der Fall mit det(A) = 0 verbleibt als Übungsaufgabe. Wie im Fall det(A) ≠ 0 reduziert man auf den zweidimensionalen Fall und benutzt für

A = ( \begin{matrix}0 & a \\ −a & 0 \end{matrix} ) , A^{−1} = ( \begin{matrix}0 & −a^{−1} \\ a^{−1} & 0 \end{matrix} )

die quadratische Ergänzung

−aη_{1}η_{2} + η_{1}θ_{1} + η_{2}θ_{2} = −a(η_{1} + a^{−1}θ_{2})(η_{2} − a^{−1}θ_{1}) + a^{−1}θ_{1}θ_{2} .

Der quadratische ergänzte Term gibt nach der Substitution η̃_{1} = (η_{1} +a^{−1}θ_{2}) und η̃_{2} = (η_{2} − a^{−1}θ_{1}) das Integral

P f(−A) = det(−A)^{1/2} (Pfaffsches Aggregat) .

Beweis

Wir beweisen die Aussagen des Satzes im letzten Abschnitt.

1)Für alternierende m × m-Matrizen A setzen wir \frac{1}{2}A\{e\} = ∑_{i<j} A_{ij}e_{i}e_{j}. Für beliebiges X setzen wir ξ_{X} = ∑_{i,j} X_{ij}e_{i}e_{j}^{∗}. Dann gilt für alle v ∈ V

[\frac{1}{2}A\{e\}, v] = ( \begin{matrix}0 & A \\ 0 & 0 \end{matrix} ) v , [ξ_{X}, v] = ( \begin{matrix}X & 0 \\ 0 & −X′ \end{matrix} ) v .

Es gilt

Spin(V) ∋ exp(\frac{1}{2}tA\{e\}) ↦ g(A) = ( \begin{matrix}E & tA \\ 0 & E \end{matrix} )

und

GP in(V) ∋ exp(tξ_{X}) ↦ g(U) = ( \begin{matrix}U & 0 \\ 0 & (U′)^{−1} \end{matrix} )

für U = exp(tX). Der Charakter χ ist trivial auf den Elementen g(A). Allerdings ist exp(tξ_{X}) nicht in Spin(V). Es gilt N(exp(tξ_{X})) = exp(tSpur(X)) = det(U), da \overline{e_{i}e_{j}∗} = δ_{ij} − e_{i}e_{j}^{∗}. Andererseits ist χ(exp(tξ_{X})) = exp(tSpur(X)) wegen e_{i}e_{j}^{∗}(e_{1}...e_{m}) = δ_{ij}(e_{1}..e_{m}). Somit liegt det(U)^{−1/2}exp(tξ_{X}) in Spin(V) und operiert mit det(U)^{1/2}.

2)Wir betrachten nun den Modul P_{L^{∗}}. Das Element g(U) für U ∈ Gl(L)^{+} operiert durch Pullback

e_{I}^{∗}|0⟩_{L^{∗}} ↦ det(U)^{1/2} · ((U^{−1})^{∗}e_{I}^{∗})|0⟩_{L^{∗}}

für U ∈ Gl(L). g(A) operiert wie

e_{I}^{∗}|0⟩_{L^{∗}} ↦ exp(∑_{i<j} A_{ij}e_{i}e_{j}) · e_{I}^{∗}|0⟩_{L^{∗}} .

3)Wir beschreiben nun die Operation von F auf e_{I}^{∗}|0⟩_{L^{∗}} mit e_{I}^{∗} = e_{i_{1}}...e_{i_{r}} (absteigend sortiert!). Sei κ_{I} das Vorzeichen der Permutation, welche 1, .., n in (I^{c}, I) umordnet (I^{c} absteigend, I aufsteigend). Dann ordnen wir F mit dieser Permuation um und erhalten Fe_{I}^{∗}|0⟩_{L^{∗}} = κ_{I}(−1)^{|I^{c}|}e_{I^{c}}^{∗}|0⟩_{L^{∗}}. Sei η_{I} = η_{i_{r}}...η_{i_{1}} (aufsteigend sortiert). Dann gilt ∫ (1 − θ_{1}η_{1})...(1 − θ_{m}η_{m})η_{I} = ∫ ∏_{ν∈I^{c}}(1 − θ_{ν}η_{ν})η_{I} = (−1)^{|I^{c}|}θ_{I^{c}} ∫ (η_{I^{c}})^{∗}η_{I} = (−1)^{|I^{c}|}θ_{I^{c}}κ_{I}. Hier ist θ_{I^{c}} aufsteigend sortiert und (η_{I^{c}})^{∗} entsteht aus η_{I^{c}} durch Umordnen in eine absteigende Reihenfolge. Beachte ∏_{J} θ_{j}η_{j} = θ_{J}(η_{J})^{∗} mit θ_{J} aufsteigend sortiert.

Somit liefert die Zuordnung ∑_{I} λ_{I}e_{I}^{∗}|0⟩_{L^{∗}} ↦ h(η) = ∑_{I} λ_{I}η_{I} den Übergang von der Operation von F auf dem Pinmodul zur Fourier Transformation

F(h) = \overline{∗h}

für h ∈ Λ^{•}(L^{∗}) aus dem fermionischen Fockraum. Hierbei definiert (∗η_{I})η_{I} = η_{{1,..,m}} den Hodge ∗-Operator ∗η_{I} = ±η_{I^{c}} der Graßmannalgebra Λ^{•}(L^{∗}), und \overline{η_{I}} = (−1)^{m(m+1)/2}η_{I} ist die Involution auf der Graßmannalgebra Λ^{•}(L^{∗}), welche auf L^{∗} die Identität ist.

Beachte P_{L} = int(F)P_{L^{∗}}. Da P_{L^{∗}} ein C(V)-Modul ist folgt

P_{L} = P_{L^{∗}} · F^{−1}

in C(V). Die Linksoperation auf dem rechtem Modul ist isomorph zur Pin-Darstellung P_{L^{∗}} und wird durch die obigen Formeln beschrieben. Außerdem gilt P_{L^{∗}}(d) ≅ P_{L}(FdF^{−1}) für d ∈ P in(V). Um daher die Aktion auf P_{L} zu beschrieben, muß man erst mit F konjugieren und (Linksmultiplikation mit F)

e_{I}^{∗}|0⟩_{L^{∗}}F^{−1} ↦ F · e_{I}^{∗}|0⟩_{L^{∗}}F^{−1} = (−1)^{|I^{c}|}κ_{I}e_{I^{c}}^{∗}|0⟩_{L^{∗}}F^{−1}

Konjugation mit F erhält F, ersetzt g(U) durch g((U′)^{−1}) und transformiert g(A) in die entsprechende untere Dreiecksmatrix. Ersetzt man daher die obigen Formeln in diesem Sinn, und betrachtet die Zuordnung F ock : e_{I}^{∗}|0⟩_{L^{∗}}F^{−1} ↦ η_{I}

F ock : P_{L} = P_{L^{∗}}F^{−1} → Λ^{•}(L^{∗}) ,

so erhält man die behaupteten Formeln. Das Minuszeichen vor A kommt durch den Übergang von der aufsteigenden Basis e_{I}^{∗} zur absteigenden Basis η_{I}. Es gilt

[figure: P_{L}; F; F ock; Λ^{•}(L^{∗}); \overline{(.)} ∘ ∗; Fockraum; F ourier; P_{L}; F ock; Λ^{•}(L^{∗}); Fockraum]

In der Mitte steht die Zusammensetzung aus der eindeutig bestimmten Involution \overline{(.}) von Λ^{•}(L^{∗}), welche auf L^{∗} die Identität ist, mit dem Hodge Operator ∗.

4)Die Paarung: Die Eigenschaft (h_{2}, h_{1}) = (−1)^{m(m+1)/2}(h_{1}, h_{2}) der Paarung folgt aus

∫_{L} \overline{h(η)}dη = (−1)^{m(m+1)/2} ∫_{L} h(η)dη

wegen \overline{η_{1}...η}_{m} = (−1)^{m(m+1)/2}η_{1}...η_{m}. Die Invarianz der Paarung ist klar für g(U) (Berezin Substitutionsregel). Für g(A) folgt sie aus \overline{∑ A_{ij}η_{i}η_{j}} = − ∑ A_{ij}η_{i}η_{j}. Es bleibt die Substitution F. Die Elemente F(e_{I}) = \overline{∗e_{I}} sind eine duale Basis der Elemente e_{I} bezüglich der Paarung wegen ∗e_{I}e_{I} = e_{1}..e_{m}. Das heißt (Fe_{I}, e_{J}) = δ_{IJ}. Somit ist die F-Invarianz gleichbedeutend mit (F^{2}e_{I}, Fe_{J}) = δ_{I,J}. Letzteres folgt aber aus F^{2} = (−1)^{m(m+1)/2} und (h_{2}, h_{1}) = (−1)^{m(m+1)/2}(h_{1}, h_{2}).

Reelle Strukturen

Sei V ein reeller Vektorraum, und V_{ℂ} = V ⊗_{ℝ} ℂ die Komplexifizierung. Die zugehörige Abbildung θ(v ⊗ z) = v ⊗ \overline{z} ist ℂ-antilinear. Das heißt

θ(λv + μw) = \overline{λ}θ(v) + \overline{μ}θ(w)

für alle λ, μ ∈ ℂ und alle v, w ∈ V_{ℂ}. Die antilineare Abbildung θ = θ_{V} erfüllt θ^{2} = id_{V_{ℂ}} und bestimmt den ℝ-Vektorraum V = (V_{ℂ})^{θ} (als Fixpunktmenge).

Ist umgekehrt θ eine Bijektion eines komplexen ℂ-Vektorraums W mit den Eigenschaften

• θ ist ℂ-antilinear

• θ^{2} = id_{W},

dann ist V = W^{θ} ein ℝ-Vektorraum und es gilt θ = θ_{V} und W = V_{ℂ}. Antilineare Abbildungen mit dieser Eigenschaft definieren daher eine \underline{reelle} Struktur auf W. Zum Beispiel gilt θ ∘ M ∘ θ^{−1} = \overline{M} für eine ℂ-lineare Abbildung M von W, geschrieben als Matrix bezüglich einer ℝ-Basis von V.

\underline{Bemerkung}: Ist θ ℂ-antilinear mit der Eigenschaft θ^{2} ∈ ℂ^{∗} · id_{W}, dann kann θ so normiert werden, daß entweder θ^{2} = id_{W} oder θ^{2} = −id_{W} gilt. Nur im ersten Fall definiert θ eine reelle Struktur. Im zweiten Fall

θ^{2} = −id_{W}

definiert θ eine \underline{quaternionale} Struktur auf dem ℂ-Vektorraum W.

Der Fall des reellen Körpers

Sei nun k der Körper der reellen Zahlen. Ein nicht ausgearteter quadratischer Raum V ist bis auf Isomorphie durch den Sylvester Typ (p, q) bestimmt. Das heißt die zugrunde liegende quadratische Form ist durch eine symmetrische Matrix in der Diagonalform diag(1, ..., 1, −1, .., −1) mit p Einsern und q - Einsern gegeben und p + q = n. Für uns ist der Lorentz Fall p = 1 von besonderem Interesse.

Für V wie oben definieren wir die reelle Clifford Algebra C(V) und die Gruppe GP in(V) etc.. Wir wollen aber ganz allgemein eine Pin-Darstellung dieser Gruppe definieren. Diese Darstellung wird im allgemeinen ”ℂ-wertig” sein. Aus diesem Grund betrachten wir die Komplexifizierung W = V_{ℂ} des quadratischen Raums. Die quadratische Form q kann auf W fortgesetzt werden und macht W zu einem quadratischen Raum über dem Körper k = ℂ. Wir schreiben (V, q) = (W, q)^{θ}.

Da zwei nicht ausgeartete quadratische Formen auf einem endlich dimensionalen ℂ-Vektorraum äquivalent sind, gibt es eine komplexe Basiswechselmatrix A von W, welche q in Standardform transformiert. Zum Beispiel im Lorentz Fall mit gerader Dimension n (was im folgenden stillschweigend angenommen werden soll) wähle A = diag(1, i, .., i, 1, 1, ..., 1) mit (q−1)/2 mal dem Eintrag i. Diese Matrix transformiert die Form q zur Form S = diag(1, −1, .., −1, −1, .., −1) in die Splitform q_{split} zur symmetrischen Matrix S_{split} = diag(1, ..., 1, −1, ..., −1). Bis auf eine Reskalierung ist q_{split} hyperbolisch, denn bezüglich der Basis e_{1} +e_{1}^{∗}, ..., e_{m} +e_{m}^{∗}, e_{1} −e_{1}^{∗}, .., e_{m} −e∗_{m} wird die hyperbolische Form durch obige Diagonalmatrix S_{split} (bis auf den Skalar 2) repreäsentiert.

Der hyperbolische reelle Raum (V, q_{split}) definiert einen ℂ-antilinearen Automorphismus θ von V_{ℂ}, so daß q_{split} reell ist bezüglich θ. Dasselbe gilt für C(V, q_{split}) und die Pindarstellung. Dies definiert kompatible antilineare Automorphismen von V_{ℂ}, C(V_{ℂ}) und P_{L} (falls L wie oben reell gewählt wird), welche wir alle mit θ bezeichnen wollen. Der ursprüngliche betrachtete Raum (V, q) definiert auch eine reelle Struktur auf (V_{ℂ}, q_{split}), welche wir mit θ_{p,q} oder θ_{V} bezeichnen wollen. Es gilt θ_{p,q} = diag(1, −1, .., −1, 1, 1, .., 1) ∘ θ. Mit Hilfe der Abbildungen θ = θ_{p,p} und θ_{p,q} kann man sich dann vollkommen auf den komplexen Fall zurückziehen. Zum Beispiel ist GP in(V, q) die Gruppe aller Matrizen in GP in(V_{ℂ}, q_{split}), welche mit θ_{p,q} vertauschen. Die Einschränkung der Pin-Darstellung von GP in(V_{ℂ}, q_{split}) auf diese Untergruppe GP in(V, q) ist dann per Definition die Pin-Darstellung von GP in(V, q) auf dem komplexen Vektorraum P_{L}. Man sagt dann, daß diese Darstellung über ℝ definiert ist, wenn es eine antilineare Abbildung θ̃, θ̃^{2} = id auf P_{L} gibt mit der Eigenschaft

θ̃ ∘ P in_{L}(g) ∘ θ̃^{−1} = P in_{L}(θ_{p,q} ∘ g ∘ θ_{p,q}^{−1})

für alle g ∈ GP in(V_{ℂ}, q_{split}). Beispielsweise definiert θ̃ = θ eine solche reelle Struktur im hyperbolischen Fall p = q.

\underline{Bemerkung}: Da die Pindarstellung irreduzibel ist, ist θ̃ eindeutig bestimmt, wenn sie existiert. Eine reelle Struktur existiert offensichtlich genau dann, wenn C(V, q) isomorph ist zur reellen Matrix Algebra M_{N,N}(ℝ). Dies ist nicht immer der Fall. Beispielsweise im Fall (p, q) = (1, 3) gerade nicht! Man kann zeigen C(V, q) ≅ M_{N,N}(ℝ) gilt genau dann, wenn p−q ≡ 0, −2 modulo 8.

Wir erhalten folgendes Diagramm

\xymatrix{(V, q) \ar@{^{(}->}[d] \ar@{^{(}->}[dr]^{θ_{p,q}} & (V, q_{split}) \ar@{^{(}->}[d]^{θ} \\ (V_{ℂ}, q) \ar@{^{(}->}[d] \ar[r]^{∼}_{A} & (V_{ℂ}, q_{split}) \ar@{^{(}->}[d] \\ C(V_{ℂ}, q) \ar[r]^{∼}_{C(A)} & C(V_{ℂ}, q_{split}) \ar[r]^{∼} & End_{ℂ}(P_{L}) \\ GP in(V_{ℂ}, q) \ar@{^{(}->}[u] \ar[r]^{∼} & GP in(V_{ℂ}, q_{split}) \ar@{^{(}->}[u] \\ GP in(V, q) \ar@{^{(}->}[u] \ar@{^{(}->}[ur]_{θ_{p,q}} & GP in(V, q_{split}) \ar@{^{(}->}[u]_{θ}}

Der Dirac Operator D_{V}

Sei V ein reeller quadratischer Raum. Wir wählen eine Basis e_{1}, .., e_{n} von V und einen ℂ-Isomorphismus A von V_{ℂ} wie im letzten Abschnitt. Sei S die symmetrische Matrix, welche bezüglich dieser Basis die quadratische Form beschreibt. Setze b_{i} = A(e_{i}) und γ_{i} = ϕ(b_{i}) bezüglich der Einbettung ϕ : V_{ℂ} ↪ C(V_{ℂ}, q_{split}). Der Dirac Operator

D_{V} : C^{∞}(V, P_{L}) → C^{∞}(V, P_{L})

ist dann definiert durch

D_{V} = i · ( ∑_{ν,μ=1}^{n} γ_{ν}S_{νμ} \frac{∂}{∂x_{μ}}) − m .

D_{V} hängt nur von V und nicht von der Wahl der Basis ab.

\underline{Bemerkung}: Der Faktor i macht i\frac{∂}{∂x_{μ}} selbstadjungiert!

\underline{Äquivarianz}: Für g ∈ GP in(V_{ℂ}, q_{split}) sei ĝ ∈ O(V) die induzierte Isometrie. Wir setzen

C_{g}(ψ)(x) = g(ψ(ĝ^{−1}(x))) .

Dann ist das folgende Diagramm kommutativ

\xymatrix{C^{∞}(V, P_{L}) \ar[d]_{C_{g}} \ar[r]^{D_{V}} & C^{∞}(V, P_{L}) \ar[d]^{C_{g}} \\ C^{∞}(V, P_{L}) \ar[r]^{D_{V}} & C^{∞}(V, P_{L})}

Dies folgt aus g^{−1} < γ, ∂ > gψ(ĝ^{−1}x) =< g^{−1}γg, ĝ^{−1}(∂) > ψ(x)|_{x→ĝ^{−1}(x)} =< γ, ∂ > ψ(x)|_{x→ĝ^{−1}(x)}. Insbesondere operiert GP in(V_{ℂ}, q_{split}) – und damit auch die Untergruppe GP in(V) ⊂ GP in(V_{ℂ}, q_{split}) – auf Kern(D_{V}).

\underline{Die Matrix C}: Das konjugiert komplexe θ(ψ(x)) einer Lösung ψ(x) der Dirac Gleichung ist im allgemeinen keine Lösung der Dirac Gleichung (wegen i ↦ −i und \overline{γ}_{ν} := θγ_{ν}θ^{−1} ≠ γ_{ν}). Es gibt eine Matrix C in End_{ℂ}(P_{L}) = M_{N,N}(ℂ) mit der Eigenschaft

(∗) C v C^{−1} = −θ(v) , ∀v ∈ ∑_{ν} ℝ · γ_{ν} .

Mit anderen Worten: Konjugation mit C macht die Matrizen γ_{ν} alle rein imaginär. C existiert, da die γ_{ν} und die −θ(γ_{ν}) dieselben Clifford Relationen erfüllen und ist eindeutig bis auf eine Konstante.

\underline{Konsequenzen der Gleichung (∗)}: C^{2} vertauscht mit allen γ_{ν} und ist somit in ℂ^{∗} · id. Wir normieren C so daß gilt

C^{2} = id .

Dann ist C und damit der Operator C_{V} bis auf ein Vorzeichen allein durch V bestimmt. Da C durch die Gleichung (∗) bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist, folgt außerdem C = c·θ(C)^{−1}. Wegen C^{2} = id gilt dann c^{2} = 1 und c = ±1. Also

C · θ(C) = κ_{V} · id , κ_{V} = ±1 .

\underline{Ladungsoperator C_{V}}: Mit obiger Normierung C^{2} = id setzt man

ψ^{C}(x) = C · θ(ψ(x)) =: C · \overline{ψ}(x)

und erhält ein kommutatives Diagramm

\xymatrix{C^{∞}(V, P_{L}) \ar[d]_{C_{V}} \ar[r]^{D_{V}} & C^{∞}(V, P_{L}) \ar[d]^{C_{V}} \\ C^{∞}(V, P_{L}) \ar[r]^{D_{V}} & C^{∞}(V, P_{L})}

für den Operator

C_{V} : ψ(x) ↦ ψ^{C}(x) .

Der Ladungsoperator C_{V} ist ℂ-antilinear und eindeutig bis auf ein Vorzeichen. Wegen (∗) gilt

C_{V} ∘ C_{g} = C_{g} ∘ C_{V} , ∀g ∈ Spin(V) .

Reelle Strukturen auf C^{∞}(V, P_{L})

Der Operator C_{V} ist antiliniear auf C^{∞}(V, P_{L}). Er definiert daher eine reelle Struktur genau dann wenn gilt C_{V}^{2} = id. Äquivalent dazu ist Cθ(C) = id oder κ_{V} = 1. In diesem Fall definiert C ∘ θ : P_{L} → P_{L} eine reelle Struktur von P_{L}. Es gilt Cθv(Cθ)^{−1} = Cθ(v)C^{−1} = C^{−1}θ(v)C = −v gilt für alle v ∈ ∑ ℝ · γ_{ν}. Die Umkehrung gilt auch. Die Gleichung (∗) besitzt eine Lösung ⟺ ∃C mit C(i · v)C^{−1} = θ(i · v) für alle v wie in (∗) mit Cθ(C) = id und C^{2} = id ⟺ C(V, −q) ≅ M_{N,N}(ℝ), da V die Clifford Algebra erzeugt. (Der Übergang von v nach i · v entspricht dem Übergang von der quadratischen Form q(v) nach −q(v)).

\underline{Folgerung}: Der \underline{Ladungsoperator} C_{V} definiert eine \underline{reelle} Struktur

C_{V}^{2} = id

genau dann, wenn gilt q − p ≡ 0, 2 modulo 8. (Im Lorentz Fall also für n ≡ 2, 4 modulo 8). Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt C(V, −q) ≅ M_{N,N}(ℝ).

\underline{Der Operator Θ_{V}}: Leider kommutiert der Ladungsoperator nicht richtig mit der Operation von GSpin(V). Sei Γ_{hyp} das chirale Element der hyperbolischen Struktur. Γ_{hyp} ist durch die Normierung Γ_{hyp}^{2} = 1 bis auf ein Vorzeichen bestimmt. Wir setzen

Θ_{V} = C_{Γ_{hyp}} ∘ C_{V} ,

also Θ_{V} (ψ)(x) = ψ^{Θ_{V}} (x) = ±C_{Γ_{hyp}}(ψ^{C})(x) = Γ_{hyp} · ψ^{C}(−x). Dann gilt

• Θ_{V} vertauscht mit dem Dirac Operator D_{V}

• Θ_{V}^{2} = (−1)^{(p−q)/2}κ_{V} · id und Θ_{V} ist ℂ-antilinear auf C^{∞}(V, P_{L})

• Θ_{V} ∘ C_{g} ∘ Θ_{V}^{−1} = C_{g} für alle g ∈ GP in(V, q) und alle Translationen”.

für gerades n = 2m.

Θ_{V} definiert eine reelle Struktur für n = 2m genau dann wenn gilt q − p ≡ 0, 6 modulo 8.

\underline{Beweis}: Die erste und die dritte Behauptung folgt aus (∗). Offensichtlich ist Θ_{V} antilinear. Beachte Γ_{hyp} = ±i^{(q−p)/2}Γ_{V}. Zur Berechnung von Θ_{V}^{2} kann man daher Γ_{hyp} durch Γ_{V} = γ_{1}...γ_{2m} ersetzen. Es folgt Θ_{V}^{2} = Γ_{V} Cθ(Γ_{V} C)id. Wegen (∗) gilt θ(Γ_{V}) = (−1)^{2m}CΓ_{V} C^{−1}. Also gilt Θ_{V}^{2} = Γ_{V}^{2} κ_{V} · id wegen C^{2} = id. Beachte Γ_{V}^{2} = (−1)^{(q−p)/2}. Dies zeigt die Behauptungen.

\underline{Beispiel}: Im \underline{hyperbolischen} Fall reduziert sich Gleichung (∗) auf (∗)_{hyp}: CvC^{−1} = −v. Somit ist C = Γ_{hyp} in diesem Fall, also

Θ_{hyp}(ψ)(x) = θ(ψ(−x)) .

Somit definiert Θ_{hyp} bis auf x ↦ −x die \underline{reelle} Standardstruktur auf C^{∞}(V, P_{L}). Beachte Γ_{hyp}^{2} = 1 und Γ_{hyp} ist reell.

\underline{Beispiel}: Im Lorentz Fall (p, q) = (1, n − 1) für gerades n = 2m ist C_{V}^{2} = 1 genau dann, wenn n − 2 ≡ 0, 2 modulo 8. Das heißt also n ≡ 2, 4 modulo 8 beziehungsweise m − 1 ≡ 0, 1 modulo 4. Für n ≡ 4 modulo 8 (oder m − 1 ≡ 1 modulo 4) ist die gesuchte Matrix C

C_{Lorentz} = γ_{2}γ_{3} … γ_{m} .

Beachte Cγ_{ν} = −γ_{ν}C für ν = 1, ν > m und θ(γ_{ν}) = γ_{ν}. Für 2 ≤ ν ≤ m gilt dagegen Cγ_{ν} = γ_{ν}C und θ(γ_{ν}) = −γ_{ν}. Für n ≡ 2 modulo 8 (oder m − 1 ≡ 0 modulo 4) ist analog

C_{Lorentz} = Γ · γ_{2}γ_{3} … γ_{m} .

Wir wollen nun noch C_{V}^{2} bestimmen. Dazu beachten wir θCθ^{−1} = (−1)^{m−1}C in beiden Fällen. Weiterhin gilt C^{2} = (−1)^{m−1}(−1)^{(m−1)(m−2)/2} im ersten Fall und C^{2} = (−1)^{m}(−1)^{(m+1)m/2} im zweiten Fall. Dies beweist C^{2} = +id sowohl für n ≡ 0 modulo 8 als auch für n ≡ 2 modulo 8.

Hermitesche Paarungen

Wir wollen eine hermitesche Paarung [., .] auf C^{∞}(V, P_{L}) konstruieren.

Der Operator Γ_{hyp}Cθ kommutiert mit allen Elementen g ∈ Gpin(V). Mit Hilfe der P in(V)-invarianten Paarung (., .) auf P_{L} definiert man dann

[ψ_{1}, ψ_{2}] = (Γ_{hyp}Cθ(ψ_{1}), ψ_{2}) ,

eine P in(V)-invariante hermitesche Paarung auf C^{∞}(V, P_{L}) mit Werten in C^{∞}(V, ℂ). Diese Paarung ist (in den Fasern) eindeutig bestimmt bis auf einen Skalar. Sie sollte daher eindeutig bestimmt sein falls man zusätzlich die Translations Invarianz fordert. Sie ist im allgemeinen aber nicht definit! Weiterhin gilt

∫_{V} [D_{V} ψ_{1}, ψ_{2}]dv = ∫_{V} [ψ_{1}, D_{V} ψ_{2}]dv

falls ψ_{1}, ψ_{2} genügend stark abklingend. Dies folgt aus Γ_{hyp}Cθ(D_{V} ψ_{1}) = Γ_{hyp}Cθ((i ∑ γS∂ − m)ψ_{1}) = (−i ∑ γS∂ − m)Γ_{hyp}Cθ(ψ_{1}) und ((−i ∑ γS∂ − m)α, β) = (α, (i ∑ γS∂ − m)β) plus exakte Terme.

Im Lorentz Fall ist Γ_{hyp}Cθ = ±γ_{1}Fθ und es gilt (Fe_{I}, e_{J}) = δ_{IJ}. Setzt man daher ψ = ∑ ψ_{I}e_{I} und definiert

\overline{ψ} := γ_{1} · θ(ψ)

(Physiker Konvention! leicht zu verwechseln mit komplexer Konjugation oder der Onvolution auf der Clifford Algebra), dann schreibt sich [ψ_{1}, ψ_{2}] in der Form

[ψ_{1}, ψ_{2}] = \overline{ψ}_{1} · ψ_{2}

mit dem Standard Skalarprodukt bezüglich der Basis der e_{I}. Da γ_{1} durch e_{1}+e_{1}^{∗} dargestellt wird, ist also die Paarung [., .] im Lorentz Fall symmetrisch. Beachte, daß die Paarung (., .) auf P_{L} dagegen auch im Lorentzfall nicht immer symmetrisch ist.

Relativistische Quantenmechanik

\underline{Beispiel}: Im Lorentz Fall sei P ∈ O(V) die Raumspiegelung und T ∈ O(V) die \underline{Zeitspiegelung}. Das heißt P (t, x_{2}, ...x_{n}) = (t, −x_{2}, .., −x_{n}) und T (t, x_{2}, .., x_{n}) = (−t, x_{2}, .., x_{n}). P und T werden induziert von dem sogenannten \underline{Paritätsoperator}

P = ±γ_{1} , P^{2} = id , θ(P) = P

aus GSpin(V_{Lorentz}) respektive von

T = ±Γ_{hyp} ∘ γ_{1} , T^{2} = −id, θ(T) = T

in GSpin(V_{Lorentz})(ℂ). Beachte θ_{1,n−1}(Γ_{hyp}) = (−1)^{m−1} und Γ_{1,n−1} = (i^{m−1})Γ_{hyp}, wobei in der Physik Literatur gilt γ_{5} = Γ_{hyp}. Die induzierten Operatoren C_{P} , C_{T} auf C^{∞}(V, P_{L}) nennen wir P und T.

\underline{PCT}: In der physikalischen Literatur heißt der ℂ-antilineare Operator

T = T ∘ C_{V}

\underline{Zeitumkehroperator}. Siehe [BD1], (5.4), S.84 und [SW],(1.45). Es gilt

(P ∘ C_{V} ∘ T ψ)(x) = ±Γ_{hyp}ψ(−x) .

Beim Übergang von der relativistischen Quantenmechanik zur Quantenfeldtheorie (siehe [BD2]) ersetzt man den Operator C_{V} = C ∘ θ durch den ℂlinearen Operator C und erhält den bereits definierten hyperbolischen Ladungskonjugations Operator, den antilinearen PCT-Operator

P ∘ C ∘ T = ±Θ
(Θψ)(x) = ±Γ_{hyp}θ(ψ(−x)) .

Der Operator Θ vertauscht mit Translationen.

Wir bemerken zum Abschluß: T (ψ) = c · Γ_{hyp}γ_{1}[Γ_{hyp}^{ε}(γ_{2}....γ_{m}) · θ](ψ) = c′ · Γ_{hyp}^{ε}Fθ(ψ) mit ε = 0 im Fall 4|n und ε = 1 für 4 |̸n bis auf Normierungskonstanten c, c′. Es gilt T^{2} = (Γ_{hyp}^{ε}F)^{2} = (−1)^{mε}F^{2} = (−1)^{mε}(−1)^{m(m+1)/2} · id. Wegen m ≡ 1, 2 mod 4 ist also T quaternional

T^{2} = −id .

Der 4-dimensionale Fall 32

Appendix

Wir skizzieren den Beweis für die \underline{Dualitätsformel}, welche am Ende des ersten Abschnitts formuliert wurde.

Sei V = V_{1} ⊕ V_{2} und sei V_{1} bzw. V_{2} eine direkte Summe von r bzw. s hyperbolischen Ebenen. Dann gilt F = F_{1} ⊗^{ε} F_{2} sowie F^{−1} = (−1)^{rs}F_{1}^{−1} ⊗^{ε} F_{2}^{−1}. Somit F(a_{1} ⊗^{ε} a_{2})F^{−1} = (−1)^{rs}(−1)^{rs+s|a_{1}|+r|a_{2}|}F_{1}a_{1}F_{1}^{−1} ⊗^{ε} F_{2}a_{2}F_{2}^{−1}. Es folgt

int^{ε}(F)(a_{1} ⊗^{ε} a_{2}) = int^{ε}(F_{1})a_{1} ⊗^{ε} int^{ε}(F_{2})a_{2} .

Somit reduziert man wegen (b_{1} ⊗^{ε} b_{2})^{∗} = (−1)^{|b_{1}||b_{2}|}b_{1}^{∗} ⊗^{ε} b_{2}^{∗} den Beweis der Dualitätsformel mittels

(M ⊗^{ε} N)′ = (−1)^{|M||N|} · M′ ⊗^{ε} N′

auf den Fall einer zweidimensionalen hyperbolischen Ebene. Die letzte Formel ergibt sich aus

M_{1} ⊗^{ε} M_{2} = ( \begin{matrix}αa & −βb & αb & βa \\ γc & δd & γd & −δc \\ αc & βd & αd & −βc \\ γa & −δb & γb & δa \end{matrix} )

für

M_{1} = ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) , M_{2} = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )

in der Basisdarstellung bezüglich (V_{1}^{+} ⊗ V_{2}^{+}) ⊕ (V_{1}^{−} ⊗ V_{2}^{−}) ⊕ (V_{1}^{+} ⊗ V_{2}^{−}) ⊕ (V_{1}^{−}⊗V_{2}^{+}). Für die zweidimensionale hyperbolische Ebene gilt F = e−e^{∗} und F^{−1} = −F. Also int^{ε}(F)(e) = e^{∗} und int^{ε}(F)(e^{∗}) = e und int^{ε}(F)(ee^{∗}) = e^{∗}e. Dies zeigt die Behauptung im zweidimensionalen Fall. Damit ist gezeigt

c^{T} = int^{ε}(F)(c^{∗}) = int^{ε}(F)(c)^{∗}

für c ∈ C(V). Beachte F^{∗} = (−1)^{m}\overline{F} = (−1)^{m}F^{−1} = (−1)^{m(m−1)/2}F. Offensichtlich gilt (c^{T})^{T} = c. Für d ∈ Spin(V) gilt d^{T} = Fd^{∗}F^{−1} = Fd^{−1}F^{−1}. Somit kommutiert das Diagram

\xymatrix{Spin(V) \ar[d]_{(.)^{T}} \ar[r] & SO(V) \ar[d]^{(.)′} \\ Spin(V) \ar[r] & SO(V)}

Beachte g′ = fg^{−1}f^{−1} gilt für alle g ∈ O(V).

Literatur

[BD1,2] Bjorken-Drell,

[SW] Streater-Wightman, PCT