Übungsaufgaben zur Algebra II, Blatt 3

\underline{Abgabe 26.5.2003}

Aufgabe 1) Sei R = R_{1} × R_{2} Produkt zweier Ringe R_{1} und R_{2}. Zeige:

Spec(R) = Spec(R_{1}) ˙∪Spec(R_{2}).

Aufgabe 2) Sei f ∈ R. Zeige:

R_{f} ≃ R[X]/(X · f − 1).

Hinweis: Benutze die universelle Eigenschaft der Lokalisierung.

Aufgabe 3) Zeige Rad(Rad(I)) = Rad(I) für alle Ideale I von R.

Aufgabe 4) Durch Restklassenbilden kann man die Elemente f ∈ R als Funktionen

f : Spec(R) → ⨁_{P prim} R/P

auffassen. Zeige, daß äquivalent sind:

• f(P) ≠ 0 für alle P ∈ Spec(R)

• f ∈ R^{∗}.

\underline{Abgabe 19.5.2003}

Aufgabe 1) Sei R ein Ring und I_{1}, I_{2} Ideale in R. Es bezeichne I_{1} + I_{2} den ggT von I_{1} und I_{2}. Aus I_{1} + I_{2} = R folgt

I_{1} ∩ I_{2} = I_{1} · I_{2}.

Aufgabe 2) Für die Menge V (I) = {𝔭 ⊇ I | 𝔭 Primideal} eines Ideals I von R zeige:

V (I) = ∅  ⇔  I = R.

Aufgabe 3) Für Ideale I_{ν} eines Ringes R gilt

⋂_{ν} V (I_{ν}) = V (ggT{I_{ν}}).

Aufgabe 4) Zeige, daß das Spektrum Spec(R) eines Ringes R quasikompakt ist, d.h. jede offene Überdeckung von Spec(R) eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Hinweis: Durch Dualisieren kann man die die Definition von quasikompakt so umformulieren, daß nur abgeschlossene Mengen benutzt werden.

Organisatorischer Hinweis: Der Übungsbetrieb startet heute, 14:15Uhr in Hörsaal 5 (INF288).

Abgabe nach Vereinbarung

Aufgabe 1) Sei L = ℚ(\sqrt{D}), wobei D ∈ ℤ quadratfrei ist. Der ganze Abschluß O_{L} von ℤ in L ist

ℤ + \frac{1+\sqrt{D}}{2} · ℤ für D ≡ 1(mod 4)
ℤ + \sqrt{D} · ℤ für D ≡ 2, 3(mod 4)

Zeigen Sie zuerst: Ein Element ist ganz genau dann, wenn sein Minimalpolynom ganze Koeffizienten hat.

Aufgabe 2) Sei [L : ℚ] < ∞ und x ∈ L. Dann existiert ein m ∈ ℤ, so daß m·x im ganzen Abschluß O_{L} von ℤ in L liegt.

Hinweis: Betrachte ein Minimalpolynom von x über ℚ. Allgemeiner betrachte den Fall [L : K] < ∞ mit K = Quot(R) und R Integritätsbereich.

Aufgabe 3) Sei K/ℚ eine galoische Erweiterung mit [K : ℚ] = n < ∞ und Galoisgruppe G = G(L/ℚ) = {σ_{1}, ..., σ_{n}}. Zeige, daß eine Basis ω_{1}, ..., ω_{n} existiert mit

det ( \begin{matrix}σ_{1}(ω_{1}) & ⋯ & σ_{1}(ω_{n}) \\ ⋮ & & ⋮ \\ σ_{n}(ω_{1}) & ⋯ & σ_{n}(ω_{n}) \end{matrix} ) ≠ 0.

Hinweis: Satz vom primitiven Element.

Aufgabe 4) Wähle eine Basis ω_{i} wie in Aufgabe 3. Dann existiert ein m ∈ ℕ, so daß für alle x ∈ O_{K} gilt: Alle Koeffizienten x_{i} aus der Darstellung

x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}ω_{i}

erfüllen

m · x_{i} ∈ ℤ.

Aufgabe 5) Folgere aus Aufgabe 4, daß O_{K} ein endlich erzeugter ℤ–Modul vom Rang n ist.

Hinweis: Benutze den Appendix zum Paragraphen 87 des LA–Skriptes, so daß im wesentlichen nur der Rang zu bestimmen bleibt.