Riemannsche Flächen Vorlesung im SS 2001 (Rainer Weissauer)

0.1 Grundlagen

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Garben

Eine Prägarbe G (abelscher Gruppen) auf einem topologischen Raum X ist eine Vorschrift, welche jeder offenen Menge U von X eine abelsche Gruppe G(U) zuordnet so daß für jede Inklusion V ⊂ U offener Mengen ein Gruppenhomomorphismus

r_{U}^{V} : G(U) → G(V)

existiert mit den Eigenschaften r_{V}^{V} = id und r_{V}^{W} ∘ r_{U}^{V} = r_{U}^{W} (W ⊂ V ⊂ U).

Eine Prägarbe G auf X heißt Garbe, wenn weiterhin die folgenden beiden Garbenaxiome G1 und G2 (und G3) erfüllt sind. Diese lauten: Sei U ⊂ X offen und U = ⨆_{i∈I} U_{i} eine offene Überdeckung von U. Dann gilt

(G1) Sei f ∈ G(U). Dann impliziert r_{U}^{U_{i}}(f) = 0 für alle i ∈ I das Verschwinden f = 0.

(G2) Gegeben seien f_{i} ∈ G(U_{i}) für alle i ∈ I mit r_{U_{i}}^{U_{i}∩U_{j}}(f_{i}) = r_{U_{j}}^{U_{i}∩U_{j}}(f_{j}). Dann existiert f ∈ G(U) mit r_{U}^{U_{i}}(f)) = f_{i} für alle i ∈ I.

Ist I = ∅, dann folgt G(∅) = 0. Wir nehmen dies der Klarheit halber im folgenden als zusätzliches Axiom (G3) an.

Wir schreiben für r_{U}^{V} (f) manchmal auch nur f|V oder r(f) um anzudeuten, daß es sich um Einschränkungen handelt.

1.Beispiel: Sei C_{X}(U) die abelsche Gruppe der stetigen komplexwertigen Funktionen auf U, dann definiert dies eine Garbe C_{X} auf X in offensichtlicher Weise.

2.Beispiel: Sei A eine abelsche Gruppe (versehen mit der diskreten Topologie). Sei A_{X}(U) die Gruppe der lokal konstanten stetigen Abbildungen f : U → A. Dann definiert dies mit den offensichtlichen Restriktionssabbildungen r_{U}^{V} die konstante Garbe A_{X} auf X mit Werten in A.

3.Beispiel: Sei A eine abelsche Gruppe und x ∈ X ein fester Punkt. Dann definiert die Vorschrift G(U) = A für U ∋ x resp. G(U) = 0 sonst eine Garbe auf X, die Wolkenkratzergarbe im Punkt x mit Werten in A.

Sei G eine (Prä-)Garbe auf X. Sei x ∈ X ein Punkt. Der Halm G_{x} der (Prä-)Garbe G im Punkt x ist eine abelsche Gruppe, definiert als der direkte Limes

G_{x} = lim_{→} G(U)

(über das gerichtete System aller offenen Teilmengen U von X welche x enthalten).

Sei G eine Prägarbe auf X. Für jedes x ∈ U hat man einen natürlichen Homomorphismus G(U) → G_{x} sowie das elementare

Lemma: Sei F eine Prägarbe auf X. Erfüllt F die Garbeneigenschaft G1, dann ist

F(U) → ∏_{x∈U} F_{x}

injektiv.

Beispiel: Für die Strukturgarbe O_{X} der holomorphen Funktionen auf einer Riemannschen Fläche X (siehe nächster Abschnitt) ist der Halm O_{X,x} enthalten im Potenzreihenring ℂ[[t]] (Identitätssatz!) und O_{X}(U) → O_{X,x} ist injektiv (für zusammenhängendes U ⊂ X mit x ∈ U).

Ein Garbenhomomorphismus ϕ : G → H zwischen Garben (abelscher Gruppen) auf X, ist eine Kollektion von Gruppenhomomorphismen ϕ_{U} : G(U) → H(U), welche die alle folgenden Diagramme kommutativ machen

\xymatrix{G(U) \ar[r]^{ϕ_{U}} \ar[d]^{r_{U}^{V}} & H(U) \ar[d]_{r_{U}^{V}} \\ G(V) \ar[r]^{ϕ_{V}} & H(V)}

für alle offenen Teilmengen V ⊂ U von X. Sind alle Morphismen ϕ_{U} injektiv, nennt man ϕ eine Garbeninjektion und G eine Untergarbe von H. Ein Garbenhomomorphism ϕ : G → H indiziert Gruppenhomorphismen ϕ_{x} : G_{x} → H_{x} der Halme für alle x ∈ X.

Sei ϕ : G → H ein Garbenhomomorphismus. Dann definiert

Kern(ϕ)(U) = Kern(ϕ_{U} : G(U) → H(U))

eine Untergarbe von G, den Kern von ϕ. Dies benutzt Garbenaxiom G1 und G2 für G und Garbenaxiom G1 für H!

Definition: Eine Sequenz von Garbenhomomorphismen

0 → F → G → H → 0

heißt exakt, wenn alle induzierten Halmsequenzen

0 → F_{x} → G_{x} → H_{x} → 0

für alle Punkte x ∈ X exakt sind.

Bemerkung: Die Exaktheit aller Sequenzen 0 → F(U) → G(U) → H(U) → 0 ist hinreichend, aber nicht notwendig für die Exaktheit.

Übungsaufgabe: Definieren die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger eine Garbe?

Appendix (direkte Limiten)

Sei I eine Indexkategorie. Wir nehmen an daß für je zwei Objekte i, j ∈ I ein geeignetes Objekt k ∈ I existiert mit Morphismen i → k und j → k; weiterhin soll für je zwei Morphismen u, v ∈ Mor(i, j) ein Morphismus w : j → k existieren mit w ∘ u = w ∘ v. Einen kovarianten Funktor I → Ab nennt man dann ein gerichtetes System (A_{i}, ϕ_{i→j}, i, j ∈ I, i → j ∈ Mor(i, j)) abelscher Gruppen. Eine Teilmenge J ⊂ I heißt kofinal, falls ∀i ∈ I ein Morphismus i → j existiert mit j ∈ J.

Sei A_{i}, ϕ_{i→j}, i, j ∈ I ein derartiges gerichtetes System. A_{j} ∋ a_{j} ∼ a_{i} ∈ A_{i}, falls ∃k, j → k, i → k mit ϕ_{i→k}(a_{i}) = ϕ_{j→k}(a_{j}), definiert eine Äquivalenzrelation auf ⨆_{i∈I} A_{i}. Weiterhin definiert

lim_{→} A_{i} = lim_{i∈I} A_{i} = ⨆_{i∈I} A_{i}/ ∼

den direkten Limes des gerichteten Systems.

Bemerkung: Ist J eine kofinale Unterkategorie von I, dann gilt

lim_{j∈J} A_{j} = lim_{i∈I} A_{i} .

Wir bemerken weiterhin

a) lim_{i} A_{i} ist eine abelsche Gruppe.

b) Ist ψ_{i} : A_{i} → A′_{i} eine kompatibles System von Gruppenhomomorphismen, dann indiziert dies einen Gruppenhomomorphismus ψ : lim_{i} A_{i} → lim_{i} A′_{i} der direkten Limiten.

c) Sind alle A_{i} Ringe, dann ist lim_{i} A_{i} ein Ring. Sind ψ_{i} wie oben sogar Ringhomorphismen, dann ist der Limes ψ ein Ringhomomorphismus.

d) Der direkte Limes ist ein exakter Funktor. Das heißt: Sind A′_{i} → A_{i} → A′′_{i} kompatible Systeme von exakten Sequenzen abelscher Gruppen. Dann induziert dies eine exakte Sequenz von direkten Limiten

lim_{i} A′_{i} → lim_{i} A_{i} → lim_{i} A′′_{i} .

Beweis der letzten Aussage d): Gegeben a ∈ lim_{i} A_{i} – representiert durch a_{i} ∈ A_{i} – im Kern. Das heißt, es existiert ein j ∈ I mit i → j und Bild(a_{i}) = 0 in A′′_{j}. Alle Objekte i, welche von j ausgehen (d.h. j → i), definieren eine kofinale Teilkategorie J von I. Unter dem mittleren senkrechten Isomorphismus entspricht a der Äquivalenzklasse des Element a_{j} := ϕ_{i→j(i)}(a_{i}) in lim_{j∈J} A_{j}. Das Bild von a_{j} in A′′_{j} is Null. Daher ist a_{j} das Bild eines Elementes a′_{j} ∈ A′_{j}. Die Äquivalenzklasse a′ von a′_{j} – geliftet auf die obere Zeile – bildet auf a ab.

Die Exaktheit des Limes Funktors folgt daher unmittelbar aus dem folgenden Diagramm

[figure: a_{i}/ ∼; 0; lim_{i∈I}A′_{i}; lim_{i∈I} A_{i}; lim_{i∈I} A′′_{i}; lim_{j∈J}A′_{j}; lim_{j∈J} A_{j}; lim_{j∈J} A′′_{j}; a′_{j}/ ∼; a_{j}/ ∼]

Riemannsche Flächen

Sei X ein zusammenhängender separierter topologischer Raum. X heißt Riemannsche Fläche, wenn eine holomorphe Struktur auf X gegeben ist. Eine holomorphe Struktur ist eine Äquivalenzklasse holomorpher Atlanten von X. Ein Atlas ist eine Überdeckung X = ⨆_{i∈I} U_{i} durch eine offene Überdeckung von X, zusammen mit Homöomorphismen (Kartenabbildungen)

ϕ_{i} : U_{i} ≅ V_{i} ⊂ ℂ , i ∈ I

auf offene Teilmengen V_{i} von ℂ, für die alle Kartenwechsel ϕ_{ji} = ϕ_{j} ∘ ϕ_{i}^{−1} : ϕ_{i}(U_{i} ∩ U_{j}) → ϕ_{j}(U_{i} ∩ U_{j}) holomorphe Abbildungen sind.

Es gilt automatisch ϕ_{kj} ∘ ϕ_{ji} = ϕ_{ki} und ϕ_{ii} = id_{V_{i}} für alle i, j, k ∈ I. Die Daten (X, U_{i}, ϕ_{i}, I) definieren einen holomorphen Atlas. Zwei Atlanten heißen äquivalent, wenn sie zu einem gemeinsamen holomorphen Atlas ”verfeinert”weren können.

Die Riemannsche Zahlenkugel S als Riemannsche Fläche:

S = S_{0}∪S_{∞} ist eine offene Überdeckung; Die stereographische Projektion auf die ℂ von ∞ definiert eine Kartenabbildung ϕ_{0} : S_{0} ≅ ℂ. Die entsprechende Projektion auf C (Tangentialebene bei ∞ von unten betrachtet!) definiert eine Kartenabbildung ϕ_{∞} : S_{∞} ≅ ℂ. Es gibt 4 Kartenwechsel. Zwei sind die Identität, die beiden anderen ϕ_{∞0} und ϕ_{0∞} sind invers zueinander. Der Atlas ist holomorph wegen

Lemma: ϕ_{o∞}(z) = z^{−1}.

Beweis: Für z = re^{iϕ} gilt ϕ_{o∞}(r · e^{iϕ}) = R · e^{iϕ} − R · e^{−iϕ} = z^{−1}. Denn R = r^{−1}. Dies folgt aus dem Satz von Thales und der Orthogonalität der beiden Vektoren (r, 1) und (R, −1); somit r · R + 1 · (−1) = 0.

Sei X eine Riemannsche Fläche. Eine Funktion

f : X → ℂ

heißt holomorph, falls alle Abbildungen

f ∘ ϕ_{i}^{−1} : V_{i} → ℂ

holomorph sind. Analog definiert man C^{∞}-Funktionen. Ist X eine Riemannsche Fläche, dann erbt jede (zusammenhängende) offene Teilmenge U ⊂ X die Struktur einer Riemannschen Fläche. Eine Funktion f : U → C heißt holomorph, wenn sie auf jeder Zusammenhangskomponente holomorph ist. Wir bezeichnen mit

O_{X}(U)

die ℂ-Algebra der holomorphen Funktionen auf U. Mit den Einschränkungen als Restriktionsabbildungen definiert dies offensichtlich eine Garbe auf X, die Strukturgarbe der Riemannschen Fläche. Man hat die Garbeninklusionen

O_{X} ⊂ C_{X}^{∞} ⊂ C_{X} .

Lemma: Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche. Dann ist jede holomorphe Funktion auf X konstant: O_{X}(X) = ℂ_{X}(X) = ℂ.

Beweis: Jede holomorphe Funktion f auf X ist stetig, nimmt daher ihr Maximum in einem Punkt x_{0} ∈ X an. Aus dem Maximumsprinzip (angewendet auf f ∘ ϕ_{i}^{−1} in einer geeigneten Karte V_{i}) folgt, daß f in einer Umgebung von x_{0} konstant ist. Dann ist f aber generell konstant, denn

Lemma: Sei X eine Riemannsche Fläche, und U eine nichtleere offene Teilmenge von X. Dann gilt O_{X}(X) ↪ O_{X}(U).

Beweis: Sei f holomorph auf X. Dann folgt f = 0, wenn f = 0 gilt in einer Umgebung von U. X ist (automatisch wegweise) zusammenhängend. Wähle einen stetigen Weg von x zu x_{0} ∈ U. Endliche viele Karten überdecken diesen Weg. Man beweist f(x) = 0 mittels des Identitätsatzes (in den endlich vielen relevanten Karten V_{i}).

Definition: Eine Abbildung g : X → Y zwischen Riemannschen Flächen heißt holomorph, wenn für alle offenen Teilmengen V ⊂ Y und alle f ∈ O_{Y} (V) gilt f ∘ g ∈ O_{X}(g^{−1}(V)).

Offensichtlich ist Holomorphie von g : X → Y eine lokale Eigenschaft von g auf X. Für eine Überdeckung X = ⨆_{i} U_{i} gilt also: g ist holomorph ⟺ alle g|U_{i} sind holomorph. Außerdem genügt es in der Definition V aus einer offenen Überdeckung zu wählen.

Übungsaufgabe: Definiere analog die Garben O_{X}^{∗}, M_{X}, M_{X}^{∗} und zeige M_{S}(S) = ℂ(z) sowie M_{S}^{∗}(S) = ℂ(z)^{∗}. Siehe auch Busam-Freitag Seite 152 ff.

Übungsaufgabe: Jede nichtkonstante meromorphe Funktion f ∈ M^{∗}(X) auf einer kompakten Riemannschen Fläche X definiert eine surjektive holomorphe Abbildung f : X → S auf die Riemannsche Zahlenkugel. Hinweis: Hat f einen Pol bei x ∈ X, dann ist \frac{1}{f} holomorph bei x.

Die Exponentialsequenz

Sei X eine Riemannsche Fläche. Sei O_{X} die Strukturgarbe und O_{X}^{∗} die Garbe der invertierbaren holomorphen Funktionen auf X. Die Exponentialabbildungen f(z) ↦ exp(2πi · f(z))

O_{X}(U) → O_{X}^{∗}(U)

definieren einen Garbenhomomorphismus O_{X} → O_{X}^{∗}, die Exponentialabbildung. Der Kern ist offensichtlich die konstante Garbe ℤ_{X}.

Satz: Die zugehörige Garbensequenz

0 → ℤ_{X} → O_{X} → O_{X}^{∗} → 0

ist exakt.

Beweis: Dies folgt aus dem nächsten Lemma, denn für jede einfach zusammenhängende zusammenhängende Teilmenge U ⊂ X mit Kartenabbildung ϕ : U → V ⊂ ℂ ist exp : O_{X}(U) → O_{X}^{∗}(U) surjektiv. Siehe Busam-Freitag.

Lemma: Eine Sequenz 0 → F → G → H → 0 von Garbenhomomorphismen auf X ist exakt gdw gilt

(i) 0 → F(U) → G(U) → H(U) ist exakt für alle offenen U ⊂ X.

(ii) ∀U ∀h ∈ H(U) ∀x ∈ U ∃V ⊂ U, x ∈ V mit r_{U}^{V} (h) ∈ Bild(G(V)) (für U,V offen in X)

Beweis: Eine Richtung ist klar, da Halmbildung als direkter Limes ein exakter Funktor ist. (Insbesondere vertauscht Halmbildung mit Kernbildung, was wir weiter unten benutzen werden). Wir beschränken uns auf die Umkehrung, daß (i) und (ii) aus der Exaktheit der Halmsequenzen folgt. (ii) ist klar wegen der Surjektivität von G_{x} → H_{x} und der Halm-Definition. Nun zum Beweis von (i).

Die Injektivität F(U) → G(U) folgt aus

\xymatrix{F(U) \ar[r] \ar@{^{(}->}[d] & G(U) \ar@{^{(}->}[d] \\ ∏_{x∈U} F_{x} \ar@{^{(}->}[r] & ∏_{x∈U} G_{x}}

Analog zeigt man, daß die Zusammensetzung F → H Null ist. Somit ist

F ⊂ K

eine Untergarbe des Kerns K des Garbenhomomorphismus G → H. Da Halm- und Kernbildung vertauschen, induziert die obige Garbeninklusion Halmisomorphismen F_{x} ≅ K_{x} für alle x. Exaktheit bei G folgt daher aus dem nächsten

Lemma: Sei ψ : F → K eine Garbeninklusion mit ψ_{x} : F_{x} ≅ K_{x} für alle x ∈ X. Dann gilt F = K.

Beweis: Sei k ∈ K(U). Für alle x ∈ U existiert V = V_{x} mit x ∈ V ⊂ U und f_{V} ∈ F(V) mit f_{V} = r_{U}^{V} (h) wegen der Halmsurjektivität. Die V_{x} definieren eine Überdeckung von U. Die Elemente f_{V} sind durch h (und V) und

f_{V} = r_{U}^{V} (h)

eindeutig bestimmt. Daher Verkleben sich die f_{V} mittels Garbenaxiom G2 zu einem Schnitt f von F(U). Wegen Garbenaxiom G1 gilt dann sogar f_{V} = h auf ganz U. Es folgt F(U) = K(U).

Die Fundamentalgruppe 13

0.2 Cechkohomologie

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Der Cechkomplex

Sei X = ⨆_{i∈I} U_{i} eine Überdeckung U des Raumes. Sei G ein Prägarbe auf X. Dann definiert man für r ≥ 0

C_{U}^{r}(U, G) = ∏_{i_{0},..,i_{r}∈I} G(U ∩ ⋂_{ν=0}^{r} U_{i_{ν}}) .

Die Randabbildungen d = d_{r} : C_{U}^{r}(U, G) → C_{U}^{r+1}(U, G)

(df)_{i_{0},...,i_{r+1}} = ∑_{ν=0}^{r+1}(−1)^{ν} · r_{U_{0},.,Û_{ν},...,U_{r+1}}^{U_{0},.,U_{ν},...,U_{r+1}}(f_{i_{0},..,î_{ν},...,i_{r+1}})

machen dies zu einem Komplex. Dies ist der sogenannte Cech-Komplex. Die Kohomologie dieses Komplexes bezeichnen wir mit

H_{U}^{i}(U, G) = Z_{U}^{i}(U, G)/B_{U}^{i}(U, G) .

Hierbei ist Z_{U}^{i}(U, G) = Kern(d_{i}) und B_{U}^{i}(U, G) = Bild(d_{i−1}) die Gruppe der i-Zykel beziehungsweise i-Ränder.

Der Cech-Komplex kann wie folgt nach links verlängert werden:

0 → G(U) → ∏_{i∈I} G(U∩U_{i}) → ∏_{i,j∈I} G(U∩U_{i}∩U_{j}) → ∏_{i,j,k} G(U∩U_{i}∩U_{j}∩U_{k}) → ... .

Die Abbildungen sind dann konkret d_{−1} : f ↦ (f_{i})_{i∈I} mit f_{i} = (r_{U}^{U_{i}}(f))_{i∈I}

d_{0} : (f_{i})_{i∈I} ↦ (f_{ij})_{i,j∈I} mit f_{ij} = r_{U_{j}∩U}^{U_{i}∩U_{j}∩U}(f_{j}) − r_{U_{i}∩U}^{U_{i}∩U_{j}∩U}(f_{i})
kurz: (f_{j} − f_{i})|W , W = U_{i} ∩ U_{j} ∩ U

d_{1} : (f_{ij}) ↦ (f_{ijk}) mit f_{ijk} = (f_{jk}−f_{ik}+f_{ij})|W for W = U_{i}∩U_{j} ∩U_{k}∩U.

Der verlängerte Komplex ist exakt in den Graden −1 und 0 genau dann, wenn G eine Garbe ist (Garbenaxiom G1 und G2). Für eine Garbe erhält man daher einen exakten Komplex

0 → G(U) → ∏_{i∈I} G(U ∩ U_{i}) → Z_{U}^{1}(U, G) → H_{U}^{1}(X, G) → 0 .

Hierbei ist Z^{1}(G; U_{i} ∩ U_{j}) die Gruppe aller f_{ij} ∈ ∏_{i,j∈I} G(U_{i} ∩ U_{j}), welche die Kozykelbedingungen

f_{ik} = f_{ij} + f_{jk}

erfüllen für alle i, j, k ∈ I. Diese Kozykelbedingungen implizieren

f_{ii} = 0, f_{ij} = −f_{ji} , i, j ∈ I .

Die erste Kohomologie ist der Quotient nach der Gruppe der Ränder. Diese haben die Gestalt

f_{ij} = r_{V_{i}}^{V_{i}∩V_{j}}(f_{i}) − r_{V_{j}}^{V_{i}∩V_{j}}(f_{j}) , f_{i} ∈ G(U_{i}) .

Beispiel: Für eine Wolkenkratzergarbe G mit Werten in A im Punkt x gilt G(X) ↠ G(V) für alle V. Dies impliziert

H_{U}^{1}(X, G) = 0 .

(Für einen Kozykel f_{ij} wähle k ∈ I mit x ∈ U_{k} und setze f_{i} = f_{ik} - fortgesetzt (!) zu G(U_{i}). Dann gilt f_{ij} = f_{i} − f_{j} in A. (Der wesentliche Fall ist wenn x ∈ U_{i} ∩ U_{j}).

Allgemein sei X = ⨆_{i∈I} U_{i} eine offene Überdeckung und ϕ_{i}, i ∈ I seien Garbenhomomorphismen ϕ_{i} : G → G einer Garbe G mit den beiden Eigenschaften

a) (Partion der Eins) Für festes i ∈ I sind fast alle ϕ_{j} Null auf G(U_{i})

und es gilt

∑_{j∈I} ϕ_{j}| G(U_{i}) = id_{G(U_{i})} .

b) (Fortsetzungseigenschaft) Für alle i ∈ I existiert eine offene Teilmenge V_{i} ⊂ X mit X = U_{i} ∪ V_{i}, so daß die Restriktion von ϕ_{i} auf G(V_{i}) verschwindet.

Folgerung: Dann gilt H_{U}^{1}(X, G) = 0.

Beweis: Eigenschaft b) und Garbenaxiom G2 für die Überdeckung von X = U_{i} ∩ V_{i} induzierte Überdeckung von U_{i} ∩ U_{j} zeigt, daß ϕ_{j}(f_{ij}) ∈ G(U_{i} ∩ U_{j}) sich zu einem Element in G(U_{i}) fortsetzen läßt! Für fast alle j ∈ I kann wegen Eigenschaft a) Null als Fortsetzungen gewählt werden. Daher können die Fortsetzungen aufsummiert werden

f_{i} = ∑_{k∈I} ϕ_{k}(f_{ik}) ∈ G(U_{i}) .

Nun folgt nach Einschränken auf U_{i} ∩ U_{j}

r(f_{i}) − r(f_{j}) = ∑_{k} ϕ_{k}(r(f_{ik}) − r(f_{jk})) = ∑_{k} ϕ_{k}(f_{ij}) = f_{ij}

wegen Eigenschaft b). Also ist der Kozykel ein Korand.

Übungsaufgabe: Für 2-Kozykel f_{ijk} setze g_{ij} = ∑_{l} ϕ_{l}(f_{ijl}). Zeige f_{ijk} + (g_{jk}−g_{ik}+g_{ij}) = 0 und schließe H_{U}^{2}(X, G) = 0. Allgemeiner zeige H_{U}^{i}(X, G) = 0 für i ≥ 1.

Übungsaufgabe: Sei U eine endliche Überdeckung von X. Zeige

H_{U}^{i}(X.ℂ_{X}) ≅ H_{U}^{i}(X, ℤ_{X}) ⊗_{ℤ} ℂ .

Benutze die Exaktheit des Tensorfunktors − ⊗_{ℤ} ℂ.

Übungsaufgabe: Jeder Cech 2-Kozykel f_{ijk} kann durch Abändern um einen Rand alternierend gemacht werden.

Hinweis: ObdA gilt f_{aaa} = 0 (Modifiziere um einen Rand). Auswerten der Zykeleigenschaft bei abbb und aaab liefert dann f_{abb} = f_{aab} = 0; Auswerten bei abab liefert die Symmetrie f_{bab} = f_{aba}. Modifizieren um einen Rand liefert f̃_{aba} = f_{aba} + (g_{ba} − g_{aa} + g_{ab}) und damit f̃_{aaa} = f̃_{aba} = f̃_{bab} = 0. (Setze g_{ab} + g_{ba} = −f_{aba} für a ≠ b sowie g_{aa} = −f_{aaa}). Auswerten bei abcb und babc liefert schließlich die Behauptung.

Verfeinerungen

Seien V : X = ⨆_{j∈J} V_{j} und U : X = ⨆_{i∈I} U_{i} offene Überdeckungen von X. Eine Abbildung

J → I j ↦ \overline{j}
V_{j} ⊂ U\overline{j}

nennen wir Verfeinerungsdatum. Existiert ein solches Verfeinerungsdatum U → V nennen wir V eine Verfeinerung von U und schreiben U ≺ V.

Seien X = ⨆_{i∈I} U_{i} und X = ⨆_{j∈J} V_{j} zwei beliebige Überdeckungen U und V von X. Dann definiert X = ⨆_{i∈I∪J} U_{i} ∩ V_{j} eine gemeinsame Verfeinerung U ∗ V dieser Überdeckungen (mit Indexmenge I × J).

Definition: Die erste Cech-Kohomologiegruppe einer Garbe G auf X ist definiert als direkter Limes über alle Verfeinerungen von Überdeckungen U von X

H^{1}(X, G) = lim_{≺} H_{U}^{1}(X, G) .

Lemma: Sei G eine Garbe auf X und V eine Verfeinerung von U. Dann existiert eine kanonische Abbildung

H_{U}^{1}(X, G) → H_{V}^{1}(X, G)

zwischen den Cech-Kohomologiegruppen. Diese ist injektiv und unabhängig vom Verfeinerungsdatum. Insbesondere folgt

H_{U}^{1}(X, G) ↪ H^{1}(X, G) .

Beweis: 1) \underline{Die Abbildung}: Auf dem Zykelniveau bildet sie U-Cechkozykel representiert durch (f_{ii′})_{i,i′∈I} ab auf den V-Cechkozykel (f_{jj′})_{j,j′∈J}, wobei letzterer durch f_{jj′} = f\overline{j}\overline{j}′|V_{j} ∩V_{j′} definiert wird. Diese Abbildung ist additiv und respektiert Koränder. Sie liefert somit die gewünschte kanonische Abbildung.

2) \underline{Unabhängigkeit}: Zwei gegebene Verfeinerungsdaten U → V faktorisieren über U → U ∗ U → V. Die Abbildungen ϕ_{1}, ϕ_{2} : J → I fakorisieren über die Produktabbildung ϕ_{1} × ϕ_{2} : J → I × I und (resp.) die Projektion p_{1}, p_{2} : I × I → I. Man reduziert daher auf den universellen Fall der beiden universellen Verfeinerungsdaten

U ⇉ U ∗ U .

Wir setzen U_{ii′} = U_{i} ∩ U_{i′}. Die kanonischen Abbildungen führen den gegebenen U-Kozykel (f_{ii′}) über in die U ∗ U-Kozykel, welche jeweils durch f_{aa′ bb′} := f_{ab} und f̃_{aa′ bb′} := f_{a′b′} definiert sind. Zu zeigen ist die Äquivalenz

f_{aa′ bb′} ∼ f̃_{aa′ bb′}

auf U_{aa′} ∩ U_{bb′} = (U_{a} ∩ U_{a′}) ∩ (U_{b} ∩ U_{b′}) (modulo Rändern). Dies folgt aus der Identität auf U_{aa′} ∩ U_{bb′}

f_{ab} = f_{a′b′} + (f_{aa′} − f_{bb′}) ,

welche aus den Kozykelidentitäten für die f_{ii′} folgt.

3) \underline{Injektivität}: Sei (f_{ii′})_{i,i′∈I} ein Cechkozykel im Kern der Abbildung. Das heißt es gilt (∗): f\overline{j} \overline{j}′ = f_{j} − f_{j′} auf V_{j} ∩ V_{j′} für alle j, j′ ∈ J.

Fixiere zuerst i ∈ I und definiere auf U_{i} ∩ V_{j}

F_{i,j} := f_{i\overline{j}} + f_{j}

für alle j ∈ J. Wegen des Garbenaxioms G2 bezüglich der Überdeckung V (geschnitten mit U_{i}) verheften sich die Schnitte F_{i,j} zu einem Schnitt F_{i} auf ganz U_{i}. Denn auf U_{i} ∩ (V_{j} ∩ V_{j′}) gilt nach Restriktion

F_{i,j} − F_{i,j′} = f_{i\overline{j}} + f_{j} − f_{i\overline{j}′} − f_{j′} (Definition)
= −f\overline{j}\overline{j}′ + f_{j} − f_{j′} (Kozykelbedingung für f_{ii′} auf U_{i} ∩ U\overline{j} ∩ U\overline{j}′)
= 0 (Gleichung (∗) auf V_{j} ∩ V_{j′}).

Nach Konstruktion gilt wegen (∗) auf V_{j} = U\overline{j} ∩ V_{j} für alle j ∈ J

F\overline{j} = (F_{\overline{j},j} = f_{\overline{j}\overline{j}} + f_{j}) = f_{j} .

Nunmehr definieren f_{ii′} und f̃_{ii′} = f_{ii′} + F_{i′} − F_{i} äquivalente U-Kozykel. Anderseits gilt auf U_{i} ∩ V_{j}

f̃_{i\overline{j}} = f_{i\overline{j}} + F\overline{j} − F_{i} = f_{i\overline{j}} + f_{j} − F_{i} = F_{i,\overline{j}} − F_{i} = 0 .

Somit gilt auf U_{i} ∩ U_{i′} ∩ V_{j} dann

f̃_{ii′} = f̃_{i\overline{j}} − f̃_{i′\overline{j}} = 0 .

Variert man j ∈ J, dann folgt f̃_{ii′} = 0 auf ganz U_{i} ∩ U_{i′} wegen dem Garbenaxiom G1. Damit ist die Injektivität gezeigt.

Bemerkung: Analog definiert man für Verfeinerungen U ≺ V kanonische Abbildungen H_{U}^{i}(X, G) → H_{V}^{i}(X, G) und zeigt, daß diese nicht von der Wahl des Verfeinerungsdatums abhängen. Damit sind auch die höheren Cech-Kohomologiegruppen H^{i}(X, G) für i ≥ 2 als Limes über die Verfeinerungen aller Überdeckungen wohldefiniert. Eine ausführliche Darstellung findet man in den Büchern von Godement oder Gunning.

Übungsaufgabe: Behandle explizit den Fall i = 2. Zeige für 2-Kozykel (f_{abc})_{a,b,c} ∈ Z_{U}^{2}(X, G) auf U_{aa′} ∩ U_{bb′} ∩ U_{cc′} die Relation

f_{abc} − (g_{bc} − g_{ac} + g_{ab}) = f_{a′b′c′} ,

wobei g_{ab} = (f_{a′bb′} − f_{aa′b})|U_{aa′} ∩ U_{bb′} auf U_{a} ∩ U_{a′} ∩ U_{b} ∩ U_{b′} definiert ist. Hinweis: Benutze die Kozykelrelation von f für die Indizes (abcc′), (aa′bc′), (aa′cc′), (a′bb′c′) und (bb′cc′).

Übungsaufgabe: Sei X kompakt. Zeige H^{i}(X.ℂ_{X}) ≅ H^{i}(X, ℤ_{X}) ⊗_{ℤ} ℂ.

Das Lemma von Leray

Lemma: Sei U → V eine Verfeinerung. Gilt H_{V}^{1}(U_{i}) = 0 für alle i ∈ I. Dann gilt

\xymatrix{H_{U}^{1}(X, G) \ar[r]^{∼} & H_{V}^{1}(X, G)}

und somit

H_{U}^{1}(X, G) ≅ H^{1}(X, G) .

Die Vorausetzung sind insbesondere dann erfüllt, wenn H^{1}(U_{i}, G) = 0 gilt für alle i ∈ I.

Beweis des Lemmas: a) Gegeben sei ein Kozykel Z_{V}^{1}(X, G) representiert durch die f_{jj′} auf V_{j} ∩ V_{j′}. Wegen H_{V}^{1}(U_{i}, G) = 0 gibt es g_{j}^{i} ∈ G(U_{i} ∩ V_{j}) mit (∗)

r_{V_{j}∩V_{j′}}^{U_{i}∩V_{j}∩V_{j′}}(f_{jj′}) = g_{j′}^{i} − g_{j}^{i} , auf U_{i} ∩ V_{j} ∩ V_{j′} .

b) Die neu definierten Elemente g_{j}^{i} −g_{j}^{i′} auf U_{i} ∩U_{i′} ∩V_{j} verkleben sich wegen (∗) auf U_{i} ∩ U_{i′} zu Schnitten (∗∗)

F_{ii′} , auf U_{i} ∩ U_{i′}
F_{ii′} = g_{j}^{i} − g_{j}^{i′} , auf U_{i} ∩ U_{i′} ∩ V_{j} ∀j ∈ J .

c) Die F_{ii′} definieren einen Kozykel in Z_{U}^{1}(X, G). (Es genügt dazu wegen Axiom G1 die Kozykelbedingungen auf allen Durchschnitten mit V_{j}, j ∈ J zu verifizieren! Dort wird F_{ii′} aber nach Definition (∗∗) sogar ein Korand).

d) Die Elemente g_{j} = g\overline{j} ; j ∈ G(V_{j}) werden mittels der Verfeinerungsabbildung j ↦ \overline{j}, J → I definiert und zeigen die Äquivalenz F\overline{j}\overline{j}′ ∼ f_{jj′}

F\overline{j}\overline{j}′ − f_{jj′} = g_{j′}^{\overline{j}′} − g\overline{j} ; j

auf V_{j} ∩ V_{j′} = U\overline{j} ∩ U\overline{j}′ ∩ V_{j} ∩ V_{j′}. (Betrachte die Differenz der Gleichungen (∗) mit i = \overline{j}′ und (∗∗) mit i = \overline{j}, i′ = \overline{j}′).

Vom Nutzen der Parakompaktheit

Sei X ein topologischer Raum. Eine offene Überdeckung X = ⨆_{i∈I} X_{i} von X heißt lokal endlich, falls für alle x ∈ X eine Umgebung V (x) von x existiert derart, daß V (x) ∩ U_{i} = ∅ gilt für fast alle i ∈ I.

Ein separierter topologischer Raum X heißt parakompakt, falls jede offene Überdeckung von X eine lokalendliche Verfeinerung besitzt.

Beispiele: Kompakte Räume sowie abgeschlossene Teilmengen von parakompakten Räumen sind parakompakt. Eine Mannigfaltigkeit ist parakompakt, wenn sie Vereinigung von abzählbar vielen kompakten Teilmengen ist. Wir zitieren nun folgenden Satz (s. Schubert, Seite 88)

Satz (Partition der Eins): Ist X parakompakt und U : X = ⨆_{i∈I} X_{i} eine offene Überdeckung von X. Dann existiert eine lokal endliche Verfeinerung V von U zusammen mit stetigen nichtnegativen Funktionen

ϕ_{j} : V_{j} → ℝ

mit kompaktem Träger in V_{j} derart, daß

∑_{j∈J} ϕ_{j}(x) = 1 .

(Die Summen sind de facto endliche Summen! Die offenen Mengen Ṽ_{j} = ϕ_{j}^{−1}(ℝ_{>0}) in V_{j} bilden erneut eine lokal endliche Überdeckung von X).

Variante(s.Spivak): Ist X eine parakompakte C^{∞}-Mannigfaltigkeit, können die ϕ_{j} sogar in C_{c}^{∞}(V_{j}, ℝ) gewählt werden (d.h. unendlich oft differenzierbar mit kompaktem Träger).

Korollar: Ist X eine parakompakte C^{∞}-Mannigfaltigkeit. Dann gilt

H^{1}(X, C_{X}^{∞}) = 0 .

Allgemeiner gilt dies auch für beliebige C_{X}^{∞}-Modulgarben auf X.

Beweis: Die Funktionen ϕ_{j} zu einer lokalendlichen Überdeckung haben kompakten Träger und können daher durch auf ganz X fortgesetzt werden. Das heißt ϕ_{j} ∈ C^{∞}(X). Die Multiplikationsabbildungen

ϕ_{j}|U : C^{∞}(U) → C^{∞}(U)

definieren Garbenendomorphismen

C_{X}^{∞} → C_{X}^{∞}

mit der Fortsetzungseigenschaft, und bilden eine Partion der Eins. Daraus folgt die Behauptung.

Eine Liftungsmethode: Sei X parakompakt und sei eine Garbensurjektion G → H auf X gegeben. Gegeben sei außerdem ein z ∈ C_{V}^{1}(X, H).

Lemma: Dann existiert eine lokalendliche Verfeinerung Ṽ von V, derart daß das Bild z̃ von z in C1 ; Ṽ(X, H) im Bild von C1 ; Ṽ(X, G) liegt.

Zum Beweis: ObdA sei V lokalendlich, versehen mit einer Partion der Eins ∑_{i} ϕ_{i} = 1. Für x ∈ X existiert dann eine Umgebung V (x) mit V (x) ∩ V_{i} = ∅ für fast alle i ∈ I. Wir hätten gerne:

Entweder V (x) ⊂ V_{i} oder V (x) ∩ V_{i} = ∅ für i ∈ I.

Für x ∈ V_{i} kann durch Verkleinern sofort V (x) ⊂ V_{i} angenommen werden (es gibt nur endlich viele solche i ∈ I). Schlecht ist der Fall wo x ∉ V_{i}, aber V (x) ∩ V_{i} ≠ ∅ (ein Punkt am Rand von V_{i}). Wir bekommen dann aber:

a) Entweder gilt V (x) ⊂ V_{i} oder V (x) ∩ supp(ϕ_{i}) = ∅ für i ∈ I.

b) Jedes V (x) liegt in mindestens einem Ṽ_{i} ⊂ supp(ϕ_{i}). Sei i = i(x) eine solche Wahl.

Für festes V (x) ⊂ Ṽ_{i(x)} und beliebiges x′ ∈ X gilt dann

c) V (x′), V (x) ⊂ V_{i(x′)} ∩ V_{i(x)} oder V (x′) ∩ V (x) = ∅.

Denn entweder ist V (x′) ⊂ V_{i(x)} oder V (x′) ∩ V (x) ⊂ V (x′) ∩ supp(ϕ_{i(x)}) = ∅. Jetzt benutze Vertauschung von x und x′. Sei Ṽ gegeben durch X = ⨆_{x∈X} V (x). Ṽ definiert mit x ↦ i(x) ein Verfeinerungsdatum V → Ṽ. z̃ wird durch die Einschränkung der Elemente f_{i(x)i(x′)} von V_{i(x)} ∩ V_{i(x′)} auf V (x) ∩ V (x′) repräsentiert. Da für festes x in c) nur endlich viele Indices i = i(x′) ∈ I auftreten mit V (x) ⊂ V_{i(x′)} (lokale Endlichkeit von V) kann man die V (x) noch so schrumpfen, daß alle relevanten f_{i(x)i(x′)} auf V (x) (und damit auf V (x) ∩ V (x′)) im Bild von G(V (x)) liegen. Dies liefert das gewünschte Anhebung auf C1 ; Ṽ(X, G).

Die lange exakte Kohomologiesequenz

Satz: Sei X ein topologischer Raum und

\xymatrix{0 → F \ar[r]^{ψ} & G \ar[r]^{ϕ} & H → 0}

eine exakte Garbensequenz auf X. Dann existiert eine zugehörige lange exakte Sequenz der Kohomologiegruppen

0 → F(X) → G(X) → H(X) → H^{1}(X, F) → H^{1}(X, G) → H^{1}(X, H) .

Zusatz: Ist X parakompakt, kann diese exakte Sequenz verlängert werden

→ H^{1}(X, G) → H^{1}(X, H) → H^{2}(X, F) → H^{2}(X, G) → H^{2}(X, H) → ...

(und so weiter).

Beweis: Exaktheit an der ersten, zweiten und im Prinzip auch an der fünften Stelle wurde bereits früher gezeigt.

Die vierte Stelle

\xymatrix{H(X) \ar[r]^{δ} & H^{1}(X, F) \ar[r]^{ψ^{1}} & H^{1}(X, G) \\  & Z_{U}^{1}(X, F) \ar[r]^{ψ^{1}} \ar[u] & Z_{U}^{1}(X, G) \ar[u] \\ h \ar@{|->}[r]^{δ} & f_{ij} = (g_{i} − g_{j})|_{U_{i}∩U_{j}} \ar@{|->}[r] & (g_{i} − g_{j})|_{U_{i}∩U_{j}}}

Sei h ∈ H(X), X = ⨆_{i∈I} U_{i} eine geignete Überdeckung mit h|U_{i} = ϕ(g_{i}) für g_{i} ∈ G(U_{i}), i ∈ I. Dann ist f_{ij} = (g_{i} − g_{j})|U_{i} ∩ U_{j} ein Schnitt in F(U_{i} ∩ U_{j}). Die f_{ij} bestimmen einen 1-Kozykel in Z_{U}^{1}(X, F). Wir definieren δ(h) als die Kohomologieklasse dieses Zykels. Diese ist unabhängig von der Wahl der Lifts g_{i} und der Wahl der Überdeckung. Offensichlich gilt ψ^{1} ∘ δ = 0.

Umgekehrt gilt für einen 1-Kozykel im Kern von ψ^{1} – dieser sei repräsentiert durch f_{ij} – dann ψ^{1}(f_{ij}) = (g_{i} − g_{j})|U_{i} ∩ U_{j} für eine geeignete Überdeckung und geeignete g_{i} ∈ G(U_{i})! Beachte, daß die h_{i} = ϕ(g_{i}) ∈ H(U_{i}) automatisch die Verheftungsbedingung erfüllen und sich zu einem globalen Schnitt h ∈ H(X) verkleben. Die obige Konstruktion liefert dann durch Bildung von δ(h) gerade den ursprünglichen Kozykel (f_{ij}) zurück. Damit ist die Exaktheit an der vierten Stelle gezeigt.

Nun zur dritten Stelle

\xymatrix{G(X) \ar[r]^{ϕ} & H(X) \ar[r]^{δ} & H^{1}(X, F) \\  &  & Z_{U}^{1}(X, F) \ar[u] \\ g \ar@{|->}[r] & h \ar@{|->}[r] & (g_{i} − g_{j})|_{U_{i}∩U_{j}}}

Ist δ(h) = 0, dann ist (g_{i}−g_{j})|U_{i}∩U_{j} (mit den Bezeichnungen wie oben) gleich einem Korand (f_{i} − f_{j})|U_{i} ∩ U_{j} für gewisse f_{i} ∈ F(U_{i}). (Vielleicht muß man hierbei die Überdeckung verfeinern). Nach der Ersetzung g̃_{i} = g_{i} − f_{i} erhält man Schnitte von G(U_{i}), welche die Verheftungsbedingung erfüllen und sich daher zu einem globalen Schnitt g ∈ G(X) verkleben. Offensichtlich gilt ϕ(g) = h, denn dies gilt in allen Karten U_{i}. Dies impliziert die Exaktheit an der dritten Stelle.

Der weitere Beweis im parakompakten Fall verbleibt als Übungsaufgabe (im Kohomologiegrad 2). Benutze an der sechsten Stelle die Liftungsmethode des vorigen Kapitels! Der allgemeine Fall ist in den Büchern von Godement oder Gunning ausführlich dargestellt.

0.3 Hilfsmittel aus der Analysis

26

Die de Rham Kohomologie

Sei X eine zweidimensionale C^{∞}-Mannigfaltigkeit, zum Beispiel eine Riemannsche Fläche. Dann hat man auf X die Garben A_{X}^{i} der komplexwertigen alternierenden i-Formen.

Zur Erinnerung: Ist U eine offene Teilmenge von ℝ^{2}, dann gilt

A_{X}^{0}(U) = C_{X}^{∞}(U)
A_{X}^{1}(U) = C_{X}^{∞}(U) · dx + C_{X}^{∞}(U) · dy
A_{X}^{2}(U) = C_{X}^{∞}(U) · dx ∧ dy.

Wir setzen A_{X}^{i} = 0 für i ≠ 0, 1, 2. Die in den Karten definierten Ableitungen d(f) = f_{x}·dx+f_{y}·dy (totales Differential) und d(g_{1}·dx+g_{2}·dy) = (g_{2})_{x}−(g_{1})_{y} (Divergenz) verheften sich zu einem Garbenkomplex

\xymatrix{0 → A_{X}^{0} \ar[r]^{d} & A_{X}^{1} \ar[r]^{d} & A_{X}^{2} → 0} .

Es genügt d ∘ d = 0 in lokalen Karten zu zeigen und folgt dort aus f_{xy} = f_{yx} (Symmetrie der Hessematrix).

Definition: Die Kohomologie des Komplexes der globalen Schnitte dieses Komplexes

H_{dR}^{i}(X) = Kern(d : A_{X}^{i}(X) → A_{X}^{i+1}(X))/Bild(d : A_{X}^{i−1}(X) → A_{X}^{i}(X))

nennt man die de Rham-Kohomologie der C^{∞}-Mannigfaltigkeit X.

Lemma: Ist X ⊂ ℝ^{2} ein offener Quader um Null, dann gilt für i ≥ 1

H_{dR}^{i}(X) = 0 .

Beweis: Jedes g(x, y)·dx∧dy ist von der Form d(g_{2}(x, y)·dy) (setze g_{2}(x, y) = ∫_{0}^{x} g(t, y)dt). Für −(g_{1})_{y} = (g_{2})_{x} gilt dg = g_{1}dx + g_{2}dy für g(x, y) = ∫_{0}^{1}(x · g_{1}(tx, ty) + y · g_{2}(tx, ty))dt (benutze partielle Integration!). □

Aus diesem Lemma folgt die Exaktheit des de Rham Komplexes in den Halmen. Somit ist der de Rham Kompex ein exakter Garbenkomplex auf X. Er liefert zwei kurze exakte Garbensequenzen

0 → Kern(d) → A_{X}^{1} → A_{X}^{2} → 0

0 → ℂ_{X} → A_{X}^{0} → Kern(d) → 0 ,

wobei Kern(d) eine Untergarbe von A_{X}^{1} ist.

Satz: Ist X eine parakompakte zweidimensionale C^{∞}-Mannigfaltigkeit, dann gibt es Isomorphismen

H_{dR}^{i}(X) ≅ H^{i}(X, ℂ_{X}) .

Beweis: Dies gilt allgemein, aber wir zeigen nur die Fälle i = 0, 1, 2. Hierbei ist der Fall i = 0 klar. Die Garben A_{X}^{i} sind C_{X}^{∞}-Modulgarben. Daher gilt

H^{i}(X, A_{X}^{ν}) = 0 für i > 0 ,

da X nach Annahme parakompakt ist.

Für i = 1 folgt die Behauptung wegen Kern(d)(X) ≅ Kern(d : A_{X}^{1}(X) → A_{X}^{2}(X)) aus H^{1}(X, ℂ_{X}) ≅ Kern(d)(X)/d(A_{X}^{0}(X)). Letzteres folgt aus der langen exakten Kohomologiesequenz

0 → ℂ_{X}(X) → A_{X}^{0}(X) → Kern(d)(X) → H^{1}(X, ℂ_{X}) → 0 .

Analog beweist man H^{2}(X, ℂ_{X}) ≅ H^{1}(X, Kern(d)) und H^{1}(X, Kern(d)) ≅ A_{X}^{2}(X)/dA_{X}^{1}(X). Dies liefert den Fall i = 2.

1.Bemerkung: Die obigen Aussagen übertragen sich auf parakompakte C^{∞}-Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension d. (Wir benutzen im folgenden aber nur die Fälle d = 1, 2).

2.Bemerkung: Ist f : X → Y eine unendlich oft differenzierbare Abbildung zwischen parakompakten Mannigfaltigkeiten, dann induziert der Pullback von Differentialformen eine Abbildung zwischen den de Rham Kohomologiegruppen. Andererseits gibt es eine ’offensichtliche’ Abbildung zwischen den Chechkohomologiegruppen (für konstante Garben!). Man zeigt leicht, daß das folgende Diagram kommutiert

\xymatrix{H_{dR}^{i}(Y) \ar[r]^{f^{∗}} \ar[d]^{≅} & H_{dR}^{i}(X) \ar[d]_{≅} \\ H^{i}(Y, ℂ_{Y}) \ar[r]^{f^{∗}} & H^{i}(X, ℂ_{X})} .

Korollar: Für Quader (oder sternförmiges) offene Teilmengen X ⊂ ℝ^{2} gilt H^{i}(X, ℂ_{X}) = 0 für alle i ≥ 1. Analog gilt dies für offene Intervalle X ⊂ R.

Man kann daraus für beliebige konstante Garben ableiten

H^{1}(X, A_{X}) = 0 .

Für A_{X} = ℤ_{X} folgt dies sofort aus der langen exakten Sequenz zur Garbensequenz 0 → ℤ_{X} → ℂ_{X} → (ℂ/ℤ)_{X} → 0.

Das letzte Korollar – zusammen mit dem Leray-Lemma – erlaubt es explizit Kohomologiegruppen H^{i}(X, ℂ_{X}) auszurechnen.

Beispiel X = S^{1} (Einheitskreis): Die Überdeckung U : S^{1} = U_{o} ∪ U_{u} erfüllt die Leraybedingung! Es folgt H^{1}(S^{1}, ℤ_{S^{1}}) = ℤ und H^{1}(S^{1}, ℂ_{S^{1}}) = ℂ.

Genauer erhält man ein kommutatives Diagramm

[figure: H_{dR}^{1}(S^{1}); ≅; ℂ; H^{1}(S^{1}, ℂ_{S^{1}}); ℂ]

von Isomorphismen, induziert von den Abbildungen

\xymatrix{ω ∈ A^{1}(S^{1}) \ar@{|->}[r] & ∮_{S^{1}} ω ∈ ℂ (pos. Orientierung)}

beziehungsweise

\xymatrix{f_{ou} ∈ Z_{U}^{1}(S^{1}, ℂ_{S^{1}}) \ar@{|->}[r] & f_{ou}(1) − f_{ou}(−1) ∈ ℂ} .

Die vertikale Abbildung ist ω ↦ f_{ou} = f_{u} − f_{o} ∈ ℂ_{S^{1}}(U_{o} ∩ U_{u}), wobei f_{o}, f_{u} beliebige Stammfunktionen von ω auf U_{o} respektive U_{u} sind.

Beispiel X = S (Riemannsche Zahlenkugel): Analog zeigt man mit der Überdeckung S = U_{0} ∪ U_{∞} die Aussage H^{1}(S, ℂ_{S}) = 0.

Das Wirtinger Kalkül

Sei X eine Riemannsche Fläche. Insbesondere ist dann X eine C^{∞}-Mannigfaltigkeit der Dimension dim(X) = 2. Eine komplexwertige Einsform auf X ist in lokalen Karten gegeben durch

u(x, y) · dx + v(x, y) · dy .

Anstelle der lokalen Basen dx und dy, betrachten wir im folgenden die lokalen Basen

dz = dx + i · dy
d\overline{z} = dx − i · dy .

Die äußere Ableitung d(f) = f_{x} · dx + f_{y} · dy einer C^{∞}-Funktion f wird in diesen Koordinaten

d(f) = \frac{1}{2}(f_{x} − if_{y}) · (dx + i · dy) + \frac{1}{2}(f_{x} + if_{y}) · (dx − i · dy)

oder kurz

d(f) = ∂(f) · dz + \overline{∂}(f) · d\overline{z} .

In Zukunft benutzen wir die Schreibweise ∂(f) = \frac{∂}{∂z}(f) · dz mit \frac{∂}{∂z}(f) = \frac{1}{2}(f_{x} − if_{y}) und analog \overline{∂}(f) = \frac{∂}{∂\overline{z}}(f) · d\overline{z} mit \frac{∂}{∂\overline{z}}(f) = \frac{1}{2}(f_{x} + if_{y}).

Die folgenden Aussagen sind unmittelbar zu verifizieren

Lemma: Es gilt d = ∂ + \overline{∂} sowie ∂ ∘ ∂ = \overline{∂} ∘ \overline{∂} = 0.

Die zweite Aussage folgt aus dz ∧ dz = 0 und d\overline{z} ∧ d\overline{z} = 0. In der Tat zerfällt der Komplex der Differentialformen wie folgt:

\xymatrix{A^{2}(X) = &  & A^{1,1}(X) \\ A^{1}(X) = \ar[u]^{d} & A^{1,0}(X) \ar[ur]^{\overline{∂}} & ⊕ & A^{0,1}(X) \ar[ul]_{∂} \\ A^{0}(X) = \ar[u]^{d} &  & A^{0}(X) \ar[ul]_{∂} \ar[ur]^{\overline{∂}}}

Hierbei bezeichnet A^{1,0}(X) die C^{∞}-Einsformen der Gestalt a(x, y) · dz und A^{0,1} die C^{∞}-Einsformen der Gestalt b(x, y) · d\overline{z}.

Diese zuerst nur lokale Zerlegung ist jedoch auch global wohldefiniert, denn ein holomorpher Kartenwechsel respektiert die so definierte Zerlegung des Raumes der C^{∞}-Einsformen. Die Jakobimatrix J(ϕ) eines holomorphen Kartenwechsels ϕ(z) ist eine Diagonalmatrix bezüglich der Basis dz, d\overline{z}:

J(ϕ) = diag(ϕ′(z), \overline{ϕ}′(z)) .

Hierbei ist ϕ′(z) die komplexe Ableitung von ϕ(z). Diese Aussage folgt unmittelbar aus dem

Lemma: Eine Form f ∈ A^{0}(X) ist holomorph auf X genau dann wenn gilt

\overline{∂}(f) = 0

(die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen !). Für eine holomorphe Funktion f ∈ O(X) gilt in lokalen Koordinaten

∂(f) = f′(z) · dz .

Wir zeigen im nächsten Abschnitt, daß man sechs kurze exakte Garbensequenzen auf X erhält.

\xymatrix{ &  & A_{X}^{1,1} \\  & A_{X}^{1,0} \ar@{-->}[ur]^{\overline{∂}} &  & A_{X}^{0,1} \ar@{-->}[ul]_{∂} \\ Ω_{X}^{1} \ar@{^{(}->}[ur] &  & A_{X}^{0} \ar@{-->}[ul]_{∂} \ar@{-->}[ur]^{\overline{∂}} &  & _{\overline{Ω}{1 \atop X}} \ar@{^{(}->}[ul] \\  & O_{X} \ar@{^{(}->}[ur] \ar@{-->}[ul] &  & _{\overline{O}_{X}} \ar@{^{(}->}[ul] \ar@{-->}[ur] \\  &  & ℂ_{X} \ar@{^{(}->}[ur] \ar@{^{(}->}[ul]}

Hierbei bezeichne Ω_{X}^{1} den Kern des Garbenhomomorphismus \overline{∂} : A_{X}^{1,0} → A_{X}^{1,1}, die Garbe der holomorphen Differentialformen auf X. Analog hat man die Garbe \overline{Ω}_{X}^{1} der antiholomorphen Differentialformen.

Das Dolbeaut Lemma

Sei g ∈ C_{c}^{∞}(ℂ) eine unendlich oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger auf ℂ. Dann existiert ein f ∈ C^{∞}(ℂ) mit

\frac{∂}{∂\overline{z}} f = g .

Der Lösungsraum besteht dann aus allen Funktionen in f + O(ℂ).

Beweis: Die gesuchte Funktion f erhält man bei geeigneter Normierung als Faltung von g(z) mit \frac{1}{z}

f(w) = \frac{1}{2πi} ∫ ∫_{ℂ} g(z + w)\frac{dz ∧ d\overline{z}}{z} .

Das Integral isz wohldefiniert. Der Term z^{−1}dz ∧ \overline{z} ist in Polarkoordinaten gleich const · exp(−iθ)drdθ. Der Pol verschwindet! Da g kompakten Träger besitzt, kann man Differentiation und Integration vertauschen. Dies gibt

\frac{∂}{∂\overline{w}}f(w) = \frac{1}{2πi} ∫ ∫_{ℂ} \frac{∂}{∂\overline{w}}g(z + w)\frac{dz ∧ d\overline{z}}{z} .

Anstatt über ℂ, kann über ℂ − D_{ε} integriert (Komplement eines Kreises vom Radius ε) und anschließend der Limes ε → 0 vollzogen werden. Auf ℂ − D_{ε} ist z^{−1} holomorph und es gilt \frac{∂}{∂\overline{z}}z^{−1} = 0 (Cauchy-Riemann). Wegen \frac{∂}{∂\overline{w}}g(z + w) = \frac{∂}{∂\overline{z}}g(z + w) und der Produktformel ergibt dies

\frac{∂}{∂\overline{w}}f(w) = lim_{ε→0} \frac{1}{2πi} ∫ ∫_{ℂ−D_{ε}} \frac{∂}{∂\overline{z}} \frac{g(z + w)}{z}dz ∧ d\overline{z}

oder wegen des Satzes von Stokes

lim_{ε→0} \frac{1}{2πi} ∮_{ε} \frac{g(z + w)}{z}(−dz) = lim_{ε→0} ∫_{0}^{1} g(w + ε · e^{2πiθ})dθ .

Das Integral läuft im Uhrzeigersinn (!) über den Kreis vom Radius ε um Null. Im Limes ergibt sich wie behauptet \frac{∂}{∂\overline{w}}f(w) = g(w). □

Da man jede gegebene C^{∞}-Funktion auf einer Umgebung eines Punktes x ∈ ℂ außerhalb einer kleinen Kreisumgebung von x mit einer glatten Abschneidefunktion zu einer Funktion mit kompakten Träger modifizieren kann, folgt aus der bewiesenen Behauptung unmittelbar das Dolbeaut Lemma: Ist X eine beliebige Riemannsche Fläche. Dann ist die Garbensequenz

\xymatrix{0 \ar[r] & O_{X} \ar[r] & A_{X}^{0} \ar[r]^{\overline{∂}} & A_{X}^{0,1} \ar[r] & 0}

exakt.

Aus den schon bekannten Verschwindungssätzen für die C^{∞}-Modulgarben A_{X}^{0}, A_{X}^{0,1} folgt aus der langen exakten Kohomologiesequenz das

Korollar: Für eine beliebige Riemannsche Fläche X gilt H^{2}(X, O_{X}) = 0.

Weiterhin ist wegen der langen exakten Kohomologiesequenz H^{1}(X, O_{X}) = 0 äquivalent zur Aussage, daß die Differentialgleichung \frac{∂}{∂\overline{w}}f(w) = g(w) für alle g ∈ C^{∞}(X) eine Lösung f ∈ C^{∞}(X) besitzt.

Ein entsprechender Verschwindungssatz für H^{1}(X, O_{X}) gilt aber in dieser Form nicht, es sei denn X ist eine offene Teilmenge von ℂ mit der induzierten holomorphen Struktur.

Dolbeaut Theorem: Sei D eine Gebiet in ℂ, dann gilt H^{1}(D, O_{D}) = 0.

Dies wird im nächsten Abschnitt skizziert. Aussagen dieses Typs werden benötigt um mit Hilfe deseray Lemmas den Endlichkeitssatz zu beweisen. Dieser besagt, daß für kompakte Riemannsche Flächen H^{1}(X, O_{X}) als ℂ-Vektorraum endlich dimensional ist.

Beweis des Dolbeaut Verschwindungsatz

Sei D = ℂ oder ein offenes Teilgebiet von ℂ sowie

g ∈ C^{∞}(D) .

Wir wollen zeigen daß es ein f ∈ C^{∞}(D) gibt mit (\frac{∂}{∂\overline{w}}f)(w) = g(w). Da der Träger von g nicht mehr notwendig kompakt angenommen wird, bedarf es einer Approximation.

Ausschöpfungen: Sei dazu D ein Gebiet in ℂ mit einer Ausschöpfung

D = ⨆_{n=1}^{∞} D_{n}

durch eine aufsteigende Folge von offenen beschränkten Teilmengen D_{n}. Wir nehmen außerdem an

D_{n} ⊂ \overline{D}_{n} ⊂ D_{n+1} , ∀n .

Schließlich fordern wir für alle n folgende Approximationseigenschaft:

∀ε > 0 ∀h ∈ O(D_{n−1}) ∃f̃ ∈ O(D_{n}) sup_{\overline{D}_{n−2}} |h − f̃| ≤ ε .

Lemma: (ohne Beweis) Solche Ausschöpfungen existieren immer.

Die Einschränkung der gegebenen Funktion g ∈ C^{∞}(D) auf D_{n} kann durch eine C^{∞}-Abschneidung außerhalb von D_{n} zu einer C^{∞}-Funktion g_{n} auf ℂ mit kompaktem Träger modifiziert werden. Also gibt es ein f_{n} mit \frac{∂}{∂\overline{z}}f_{n} = g_{n} auf ganz ℂ. Die Einschränkung von f_{n} auf D_{n} erfüllt dann

f_{n} ∈ C^{∞}(D_{n}) und \frac{∂}{∂\overline{z}} f_{n} = g| D_{n} .

ObdA kann f_{n} noch beliebig durch eine holomorphe Funktion f̃_{n} ∈ O(D_{n}) abgeändert werden. Damit kann für h = f_{n} − f_{n−1} ∈ O(D_{n−1}) erreicht werden

sup_{\overline{D}_{n−2}} |f_{n} − f_{n−1}| ≤ 2^{−n} .

Nach diesen Vorbereitungen liefert ein teleskopischer Ansatz die gewünschte Lösungsfunktion f

f(z) = f_{k}(z) + ∑_{ν≥k}(f_{ν+1}(z) − f_{ν}(z)) .

Offensichtlich ist f(z) unabhängig (!) von der Wahl von k. Die auftretende unendliche Reihe ist absolut und gleichmäßig konvergent auf D. Somit ist wegen \frac{∂}{∂\overline{z}}(f_{ν+1}(z) − f_{ν}(z)) = 0 (auf D_{k} für ν ≥ k) die Reihe holomorph auf D_{k}. Es folgt daher auf D_{k}

\frac{∂}{∂\overline{z}} f(z) = \frac{∂}{∂\overline{z}} f_{k}(z) + 0 = g(z) .

Da k beliebig gewählt werden kann gilt daher \frac{∂}{∂\overline{z}}f = g auf ganz D.

Der Endlichkeitssatz 36

0.4 Der Satz von Riemann-Roch

37

Divisoren

Sei X eine Riemannsche Fläche. Sei A eine abelsche Gruppe. Ein A-wertiger Divisor ist eine A-wertige Funktion auf X mit diskretem Träger in X. Insbesondere gilt für einen ℤ-wertigen Divisor – oder kurz Divisor – auf X

D : X → ℤ

die Gleichung D(x) = 0 für fast alle Punkte x ∈ K eines beliebigen Kompaktums K ⊂ X. Wir schreiben auch D = ∑_{x∈X} D(x) · [x].

Für kompakte Riemannsche Flächen ist der Träger supp(D) eines Divisors notwendigerweise endlich und wir definieren dann den Grad

deg(D) = ∑_{x∈X} D(x) .

Wir schreiben D_{1} + D_{2} für die Summe zweier Divisoren. Wir schreiben D_{1} ≤ D_{2}, falls D_{1}(x) ≤ D_{2}(x) gilt für alle x ∈ X. Ist f ∈ M^{∗}(X) eine meromorphe Funktion auf X, dann nennt man

(f) = ∑_{x∈X} ord_{x}(f) · [x]

den Hauptdivisor der Funktion f. Für kompaktes X legt der Hauptdivisor (f) die meromorphe Funktion f bis auf eine Konstante in ℂ^{∗} fest.

Die Garben O_{D}: Sei D ein Divisor auf X. Setze

O_{D}(U) = {f : U → ℂ | f ∈ M(U), D(x) + ord_{x}(f) ≥ 0 ∀x ∈ U} .

Dies definiert Untergarben O_{D} der Garbe der meromorphen Funktionen M_{X}.

Beispiel: Für f ∈ M^{∗}(X) und D = −(f) gilt f ∈ O_{D}(X).

Bemerkung 1: Für f ∈ M^{∗}(X) mit Hauptdivisor (f) und beliebiges D definiert Multiplikation mit f einen Garbenisomorphismus

f : O_{D+(f)} ≅ O_{D} .

Die Isomorphieklasse der Garbe O_{D} hängt also nur vom Bild des Divisors in der Klassengruppe Cl(X). Die Klassengruppe ist definiert als die Gruppe aller Divisoren auf X modulo der Untergruppe der Hauptdivisoren auf X.

Bemerkung 2: Sei P ein Punkt auf X aufgefasst als positiver Divisor vom Grad 1 und sei D ein beliebiger Divisor auf X. Dann ist D ≤ D + P und es existiert eine exakte Garbensequenz auf X

0 → O_{D} → O_{D+P} → ℂ_{P} → 0 .

Hierbei ist ℂ_{P} die Wolkenkratzergarbe mit Werten in ℂ im Punkt P. Wir berschreiben kurz die Quotientenabbildung der Garbensequenz

π : O_{D+P} (U) → ℂ_{P} (U) .

Für festes U ⊂ X ist die Abbildung π Null, wenn P ∉∈ U. Sei daher P ∈ U. In diesem Fall ist π(f) = a(f)_{−D(P)−1} ∈ ℂ definiert als “höchster”Koeffizient der Laurententwicklung ∑ a(f)_{ν}z^{ν} von f ∘ ϕ_{i}^{−1} im Punkt ϕ_{i}(P) (bezüglich einer fest gewählten Kartenabbildung ϕ_{i} : U_{i} ≅ V_{i} ⊂ ℂ zum Punkt P ∈ U_{i} ∩ U)).

Der Satz von Riemann-Roch

Ist G eine Garbe von ℂ-Vektorräumen, dann sind auch die Kohomologiegruppen auf natürliche Weise ℂ-Vektorräume. Wir schreiben im folgenden kurz h^{i}(X, G) für die Dimensionen dim_{ℂ}(H^{i}(X, G)).

Endlichkeitssatz: Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche. Dann ist die Dimension

g := h^{1}(X, O_{X}) < ∞

endlich. Die Zahl g nennt man das Geschlecht der Riemannschen Fläche.

Den hochgradig nichttrivialen Beweis dieses Endlichkeitssatzes stellen wir vorläufig zurück! Wir erhalten als unmittelbare Anwendung den

Satz von Riemann-Roch: Sei X eine kompakte Riemennsche Fläche und D ein Divisor auf X. Dann sind h^{0}(X, O_{D}) und h^{1}(X, O_{D}) endlich und

h^{0}(X, O_{D}) − h^{1}(X, O_{D}) − deg(D) = 1 − g ,

d.h. die linke Seite hängt nicht ab von D.

Beweis: Aus der langen exakten Kohomologiesequenz der Garbensequenz aus Bemerkung 2 des vorigen Paragraphen folgt

0 → H^{0}(X, O_{D}) → H^{0}(X, O_{D+P}) → ℂ → H^{1}(X, O_{D}) → H^{1}(X, O_{D+P}) → 0

Beachte H^{1}(X, ℂ_{P}) = 0! Aus den Dimensionsformeln für Kern und Bild folgt daraus sofort:

h^{0}(X, O_{D}) − h^{1}(X, O_{D}) − deg(D)
= h^{0}(X, O_{D+P}) − h^{1}(X, O_{D+P}) − deg(D + P) .

Die Endlichlichkeit von h^{0}, h^{1} für D respektive D+P sind außerdem äquivalent!

Der Satz von Riemann-Roch folgt aus dieser Beobachtung, denn jeder Divisor kann durch endlich viele Additionen bzw. Subtraktionen von Punkten in den Nulldivisor übergeführt werden. Für den Nulldivisor schließlich ist h^{0}(X, O) = 1 und h^{1}(X, O) = g. qed.

Korollar: Auf jeder kompakten Riemannschen Fläche existiert eine nichtkonstante meromorphe Funktion f ∈ M^{∗}(X).

Wähle D ≥ 0 mit deg(D) ≥ g + 1. Dann gilt h^{0}(X, O_{D}) ≥ 2!

Korollar: Auf jeder kompakten Riemannschen Fläche existiert eine von Null verschiedene meromorphe Differentialform df oder

ω = df/f ∈ Ω_{M}^{1}(X) .

Übungsaufgabe: Zeige deg(f) = 0 für f ∈ M^{∗}(X). Schließe daraus, daß jede meromorphe Funktion auf X jeden Funktionswert gleich oft annimmt! Benutze Bemerkung 1 und den Satz von Riemann-Roch.

Übungsaufgabe: Berechne das Geschlecht g(S) der Riemannschen Zahlenkugel S: Benutze die Standardkarten (U ist die Standardüberdeckung mit den zwei Karten U_{0} ≅ ℂ und U_{∞} ≅ ℂ), den Dolbeautschen Satz H^{1}(ℂ, O) = 0 und das Leray Lemma um H^{1}(S, O) = H_{U}^{1}(S, O) zu zeigen. Zeige dann H_{U}^{1}(S, O) = 0 unter Zuhilfenahme der Laurententwicklung von holomorphen Funktionen auf ℂ^{∗}.

Übungsaufgabe: Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche. Ist das Geschlecht g = g(X) gleich Null, dann gibt es eine meromorphe Funktion f mit einem einfachen Pol in einem vorgegebenen Punkt (Riemann-Roch). Zeige f : X → S definiert eine bijektive holomorphe Abbildung auf die Riemansche Zahlenkugel. Zeige, daß auch die Umkehrfunktion holomorph ist. Insbesondere gilt X ≅ S.

Die Garbe der holomorphen Differentialformen Ω^{1}

Die Berechnung der ersten Kohomologiegruppen der Garben O_{D} benutzt Hilfsmittel der Differential- und Integralrechnung. Aus diesem Grund wird in diesem Abschnitt eine Brücke zu den holomorphen bzw. meromorphen Differentialformen geschlagen.

Eine Differentialform ω – eine 1-Form – auf einer im Moment nicht notwendig zusammenhängenden “Riemannschen Fläche”X heißt holomorph, wenn sie bezüglich lokaler Karten ϕ_{i} : U_{i} ≅ V_{i} ⊂ ℂ eines holomorphen Atlanten die Gestalt

ω|U_{i} = ϕ_{i}^{∗}(ω_{i}) , ω_{i} = f_{i}(z) · dz , f_{i} ∈ O(V_{i})

besitzt. Wir schreiben Ω^{1}(X) für den O(X)-Modul aller holomorphen Differentialformen auf X.

In der Tat definiert Ω^{1}(U) für variierendes U ⊂ X eine Garbe auf X, die Garbe der holomorphen Differentialformen Ω^{1} auf X. Man erhält eine exakte Garbensequenz

\xymatrix{0 \ar[r] & Ω^{1} \ar[r] & A_{X}^{1,0} \ar[r]^{\overline{∂}} & A_{X}^{1,1} \ar[r] & 0} .

Analog definiert man die Garbe Ω_{M}^{1} der meromorphen Differentialformen auf X; in lokalen Karten ist eine meromorphe Differentialform von der Gestalt f_{i}(z) · dz für meromorphes f_{i} ∈ M(V_{i}).

Für eine meromorphe Differentialform ω ∈ Ω_{M}^{1}(X) auf einer Riemannschen Fläche X ist die Ordnung im Punkt P ∈ X

ord_{P} (ω) = ord_{ϕ_{i}(P)}(f_{i}(z)) , f_{i}(z)dz = ϕ_{i}^{∗}(ω)|U_{i}

wohldefiniert! Das heißt, die so definierte ganze Zahl ist unabhängig von der Wahl der Karte P ∈ U_{i}. Dies folgt aus der Tatsache, daß eine lokal im Punkt P biholomorpher Kartenwechsel ϕ_{ij} die Eigenschaft dϕ_{ij}/dz(P) ≠ 0 besitzt (Funktionentheorie I)!

Außerdem ist für jeden Punkt P von X das Residuum

res_{P} (ω) , ω ∈ Ω_{M}(X)

einer meromorphen Differentialform wohl definiert und hängt nicht von der Wahl der zur Berechnung gewählten Karte ab!

Variante: Sei D ein Divisor auf X, dann definiert

Ω_{D}^{1}(U) = {ω ∈ Ω_{M}^{1}(U) | ord_{x}(ω) + D(x) ≥ 0 ∀x ∈ U }

eine Untergarbe der Garbe der meromorphen Differentialformen auf X.

Lemma: Sei X eine Riemannsche Fläche, dann gilt M^{∗}(X) ≅ Ω_{M}^{1}(X).

Genauer: Sei eine globale Differentialform 0 ≠ ω ∈ Ω_{M}^{1}(X) der Riemanschen Fläche X mit dem zugehörigen ”kanonischem”Divisor

K = ∑_{x∈X} ord_{x}(ω) · [x]

fest gewählt. Dann gilt offensichtlich

Lemma: Für jeden Divisor D definiert

O_{K−D}(U) ∋ f ↦ f · (ω|U) ∈ Ω_{−D}^{1}(U)

einen Garbenisomorphismus

O_{K−D} ≅ Ω_{−D}^{1} .

Beispiel: X = S (Riemannsche Zahlenkugel) und ω = dz/z mit K = −O − ∞. Insbesondere gilt Ω^{1}(S) = O_{−0−∞}(S) = 0.

Epilog: Da Ω_{−D}^{1} eine Untergarbe der Garbe aller meromorphen Einsformen Ω_{M}^{1} auf X ist, kann man die Quotientengarbe Ω_{M}^{1}/Ω^{1} aller sogenannten Mittag-Leffler Verteilungen betrachten (siehe Appendix)

0 → Ω_{−D}^{1} → Ω_{M}^{1} → Ω_{M}^{1}/Ω_{−D}^{1} → 0 .

Globale Schnitte der Quotientengarbe ML(Ω_{−D}^{1}) = Ω_{M}^{1}/Ω_{−D}^{1} entsprechen Vorgaben von Hauptteilen relativ zu D in endlich vielen Punkten der kompakten Riemannschen Fläche X.

Appendix (Garbenquotienten)

Sei F ↪ G eine Garbeninklusion auf X. Dann existiert eine Quotientengarbe H = G/F auf X und eine kanonische Abbildung π : G → H so daß

0 → F → G → H → 0

exakt wird. H ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt durch die folgende Eigenschaft: Für jeden Prägarbenhomomorphismus π̃ : G → K in eine Garbe K mit π̃(F) = 0 gibt es einen eindeutig bestimmten Prägarbenhomomorphismus H → K, welcher das Diagramm

\xymatrix{F \ar[r] \ar[drr]_{0} & G \ar[r]^{π} \ar[dr]^{π̃} & H \ar[d]^{∃!} \\  &  & K}

kommutativ macht.

Ein Kandidat für H ist definiert durch

H(U) = {g : U → ⨆_{x∈U} G_{x}/F_{x} | mit ∗} ,

wobei die Bedingung (∗) besagt: 1) g(x) ∈ G_{x}/F_{x} 2) ∀x ∈ U∃U(x) ⊂ U offen mit x ∈ U(x) und g_{x} ∈ G(U(x)) so daß gilt g|U(x) = g_{x}.

Übungsaufgabe: H ist eine Garbe auf X und erfüllt die gewünschte universelle Eigenschaft.

Übungsaufgabe: Zeige H(U) = lim_{U} H_{U}(U) (Limes über alle Überdeckungen) mit

H_{U}(U) = {(g_{i} ∈ G(U∩U_{i}))_{i∈I} | (g_{i}−g_{j})| (U_{i}∩U_{j}∩U) ∈ F(U_{i}∩U_{j}∩U)} modulo

{(f_{i})_{i∈I} | f_{i} ∈ F(U_{i} ∩ U)} .

Der Residuensatz

Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche. Die exakte Garbensequenz

0 → Ω^{1} → Ω_{M}^{1} → Ω_{M}^{1}/Ω^{1} → 0 .

liefert die Kohomologiesequenz (∗)

\xymatrix{H^{0}(X, Ω_{M}^{1}) \ar[r] & H^{0}(X, Ω_{M}^{1}/Ω^{1}) \ar[r]^{δ} & H^{1}(X, Ω^{1})} .

Schnitte η der mittleren Kohomologiegruppe sind sogenannte Mittag-Leffler Verteilungen: η = (η_{i})_{i∈I} für η_{i} ∈ Ω_{M}^{1}(U_{i})/Ω^{1}(U_{i}) mit r(η_{i}) − r(η_{j}) ∈ Ω^{1}(U_{i} ∩ U_{j}). Hierbei ist X = ⨆_{i∈I} U_{i} eine offene Überdeckung. Das Residuum

res(η) = ∑_{P ∈X} res_{P} (η)

einer Mittag-Lefflerverteilung η von meromorphen Differentialformen auf einer kompakten Riemannschen Fläche X ist wohldefiniert!

Bemerkung: Für unsere Zwecke genügt die Existenz der exakten Sequenz (∗). Diese ist unmittelbar einsichtig und erfordert nicht die Kenntnis der zugrundeliegenden kurzen Garbensequenz!

Zur Berechnung von H^{1}(X, Ω^{1}) benutzen wir die exakte Garbensequenz

\xymatrix{0 \ar[r] & Ω^{1} \ar[r] & A_{X}^{1,0} \ar[r]^{\overline{∂}} & A_{X}^{2} \ar[r] & 0}

(Dolbeaut Lemma). Wegen H^{1}(X, A^{(1,0)}) = 0 liefert dies einen Isomorphismus

\xymatrix{H^{0}(X, A_{X}^{2})/d(H^{0}(X, A_{X}^{(1,0)})) \ar[r]^{δ} & H^{1}(X, Ω^{1})} .

Beachte \overline{∂}(H^{0}(X, A_{X}^{(1,0)})) = d(H^{0}(X, A_{X}^{(1,0)}))!

Residuensatz : Das Diagram

[figure: H^{0}(X, Ω_{M}^{1}/Ω^{1}); δ; res; H^{1}(X, Ω^{1}); ℂ; H^{0}(X, A_{X}^{2})/d(H^{0}(X, A_{X}^{(1,0)})); δ; ≅; (2πi)^{−1} ∫_{X}]

ist kommmutativ. Insbesondere gilt für jede globale meromorphe Differentialform η ∈ Ω_{M}^{1}(X) auf einer kompakten Riemannschen Fläche X

res(η) = 0 .

Beweis: Die untere horizontale Abbildung ist wohl definiert (Satz von Stokes)! Sei ω = δ^{−1}(δ(η)) und η = (η_{i})_{i} eine Mittag-Leffler Verteilung. Dann gilt nach eventueller Verfeinerung der Überdeckung

ω|_{U_{i}} = dε_{i}^{(1,0)}
η_{i} − η_{j} = ε_{i}^{(1,0)} − ε_{j}^{(1,0)} auf U_{i} ∩ U_{j}

für gewisse ε_{i}^{(1,0)} ∈ A^{(1,0)}(U_{i}) – nach Definition von δ.

Die Formen η_{i} der Mittag-Leffler Verteilung η sind holomorph und natürlich vom Typ (1, 0) – außerhalb einer endlichen Polstellenmenge S ⊂ X. Somit folgt aus Axiom G2 (für die Garbe A_{X\S}^{(1,0)}) die Existenz einer Form

ε ∈ A^{(1,0)}(X \ S)

mit ε = η_{i} − ε_{i}^{(1,0)} auf Ũ_{i} = U_{i} \ S ∩ U_{i} für alle i ∈ I. Mithin gilt dε = \overline{∂}ε = −\overline{∂}ε_{i}^{(1,0)} = −dε_{i}^{(1,0)} = −ω auf allen Ũ_{i}. Somit also

dε = −ω auf X \ S .

Aus dem Satz von Stokes folgt

∫_{X} ω = ∫_{X\S} ω = lim_{ϵ→0} ∫_{X_{ϵ}} ω = ∑_{P ∈S} lim_{ϵ→0} ∫ ∮ −ε .

Die rechten Integrale haben Uhrzeigersinn, und sind für P ∈ U_{i} über kleine Kreise vom Radius ϵ erstreckt um ϕ_{i}(P) in V_{i} ⊂ ℂ. Die einzelnen Terme sind daher gleich lim_{ϵ→0} − ∮ (η_{i} − ε_{i}^{(1,0)}). Da ε_{i}^{(1,0)} stetig bei P ist, verschwindet dieser Beitrag im Limes und es bleibt lim − ∮ η_{i} = res_{P} (η_{i}). Durch aufsummieren folgt die Behauptung des Residuensatzes.

Algebraische Distributionen

Wir fixieren einen Divisor D auf der kompakten Riemannschen Fläche X. Eine ℂ-Linearform auf dem endlich dimensionalen ℂ-Vektorraum H^{0}(X, O_{D}) nennen wir eine algebraische Distribution vom Typ D.

Man hat eine natürliche Abbildung

can_{D} : H^{1}(X, Ω_{−D}^{1}) → H^{0}(X, O_{D})^{∗} .

Diese leitet sich von der Residuenabbildung Res = (2πi)^{−1} ∫_{X} ∘ δ^{−1}

Res : H^{1}(X, Ω^{1}) → ℂ

des vorigen Abschnitts ab durch Cupproduktbildung

can_{D}(ξ)(f) = Res(f ∪ ξ) .

Das Cupprodukt ist auf dem Niveau von Cechkozykeln definiert: ξ = (ω_{ij}) ∈ Z_{U}^{1}(X, Ω_{D}^{1}) definiert hierbei f ∪ ξ, repräsentiert durch den Cechkozykel (f · ω_{ij}) ∈ Z_{U}^{1}(X, Ω^{1}). Wir geben ein

Beispiel: Sei P ∈ X ein Punkt. Nur der Einfachheit halber nehmen wir an P ∉ supp(D). Wähle ein kleines Kreisgebiet K_{P} um P (in einer Karte) welcher keinen Punkt von supp(D) enthält. Dann überdecken U_{1} = K_{P} und U_{2} = X \ P ganz X. Beachte Ω_{D}^{1}(U_{1} ∩ U_{2}) = Ω^{1}(U_{1} ∩ U_{2}) auf Grund der Annahmen. Somit definiert die Mittag-Leffler Verteilung

η_{P} = \frac{dz}{z − P} ∈ Z_{\{U_{1},U_{2}\}}^{1}(X, Ω_{D}^{1})

(in lokalen Karten) eine Kohomologieklasse

δ_{P} = δ(η_{P}) ∈ H^{1}(X, Ω_{D})

mit der Eigenschaft

Res(fδ_{P}) = f(P)

(Cauchy’s Integralsatz!).

Mit anderen Worten, die Dirac-Distribution δ_{P} auf H^{0}(X, O_{D}) für P ∉ supp(D) wird auf diese Weise realisiert! Wir überlassen es dem Leser die Konstruktion auf den Fall P ∈ supp(D) zu verallgemeinern und bemerken

\xymatrix{0 → H^{0}(X, O_{D−P}) \ar[r] & H^{0}(X, O_{D}) \ar[r]^{δ_{P}} & ℂ → 0}

Die Dirac-Distrubtionen erzeugen somit aus recht naheliegenden Gründen den Dualraum von H^{0}(X, O_{D}). Es folgt

Lemma: Die kanonische Abbildung

can_{D} : H^{1}(X, Ω_{−D}^{1}) ↠ H^{0}(X, O_{D})^{∗}

ist surjektiv.

Wir zeigen im nächsten Abschnitt, daß die kanonische Abbildung can_{D} ein Isomorphismus ist. Diese fundamentale Aussage nennt man Serre Dualität. Als Spezialfall erhält man etwa den Isomorphismus Res : H^{1}(X, Ω^{1}) ≅ ℂ. Der erste Schritt in die Richtung des Serre Dualitätssatzes ist das nächste

Lemma: Es gibt eine Konstante c(X) derart, daß für Kern_{D} = Kern(can_{D}) gilt

dim_{ℂ}(Kern_{D}) ≤ c(X) für deg(D) >> 0 .

Beweis: Benutze Ω_{−D}^{1} ≅ O_{K−D}! Der Satz von Riemann-Roch liefert dann h^{1}(X, Ω_{−D}^{1}) = h^{0}(X, O_{K−D})−deg(K −D)+(g(X)−1), also −deg(K −D)+ (g(X) − 1) für deg(D) > deg(K). Andererseits gilt h^{0}(X, O_{D}) ≥ deg(D) + (1 − g(X)). Daraus folgt die Behauptung.

Serre Dualität

Seien D_{1}, D_{2} zwei Divisoren mit D_{1} ≤ D_{2} auf einer kompakten Riemannschen Fläche X. Für uns genügt der Fall D_{2} = D_{1} + P für einen Punkt P. Allerdings wollen wir auch zulassen P ∈ supp(D_{1}).

Lemma: Für D_{2} ≥ D_{1} hat man ein kommutatives Diagram wie folgt

[figure: A; H^{0}(X, O_{D_{2}})^{∗}; 1; H^{0}(X, O_{D_{1}})^{∗}; B; 3; H^{1}(X, Ω_{−D_{2}}^{1}); 2; H^{1}(X, Ω_{−D_{1}}^{1}); Kern_{D_{2}}; 4; ϕ_{D_{1},D_{2}}; Kern_{D_{1}}]

Beweis: Die Surjektivität 1) folgt aus O_{D_{1}} ↪ O_{D_{2}}. Die Surjektivität 2) folgt aus der exakten Sequenz 0 → O_{K−D_{2}} → O_{K−D_{1}} → ℂ_{P} → 0 und H^{1}(X, ℂ_{P}) = 0.

Die Surjektivität 4) von ϕ_{D_{1},D_{2}} folgt unmittelbar aus der Surjektivität 3).

Die Surjektivität 3) folgt, wenn jedes ϕ ∈ A, d.h. ϕ ∈ O_{D_{2}}(X)^{∗} mit ϕ(O_{D_{1}}(X)) = 0,

im Bild von Kern(H^{1}(X, Ω_{−D_{2}}^{1}) → H^{1}(X, Ω_{−D_{1}}^{1})) liegt. Für D_{2} = D_{1} + P und obdA h^{0}(X, O_{D_{1}+P}) = h^{0}(X, O_{D_{1}}) + 1, ist dies obdA nur für die Dirac-Distribution

ϕ = δ_{P}^{(D_{2})} : H^{0}(X, O_{D_{1}+P}) → ℂ

vom Typ D_{2} zum Punkt P zu prüfen!

Die Surjektivität 3) folgt daher aus

[figure: H^{0}(X, O_{D_{1}+P})^{∗}; δ_{P}^{(D_{2})}; H^{1}(X, Ω_{−D_{1}−P}^{1} ); H^{1}(X, Ω_{−D_{1}}^{1}); η_{P}^{(−D_{2})}; 0]

Hierbei ist die unterste Zeile in lokalen Koordinaten um P in Termen von Cech 1-Kozykeln zur Überdeckung X = K_{P} ∪ (X \ P) – siehe letzter Paragraph – gegeben

η_{P}^{(−D_{2})} = [(z − P)^{D_{2}(P)} · \frac{dz}{z − P}] ↦ [(z − P)^{D_{1}(P)} · dz] .

Der Kozykel (z − P)^{D_{1}(P)} · dz ∈ Ω_{−D_{1}}^{1}(K_{P} ∩ (X \ P)) ist aber ein Rand, denn er lässt sich auf Ω_{−D_{1}}^{1}(K_{P}) fortsetzen.

Damit ist der Fall D_{2} = D_{1} +P bewiesen. Der allgemeine Fall D_{2} ≥ D_{1} folgt durch Iteration.

Lemma: Für 0 ≠ g ∈ M^{∗}(X) gilt

\xymatrix{H^{0}(X, O_{D})^{∗} \ar[r]^{g^{∗}}_{∼} & H^{0}(X, O_{D+(g)})^{∗} \\ H^{1}(X, Ω_{−D}^{1}) \ar@{->>}[u] \ar[r]^{g}_{∼} & H^{1}(X, Ω_{−D−(g)}^{1}) \ar@{->>}[u] \\ Kern_{D} \ar@{^{(}->}[u] \ar[r]^{ϕ_{g}}_{∼} & Kern_{D+(g)} \ar@{^{(}->}[u]}

Beweis: Dies folgt aus Res(fg∪ω) = Res(f ∪gω) mittels der Isomorphismen g : O_{D+(g)} ≅ O_{D} und g : Ω_{−D}^{1} ≅ Ω_{−D−(g)}^{1} (Multiplikation mit g).

Korollar: Sei P ein Punkt, n eine natürliche Zahl und D ein beliebiger Divisor auf X. Dann existiert eine ℂ-lineare Abbildung

\xymatrix{H^{0}(X, O_{nP}) \ar[r] & Hom_{ℂ}(Kern_{D+nP} , Kern_{D})}

welche g ∈ H^{0}(X, O_{nP}) auf [g] = ϕ_{D,D+nP +(g)} ∘ ϕ_{D+nP +(g)} abbildet. Beachte D_{1} = D ≤ D_{2} = D + nP + (g).

Somit ist

[g] : Kern_{D+nP} → Kern_{D}

eine Surjektion für alle g ≠ 0. Daraus folgt aber die Serre Dualität

Kern_{D} = 0 .

Denn anderenfalls wäre wegen der letzten beiden Lemmas

H^{0}(X, O_{nP}) ↪ Hom_{ℂ}(Kern_{D+nP} , Kern_{D})

eine Injektion! Dies ist aber unmöglich, denn für n >> 0 hat die rechte Seite eine unabhängig von n beschränkte Dimension ≤ c(X) · dim_{ℂ}(Kern_{D}). Andererseits gilt h^{0}(X, O_{nP}) → ∞ für n → ∞. Damit ist gezeigt

Serre Dualität: Für jeden Divisor D auf der kompakten Riemannschen Fläche ist die Cupproduktpaarung

[figure: H^{0}(X, O_{D}) × H^{1}(X, Ω_{−D}^{1}); ∪; H^{1}(X, Ω^{1}); Res; ℂ]

nicht ausgeartet. Insbesondere gilt Res : H^{1}(X, Ω^{1}) ≅ ℂ.

Korollar: Die Cupproduktpaarung

\xymatrix{H^{0}(X, Ω_{D}^{1}) × H^{1}(X, O_{D}) \ar[r]^{∪} & H^{1}(X, Ω^{1}) \ar[r]^{Res} & ℂ}

nicht ausgeartet. Insbesondere gilt

dim_{ℂ}Ω^{1}(X) = g .

Korollar: h^{1}(X, O_{D}) = h^{0}(X, O_{K−D}).

Übungsaufgabe: Zeige deg(K) = 2g − 2. Benutze Riemann-Roch und h^{0}(X, O_{K}) = g.

Übungsaufgabe: Zeige H^{1}(X, M_{X}) = 0.

0.5 Stammfunktionen

52

Differentiale

Ein meromorphes Differential ω ∈ Ω^{1}(X) heißt Differential 1.Gattung, wenn es holomorph ist auf X. Es heißt Differential 2.Gattung, wenn für alle x ∈ X gilt res_{x}(ω) = 0 (Residuenfreiheit). Differentiale ω, welche höchstens einfache Polstellen besitzen, heißen Differentiale 3.Gattung.

Sei nun für den Rest dieses Abschnitts X eine kompakte Riemannsche Fläche. Sei ω ∈ Ω_{3rd}(X) ein Differential dritter Gattung auf X. Sei S die Menge der Polstellen von ω und a_{x} = res_{x}(ω). Der Residuensatz liefert

∑_{x∈S} res_{x}(ω) = 0 .

Die exakte Sequenz (∗) des Residuensatzes zeigt wegen H^{1}(X, Ω^{1}) ≅ ℂ (Serre Dualität), daß diese Summenbedingung sogar notwendig und hinreichend für die Existenz einer Differentialform 3.Gattung mit vorgegebenen Residuen a_{x}, x ∈ X ist. Man erhält daher als Verfeinerung von (∗) die exakte Sequenz

0 → Ω^{1}(X) → Ω_{3rd}^{1}(X) → Div_{ℂ}(X)^{0} → 0 .

Rechts steht die Gruppe Div_{ℂ}(X)^{0} aller komplexwertigen Divisoren auf X vom Grad Null. Ist Q ∈ X ein beliebiger Punkt. Dann bilden die Basisformen

ω_{P,Q} ∈ Ω_{3rd}^{1}(X)

mit Residuum −1 in P und 1 in Q und Null sonst eine ℂ-Basis des Vektorraums Ω_{3rd}^{1}(X)/Ω^{1}(X). Hierbei durchläuft P die Punkte von X.

Sei allgemeiner η ∈ Ω_{M}^{1}(X) eine beliebige meromorphe Differentialform auf einer kompakten Riemannschen Fläche X. Dann liefert der Residuensatz und obige Betrachtung die Existenz einer Differentialform ω ∈ Ω_{3rd}^{1}(X) mit denselben Residuen wie η. Die Differenz η − ω ist ein Differential 2.Gattung. Also folgt

Ω_{M}^{1}(X) = Ω_{3rd}^{1}(X) + Ω_{2nd}^{1}(X) ,
Ω_{3rd}^{1}(X) ∩ Ω_{2nd}^{1}(X) = Ω^{1}(X) .

Wir werden in den nächsten Abschnitten die Existenz von globalen (logarithmischen) Stammfunktionen von Differentialformen (dritter) zweiter Gattung studieren.

Stammfunktionen

Die Ableitung ω = ∂F einer meromorphen Funktion F auf X liefert immer ein Differential 2.Gattung auf X

∂ : M(X) → Ω_{2nd}(X) .

Umgekehrt besitzt lokal jedes Differential ω 2.Gattung eine meromorphe Stammfunktion (benutze die Laurententwicklung in lokalen Koordinaten; ω = F′(z) · dz und obdA F = z^{n}, n ∈ ℤ mit ω = nz^{n−1} · dz. Dann kommt n − 1 = −1 nicht vor!). Man erhält daher die beiden folgenden exakten Garbensequenzen

[figure: 0; ℂ; O_{X}; ∂; Ω_{X}^{1}; 0; 0; ℂ; M_{X}; ∂; Ω_{X,2nd}^{1}; 0]

Die lange exakte Kohomologiesequenz liefert

[figure: ℂ; 0; ℂ; ℂ; Ω^{1}(X); δ; H^{1}(X, ℂ); H^{1}(X, O); H^{1}(X, Ω^{1}); Res; ≅; δ; H^{2}(X, ℂ); _{\frac{1}{2πi} ∫_{X}}; H^{2}(X, O)]

(es gilt H^{2}(X, O) = 0 wegen der Dolbeaut Sequenz!) sowie analog

\xymatrix{ℂ \ar[r] & M(X) \ar[r]^{∂} & Ω_{2nd}^{1}(X) \ar[r] & H^{1}(X, ℂ) \ar[r] & H^{1}(X, M)}

Übungsaufgabe: H^{1}(X, M) = 0. Hinweis: Jeder Kozykel f_{ij} ∈ Z_{U}^{1}(X, M_{X}) hat in Z_{V}^{1}(X, M_{X}) bezüglich einer geeigneten endlichen Verfeinerung V von U nur endlich viele Pole und liegt daher im Bild von Z_{V}^{1}(X, O_{D}) für einen geeigneten Divisor D ≥ 0 vom Grad >> 0. H^{1}(X, O_{D}) = 0 verschwindet wegen Riemann-Roch.

Ein Vergleich der Abbildungen Res und der Abbildung (2πi)^{−1} ∫_{X} und ein Blick auf den Beweis des Residuensatzes zeigt, daß die surjektive) Abbildung δ : H^{1}(X, Ω^{1}) → H^{2}(X, ℂ) aus Dimensionsgründen (H^{1}(X, Ω^{1}) ≅ ℂ Serredualität) ein Isomorphismus sein muß.

Korollar (Hodge Filtration): Man hat eine kurze exakte Sequenz

0 → Ω^{1}(X) → H^{1}(X, ℂ) → H^{1}(X, O) → 0

Korollar: Es folgt dim_{ℂ}(H^{1}(X, ℂ)) = 2g und dim_{ℂ}(H^{2}(X, ℂ)) = 1.

Korollar (Obstruktion): Der Hindernisraum für die Existenz einer globalen meromorphen Stammfunktion für eine Differentialform 2.Gattung ist die Kohomologiegruppe H^{1}(X, ℂ)

H^{1}(X, ℂ) ≅ Ω_{2nd}^{1}(X)/∂(M(X)) .

Beispiel: Für eine elliptische Kurve X definiert y^{2} = 4x^{3} + ux + v mit u, v ∈ C (siehe Freitag-Busam) gilt g(X) = 1 sowie Ω_{2nd}^{1}(X) = ℂ\frac{dx}{y} + ℂ\frac{xdx}{y} + ∂(M(X)).

Bemerkung: η_{ω} ∈ A_{closed}^{1}(X) heißt Glättung von ω ∈ Ω_{2nd}^{1}(X), wenn δ(ω) = δ(η_{ω}) gilt

[figure: M(X); ∂; Ω_{2nd}^{1}(X); δ; H^{1}(X, ℂ); A^{0}(X); d; A_{closed}^{1}(X); δ; H^{1}(X, ℂ)]

Die Zuordnung ω ↦ η_{ω} liefert einen Isomorphismus zwischen

A_{closed}^{1}(X)/dA^{0}(X) und Ω_{2nd}^{1}(X)/∂(M(X)) .

Übungsaufgabe: Jedes ω ∈ Ω_{2nd}^{1}(X) hat eine endliche Polstellenmenge S ⊂ X (X kompakt) und besitzt eine Glättung η_{ω}, welche mit ω außerhalb einer beliebig kleinen Umgebung von S übereinstimmt.

Hinweis: Die auf X −S holomorphe Form ω besitzt lokal um S holomorphe Stammfunktionen f_{s}, s ∈ S. Sei ϕ ∈ C_{c}^{∞}(X) mit Werten in [0, 1] mit ϕ(x) = 1 nahe bei s ∈ S und Träger in einer kleinen Umgebung von S. Ersetze ω durch d[(1 − ϕ)f_{s}] nahe bei S. (Vergleiche mit dem Abel-Jacobi Theorem, wo die Glättung von Differentialformen 3.Gattung benutzt wird).

Die kanonische Polarisierung

Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht g. Wir wollen auf dem 2g-dimensionalen ℂ-Vektorraum H^{1}(X, ℂ) eine alternierende Paarung definieren. Dazu benutzen wir die deRham Isomorphismen

H^{1}(X, ℂ) ≅ H_{dR}^{1}(X) = A_{closed}^{1}(X)/d(A^{0}(X))
H^{1}(X, ℝ) ≅ H_{dR}^{1}(X, ℝ) = A_{closed}^{1}(X, ℝ)/d(A^{0}(X, ℝ)) .

Komplexe Konjugation auf den Koeffizienten der Differentialformen definiert daher die dieselbe komplexe Konjugation auf H^{1}(X, ℂ) wie die Konjugation definiert durch H^{1}(X, ℂ) = H^{1}(X, ℝ) ⊗_{ℝ} ℂ.

Bemerkung: Es gilt ℂ^{g} = H^{1}(X, ℂ) = H^{1}(X, ℤ) ⊗ ℂ. Aus der exakten Sequenz 0 → ℤ → ℂ → ℂ^{∗} → 0 folgt H^{1}(X, ℤ) ↪ H^{1}(X, ℂ) = ℂ^{g}. Insbesondere ist H^{1}(X, ℤ) torsionsfrei, und somit

H^{1}(X, ℤ) ≅ ℤ^{2g} .

Das Cupproduct:

H_{dR}^{1}(X) × H_{dR}^{1}(X) → ℂ
(ω, η) ↦ ⟨ω, η⟩ = ∫_{X} ω ∧ η .

Hierbei sind ω, η ∈ A_{closed}^{1}(X) Repräsentanten. Die Paarung ist wohldefiniert (Satz von Stokes). Wegen η ∧ ω = −ω ∧ η ist ⟨., .⟩ eine alternierende ℂ-Linearform auf H^{1}(X, ℂ).

Lemma: Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche.

(i) Der Teilraum Ω^{1}(X) ⊂ H_{dR}^{1}(X) (Hodgefiltration) ist maximal isotrop und die ℂ-lineare Paarung ⟨., .⟩ ist nicht ausgeartet.

(ii) h(w) = i · ⟨ω, \overline{ω}⟩ definiert eine positive definite reellwertige hermitesche Form auf H_{dR}^{1}(X).

Beweis: Wegen dz ∧ dz = 0 ist Ω^{1}(X) ein isotroper Teilraum der Dimension g. Analog ist \overline{Ω}^{1}(X) ein isotroper Teilraum g. Sei nun ω ∈ Ω^{1}(X). Lokal gilt ω = f(z)dz. Wegen iω ∧ \overline{ω} = |f(z)|^{2} · 2dx ∧ dy gilt dann h(ω) ≥ 0 mit Gleichheit genau dann, wenn ω = 0. Daraus und aus der Isotropie folgt Ω^{1}(X) ∩ \overline{Ω}^{1}(X) = 0. Aus Dimensionsgründen folgt dann das nächste Lemma, aus dem seinerseits die noch zu zeigenden Aussagen von (i) und (ii) unmittelbar folgen.

Lemma (Hodge Zerlegung): Die deRham Kohomologie H_{dR}^{1}(X) ≅ H^{1}(X, ℂ) zerfällt in zwei Teilräume

Ω^{1}(X) ⊕ \overline{Ω}^{1}(X) = H_{dR}^{1}(X) .

Insbesondere gilt Ω^{1}(X) ∩ H^{1}(X, ℝ) = 0.

Übungsaufgabe: Sei X kompakt und η_{ω} ∈ H_{dR}^{1}(X) eine Glättung von ω ∈ Ω_{2nd}^{1}(X). Zeige

⟨η_{ω}, ω⟩ = 2πi · ∑_{x∈X} res_{x}(f_{x} · ω) ,

wobei f_{x} eine lokale Stammfunktion von η bei x ist.

Hinweis: Kopiere den Beweis des Abel-Jacobi Theorems.

Übungsaufgabe: Sei ρ ∈ Ω_{3rd}^{1}(X) und X kompakt. Zeige ∫_{X} ρ ∧ η ist wohldefiniert für η ∈ A_{closed}^{1}(X) und Null für η ∈ Ω^{1}(X).

Die Picardgruppe

Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche. Die Gruppe

P ic(X) = H^{1}(X, O^{∗})

ist die sogenannte Picardgruppe von X. Die Exponentialsequenz liefert die lange exakte Sequenz

0 → H^{1}(X, ℤ) → H^{1}(X, O) → P ic(X) → H^{2}(X, ℤ) → 0 .

Beachte H^{2}(X, O) = 0 wegen der Dolbeaut Sequenz. Wir zeigen später (im Abschnitt additive versus multiplikative Theorie)

H^{2}(X, ℤ) ≅ ℤ .

Die Randabbildung

0 → P ic^{0}(X) → P ic(X) → H^{2}(X, ℤ) → 0

von P ic(X) nach H^{2}(X, ℤ) heißt Chernklassenabbildung und ihr Kern ist die Picard Varietät P ic^{0}(X).

Satz: Der Kern P ic^{0}(X) der Chernklassenabbildung ist ein g-dimensionaler komplexer Torus

P ic^{0}(X) ≅ H^{1}(X, O)/H^{1}(X, ℤ) .

Dieser Quotient ist ein kompakter Torus und isomorph zu ℂ^{g}/ℤ^{2g}. D.h. H^{1}(X, ℤ) ≅ ℤ^{2g} definiert ein Gitter in H^{1}(X, O) ≅ ℂ^{g}.

Bemerkung: Dies schließt im Fall g = 1 beispielsweise die Möglichkeit H^{1}(X, ℤ) ≅ ℤ + ℤ · \sqrt{2} ⊂ ℂ ≅ H^{1}(X, O) aus.

Beweis: Der Isomorphiesatz liefert wegen H^{1}(X, ℝ) ∩ Ω^{1}(X) = 0 aus ℝ-Dimensionsgründen folgenden Isomorphismus von ℝ-Vektorräumen

H^{1}(X, ℝ) ≅ H^{1}(X, ℂ)/Ω^{1}(X) .

Anderseits gilt H^{1}(X, ℂ)/Ω^{1}(X) ≅ H^{1}(X, O) (Hodge Filtration). Somit ist P ic^{0}(X) isomorph zu H^{1}(X, ℝ)/H^{1}(X, ℤ) ≅ H^{1}(X, ℤ) ⊗_{ℤ} ℝ/ℤ.

Lokalfreie Garben

Eine O_{X}-Modulgarbe L heißt lokal frei vom Rang 1 auf X – oder kurz Linienbündel – wenn es eine offene Überdeckung ⨆_{i} U_{i} von X gibt, welche L trivialisiert: L|U_{i} ≅ O_{U_{i}} (Isomorphismen ϕ_{i} von O_{U_{i}}-Modulgarben !). Ist L ein Linienbündel, dann auch sein Dual L^{∗}(U) = Hom_{O(U)}(L(U), O(U)).

Zwei Linienbündel heißen isomorph, wenn sie isomorph als O_{X}-Modulgarben auf X sind. Die Isomorphieklassen von Linienbündeln bilden eine Gruppe. Die Gruppenstruktur ist induziert durch das O_{X}-Tensorprodukt. Das inverse Element von der Isomorphieklasse von L ist – wie man leicht zeigt – das duale Linienbündel L^{∗}.

Lemma: Die Gruppe H^{1}(X, O_{X}^{∗}) ist isomorph zur Gruppe der Isomorphieklassen von lokalfreien O_{X}-Garben auf X vom Rang 1.

Beweisskizze: Sei ξ ∈ H^{1}(X, O_{X}^{∗}) representiert durch ξ ∈ H_{U}^{1}(X, O^{∗}) mit zugehörigem Cechkozykel ξ_{ij} ∈ O_{X}^{∗}(U_{i} ∩ U_{j}). Dann definiert

O_{ξ}(U) = {f_{i} ∈ O_{X}(U_{i} ∩ U) | f_{j} = ξ_{ji} · f_{i} auf U_{i} ∩ U_{j} ∀i, j}

ein Linienbündel auf X. (Offensichtlich wird O_{ξ} gerade von der Überdeckung U trivialisiert). Die Isomorphieklasse von O_{ξ} hängt nur von ξ ab, d.h. ist unabhängig von der Wahl von U und der Wahl des Kozykel ξ_{ij}, welcher ξ repräsentiert! Dies ist leicht einzusehen.

Weiterhin gilt

O_{ξ} ⊗_{O_{X}} O_{ξ′} ≅ O_{ξ·ξ′} .

Die Zuordnung ξ ↦ O_{ξ} definiert also einen Gruppenhomomorphismus

H^{1}(X, O_{X}^{∗}) → Linienbündel/ ∼ .

\underline{Injektivität}: Sei ξ im Kern. Dann gibt es eine Isomorphismus ϕ : O_{X} ≅ O_{ξ} von O_{X}-Modulgarben. Sei f = ϕ(1) ∈ O_{ξ}(X) das Bild von 1 ∈ O(X). Dann gilt f_{i} = res(f) ∈ O_{ξ}(U_{i}). Wegen f_{j} = ξ_{ji} · f_{i} ist ξ_{ji} = f_{j}/f_{i} ein Korand und die Kohomologieklasse ξ ist Null.

\underline{Surjektivität}: Sei L ein Linienbündel mit den O_{X}-linearen Trivialisierungen

ϕ_{i} : L|U_{i} ≅ O_{U_{i}} .

Dann definiert

ϕ_{j} ∘ ϕ_{i}^{−1} : O_{X}(U_{i} ∩ U_{j}) ≅ O_{X}(U_{i} ∩ U_{j})

einen O_{X}(U_{i} ∩ U_{j})-linearen Isomorphismus. Diese ist notwendigerweise gegeben durch Multiplikation mit der Einheit (!)

ξ_{ji} := ϕ_{j} ∘ ϕ_{i}^{−1}(1) ∈ O_{X}^{∗}(U_{i} ∩ U_{j}) .

Dies definiert einen Cechkozykel in Z_{U}^{1}(X, O_{X}^{∗}) und man zeigt sofort L ≅ O_{ξ} für die Kohomologieklasse ξ dieses Kozykels.

Beispiel: (Übungsaufgabe) Sei D ein Divisor auf einer (nicht notwendig kompakten) Riemannschen Fläche X. Dann ist L = O_{D} ein Linienbündel auf X. Es gilt O_{D} ⊗_{O} O_{D′} ≅ O_{D+D′} sowie (O_{D})^{∗} ≅ O_{−D}. Hinweis: Reduziere auf den Fall X = U ⊂ ℂ.

Übungsaufgabe: Die Abbildung Div(X) → H^{1}(X, O_{X}^{∗}), welche D auf die Isomorphieklasse von O_{−D} abbildet, wird induziert von der Randabbildung

δ : Div(X) → H^{1}(X, O_{X}^{∗})
δ(D) = O_{−D}

der langen Kohomologiesequenz gebildet zur kurzen exakten Garbensequenz

0 → O_{X}^{∗} → M_{X}^{∗} → Div_{X} → 0 .

Die Klassengruppe Cl(X)

Die Klassengruppe Cl(X) einer kompakten Riemannschen Fläche X ist definiert als die Quotientengruppe von Div(X) modulo der Untergruppe der Hauptdivisoren. Man hat eine offensichtliche Gradabbildung

deg : Cl(X) → ℤ ,

welche einer Divisorklasse D/ ∼ den Grad deg(D) zuordnet. Dies definiert eine exakte Sequenz

0 → Cl^{0}(X) → Cl(X) → ℤ → 0 .

Lemma: Die Zuordnung

D ↦ O_{−D}

induziert einen Isomorphismus

δ : Cl(X) ≅ H^{1}(X, O_{X}^{∗})

zwischen der Klassengruppe Cl(X) und der Picardgruppe P ic(X).

Beweis: Beachte O_{−D−(f)} ≅ O_{−D}. Somit ist die Abbildung

Cl(X) → {Linienbündel}/ ∼ ≅ H^{1}(X, O_{X}^{∗})

ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.

\underline{Injektivität}: Ist D/ ∼ im Kern, dann gilt O_{D} ≅ O_{X}. ObdA deg(D) ≤ 0 durch die Ersetzung D ↦ −D. Aus h^{0}(X, O_{D}) = h^{0}(X, O_{X}) = 1 folgt dann die Existenz eines Schnittes f ≠ 0 mit D + (f) ≥ 0. Aus Gradgründen folgt daraus D + (f) = 0. Das heißt D ist ein Hauptdivisor D = (f^{−1}).

\underline{Surjektivität}: Wir benutzen den Endlichkeitssatz

h^{1}(X, L) = dim_{ℂ}(H^{1}(X, L) < ∞

für beliebige Linienbündel (siehe Forster ...). Vollkommen analog wie beim Beweis des Satzes von Riemann-Roch zeigt man damit

h^{0}(X, L ⊗_{O} O_{D}) ≥ deg(D) + const(L) .

Also existiert ein Divisor D und ein Schnitt f ≠ 0 in H^{0}(X, L ⊗_{O} O_{D}). Die Zuordnung 1 ↦ f kann zu einer nichttrivialen O_{X}-linearen Garbenabbildung

O_{X} → L ⊗_{O} O_{D}

fortgesetzt werden. Tensorprodukt mit O_{−D} und Dualisieren liefert eine nichttriviale O_{X}-lineare Abbildung

L^{∗} → (O_{−D})^{∗} = O_{D} .

\underline{Jede solche Abbildung ist eine Injektion}: Es genügt dies zu zeigen auf zusammenhängenden offenen Teilmengen U einer trivialisierenden Überdeckung. Jede nichttriviale O(U)-lineare Abbildung O(U) → O(U) ist dann gegeben durch Multiplikation mit einer holomorphen Funktion g_{U} und die Behauptung folgt aus der Nullteilerfreiheit von O(U). Benutzt man eine endliche Trivialisierung U (X ist kompakt) und die Diskretheit der Nullstellen von holomorphen Funktionen folgt die Verschärfung:

L^{∗} ↪ O_{D}

ist (lokal auf U) eine O_{X}-Idealgarbe; die Nullstellen der Funktionen g_{U} definieren einen Divisor D′ ≥ 0 auf X und es gilt L^{∗} ≅ O_{D−D′} und somit

L ≅ O_{D′−D} .

Logarithmische Stammfunktionen

Wir haben bereits gesehen, daß Differentialformen ω ∈ Ω_{3rd}^{1}(X) dritter Gattung in der Regel keine meromorphe Stammfunktionen in M(X) besitzen. Das klassische Beispiel ist die Form ω = \frac{dz}{z}, deren Stammfunktion die mehrdeutige Funktion log(z) ist

∂log(z) = \frac{dz}{z} .

Es liegt dann aber nahe zu fragen, ob jedes Differential dritter Gattung eine logarithmische Stammfunktion besitzt? Hierbei heißt eine meromorphe Funktion G(z) eine logarithmische Stammfunktion von ω = g(z)dz, falls gilt

∂log(G) := \frac{G′(z)}{G(z)}dz = g(z)dz .

Lokal existiert eine logarithmische Stammfunktion genau dann, wenn die Residuen von ω ganzzahlig sind (obdA Reduktion auf den Fall ω = \frac{dz}{z}). Dies ist also eine notwendige Bedingung. Sei daher

Ω_{3rd,ℤ}^{1} ⊂ Ω_{3rd}^{1}

die Untergarbe der Garbe der Differentialformen dritter Gattung, welche aus Formen mit ganzzahligen Residuen bestehen. Dann erhält man aus der lokalen Existenz von logarithmischen Stammfunktionen eine exakte Garbensequenz

0 → ℂ_{X}^{∗} → M_{X}^{∗} → Ω_{3rd,ℤ}^{1} → 0 .

Die

Frage: Welche globalen Differentialformen dritter Gattung auf einer kompakten Riemannschen Fläche besitzen eine meromorphe logarithmische Stammfunktion?

beantwortet das folgende

Lemma: Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche. Die Obstruktion δ(ω) für die Existenz einer meromorphen logarithmischen Stammfunktion G einer Differentialform ω ∈ Ω_{3rd,ℤ}^{1}(X) liegt in der abelsche Gruppe H^{1}(X, ℂ^{∗})

\xymatrix{0 \ar[r] & ℂ^{∗} \ar[r] & M^{∗}(X) \ar[r]^{∂log} & Ω_{3rd,ℤ}^{1}(X) \ar[r]^{δ} & H^{1}(X, ℂ^{∗}) \ar[r] & 0}

Beweis: Dazu genügt es H^{1}(X, M_{X}^{∗}) = 0 zu zeigen.

Diese Aussage folgt aus einem Vergleich der beiden horizontalen exakten Garbensequenzen des Diagrams

[figure: Ω^{1}; 0; ℂ_{X}^{∗}; M_{X}^{∗}; ∂log; Ω_{3rd,ℤ}^{1}; Res; 0; 0; O_{X}^{∗}; M_{X}^{∗}; (.); Div_{X}; 0]

Hierbei ist Res(ω) = ∑_{x∈X} res_{x}(ω) · [x]. Für f ∈ M^{∗}(X) gilt Res(∂logf) = ∑_{x} ord_{x}(f) · [x] = (f) in Div(X). Für die Garbe Div_{X} der Divisoren auf X gilt

H^{1}(X, Div_{X}) = 0 .

Benutze zum Nachweis dieser Aussage das kofinale System aller endlichen Überdeckungen von X, um diese Aussage auf das Verschwinden H^{1}(X, G) = 0 für einzelne Wolkenkratzergarben G mit Werten in A im Punkt x ∈ X zurückzuführen!

Die langen exakten Sequenzen liefern daher

[figure: M^{∗}(X)/ℂ^{∗}; Ω_{3rd,ℤ}^{1}(X); H^{1}(X, ℂ_{X}^{∗}); H^{1}(X, M_{X}^{∗}); M^{∗}(X)/ℂ^{∗}; Div(X); H^{1}(X, O_{X}^{∗}); H^{1}(X, M_{X}^{∗}); 0]

Da Cl(X) = H^{1}(X, O_{X}^{∗}) folgt aus der unteren Sequenz H^{1}(X, M_{X}^{∗}) = 0. Damit ist das Lemma bewiesen.

Wir fassen zusammen: Die Basisformen

ω_{P,Q} ∈ Ω_{3rd,ℤ}^{1}(X)

mit den Residuen −1 resp. 1 in P resp. Q bilden für festes Q ∈ X und variables P ∈ X eine Basis des ℤ-Moduls Ω_{3rd,ℤ}^{1}(X). Wegen

H^{1}(X, M^{∗}) = 0

ist außerdem die Abbildung Ω_{3rd,ℤ}^{1}(X) → H^{1}(X, ℂ^{∗}) surjektiv

[figure: ω_{P,Q}; Res; δ(ω_{P,Q}); Q − P; O_{P −Q}/ ∼; Ω_{3rd,ℤ}^{1}; δ; Res; H^{1}(X, ℂ_{X}^{∗}); Div(X); δ; H^{1}(X, O_{X}^{∗})]

Da die Divisoren Q − P gerade Div^{0}(X) erzeugen, folgt

Korollar: Die Garbeninklusion ℂ_{X}^{∗} ↪ O_{X}^{∗} induziert eine Surjektion

H^{1}(X, ℂ_{X}^{∗}) ↠ δ(Cl^{0}(X)) ⊂ H^{1}(X, O_{X}^{∗}) .

Hierbei ist δ(Cl^{0}(X)) das Bild der Untergruppe Cl^{0}(X) ⊂ Cl(X) unter der Abbildung

δ : Cl(X) ≅ H^{1}(X, O_{X}^{∗}) .

Appendix (lokale Beschreibung der Obstruktion)

\underline{Ist P nahe genug bei Q}, kann die Obstruktionsklasse – d. h. δ(ω_{P,Q}) – explizit beschrieben werden:

Sei U_{1} eine kreisförmigen Kartenumgebung um Q. Wir identifizieren U_{1} mit dem Bildkreis in ℂ. Wir nehmen an, U_{1} enthalte P und damit die Gerade \overline{QP}. Wir überdecken X durch U_{1} und endlich viele weitere Karten einfach zusammenhängende Karten U_{j}, j = 2, 3, ... wie im nachfolgenden Bild:

Die Bedingung a) ist nur eine Bedingung an die unipotente Komponente u in Termen des Ausgangsvariable t. Die Torusvariable a ist nicht involviert.

Die Bedingung b) definiert eine Beziehung zwischen der unipotenten Komponente u und der Toruskomponente a. Diese Bedingung ist aber unabhängig von der Ausgangsvariable t. Wir wählen Stützpunkte P_{j} ∈ U_{j} mit P_{1} ∉ \overline{QP}.

Dann existieren nach dem Satz von Cauchy (für j ≥ 2) bzw. dem Residuensatz (für j = 1) holomorphe Funktionen

g_{j}(x) = (2πi)^{−1} ∫_{P_{j}}^{x} ω_{P,Q} , j = 1, 2, ..

mit g_{j} ∈ O(U_{j} ∩ (X − \overline{P Q})).

\underline{Beachte}: ω_{P,Q} ist holomorph auf X−\{P, Q\}. Bis auf den Faktor 2πi ist g_{j} eine Stammfunktion von ω_{P,Q} ∈ Ω^{1}(X − \overline{P Q}) auf der geschlitzten Riemannschen Fläche X −\overline{P Q}, d.h. 2πi·∂g_{j} = ω_{P,Q}. Insbesondere definieren die Funktionen G_{j}

\xymatrix{G_{j}(x) = exp(2πi · g_{j}(x)) \ar@{|->}[r]^{∂log} & ω_{P Q}}

dann logarithmische Stammfunktionen von ω_{P Q} auf der geschlitzten Riemannschen Fläche X − \overline{P Q}. Auf Grund der Wahl der Überdeckung sind die Funktionen res_{U_{j}}^{U_{j}∩U_{j′}}(G_{j}) holomorph auf ganz U_{j} ∩ U_{j′} für \underline{alle} Paare j ≠ j′. Die Gerade \overline{P Q} ist nämlich in keinem der Durchschnitte enthalten!

Folgerung: δ(ω_{P,Q}) ∈ H_{U}^{1}(X, ℂ^{∗}) wird nach Definition der Randabbildung δ representiert durch den folgenden Cechkozykel

δ(ω_{P,Q})(U_{j} ∩ U_{j′}) = G_{j}(x)/G_{j′}(x) ∈ ℂ_{X}^{∗}(U_{j} ∩ U_{j′}) .

Beachte: Zwei logarithmische Stammfunktionen unterscheiden sich lokal nur um eine Konstante in ℂ^{∗}.

Additive versus Multiplikative Theorie

In den vorangestellten Paragraphen haben wir die additive Theorie – das Stammfunktionenproblem – und die multiplikative Theorie – die Beschreibung von Cl(X) und das logarithmische Stammfunktionenproblem – beschrieben. Die Obstruktionen für die Existenz von (logarithmischen) Stammfunktionen wurden genau durch die Gruppen H^{1}(X, ℂ_{X}) (resp. H^{1}(X, ℂ_{X}^{∗})) gegeben. Die Exponentialsequenz stellt eine Verbindung her und ein Vergleich beider Ansätze liefert verfeinerte Resultate und impliziert das Abel-Jacobi Theorem. Die Grundlagen dazu sollen in diesem Abschnitt erläutert werden. Insbesondere werden wir zeigen

H^{2}(X, ℤ) ≅ ℤ .

Dies ist eigentlich eine topologische Aussage, wird aber hier direkt mit Argumenten der Funktionentheorie abgeleitet. Genauer wird gezeigt

Theorem: Man hat ein kommutatives Diagramm

\xymatrix{Cl(X) \ar[d]^{deg} \ar[r]^{δ}_{∼} & P ic(X) \ar[d]^{c_{1}} \\ ℤ \ar[r]^{≅} & H^{2}(X, ℤ)} .

Insbesondere gilt daher

Cl^{0}(X) ≅ P ic^{0}(X) .

Wir betrachten das folgende Diagram mit exakten Zeilen und Spalten

[figure: 0; 0; 0; ℤ_{X}; ℂ_{X}; exp(2πi−); ℂ_{X}^{∗}; 0; 0; ℤ_{X}; O_{X}; ∂; exp(2πi−); O_{X}^{∗}; ∂log; 0; Ω^{1}; Ω^{1}; 0; 0]

Man erhält daraus das folgende Diagramm

[figure: H^{1}(X, ℂ_{X}); exp(2πi−); H^{1}(X, ℂ_{X}^{∗}); H^{2}(X, ℤ_{X}); H^{1}(X, O_{X}); ∂; exp(2πi−); H^{1}(X, O_{X}^{∗}); ∂log; H^{2}(X, ℤ_{X}); H^{1}(X, Ω^{1}); H^{1}(X, Ω^{1})]

Die Chernklassenabbildung c_{1} : H^{1}(X, O_{X}^{∗}) → H^{2}(X, ℤ_{X}) ist surjektiv, da H^{2}(X, O_{X}) = 0 verschwindet (Dolbeaut Lemma).

Zum Beweis des letzten Satzes genügt es die Surjektivität (∗)

H^{1}(X, ℂ_{X}) ↠ H^{1}(X, ℂ_{X}^{∗})

zu zeigen. Dann nämlich definieren P ic^{0}(X) = H^{1}(X, O_{X}) und δ(Cl^{0}(X)) dieselbe Untergruppe von P ic(X) = H^{1}(X, O_{X}^{∗}), erzeugt vom Bild von H^{1}(X, ℂ_{X}) (wir benutzen dabei das Korollar des letzen Abschnitts).

Die Differentiale ω_{P,Q} für beliebige Paare P, Q ∈ X (nahe beieinander) erzeugen Ω_{3rd,ℤ}^{1}(X)/Ω^{1}(X). Wie im letzen Abschnitt diskutiert erzeugen die Obstruktionsklassen δ(ω_{P,Q}) dann H^{1}(X, ℂ_{X}^{∗}), denn die Randabbildung δ : Ω_{3rd,ℤ}^{1}(X) → H^{1}(X, ℂ_{X}^{∗}) ist surjektiv! Zum Beweis von (∗) genügt daher die Liftbarkeit der Erzeuger δ(ω_{P,Q}) zu einem Element η_{P,Q}

\xymatrix{H^{1}(X, ℂ_{X}) \ar[rr]^{exp(2πi−)} &  & H^{1}(X, ℂ_{X}^{∗}) ∋ δ(ω_{P,Q}) \\  & H_{dR}^{1}(X) = A_{closed}^{1}(X)/dA^{0}(X) ∋ η_{P Q} \ar[ul]^{∼}_{δ} \ar[ur]}

Ansatz: Im vorigen Abschnitt wurde gezeigt, daß die Obstruktionsklasse δ(ω_{P,Q}) repräsentiert wird durch den Cechlozykel

G_{j}/G_{j′} , G_{j} = exp(2πi · g_{j}) .

Die g_{j} waren holomorphe Funktionen auf der geschlitzten Riemannschen Ebene X −\overline{P Q}. Wähle eine Abschneidefunktion 1−ϕ(x) mit ϕ ∈ C_{c}^{∞}(U_{1}), welche Werte ≥ 0 hat, welche in den U_{j}, j ≥ 2 verschwindet und auf dem Schlitz \overline{P Q} identisch 1 ist. setze f_{1} = (1 − ϕ)g_{1} ∈ C^{∞}(U_{1}) und f_{j} = g_{j}, j ≥ 2. Dann verheftet sich

η_{P Q}|U_{j} = 2πi · d(f_{j}(x)) ∈ A_{closed}^{1}(U_{j})

zu einer geschlossenen globalen 1-Form auf X so daß gilt

η_{P Q} = ω_{P Q} auf ⨆_{j≥2} U_{j} .

Da der Träger der Abschneidefunktion disjunkt zu den Durchschnitten U_{j} ∩ U_{j′} ist für j ≠ j′ gilt für den Cechkozykel δ(η_{P Q})_{jj′} = (f_{j}(x) − f_{j′}(x))_{jj′} = (g_{j}(x) − g_{j′}(x))_{jj′} ∈ ℂ (auf U_{j} ∩ U_{j′}). Bild:

Es folgt

\xymatrix{(g_{j}(x) − g_{j′}(x))_{jj′} \ar@{|->}[rr]^{exp(2πi−)} &  & δ(ω_{P Q})_{jj′} \\  & η_{P,Q} \ar@{|->}[ul]^{∼}_{δ} \ar[ur]}

Mit anderen Worten

Korollar: Die Glättung η_{P Q} ∈ A_{closed}^{1}(X) der meromorphen Differentialform ω_{P Q} (für zwei nahe gelegene Punkte P, Q) definiert eine de Rham Kohomologieklasse in H_{dR}^{1}(X), welche den Obstruktionskozykel δ(ω_{P Q}) liftet.

Das Abel-Jacobi Theorem

Zur Erinnerung: Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche. Dann ist die Klassengruppe Cl(X) kanonisch isomorph zur Picardgruppe via

δ : Cl^{0}(X) ≅ P ic^{0}(X) .

Die Klasse eines Divisors D vom Grad Null wird auf das Linienbündel O_{−D} abgebildet. Die Picard Varietät ist P ic^{0}(X) = Ω^{1}(X) \ H^{1}(X, ℂ)/H^{1}(X, ℤ).

Die Abbildung α: Sei ω_{1}, ...ω_{g} eine ℂ-Basis von Ω^{1}(X). Wir benutzen den de Rham Isomorphismus H^{1}(X, ℂ) ≅ H_{dR}^{1}(X). Die alternierende Paarung ⟨., .⟩ auf der de Rham Kohomologie definiert die folgende Abbildung

α(η) = (⟨η, ω_{1}⟩, ..., ⟨η, ω_{1}⟩) ∈ ℂ^{g}

\xymatrix{0 → Ω^{1}(X) \ar[r] & H_{dR}^{1}(X) \ar[r]^{α} & ℂ^{g} → 0} .

Ω^{1}(X) ist maximal isotrop. Also ist Ω^{1}(X) der Kern von α. Die Paarung ⟨., .⟩ ist nichtausgeartet. Also ist α surjektiv. Man erhält somit einen induzierten Isomorphismus auf die Jacobi Varietät J(X)

\xymatrix{P ic^{0}(X) \ar[r]^{α}_{∼} & J(X) = ℂ^{g}/α(H^{1}(X, ℤ))} .

Problem: Berechne den zusammengesetzten Isomorphismus β = α ∘ δ

[figure: Cl^{0}(X); β; ∼; J(X)]

und bestimme das Gitter α(H^{1}(X, ℤ)), welches J(X) definiert.

Bemerkung: Es genügt dazu das Bild von den erzeugenden Divisorklassen D = Q − P anzugeben für Punktepaare P, Q in X. Das zugehörige Linienbündel ist O_{P −Q}. Für nahe beieinander liegende Punktepaare P, Q haben wir im letzten Abschnitt eine geschlossene 1-Form η = η_{P,Q} konstruiert, deren Klasse [η_{P,Q}] in der de Rham Kohomologie H_{dR}^{1}(X) beziehungsweise im Quotient

P ic^{0}(X) = Ω^{1}(X) \ H_{dR}^{1}(X)/H^{1}(X, ℤ)

auf die Klasse des Linienbündels O_{P −Q} abgebildet wird. Zur Lösung des Problems muß man also die Integrale α(η_{P,Q}) berechnen.

Satz von Abel-Jacobi: (erste Version) Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche und Q ein beliebiger Punkt auf X. Dann gilt:

(i) Jede Divisorklasse in Cl^{0}(X) besitzt einen Repräsentant der Form

(P_{1} − Q) + ... + (P_{g} − Q)

für g Punkte P_{1}, ..., P_{g} aus X.

(ii) Der Isomorphismus

β : Cl^{0}(X) ⟶ J(X)

ist gegeben durch

(Q − P) ↦ (∫_{Q}^{P} ω_{1}, ..., ∫_{Q}^{P} ω_{g}) mod α(H^{1}(X, ℤ)) .

Die Integrale hängen modulo α(H^{1}(X, ℤ)) nicht von der Wahl des Integrationsweges auf X ab.

Beweis: Teil (i) folgt aus dem Satz von Riemann-Roch. Für einen Divisor D vom Grad Null gilt h^{0}(X, O_{D+gQ}) = 1 − g + deg(D + gQ) + h^{1} = 1 + h^{1} ≥ 1. Somit existiert ein nichttrivialer Schnitt f mit D + gQ + (f) ≥ 0 beziehungsweise

D + gQ + (f) = Q_{1} + ... + Q_{g} ,

da der Grad der linken Seite gleich g ist. Dies zeigt (i).

Aussage (ii) genügt es – durch additive Fortsetzung – für nahe beieinander liegende Punktepaare P, Q zu zeigen. Für solche kann man α(η_{P,Q}) berechnen. Wir zeigen nämlich im folgenden

⟨η_{P,Q}, ω⟩ = ∫_{Q}^{P} ω

für alle ω ∈ Ω^{1}(X). Dies beweist dann die Aussage (ii).

Sei X − \overline{P Q} die geschlitzte Riemannsche Fläche. Sei U_{ε} eine geeignete kleine offene Umgebung der Schlitzgerade \overline{P Q} und sei ω ∈ Ω^{1}(X) eine holomorphe 1-Form. Dann gilt für η = η_{P Q}

⟨η_{P Q}, ω⟩ = ∫_{X} η ∧ ω = lim_{ε→0} ∫_{X−U_{ε}} η ∧ ω .

\underline{Zur Erinnerung}: Außerhalb einer Umgebung U_{1} der Gerade \overline{P Q} stimmt η = η_{P Q} mit der meromorphen 1-Form ω_{P,Q} ∈ Ω_{3rd,ℤ}^{1}(X) überein. Wegen ω_{P,Q} ∧ ω = 0 trägt nur das Integral über die Karte U_{1} bei, welche die Schlitzumgebungen U_{ε} enthalten soll. Auf dieser Karte war η_{P Q} ein Rand, definiert wie folgt (siehe voriger Paragraph)

η(z) = d [(1 − ϕ)(x, y) · g_{1}(z)] ,
g_{1}(z) = (2πi)^{−1} ∫_{P_{1}}^{z} ω_{P Q} ∈ O(U_{1} − U_{ε}) .

Somit ist das Integral

∫_{X−U_{ε}} η ∧ ω = ∫_{U_{1}−U_{ε}} d[−ϕ(x, y) · g_{1}(z) · ω(z)] .

Da ϕ kompakten Träger in U_{1} hat ergibt der Satz von Stokes

− ∮_{ε} ϕ(x, y)g_{1}(z)ω(z) .

Integration erfolgt über den Rand von U_{ε} in X im Uhrzeigersinn! Ist ε klein genug, wird ϕ(x, y) = 1 auf dieser Kontur und im Limes ε → 0 strebt das Konturintegral gegen

− ∫_{Q}^{P} g_{1}(z^{+})ω(z) + ∫_{Q}^{P} g_{1}(z^{−})ω(z) .

ω(z) ist holomorph auf U_{1}, aber g_{1}(z) ist nur holomorph auf dem Komplement der Schlitzgerade \overline{P Q}. Nähert man sich einem Punkt z des Schlitzes von “oben”beziehungsweise von “unten”, so gilt im Limes

g_{1}(z^{+}) = g_{1}(z^{−}) + res_{z=P} \frac{−dz}{(z − P)}

also g_{1}(z^{+}) = g_{1}(z^{−}) − 1. Daraus folgt wie behauptet ⟨η_{P,Q}, ω⟩ = ∫_{Q}^{P} ω.

0.6 Perioden

75

Die Albanese Varietät

Es bezeichne Ω^{1}(X)^{∗} den Dualraum des ℂ-Vektorraums der holomorphen Differentiale auf einer kompakten Riemannschen Fläche X. Wir fixieren einen Basisdpunkt Q auf X. Jeder geschlossene Weg γ auf X mit Anfangs und Endpunkt in Q definiert ein Element in Ω^{1}(X)^{∗}

γ ↦ ∮_{γ} ω , ω ∈ Ω^{1}(X) .

Dies definiert einen Homomorphismus von π_{1}(X, Q) nach Ω^{1}(X)^{∗}, dessen Bild wir mit H_{1}(X) bezeichnen. Wir definieren die Albanese Varietät durch

Alb(X) = Ω^{1}(X)^{∗}/H_{1}(X) .

Wir definieren nun die folgende Perioden Abbildung

alb : X^{g} → Alb(X) ,

welche den Punkt (Q_{1}, .., Q_{g}) in X^{g} auf die Linearform

ω ↦ ∑_{i=1}^{g} ∫_{Q}^{Q_{i}} ω mod H_{1}(X)

abbildet. Diese Abbildung ist wohldefiniert, da die Definition unabhängig von der Wahl der Wege von Q nach Q_{i} ist!

Wahl einer Basis ω_{1}, ..., ω_{g} von Ω^{1}(X) liefert einen Isomorphismus von Ω^{1}(X)^{∗} nach ℂ^{g}. Das Bild der Untergruppe H_{1}(Z) nennen wir die Periodengruppe

⟨ (∮_{γ} ω_{1}, ..., ∮_{γ} ω_{g}) für γ ∈ π_{1}(X, Q) ⟩ .

Als eine unmittelbare Folgerung des Abel-Jacobi Theorems ist diese Periodengruppe eine Untergruppe des Gitters α(H^{1}(X, ℤ)), welches die Jacobi Varietät J(X) definiert. Dies definiert die rechte vertikale Abbildung des folgenden kommutativen Diagramms

\xymatrix{X^{g} \ar[r]^{alb} \ar[dr] \ar@{->>}[d]^{cl} & Alb(X) \ar@{->>}[d]^{π} \\ Cl^{0}(X) \ar@{->>}[r]^{β}_{∼} & J(X)} .

Die linke vertikale Abbildung schickt (Q_{1}, .., Q_{g}) auf die Klasse des Divisors ∑_{i=1}^{g}(Q_{i} − Q). Wir nennen die diagonale Abbildung die Abel-Jacobi Abbildung. Die Kommutativität des Diagramms ist äquivalent zum Abel-Jacobi Theorem.

Sowohl die Albanese Abbildung als auch von der Abel-Jacobi Abbildung sind holomorphe Funktionen in g Variablen. Die Jacobimatrix beider Abbildungen im Punkt (Q_{1}, ..., Q_{g}) ∈ X^{g} (im holomorphen Sinne bezüglich lokaler Koordinaten z_{1}, .., z_{g} nahe bei Q_{1}, .., Q_{g}) ist gegeben durch

( \begin{matrix}ω_{1}(Q_{1}) & ... & ω_{1}(Q_{g}) \\ . & & . \\ . & & . \\ . & & . \\ ω_{g}(Q_{1}) & ... & ω_{g}(Q_{g}) \end{matrix} )

Definition: Ein Punkt (Q_{1}, ..., Q_{g}) in X^{g} heißt regulär, falls die Determinante dieser Matrix nicht verschwindet.

Lemma: Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(i) (Q_{1}, .., Q_{g}) ist regulär.

(ii) h^{0}(X, Ω_{−Q_{1}−..−Q_{g}}^{1}) = 0

(iii) h^{1}(X, O_{Q_{1}+...+Q_{g}}) = 0

(iv) Für (P_{1}, .., P_{g}) ∈ X^{g} gilt in Cl^{0}(X)

∑_{i=1}^{g}(P_{i} − Q) ≡ ∑_{i=1}^{g}(Q_{i} − Q)

genau dann, wenn gilt (im Sinn von Multimengen)

{P_{1}, .., P_{g}} = {Q_{1}, .., Q_{g}} .

Beweis: (i) ⟺ (ii) lineare Algebra. (ii) ⟺ (iii) Serre Dualität. Es bleibt (iii) ⟺ (iv): Aussage (iv) ist äquivalent zu h^{0}(O_{∑ Q_{i}−∑ P_{i}}) = 0 im Falle daß in der Divisorengruppe Div(X) gilt ∑_{i=1}^{g} Q_{i} ≠ ∑_{i=1}^{g} P_{i}. Nach Riemann-Roch

0 ≤ h^{0}(X, O_{∑(Q_{i}−P_{i})}) ≤ h^{0}(X, O_{Q_{1}+...+Q_{g}}) = (1 − g) + g + h^{1}(X, O_{Q_{1}+...+Q_{g}}) .

Aus (iii) folgt daher H^{0}(X, O_{Q_{1}+...+Q_{g}}) = ℂ und somit h^{0}(X, O_{∑(Q_{i}−P_{i})}) = 0, falls ∑_{i} Q_{i} ≠ ∑_{i} P_{i} in Div(X). Umgekehrt folgt aus (iv) die Aussage (ii). □

Existenz regulärer Punkte: Aus dim_{ℂ}(Ω^{1}(X)) = g folgt (ii) für jedes generisch gewählte Tupel Q_{1}, .., Q_{g}. Dies zeigt die Existenz regulärer Punkte (Q_{1}, .., Q_{g}) in X^{g}. Das Argument zeigt sogar, daß diese Punkte dicht liegen in X^{g}. Die regulären Punkte bilden außerdem eine offene Teilmenge von X^{g}.

Das Additions Theorem

Mit den Bezeichnungen des vorigen Paragraphen beweisen wir in diesem Abschnitt das folgende

Theorem: Die Perioden Abbildung alb : X^{g} → Alb(X) ist surjektiv.

Beweis: Das Bild alb(X^{g}) ist kompakt, also abgeschlossen in Alb(X). Es genügt zu zeigen, daß das Bild auch offen ist in Alb(X). Dazu genügt, daß das Bild unter Subtraktion abgeschlossen ist in der Gruppe Alb(X). Beachte: Für reguläre Punkte ist eine volle Umgebung des Bildpunktes x im Bild von alb. Somit liegt dann eine volle Umgebung von Null im Bild. Da Alb(X) als Gruppe von jeder Umgebung der Null erzeugt, muß daher alb surjektiv sein.

Für je zwei Punkte (Q_{1}, .., Q_{g}) und (P_{1}, .., P_{g}) in X^{g} gibt es einen Punkt (R_{1}, .., R_{g}) ∈ X^{g} mit ∑_{i=1}^{g} R_{i} ≡ g·Q+∑_{i=1}^{g}(Q_{i}−P_{i})+(f) für ein f ∈ M^{∗}(X). Dies folgt aus dem Abel-Jacobi Theorem.

Wir zeigen nun unter diesen Vorraussetzungen das folgende

Additions Theorem:

alb(Q_{1}, .., Q_{g}) − alb(P_{1}, .., P_{g}) = alb(R_{1}, .., R_{g}) .

Zum Beweis genügt zu wissen

∫_{C} ω = 0 modulo H_{1}(X)

für jeden stückweise glatten eindimensionalen Zykel C, dessen Rand als Zykel durch den Hauptdivisor (f) gegeben ist

∂C = (f) .

Wir benutzen dazu, daß eine moromorphe Funktion f auf X als holomorphe Funktion

f : X → S

auf die Riemannsche Zahlenkugel aufgefaßt werden kann (Übungsaufgabe!). Somit gilt modulo einer gewissen Periode in H_{1}(X)

∫_{C} ω ≡ ∫_{f^{∗}(\overline{0∞})} ω modulo H_{1}(X) .

Die holomorphe Differentialform f_{∗}(ω) verschwindet, da es keine holomorphen Differentiale auf der Riemannschen Zahlenkugel S gibt: g(S) = 0. Es folgt

∫_{f^{∗}(\overline{0∞})} ω = ∫\overline{0∞} f_{∗}(ω) = 0 .

□

Bemerkung: Die Konstruktion der Spur f_{∗}(ω) von ω mit den Nachweis der letzen Integralidentität überlassen wir dem Leser als Übungsaufgabe!

Die Periodengruppe

Im vorigen Paragraph haben wir die Albanese Varietät definiert

Alb(X) = Ω^{1}(X)^{∗}/H_{1}(X) .

Dies definiert einen kovarianten Funktor: Jede holomorphe Abbildung f : X → Y zwischen kompakten Riemannschen Flächen induziert eine holomorphe Abbildung f_{∗} : Alb(X) → Alb(Y).

Analog definiert die Jacobi Varietät

J(X) = H^{1}(X, O_{X})/H^{1}(X, ℤ) = P ic^{0}(X)

einen kontravarianten Funktor. Jede holomorphe Abbildung f : X → Y kompakter Riemannschen Flächen induziert eine holomorphe Abbildung f^{∗} : J(Y) → J(X).

Wir zeigen nun mit den Bezeichnungen des letzen Parapraphen den folgenden Satz

Theorem: Die Abbildung

[figure: π : Alb(X); ∼; J(X)]

ist ein Isomorphismus komplexer Tori.

Zur Erinnerung: Wir haben ein kommutatives Diagramm

\xymatrix{X^{g} \ar[r]^{alb} \ar[dr] \ar@{->>}[d]^{cl} & Alb(X) \ar@{->>}[d]^{π} \\ Cl^{0}(X) \ar@{->>}[r]^{β}_{∼} & J(X)} .

Die symmetrische Gruppe S_{g}: Sie operiert auf X^{g} durch Vertauschen der Koordinaten. Zwei Punkte in X^{g} liegen im selben S_{g}-Orbit genau dann, wenn die zugeordneten Multimengen übereinstimmen.

Beweis des Theorems: Da π ein Gruppenhomomorphismus ist, genügt es ein x ∈ J(X) zu finden mit Faserkardinalität |π^{−1}(x)| = 1.

Die betrachteten Abbildungen cl, die Albanese und die Abel-Jacobi Abbilding hängen nur vom S_{g}-Orbit der Punkte in X^{g} ab. Wegen Punkt (iv) des Lemmas im letzen Paragraphen ist daher die cl-Faser über dem Bildpunkt eines regulären Punktes von X^{g} so klein wie möglich, also gerade die Symmetrisierung des Punktes in X^{g} unter der Gruppe S_{g}.

Da β ein Isomorphismus ist, gilt dasselbe für die Abel-Jacobi Abbildung. Da wegen des Additionstheorems die Abbildung alb surjektiv ist(!), hat somit auch die Faser π^{−1}(x) die Kardinalität 1 für jeden Bildpunkt x ∈ J(X) eines regulären Punktes in X^{g} (unter der Abel-Jacobi Abbildung). Damit ist das Theorem bewiesen.

Korollar: Die Gruppe α(H^{1}(X, ℤ)) stimmt mit dem Periodengitter überein

α(H^{1}(X, ℤ)) = ⟨ (∮_{γ} ω_{1}, ..., ∮_{γ} ω_{g}) für γ ∈ H_{1}(X) ⟩ .

Genauer: Es gibt einen Gruppenisomorphismus

\xymatrix{H_{1}(X) \ar[r]^{∼} & H^{1}(X, ℤ) \\ γ \ar@{|->}[r] & η_{γ}}

so daß für alle η ∈ A_{closed}^{1}(X) gilt

∮_{γ} η = ∫_{X} η_{γ} ∧ η .

Hierbei fassen wir η_{γ} via H^{1}(X, ℤ) ⊂ H^{1}(X, ℂ) ≅ H_{dR}^{1}(X) als geschlossene Einsform auf X auf modulo Rändern in d(A^{0}(X)).

Beweis: Die erste Aussage folgt direkt aus dem vorherigen Theorem ebenso wie ∮_{γ} ω = ∫_{X} η_{γ} ∧ ω für alle ω ∈ Ω^{1}(X). η_{γ} ∈ H^{1}(X, ℤ) ist invariant unter

Konjugation. Daraus folgt ∮_{γ} ω = ∫_{X} η_{γ} ∧ ω auch für alle ω ∈ \overline{Ω}^{1}(X). Für Formen ω ∈ d(A^{0}(X)) sind beide Seiten Null (Satz von Stokes). Wegen A_{closed}^{1}(X) = Ω^{1}(X)+\overline{Ω}^{1}(X)+d(A^{0}(X)) folgt damit auch die zweite Aussage des Korollars für alle η ∈ A_{closed}^{1}(X). □

Poincare Dualität

Für eine kompakte Riemannsche Fläche X haben wir im letzten Abschnitt gezeigt, daß jede für de Rham Kohomologieklasse η ∈ H^{1}(X, ℤ) eine geschlossene Kurve γ existiert, der Art daß für η = η_{γ} gilt

∮_{γ} ω = ∫_{X} η_{γ∧ω}

(für alle ω ∈ A_{closed}^{1}(X)).

Andererseits haben die nichtausgeartete alternierende Paarung

⟨η, ω⟩ = ∫_{X} η ∧ ω

auf der de Rham Kohomologie H_{dR}^{1}(X) und damit auch auf H^{1}(X, ℂ).

Wir zeigen nun, daß die alternierende Paarung auf H^{1}(X, ℤ) ganzzahlige Werte annimmt. Genauer: Wir zeigen die Existenz einer Gitterbasis von H^{1}(X, ℤ), für die das Cupproduct durch die standard Matrix (Prinzipale Polarisierung)

J = ( \begin{matrix}0 & −E \\ E & 0 \end{matrix} ) , E = E_{g,g}

beschrieben wird. Für die Existenz einer solche Gitterbasis ist bekanntlich notwendig und hinreichend, daß die Paarung als ℤ-Paarung nicht ausgeartet ist.

Lemma: Die Einschränkung der alternierenden Cuppprodukt Paarung von H^{1}(X, ℂ) auf H^{1}(X, ℤ) ist ganzzahlig.

Beweis: Es genügt ∫_{X} η_{γ} ∧ η_{γ′} ∈ ℤ oder äquivalent

∮_{γ} η_{γ′} ∈ ℤ .

Für die Kurve γ : S^{1} → X gilt aber

∮_{γ} η_{γ′} = ∫_{S^{1}} γ^{∗}(η_{γ′}) .

Aus der 2.Bemerkung des Kapitels über de Rham Kohomologie folgt die Funktorialität des de Rham Isomorphismus. Also gilt

γ^{∗}(η_{γ′}) ∈ γ^{∗}(H^{1}(X, ℤ)) ⊂ H^{1}(S^{1}, ℤ) .

Aus dem Beispiel in loc. cit. folgt dann weiterhin ∫_{S^{1}} ρ ∈ ℤ für alle ρ ∈ H^{1}(S^{1}, ℤ) ⊂ H_{dR}^{1}(S^{1}).

Poincare Dualität: Die Cupprodukt Paarung definiert eine nicht ausgeartete ganzzahlige alternierende Paarung auf H^{1}(X, ℤ)

⟨., .⟩ : H^{1}(X, ℤ) × H^{1}(X, ℤ) ⟶ ℤ .

Beweis: Es genügt zu zeigen, daß für jeden primitiven Gittervektor ξ in H^{1}(X, ℤ) eine geschlossene Kurve γ in X existiert mit ∫_{S^{1}} γ^{∗}(ξ) = 1.

Alternativ: Für jede Primzahl p und jedes ξ ∈ H^{1}(X, ℤ/pℤ) existiert ein geschlossener Weg γ mit γ^{∗}(ξ) ≠ 0 in H^{1}(S^{1}, ℤ/pℤ).

Die Klasse ξ ∈ H^{1}(X, ℤ/pℤ) definiert eine Überlagerung π : X_{ξ} → X mit Deckbewegungsgruppe ℤ/pℤ. Äquivalent sind: (i) ξ = 0 (ii) Es existiert ein Schnitt s : X → X_{ξ} mit π∘s = id (iii) X_{ξ} ≅ X×ℤ/pℤ so daß π die Projektion auf den ersten Faktor ist. (iv) Jeder geschlossene Weg γ ∈ π_{1}(X, Q) liftet zu einem geschlossenem Weg in X_{ξ}.

Wegen ξ ≠ 0 existiert daher ein geschlossener Weg γ, welcher nicht liftet. Der Pullback γ^{∗}(X_{ξ}) → S^{1}

\xymatrix{γ^{∗}(X_{ξ}) \ar[r] \ar[d] & X_{ξ} \ar[d]^{π} \\ S^{1} \ar[r]^{γ} & X}

besitzt daher keinen Schnitt. Als unverzweigte Überlagerung ist aber γ^{∗}(X_{ξ}) → S^{1} zu X_{γ^{∗}(ξ)} → S^{1} isomorph. Also folgt γ^{∗}(ξ) ≠ 0.

Lineare Algebra

Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche. Wähle eine symplektische Basis e_{1}, .., e_{g}, e_{g+1}, .., e_{2g} von H^{1}(X, ℤ) ≅ ℤ^{2g} bzgl. der die Paarung ⟨., .⟩ durch

( \begin{matrix}o & −E \\ E & 0 \end{matrix} )

gegeben ist. Wähle eine Basis ω_{1}, ..., ω_{g} der holomorphen Differentiale Ω^{1}(X).

Basiswechsel Matrix:

ω_{i} = i-te Spalte von ( \begin{matrix}Ω_{1} \\ Ω_{2} \end{matrix} )

Die Matrizen Ω_{1} und Ω_{2} sind hierbei komplexe g × g-Matrizen. Genauer

ω_{i} = ∑_{j=1}^{2g} ( \begin{matrix}Ω_{1} \\ Ω_{2} \end{matrix} )_{ji} · e_{j} .

Fakt 1: Ω^{1}(X) ⊂ H^{1}(X, ℂ) ist maximal isotrop. Dies ist gleichbedeutend mit

(Ω′_{1}, Ω′_{2}) ( \begin{matrix}0 & −E \\ E & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}Ω_{1} \\ Ω_{2} \end{matrix} ) = 0 ⟺ Ω′_{2}Ω_{1} = Ω′_{1}Ω_{2} .

Fakt 2: Die Matrix i · ⟨ω_{ν}, ω_{μ}⟩ ist eine positiv definite hermitesche Matrix. Dies ist gleichbedeutend mit

i · (Ω′_{1}, Ω′_{2}) ( \begin{matrix}0 & −E \\ E & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}\overline{Ω} & 1 \\ \overline{Ω} & 2 \end{matrix} ) > 0 ⟺ i · (Ω′_{2}\overline{Ω}_{1} − Ω′_{1}\overline{Ω}_{2}) > 0 .

Lemma: det(Ω_{2}) ≠ 0.

Beweis: Ω_{2}v = 0 impliziert \overline{Ω}_{2}\overline{v} = 0 und v′Ω′_{2} = 0. Somit folgt insbesondere v′(i · [Ω′_{2}\overline{Ω}_{1} − Ω′_{1}\overline{Ω}_{2}])\overline{v} = 0. Also v = 0 (Fakt 2).

Folgerung: Zu jeder fixierten Wahl der symplektischen Gitterbasis von (H^{1}(X, ℤ), ⟨., .⟩) gibt es eine eindeutig bestimmte Basis ω_{1}, ..., ω_{g} von Ω^{1}(X), derart daß gilt Ω_{2} = E_{g,g}. Das heißt

( \begin{matrix}Ω_{1} \\ Ω_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}Ω \\ E \end{matrix} )

und Ω erfültt die beiden Eigenschaften

Ω = Ω′ (Fakt 1)
Im(Ω) > 0 (Fakt 2).

Die Menge der komplexen g × g-Matrizen Ω mit diesen beiden Eigenschaften ist der Siegelsche obere Halbraum H_{g} vom Geschlecht g

Ω ∈ H_{g} .

Übungsaufgabe: Die symplektische Gruppe Γ = Aut(ℤ^{2g}, ⟨., .⟩) operiert auf H_{g} via der folgenden Linksoperation

Ω ∈ H_{g} , ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ Γ ⟹ (AΩ + B)(CΩ + D)^{−1} ∈ H_{g} .

Hinweis: Benutze H_{g} = \{( \begin{matrix}Ω_{1} \\ Ω_{2} \end{matrix} ) | mit Fakt 1 und 2 \} / Gl(g, ℂ) .

Satz: Der Periodenpunkt

Ω ∈ Γ \ H_{g} , Γ = Sp(2g, ℤ)

der Riemannschen Fläche ist wohldefiniert, d.h. unabhängig von den gemachten Basiswahlen.

Die Abbildung α : C^{2g} → (ℂ^{g})^{∗}

v = ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ↦ v′ ( \begin{matrix}0 & −E \\ E & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}Ω \\ E \end{matrix} ) = −x′ + y′Ω

definiert das Periodengitter. Hierbei sind x, y ∈ ℤ^{g}.

Korollar: Das Periodengitter ist {x + Ωy | x, y ∈ ℤ^{g}}. Insbesondere gilt

J(X) = ℂ^{g}/ℤ^{g} + Ωℤ^{g} .

Übungsaufgaben: 1) Zeige für ω ∈ Ω_{2nd}^{1}(X) auf einer kompakten Riemannschen Fläche und jeden geschlossenen Weg γ von X, welcher nicht durch die Pole verläuft ∮_{γ} ω = ⟨η_{γ}, η_{ω}⟩. Hierbei ist η_{ω} ∈ A_{closed}^{1}(X) ein GLättung von ω. Ist für ω = ∂(f), f ∈ M(X) dieses Integral Null?

2) Betrachte für die Differentialform ω_{P Q} ∈ Ω_{3rd,ℤ}^{1}(X) mit Residuen −1 und 1 in P und Q auf einer kompakten Riemannschen Fläche X das Integral

F (P) = ∫_{X} ω_{P Q} ∧ \overline{ω} , ω ∈ Ω^{1}(X)

in Abhängigkeit vom Punkt P. Suche eine Deutung.

3) Studiere in den Bücher von Gunning oder Griffith-Harris den Beweis des Satzes von Torelli. Dieser Satz besagt, daß zwei Riemannsche Flächen X und X′ vom Geschlecht g genau dann isomorph sind (bezüglich einer biholomorphen Abbildung), wenn ihre Periodenpunkte in Γ \ H_{g} übereinstimmen.