Inhaltsverzeichnis

Grundlagen 2 1 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Die Gruppenaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Abbildungen zwischen Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Der Signum-Homomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Vektorräume 20 6 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7 Erzeugendensysteme, lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . 25 8 Der Begriff der Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 9 Der Dimensionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 10 K-lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 11 Existenzsätze für Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 12 Struktursätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 13 Dimensionssätze für Kern und Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 14 Summen von Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 15 ^{∗}Quotientenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 16 ^{∗}Dualitätstheorie und Annulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 17 ^{∗}Die duale Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 55 18 Spalten- und Zeilenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 19 Matrizen und Abbildungen (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 20 Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 21 ^{∗}Duale Abbildungen in Termen der Matrix . . . . . . . . . . . . . 64 22 Der Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 23 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 24 Elementare Matrizenumformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 25 Eliminationsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 26 ‘Gauß-Bruhat’-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 27 Matrizen und Abbildungen (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 28 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Determinantentheorie 89 29 Determinantenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 30 Das Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 31 Der Determinantenhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . 96 32 Matrixdeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Dreiecksmatrizen 100 33 Dreiecksmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 34 Vandermonde-Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 35 Determinantenkriterium für Regularität . . . . . . . . . . . . . . . 105 36 Laplacescher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 37 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 38 Das charakteristische Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 39 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 40 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Bilinearformen und quadratische Formen 120 41 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 42 Matrixbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 43 Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 44 Orthogonalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 45 Orthogonale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 46 Der Satz von Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 47 Der Sylvestertyp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Normierte Räume 139 48 Komplexe Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 49 Sesquilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 50 Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 51 Selbstadjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 52 Der Spektralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 53 Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 54 Beweis des Spektralsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 55 Hermitesche Matrizen und Lorentzgruppe . . . . . . . . . . . . . . 163

Ringe und Moduln 167 56 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 57 R-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 58 Exakte Sequenzen und Komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 59 Ein Fortsetzungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 60 Der Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Kohomologietheorie 181 61 Kohomologiegruppen eines Komplexes . . . . . . . . . . . . . . . 182 62 Die induzierte Abbildung φ_{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 63 Die lange exakte Kohomologiesequenz . . . . . . . . . . . . . . . 187 64 Das Schlangenlemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Algebren 195 65 K–Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 66 Graßmann Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 67 Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 68 Getwistete Produkte von Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 69 Iterierte Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 70 Die Quaternionenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 71 Tensorprodukte von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 72 ^{∗}Der getwistete Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 73 Cliffordalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 74 Die Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 75 Der Koszulkomplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 76 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 77 Pullbacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Grundlagen der Arithmetik 225 78 Euklidsche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 79 Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 80 Elementare Teilertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 81 Teilertheorie in Hauptidealringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 82 Primzahlzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 83 Der Chinesische Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 84 Äquivalenz von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 85 Elementarteiler (Existenz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 86 Elementarteiler (Eindeutigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Hauptidealringe und ihre Moduln 249 87 Kern, Bild, Kokern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 88 Struktursätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 89 Beweis der Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 90 Der K[X]–Modul eines Endomorphismus . . . . . . . . . . . . . . 261 91 Zyklische Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 92 Jordan–Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Grundlagen

1 Grundlegende Begriffe

Wir erinnern an einige wohlvertraute Notationen der Mengenlehre. Hier einige

Beispiele:

N := {a, b, c} (Menge mit den Elementen a,b und c)

M := {x ∈ ℕ | x ≥ 2} (Die natürlichen Zahlen größer gleich 2)

∅ = {} (die leere Menge)

Das \underline{kartesische Produkt} zweier Mengen M und N ist die Menge aller Paare

M × N = {(x, y) | x ∈ M, y ∈ N} .

Ist B eine endliche Menge, dann bezeichne #B die Anzahl ihrer Elemente.

Seien M und N zwei nichtleere Mengen. Eine \underline{Abbildung} f von M nach N ist eine Vorschrift, welche jedem Element m ∈ M ein eindeutig bestimmtes Bildelement f(m) ∈ N zuordnet. Wir schreiben dies in der Form

\begin{aligned}f : & M & → & N \\ & m & ↦ & f(m) \end{aligned} .

Zwei Abbildungen f : M → N und g : L → M lassen sich zusammensetzen. Die Komposition

f ∘ g : L → N

der Abbildungen g und f ist die Abbildung, welche l ∈ L auf das Element f(g(l)) von M abbildet

\xymatrix{L \ar[rr]_{f∘g} \ar[r]^{g} & M \ar[r]^{f} & N}

Eine Abbildung f : M → N heißt \underline{injektiv}, falls f(m) = f(m′) die Gleichheit der Elemente m und m′ impliziert. Mit anderen Worten: wenn für jedes Element n ∈ N die Menge seiner Urbilder höchstens einelementig ist.

Das Bild einer Abbildung f : M → N, d.h. die Menge der Bildpunkte, ist eine Teilmenge von N. Wir bezeichnen sie mit f(M). Eine Abbildung f : M → N heißt \underline{surjektiv}, wenn

f(M) = N

gilt; mit anderen Worten, wenn jedes Element aus N Bildelement eines Elements aus M ist.

Ist eine Abbildung f : M → N sowohl injektiv als auch surjektiv, nennt man die Abbildung \underline{bijektiv}. Eine bijektive Abbildung besitzt offensichtlich eine eindeutig bestimmte Umkehrabbildung g : N → M.

2 Die Gruppenaxiome

Definition: Eine \underline{Gruppe} (G, ∘) ist ein Paar bestehend aus einer Menge G und einer Abbildung

\begin{matrix}G × G & → & G \\ (g, h) & ↦ & g ∘ h \end{matrix}

mit den folgenden Eigenschaften:

(E) Es existiert ein Element e ∈ G mit der Eigenschaft:

e ∘ g = g

für alle g ∈ G.

(I) Für jedes Element g ∈ G existiert ein Element g^{−1} ∈ G mit der Eigen-

schaft

g^{−1} ∘ g = e.

(A) Assoziativgesetz: Für alle g, g′, g′′ ∈ G gilt

(g ∘ g′) ∘ g′′ = g ∘ (g′ ∘ g′′)

Bemerkung: Ein Element e der Gruppe mit der Eigenschaft (E) heißt neutrales (oder etwas genauer linksneutrales) Element. Elemente mit der Eigenschaft von (I) nennt man inverse (genauer linksinverse) Elemente von g.

Aus den Gruppenaxiomen folgt unmittelbar die Eindeutigkeit des neutralen Elements e sowie die Eindeutigkeit von inversen Elementen. Genauer gilt

Lemma:

(1) Linksinverse Elemente g^{−1} sind auch rechtsinvers, d.h es gilt auch

g ∘ g^{−1} = e .

(2) Ein neutrales Element e ist auch rechtsneutral, d.h. es gilt

g ∘ e = g

(3) Inverse Element sind eindeutig: Für jedes g ∈ G existiert genau ein Element g̃ ∈ G mit der Eigenschaft

g̃ ∘ g = e.

(4) Das neutrale Element e der Gruppe ist eindeutig bestimmt. Das heißt, es existiert genau ein Element e ∈ G mit der Eigenschaft

e ∘ g = g

für alle g ∈ G.

(5) Es gilt (g^{−1})^{−1} = g.

\underline{Beweise}: \underline{zu (1)}:

g ∘ g^{−1} = e ∘ (g ∘ g^{−1})  wegen (E)
= [(g^{−1})^{−1} ∘ g^{−1}] ∘ (g ∘ g^{−1})  wegen (I)
= (g^{−1})^{−1} ∘ [g^{−1} ∘ (g ∘ g^{−1})]  wegen (A)
= (g^{−1})^{−1} ∘ [(g^{−1} ∘ g) ∘ g^{−1}]  wegen (A)
= (g^{−1})^{−1} ∘ (e ∘ g^{−1})  wegen (I)
= (g^{−1})^{−1} ∘ g^{−1}  wegen (E)
= e.  wegen (I)

\underline{zu (2)}:

g ∘ e = g ∘ (g^{−1} ∘ g)  wegen (I)
= (g ∘ g^{−1}) ∘ g  wegen (A)
= e ∘ g  wegen Bem.(1)
= g.  wegen (E)

\underline{zu (3)}: Sei g̃ ein weiteres inverses Element von g. Dann gilt

g̃ ∘ g = e  | ∘ g^{−1}
(g̃ ∘ g) ∘ g^{−1} = e ∘ g^{−1}
g̃ ∘ (g ∘ g^{−1}) = g^{−1}  wegen (A) und (E)
g̃ ∘ e = g^{−1}  wegen Bem.(1)
g̃ = g^{−1}  wegen Bem.(2)

Die zwei inversen Elemente g^{−1} und g̃ von g sind daher gleich.

\underline{zu (4)}: Sei ẽ neben e ein weiteres neutrales Element der Gruppe. Dann gilt ẽ ∘ g = g für alle g ∈ G. Speziell für g = e erhalten wir daher

ẽ ∘ e = e.

Nun wenden wir Bem.(2) an für g = ẽ, und erhalten ẽ ∘ e = ẽ sowie daraus

ẽ = e.

\underline{zu (5)}: Nach Bem.(1) und der Definition von (g^{−1})^{−1} gilt

\begin{matrix}g ∘ g^{−1} = e \\ (g^{−1})^{−1} ∘ g^{−1} = e \end{matrix} .

Somit sind g und (g^{−1})^{−1} inverse Elemente von g^{−1} und stimmen nach Bem.(3) überein.

Definition: Eine Gruppe (G, ∘) heißt \underline{kommutativ} oder \underline{abelsch}, wenn zusätzlich zu den Gruppenaxiomen noch das folgende Axiom gilt:

(K) Für alle g, g′ ∈ G gilt g ∘ g′ = g′ ∘ g .

\underline{Beispiele für kommutative Gruppen}:

(a) Wählt man für G die Menge der ganzen Zahlen ℤ und für ∘ die Addition ”+”, dann erhält man eine kommutative Gruppe. Das neutrale Element ist 0 und das inverse Element von g ∈ ℤ ist −g.

(b) G := {x ∈ ℚ |x ≠ 0} mit der Multiplikation ” · ” als Verknüpfung ∘ definiert eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element ist 1 und das inverse Element g^{−1} = \frac{1}{g} ist invers zu g ∈ ℚ.

\underline{Ein Beispiel für eine nicht kommutative Gruppe}: M sei eine beliebige nichtleere Menge. Es bezeichne

Bij(M)

die Menge aller bijektiven Abbildungen f von M nach M.

Bij(M) := {f : M → M | f ist bijektiv} .

Behauptung: Bezüglich der Komposition ∘ von Abbildungen ist (Bij(M), ∘) eine Gruppe.

\underline{Beweis}: Wir wollen zeigen, daß die Gruppenaxiome (E),(I), und (A) erfüllt sind. Beachte, daß eine Komposition von Bijektionen wieder eine Bijektion liefert.

\underline{Axiom (E)} Die Existenz eines neutralen Elements: Wir wählen

e = id_{M} ,

die identische Abbildung id_{M}(m) := m der Menge M in sich. Offensichtlich gilt dann

(id_{M} ∘ f)(m) = id_{M}(f(m)) = f(m) .

\underline{Axiom (I)} Es sei f : M → M eine gegebene Bijektion. Sei f^{−1} die Umkehrabbildung von f, welche jedem Punkt m′ aus M den (eindeutig bestimmten) Urbildpunkt m zuordnet, für den gilt f(m) = m′. Dann gilt offensichtlich

(f^{−1} ∘ f)(m) = f^{−1}(f(m)) = f^{−1}(m′) = m .

Dies liefert also Axiom (I)

f^{−1} ∘ f = id_{M} .

\underline{Axiom (A)} Die Komposition von Abbildungen ist immer assoziativ: Seien f, g, h ∈ Bij(M), dann nämlich gilt

[(f ∘ g) ∘ h](m) = (f ∘ g)(h(m)) = f(g(h(m)))

Andererseits ist aber

[f ∘ (g ∘ h)](m) = f[(g ∘ h)(m)] = f(g(h(m))) .

Somit ist das Assoziativgesetz erfüllt.

Es wurde gezeigt: (Bij(M), ∘) ist eine Gruppe.

\underline{Permutationsgruppen}: Wählt man im obigen Beispiel für M speziell die endliche Menge M = {1, 2, 3, ..., n − 1, n}, dann bezeichnet man die eben konstruierte Gruppe als Gruppe der \underline{Permutationen von n Zahlen}. Eine synonyme Bezeichnung ist der häufig benutzte Begriff \underline{symmetrische Gruppe} (von n Elementen). Man schreibt auch oft nur kurz S_{n} für diese Gruppe.

3 Abbildungen zwischen Gruppen

Sei (G, ∘) eine Gruppe und sei H eine nichtleere Teilmenge von G. Behauptung: Unter der Annahme

x^{−1} ∘ y ∈ H

für alle x, y ∈ H ist (H, ∘) eine Gruppe. \underline{Beweis}: Eigenschaft (E): Wähle ein x ∈ H und setze y = x. Dann gilt nach der Annahme

e = x^{−1} ∘ x ∈ H .

Somit enthält H das neutrale Element e. Eigenschaft (I): Wähle x ∈ H beliebig und setze y = e. Nach der Annahme gilt dann

x^{−1} = x^{−1} ∘ e ∈ H .

Somit liegt mit x ∈ H auch x^{−1} ∈ H. Eigenschaft (A): Weil sich das Assoziativgesetz offensichtlich vererbt, ist H eine Gruppe. Es muß allerdings noch gezeigt werden, daß für x, y ∈ H auch x∘y in H liegt: Aber nach (I) impliziert x ∈ H bereits x^{−1} ∈ H. Somit gilt unter Benutzung der Annahme (x^{−1})^{−1} ∘ y ∈ H. Daraus folgt wegen x = (x^{−1})^{−1}

x ∘ y ∈ H .

H ist also abgeschlossen unter der Verknüpfung: x, y ∈ H impliziert x ∘ y ∈ H.

Definition: Eine nichtleere Teilmenge H einer Gruppe (G, ∘) mit der Eigenschaft

x, y ∈ H ⇒ x^{−1} ∘ y ∈ H

nennt man eine \underline{Untergruppe} von (G, ∘). \underline{Beispiel}: H = \{1, −1\} ist Untergruppe von (ℚ \ \{0\}, ·). Seien nun (G, ∘) und (H, ⋄) zwei gegebene Gruppen.

Definition: Eine Abbildung φ : G → H heißt dann \underline{Homomorphismus} oder \underline{Gruppenhomomorphismus}, wenn für alle x, y ∈ G gilt

φ(x ∘ y) = φ(x) ⋄ φ(y) .

In Worten: Es ist egal, ob man zuerst verknüpft und dann abbildet oder zuerst abbildet und dann verknüpft.

Ein Gruppenhomomorphismus φ hat die folgenden beiden wichtigen Eigenschaften (H1) und (H2):

(H1) Ein Homomorphismus bildet das neutrale Element e_{G} von G auf das neutrale Element e_{H} von H ab

φ(e_{G}) = e_{H} .

\underline{Beweis}: Aus der Eigenschaft e_{G} ∘ e_{G} = e_{G} des neutralen Elements folgt

φ(e_{G}) = φ(e_{G} ∘ e_{G}) = φ(e_{G}) ⋄ φ(e_{G})

direkt durch Anwenden von φ. Dies benutzt die Definition des Homomorphismus. Durch Kürzen

φ(e_{G}) ⋄ φ(e_{G})^{−1} = [φ(e_{G}) ⋄ φ(e_{G})] ⋄ φ(e_{G})^{−1}.

und das Anwenden der uns schon bekannten Rechenregeln in einer Gruppe (Assoziativität, Linksinvers gleich Rechtsinvers, Linksneutral gleich Rechtsneutral) erhält man daraus

e_{H} = φ(e_{G}) ⋄ e_{H} = φ(e_{G}).

(H2) Ein Homomorphismus bildet das Inverse eines Elements auf das Inverse des Bildelements ab

φ(x^{−1}) = φ(x)^{−1} .

\underline{Beweis}: Offensichtlich gilt φ(x^{−1}) ⋄ φ(x) = φ(x^{−1} ∘ x) = φ(e_{G}). Wie bereits in (H1) gezeigt gilt φ(e_{G}) = e_{H}. Daraus folgt

φ(x^{−1}) ⋄ φ(x) = e_{H} = φ(x)^{−1} ⋄ φ(x) .

Aus der Eindeutigkeit des inversen Elements folgt daher φ(x^{−1}) = φ(x)^{−1}.

Satz 1: Das \underline{Bild} φ(G) eines Gruppenhomomorphismus φ : G → H ist eine Untergruppe von H.

\underline{Beweis}: Das Bild enthält wegen (H1) das neutrale Element und ist daher nicht leer. Seien x, y ∈ φ(G). Dann gilt x = φ(ξ), y = φ(η) für gewisse ξ, η ∈ G. Es folgt

x^{−1} ⋄ y = φ(ξ)^{−1} ⋄ φ(η)
= φ(ξ^{−1}) ⋄ φ(η)  wegen (H2)
= φ(ξ^{−1} ∘ η).  Def. Homomorphismus

Also gilt x^{−1} ⋄ y ∈ φ(G). Somit ist φ(G) eine Untergruppe von H.

Definition und Satz 2: Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist die Teilmenge

Kern(φ) = {x ∈ G | φ(x) = e_{H}}

– der sogenannte \underline{Kern der Abbildung φ} – eine Untergruppe von G.

\underline{Beweis}: Seien x, y aus Kern(φ). Dann gilt

φ(x^{−1} ∘ y) = φ(x^{−1}) ⋄ φ(y) = φ(x)^{−1} ⋄ φ(y) = e_{H}^{−1} ⋄ e_{H} = e_{H} ,

und es folgt x^{−1} ∘ y ∈ Kern(φ). Dies benutzt die Homomorphieeigenschaft und Eigenschaft (H2). Der Kern enthält wegen (H1) außerdem das neutrale Element, und ist somit nicht leer. Also ist Kern(φ) eine Untergruppe von G.

Ein injektiver Homomorphismus φ besitzt notwendigerweise den trivialen Kern Kern(φ) = {e}. Die Umkehrung gilt auch

Satz 3: Der Kern eines Homomorphismus φ ist trivial genau dann, wenn φ injektiv ist.

\underline{Beweis}: Sei Kern(φ) = \{e_{G}\}. Aus φ(x) = φ(y) folgt dann wegen φ(x^{−1}) = φ(x)^{−1} = φ(y)^{−1}

φ(x^{−1} ∘ y) = φ(x^{−1}) ⋄ φ(y) = e_{H} .

Daraus folgt x^{−1} ∘ y ∈ Kern(φ) = {e_{G}}, also x^{−1} ∘ y = e_{G}. Somit folgt x = y (durch Multiplikation mit x von Links unter Benutzung des Assoziativgesetzes).

4 Der Signum-Homomorphismus

Ziel dieses Abschnittes ist die Konstruktion des \underline{Signum-Homomorphismus}:

sign : S_{n} → {1, −1}

\underline{Vorbereitungen}: Seien M und N beliebige nichtleere Mengen. Gegeben sei eine im Augenblick noch beliebige Abbildung

f : M^{n} = \underbrace{M × … × M}_{n−mal} → N.

Beachte: M^{n} ist die Menge aller Tupel (m_{1}, m_{2}, …, m_{n}) mit m_{i} ∈ M.

\underline{Operation von S_{n}}: Für jedes x ∈ S_{n}, definiert man nun eine neue Abbildung

xf : M^{n} → N

durch den Ansatz

(xf)(m_{1}, m_{2}, …, m_{n}) := f(m_{x(1)}, m_{x(2)}, …, m_{x(n)}).

Aus der Definition folgt unmittelbar: Sei f : M → N eine beliebige Abbildung und für x, y ∈ S_{n} sei

z = (x ∘ y) ∈ S_{n} .

Lemma: Dann gilt

x(yf) = zf .

\underline{Beweis}: Für m_{1}, …, m_{n} ∈ M gilt einerseits

[(x ∘ y)f](m_{1}, …, m_{n}) = f(m_{(x∘y)(1)}, …, m_{(x∘y)(n)}) .

Andererseits ist

[x(yf)](m_{1}, …, m_{n}) = (yf)(m_{x(1)}, …, m_{x(n)}) .

Setzt man jetzt m̃_{j} := m_{x(j)} für j = 1, .., n, dann gilt

(yf)(m_{x(1)}, …, m_{x(n)}) = f(m̃_{y(1)}, …, m̃_{y(n)}) .

Wegen m̃_{y(j)} = m_{x(y(j))} = m_{(x∘y)(j)} erhält man insgesamt

[x(yf)](m_{1}, …, m_{n}) = (x ∘ y)f(m_{1}, …, m_{n}) .

Damit ist das Lemma bewiesen.

\underline{Die Diskriminante}: Wir spezialisieren jetzt auf den Fall M = N = ℤ und wählen für f (bis auf ein Vorzeichen) die sogenannte Diskriminanten-Funktion

Δ(m_{1}, …, m_{n}) = ∏_{1≤i<j≤n}(m_{j} − m_{i}) .

Das Produkt ist anders geschrieben also

(m_{n} − m_{n−1})(m_{n} − m_{n−2}) … (m_{n} − m_{1})(m_{n−1} − m_{n−2}) … (m_{2} − m_{1}) .

Für x ∈ S_{n} und die gewählte spezielle Funktion f = Δ (oder ihr Negatives −Δ) gilt auf Grund des speziellen Verhaltens des definierenden Produkts die bemerkenswerte Identität

(xΔ)(m_{1}, …, m_{n}) = sign(x) · Δ(m_{1}, …, m_{n}) .

Hierbei ist sign(x) ∈ {1, −1} ein Vorzeichen, welches nur von der Permutation x ∈ S_{n} aber \underline{nicht} von m_{1}, ..., m_{n} abhängt! Man sagt daher, die Diskriminantenfunktion verhalte sich alternierend beim Vertauschen der Variablen.

\underline{Anwendung}: Diesen Umstand kann man nun auf das Vortrefflichste ausnutzen! Wähle für m_{1}, m_{2}, …, m_{n} ∈ ℤ beliebige, allerdings voneinander \underline{paarweise} \underline{verschiedene} ganze Zahlen. Dann gilt Δ(m_{1}, .., m_{n}) ≠ 0 sowie

sign(x) = \frac{(xΔ)(m_{1}, …, m_{n})}{Δ(m_{1}, …, m_{n})} ∈ \{1, −1\} .

Die Pointe ist, daß der Wert sign(x) auf der linken Seite dabei vollkommen \underline{unabhängig} von der Wahl der Zahlen m_{1}, …, m_{n} auf der rechten Seite ist! Wir folgern daraus 4. Der Signum-Homomorphismus 14

Satz: Die Abbildung

sign : S_{n} → {1, −1}

definiert einen Gruppenhomomorpismus. \underline{Beweis}:

[(x ∘ y)Δ](m_{1}, …, m_{n}) = sign(x ∘ y)Δ(m_{1}, …, m_{n})  | Definition
[x(yΔ)](m_{1}, …, m_{n}) = sign(x)(yΔ)(m_{1}, …, m_{n})  | Definition und
yΔ = ±Δ
= sign(x)sign(y)Δ(m_{1}, …, m_{n}) | Definition

Wegen Δ(m_{1}, …, m_{n}) ≠ 0 und wegen des zuvor allgemeiner bewiesenen Lemmas (x ∘ y)f = x(yf) folgt daraus wie behauptet

sign(x ∘ y) = sign(x) · sign(y) .

Damit ist der Satz gezeigt. \underline{Konvention}: Wir schreiben im folgenden für das Produkt von Gruppenelementen oft nur xy statt x ∘ y, falls keine Verwechslung möglich sind.

5 Körper

Definition: Ein \underline{Körper} (K, +, ·) ist eine Menge K, versehen mit zwei Abbildungen

\begin{matrix}K × K & ⟶^{+} & K \\ K × K & ⟶^{·} & K \end{matrix}

derart, daß gilt:

(I) (K, +) ist eine kommutative Gruppe. Hierbei bezeichne 0 das neutrales Element und −x das inverses Element zu x bezüglich der additiven Gruppenstruktur +.

(II) (K \{0}, ·) ist eine kommutative Gruppe. Hierbei bezeichne 1 das neutrale Element bezüglich · und \frac{1}{x} das inverses Element zu x bezüglich ·..

(III) Distributivgesetze: Für alle x, y, z ∈ K soll gelten

(x + y) · z = x · z + y · z .

Wegen des Kommutativgesetzes gilt dann auch z · (x + y) = z · x + z · y.

Hierbei haben wir in Formel (III) die Konvention ‘Punkt vor Strich’ benutzt. Das heißt wir schreiben x · z + y · z und meinen damit eigentlich (x · z) + (y · z).

\underline{Notation}: Die multiplikative Gruppe des Körpers bezeichnen wir mit K^{∗} := K \ {0}.

\underline{Bemerkung 1}: Ein Körper K hat mindestens zwei verschiedene Elemente, nämlich 0 und 1.

\underline{Bemerkung 2}:

x · 0 = 0 = 0 · x

Insbesondere besitzt also das Nullelement 0 kein multiplikativ inverses Element!

5. Körper 16

\underline{Beweis}: Offensichtlich ist x · 0 = x · (0 + 0) = x · 0 + x · 0. Addiert man auf beiden Seiten −(x · 0), so erhält man

(x · 0) + (−(x · 0)) = (x · 0) + (x · 0) + (−(x · 0))
0 = (x · 0) + 0
0 = x · 0

Aus dem Kommutativgesetz folgt 0 · x = 0. \underline{Bemerkung 3}: Aus Bemerkung 2 folgt

(x · y) · z = x · (y · z)

für alle x, y, z ∈ K. \underline{Beweis}: Entweder gilt x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0. Dann folgt die Behauptung aus (II). Wenn x = 0 oder y = 0 oder z = 0 gilt, dann sind wegen Bemerkung 2 beide Seiten 0, also gleich. \underline{Bemerkung 4}: Die kleinste natürliche Zahl n ∈ N mit der Eigenschaft \underbrace{1 + … + 1}_{n−mal} = 0 – falls sie denn existiert – nennt man die \underline{Charakteristik} des Körpers. Ansonsten sagt man K hat die Charakteristik 0. \underline{Übungsaufgabe}: n ist eine Primzahl oder ist Null. Wir verwenden folgende Abkürzungen:

\frac{a}{b} := b^{−1} · a wobei b ≠ 0

a − b := (−b) + a

z^{i} = \underbrace{z · ... · z}_{i−mal} für i ∈ ℕ, z ∈ K.

Mit diesen Konventionen gilt in jedem Körper (Übungsaufgabe):

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+cb}{bd} wobei b, d ≠ 0 a · (b − c) = ab − ac (−a)(−b) = ab −(−a) = a −b = (−1) · b

\underline{Beispiele für Körper}:

(1) (ℚ, +, ·) Körper der rationalen Zahlen

(2) (ℝ, +, ·) Körper der reellen Zahlen

(3) 𝔽_{2} := {0, 1} der Körper mit zwei Elementen, wobei gilt

+ 0 1 0 0 1 1 1 0  \begin{matrix}· & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}

(4) Setze K = ℂ = ℝ × ℝ = {(x, y)|x, y ∈ ℝ}. Weiter definiere (x, y) + (x′, y′) := (x + x′, y + y′) (x, y) · (x′, y′) := (xx′ − yy′, xy′ + yx′)

Satz: Die so definierte Menge ℂ mit den Abbildungen + und · bildet einen Körper, den Körper der \underline{komplexen Zahlen}. \underline{Beweis}:

(I) 0 = (0, 0) und −(x, y) = (−x, −y)

[(x, y) + (x′, y′)] + (x′′, y′′) = (x + x′, y + y′) + (x′′, y′′)
= ((x + x′) + x′′, (y + y′) + y′′)
= (x + (x′ + x′′), y + (y′ + y′′))
= (x, y) + (x′ + x′′, y′ + y′′)
= (x, y) + [(x′, y′) + (x′′, y′′)] .

Das Assoziativ-Gesetz folgt somit aus dem Assoziativ-Gesetz der Körpers ℝ.

(II) 1 = (1, 0) und für (x, y) ≠ (0, 0) ist

(x, y)^{−1} = (\frac{x}{x^{2} + y^{2}} , \frac{−y}{x^{2} + y^{2}} ) ,

denn

(\frac{x}{x^{2} + y^{2}} , \frac{−y}{x^{2} + y^{2}} ) · (x, y) = (\frac{x^{2} − (−y^{2})}{x^{2} + y^{2}}, \frac{xy − yx}{x^{2} + y^{2}}) = (1, 0)

Das Assoziativ-Gesetz folgt mittels einer Rechnung, analog zu (I).

(III) Die Distributiv-Gesetze folgen mittels Rechnungen analog zu (I)

\underline{Beachte}: Beim Nachweis von (II) wurde ganz wesentlich benutzt, daß x^{2}+y^{2} ≠ 0 für alle (x, y) ≠ (0, 0) gilt. Dies beruht auf der Existenz der Ordnungsstruktur des Körpers der reellen Zahlen. Alle anderen Rechnungen wären auch möglich mit einem anderen Körper K anstelle von ℝ.

Die herkömmliche Schreibweise der komplexen Zahlen erhält man auf folgende Weise: Setzt man i := (0, 1), dann gilt:

(x, y) = (x + 0, 0 + y)
= (x, 0) + (0, y)
= (x, 0) + [(y, 0) · (0, 1)]
= (x, 0) + (y, 0) · i
= x + y · i

Hierbei wurde die Teilmenge ℝ × {0} = {(x, 0)|x ∈ ℝ} mit dem Körper ℝ identifiziert.

ℝ → ℂ
x ↦ (x, 0)
x + x′ ↦ (x + x′, 0) = (x, 0) + (x′, 0)
x · x′ ↦ (x · x′, 0) = (x, 0) · (x′, 0)

Wir schreiben abkürzend einfach x statt (x, 0).

Das Element i ∈ ℂ hat die bemerkenswerte Eigenschaft:

i · i = (0, 1) · (0, 1) = (0 − 1, 0) = −1.

Insbesondere ist für jedes x ∈ ℝ die Gleichung z^{2} = x in ℂ lösbar. Eine mögliche Lösung ist

z = \{ \begin{matrix}\sqrt{x} & falls x ≥ 0 \\ \sqrt{|x|} · i & falls x < 0 \end{matrix}

Eine tieferliegende Analyse des Körpers der komplexen Zahlen zeigt, daß ganz allgemein jede Polynomgleichung eine Lösung in ℂ besitzt.

Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom

P (X) = X^{n} + a_{1}X^{n−1} + … + a_{n−1}X + a_{n}

mit n ≥ 1 und Koeffizienten a_{1}, ..., a_{n} ∈ ℂ besitzt eine komplexe Nullstelle, das heißt, es existiert eine Zahl z ∈ ℂ mit der Eigenschaft:

z^{n} + a_{1} · z^{n−1} + … + a_{n−1} · z + a_{n} = 0.

(Hier ohne Beweis)

Vektorräume

6 Vektorräume

Sei im folgenden K ein festgewählter Körper.

Definition: Ein \underline{K-Vektorraum} V ist eine kommutative Gruppe (V, +) mit einer zusätzlichen Struktur, der sogenannten Skalarmultiplikation:

\begin{matrix}K × V & → & V \\ (λ, v) & ↦ & λ · v \end{matrix}

derart, daß die folgenden Verträglichkeitseigenschaften gelten:

(I) (λ · μ) · v = λ · (μ · v) für alle v ∈ V und für alle λ, μ ∈ K

(II) (λ + μ) · v = λ · v + μ · v für alle v ∈ V und für alle λ, μ ∈ K.

λ · (v + w) = λ · v + λ · w für alle v, w ∈ V und für alle λ ∈ K.

(III) 1 · v = v für alle v ∈ V.

\underline{Bezeichnungen}: Elemente aus V heißen \underline{Vektoren} und Elemente aus K heißen \underline{Skalare} oder Koeffizienten. Wir schreiben häufig auch nur λv anstelle von λ · v.

\underline{Grundlegende Gesetze}:

(1) (∑_{i=1}^{n} λ_{i}) · v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v

(2) λ · (∑_{i=1}^{n} v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} λv_{i}

Die Eigenschaften (1) und (2) werden durch vollständige Induktion bewiesen. Zum Beweis von (2) sei E(n) die Aussage

E(n) : λ · (∑_{i=1}^{n} v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} λv_{i}

Der Induktionsanfang E(1) ist trivialerweise wahr, denn λ · v_{1} = λ · v_{1}. Nun der Induktionsschluß: Sei E(n) wahr. Dann gilt

λ · (∑_{i=1}^{n+1} v_{i}) = λ · (∑_{i=1}^{n} v_{i} + v_{n+1})

=^{(II)} λ · (∑_{i=1}^{n} v_{i}) + λv_{n+1}

=^{E(n)} ∑_{i=1}^{n} λv_{i} + λv_{n+1}

= ∑_{i=1}^{n+1} λv_{i}

Somit ist mit ”E(n) wahr” auch ”E(n+1) wahr”. Da E(1) wahr ist, ist somit E(n) wahr für alle n ∈ ℕ.

Der Nachweis von Gesetz(1) geht analog.

\underline{1. Wichtigstes Beispiel eines Vektorraums}: Sei n eine positive ganze Zahl. Dann wird das n-fache kartesische Produkt V = K^{n} mittels der Verknüpfungen

(x_{1}, …, x_{n}) + (y_{1}, …, y_{n}) := (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n})
λ · (x_{1}, …, x_{n}) := (λ · x_{1}, …, λ · x_{n})

zu einem K-Vektorraum.

Bemerkungen zu den Gruppengesetzen bezüglich der additiven Struktur des Vektorraums K^{n}: (0, …, 0) ist das neutrale Element der Addition, und (−x_{1}, …, −x_{n}) ist das inverse Element des Vektors (x_{1}, …, x_{n}). Das additive Assoziativgesetz des Vektorraums ist eine unmittelbare Folge des Assoziativgesetzes des Körpers K. Nun zu den Verträglichkeitseigenschaften:

(I) (λμ)(x_{1}, …, x_{n}) = (λμx_{1}, …, λμx_{n}) = λ(μx_{1}, …, μx_{n}) = λ(μ(x_{1}, …, x_{n}))

(II) folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz des Körpers K.

(III) 1 · (x_{1}, …, x_{n}) = (1 · x_{1}, …, 1 · x_{n}) = (x_{1}, …, x_{n})

\underline{Bemerkung}: Wir haben bisher die Vektoren des K^{n} als Zeilenvektoren geschrieben. Genauso gut könnten wir die Vektoren in Form von Spaltenvektoren schreiben. Im Moment wollen wir hierbei aus Platzgründen keinen Unterschied machen. Später, wenn wir mit Matrizen rechnen, wird dies einen großen Unterschied machen und wir werden dann ab Kapitel III den Vektorraum K^{n} – anders als jetzt – ausschließlich als den Raum der Spaltenvektoren auffassen.

\underline{2. Beispiel für Vektorräume}: Sei M eine beliebige Menge und sei K ein Körper. Sei weiterhin V = {f : M → K}. Definiert Addition und Skalarmultiplikation durch

(f_{1} + f_{2})(m) := f_{1}(m) + f_{1}(m)
(λ · f_{1})(m) := λ · f_{1}(m) ∀f_{1}, f_{2} ∈ V und ∀λ ∈ K

wird V zu einem K-Vektorraum. Im Spezialfall M = {1, 2, …, n − 1, n} reproduziert dies das erste Beispiel. Benutze dazu die Zuordnung

V ∋ f ↦ (f(1), f(2), …, f(n)) ∈ K^{n} .

Lemma: Für v ∈ V und λ ∈ K sind äquivalent:

(a) λ = 0 oder v = 0

(b) λ · v = 0

\underline{Beweis}: \underline{(a)⇒(b)} Sei zuerst λ = 0. Dann gilt

0 · v = (0 + 0) · v =^{(II)} 0 · v + 0 · v.

Also ist 0 · v = 0 das neutrale Element, wie man durch Addition von −(0 · v) auf beiden Seiten sieht. Aus λ = 0 folgt also λ · v = 0.

Sei nun v = 0. Dann gilt

λ · 0 = λ · (0 + 0) =^{(II)} λ · 0 + λ · 0.

Durch Addition von −(λ · 0) auf beiden Seiten folgt daraus wiederum λ · 0 = 0.

\underline{(b)⇒(a)} Sei nunmehr umgekehrt λ · v = 0. Dann ist entweder λ = 0, oder es gilt λ ∈ K^{∗} mit λ^{−1} ∈ K. Im letzteren Fall folgt

λ^{−1} · (λ · v) = λ^{−1} · 0 = 0

unter Benutzung der bereits bewiesenen Aussage (a)⇒(b). Andererseits ist nach den Axiomen einen Vektorraums die linke Seite gleich

(λ^{−1} · λ) · v = 1 · v = v .

Somit ergibt sich v = 0. Aus λ · v = 0 folgt also wie behauptet entweder λ = 0 oder v = 0.

7 Erzeugendensysteme, lineare Unabhängigkeit

Sei V ein K-Vektorraum.

Definition: Sei G ⊂ V eine Menge von Vektoren. Ein Vektor v ∈ V heißt \underline{linear abhängig} von den Vektoren aus G, falls es endlich viele Skalare λ_{i} ∈ K und geeignete v_{i} ∈ G gibt, so daß gilt

v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} .

Definition: G heißt \underline{Erzeugendensystem} von V, falls jeder Vektor v ∈ V linear abhängig von G ist.

Endlich viele Vektoren v_{1}, …, v_{n} bilden also ein Erzeugendensystem {v_{1}, …, v_{n}} von V, wenn sich jeder Vektor v ∈ V auf \underline{mindestens eine Weise} in der Gestalt

v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i}

mit λ_{i} ∈ K schreiben läßt.

Definition: Ein Vektorraum heißt \underline{endlich dimensional}, wenn es eine endliche Menge von Vektoren gibt, welche ein Erzeugendensystem bildet.

Definition: Endlich viele Vektoren v_{1}, …, v_{n} heißen \underline{linear unabhängig} (über K), wenn für alle λ_{i} ∈ K gilt

∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} = 0 ⇒ alle λ_{i} sind gleich null .

In Worten: Die Vektoren v_{1}, ..., v_{n} sind linear unabhängig, wenn der Nullvektor sich nur auf triviale Weise aus v_{1}, …, v_{n} kombinieren lässt.

Definition: Eine unendliche Menge von Vektoren eines K-Vektorraumes heißt \underline{linear unabhängig}, wenn jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist.

Definition: v_{1}, …, v_{n} heißen \underline{linear unabhängig}, falls die Vektoren v_{1}, …, v_{n} \underline{nicht linear abhängig} sind.

Lemma: Vektoren v_{1}, …, v_{n} eines K-Vektorraums V sind genau dann linear unabhängig, wenn jeder Vektor v des Vektorraumes V sich auf \underline{höchstens eine Weise} als Linearkombination

v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i}

schreiben lässt.

\underline{Beweis}:

⇒: v_{1}, …, v_{n} seien linear unabhängig. Für v ∈ V mit

v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} = ∑_{i=1}^{n} μ_{i}v_{i}.

folgt dann

∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} − ∑_{i=1}^{n} μ_{i}v_{i} = ∑_{i=1}^{n}(λ_{i} − μ_{i})v_{i} = 0.

Wegen der linearen Unabhängigkeit der Vektoren folgt λ_{i} − μ_{i} = 0 für alle Koeffizienten. Das heißt λ_{i} = μ_{i} für i = 1, …, n.

⇐: Offensichlich gilt ∑_{i=1}^{n} 0 · v = 0. Läßt sich also jeder Vektor v ∈ V auf

höchstens eine Weise als Linearkombination (der Elemente v_{i} ∈ V) schreiben, dann insbesondere v = 0. Für jede andere Darstellung

∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} = 0

des Nullvektors folgt somit λ_{i} = 0 für alle λ_{i} wegen der Eindeutigkeit der Darstellung. Also sind v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig. Q.e.d.

\underline{Einige Beispiele}:

1) Sei G = {(2, 3, 0), (−1, −2, 1)} ⊂ ℝ^{3}.

a) v := (1, 1, 1) ist linear abhängig von G, denn v = 1 · (2, 3, 0) + 1 · (−1, −2, 1) = (1, 1, 1).

b) v := (3, 5, −1) ist linear abhängig von G, denn v = 1 · (2, 3, 0) +

(−1) · (−1, −2, 1) = (3, 5, −1).

2) G := {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} bildet ein Erzeugendensystem des ℝ^{3}. Aber auch G := {(1, 1, 1), (0, 2, 1), (1, 1, 2)} bildet ein Erzeugendensystem des ℝ^{3}.

Bemerkung: Ein einzelner Vektor v ist genau dann linear unabhängig, wenn v ≠ 0 ist (benutze das Lemma in Abschnitt 6).

8 Der Begriff der Basis

Definition: Vektoren v_{1}, …, v_{n} eines Vektorraums V bilden eine \underline{Basis} von V, wenn sie linear unabhängig sind und {v_{1}, …, v_{n}} gleichzeitig ein Erzeugendensystem von V ist.

Lemma: Eine Menge G von Vektoren v_{1}, …, v_{n} eines Vektorraumes V bildet eine Basis von V genau dann, wenn sich jeder Vektor v des Vektorraumes V auf \underline{genau eine Weise} als Linearkombination

v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} (λ_{i} ∈ K)  (∗)

schreiben läßt.

\underline{Beweis}: Folgt unmittelbar aus der Definition eines Erzeugendensystems und dem Lemma in §6.

\underline{Bezeichnung}: Die Zahlen λ_{i} ∈ K in der Formel (∗) heißen die \underline{Koordinaten} des Vektors bezüglich der Basis v_{1}, …, v_{n}.

Prinzip I: (Elimination) Seien v_{1}, …, v_{r} Vektoren, so daß gilt: v_{1}, …, v_{r−1} seien linear unabhängig, v_{1}, … v_{r−1}, v_{r} seien \underline{nicht} linear unabhängig, dann ist v_{r} linear abhängig von v_{1}, …, v_{r−1}.

\underline{Beweis}: Es gibt Zahlen λ_{1}, …, λ_{r} (nicht alle null), so daß gilt

∑_{i=1}^{r} λ_{i}v_{i} = 0.

Da v_{1}, … v_{r−1} linear unabhängig sind, gilt außerdem λ_{r} ≠ 0. Daraus folgt

v_{r} = ∑_{i=1}^{r−1}(−λ_{r}^{−1} · λ_{i}) · v_{i}.

Also ist v_{r} linear abhängig von v_{1}, … v_{r−1}.

Prinzip II: (Transitivität) Seien {v_{1}, …, v_{r}} und {w_{1}, …, w_{s}} Mengen von Vektoren in einem Vektorraum V. Sei v ∈ V linear abhängig von {v_{1}, …, v_{r}} und sei jedes v_{i} (i = 1, …, r) linear abhängig von {w_{1}, …, w_{s}}. Dann ist v linear abhängig von {w_{1}, …, w_{s}}.

\underline{Beweis}: Es gilt v = ∑_{i=1}^{r} λ_{i}v_{i} und für jedes v_{i} gilt v_{i} = ∑_{j=1}^{s} μ_{ij}w_{j} für geeignete

λ_{i}, μ_{ij} ∈ K. Einsetzen liefert

v = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} (∑_{j=1}^{s} μ_{ij}w_{j}) = ∑_{i=1}^{r} ∑_{j=1}^{s} (λ_{i}μ_{ij}w_{j}) = ∑_{j=1}^{s} (∑_{i=1}^{r} λ_{i}μ_{ij}) w_{j} = ∑_{i=1}^{r} ν_{j}w_{j}.

Also ist v linear abhängig von {w_{1}, …, w_{s}}.

\underline{Sprechweise}: Zwei Mengen G = \{v_{1}, …, v_{r}\} und G′ = \{w_{1}, …, w_{s}\} von Vektoren in V heißen \underline{linear äquivalent}, falls alle v_{i} (i = 1, …, r) linear abhängig von {w_{1}, …, w_{s}} sind und alle w_{j} (j = 1, …, s) linear abhängig von {v_{1}, …, v_{r}} sind.

Prinzip III: Sei {w_{1}, …, w_{s}} linear äquivalent zu {v_{1}, …, v_{r}} und sei {v_{1}, …, v_{r}} linear äquivalent zu {u_{1}, …, u_{t}}. Dann ist {w_{1}, …, w_{s}} linear äquivalent zu {u_{1}, …, u_{t}}.

\underline{Beweis}: Wähle v = u_{i}. Aus Prinzip II folgt: u_{i} ist linear abhängig von \{w_{1}, …, w_{s}\}. Wähle umgekehrt v = w_{j}. Aus Prinzip II folgt w_{j} ist linear abhängig von {u_{1}, …, u_{t}}.

Steinitz’scher Austauschsatz: Gegeben seien linear unabhängige Vektoren v_{1}, …, v_{s} eines Vektorraumes V. Weiterhin gegeben seien Vektoren w_{1}, .., w_{r} aus V so daß jeder Vektor v_{i} (i = 1, …, s) linear abhängig von {w_{1}, …, w_{r}} ist. Dann existieren s Vektoren in {w_{1}, …, w_{r}}, so daß nach Ersetzen dieser Vektoren durch die Vektoren v_{1}, …, v_{s} die neue entstandene Menge von Vektoren linear äquivalent zur ursprünglichen Menge {w_{1}, …, w_{r}} ist. Insbesondere gilt r ≥ s.

Insbesondere gilt: Ist w_{1}, .., w_{r} ein Erzeugendensystem von V, dann ist auch die durch Austausch entstandene Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem von V. (Diese Eigenschaft der linearen Äquivalenz folgt aus Prinzip II).

\underline{Beweis}: (mittels vollständiger Induktion und Prinzip II und III). Der Induktionsanfang s = 0 ist trivial. Mittels Induktion können wir weiterhin annehmen, daß für s − 1 Vektoren v_{1}, …, v_{s−1} die Aussage bereits richtig ist. Da eine Teilmenge linear unabhängiger Vektoren linear unabhängig ist, existieren s − 1 Vektoren in {w_{1}, …, w_{r}}, so daß

T := {w̸_{1}, …,w̸_{i}, …,w̸_{r}} ∪ {v_{1}, …, v_{s−1}}

linear äquivalent zu {w_{1}, …, w_{r}} ist.

v_{s} ist nach Annahme linear abhängig von der Menge {w_{1}, …, w_{r}}, welche ihrerseits linear äquivalent zu T ist. Aus Prinzip II folgt dann

v_{s} = ∑_{w_{i}∈T} μ_{i}w_{i} + ∑_{i=1}^{s−1} λ_{i}v_{i}  (∗)

Mindestens einer der Koeffizienten μ_{i_{0}} ist nicht null, da sonst eine nichttriviale Relation

v_{s} = ∑_{i=1}^{s−1} λ_{i}v_{i} nicht alle λ_{i} = 0

bestünde, was ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Vektoren v_{1}, …, v_{s} wäre. Man erhält dann durch Auflösen nach w_{i_{0}}

w_{i_{0}} = μ_{i_{0}}^{−1}v_{s} − ∑_{{w_{i}∈T \atop i≠i_{0}}} μ_{i_{0}}^{−1}μ_{i}w_{i} + ∑_{i=1}^{s−1} μ_{i_{0}}^{−1}λ_{i}v_{i}  (∗∗).

Zum Beweis des Induktionsschlusses genügt es zu zeigen, daß (T \ {w_{i_{0}}})∪{v_{s}} linear äquivalent zu T ist und damit auch zu {w_{1}, …, w_{r}} nach Prinzip III.

w_{i_{0}} ist, wie in (∗∗) gezeigt, linear abhängig von (T \ {w_{i_{0}}}) ∪ {v_{s}}. Außerdem sind alle Vektoren in T ≠ w_{i_{0}} enthalten in (T \ {w_{i_{0}}}) ∪ {v_{s}}. Also ist T linear abhängig von (T \ {w_{i_{0}}}) ∪ {v_{s}}.

Umgekehrt ist v_{s} linear abhängig von T wegen (∗). Alle Vektoren ≠ v_{s} in (T \ {w_{i_{0}}})∪{v_{s}} sind enthalten in T. Also ist (T \ {w_{i_{0}}})∪{v_{s}} linear abhängig von T.

Basisergänzungssatz: Eine beliebige Menge linear unabhängige Vektoren v_{1}, …, v_{r} eines endlich dimensionalen Vektorraumes V kann zu einer Basis von V ergänzt werden. Das heißt, V besitzt eine Basis w_{1}, …, w_{n} mit der Eigenschaft {v_{1}, …, v_{r}} ⊆ {w_{1}, …, w_{n}}.

Zusatz: Jeder endlich dimensionale Vektorraum V ≠ {0} besitzt eine Basis.

\underline{Beweis}: Da V endlich dimensional ist, gibt es per Definition ein endliches Erzeugendensystem {w_{1}, …, w_{n}} von V.

Sei B eine \underline{maximale Teilmenge} \underline{linear} \underline{unabhängiger} \underline{Vektoren} von \{w_{1}, …, w_{n}\}. Wegen V ≠ {0} ist B nicht die leere Menge (benutzte die letzte Bemerkung von 7!).

Aus der Maximalität von B und aus dem Eliminationsprinzip I folgt, daß jeder der Vektoren w_{i} linear abhängig von B ist. Also sind {w_{1}, …, w_{n}} und B linear äquivalent. Insbesondere ist B auch ein Erzeugendensystem (Prinzip II). B ist daher eine Basis von V. Damit ist der Zusatz gezeigt.

Der eigentliche Ergänzungssatz folgt aus der obigen Konstruktion der Basis B, indem man die Erzeuger w_{1}, ..., w_{n} geeignet wählt. Ersetze dazu s der Vektoren w_{1}, …, w_{n} durch v_{1}, …, v_{s} (Steinitzscher Austauschsatz). Diese neue Menge von Vektoren ist auch ein endliches Erzeugendensystem, welches nunmehr die Vektoren v_{1}, .., v_{s} enthält. Nun wählt man die maximale Teilmenge B so, daß sie {v_{1}, …, v_{s}} enthält. B ist die gesuchte Basisergänzung!

9 Der Dimensionsbegriff

Wir wollen die Dimension dim_{K}(V) eines K-Vektorraumes V definieren. Wir setzen dazu dim_{K}(V) := ∞, wenn V kein endlich dimensionaler Vektorraum ist. Ist V = {0}, dann setzen wir dim_{K}(V) := 0. Ist V ≠ {0} endlich dimensional, dann besitzt V eine endliche Basis B wie in §7 gezeigt. Wir setzen

dim_{K}(V) := #B.

Dies ist wohldefiniert wegen

Lemma: Die Größe dim_{K}(V) ist wohldefiniert, hängt also nur von dem K-Vektorraum V ab und heißt die \underline{Dimension} von V.

\underline{Beweis}: Sei obdA V ≠ \{0\} ein endlich dimensionaler Vektorraum. Es genügt zu zeigen, daß dann je zwei Basen B und B′ von V gleich viele Elemente haben. Aus Symmetriegründen genügt dazu bereits #B ≤ #B′.

Nun sind die Vektoren der Basis B = {v_{1}, …, v_{s}} linear unabhängig. Die Vektoren der Basis B′ = {w_{1}, …, w_{r}} bilden ein Erzeugendensystem. Aus dem Steinitzschen Austauschsatz folgt daher wie gewünscht

s = #B ≤ #B′ = r.

Lemma:

dim_{K}(K^{n}) = n

\underline{Beweis}: Wir betrachten die Standardvektoren

e_{i} := (0, 0, …, 0, 1, 0, …, 0, 0)

(mit 1 an der i−ten Stelle und sonst nur Nullen) für i = 1, …, n. Jeder Vektor v = (λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n}) aus K^{n} lässt sich auf \underline{eindeutige} Weise als Linearkombination der Vektoren e_{1}, … e_{n} schreiben

v = (λ_{1}, …, λ_{n}) = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}(0, …, 1, …, 0) = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}e_{i}.

Also bilden die Vektoren e_{1}, …, e_{n} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von K^{n}, das heißt eine Basis. Es folgt dim_{K}(K^{n}) = n.

Die obige Basis nennen wir Standardbasis des K-Vektorrraums K^{n}.

\underline{Achtung}: V := ℂ hat als ℂ−Vektorraum aufgefaßt die Dimension dim_{ℂ}(ℂ) = 1, aber als ℝ−Vektorraum aufgefaßt die Dimension

dim_{ℝ}(ℂ) = 2.

10. K-lineare Abbildungen 34

10 K-lineare Abbildungen

Definition: Seien V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung φ : V → W heißt \underline{K-linear} oder auch \underline{(K-Vektorraum)-Homomorphismus}, wenn für alle v, w ∈ V und für alle λ ∈ K gilt

a) φ(v + w) = φ(v) + φ(w)

b) φ(λv) = λ(φ(v)) .

\underline{Bemerkung}: Äquivalent dazu ist die Bedingung

φ(λv + μw) = λφ(v) + μφ(w)

für alle v, w ∈ V und für alle λ, μ ∈ K.

Eine K-lineare bijektive Abbildung φ : V → W heißt \underline{Isomorphismus}. Gibt es solch einen Isomorphismus, dann heißen V und W \underline{isomorph}. Ist V = W, dann nennt man K-lineare Abbildungen auch \underline{Endomorphismen} und K-lineare Isomorphismen auch \underline{Automorphismen}.

Lemma 1: Die Komposition φ∘ψ zweier K-linearer Abbildungen φ : V → W und ψ : U → V ist eine K-lineare Abbildung.

\underline{Beweis}:

(φ ∘ ψ)(λv + μw) = φ(ψ(λv + μw))
= φ(λψ(v) + μψ(w))
= λφ(ψ(v)) + μφ(ψ(w))
= λ(φ ∘ ψ)(v) + μ(φ ∘ ψ)(w)

Lemma 2: (ohne Beweis) Die Umkehrabbildung φ^{−1} : W → V eines Isomorphismus φ : V → W ist wieder ein Isomorphismus.

Folgerung: Die Automorphismen Gℓ(V) eines Vektorraumes V bilden eine Gruppe bezüglich der Komposition der Abbildungen, eine Untergruppe der Gruppe Bij(V).

\underline{Beweis}: Seien φ : V → V und ψ : V → V Isomorphismen. Dann ist φ^{−1} : V → V nach Lemma 2 wieder ein Isomorphismus. Also ist φ^{−1} ∘ ψ : V → V ein Isomorphismus wegen Lemma 1. Die identische Abbildung id_{V} : V → V ist K-linear, und definiert das neutrale Element von Gℓ(V).

\underline{Bezeichnung}: Die Menge der K-linearen Abbildungen φ : V → W wird mit Hom(V, W) oder Hom_{K}(V, W) bezeichnet.

\underline{Behauptung}: Hom_{K}(V, W) trägt die Struktur eines K-Vektorraumes. Für φ, ψ ∈ Hom_{K}(V, W) und λ ∈ K setzen wir dazu

(φ + ψ)(v) := φ(v) + ψ(v)
(λφ)(v) := λφ(v)
in Hom_{K}(V, W)  in W

Wie man leicht nachprüfen kann erfüllen die Addition + und die skalare Multiplikation auf Hom_{K}(V, W) die Axiome eine K-Vektorraumes.

Beispielsweise muß man zeigen, daß φ + ψ, λφ ∈ Hom_{K}(V, W), falls φ, ψ ∈ Hom_{K}(V, W).

(φ + ψ)(λv + μw) = φ(λv + μw) + ψ(λv + μw)
= λφ(v) + μφ(w) + λψ(v) + μψ(w)
= λφ(v) + ψ(v) + μφ(w) + ψ(w)
= λ(φ + ψ)(v) + μ(φ + ψ)(v)

Also ist φ + ψ wieder K-linear. Analog zeigt man dies für λφ.

Definition: Im Spezialfall W = K definiert der Vektorraum Hom_{K}(V, W) = Hom_{K}(V, K) den sogenannten \underline{Dualraum V^{∗}} von V.

Für φ ∈ V^{∗} und v ∈ V. schreiben wir oft

< φ, v > = φ(v) ∈ K .

Dies definiert eine \underline{kanonische Paarung} zwischen V^{∗} und V.

11 Existenzsätze für Homomorphismen

Bevor wir uns mit den Struktursätzen im nächsten Abschnitt beschäftigen, machen wir hier erst einige Vorbemerkungen über Basen, Erzeugendensysteme und lineare Abbildungen:

Bemerkung (I) Sei G ⊂ V ein Erzeugendensystem von V. Ein Homomorphismus φ ∈ Hom_{K}(V, W) ist durch seine Werte φ(v), v ∈ G vollständig festgelegt.

\underline{Beweis}: Für v ∈ V existieren λ_{i} ∈ K so daß gilt v = ∑_{endl.} λ_{i}v_{i}, mit v_{i} ∈ G. Dies

legt den Funktionswert φ(v) durch die Werte φ(v_{i}), v_{i} ∈ G eindeutig fest

φ(v) = ∑_{endl.} λ_{i}φ(v_{i}) .

Bemerkung (II) Sei V endlich dimensional, B = {b_{1}, …, b_{n}} sei eine Basis von V und W sei ein weiterer K-Vektorraum (nicht notwendigerweise endlichdimensional). Dann existiert für gegebene Vektoren w_{1}, …, w_{n} ∈ W eine K-lineare Abbildung φ ∈ Hom(V, W) mit der Eigenschaft

φ(b_{i}) = w_{i}

für i = 1, …, n.

Zusatz: Wegen Bemerkung (I) ist φ dadurch eindeutig bestimmt.

\underline{Beweis}: Jeder Vektor v ∈ V schreibt sich eindeutig in der Form

v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}b_{i}

mit den Koordinaten λ_{i} ∈ K. Wir definieren dann φ durch

φ(v) := ∑_{i=1}^{n} λ_{i}w_{i} .

Diese Abbildungsvorschrift ist ’wohldefiniert’ - und offensichtlich gilt φ(b_{i}) = w_{i}.

Es bleibt nur zu zeigen: φ ist K-linear. Dazu beachte

φ(λv + λ′v′) = φ(λ ∑_{i=1}^{n} λ_{i}b_{i} + λ′ ∑_{i=1}^{n} λ′_{i}b_{i}) = φ(∑_{i=1}^{n}(λλ_{i} + λ′λ′_{i})b_{i})

=_{Def} ∑_{i=1}^{n}(λλ_{i} + λ′λ′_{i})w_{i} = λ ∑_{i=1}^{n} λ_{i}w_{i} + λ′ ∑_{i=1}^{n} λ′_{i}w_{i}
= λφ(v) + λ′φ(v′)

Bemerkung (III) Sei dim_{K}(V) < ∞ und W ein beliebiger K-Vektorraum. Seien b_{1}, …, b_{r} linear unabhängige Vektoren von V und w_{1}, …, w_{r} ∈ W seien beliebig. Dann existiert mindestens eine K-lineare Abbildung φ ∈ Hom_{K}(V, W) mit φ(v_{i}) = w_{i} für i = 1, …, r.

\underline{Beweis}: Ergänze b_{1}, …, b_{r} zu einer Basis b_{1}, …, b_{n} von V. Wähle w_{r+1}, …, w_{n} in W beliebig. Nach Bemerkung (II) existiert dann eine K-lineare Abbildung φ ∈ Hom_{K}(V, W) mit φ(b_{i}) = w_{i} für i = 1, …, n.

Nach diesen Vorbemerkungen wollen wir Struktursätze für endlichdimensionale K-Vektorräume beweisen.

12 Struktursätze

Das Hauptresultat dieses Abschnitts ist der

1.Struktursatz: Ein endlich dimensionaler K-Vektorraum V der Dimension n = dim_{K}(V) ist isomorph zum K-Vektorraum K^{n}.

\underline{Beweis}: Der Fall V = \{0\} ist trivial. Sei daher obdA b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V. Wir bezeichnen mit e_{1}, .., e_{n} die Standardbasis des Vektorraums K^{n}.

Nach Bemerkung (II) des letzten Abschnitts gibt es dann eine K-lineare Abbildung φ mit der Eigenschaft φ(e_{i}) = b_{i} für i = 1, .., n. Es gilt dann nach Bemerkung (I) des letzten Abschnitts

\begin{aligned}φ : & K^{n} & → & V \\ & (λ_{1}, …, λ_{n}) & ↦ & ∑_{i=1}^{n} λ_{i}b_{i} \end{aligned}

Wir wollen zeigen, daß diese Abbildung ein Isomorphismus ist.

Offensichlich ist φ surjektiv, denn zu jedem v ∈ V existieren λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K

mit v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}b_{i}. (die Erzeugendeneigenschaft der b_{i}). Jedes v ist also von

der Form φ((λ_{1}, …, λ_{n})) für ein geeignetes Element (λ_{1}, … λ_{n}) ∈ K^{n}. Dies zeigt die Surjektivität. Andererseits ist φ aber auch injektiv (benutze die lineare Unabhängigkeit der b_{i} unter Benutzung des Lemmas in Paragraph 7).

2.Struktursatz: Zwei endlich dimensionale K-Vektorräume V, W sind genau dann isomorph, wenn gilt:

dim_{K}(V) = dim_{K}(W) .

\underline{Beweis}: Der Fall V = \{0\} ist trivial. Sei daher φ : V → W ein Isomorphismus und obdA b_{1}, ..., b_{n} eine Basis von V. Wir behaupten dann – und dies reicht aus zum Nachweis von dim_{K}(V) = dim_{K}(W) aus – daß φ(b_{1}), .., φ(b_{n}) eine Basis von W ist.

Wir benutzen dazu die Charakterisierung von Basen aus dem Lemma von Paragraph 8: Vektoren B_{1}, ..., b_{n} bilden genau dann ein Basis von V, wenn jeder Vektor v ∈ V sich auf eindeutige Weise in der Form v = ∑_{i} λ_{i}b_{i} schreiben lässt. Somit schreibt sich das Bild w = φ(v) unter dem Isomorphismus φ auf eindeutige Weise in der Form ∑_{i} λ_{i}φ(b_{i}). Da φ ein Isomorphismus ist, kommt außerdem jedes w ∈ W auf diese Weise vor. Also bilden wegen des selben Kriteriums φ(b_{1}), .., φ(b_{n}) eine Basis von W. Ein alternativer Beweis: Kopiere den Beweis der Behauptung in Paragraph 13 (im Beweis des 1.Dimensionssatzes).

Gilt umgekehrt dim_{K}(V) = dim_{K}(W) = n < ∞, dann folgt aus dem 1.Struktursatz die Existenz von \underline{Isomorphismen} φ, ψ :

φ : K^{n} ⟶ V
ψ : K^{n} ⟶ W .

Dann ist auch φ^{−1} ein Isomorphismus φ^{−1} : V → K^{n}. Der gesuchte Isomorphismus zwischen V und W ist die zusammengesetzte Abbildung

ψ ∘ φ^{−1} : V ⟶^{φ^{−1}} K^{n} ⟶^{ψ} W.

Beachte: ψ ∘ φ^{−1} ist als Komposition von K-linearen Abbildungen wieder Klinear und als Komposition von bijektiven Abbildungen wieder bijektiv, also ein Isomorphismus.

Bezeichnung: Um anzudeuten, daß eine K-lineare Abbildung φ : V → W ein Isomorphismus ist, schreibt man oft:

φ : V ≃ W oder φ : V ⟶^{≃} W oder φ : V ≅ W.

Spielt der spezielle Isomorphismus φ keine besondere Rolle, dann schreiben wir V ≃ W oder V ≅ W (lies V ist isomorph zu W).

13 Dimensionssätze für Kern und Bild

Definition: Ein \underline{Untervektorraum} U eines K-Vektorraumes V ist eine nichtleere Teilmenge U ⊆ V mit der Eigenschaft

v, w ∈ U ⇒ λv + μw ∈ U  ,  ∀λ, μ ∈ K.

Bemerkung: Für λ = 1, μ = −1 ∈ K folgt daraus insbesondere v − w ∈ U wegen (−1)w = −w. Also ist ein Untervektorraum U insbesondere eine Untergruppe der additiven Gruppe (V, +) des Vektorraums V. Umgekehrt ist eine Untergruppe U der additiven Gruppe (V, +) ein Untervektorraum, falls gilt

v ∈ U ⇒ λv ∈ U , ∀v ∈ U, λ ∈ K .

Versehen mit der Einschränkung der skalaren Multiplikation ist ein Untervektorraum U ein K-Vektorraum. Die Inklusionsabbildung U ↪ V ist aus offensichtlichen Gründen eine injektive K-lineare Abbildung. Der Basisergänzungssatz liefert

Lemma 1: Jeder Untervektorraum U eines endlich dimensionalen K-Vektorraums V ist endlich dimensional und es gilt

dim_{K}(U) ≤ dim_{K}(V) .

Dimensionsgleichheit gilt genau dann, wenn gilt U = V.

Beispiele für Untervektorräume erhält man durch Kern und Bild von K-linearen Abbildungen. Zur Erinnerung: Eine K-lineare Abbildung ist insbesondere ein Gruppenhomomorphismus. Der Kern(φ) einer K-linearen Abbildung

φ : V → W

ist die Untergruppe aller Vektoren v ∈ V mit φ(v) = 0.

Lemma 2: Kern(φ) und Bild(φ) einer K-linearen Abbildung φ : V → W definieren Untervektorräume von V respektive von W.

\underline{Beweis}: Dies ist eine Variante der Sätze 1 und 2 von Paragraph 3. Auf Grund der obigen Bemerkung genügt es daher zu zeigen, daß Kern(φ) und Bild(φ) unter skalarer Multiplikation abgeschlossen sind. Sei dazu v ∈ Kern(φ). Dann gilt φ(λv) = λφ(v) = λ · 0 = 0. Also folgt λv ∈ Kern(φ) für alle λ ∈ K. Ist w ∈ Bild(φ). Dann gilt w = φ(v) und wie behauptet ist λw = λφ(v) = φ(λv) auch im Bild von φ.

Als Spezialfall von Satz 3 in Paragraph 3 erhält man

Lemma 3: Eine K-lineare Abbildung φ ist genau dann injektiv, wenn gilt Kern(φ) = 0.

1.Dimensionssatz: Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Dann gilt

dim_{K}(V) = dim_{K} (φ(V)) + dim_{K} (Kern(φ)) .

\underline{Beweis}: Im Fall V = \{0\} gilt φ(V) = \{0\} sowie Kern(φ) = \{0\}, und die Aussage ist trivial. Somit können wir annehmen, daß eine Basis b_{1} …, b_{n} von V existiert. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit ist dabei b_{1} …, b_{r} mit r ≤ n eine Basis von Kern(φ) ⊆ V, falls Kern(φ) ≠ {0}. Dies erhält man aus dem Basisergänzungssatz! Ist Kern(φ) = V und damit Bild(φ) = {0}, ist wiederum die Behauptung trivial. Wir können daher annehmen Bild(φ) ≠ 0 und behaupten dann

\underline{Behauptung}: Die n − r Vektoren φ(b_{r+1}), …, φ(b_{n}) bilden eine Basis des Bildraums φ(V).

Daraus folgt der Dimensionssatz dim_{K}(V) = r + (n − r) = dim_{K}(Kern(φ)) + dim_{K}(Bild(φ)).

\underline{Beweis der Behauptung}:

(1) Die Bilder φ(b_{r+1}), …, φ(b_{n}) sind ein Erzeugendensystem von Bild(φ) :

Sei w ∈ Bild(φ). Dann gilt

w = φ(v)
= φ (∑_{i=1}^{n} λ_{i}b_{i})
= φ (∑_{i=1}^{r} λ_{i}b_{i} + ∑_{i=r+1}^{n} λ_{i}b_{i})
= ∑_{i=1}^{r} λ_{i}φ(b_{i}) + ∑_{i=r+1}^{n} λ_{i}φ(b_{i})
= ∑_{i=r+1}^{n} λ_{i}φ(b_{i}).

Also ist φ(b_{r+1}), …, φ(b_{n}) ein Erzeugendensystem von φ(V).

(2) Die Vektoren φ(b_{r+1}), …, φ(b_{n}) sind linear unabhängig:

Wäre ∑_{i=r+1}^{n} λ_{i}φ(b_{i}) = 0 eine nichttriviale Relation, dann folgt φ( ∑_{i=r+1}^{n} λ_{i}b_{i}) = 0 und es gilt also ∑_{i=r+1}^{n} λ_{i}b_{i} ∈ Kern(φ). Wir erhalten

∑_{i=r+1}^{n} λ_{i}b_{i} = ∑_{i=1}^{r} μ_{i}b_{i}.

Setzt man λ_{i} := −μ_{i} für i = 1, …, r, dann folgt eine nichttriviale Relation

∑_{i=1}^{n} λ_{i}b_{i} = 0.

Dies steht im Widerspruch zur Annahme, daß b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V ist.

Damit ist der Dimensionssatz gezeigt.

Lemma 4: Sei φ : V → W eine K-lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen K-Vektorräumen V und W. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(i) φ ist ein Isomorphismus.

(ii) Es gilt Kern(φ) = 0 und Bild(φ) = W.

(iii) Es gilt Kern(φ) = 0 und dim_{K}(V) = dim_{K}(W).

(iv) Es gilt Bild(φ) = W und dim_{K}(V) = dim_{K}(W).

\underline{Beweis}: (i) ⇒ (ii) ist trivial: φ ist bijektiv. Also folgt Kern(φ) = 0 – denn φ ist injektiv – und Bild(φ) = W (denn φ ist surjektiv). (ii) ⇒ (iii) folgt aus dem Dimensionssatz: dim_{K}(V) = dim_{K}(Kern(φ)) + dim_{K}(Bild(φ)) = 0 + dim_{K}(W) (iii) ⇒ (iv) : Aus dim_{K}(V) = dim_{K}(Kern(φ))+dim_{K}(Bild(φ)) folgt dim_{K}(W) = dim_{K}(Bild(φ)). Wegen Bild(φ) ⊆ W folgt daher Bild(φ) = W unter Benutzung von Lemma 1. (iv) ⇒ (i) : Es genügt die Injektivität von φ beziehungsweise Kern(φ) = 0 zu zeigen. Aus dim_{K}(V) = dim_{K}(Kern(φ)) + dim_{K}(Bild(φ)) folgt

dim_{K}(W) = dim_{K}(Kern(φ)) + dim_{K}(W)

und damit dim_{K}(Kern(φ)) = 0. Also ist Kern(φ) = 0.

Korollar: Im Fall dim_{K}(V) =^{!} dim_{K}(W) < ∞ sind für φ ∈ Hom_{K}(V, W) folgende Aussagen äquivalent:

(i) φ ist ein Isomorphismus.

(ii) φ ist injektiv.

(iii) φ ist surjektiv.

14 Summen von Vektorräumen

Definition: Seien U, V Untervektorräume von W. Dann definiert

V + U := {v + u | v ∈ V, u ∈ U}

die \underline{Summe} der Räume V, U. Die Summe V + U ist ein Untervektorraum von W wegen

(v + u) + (v′ + u′) = (v + v′) + (u + u′)
∈ V  ∈ U
λ(v + u)  =  λv  +  λu

Definition: V + U heißt \underline{direkte Summe}, wenn jedes Element w ∈ V + U sich auf eindeutige Weise in der Form

w = v + u , v ∈ V, u ∈ U

schreibt. In diesem Fall schreibt man anstelle von V + U auch

V ⊕ U.

Ist B eine Basis von V und B′ eine Basis von U, dann ist die Vereinigung B ∪B′ offensichtlich eine Basis von U ⊕ V. Benutze zum Beweis zum Beispiel das Lemma aus Paragraph 8. Insbesondere folgt daher

Folgerung: dim_{K}(U ⊕ V) = dim_{K}(U) + dim_{K}(V)

\underline{Drei Beispiele}:

(I) Im Fall U = V = W ≠ 0 gilt U + V = W. Dies ist aber keine direkte Summe.

(II) Im Fall W := ℝ^{2} gilt für die Unterräume U = {(λ, 0)|λ ∈ ℝ} und V = {(0, μ)|μ ∈ ℝ} die Zerlegung

ℝ^{2} = W = U ⊕ V

wegen der eindeutigen Zerlegung (λ, μ) = (λ, 0) + (0, μ).

(III) Seien U und V zwei K-Vektorräume, dann definiert das kartesische Produkt U × V mit komponentenweiser Addition und komponentenweise Skalarmultiplikation wieder einen K-Vektorraum. Die Untervektorräume U × {0} beziehungsweise {0} × V des kartesischen Produkt können mit den Vektorräumen U resp. V identifiziert werden, und man erhält eine Zerlegung der Form

U × V = (U × {0}) ⊕ ({0} × V) .

Es folgt

dim_{K}(U×V) = dim_{K}(U×{0})+dim_{K}({0}×V) = dim_{K}(U)+dim_{K}(V) .

Beispiel (II) ist natürlich ein Spezialfall von Beispiel (III).

2.Dimensionssatz: Seien U und V endlich dimensionale K-Untervektorräume eines K-Vektorraums W. Dann gilt

dim_{K}(U + V) = dim_{K}(U) + dim_{K}(V) − dim_{K}(U ∩ V).

\underline{Bemerkung}: Hierbei haben wir benutzt, daß der Durchschnitt U ∩ V zweier Untervektorräume wieder ein Untervektorraum ist. Daher ist dim_{K}(U ∩V) definiert. Zum Beweis können wir obdA annehmen W = U + V.

\underline{Beweis}: Wir betrachten das cartesische Produkt U × V der Vektorräume U und V und definieren eine K-lineare Abbildung

φ : U × V ⟶ W = U + V

wie folgt durch

φ((u, v)) = u + v .

Wegen der Definition der Summe ist diese Abbildung surjektiv. Weiterhin gilt

Kern(φ) = {(u, v) | u = −v, u ∈ U, v ∈ V }

oder Kern(φ) = {(u, −u) | u ∈ U ∩ V }.

Kern(φ) ist daher als K-Vektorraum isomorph zu Kern(φ) ≅ U ∩ V via der Abbildung (u, −u) ↦ u. Der zweite Dimensionssatz folgt somit aus dem ersten Dimensionssatz

dim_{K}(U) + dim_{K}(V) = dim_{K}(U × V) = dim_{K}(Bild(φ)) + dim_{K}(Kern(φ))

wegen Bild(φ) = U + V und Kern(φ) ≅ U ∩ V.

Lemma: U +V ist genau dann eine direkte Summe, wenn gilt U ∩V = {0}.

\underline{Beweis}: Wir zeigen die Umkehrung: U +V ist genau dann keine direkte Summe, wenn gilt U ∩ V ≠ {0}.

⇐ Sei 0 ≠ w ∈ U ∩ V, dann ist U + V nicht direkt, denn w = w + 0 = 0 + w liefert zwei verschiedene Darstellungen von w.

⇒ Sei U + V nicht direkt, dann existiert ein w mit w = v + u = v′ + u′ und v ≠ v′ in V sowie u ≠ u′ in U. Daraus folgt v − v′ = u′ − u = ξ ≠ 0 mit ξ ∈ U ∩ V. Also U ∩ V ≠ {0}.

Die nächsten drei Abschnitte können beim Lesen übersprungen werden!

15. ^{∗}Quotientenräume 47

15 ^{∗}Quotientenräume

Gegeben sei ein Untervektorraum U eines K-Vektorraums V. Wir wollen daraus einen neuen K-Vektorraum V/U (den \underline{Quotienten} von V nach U) konstruieren zusammen mit einer surjektiven K-linearen Abbildung

π : V → V/U ,

deren Kern der Untervektorraum U ist.

Die Elemente von V/U werden abstrakt definiert als Teilmengen von V. Dazu definieren wir eine Äquivalenzrelation auf V: Wir nennen Vektoren v_{1}, v_{2} ∈ V parallel (bezüglich U) und schreiben v_{1}∥v_{2}, wenn gilt

v_{1} − v_{2} ∈ U ⟺ v_{1} ∈ v_{2} + U .

Diese Relation zwischen den Vektoren von V ist eine Äquivalenzrelation, d.h. es gilt

a) v_{1}∥v_{1}

b) v_{1}∥v_{2} ⇒ v_{2}∥v_{1}

c) v_{1}∥v_{2}, v_{2}∥v_{3} ⇒ v_{1}∥v_{3}.

Die Äquivalenzklasse eines Elementes v ∈ V, d.h. die Menge aller zu v äquivalenten Elemente, ist die ’Parallele von U durch v

[v] = {v′ ∈ V | v′∥v bzgl. U} ,

oder anders geschrieben die Menge

v + U := {v′ ∈ V | v′ ∈ v + U}

Behauptung: Seien v, v′ ∈ V. Dann gilt entweder [v] = [v′] oder [v]∩[v′] = ∅.

\underline{Beweis}: Dies ist eine allgemeine Eigenschaft von Äquivalenzklassen.

15. ^{∗}Quotientenräume 48

Definition: Wir definieren für U ⊆ V eine Vektorraumstruktur auf V/U :

\begin{aligned}[v] + [w] & := & [v + w] & & ∀v, w ∈ V \\ λ · [v] & := & [λ · v] & ∀v ∈ V, λ ∈ K \end{aligned}

Diese Definitionen sind wohldefiniert. \underline{Beweis}: Seien [v] = [v′] und [w] = [w′], dann gilt v − v′ ∈ U und w − w′ ∈ U. Zu zeigen ist [v + w] = [v′ + w′].

(v + w) − (v′ + w′) = (v − v′) + (w − w′) ∈ U + U ⊆ U

Daraus folgt direkt [v + w] = [v′ + w′], denn v′ + w′ ∈ v + w + U. Analog gilt: [v] = [v′] ⇒ [λv] = [λv′].

v − v′ ∈ U ⇒ λ(v − v′) = λv − λv′ ∈ λU ⊆ U

Diese Verknüpfungen erfüllen die Axiome eines Vektorraums. Also ist V/U ein K-Vektorraum.

Behauptung: Die Abbildung

\begin{aligned}π : & V & → & V/U \\ & v & ↦ & [v] \end{aligned}

ist eine surjektive K-lineare Abbildung. \underline{Beweis}: π(λv +μw) = [λv +μw] = [λv]+[μw] = λ[v]+μ[w] = λπ(v)+μπ(w) Die Surjektivität ist klar.

Behauptung: Kern(π) = U. \underline{Beweis}: v ∈ Kern(π) ⟺ π(v) = 0 ⟺ [v] = [0] ⇔ v ∈ 0 + U = U Ist V ein ℝ-Vektorraum, also K = ℝ, dann sind die Teilmengen [v] wirklich Parallelen von U durch V. Der Quotientenraum V/U hat also die Bedeutung eines Raumes von Parallelen von U.

15. ^{∗}Quotientenräume 49 Diese Intuition ist natürlich etwas gewöhnungsbedürftig im Falle von Körpern K wie zum Beispiel K = 𝔽_{2}, welche verschieden von ℝ sind.

[figure: 0; U; [v]; [w]; [v + w]; v; w; v + w; v′; w′; v′ + w′]

16. ^{∗}Dualitätstheorie und Annulator 50

16 ^{∗}Dualitätstheorie und Annulator

Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V. Im Dualraum V^{∗} = Hom(V, K) gibt es wegen Bemerkung (II) §11 eindeutig bestimmte K-lineare Abbildung

b_{i}^{∗} ∈ Hom_{K}(V, K)

mit der Eigenschaft

b_{i}^{∗}(b_{j}) = δ_{ij} ∈ K

wobei

δ_{ij} := \{ \begin{matrix}0 & wenn j ≠ i \\ 1 & wenn j = i \end{matrix}

Satz 1: Die b_{1}^{∗}, …, b_{n}^{∗} bilden eine Basis von V^{∗}, die sogenannte \underline{Dualbasis} von b_{1}, …, b_{n}. Insbesondere gilt dim_{K}(V^{∗}) = dim_{K}(V).

\underline{Beweis}: Zuerst zeigen wir die lineare Unabhängigkeit der b_{i}^{∗}. Sei

∑_{i=1}^{n} λ_{i}b_{i}^{∗} = 0.

Einsetzen von b_{j} liefert

0 = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}b_{i}^{∗}(b_{j}) = λ_{j} · 1 = λ_{j}

für alle j = 1, …, n. Also sind die b_{i}^{∗} linear unabhängig. Nun zeigen wir, daß b_{1}^{∗}, …, b_{n}^{∗} ein Erzeugendensystem bilden: Für φ ∈ V^{∗} = Hom_{K}(V, K) setzen wir λ_{i} := φ(b_{i}) ∈ K für i = 1, …, n und betrachten

ψ := ∑_{i=1}^{n} λ_{i}b_{i}^{∗} .

Dann gilt ψ(b_{j}^{∗}) = λ_{j} = φ(b_{j}^{∗}) für alle j = 1, …, n. Wegen §11 Bemerkung (II) folgt daraus ψ = φ. Also ist b_{1}^{∗}, …, b_{n}^{∗} ein Erzeugendensystem, und somit eine Basis von V^{∗}.

Definition: Sei U ein Untervektorraum von V. Setze V^{∗} ⊇ U^{⊥} := {v^{∗} ∈ V^{∗} | v^{∗}(u) = 0 ∀u ∈ U} = {v^{∗} ∈ V^{∗} | < v^{∗}, u > = 0 ∀u ∈ U}. U^{⊥} heißt der \underline{Annulator} von U. \underline{Bemerkung}: U^{⊥} ist ein Untervektorraum von V^{∗}.

Ein allgemeines Prinzip: v^{∗} ∈ U^{⊥} ⇔ v^{∗}(b_{i}) = 0 für alle b_{1}, …, b_{r} einer Basis von U. \underline{Beweis}: Dies ist klar, da < v^{∗}, u > linear in u ist und jedes u eine Linearkombination der Basisvektoren ist.

Satz 2:

dim_{K}(U^{⊥}) = dim_{K}(V) − dim_{K}(U)

\underline{Beweis}: Sei b_{1}, ..., b_{r} Basis von U, b_{1}, ..., b_{r}, ..., b_{n} Basis von V und b_{1}^{∗}, ..., b_{n}^{∗} Dualbasis von V^{∗}. \underline{Behauptung}: U^{⊥} hat als Basis die Elemente b_{r+1}^{∗}, ..., b_{n}^{∗}. \underline{Beweis}: Offensichtlich sind b_{r+1}^{∗}, ..., b_{n}^{∗} linear unabhängig. Andererseits gilt

b_{i}^{∗} ∈ U^{⊥} für i ≥ r + 1.

Dies folgt aus dem allgemeinen Prinzip wegen

b_{i}^{∗}(b_{1}) = ⋯ = b_{i}^{∗}(b_{r}) = 0 für i ≥ r.

Zu zeigen bleibt: b_{r+1}^{∗}, ..., b_{n}^{∗} ist Erzeugendensystem (und somit Basis) von U^{⊥}.

Sei v^{∗} = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}b_{i}^{∗} ∈ U^{⊥} ⟺^{allg.P rinz.} v^{∗}(b_{i}) = λ_{i} = 0 ∀i = 1, ..., r ⟺ λ_{1} =

⋯ = λ_{r} = 0. Es folgt

U^{⊥} = {v^{∗} = ∑_{i=r+1}^{n} λ_{i}b_{i}^{∗} | λ_{i} ∈ K}

und b_{r+1}^{∗}, ..., b_{n}^{∗} ist Erzeugendensystem von U^{⊥}. Somit gilt dim_{K}(V) = r + n − r = dim_{K}(U) + dim_{K}(U^{⊥}). q.e.d.

17. ^{∗}Die duale Abbildung 52

17 ^{∗}Die duale Abbildung

Definition: Sei φ : V → W eine K-lineare Abbildung. Dann definiert

\begin{aligned}φ^{∗} & : W^{∗} & → & V^{∗} \\ φ^{∗} & : w^{∗} & ↦ & w^{∗} ∘ φ \end{aligned}

eine K-lineare Abbildung von W^{∗} nach V^{∗}. φ^{∗} heißt \underline{duale} oder \underline{transponierte} Abbildung von φ. Zur Erläuterung betrachte das folgende Diagram

\begin{aligned}V & →^{φ} & W \\ φ^{∗}(w^{∗})↘ & ↓w^{∗} \\ & K \end{aligned}

Wir wollen die K-Linearität von φ^{∗} beweisen: Für alle v ∈ V gilt:

φ^{∗}(λw_{1}^{∗} + μw_{2}^{∗})(v) = (λw_{1}^{∗} + μw_{2}^{∗})φ(v)
= (λw_{1}^{∗} + μw_{2}^{∗})(φ(v))
= λw_{1}^{∗}(φ(v)) + μw_{2}^{∗}(φ(v))
= λ(φ(w_{1}^{∗}))(v) + μ(φ(w_{2}^{∗}))(v)

Also gilt φ(λw_{1}^{∗} + μw_{2}^{∗}) = λφ(w_{1}^{∗}) + μφ(w_{2}^{∗}) in V^{∗}. Zur Erinnerung: φ^{∗}(v) :=< φ^{∗}, v > ∈ K für φ ∈ V^{∗}, v ∈ V

Lemma:

< w^{∗}, φ(v) > = < φ^{∗}(w^{∗}), v >

\underline{Beweis}: < w^{∗}, φ(v) > = w^{∗}(φ(v)) = (w^{∗}∘φ)(v) = φ^{∗}(w^{∗})(v) = < φ^{∗}(w^{∗}), v >

Satz 1: Kern(φ^{∗}) = (Bild(φ))^{⊥} (in W^{∗}) \underline{Beweis}: Sei φ^{∗} : W^{∗} → V^{∗}. Dann gilt

w^{∗} ∈ Kern(φ^{∗}) ⟺ φ^{∗}(w^{∗})(v) = 0 ∀v ∈ V

17. ^{∗}Die duale Abbildung 53

⟺ < φ^{∗}(w^{∗}), v > = 0 ∀v ∈ V
⟺ < w^{∗}, φ(v) > = 0 ∀v ∈ V
⟺ w^{∗} ∈ (Bild(φ))^{⊥}

Definition: Sei φ : V → W eine K-lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen. Dann nennen wir dim_{K} (Bild(φ)) den \underline{Rang r(φ)} der Abbildung φ.

Es sei für den Rest des Abschnitts V \underline{endlich} \underline{dimensionaler} K-Vektorraum.

Satz 2: r(φ) = r(φ^{∗})

\underline{Beweis}:

r(φ^{∗}) = dim_{K}(Bild(φ^{∗}))
= dim_{K}(W^{∗}) − dim_{K}(Kern(φ^{∗}))
=^{Satz 1} dim_{K}(W^{∗}) − dim_{K} ((Bild(φ))^{⊥})
= dim_{K}(W) − dim_{K} ((Bild(φ))^{⊥})
=^{§16} dim_{K}(W) − (dim_{K}(W) − dim_{K}(Bild(φ)))
= dim_{K}(Bild(φ))
= r(φ)

Satz 3: Bild(φ^{∗}) = Kern(φ)^{⊥} (in V^{∗})

\underline{Beweis}: Sei φ^{∗} : W^{∗} → V^{∗}. Dann gilt

v^{∗} ∈ Bild(φ^{∗}) ⇔ ∃w^{∗} ∈ W^{∗} mit v^{∗} = φ^{∗}(w^{∗})
⇔ ∃w^{∗} mit v^{∗}(v) = φ^{∗}(w^{∗})(v) = w^{∗}(φ(v)) ∀v ∈ V.

Für v^{∗} ∈ Bild(φ^{∗}) folgt somit für alle v ∈ Kern(φ) v^{∗}(v) = w^{∗}(φ(v)) = w^{∗}(0) = 0. Man erhält also Bild(φ^{∗}) ⊆ Kern(φ)^{⊥}.

Um die Gleichheit zu zeigen genügt nach §13 Lemma 1 die Gleichheit der Dimensionen. Es gilt:

dim_{K}(Kern(φ)^{⊥}) = dim_{K}(V) − dim_{K}(Kern(φ))  §16
= dim_{K}(V) − (dim_{K}(V) − dim_{K}(Bild(φ)))  Dimensionssatz
= dim_{K}(Bild(φ))
= dim_{K}(Bild(φ^{∗}))  Satz 2

Wie wir bereits gesehen haben, gilt dim_{K}(V^{∗}) = dim_{K}(V). Aus dem Struktursatz in §12 folgt also

V^{∗} ≅ V.

Leider gibt es keine ausgezeichnete Wahl eines solchen Isomorphismus. Dies wird uns später zu der Untersuchung der Bilinearformen führen.

Anders ist die Situation beim Bidual (V^{∗})^{∗}.

Satz 4: Es gibt einen kanonischen Isomorphismus κ : V ⟶^{≃} (V^{∗})^{∗}.

\underline{Beweis}: Wir betrachten die Abbildung

\begin{matrix}κ : V & → & (V^{∗})^{∗} \\ v & ↦ & (v^{∗} ↦ v^{∗}(v)) \end{matrix}

Zur Erläuterung sei wiederholt, daß (V^{∗})^{∗} = Hom_{K}(V^{∗}, K) ist. κ ist linear, denn es gilt:

κ(μv_{1} + λv_{2}) = (v^{∗} ↦ v^{∗}(μv_{1} + λv_{2}))
= (v^{∗} ↦ μv^{∗}(v_{1}) + λv^{∗}(v_{2}))
= μ(v^{∗} ↦ v^{∗}(v_{1})) + λ(v^{∗} ↦ v^{∗}(v_{2}))
= μκ(v_{1}) + λκ(v_{2})

κ ist auch injektiv: Sei v ∈ Kern(κ), dann gilt

v^{∗}(v) = 0

für alle v^{∗} ∈ V^{∗}. Man erhält v = 0. Denn wäre v ≠ 0, dann ergänze v = b_{1} zu einer Basis und setze v^{∗} := b_{1}^{∗}. Aus v = 0 folgt Kern(κ) = 0. Aus dim_{K}((V^{∗})^{∗}) = dim_{K}(V^{∗}) = dim_{K}(V) (nach §16) folgt dann, daß κ automatisch bijektiv ist. (Siehe §13.)

Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

18 Spalten- und Zeilenvektoren

Wir betrachten im folgenden den Vektorraum K^{n}. Dieser Vektorraum war definiert als Vektorraum aller Zeilenvektoren (λ_{1}, …, λ_{n}) mit den Koordinaten λ_{i} ∈ K. Wir hätten diesen Vektorraum auch in Form von Spaltenvektoren der Form

( λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} )

schreiben können. Addition und Skalarmultiplikation sind dann wie folgt definiert:

( λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} ) + ( μ_{1} ; ⋮ ; μ_{n} ) = ( λ_{1} + μ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} + μ_{n} )

λ · ( λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} ) = ( λ · λ_{1} ; ⋮ ; λ · λ_{n} )

\underline{Konvention}: Von nun an bezeichnet K^{n} den K–Vektorraum der Spaltenvektoren der Länge n und (K^{n})^{∗} den K–Vektorraum der Zeilenvektoren der Länge n. \underline{Standardbasen} von K^{n} und (K^{n})^{∗} sind

e_{1} := ( 1 0 ⋮ 0 0 ) e_{2} := ( 0 1 0 ⋮ 0 ) ⋯ e_{n} := ( 0 0 ⋮ 0 1 )

respektive

e_{1}^{∗} = (1, 0, …, 0) e_{2}^{∗} = (0, 1, 0, …, 0)  ⋯  , e_{n}^{∗} = (0, …, 0, 1)

Für x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ∈ K^{n} und y = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ (K^{n})^{∗} definieren wir eine

\underline{kanonische Paarung} zwischen (K^{n})^{∗} und K^{n} (das \underline{Skalarprodukt})

< x, y > := ∑_{i=1}^{n} y_{i}x_{i} = y_{1}x_{1} + ⋯ + y_{n}x_{n} ∈ K.

19 Matrizen und Abbildungen (I)

Wir betrachten in diesem Abschnitt K–lineare Abbildungen

φ : V → W

zwischen den Vektorräumen V = K^{n} und W = K^{m}.

Jeder solchen Abbildung ordnen wir eine m × n Matrix mit Einträgen zu in K vermöge

M(φ) := ( \begin{matrix}⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ φ(e_{1}) & φ(e_{2}) & ⋯ & φ(e_{n}) \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \end{matrix} )

zu. Hierbei seien e_{1}, …, e_{n} die Standardbasisvektoren von V = K^{n}.

In obiger Schreibweise wollen wir nunmehr ”unnötige Klammern” weggelassen. Wie das zu verstehen ist, soll das folgende Beispiel erläutern.

Beispiel: Sei n = m, also V = W und sei φ := id_{V} . Dann ist

M(id_{V}) = ( ( 1 0 ⋮ 0 ) ( 0 1 ⋮ 0 ) ⋯ ( 0 ⋮ 0 1 ) ) =^{!} ( \begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 \end{matrix} )

Die so entstandene Matrix nennt man die \underline{Einheitsmatrix} E = E_{n} und es gilt

E = (δ_{ij})_{{1≤i≤n \atop 1≤j≤n}} .

Hierbei ist δ_{ij} = 1 oder 0, je nach dem ob i = j oder i ≠ j ist. δ_{ij} ist das sogenannte \underline{Kronecker-Symbol}.

Definition: Die Menge aller m × n Matrizen mit Einträgen in K bezeichnen wir mit M_{m,n}(K). Man erklärt eine K–Vektorraumstruktur auf M_{m,n}(K) via

λ · (M_{ij}) = (λM_{ij})

und

(M_{ij}) + (M′_{ij}) = (M_{ij} + M′_{ij})

für Matrizen M = (M_{ij})_{{1≤i≤n \atop 1≤j≤n}} und M′ = (M′_{ij})_{{1≤i≤n \atop 1≤j≤n}} aus M_{m,n}(K).

Wie wir in §11, Bemerkung (II) gesehen haben, bestimmt die Matrix M(φ) (mit anderen Worten die Bilder φ(e_{i}) der Basis e_{1}, .., e_{n} ) die Abbildung φ eindeutig; und zu jeder Wahl von Spaltenvektoren existiert eine zugehörige K-lineare Abbildung φ : K^{n} → K^{m}.

Satz: Die Zuordnung φ ↦ M(φ) stiftet einen Isomorphismus zwischen den K–Vektorräumen Hom_{K}(K^{n}, K^{m}) und M_{m,n}(K).

Dies ist eine offensichliche Konsequenz aus der Definition und §11, Bemerkung (II). Es ist nur noch die K-Linearität der Abbildung φ ↦ M(φ) zu zeigen.

\underline{Beweis}: M(λφ + μψ) hat in der i-ten Spalte den Vektor

(λφ + μψ)(e_{i}) = λφ(e_{i}) + μψ(e_{i}).

Dies ist aber auch der i-te Spaltenvektor von λM(φ) + μM(ψ) bei obiger Definition der Vektorraumstruktur auf M_{m,n}(K). Also gilt

M(λφ + μψ) = λM(φ) + μM(ψ).

Korollar:

dim_{K}(Hom_{K}(K^{n}, K^{m})) = mn

\underline{Beweis}: M_{m,n}(K) ist offensichtlich isomorph zu K^{mn}.

Bemerkung: Wir identifizieren M_{m,1}(K) mit K^{m} und ebenso M_{1,n}(K) mit (K^{n})^{∗}.

20 Matrizenmultiplikation

Wir betrachten nun Abbildungen φ ∈ Hom_{K}(K^{k}, K^{n}) und ψ ∈ Hom_{K}(K^{n}, K^{m})

K^{k} ⟶^{φ} K^{n} ⟶^{ψ} K^{m}

und ihre Komposition

K^{k} ⟶^{ψ∘φ} K^{m}

Frage: Wie bestimmt man M(ψ ∘ φ) aus M(φ) und M(ψ)?

Dies führt uns zur Definition der Matrizenmultiplikation: Setzt man A := M(ψ) und B := M(φ), dann kann man A · B geeignet definieren, so daß

A · B = M(ψ ∘ φ)

gilt.

Definition: Seien A^{m,n} und B^{n,k} zwei Matrizen vom Typ:

\begin{matrix}⟵ n ⟶ \\ \begin{matrix}↑ \\ m \\ ↓ \end{matrix} & A \end{matrix}  \begin{matrix}← k → \\ \begin{matrix}↑ \\ n \\ ↓ \end{matrix} & B \end{matrix}

mit Einträgen a_{ij}, b_{uv} ∈ K. Wir definieren als Matrizenprodukt C = C^{m,k} = A·B die Matrix

\begin{matrix}← k → \\ \begin{matrix}↑ \\ m \\ ↓ \end{matrix} & C \end{matrix}

mit folgenden Einträgen c_{ij} :

c_{ij} = ∑_{γ=1}^{n} a_{iγ}b_{γj}

20. Matrizenmultiplikation 61 Die Einträge von C berechnen sich also als Skalarprodukt von Zeilen- und Spaltenvektor von A und B. Achtung: Im allgemeinen gilt A · B ≠ B · A. Zwei Beispiele:

( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & −1 \end{matrix} )
( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )

oder

(μ_{1}, ..., μ_{n}) · ( λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} ) = (∑_{i=1}^{n} μ_{i}λ_{i}) = ∑_{i=1}^{n} μ_{i}λ_{i}

\underline{Schreibweise}: Bei 1 × 1 Matrizen lassen wir (oft) die Klammer fort. Zeilen- bzw. Spaltenvektoren werden als Matrizen von Typ 1 × n bzw. n × 1 behandelt. Behauptung:

M(ψ ∘ φ) = M(ψ) · M(φ)

Beachte: M(ψ ∘ φ) beschreibt die Komposition der Abbildungen durch das Matrizenprodukt M(ψ) · M(φ). \underline{Beweis}: Sei M(ψ) = A und M(φ) = B. Dann gilt per Definition:

b_{γj} = φ(e_{j})_{γ}  γ-te Komponente von φ(e_{j})
a_{iγ} = ψ(e_{γ})_{i}  i-te Komponente von ψ(e_{γ})

also

(ψ ∘ φ)(e_{j}) = ψ (φ(e_{j}))
= ψ (∑_{γ=1}^{n} b_{γj}e_{γ})

= ∑_{γ=1}^{n} b_{γj}ψ(e_{γ})

= ∑_{γ=1}^{n} b_{γj} (∑_{i=1}^{m} a_{iγ}e_{i})

= ∑_{i=1}^{m} (∑_{γ=1}^{n} a_{iγ}b_{γj}) e_{i}

Somit gilt

∑_{γ=1}^{n} a_{iγ}b_{γj} = (ψ ∘ φ)(e_{j})_{i}.

Bemerkung: Aus §19 und der obigen Behauptung folgt, daß sich die Kompositionseigenschaften von K-linearen Abbildungen, wie z.B. das Assoziativgesetz und die Linearität, als Eigenschaften des Matrizenproduktes formulieren lassen. Es folgt also insbesondere:

(A · B) · C = A · (B · C)
(A + B) · C = A · C + B · C
A · (B + C) = A · B + A · C

\underline{Rückgewinnung der Abbildung aus der Matrix}: Wir wollen uns dazu an die Identifikation von Spaltenvektoren und n × 1-Matrizen erinnern:

M_{n,1}(K) = K^{n}.

Behauptung: Es gilt

φ(x) = M(φ) · x

Man beachte, daß in dieser Formel der \underline{Funktionswert} φ(x) durch das \underline{Matrixprodukt} M(φ) · x beschrieben wird.

\underline{Beweis}: x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}. Es gilt

M(φ) · ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( \begin{matrix}⋮ & & ⋮ \\ φ(e_{1}) & ⋯ & φ(e_{n}) \\ ⋮ & & ⋮ \end{matrix} ) · ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} )

nach der Definition von M(φ). Andererseits gilt

φ(x) = x_{1}φ(e_{1}) + ⋯ + x_{n}φ(e_{n}) = ( \begin{matrix}⋮ & & ⋮ \\ φ(e_{1}) & ⋯ & φ(e_{n}) \\ ⋮ & & ⋮ \end{matrix} ) · ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} )

nach der Definition des Matrizenprodukts. Daraus folgt die Behauptung.

Auf Grund der obigen Zusammenhänge zwischen K-linearen Abbildungen und Matrizen wollen wir im folgenden keinen Unterschied mehr machen zwischen linearen Abbildungen in Hom_{K}(K^{n}, K^{m}) und Matrizen in M_{m,n}(K).

21. ^{∗}Duale Abbildungen in Termen der Matrix 64

21 ^{∗}Duale Abbildungen in Termen der Matrix

Sei φ : K^{n} → K^{m} gegeben mit mit φ(e_{i}) = ∑_{i=1}^{m} A_{ij}e_{j} und der zugehörigen Matrix A = M(φ)

A = (A_{ij}) ∈ M_{m,n}(K) .

Die sogenannte \underline{transponierte} \underline{Matrix} A′ ∈ M_{n,m}(K) von A entsteht aus A durch Spiegeln (Vertauschen von Zeilen und Spalten)

(A′)_{ij} = A_{ji} , ∀i, j .

Weiterhin gilt: Ist A = M(φ) die Matrix von φ, dann ist A′ = M(φ^{∗}) die Matrix der \underline{dualen} Abbildung.

\underline{Genauer}: Per Definition bildet die \underline{duale} \underline{Abbildung}

φ^{∗} : (K^{m})^{∗} → (K^{n})^{∗}

Elemente v^{∗} des Dualraums (K^{n})^{∗} ab auf die Abbildungskomposition v^{∗} ∘ φ. Somit gilt φ^{∗}(e_{j}^{∗}) = e_{j}^{∗} ∘ φ für alle i = 1, ..m. Es folgt für alle Vektoren e_{i} mit i = 1, .., n

φ^{∗}(e_{j}^{∗})(e_{i}) = (e_{j}^{∗}∘φ)(e_{i}) = e_{j}^{∗}(φ(e_{i})) = e_{j}^{∗}(∑_{k=1}^{m} A_{ik}e_{k}) = A_{ij}δ_{ij} = ∑_{k=1}^{n} A_{kj}e_{k}^{∗}(e_{i}) .

Da dies für alle i = 1, ..n gilt, erhält man

φ^{∗}(e_{j}^{∗}) = ∑_{k=1}^{n} A_{kj}e_{k}^{∗} = ∑_{k=1}^{n}(A′)_{jk}e_{k}^{∗} .

\underline{Mit anderen Worten}: Der Übergang von der Abbildung φ : K^{n} → K^{m} zur dualen Abbildung φ^{∗} : (K^{m})^{∗} → (K^{n})^{∗} entspricht auf dem Matrizenniveau dem Übergang von der Matrix A = M(φ) zur transponierten Matrix A′ = M(φ^{∗}).

Korollar: Aus §17, Satz 2 folgt daher

dim_{K}(Bild(A)) = dim_{K}(Bild(A′))

für jede lineare Abbildung A : K^{n} → K^{m}.

Wir geben für die Aussage dieser Folgerung später einen unabhängigen Beweis in der Sprache der Matrizen!

22 Der Rang einer Matrix

Definition: Der \underline{Rang r(A)} einer Matrix A ∈ M_{m,n}(K) ist definiert als die maximale Anzahl der Spaltenvektoren von A, welche linear unabhängig sind.

A = ( \begin{matrix}⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{1} & a_{2} & ⋯ & a_{n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \end{matrix} )

Die Spaltenvektoren a_{i} liegen in K^{m}.

Für den Rang gilt offensichtlich

0 ≤ r(A) ≤ n.

\underline{Beispiel}: r ( \begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 6 \end{matrix} ) = 1, denn ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) oder ( \begin{matrix}3 \\ 6 \end{matrix} ) ist jeweils ein maximales System

linear unabhängiger Vektoren.

Für die obige Definition ist zu zeigen, daß sie unabhängig ist von der Wahl einer maximalen Teilmenge von linear unabhängigen Spaltenvektoren.

Wir zeigen dazu

Lemma: r(A) = dim_{K}(Bild(A : K^{n} → K^{m}))

\underline{Beweis}: Da e_{1}, ..., e_{n} eine Basis von K^{n} ist, bilden die Bildvektoren A(e_{1}), ..., A(e_{n}) (d.h. die Spalten von A) ein Erzeugendensystem von Bild(A). Wie im Beweis des Basisergänzungssatzes gezeigt wurde, bildet jedes maximal linear unabhängige Teilsystem eines Erzeugendensystems eines Vektorraums eine Basis des Raums, in unserem Fall von Bild(A). Es folgt r(A) = dim_{K}(Bild(A)).

Wegen Bild(A) ⊆ K^{m} gilt insbesondere r(A) ≤ m.

Hauptsatz (über Matrizen): Es gilt Spaltenrang = Zeilenrang, also

r(A) = r(A′)

oder mit anderen Worten: Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren ist gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.

\underline{Beweis}: r(A) = dim_{K}(Bild(A)) = dim_{K}(Bild(A′)) = r(A′) wegen §21 und §17.

Der obige Satz ist eine der fundamentalsten Aussagen über Matrizen. Der obige Beweis benutzt Dualität. Der interessierte Leser möge dazu die entsprechenden (optionalen) Abschnitte des letzten Kapitels studieren. Auf Grund der Bedeutung der Aussage geben wir in den folgenden Abschnitten einen zweiten und davon unabhängigen Beweis des obigen Satzes in der Sprache der Matrizen. Dem Leser wird empfohlen zuerst den Beweis in der Sprache der Matrizen zu verstehen. Siehe Folgerung 3 in §25.

\underline{Beispiel}: A := ( \begin{matrix}1 & 3 & 4 \\ 2 & 6 & 8 \end{matrix} )

r(A) = 1, betrachte z. B. ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) und r(A′) = 1, betrachte z. B. ( 1 3 4 )

Wir ziehen nun einige Folgerungen aus dem Hauptsatz!

Folgerung 1: Es gilt r(A) ≤ min{n, m}

Folgerung 2: Der Rang einer Matrix ändert sich nicht beim Vertauschen von Zeilen (Vertauschen von Spalten).

\underline{Beweis}: Für Spalten folgt dies aus der Definition, für Zeilenvertauschungen durch Zurückführen auf Spaltenvertauschungen mittels Transposition der Matrix und obigem Satz.

Wir schließen diesen Abschnitt mit einigen Definitionen, welche uns in der Sprache der Abbildungen bereits vertraut sind.

Definition: Eine Matrix A ∈ M_{n,n}(K) heißt \underline{regulär}, falls eine Matrix B ∈ M_{n,n}(K) existiert mit B · A = E = E^{(n,n)}.

\underline{Bemerkung}: Offensichtlich ist A regulär genau dann, wenn die dazugehörige lineare Abbildung x ↦ A · x ein Isomorphismus von K^{n} ist, da B der Umkehrfunktion dieser Abbildung entspricht.

\underline{Bezeichnung}: Gℓ(n, K) sei die Menge der regulären n × n-Matrizen. Gℓ(n, K) bildet eine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation, E^{(n,n)} ist das neutrale Element.

\underline{Bemerkung}: Sei A ∈ M_{n,n}(K). Dann sind äquivalent:

1. A ∈ Gℓ(n, K)

2. r(A) = n

3. r(A′) = n

4. ∃B ∈ M_{n,n}(K) mit AB = E

5. ∃C ∈ M_{n,n}(K) mit CA = E

Wir geben noch einen Vergleichskatalog der wichtigsten Eigenschaften: Lineare Abbildungen

\underline{Matrizen}

φ ∘ ψ (Komposition)  A · B (Produkt)
λφ + μψ (Summe)  λA + μB (Summe)
(φ ∘ ψ) ∘ ϕ = φ ∘ (ψ ∘ ϕ)  (A · B) · C = A · (B · C)
φ^{∗} (Dual)  A′ (transponierte Abbildung)
(φ ∘ ψ)^{∗} = ψ^{∗} ∘ φ^{∗}  (A · B)′ = B′ · A′
(λφ + μψ)^{∗} = λφ^{∗} + μψ^{∗}  (λA + μB)′ = λA′ + μB′
φ ∘ (λψ + μϕ) = λφ ∘ ψ + μφ ∘ ϕ  A · (λB + μC) = λA · B + μA · C
(λφ + μψ) ∘ ϕ = λφ ∘ ϕ + μψ ∘ ϕ  (λA + μB) · C = λA · C + μB · C
id_{K^{n}}  E = E^{(n,n)}
φ : K^{n} → K^{n} ist ein Isomorphismus  A^{(n,n)} ist regulär
φ^{−1}  A^{−1}
φ ∘ φ^{−1} = φ^{−1} ∘ φ = id_{K^{n}}  A · A^{−1} = A^{−1} · A = E^{(n,n)}
Gℓ(K^{n})  Gℓ(n, K)
r(φ) = dim_{K}(Bild(φ))  r(A)

23 Lineare Gleichungssysteme

Gegeben seien Koeffizienten (a_{ν,μ})_{{ν=1,...,m \atop μ=1,...,n}} und b_{ν} (ν = 1, ..., m) aus einem Körper K. Gesucht werden Lösungsvektoren

x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} )

mit den Koeffizienten x_{i} ∈ K, welche folgendes lineare Gleichungssystem erfüllen (hierbei durchläuft i die Zahlen i = 1, ..., n):

a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮ ⋮ ⋮
a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

Für die Matrix A = (a_{ν,μ}) ∈ M_{m,n}(K) und den Vektor

b = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} ) ∈ K^{m}

ist das obige lineare Gleichungssystem äquivalent zu der Matrixgleichung

A · x = b.

Man beachte, daß hierbei A · x die Matrizenmultiplikation bezeichnet.

Aus dieser Umformulierung in die Sprache der Matrizen ergeben sich sofort die beiden fundamentalen Folgerungen:

Folgerung 1: Das lineare Gleichungssystem besitzt eine Lösung genau dann, wenn b ∈ Bild(A), wobei A als lineare Abbildung von K^{n} nach K^{m} aufgefaßt

wird. A : K^{n} → K^{m}

∈  ∈
x ↦ b

Folgerung 2: Im Fall, daß überhaupt eine Lösung x = x_{0} des linearen Gleichungssystems existiert, ist jede andere Lösung x des linearen Gleichungssystems von der Gestalt

x = x_{0} + u u ∈ Kern(A).

Umgekehrt ist jeder solcher Vektor eine Lösung. Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist also

x_{0} + Kern(A) = {x_{0} + u | u ∈ Kern(A)}.

\underline{Beweis}: Sei x_{0} eine feste Lösung, das heißt A · x_{0} = b. Dann gilt für jede weitere Lösung:

A · x = b ⟺ A · x − A · x_{0} = 0
⟺ A(x − x_{0}) = 0
⟺ x − x_{0} = u, u ∈ Kern(A)
⟺ x = x_{0} + u, u ∈ Kern(A)

\underline{Bezeichnung}: Ein Gleichungssystem A · x = b wie oben heißt \underline{inhomogenes} \underline{lineares} \underline{Gleichungssystem.} Das Gleichungssystem A · x = 0 ist das zugeordnete \underline{homogene} \underline{lineare} \underline{Gleichungssystem}. Ist A ∈ M_{m,n}(K), dann ist n die \underline{Zahl der Unbekannten} und m die \underline{Zahl der Gleichungen}.

\underline{Bemerkung}: Kern(A) kann als Lösungsmenge des zugeordneten homogenen Gleichungssystems aufgefaßt werden.

Nun wollen wir uns dem Fall des homogenen Gleichungssystems zuwenden: Jedes homogene lineare Gleichungssystem besitzt eine Lösung, nämlich die triviale Lösung:

x = ( 0 ⋮ 0 ) = 0.

Die Menge der Lösungen ist Kern(A).

A : K^{n} → K^{m}
∈  ∈
x ↦ 0

Daß immer eine Lösung existiert, ist im allgemeinen nicht mehr richtig für das allgemeine inhomogene lineare Gleichungssystem.

Definition: Ein lineares Gleichungssystem A·x = b heiß \underline{universell lösbar}, wenn das Gleichungssystem für \underline{jede} \underline{Wahl} \underline{von b} eine Lösung x besitzt (wobei A fest gewählt sei). Offensichtlich ist A · x = b genau dann universell lösbar, wenn Bild(A) = K^{m} gilt oder gleichbedeutend

A : K^{m} → K^{n}

\underline{surjektiv} ist.

Nicht jedes lineare Gleichungssystem ist universell lösbar. Wir formulieren dazu das folgende Kriterium:

Gegeben seien A ∈ M_{m,n}(K) und b ∈ K^{m}. Gesucht ist ein x ∈ K^{n} mit A·x = b.

\underline{Bezeichnung}: (A, b) ∈ M_{m,n+1}(K) heißt \underline{erweiterte Matrix} (gebildet zum obigen linearen Gleichungssystem definiert durch A und b).

Satz: Das lineare Gleichungssystem gebildet zu A und b besitzt genau dann eine Lösung, wenn gilt:

r(A) = r(A, b).

\underline{Beweis}: Das lineare Gleichungssystem besitzt genau dann eine Lösung, wenn b ∈ Bild(A) gilt, d.h. genau dann, wenn b eine Linearkombination der Spaltenvektoren von A ist. Offensichtlich gilt r ((A, b)) ≥ r(A) und somit gilt r ((A, b)) = r(A) genau dann, wenn b linear abhängig ist von den Spaltenvektoren von A ist (also wenn b eine Linearkombination der Spaltenvektoren ist).

\underline{Quadratische Matrizen}: Wir betrachten nun den Fall m = n, das heißt die Zahl der Variablen ist gleich der Zahl der Gleichungen. Aus dem Dimensionssatz (§13) folgt in diesem Fall, daß A·x = b \underline{eindeutig lösbar} ist genau dann, wenn das Gleichungssystem \underline{universell lösbar} ist. Dies ist offensichtlich genau dann der Fall, wenn

A : K^{n} ⟶^{≃} K^{n}

ein Isomorphismus ist, d.h. wenn A \underline{regulär} ist. Dieser Fall ist besonders wichtig, da man die Lösung sofort durch Kenntnis der inversen Matrix A^{−1} erhält:

x = A^{−1} · b.

Alle folgenden Abschnitte bis einschließlich §40 beschäftigen sich mit mehr oder weniger direkt mit dem Problem der Bestimmung von r(A) und von A^{−1} und stehen somit in unmittelbarem Zusammenhang mit der Lösung von linearen Gleichungssystemen. In den nächsten beiden Abschnitten geben wir einen de facto Algorithmus zur Bestimmung des Rangs einer Matrix an (siehe Folgerung 2 im übernächsten Abschnitt §25).

24 Elementare Matrizenumformungen

Es sei E_{ν,μ}(λ) die n × n-Matrix, welche folgende Gestalt hat:

E_{ν,μ}(λ) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & ⋮ & ... & & & & ⋮ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & ... & & & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & & & ... & λ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ⋮ & & & & ... & ⋮ & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ,

E_{ν,μ}(λ) = (a_{ij}) mit a_{ij} = λδ_{iν}δ_{jμ}. Als \underline{elementare Matrizen} bezeichnen wir folgende Matrizen:

Diag(a_{1}, ..., a_{n}) = ( \begin{matrix}a_{1} & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & ... & ... & & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & & ... & ... & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & a_{n} \end{matrix} ) , wobei a_{1} ≠ 0, ..., a_{n} ≠ 0

und

D_{ν,μ}(λ) = E + E_{ν,μ}(λ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & ⋮ & ... & & & & ⋮ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & ... & & & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & & & ... & λ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ⋮ & & & & ... & ⋮ & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ,

für alle ν ≠ μ, wobei λ ∈ K beliebig sein darf. Es gelten die folgenden einfachen Rechenregeln:

24. Elementare Matrizenumformungen 73 Regel 1:

Diag(a_{1}, ..., a_{n}) · Diag(b_{1}, ..., b_{n}) = Diag(a_{1}b_{1}, ..., a_{n}b_{n})

Der Beweis der Regel 1 erfolgt durch einfaches Nachrechnen. Folgerung: Diag(a_{1}^{−1}, ..., a_{n}^{−1}) ist die inverse Matrix zu Diag(a_{1}, ..., a_{n}). Regel 2:

D_{ν,μ}(λ) · D_{ν,μ}(λ′) = D_{ν,μ}(λ + λ′)

\underline{Beweis}:

(E + E_{ν,μ}(λ)) · (E + E_{ν,μ}(λ′)) = E + E_{ν,μ}(λ) + E_{ν,μ}(λ′) + E_{ν,μ}(λ)E_{ν,μ}(λ′)
= E + E_{ν,μ}(λ + λ′) + E_{ν,μ}(λ)E_{ν,μ}(λ′)
= D_{ν,μ}(λ + λ′) + E_{ν,μ}(λ)E_{ν,μ}(λ′)

Daraus folgt die Regel 2, denn es gilt: E_{ν,μ}(λ)E_{ν,μ}(λ′) = 0.

Beweis: (E_{ν,μ}(λ)E_{ν,μ}(λ′))_{ij} = ∑_{k=1}^{n} \underbrace{(λδ_{iν}δ_{kμ})}_{a_{ik}} \underbrace{(λ′δ_{kν}δ_{jμ})}_{a_{kj}} = λλ′ ∑_{k=1}^{n} δ_{iν}δ_{kμ}δ_{kν}δ_{jμ}

Dieser Ausdruck ist 0, außer wenn gilt i = ν, k = μ, k = ν und j = μ. Insbesondere muß gelten: μ = k = ν, wenn der zugehörige Summand ≠ 0 sein soll. Da wir ν ≠ μ angenommen hatten, ist die Summe = 0 für alle i, j. Folgerung: D_{ν,μ}(−λ) ist die inverse Matrix zu D_{ν,μ}(λ). Es folgt unmittelbar Lemma: Die elementaren Matrizen Diag(a_{1}, ..., A_{n}) und D_{ν,μ}(λ) sind invertierbar, d.h. sie haben Rang = n.

Hilfssatz 1: Sei A ∈ M_{m,n}(K) und U ∈ Gℓ(n, K), dann gilt r(A·U) = r(A).

Der Beweis folgt unmittelbar aus der analogen Aussage Hilfssatz’.

Hilfssatz 1’: Sei φ : K^{n} → K^{m} eine K–lineare Abbildung und ψ : K^{n} → K^{n} ein Isomorphismus, dann gilt

dim_{K}(Bild(φ)) = dim_{K}(Bild(φ ∘ ψ)).

\underline{Beweis}: Bild(φ ∘ ψ) = (φ ∘ ψ)(K^{n}) = φ(ψ(K^{n})) =^{ψ surj} φ(K^{n}) = Bild(φ)

Hilfssatz 2: Sei A ∈ M_{m,n}(K) und V ∈ Gℓ(m, K), dann gilt r(V ·A) = r(A).

\underline{Beweis}: Sei ψ̃ die bijektive K-lineare Abbildung ψ̃ : K^{m} → K^{m}, welche durch die invertierbare Matrix V definiert wird. Zur Abkürzung sei W = Bild(φ). Dann ist r(A) = dim_{K}(W). Wegen r(V · A) = dim_{K}(Bild(ψ̃ ∘ φ)) und Bild(ψ̃ ∘ φ)) = ψ̃(Bild(φ)) = ψ̃(W) genügt daher zum Beweis

dim_{K}(W) = dim_{K}(ψ̃(W)) .

Die gewünschte Dimensionsgleichheit folgt somit aus dem 2.Struktursatz §12, denn die Einschränkung des Isomorphismus ψ̃ auf den Untervektorraum W ⊂ K^{m} definiert eine bijektive K-lineare Abbildung (d.h. einen Vektorraumisomorphismus)

ψ̃|W : W ⟶ ψ̃(W) .

\underline{Nun wollen wir folgende Strategie verwenden}:

Wir wenden die beiden Hilfssätze an für elementare Matrizen U oder V. Wir versuchen so die Gestalt der ursprünglichen Matrix A zu vereinfachen. Hilfreich ist dabei, daß die Rechts- und Linksmultiplikation mit elementaren Matrizen auf einfache Weise gedeutet werden kann. Wir beschränken uns auf die Erläuterung im Fall der Linksmultiplikation. Die grundlegende Beobachtung ist dabei folgende:

Diag(a_{1}, ..., a_{m}) · ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{1}a_{11} & ⋯ & a_{1}a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m}a_{m1} & ⋯ & a_{m}a_{mn} \end{matrix} )

sowie

E_{ν,μ}(λ)·( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}& 0 \\ λa_{μ1} & ⋯ & λa_{μn} \\ & 0 \end{matrix} ) {das λ−fache der μ−ten Zeile \atop steht in der ν−ten Zeile}

D_{ν,μ}(λ) · ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} ) = (E + E_{ν,μ}(λ)) · ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{ν1} + λa_{μ1} & ⋯ & a_{νn} + λa_{μn} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} )

Zusammengefaßt läßt sich wegen Hilfsatz 2 sagen:

Der Rang r(A) einer Matrix A ∈ M_{m,n}(K) ändert sich nicht bei folgenden Abänderungen von A :

(I) multiplizieren der Zeilen mit nichtverschwindenden Skalaren a_{1}, ..., a_{n}.

(II) addieren des λ-fachen der μ-ten Zeile zur ν-ten Zeile für beliebige λ ∈ K und ν ≠ μ.

(III) beliebige Vertauschungen von Zeilen (benutze Permutationsmatrizen aus Aufgabe 1 vom Übungsblatt 8)

\underline{Bemerkung}: Eine analoge Aussage gilt für die entsprechenden Spaltenumformungen, da diese der Rechtsmultiplikation mit elementaren Matrizen entsprechen. Analog ändert sich der Rang nicht bei beliebigen Vertauschungen von Spalten.

\underline{Bemerkung}: Jede Permutationsmatrix ist ein Produkt von Elementarmatrizen. Da jede Permutation ein Produkt von Transpositionen ist, führt man dies auf folgende Formel zurück

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) .

25 Eliminationsalgorithmus

Ziel ist, eine gegebene Matrix A ∈ M_{m,n}(K) schrittweise auf folgende Form zu bringen:

(∗) ( \begin{matrix}1 & ∗ & ⋯ & ⋯ & ∗ & ∗ & ∗ & ∗ & ∗ & ⋯ & ∗ & ∗ \\ 0 & 1 & ∗ & & & ∗ & ∗ & & & & & ∗ \\ 0 & 0 & 1 & ∗ & & ⋮ & ⋮ & & & & & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & ... & ⋮ & ⋮ & & & & & ⋮ \\ 0 & & & 0 & 1 & ∗ & ∗ & & & & & ∗ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 1 & ∗ & ∗ & ∗ & ⋯ & ∗ & ∗ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & & & & & 0 \\ ⋮ & & & & & ⋮ & & & & B^{(k)} \\ 0 & & & & & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Die Matrix A sei mittels der Verfahren (I) − (III) angewendet auf Zeilen und Spalten (!) auf die Form (∗) gebracht worden. Ist B^{(k)} ≠ 0, dann kann man A weiter vereinfachen bis das neu entstandene B^{(k′)} verschwindet. k ist dabei die Zahl der Zeilen und Spalten des Blocks links oben, welcher vereinfacht wurde.

Methode: Sei ein Eintrag b_{ij}^{(k)} von B^{(k)} nicht 0, dann vertausche von A die Zeilen k + 1 mit i und die Spalten k + 1 und j. Der Eintrag b_{ij}^{(k)} kommt dadurch an die Stelle k + 1, k + 1. Nun multipliziere die Zeile k + 1, so daß b_{k+1,k+1} = 1 wird und ziehe geeignete Vielfache der k + 1-sten Zeile von den Zeilen k + 2, ..., n ab.

Als Resultat erhält man:

( \begin{matrix}1 & ∗ & ⋯ & ⋯ & ∗ & ∗ & ∗ & ∗ & ∗ & ⋯ & ∗ & ∗ \\ 0 & 1 & ∗ & & & ∗ & ∗ & & & & & ∗ \\ 0 & 0 & 1 & ∗ & & ⋮ & ⋮ & & & & & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & ... & ⋮ & ⋮ & & & & & ⋮ \\ 0 & & & 0 & 1 & ∗ & ∗ & & & & & ∗ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 1 & ∗ & ∗ & ∗ & ⋯ & ∗ & ∗ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 1 & ∗ & ∗ & ⋯ & ∗ & ∗ \\ 0 & & & & & 0 & 0 \\ ⋮ & & & & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & & & & & 0 & 0 & & & B^{(k′)} \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Zusammenfassung: Durch obiges Verfahren kann jede Matrix A ∈ M_{m,n}(K) nach endlich vielen Schritten auf die Gestalt

A^{(k)} = ( \begin{matrix}1 & ∗ & ⋯ & ⋯ & ∗ & ∗ & ∗ & ∗ & ∗ & ⋯ & ∗ & ∗ \\ 0 & 1 & ∗ & & & ∗ & ∗ & & & & & ∗ \\ 0 & 0 & 1 & ∗ & & ⋮ & ⋮ & & & & & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & ... & ⋮ & ⋮ & & & & & ⋮ \\ 0 & & & 0 & 1 & ∗ & ∗ & & & & & ∗ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 1 & ∗ & ∗ & ∗ & ⋯ & ∗ & ∗ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & & & & & 0 & 0 & & & & & 0 \\ ⋮ & & & & & ⋮ & ⋮ & & & & & ⋮ \\ 0 & & & & & 0 & 0 & & & & & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \end{matrix} )

mit 0 ≤ k ≤ min(m, n) gebracht werden. k steht dabei für die Zahl der Zeilen und Spalten des Blockes links oben.

Es gilt dabei r(A) = r(A^{(k)}), da die vorgenommenen Umformungen den Rang einer Matrix nicht verändern, wie in §22 und §24 gezeigt wurde.

Fortsetzung der Umformung: Durch elementare Spaltenumformungen kann nun die obige Matrix weiter umgeformt werden, so daß sie die Normalform

N = ( \begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & & & 0 & 0 & & & & & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & & ⋮ & ⋮ & & & & & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & ... & ⋮ & ⋮ & & & & & ⋮ \\ 0 & & & 0 & 1 & 0 & 0 & & & & & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & & & & & 0 & 0 & & & & & 0 \\ ⋮ & & & & & ⋮ & ⋮ & & & & & ⋮ \\ 0 & & & & & 0 & 0 & & & & & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}E^{(k,k)} & 0^{(k,n−k)} \\ 0^{(m−k,k)} & 0^{(m−k,n−k)} \end{matrix} )

erhält. Sei nämlich

B = ( \begin{matrix}1 & b_{12} & b_{13} & ⋯ & ⋯ & b_{1n} \\ 0 & 1 & b_{23} & ⋯ & ⋯ & b_{2n} \\ 0 & 0 & 1 & b_{34} & ⋯ & b_{3n} \\ ⋮ & & ... & ... & & ⋮ \end{matrix} ) ,

dann subtrahiere nacheinander

die b_{12} · (1.Spalte) von der 2. Spalte
die b_{13} · (1.Spalte) von der 3. Spalte
⋮
die b_{1n} · (1.Spalte) von der n. Spalte.

Man erhält die neue Matrix, welche sich nur in der ersten Zeile von B unterscheidet. Sie hat die Gestalt:

B′ = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & b_{23} & ⋯ & ⋯ & b_{2n} \\ 0 & 0 & 1 & b_{34} & ⋯ & b_{3n} \\ ⋮ & & ... & ... & & ⋮ \end{matrix} ) ,

Nun subtrahiere 25. Eliminationsalgorithmus 79

die b_{23} · (2.Spalte) von der 3. Spalte die b_{24} · (2.Spalte) von der 4. Spalte ⋮ die b_{2n} · (2.Spalte) von der n. Spalte.

Iteriert man dieses Verfahren, so erhält man die Matrix N wie oben angegeben. \underline{Bemerkung}: Der Rang der entstehenden Matrix N = ( \begin{matrix}E^{(k,k)} & 0^{(k,n−k)} \\ 0^{(m−k,k)} & 0^{(m−k,n−k)} \end{matrix} ) ist offensichtlich gleich k. \underline{Bemerkung}: Die Methode, welche eine beliebige Matrix A auf Normalform bringt, erlaubt gleichzeitig eine einfache Bestimmung der Lösungsmenge der Gleichung Ax = b. Die oben beschriebene Eliminationsmethode läßt sich wie folgt zusammenfassen: Satz: Sei A ∈ M_{m,n}(K). Dann existieren Matrizen U ∈ Gℓ(m, k) und V ∈ Gℓ(n, K), so daß gilt

U · A · V = ( \begin{matrix}E^{(k,k)} & 0^{(k,n−k)} \\ 0^{(m−k,k)} & 0^{(m−k,n−k)} \end{matrix} )

mit k = Rang(A) = r(A). Zusatz: Hierbei können U und V als Produkt von elementaren Matrizen Diag(a_{1}, ..., a_{n}) und D_{ν,μ}(λ) gewählt werden. Folgerung 1: Jede invertierbare Matrix A ∈ Gℓ(n, K) ist ein Produkt von Elementarmatrizen.

\underline{Beweis}: Unser Algorithmus zeigt, daß Produkte U, V von Elementarmatrizen existieren mit

U · A · V = ( \begin{matrix}E^{(k,k)} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

Aus k = Rang(A) = n folgt

U · A · V = E

oder

A = U^{−1}V^{−1} = (D_{1} ⋯ D_{r})^{−1}(D′_{1} ⋯ D′_{s})^{−1} = D_{r}^{−1} ⋯ D_{1}^{−1}D_{s}^{′−1} ⋯ D_{1}^{′−1}.

Da inverse Elementarmatrizen wieder Elementarmatrizen sind, folgt die Behauptung.

Zur Erinnerung (siehe §24): Sei A ∈ M_{m,n}(K) und U ∈ Gℓ(m, K) und V ∈ Gℓ(n, K). Dann gilt r(A) = r(UA) = r(AV) = r(UAV).

Definition: Zwei Matrizen A_{1} und A_{2} und M_{m,n} heißen \underline{äquivalent}, falls invertierbare Matrizen U ∈ Gℓ(m, k) und V ∈ Gℓ(n, K) existieren, so daß gilt

U · A_{1} · V = A_{2}.

Folgerung 2: Jedes A ∈ M_{m,n}(K) ist äquivalent zu

( \begin{matrix}E^{(k,k)} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

mit k = r(A).

Dies ist nur eine Umformulierung der obigen Sätze mit Hilfe der Definition.

Folgerung 3: Für jede Matrix A in M_{m,n}(K) gilt Spaltenrang gleich Zeilenrang

r(A) = r(A′) .

\underline{Beweis}: Ist A äquivalent zu

( \begin{matrix}E^{(k,k)} & 0^{(k,n−k)} \\ 0^{(m−k,k)} & 0^{(m−k,n−k)} \end{matrix} ) ,

dann ist A′ äquivalent zu

( \begin{matrix}E^{(k,k)} & 0^{(k,m−k)} \\ 0^{(n−k,k)} & 0^{(n−k,m−k)} \end{matrix} ) ,

denn A = UDV impliziert A′ = V′D′U′. Berücksichtige: Die transponierte Matrix einer invertierbaren Matrix sind wieder invertierbar. Es folgt r(A) = k = r(A′).

Folgerung 4: Zwei Matrizen A_{1} und A_{2} in M_{m,n}(K) sind genau dann äquivalent, wenn gilt r(A_{1}) = r(A_{2}).

\underline{Beweis}: Sei A_{1} äquivalent zu A_{2}. Dann gilt r(A_{1}) = r(A_{2}) nach §24. Ist umgekehrt r(A_{1}) = r(A_{2}) = k. Dann existieren invertierbare Matrizen U_{1}, V_{1} bzw U_{2}, V_{2}, so daß

U_{1} · A_{1} · V_{1} = ( \begin{matrix}E^{(k,k)} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) = U_{2} · A_{2} · V_{2}

nach obigem Satz. Also ist

A_{1} = (U_{1}^{−1}U_{2})A_{2}(V_{2}V_{1}^{−1}).

Es folgt A_{2} = UA_{1}V mit U ∈ Gℓ(m, K) und V ∈ Gℓ(n, K) und A_{1} und A_{2} sind äquivalent.

26 ‘Gauß-Bruhat’-Zerlegung

In diesem Abschnitt studieren wir eine Variante der Methode von §25. Wir machen dazu folgende

Annahme: Sei A ∈ M_{n,n}(K) mit r(A) = n.

Behauptung: Dann kann A durch folgende Operationen (i) D_{ν,μ}(λ) von links an A multiplizieren, wobei ν > μ

(ii) Vertauschen von Spalten

(iii) Multiplizieren von Matrizen Diag(a_{1}, ..., a_{n}) von links an A, wobei a_{i} ≠ 0 für alle i = 1, ..., n gilt

auf die Normalform

= ( \begin{matrix}1 & ∗ & ⋯ & ⋯ & ∗ & ∗ \\ 0 & 1 & ∗ & & & ∗ \\ 0 & 0 & 1 & ∗ & & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & & & 0 & 1 & ∗ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

gebracht werden.

\underline{Beweis}: Wir führen dieselbe Konstruktion durch wie bisher. Wir müssen nur überlegen, daß an der ‘kritischen Stelle’ des Arguments alles gut geht:

( \begin{matrix}1 & ∗ & ⋯ & ⋯ & ∗ & ∗ & ∗ & ∗ & ∗ & ⋯ & ∗ & ∗ \\ 0 & 1 & ∗ & & & ∗ & ∗ & & & & & ∗ \\ 0 & 0 & 1 & ∗ & & ⋮ & ⋮ & & & & & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & ... & ⋮ & ⋮ & & & & & ⋮ \\ 0 & & & 0 & 1 & ∗ & ∗ & & & & & ∗ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 1 & ∗ & ∗ & ∗ & ⋯ & ∗ & ∗ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & & & & & 0 \\ ⋮ & & & & & ⋮ & & & & B \\ 0 & & & & & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

\underline{Behauptung}: Es gibt einen nichttrivialen Koeffizienten in der ersten Zeile von B.

\underline{Beweis}: Wäre dies nicht der Fall, dann wäre die k + 1-te Zeile der Matrix = 0 und der Zeilenrang < n (Widerspruch).

Ein Vertauschen von Spalten liefert b_{1,1} ≠ 0. Dann schließt man weiter wie bisher.

\underline{Beachte}: Alle D_{ν,μ}(λ) mit ν > μ in (i) und alle Matrizen in (iii) haben die Gestalt

( \begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & ... & & & & 0 \\ & & & & & . & . & . \\ & & & & * & & & & ... \\ & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & 1 \end{matrix} ) bzw ( \begin{matrix}a_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & ... & & & & 0 \\ & & & & & . & . & . \\ & & & & * & & & & ... \\ & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & a_{n} \end{matrix} )

mit a_{i} ≠ 0 i = 1, ..., n, sind also untere Dreiecksmatrizen.

Lemma: Die Menge der unteren (bzw. oberen) Dreiecksmatrizen mit nichtverschwindenden Diagonaleneinträgen bilden eine Untergruppe der Gruppe Gℓ(n, K).

Insbesondere sind inverse von unteren Dreiecksmatrizen wieder untere Dreiecksmatrizen.

(ohne Beweis)

Satz (Gauß-Bruhat-Zerlegung): Jede Matrix A ∈ Gℓ(n, K) läßt sich nach geeigneter Vertauschung von Spalten als Produkt U · V einer unteren und oberen Dreiecksmatrix

( \begin{matrix}∗ \\ & . & . & . \\ & & & & ... & & & & 0 \\ & & & & & . & . & . \\ & & & & * & & & & ... \\ & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & ∗ \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}∗ \\ & . & . & . \\ & & & & ... & & & & * \\ & & & & & . & . & . \\ & & & & 0 & & & & ... \\ & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & ∗ \end{matrix} )

schreiben.

\underline{Beweis}: Der Beweis folgt aus dem oben beschriebenen Eliminationsverfahren und aus folgender Beobachtung: Seien U, A ∈ M_{n,n}(K) und A = (a_{1} ⋯ a_{n}) habe die Spaltenvektoren a_{1}, ..., a_{n} ∈ K^{n}. Dann gilt

U · A = U · (a_{1} ⋯ a_{n}) = (U · a_{1} ⋯ U · a_{n})

Die Spaltenvektoren von U ·A sind also die Vektoren U ·a_{n}, ..., U ·a_{n}. Dies zeigt, daß Spaltenvertauschung mit Linksmultiplikation von Matrizen kommuliert.

Folgerung : Im obigen Eliminationsverfahren kann ich also alle Spaltenvertauschungen sofort auf A anwenden (dies gibt eine neue Matrix, sagen wir Ã) und anschließend alle Operationen vom Typ (i) und (iii) durchführen.

Da die Operationen (i) und (iii) Linksmultiplikation mit unteren Dreiecksmatrizen sind, kann man diese zu einer einzigen Multiplikation mit einer geeigneten unteren Dreiecksmatrix Ũ zusammenfassen (Lemma!). Es folgt

Ũ · Ã = V oder Ã = Ũ^{−1} · V.

Setzt man U = Ũ^{−1}, dann ist dies wieder eine untere Dreiecksmatrix (Lemma). Es folgt

Ã = U · V.

q.e.d.

27 Matrizen und Abbildungen (II)

Sei nun V ein K–Vektorraum versehen mit einer festen Basis B = b_{1}, …, b_{n}. Die Abbildung

\begin{aligned}M_{B} : & V & ⟶^{≃} & K^{n} \\ & v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}b_{i} & ⟼ & ( λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} ) \end{aligned}

welche jedem Vektor v ∈ V seine B-Koordinaten zuordnet, ist offensichtlich ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung bildet die Standardbasis e_{1}, .., e_{n} von K^{n} auf B ab.

M_{B}^{−1}(e_{i}) = b_{i} ∀i = 1, ..., n

Sei nun W ein zweiter K–Vektorraum mit Basis B′ = b′_{1}, …, b′_{n} und

φ : V → W

eine K–lineare Abbildung. Wir wollen dann φ wieder eine Matrix zuordnen. Dies geschieht wie folgt. Wir betrachten das Diagram

V  ⟶^{φ}  W
M_{B} ↓ ≅  ≅ ↓M_{B′}
K^{n}  ⟶^{M_{B′}∘φ∘M_{B}^{−1}} K^{m}

Die Idee ist es – nicht φ sondern – die K–lineare Abbildung

M_{B′} ∘ φ ∘ M_{B}^{−1} : K^{n} ⟶ K^{m}

zu beschreiben. Letzterer entspricht nach §19 einer Matrix, welche wir

M_{BB′}(φ) ∈ M_{m,n}(K)

nennen wollen. Identifiziert man diese Matrix wieder mit der dazugehörenden Abbildung in Hom_{K}(K^{n}, K^{m}), dann gilt:

M_{BB′}(φ) = M_{B′} ∘ φ ∘ M_{B}^{−1}.

Offensichtlich gilt für Vektorräume U, V, W mit Basen B, B′, B” der folgende

Satz: : Seien U ⟶^{φ} V und V ⟶^{ψ} W K–lineare Abbildungen. Dann gilt

M_{B′B”}(ψ) · M_{BB′}(φ) = M_{BB”}(ψ ∘ φ)

\underline{Beweis}:

M_{B′B”}(ψ) · M_{BB′}(φ) = (M_{B”} ∘ ψ ∘ M_{B′}^{−1}) ∘ (M_{B′} ∘ φ ∘ M_{B}^{−1})
= M_{B”} ∘ (ψ ∘ φ) ∘ M_{B}^{−1} = M_{BB”}(ψ ∘ φ) .

\underline{Direkte Beschreibung der Matrix}: Schließlich findet man auf Grund der Definition die folgende ”direkte”Beschreibung von M_{BB′}(φ) :

M_{BB′}(φ) = ( M_{B′}(φ(b_{1})) ⋯ M_{B′}(φ(b_{n})) )

\underline{Beweis}: Die Abbildung M_{BB′}(φ) = M_{B′}∘φ∘M_{B}^{−1} bildet den Standardbasisvektor e_{i} ab auf die i-te Spalte der Matrix. Dies ist

(M_{B′} ∘ φ ∘ M_{B}^{−1})(e_{i}) = (M_{B′} ∘ φ)(b_{i}) = M_{B′}(φ(b_{i}))

28 Basiswechsel

In diesem Abschnitt soll untersucht werden, wie sich bei festem φ : V → W die zugehörige Matrix M_{BB′}(φ) ∈ M_{m,n}(K) ändert, wenn man die Basen B bzw. B′ abändert.

\underline{Zur Erinnerung}: B ist Basis von V, B′ ist Basis von W.

V  ⟶^{φ}  W
M_{B} ↓ ≅  ≅ ↓M_{B′}
K^{n}  ⟶^{M_{B′}∘φ∘M_{B}^{−1}} K^{m}

Wir wollen nun M_{BB′}(φ) = M_{B′} ∘ φ ∘ M_{B}^{−1} schreiben.

Wählt man nun eine andere Basis C resp. C′ von V resp. W, dann gilt:

M_{CC′}(φ) = M_{C′} ∘ φ ∘ M_{C}^{−1} = M_{C′} ∘ M_{B′}^{−1} ∘ (M_{B′} ∘ φ ∘ M_{B}^{−1}) ∘ M_{B} ∘ M_{C}^{−1}

= M_{C′} ∘ M_{B′}^{−1} ∘ M_{BB′}(φ) ∘ M_{B} ∘ M_{C}^{−1} .

Im Spezialfall V = W, B = B′ und C = C′ setze T := M_{C} ∘ M_{B}^{−1}

\xymatrix{K^{n} \ar[rr]^{T} \ar[dr]_{M_{B}^{−1}}^{≃} & & K^{n} \\ & V \ar[ur]_{M_{C}}^{≃}} .

Dann gilt T ∈ Gℓ(n, K) sowie

M_{CC}(φ) = T ∘ M_{BB}(φ) ∘ T^{−1} .

Dies beschreibt die Änderung der Matrix des Endomorphismus φ : V → V beim Übergang von der Basis B zur Basis C. Die Matrix T heißt \underline{Basiswechselmatrix}.

\underline{Bemerkung}: Um von Matrizen N und M aus M_{n,n}(K) zu zeigen, daß eine Matrix T ∈ Gℓ(n, K) existiert mit

N = T MT^{−1}

genügt es also nach obigen Ausführungen zu wissen, daß N und M als Matrixdarstellung ein und desselben Endomorphismus φ ∈ End(V) zu verschiedenen Basen C und B von V aufgefaßt werden können. Dies werden wir uns in §39 und §40 zu Nutzen machen!

Determinantentheorie

29 Determinantenfunktionen

Die Fläche der Raute [v_{1}, v_{2}] in der Ebene ℝ^{2} ist \underline{scherungsinvariant} D(v_{1}, v_{2}) = D(v_{1}, v_{2} + λv_{1})

[figure: v_{1}; v_{2}; v_{2} + λv_{1}; ∘; ∘; ∘]

hat die \underline{Entartungseigenschaft} D(v_{1}, v_{1}) = 0 und erfüllt die \underline{Skalierungseigenschaft} D(λv_{1}, v_{2}) = λD(v_{1}, v_{2}) und D(v_{1}, μv_{2}) = μD(v_{1}, v_{2})

[figure: v_{1}; v_{2}; μv_{2}; ∘; ∘]

Betrachtet man einen ‘orientierten’ Flächenbegriff, dann gilt dies für \underline{alle} λ ∈ ℝ.

Ähnliche Eigenschaften gelten für das orientierte Volumen eines dreidimensionalen Spates [v_{1}, v_{2}, v_{3}] im ℝ^{3}.

[figure: v_{1}; v_{2}; v_{3}; ∘; ∘; ∘]

Sei V ein n-dimensionaler K–Vektorraum und K ein beliebiger (!) Körper. Obige Eigenschaften motivieren folgenden Begriff eines verallgemeinerten orientierten Volumens.

Definition: Eine \underline{Determinantenfunktion} auf V ist eine Funktion D : V^{n} → K

V^{n} ∋ v_{1}, ..., v_{n} ↦ D(v_{1}, ..., v_{n}) ∈ K

mit der Eigenschaft

(D1) D(..., v_{i}, ...) ist linear in v_{i} bei fester Wahl von v_{1}, ..., v_{i−1}, v_{i+1}, ..., v_{n} für alle i = 1, ..., n.

D(..., λv_{i} + μv′_{i}, ...) = λD(..., v_{i}, ...) + μD(..., v′_{i}, ...)

(D2) (Entartungseigenschaft) Für v_{i} = v_{j} und i ≠ j gilt D(..., v_{i}, ..., v_{j}, ...) = 0.

\underline{Intuitiv}: Für V = ℝ^{3} sollte |D(v_{1}, v_{2}, v_{3})| etwas mit dem Volumen des Spates [v_{1}, v_{2}, v_{3}] zu tun haben.”

Lemma (Orientierungseigenschaft): Determinantenfunktionen sind \underline{alternierend}, d.h. es gilt

D(v_{σ(1)}, ..., v_{σ(n)}) = sign(σ) · D(v_{1}, ..., v_{n})

für alle σ ∈ S_{n} und alle v_{1}, .., v_{n} ∈ V. Eine andere Bezeichnung für alternierend ist \underline{schiefsymmetrisch}.

\underline{Beweis}: Da S_{n} von Transpositionen erzeugt wird, genügt es zu zeigen

D(..., v_{i}, ..., v_{j}, ...) = −D(..., v_{j}, ..., v_{i}, ...).

Dazu setze wir zum einfacheren Schreiben A(v, w) := D(..., v, ..., w, ...). A(v, w) ist K–linear in v bei festem w und K–linear in w bei festem v. Es gilt außerdem A(v, v) = A(w, w) = 0. Es folgt

0 = A(v + w, v + w)
= A(v, v + w) + A(w, v + w)
= A(v, v) + A(v, w) + A(w, v) + A(w, w)
= A(v, w) + A(w, v)

Daraus folgt sofort A(v, w) = −A(w, v) und damit die Behauptung.

Nun wollen wir die Eigenschaften von Determinantenfunktionen diskutieren.

\underline{Zuerst zur Eindeutigkeit}:

Sei v_{i} = ∑_{j=1}^{n} λ_{j}^{i} · b_{j}, mit den Koordinaten λ_{j}^{i} ∈ K (bezüglich einer festen Basis

b_{1}, ..., b_{n} von V). Dann ist

D(v_{1}, ..., v_{n})  =  D(∑_{j_{1}=1}^{n} λ_{j_{1}}^{1} · b_{j_{1}}, ..., ∑_{j_{n}=1}^{n} λ_{j_{n}}^{n} · b_{j_{n}})

=  ∑_{j_{1}=1}^{n} λ_{j_{1}}^{1} · D(b_{1}, ∑_{j_{2}=1}^{n} λ_{j_{2}}^{2} · b_{j_{2}}, ..., ∑_{j_{n}=1}^{n} λ_{j_{n}}^{n} · b_{j_{n}})

=  ∑_{j_{1}=1}^{n} λ_{j_{1}}^{1} ∑_{j_{2}=1}^{n} λ_{j_{2}}^{2} · D(b_{j_{1}}, b_{j_{2}}, ..., ∑_{j_{n}=1}^{n} λ_{j_{n}}^{n} · b_{j_{n}})
=  ∑_{1≤j_{1},...,j_{n}≤n} λ_{j_{1}}^{1} ⋯ λ_{j_{n}}^{n} · D(b_{j_{1}}, ..., b_{j_{n}})
=  ∑_{{1≤j_{1},...,jn≤n \atop alle paarw. versch.}} λ_{j_{1}}^{1} ⋯ λ_{j_{n}}^{n} · D(b_{j_{1}}, ..., b_{j_{n}})
=  ∑_{σ∈S_{n}} λ_{σ(1)}^{1} ⋯ λ_{σ(n)}^{n} · D(b_{σ(1)}, ..., b_{σ(n)})
=^{alternierend} ∑_{σ∈S_{n}} λ_{σ(1)}^{1} ⋯ λ_{σ(n)}^{n} · sign(σ) · D(b_{1}, ..., b_{n})

=  c(D) · ( ∑_{σ∈S_{n}} λ_{σ(1)}^{1} ⋯ λ_{σ(n)}^{n}sign(σ))

mit c(D) = D(b_{1}, ..., b_{n}) ∈ K.

Eine Bemerkung zu dieser Rechnung: Wegen (D2) tragen nur Multiindices (j_{1}, .., j_{n}) mit paarweise verschiedenen Einträgen bei. Solche sind gerade von der Gestalt (j_{1}, .., j_{n}) = (σ(1), .., σ(n)) für Permutationen σ ∈ S_{n}.

Folgerung: Je zwei Determinantenfunktionen D_{1} und D_{2} sind proportional.

Folgerung: Sind b_{1}, ..., b_{n} linear unabhängig in V und ist D eine nicht identisch verschwindende Determinantenfunktion auf V, dann gilt

D(b_{1}, ..., b_{n}) ≠ 0.

\underline{Beweis}: Wäre c(D) = D(b_{1}, ..., b_{n}) = 0, folgt aus obiger Formel

D(v_{1}, ...v_{n}) = 0

für alle Vektoren v_{1}, .., v_{n} und somit D = 0 im Widerspruch zur Annahme.

\underline{Intuitiv besagt letzteres}: Sind v_{1}, v_{2}, .., v_{n} linear unabhängig in ℝ^{n}, dann ist das verallgemeinerte Volumen des n-Spats [v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}] nicht null.

\underline{Nun zur Existenz von Determinantenfunktionen}:

Sei b_{1}, ..., b_{n} eine festgewählte Basis von V mit v_{i} = ∑_{j=1}^{n} λ_{j}^{i} · b_{j}. Dann definiert

D(v_{1}, ..., v_{n}) := ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ)λ_{σ(1)}^{1} ⋯ λ_{σ(n)}^{n} .

eine Funktion mit den Eigenschaften (D1) und (D2):

Offensichtlich ist D linear als Funktion der Koordinaten λ_{1}^{i}, ..., λ_{n}^{i} des Vektors v_{i} – bei fester Wahl der anderen λ_{j}^{k} für k ≠ i – denn in jedem Summand kommt nur jeweils ein einziger Term vom Typ λ_{∗}^{i} (mit Hochindex i) vor. Also ist D linear in den Koordinaten des Vektors v_{i} und D erfüllt die Eigenschaft (D1).

Andererseits erfüllt D auch Eigenschaft (D2): Sei nämlich v_{i} = v_{j} für i ≠ j. Es bezeichne dann τ die Transposition der Ziffern i, j. Durchläuft σ die geraden Permutationen in A_{n} ⊂ S_{n}, dann durchläuft σ ∘ τ die ungeraden Permutationen mit negativem Signum. Beachte dazu sign(στ) = sign(σ)sign(τ) = −sign(σ) wegen sign(τ) = −1. Daraus folgt das Verschwinden des Ausdrucks

D(v_{1}, ..., v_{n}) = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) · ∏_{k=1}^{n} λ_{σ(k)}^{k}

= ∑_{σ∈A_{n}} (sign(σ) · ∏_{k=1}^{n} λ_{σ(k)}^{k} + sign(στ) · ∏_{k=1}^{n} λ_{στ(k)}^{k})
= ∑_{σ∈A_{n}} sign(σ) · ∏_{k≠i,j} λ_{σ(k)}^{k} · (λ_{σ(i)}^{i} · λ_{σ(j)}^{j} − λ_{σ(j)}^{i} · λ_{σ(i)}^{j})

Benutze die Gleichungen λ_{σ(i)}^{i} = λ_{σ(i)}^{j} und λ_{σ(j)}^{i} = λ_{σ(j)}^{j} und das Kommutativgesetz. Beachte, die Annahme v_{i} = v_{j} impliziert Koordinatengleichheit λ_{k}^{i} = λ_{k}^{j} für alle k = 1, .., n.

30 Das Volumen

Definition: Sei [v_{1}, ..., v_{n}] der von Vektoren v_{1}, ..., v_{n} ∈ ℝ^{n} aufgespannte Spat. Dann definieren wir das \underline{Volumen} des n-Spats als den Absolutbetrag

vol[v_{1}, ..., v_{n}] = | ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) ∏_{i=1}^{n} λ_{σ(i)}^{i}|

Diese Definition erfüllt die \underline{Skalierungseigenschaft}, die \underline{Scherungseigenschaft} (siehe Bilder) und die \underline{Entartungseigenschaft} (D2), wie man dies von der Anschauung für den Volumenbegriff erwarten würde. Dies läßt sich leicht aus (D1) und (D2) ableiten! Zum Beispiel gilt D(v_{1}, v_{2}+λv_{1}) = D(v_{1}, v_{2})+λD(v_{1}, v_{1}) = D(v_{1}, v_{2}). Umgekehrt kann man auch zeigen, daß die drei genannten Typen von geometrischen Eigenschaften – allerdings in Form einer orientierten Skalierungseigenschaft wie sie nach Weglassen der Betragsstriche gilt – die Eigenschaften (D1) und (D2) implizieren und somit sogar äquivalent zu den Eigenschaften (D1) und (D2) sind.

\underline{Beispiel}: Sei V := ℝ^{2}. Wähle Vektoren v_{1} := ( \begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix} ) und v_{2} := ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) und sei

b_{1}, b_{2} die Standardbasis. Dann gilt

D(v_{1}, v_{2}) = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ)λ_{σ(1)}^{1}λ_{σ(2)}^{2}

= sign(id) · x′ · y + sign((12)) · y′ · x = x′ · y − y′ · x .

Die Fläche der Raute [v_{1}, v_{2}] ist damit gleich

|x′y − y′x| .

31 Der Determinantenhomomorphismus

In diesem Abschnitt wollen wir in vollkommener Analogie zum Vorgehen in §4 den Determinantenhomomorphismus

det : Gℓ(V) → K^{∗}

einführen.

\underline{Vorbemerkung}: Sei V ein endlich dimensionaler K–Vektorraum mit Basis b_{1}, ..., b_{n} und einer festen nichttrivialer Determinantenfunktion D(v_{1}, ..., v_{n}), zum Beispiel

D(v_{1}, ..., v_{n}) = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ)λ_{σ(1)}^{1} ⋯ λ_{σ(n)}^{n}.

Für jeden Endomorphismus φ : V → V ist dann

D_{φ}(v_{1}, ..., v_{n}) := D (φ(v_{1}), ..., φ(v_{n}))

wieder eine Determinantenfunktion: Offensichtlich ist D_{φ} wieder multilinear (D1) und erfüllt (D2). Also ist nach §29 D_{φ} proportional zu D. Es gibt also eine Konstante c = c(φ), so daß für alle v_{1}, ..., v_{2} ∈ V gilt

D_{φ}(v_{1}, ..., v_{n}) = c(φ) · D(v_{1}, ..., v_{n}) .

Die Konstante c(φ) ist unabhängig von der Wahl von D. Ist nämlich D′ = λ · D und λ ≠ 0, dann ist D′_{φ} = λ · D_{φ}. Also gilt c′(φ) = c(φ), da D ≠ 0.

\underline{Die Determinante}: Die so definierte Zahl c(φ) beschreibt die Veränderung des orientierten Volumens unter der Abbildung φ. Diese Zahl aus K nennt man die \underline{Determinante} det(φ) des Endomorphismus φ. Wählt man v_{1}, ..., v_{n} linear unabhängig (beliebig), dann ist nach D(v_{1}, .., v_{n}) ≠ 0 und man erhält

det(φ) = \frac{D(φ(v_{1}),...,φ(v_{n}))}{D(v_{1},...,v_{n})}

für eine beliebige, nichttriviale Determinantenfunktion D. \underline{Beachte}: Dies ist insbesondere auch unabhängig von der spezifischen Wahl der v_{i}, und hängt somit nur von φ ab.

\underline{Übungsaufgabe}: Vergleiche mit der Definition von sign(σ) in §4.

Lemma: Für φ ∈ Gℓ(n, K) gilt det(φ) ≠ 0.

\underline{Beweis}: Sind v_{1}, .., v_{n} linear unabhängig, dann auch φ(v_{1}), .., φ(v_{n}). Nach §29 gilt daher D (φ(v_{1}), ..., φ(v_{n})) ≠ 0 und somit auch det(φ) ≠ 0.

Lemma: Es gilt

det(φ ∘ ψ) = det(φ) · det(ψ)

für alle Endomorphismen φ, ψ von V.

\underline{Beweis}:

det(φ ∘ ψ) · D(v_{1}, ..., v_{n}) = D((φ ∘ ψ)(v_{1}), ..., (φ ∘ ψ)(v_{n}))
= D(φ(ψ(v_{1})), ..., φ(ψ(v_{n})))
= det(φ) · D(ψ(v_{1}), ..., ψ(v_{n}))
= det(φ) · det(ψ) · D(v_{1}, ..., v_{n})

Für linear unabhängige v_{1}, ..., v_{n} gilt D(v_{1}, ..., v_{n}) ≠ 0 und daher folgt die Behauptung.

Folgerung: Die zugehörige Abbildung det : Gℓ(V) → K^{∗} , welcher einem Automorphismus φ seine Determinante zuordnet, ist ein Gruppenhomomorphismus. Der Kern ist die Untergruppe Sl(V) aller Automorphismen φ mit det(φ) = 1.

Folgerung: Es gilt det(id_{V}) = 1 sowie det(φ^{−1}) = det(φ)^{−1} für alle φ ∈ Gl(V) .

32 Matrixdeterminanten

Im Spezialfall V = K^{n} ist eine K-lineare Abbildung φ : V → V durch eine Matrix M gegeben. Wir schreiben dann auch det(M) anstelle von det(φ). Aus der Definition ergibt sich unmittelbar die Formel

det(M) = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) ∏_{i=1}^{n} M_{σ(i),i}

Dies erhält man, wenn man für b_{1}, ..., b_{n} die Standardbasis wählt und die Determinantenfunktion D so, daß gilt D(b_{1}, ..., b_{n}) = 1. Dann ist nämlich (wenn m_{i} die Spalten von M bezeichne):

det(M) = D(m_{1}, ..., m_{n}).

Folgerung 1: Die Determinante einer Matrix ändert beim Vertauschen von 2 Spalten ihr Vorzeichen.

\underline{Beweis}: Siehe das Lemma von §29.

Folgerung 2: Multipliziert man die i-te Spalte einer Matrix M mit einer Zahl a ∈ K, dann ist die Determinante der so erhaltenen Matrix das a-fache der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Folgerung 3: Addiert man in einer Matrix ein Vielfaches der i-ten Spalte zur j-ten Spalte, so ändert sich die Determinante nicht im Fall i ≠ j.

\underline{Beweis}: Die letzten beiden Folgerungen ergeben sich aus

D(..., m_{i}, ..., m_{j} + λm_{i}, ...) = D(..., m_{i}, ..., m_{j}, ...) + D(..., m_{i}, ..., λm_{i}, ...)
= D(..., m_{i}, ..., m_{j}, ...) + λD(..., m_{i}, ..., m_{i}, ...)
= D(..., m_{i}, ..., m_{j}, ...) + 0

32. Matrixdeterminanten 99 Satz: Für die transponierte Matrix gilt det(M′) = det(M). \underline{Beweis}:

det(M′) = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) ∏_{i=1}^{n} M_{i,σ(i)}
=^{i=σ^{−1}(j)} ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) ∏_{j=1}^{n} M_{σ^{−1}(j),j}
=^{τ=σ^{−1}}  ∑_{τ∈S_{n}} sign(τ^{−1}) ∏_{j=1}^{n} M_{τ(j),j}
= ∑_{τ∈S_{n}} sign(τ) ∏_{j=1}^{n} M_{τ(j),j}
= det(M),

unter Benutzung von sign(τ^{−1}) = sign(τ)^{−1} = sign(τ).

Folgerung 4: Die Aussagen der obigen Folgerungen gelten auch für Zeilen anstelle von Spalten.

Dreiecksmatrizen

33 Dreiecksmatrizen

Für eine Reihe von Anwendungen braucht man folgende Identität:

Satz:

det ( \begin{matrix}a & ∗ & ⋯ & ∗ \\ 0 \\ ⋮ & & B \\ 0 \end{matrix} ) = a · det(B)

\underline{Beweis}: Da alle Einträge mit σ(1) ≠ 1 wegen M_{σ(1),1} = 0 verschwinden gilt

det(M) = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) ∏_{i=1}^{n} M_{σ(i),i} = ∑_{{σ∈Sn \atop σ(1)=1}} sign(σ) ∏_{i=1}^{n} M_{σ(i),i} .

Die Menge aller Permutationen σ mit σ(1) = 1 kann mit den Permutationen der n − 1-elementigen Menge {2, ..., n} identifiziert werden. Es folgt

det(M) = ∑_{σ∈S_{n−1}} sign(σ)M_{11} ∏_{i=2}^{n} M_{σ(i),i} = M_{11} · det(B) .

Folgerung: Für eine obere Dreiecksmatrix M, d.h. M_{μ,ν} = 0 für μ > ν, gilt

det(M) = M_{11} · M_{22} · ... · M_{nn} = ∏_{i=1}^{n} M_{ii}.

Folgerung:

(i) det (Diag(a_{1}, ..., a_{n})) = ∏_{i=1}^{n} a_{i} für beliebige a_{i} ∈ K.

(ii) det (D_{νμ}(λ)) = 1 für alle ν ≠ μ \underline{Beweis}: Diag(a_{1}, ..., a_{n}) und D_{νμ}(λ) für μ > ν sind obere Dreiecksmatrizen. Für D_{νμ}(λ) mit μ < ν reduziert man die Aussage durch Transponieren auf den bekannten Fall.

\underline{Folgerung}: Für die Determinante einer unteren Dreiecksmatrix M, d.h. M_{μν} = 0 für μ < ν gilt

det(M) = M_{11} · M_{22} · ... · M_{nn} = ∏_{i=1}^{n} M_{ii}.

\underline{Beweis}: det(M) = det(M′) = ∏_{i=1}^{n} M′_{ii} = ∏_{i=1}^{n} M_{ii}

34 Vandermonde-Determinante

Die Determinante der Vandermonde-Matrix

V (x_{1}, ..., x_{n}) = ( 1 x_{1} x_{1}^{2} ⋯ x_{1}^{n−1} ; 1 x_{2} x_{2}^{2} ⋯ x_{2}^{n−1} ; ⋮ ; 1 x_{n} x_{n}^{2} ⋯ x_{n}^{n−1} )

ist gerade die Diskriminante Δ(x_{1}, .., x_{n}) = ∏_{1≤i<j≤n}(x_{j} − x_{i}). Satz: det(V (x_{1}, .., x_{n})) = Δ(x_{1}, .., x_{n}) . \underline{Beweis}: Im ersten Schritt wollen wir die 1. Zeile von allen Zeilen subtrahieren, dabei ändert sich die Determinante nicht. Man erhält

det(V (x_{1}, .., x_{n})) = det ( 1  x_{1}  x_{1}^{2}  ⋯  x_{1}^{n−1} ; 0 x_{2} − x_{1} x_{2}^{2} − x_{1}^{2} ⋯ x_{2}^{n−1} − x_{1}^{n−1} ; ⋮ ; 0 x_{n} − x_{1} x_{n}^{2} − x_{1}^{2} ⋯ x_{n}^{n−1} − x_{1}^{n−1} ) .

Dies ist wegen der Dreiecksgestalt gleich

det ( x_{2} − x_{1} x_{2}^{2} − x_{1}^{2} ⋯ x_{2}^{n−1} − x_{1}^{n−1} ; ⋮ ; x_{n} − x_{1} x_{n}^{2} − x_{1}^{2} ⋯ x_{n}^{n−1} − x_{1}^{n−1} ) .

Nun wendet man Folgerung 4 aus §32 auf jede Zeile an und erhält

∏_{j>1}(x_{j} − x_{1}) · det ( \begin{matrix}1 & x_{2} + x_{1} & x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} & ⋯ & ∑_{i=0}^{n−2} x_{1}^{n−2−i}x_{2}^{i} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & x_{k} + x_{1} & x_{1}^{2} + x_{1}x_{k} + x_{k}^{2} & ⋯ & ∑_{i=0}^{n−2} x_{1}^{n−2−i}x_{k}^{i} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & x_{n} + x_{1} & x_{1}^{2} + x_{1}x_{n} + x_{n}^{2} & ⋯ & ∑_{i=0}^{n−2} x_{1}^{n−2−i}x_{n}^{i} \end{matrix} ) .

In der verbleibenden Determinante subtrahiert man nun nacheinander des x_{1}- fache der i-ten Spalte von der i + 1-ten Spalte beginnend von rechts und man 34. Vandermonde-Determinante 104 erhält

∏_{j>1}(x_{j} − x_{1}) · det ( 1 x_{2} x_{2}^{2} ⋯ x_{2}^{n−2} ; 1 x_{3} x_{3}^{2} ⋯ x_{3}^{n−2} ; ⋮ ; 1 x_{n} x_{n}^{2} ⋯ x_{n}^{n−2} ) .

Dies zeigt det (V (x_{1}, ..., x_{n})) = ∏_{j>1}(x_{j} − x_{1}) · det (V (x_{2}, ..., x_{n})). Somit folgt per Induktion die Behauptung.

35 Determinantenkriterium für Regularität

Satz: Für M ∈ M_{n,n}(K) sind äquivalent:

(i) rang(M) = n (ii) det(M) ≠ 0 \underline{Beweis}: Zu jedem M ∈ M_{n,n}(K) existieren Matrizen U, V ∈ Gℓ(n, K) mit

UMV = ( \begin{matrix}E^{r,r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

mit r = rang(M) nach §25. Rechts steht eine obere Dreiecksmatrix. Aus §33 folgt daher

det ( \begin{matrix}E^{r,r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) = \{ \begin{matrix}1 & r = n \\ 0 & r < n \end{matrix} .

Da U, V invertierbar sind, folgt aus §31 sofort det(U) ≠ 0 und det(V) ≠ 0. Wegen

det(U) · det(M) · det(V) = det ( \begin{matrix}E^{r,r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

folgt also

det(M) = 0 ⟺ det ( \begin{matrix}E^{r,r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ⟺ r = rang(M) < n.

Zusammenfassung: Für M ∈ M_{n,n}(K) sind äquivalent:

(i) rang(M) = n (ii) det(M) ≠ 0 (iii) M ∈ Gℓ(n, K), d.h. M ist invertierbar (iv) M ist bijektiv

(v) M ist injektiv (vi) M ist surjektiv (vii) Das lineare Gleichungssystem M · x = y mit x, y ∈ K^{n} besitzt für jede

Wahl von y genau eine Lösung x.

36 Laplacescher Entwicklungssatz

Seien m_{1}, ..., m_{n} die n Spaltenvektoren einer Matrix M ∈ M_{n,n}(K). Wir betrachten die Determinante einer Matrix als Funktion der i-ten Spalte (1 ≤ i ≤ n fest). Sei x ein Spaltenvektor im K^{n}. Die Funktion

L(x) := det(m_{1} ... m_{i−1} x m_{i+1} ... m_{n})

ist linear in der Vektorvariable x. Daher gilt

L(x) = ∑_{j=1}^{n} L(e_{j})x_{j},

wobei

x = ∑_{j=1}^{n} x_{j}e_{j} (e_{1}, ..., e_{n} Standardbasis)

und

L(e_{j}) = det ( \begin{matrix}M_{1,1} & ⋯ & M_{1,i−1} & 0 & M_{1,i+1} & ⋯ & M_{1,n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ M_{j,1} & ⋯ & M_{j,i−1} & 1 & M_{j,i+1} & ⋯ & M_{j,n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ M_{n,1} & ⋯ & M_{n,i−1} & 0 & M_{n,i+1} & ⋯ & M_{n,n} \end{matrix} )

= (−1)^{i−1}det ( \begin{matrix}0 & M_{1,1} & ⋯ & M_{1,i−1} & M_{1,i+1} & ⋯ & M_{1,n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & M_{j,1} & ⋯ & M_{j,i−1} & M_{j,i+1} & ⋯ & M_{j,n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & M_{n,1} & ⋯ & M_{n,i−1} & M_{n,i+1} & ⋯ & M_{n,n} \end{matrix} )

= (−1)^{i−1}(−1)^{j−1}det ( \begin{matrix}1 & ∗ & ⋯ & ∗ & ∗ & ⋯ & ∗ \\ 0 & M_{1,1} & ⋯ & M_{1,i−1} & M_{1,i+1} & ⋯ & M_{1,n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & M_{j−1,1} & ⋯ & M_{j−1,i−1} & M_{j−1,i+1} & ⋯ & M_{j−1,n} \\ 0 & M_{j+1,1} & ⋯ & M_{j+1,i−1} & M_{j+1,i+1} & ⋯ & M_{j+1,n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & M_{n,1} & ⋯ & M_{n,i−1} & M_{n,i+1} & ⋯ & M_{n,n} \end{matrix} )

= (−1)^{i+j}det ( \begin{matrix}M_{1,1} & ⋯ & M_{1,i−1} & M_{1,i+1} & ⋯ & M_{1,n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ M_{j−1,1} & ⋯ & M_{j−1,i−1} & M_{j−1,i+1} & ⋯ & M_{j−1,n} \\ M_{j+1,1} & ⋯ & M_{j+1,i−1} & M_{j+1,i+1} & ⋯ & M_{j+1,n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ M_{n,1} & ⋯ & M_{n,i−1} & M_{n,i+1} & ⋯ & M_{n,n} \end{matrix} )

= (−1)^{i+j} · det ( \begin{matrix}Matrix, welche aus M durch \\ Streichen der i-ten Spalte und \\ der j-ten Zeile entsteht \end{matrix} )
:= M̃_{ij}

Setzt man für x jetzt x = m_{i} beziehungsweise x = m_{k} (i ≠ k) ein, erhält man

L(m_{i}) = det(m_{1}, ..., m_{i}, ..., m_{n}) = det(M)

beziehungsweise

L(m_{k}) = det(m_{1}, ..., m_{k}, ...m_{i−1}, m_{k}, m_{i+1}, ..., m_{n}) = 0,

da der Rang der Matrix (m_{1}, ..., m_{k}, ..., m_{k}, ..., m_{n}) echt kleiner als n ist. Beachtet man noch x_{j} = M_{ji} bzw. x_{j} = M_{jk} für x = m_{i} bzw. x = m_{k}, folgt

\begin{matrix}L(x) = & ∑_{j=1}^{n} L(e_{j})x_{j} = ∑_{j=1}^{n} M̃_{ij}x_{j} \\ L(m_{i}) = & ∑_{j=1}^{n} M̃_{ij}M_{ji} = det(M) \\ L(m_{k}) = & ∑_{j=1}^{n} M̃_{ij}M_{jk} = 0 \end{matrix} \} (∗)

Definition: Die \underline{Komplementärmatrix} M̃ von M ist definiert als Matrix mit den Einträgen

M̃_{ij} = (−1)^{i+j} · det ( \begin{matrix}Matrix, welche aus M durch \\ Streichen der i-ten Spalte und \\ der j-ten Zeile entsteht \end{matrix} )

Die Gleichungen (∗) schreiben sich dann in der Form Satz: Für die Komplementärmatrix M̃ von M gilt:

M̃ · M = det(M) · E

Korollar: Im Fall det(M) ≠ 0 gilt

M^{−1} = det(M)^{−1} · M̃.

Einen Spezialfall der obigen Formel det(M) · E = M̃ · M nennt man \underline{Laplacescher Entwicklungssatz}:

det(M) = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{i+j}det ( \begin{matrix}Matrix, welche aus M durch \\ Streichen der i-ten Spalte und \\ der j-ten Zeile entsteht \end{matrix} ) · M_{ji}

Man nennt dies auch die Entwicklung nach der i-ten Spalte der Matrix. Es handelt sich dabei um den Spezialfall det(M) = ∑_{j=1}^{n} M̃_{ij}M_{ji} der Formeln (∗).

37 Cramersche Regel

Gegeben sei ein n × n lineares Gleichungssystem

M · x = b

mit einer invertierbaren Matrix M. Das heißt es gilt det(M) ≠ 0. Gesucht ist eine Formel für die Komponenten x_{i} des Lösungsvektors x.

Satz: Es gilt

x_{i} = \frac{det ( \begin{matrix}m_{1,1} & ⋯ & m_{1,i−1} & b_{1} & m_{1,i+1} & … & m_{1,n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ m_{n,1} & ⋯ & m_{n,i−1} & b_{n} & m_{n,i+1} & … & m_{n,n} \end{matrix} )}{det(M)}.

In der oberen Matrix wurde der i-te Spaltenvektor durch den Vektor b ersetzt.

\underline{Beweis}: Da M nach Annahme invertierbar ist, gilt für x = M^{−1}·b. Da det(M) ≠ 0 ist, gilt nach §36

x_{i} = (M^{−1} · b)_{i} = det(M)^{−1} ∑_{j=1}^{n} M̃_{ij}b_{j} .

Durch Entwicklung nach der i-ten Spalte (Laplacescher Entwicklungssatz) stimmt dies überein mit

det(M)^{−1} · det ( \begin{matrix}m_{1,1} & ⋯ & m_{1,i−1} & b_{1} & m_{1,i+1} & … & m_{1,n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ m_{n,1} & ⋯ & m_{n,i−1} & b_{n} & m_{n,i+1} & … & m_{n,n} \end{matrix} ) .

38 Das charakteristische Polynom

Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und es sei φ : V → V ein Endomorphismus von V. Dann definiert

χ_{φ}(x) = det(x · id − φ)

eine Funktion der Variable x ∈ K, das \underline{charakteristische Polynom}.

In der Tat ist diese Funktion polynomial vom Grad n = dim_{K}(V).

\underline{Beweis}: Durch Wahl einer Basis gilt obdA V = K^{n} und der Endomorphismus φ wird durch eine Matrix M ∈ M_{n,n}(K) gegeben. Somit gilt

χ_{φ}(x) = χ_{M}(x) = det(x · E − M) .

Die rechte Seite ist eine Summe mit #S_{n} Summanden, welche jeweils Produkte von n Koeffizienten der Matrix x · E − M sind. Jeder Faktor ist vom Grad 0 oder 1 (konstant außerhalb der Diagonale). Somit ist χ_{M}(x) polynomial in x vom Grad ≤ n.

Bemerkung : Der Term vom höchsten Grad n des charakteristischen Polynoms kommt vom Summand (x−M_{11})·...·(x−M_{nn}), welcher zur trivialen Permutation σ ∈ S_{n} gehört. Es folgt

χ_{M}(x) = x^{n} + niedere x − P otenzen .

Bemerkung: Da das charakteristische Polynom von φ und nicht von der Wahl einer Basis abhängt, folgt sofort χ_{M}(x) = χ_{T MT^{−1}}(x). Hierbei ist T die Basiswechselmatrix. Wir geben für diese fundamentale Eigenschaft des charakteristischen Polynoms im nächsten Lemma einen zweiten Beweis.

Definition: Zwei Matrizen M, N ∈ M_{n,n}(K) heißen \underline{konjugiert}, wenn eine invertierbare Matrix T ∈ Gℓ(n, K) existiert mit

N = T · M · T^{−1}.

In diesem Fall schreiben wir N ∼^{k} M. Analog heißen zwei Endomorphismen φ, ψ ∈ End(V) konjugiert, wenn es einen Automorphismus τ ∈ Gl(V) gibt mit

ψ = τ ∘ φ ∘ τ^{−1} .

\underline{Bemerkung}: Offensichtlich definiert dies eine Äquivalenzrelation auf den Matrizen in M_{n.n}(K) (resp. analog den Endomorphismen in End(V)):

(i) N ∼^{k} N

(ii) N ∼^{k} M ⇒ M ∼^{k} N

(iii) N ∼^{k} M, M ∼^{k} L ⇒ N ∼^{k} L

Lemma: Konjugierte Endomorphismen haben das gleiche charakteristische Polynom.

\underline{Beweis}:

χ_{τ∘φ∘τ^{−1}}(x) = det(x · id − τ ∘ φ ∘ τ^{−1})
= det(τ ∘ x · id ∘ τ^{−1} − τ ∘ φ ∘ τ^{−1})
= det(τ ∘ (x · id − φ) ∘ τ^{−1})
= det(τ) · det(x · id − φ) · det(τ^{−1})
= det(x · id − φ)
= χ_{φ}(x)

Beispiel: Wir berechnen nun das charakteristische Polynom einer oberen Dreiecksmatrix.

χ( \begin{matrix}a_{11} & & & & ∗ \\ & . & . & . \\ 0 & & & & a_{nn} \end{matrix} )(x) = det(( \begin{matrix}x − a_{11} & & & & ∗ \\ & . & . & . \\ 0 & & & & x − a_{nn} \end{matrix} )) =^{§33} ∏_{i=1}^{n}(x − a_{ii})

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind also in diesem Fall genau die Diagonaleneinträge der Dreiecksmatrix. Insbesondere zerfällt das charakteristische Polynom bereitsüber dem Körper K vollständig in Linearfaktoren.

Definition: Eine Matrix M ∈ M_{n,n}(K) heißt \underline{trigonalisierbar} bzw. \underline{diagonalisierbar}, falls sie konjugiert ist zu einer oberen Dreiecksmatrix bzw. Diagonalmatrix.

Folgerung: Ist M trigonalisierbar (oder diagonalisierbar), dann zerfällt χ_{M}(X) über dem Körper K in ein Produkt von Linearfaktoren.

\underline{Beweis}: Aus

M ∼^{k} ( \begin{matrix}a_{11} \\ & . & . & . \\ & & & & a_{nn} \end{matrix} )

folgt wegen der Konjugationsinvarianz des charakteristischen Polynoms

χ_{M}(X) = χ( \begin{matrix}a_{11} \\ & . & . & . \\ & & & & a_{nn} \end{matrix} )(X) = ∏_{i=1}^{n}(X − a_{ii}) .

Die Umkehrung dieser Aussage beweisen wir im nächsten Kapitel mit Hilfe der Theorie der Eigenvektoren.

Appendix

\underline{Hinweis}: Um nicht erklären zu müssen, wie man mit Matrizen rechnet, deren Einträge Unbestimmte sind, haben wir das charakteristische Polynom χ_{φ}(x) als eine polynomiale Funktion der Variable x ∈ K mit Werten in K aufgefasst

K ∋ x ↦ χ_{φ}(x) ∈ K .

Im allgemeinen ist ein formales Polynom aber nicht durch seine Funktionswerte eindeutig bestimmt. Dieses Problem tritt aber nur für endliche Körper K auf. Beispiel: f(X) = X^{3} + X ist als Funktion im Körper K = {0, 1} mit zwei Elementen identisch Null, obwohl es als formales Polynom nicht verschwindende Koeffizienten in K besitzt.

Lemma: Sei #K = ∞, dann gilt: Stimmen zwei formale Polynome P (X) und Q(X) für alle Einsetzungen x ∈ K überein, dann sind die Koeffizienten der beiden Polynome P (X) und Q(X) gleich.

\underline{Beweis} : Sei die Differenz f(X) = P (X) − Q(X) ein Polynom vom Grad < n

f(X) = ∑_{i=1}^{n} a_{i} · X^{i−1} = a_{1} + a_{2} · X + ...a_{n} · X^{n−1}

(für gewisse a_{i} ∈ K.) Nach Annahme gilt dann f(x) = 0 für alle x ∈ K. Wähle n paarweise verschiedene Elemente x_{1}, ..., x_{n} in K. Wir behaupten

f(x_{1}) = ... = f(x_{n}) = 0 ⇒ f(X) = 0 .

Die linke Seite definiert nämlich folgendes lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten a_{i} des Polynoms f(X)

V (x_{1}, ..., x_{n}) · ( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} ) = ( f(x_{1} ; ⋮ ; f(x_{n}) ) = 0.

Die Vandermonde-Matrix V (x_{1}, ..., x_{n}) ist nach §33) invertierbar. Daraus folgt a_{1} = ⋯ = a_{n} = 0. Man erhält daher f(X) = 0 beziehungsweise wie behauptet P (X) = Q(X) (koeffizientenweise Gleichheit).

\underline{Folgerung}: Falls der Körper K unendliche viele Elemente enthält, gibt es keinen Unterschied zwischen formalen Polynomen und polynomialen Funktionen. Somit sind die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms in diesem Fall durch die Funktionswerte χ_{φ}(x), x ∈ K eindeutig bestimmt.

39 Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition: Ein Vektor v ≠ 0 heißt \underline{Eigenvektor} eines Endomorphismus φ : V → V, falls eine Zahl λ ∈ K existiert, so daß gilt:

φ(v) = λ · v (Eigenvektorgleichung) .

Die Zahl λ ∈ K ist dann eindeutig bestimmt und heißt \underline{Eigenwert} von φ zum Eigenvektor v.

\underline{Beweis der Eindeutigkeit}: Aus φ(v) = λ_{1} · v = λ_{2} · v folgt (λ_{1} − λ_{2}) · v = 0. Daraus folgt λ_{1} = λ_{2} wegen v ≠ 0.

\underline{Bezeichnung}: V (λ) := \{v ∈ V | φ(v) = λ · v\} nennt man den \underline{Eigenraum} des Endomorphismus φ zum Eigenwert λ.

Aus der Definition folgt, daß V (λ) der Kern der linearen Abbildung φ − λ · id ist. Um die Eigenvektoren zu bestimmen, muß man also zuerst alle möglichen Eigenwerte bestimmen und dann die Kerne der Abbildungen φ−λ·id berechnen. Die Eigenwerte sind aber gereade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms χ_{φ}(x), wie das nächste Lemma zeigt.

Lemma:

1. V (λ) = Kern(λ · id − φ) Insbesondere ist V (λ) ein Untervektorraum von V.

2. V (λ) ≠ {0} genau dann, wenn λ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms χ_{φ}(x) ist, d.h. χ_{φ}(λ) = 0.

3. Ein Vektor v ≠ 0 in V ist ein Eigenvektor von φ genau dann, wenn v in einem der Räume V (λ) liegt.

\underline{Beweis}: 3. ist offensichtlich eine Umschreibung der Definition.

1. v ∈ V (λ) ⟺ φ(v) = λv ⟺ (λid − φ)(v) = 0 ⟺ v ∈ Kern(λid − φ)

2. V (λ) ≠ {0} ⟺ Kern(λid − φ) ≠ {0} ⟺ λid − φ nicht bijektiv ⟺ χ_{φ}(λ) = det(λid − φ) = 0. Siehe §35.

Folgerung: Es gibt höchstens dim_{K}(V) verschiedene Eigenwerte λ von φ ∈ End(V).

\underline{Beweis}: Der Vandermondeschluß im Appendix des vorigen Kapitels §38 zeigt: Jedes Polynom vom Grad ≤ n hat höchstens n paarweise verschiedene Nullstellen in einem Körper K. Insbesondere hat also χ_{φ}(X) höchstens dim_{K}(V) verschiedene Nullstellen (= Eigenwerte).

Gegeben sie eine n × n Matrix mit Einträgen in K. Weiterhin sei #K = ∞. Gesucht ist eine Basis B, bezüglich der die Matrix M Dreiecksgestalt oder sogar Diagonalengestalt besitzt. Zur Erinnerung: In diesem Fall hieß M \underline{trigonalisierbar} bzw. \underline{diagonalisierbar}.

Satz: Eine Matrix M ∈ M_{n,n}(K) ist genau dann trigonalisierbar, wenn ihr charakteristisches Polynom χ_{M}(x) sich als Produkt von Linearfaktoren

χ_{M}(x) = ∏_{i=1}^{n}(x − λ_{i}) , λ_{i} ∈ K

schreiben läßt.

\underline{Beweis}: Gegeben sei eine Matrix M ∈ M_{n,n}(K) und λ_{1}, ..., λ_{n} ∈ K, so daß χ_{M}(K) = ∏_{i}(X − λ_{i}). Wähle ein λ_{i} und einen dazugehörigen Eigenvektor v_{i}.

Wähle eine Basis b_{1}, ..., b_{n} so, daß b_{1} = v_{i}. Es folgt für diese Basis

M_{B,B}(M) = ( \begin{matrix}λ_{i} & ∗ & ⋯ & ∗ \\ 0 \\ ⋮ & & M_{n−1} \\ 0 \end{matrix} ) ,

da M_{b_{1}} = λ_{i}v_{i} + 0b_{2} + ⋯ + 0b_{n}. Die Dreiecksungleichung impliziert

χ_{M}(X) = (X − λ_{i}) · χ_{M_{n−1}}(X).

Aus der Annahme an χ_{M}(X) folgt somit χ_{M_{n−1}}(X) = ∏_{j≠i}(X − λ_{j}), da beide für

unendlich viele Einsetzungen X ≠ λ_{i} aus K denselben Wert haben. Somit ist per Induktion M_{n−1} bereits trigonalisierbar. D.h. ändert man b_{2}, ..., b_{n} zu einer geeigneten Basis b′_{2}, ..., b′_{n} ab, dann erhält M_{n−1} Dreiecksgestalt. Bezüglich der neuen Basis v_{i}, b′_{2}, ..., b′_{n} hat M also Dreiecksgestalt:

M_{B,B}(M) = ( \begin{matrix}λ_{i} & & & & & * \\ & λ_{?} \\ & & . & . & . \\ 0 & & & & & λ_{?} \end{matrix} ) .

Für eine geeignete Basiswechselmatrix T (vgl. §21) folgt somit

T MT^{−1} = ( \begin{matrix}λ_{i} & & & & & * \\ & λ_{?} \\ & & . & . & . \\ 0 & & & & & λ_{?} \end{matrix} ) .

q.e.d.

Wie man sieht, kann man die Eigenwerte in beliebig vorgegebener Reihenfolge in die Diagonale bringen.

Satz: Für K = ℂ ist jede Matrix M ∈ M_{n,n}(ℂ) trigonalisierbar.

\underline{Beweis}: Da nach dem Fundamentalsatz der Algebra jedes Polynom mit Koeffizienten in ℂ ein Produkt von Linearfaktoren (Mit Koeff. in ℂ) ist, folgt dies aus dem letzten Satz.

\underline{Achtung}: Dies ist für andere Körper nicht immer möglich: Die Matrix

( \begin{matrix}cos θ & sin θ \\ − sin θ & cos θ \end{matrix} )

ist für 0 < θ < 180^{∘} und K = ℝ nicht trigonalisierbar. Ihre Eigenwerte sind λ_{1/2} = cos(θ) ± i sin(θ) und liegen daher nicht in ℝ:

Über K = ℂ ist die obige Matrix dagegen sogar diagonalisierbar! Sei e_{1}, e_{2} die Standardbasis von ℂ^{2}. Definiere b_{1} := e_{1} + ie_{2} und b_{2} := e_{1} − ie_{2}. Dann gilt

M(b_{1}) = (cos θe_{1} − sin θe_{2}) + i(sin θe_{1} + cos θe_{2})
= (e_{1} + ie_{2})(cos θ + i sin θ)
= λ_{1} · b_{1}
M(b_{2}) = (cos θe_{1} − sin θe_{2}) − i(sin θe_{1} + cos θe_{2})
= (e_{1} − ie_{2})(cos θ + i sin θ)
= λ_{2} · b_{2}

Bezüglich der Basis b_{1}, b_{2} erhält also ( \begin{matrix}cos θ & sin θ \\ − sin θ & cos θ \end{matrix} ) die Gestalt

( \begin{matrix}cos θ + i sin θ & 0 \\ 0 & cos θ − i sin θ \end{matrix} ) .

40 Diagonalisierbarkeit

Satz: Sei M ∈ M_{n,n}(K) und seien λ_{1}, ..., λ_{n} ∈ K \underline{paarweise verschiedene} Eigenwerte von M. Dann gilt:

(1) χ_{M}(X) = ∏_{i=1}^{n}(X − λ_{i})

(2) M ist diagonalisierbar.

\underline{Hilfssatz}: Seien λ_{1}, ..., λ_{n} ∈ K \underline{paarweise verschiedene} Eigenwerte eines Endomorphismus M und v_{1}, ..., v_{n} zugehörige Eigenvektoren, dann sind v_{1}, ..., v_{n} linear unabhängig.

\underline{Beweis}: Gegeben sei eine K-lineare Relation

(∗) c_{1}v_{1} + ... + c_{n}v_{n} = 0

der Länge N (= Anzahl der Koeffizienten c_{i} ≠ 0). Wir müssen zeigen N = 0 und geben einen Widerspruchsbeweis.

Sei N ≥ 1. Dann kann die gegebene Relation der Länge N zu einer Relation der Länge N − 1 verkürzt werden. Iteriert liefert dies eine Relation der Länge 1 (von der Form 0 + c_{j}v_{j} + 0 = 0 mit c_{j} ≠ 0). Dies impliziert v_{j} = 0 im Widerspruch zur Annahme v_{j} ≠ 0 (Eigenvektorbedingung).

\underline{Die Längenreduktion}: M angewendet auf die Gleichung (∗) liefert wegen M(v_{i}) = λ_{i}v_{i} die Gleichung

(A) λ_{1}c_{1}v_{1} + ... + λ_{n}c_{n}v_{n} = 0 .

Sei N ≥ 1 und obdA c_{1} ≠ 0. Multiplizieren wir (∗) mit λ_{1}

(B) λ_{1}c_{1}v_{1} + ... + λ_{1}c_{n}v_{n} = 0 ,

dann liefert die Differenz der Gleichungen (A) − (B) die neue Relation

(∗∗) 0 + (λ_{2} − λ_{1})c_{2}v_{2} + ... + (λ_{n} − λ_{1})c_{n}v_{n} = 0 .

\underline{Beachte}: Da λ_{1}, ..., λ_{n} paarweise voneinander verschieden sind, sind alle Koeffizienten (λ_{i} − λ_{1}) ≠ 0. Somit ist (∗∗) eine Relation der Länge N − 1.

\underline{Beweis des Satzes}: Seien v_{1}, ..., v_{n} zugehörige Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ_{1}, ..., λ_{n}. Die Vektoren v_{1}, ..., v_{n} sind n linear unabhängige Vektoren in K^{n} wegen des Hilfssatzes. Also ist v_{1}, ..., v_{n} eine Basis B des K^{n}. Bezüglich dieser Basis gilt

M_{B,B}(M) = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & & 0 \\ & λ_{2} \\ & & . & . & . \\ 0 & & & & & λ_{n} \end{matrix} ) .

Die Matrix ist somit diagonalisierbar. Außerdem gilt trivialerweise

χ_{M}(X) = ∏_{i=1}^{n}(X − λ_{i}).

Folgerung: Seien M, N ∈ M_{n,n}(K) und seien λ_{1}, ..., λ_{n} paarweise verschiedene Eigenwerte sowohl von M als auch von N. Dann sind M und N konjugiert.

\underline{Beweis}: Aus obigem Satz folgt die Existenz einer invertierbaren Matrix T ∈ Gℓ(n, K) mit T · M · T^{−1} = diag(λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n}) und analog die Existenz einer invertierbaren Matrix S ∈ Gℓ(n, K) mit S · M · S^{−1} = diag(λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n}). Es folgt M = RNR^{−1} mit R = T^{−1}S.

Bilinearformen und quadratische Formen

41 Bilinearformen

Seien V, W zwei K–Vektorräume (möglicherweise auch unendlich dimensional). Eine Funktionen

\begin{aligned}B : & V × W & → & K \\ & (v, w) & ↦ & B(v, w) \end{aligned}

heißt Bilinearform, falls B in der ersten Variable K–linear ist bei fester zweiter Variable und umgekehrt. Das heißt wir fordern

\begin{aligned}(1) & B(λv + μv′, w) & = λB(v, w) + μB(v′, w) \\ (2) & B(v, λw + μw′) & = λB(v, w) + μB(v, w′) \end{aligned} .

für alle λ, μ ∈ K und alle v, v′ ∈ V, w, w′ ∈ W. Sind V′ ⊂ V und W′ ⊂ W K-Untervektorräume, dann ist die Einschränkung einer Bilinearform auf V × W eine Bilinearform auf V′ × W′.

Beispiele:

(1) Die Determinante B(v, w) = det ( ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \end{matrix} ) ) = v_{1}w_{2} − v_{2}w_{1} ist

bilinear auf V = W = K^{2}.

(2) V = W = K^{n}, das Skalarprodukt B(x, y) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}

(3) W = V^{⋆}, B(v, v^{⋆}) = v^{⋆}(v) =< v^{⋆}, v > (die kanonische Paarung)

(4) Ist B(v, w) eine Bilinearform B : V ×W, dann ist auch B̃(w, v) := B(v, w) eine Bilinearform B̃ : W × V → K.

(5) W = V = ℝ-Vektorraum aller stetigen Funktionen auf [a, b]. B(f, g) :=

∫_{a}^{b} f(t)g(t)dt ∈ ℝ definiert eine Bilinearform.

(6) V = W = M_{n,n}(K). Dann definiert B(X, Y) = Spur(X · Y) eine Bilinearform.

41. Bilinearformen 122 Definition: Eine Bilinearform heißt \underline{nichtausgeartet}, wenn gilt:

\begin{aligned}(I) & ∀v ∈ V & : B(v, w) = 0 & ⇒ w = 0 \\ (II) & ∀w ∈ W & : B(v, w) = 0 & ⇒ v = 0 \end{aligned}

\underline{Bemerkung}: B(0, w) = 0 = B(v, 0) ist wegen der Linearität immer erfüllt. \underline{Beispiel}: B ist nichtausgeartet in den Beispielen (1),(2),(3),(5),(6). Definition: Im Fall v = W heißt eine Bilinearform \underline{symmetrisch}, wenn gilt

B(v, w) = B(w, v)

für alle v ∈ V und w ∈ W. Gilt B(v, w) = −B(w, v) heißt die Form \underline{alternierend}. \underline{Beispiel}: B ist symmetrisch in den Beispielen (2),(5) und (6). Im Fall (1) genau dann wenn 2 = 0 gilt in K.

42 Matrixbeschreibung

Seien nun V und W endlich dimensionale K-Vektorräume. Seien b_{1}, ..., b_{n} und b′_{1}, ..., b′_{m} Basen von V respektive W. Für eine Bilinearform

B : V × W → K

auf den K–Vektorräumen V und W gilt

B(x, y) = B(∑_{i=1}^{n} x_{i}b_{i}, ∑_{j=1}^{m} y_{j}b′_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} x_{i}B(b_{i}, b′_{j})y_{j} .

Die dadurch festgelegte Matrix

S = (B(b_{i}, b′_{j}))_{{i=1,...,n \atop j=1,...,m}}

ist durch B eindeutig bestimmt. Wir erhalten B(v, w) =< v, w >_{S} mit

< x, y >_{S} = x′ · S · y = (x_{1}, ..., x_{n}) · S · ( y_{1} ; ⋮ ; y_{m} ) .

Umgekehrt liefert diese Formel für jedes S ∈ M_{n,m}(K) eine Bilinearform <, >_{S} auf V × W. Es folgt

Lemma: Die obige Zuordnung stiftet eine Bijektion zwischen den Bilinearformen auf V × W und den Matrizen S in M_{n,m}(K). Zwei Bilinearformen sind gleich dann und nur dann, wenn die zugeordneten Matrizen S übereinstimmen.

Zusatz: Eine Form ist nichtausgeartet genau dann wenn n = m gilt und die zugehörige Matrix S invertierbar ist.

\underline{Beweis des Zusatzes}: Nichtausgeartet bedeutet x′S = 0 ⇒ x = 0 und Sy = 0 ⇒ y = 0, oder wegen S′x = (x′S)′ dazu äquivalent: S′ und S sind injektiv. Die impliziert einerseits n ≤ m und m ≤ n, also n = m und dann wegen der Dimensionsformel auch die Surjektivität – d.h dann Bijektivität – von S. Ist umgekehrt S bijektiv, dann gilt det(S) = det(S′) ≠ 0, also sind S und S′ bijektiv und insbesondere injektiv.

Satz: Sei < , > : V × V → K eine Bilinearform und b_{1}, ..., b_{n} eine Basis von V. Dann ist

< y, x >_{S} = < x, y >_{S′}

und < , > _{S} genau dann symmetrisch, wenn die Matrix S = (< b_{1}, b_{j} >) eine symmetrische Matrix S = S′ ist.

\underline{Beweis}: < y, x >_{S}= y′ · S · x = (y′ · S · x)′ = x′ · S′ · y =< x, y >_{S′}.

Analog entsprechen alternierende Bilinearformen antisymmetrischen Matrizen.

\underline{Basiswechsel}: Bei fester Wahl der Basen B und B′ kann man also auf diese Weise die Bilinearformen auf V × W mit den n × m Matrizen aus M_{n,m}(K) identifizieren. Im Fall V = K^{n} und W = K^{m} hat man eine kanonische Basiswahl, die Standardbasen. Im allgemeinen muß man willkürliche Basen wählen. Es ist daher von Interesse, wie die Matrix S von der Wahl der Basen abhängt. Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf den Fall V = W und B = B′. Sei also V = W und b_{1}, ..., b_{n} eine Basis von V. Die < , > zugehörige Matrix sei

S = (< b_{1}, b_{j} >) .

Sei b̃_{1}, ..., b̃_{n} eine andere Basis von V mit zugehöriger Matrix

S̃ = (< b̃_{1}, b̃_{j} >) .

Der (inverse) Basiswechsel sei gegeben durch b̃_{i} = ∑_{j=1}^{n} T_{ij}b_{j}.

Lemma: Für einen \underline{Basiswechsel} T = (T_{ij}) ∈ Gℓ(n, ℝ) wie oben gilt

S̃ = T · S · T′

\underline{Beweis}: Aus < b̃_{i}, b̃_{j} > = < ∑_{k=1}^{n} T_{ik}b_{k}, ∑_{l=1}^{n} T_{jl}b_{l} > = ∑_{k,l} T_{ik} < b_{k}, b_{l} > T′_{lj} folgt wegen T_{jl} = T′_{lj} unmittelbar die gesuchte Matrixgleichung S̃ = T · S · T′.

42. Matrixbeschreibung 125 Achtung: ‘Bilinearformen’ transformieren sich also anders als ‘Homomorphismen’ bei Basiswechsel.

43 Quadratische Formen

In diesen Paragraph sei K ein Körper mit 2 ≠ 0 und V ein K–Vektorraum.

Jeder \underline{symmetrischen Bilinearform} < , > : V ×V → K wird durch Einschränken auf die Diagonale die folgende \underline{quadratische Form} q(v) =< v, v >

q : V → K

zugeordnet. Für diese quadratische Form gilt offensichtlich

q(λv) = λ^{2}q(v)

für λ ∈ K und v ∈ V.

\underline{Polynomdarstellung}: Sei V = K^{n} und < v, w >=< v, w >_{S}. Die zugeordnete quadratische Form q(x) = q_{S}(x) schreibt sich als ein homogenes quadratisches Polynom mit Koeffizienten λ_{ij}, i ≤ j aus K

q(x) = < x, x >_{S} = x′ · S · x = ∑_{i,j} x_{i}S_{ij}x_{j}

= ∑_{i=j} x_{i}S_{ij}x_{j} + 2 ∑_{i<j} x_{i}S_{ij}x_{j} = ∑_{i≤j} λ_{ij}x_{i}x_{j} = q(x_{1}, ..., x_{n}) .

Ist umgekehrt ein solches homogen quadratisches Polynom in den Unbestimmten x_{1}, ..., x_{n} und den Koeffizienten λ_{ij} Koeffizienten aus K gegeben

q(x_{1}, ..., x_{n}) = ∑_{i≤j} λ_{ij}x_{i}x_{j} λ_{ij} ∈ K ,

dann definiert man eindeutig dazu die symmetrische Matrix S mit den Diagonaleneinträgen λ_{ii} und Nebendiagonaleinträgen \frac{1}{2}λ_{ij} (i < j). (Hier haben wir die Annahme 2 ≠ 0 benutzt. Die zugehörige symmetrische Bilinearform

< x, y >_{S} = x′ · S · y

auf V = K^{n} liefert dann gerade q(v) =< v, v >_{S}.

\underline{Koordinatenfreier Zugang}: Dieselbe Rechnung in koordinatenfreier Form ist das binomische Gesetz - oder die sogenannte Polarisierungsformel - und zeigt erneut, daß die symmetrische Bilinearform < , > sich vollständig aus der quadratischen Form q rekonstruieren läßt.

Die Binomische Formel: (Polarisierung)

< v, w > = \frac{1}{2} [q(v + w) − q(v) − q(w)]

\underline{Beweis}: Der Beweis benutzt die Symmetrie von < , > sowie \frac{1}{2} ∈ K. Aus < v + w, v + w >=< v, v > + < w, v > + < v, w > + < w, w > folgt

q(v + w) − q(v) − q(w) = < v + w, v + w > − < v, v > − < w, w >
= < w, v > + < v, w >
= 2 < v, w >

\underline{Zusammenfassung}: Durch Übergang von der nichtlinearen quadratischen Funktion q(x_{1}, ..., x_{n}) zur zugehörigen symmetrischen Bilinearform definiert durch S wie oben oder definiert durch die Polarisierungsformel (siehe letzte Seite), wird also quadratische Formen q(x) zu einem Objekt der linearen Algebra oder besser gesagt der bilinearen Algebra!

44 Orthogonalbasen

In diesem Paragraph sei wieder \frac{1}{2} ∈ K.

Ziel dieses Abschnittes ist es, zu einer gegebenen symmetrischen Bilinearform

< , > : V × V → K

auf einem endlichdimensionalen K–Vektorraum V eine Basis b_{1}, ..., b_{n} zu finden für die die zugehörige Matrix S Diagonalengestalt besitzt. Eine solche Basis heißt \underline{Orthogonalbasis}. Es gilt dann

< b_{i}, b_{j} > = 0 , ∀ i ≠ j.

Satz: Unter der Annahme \frac{1}{2} ∈ K besitzt jede symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen K–Vektorraum V eine Orthogonalbasis.

Wir benutzen folgende Sprechweise: Der K-Untervektorraum

W^{⊥} := {v ∈ V | < w, v > = 0 ∀w ∈ W }

von V nennt man das \underline{Orthokomplement} von W. Ist W ein K-Untervektorraum von V, dann auch W^{⊥}. Die Bildung des Orthokomplements hängt natürlich von der Wahl der symmetrischen K–Bilinearform < , > auf V ab.

\underline{Beweis des Satzes}: Ist < , > identisch null, dann ist nichts zu zeigen. Sei daher die Bilinearform nicht identisch Null. Wegen der Polarisierungsformel (§28) gibt es dann mindestens einen Vektor v ∈ V mit

q(v) = < v, v > ≠ 0.

Sei Kv der eindimensionale Raum, der von v aufgespannt wird und (Kv)^{⊥} sein Orthokomplement bezüglich der Form < , > .

Lemma: Für < v, v >≠ 0 ist V = Kv ⊕ (Kv)^{⊥} eine direkte Summe.

Wir zeigen zuerst, daß jeder Vektor w ∈ V sich als Summe

w = \frac{< v, w >}{< v, v >} · v + (w − \frac{< v, w >}{< v, v >} · v) = w_{1} + w_{2}

schreibt mit w_{1} ∈ Kv und w_{2} ∈ (Kv)^{⊥}. w_{1} ∈ Kv ist klar und w_{2} ∈ (Kv)^{⊥} ist auch klar wegen

< v, w_{2} > = < v, w > −\frac{< v, w >}{< v, v >}· < v, v > = 0.

Man erhält also

V = Kv + (Kv)^{⊥}.

Andererseits ist Kv ∩ (Kv)^{⊥} = {0} wegen < v, v >≠ 0. Also ist die Summe direkt und die Behauptung bewiesen.

\underline{Den Beweis des Satzes vollendet man nun wie folgt}:

Da die Dimension von (Kv)^{⊥} echt kleiner als die Dimension von V ist, besitzt (Kv)^{⊥} per Induktion bereits eine Orthogonalbasis b_{1}, ..., b_{n−1} (bzgl. der Einschränkung von < , > ). Die gewünschte Orthogonalbasis von V ist dann b_{1}, ..., b_{n−1}, b_{n} = v, da v nach Konstruktion orthogonal zu allen b_{1}, ..., b_{n−1} ist. q.e.d.

In Matrixsprechweise folgt wegen §42 aus dem letzten Satz das

Korollar: Sei K ein Körper mit \frac{1}{2} ∈ K und sei S = S′ eine symmetrische Matrix in M_{n,n}(K). Dann existiert eine Matrix T ∈ Gℓ(n, K) so daß T ST′ diagonal wird

T · S · T′ = ( \begin{matrix}a_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & a_{n} \end{matrix} ) , a_{1}, .., a_{n} ∈ K .

T ist hierbei die Basiswechselmatrix beim Übergang von der Standardbasis des K^{n} zu einer Orthogonalbasis von S.

44. Orthogonalbasen 130

45 Orthogonale Abbildungen

Sei K ein Körper mit \frac{1}{2} ∈ K.

Lemma 1: Für symmetrische K-Bilinearformen < , >_{V} und < , >_{W} auf K–Vektorräumen V resp. W sei q_{V} (v) =< v, v >_{V} und q_{W} (w) =< w, w >_{W}. Für eine K-lineare Abbildung φ : V → W sind dann folgende Eigenschaften äquivalent

(i) Längenerhaltung: q_{W} (φ(v)) = q_{V} (v) ∀v ∈ V.

(ii) Winkelerhaltung: < φ(v), φ(w) >_{W} = < v, w >_{V} ∀v, w ∈ V

(iii) < φ(b_{i}), φ(b_{j}) >_{W} = < b_{i}, b_{j} >_{V} ∀b_{i}, b_{j} einer V -Basis b_{1}, ..., b_{n}.

\underline{Beweis}: (iii) ⇒ (ii): < φ(v), φ(v′) >_{W} ist eine symmetrische Bilinearform auf V, welche nach (iii) dieselbe Matrix S bezüglich der Basis b_{1}, .., b_{n} besitzt wie < v, v′ >_{V}. Daraus folgt die Gleichheit der Bilinearformen, also Aussage (ii). Die Implikation (ii) ⇒ (i) folgt indem man v = w setzt. (i) ⇒ (iii) folgt durch Polarisierung: 2· < φ(b_{i}), φ(b_{j}) >_{W} ist

< φ(b_{i} + b_{j}), φ(b_{i} + b_{j}) >_{W} − < φ(b_{i}), φ(b_{i}) >_{W} − < φ(b_{j}), φ(b_{j}) >_{W}

und 2· < b_{i}, b_{j} >_{V} ist

< b_{i} + b_{j}, b_{i} + b_{j} >_{V} − < b_{i}, b_{i} >_{V} − < b_{j}, b_{j} >_{V} .

Nach der Annahme (i) stimmen die rechten Seiten beider Formeln überein. Somit sind die linken Seiten gleich. Daraus folgt (iii).

Definition: Eine Abbildung φ : V → W, welche eine der drei äquivalenten Eigenschaften (i)-(iii) erfüllt, nennt man eine \underline{Isometrie} (bezgl. < , >_{V} und < . >_{W}).

Definition: Ist V = W und < ., . >_{V} =< ., . >_{W} eine symmetrische Bilinearform auf V, dann nennt man eine \underline{bijektive} \underline{Isometrie} φ ∈ Gℓ(V) auch \underline{orthogonale} Abbildung bezüglich der Bilinearform < , >_{V} . Die Menge der orthogonalen Abbildungen bezeichnen wir mit O_{B}(V).

Lemma 2: O_{B}(V) ist eine Untergruppe von Gℓ(V).

\underline{Beweis}: Offensichtlich ist id ∈ O_{B}(V). Aus φ ∈ O_{B}(V) folgt φ^{−1} ∈ O_{B}(V) wegen < φ(ṽ), φ(w̃) > = < ṽ, w̃ > für ṽ = φ^{−1}(v) und w̃ = φ^{−1}(w). Dies impliziert < v, w > = < φ^{−1}(v), φ^{−1}(w) >. Außerdem sind Produkte von φ, ψ ∈ O_{B}(V) wieder orthogonal φ ∘ ψ ∈ O_{B}(V), denn

< (φ ∘ ψ)(v), (φ ∘ ψ)(w) > = < φ(ψ(v)), φ(ψ(w)) >

=^{φ∈O_{B}(V)} < ψ(v), ψ(w) > =^{ψ∈O_{B}(V)} < v, w > .

Lemma 3:(Matrixkriterium) Ist V = K^{n} und < v, w >_{V} = v′Sw für eine symmetrische Matrix S = S′, dann ist eine Matrix M eine Isometrie genau dann wenn gilt

M′ · S · M = S .

\underline{Beweis}: Die beiden Bilinearformen < M(v), M(w) >_{V} = (Mv)′S(Mw) = v′M′SMw =< v, w >_{M′SM} und < v, w >_{V} = v′Sw =< v, w >_{S} stimmen genau dann überein, wenn gilt M′SM = S.

Lemma 4: Sei S = S′ eine symmetrische invertierbare Matrix in M_{n,n}(K). Dann ist jede Isometrie M : K^{n} → K^{n} der Bilinearform < v, w >_{S} ist invertierbar und erfüllt det(M) ∈ {±1}.

\underline{Beweis}: Aus dem Matrixkriterium folgt durch Determinantenbildung

det(M′) · det(S) · det(M) = det(S) .

Wegen det(M′) = det(M) und det(S) ≠ 0 (letzteres nach Annahme) folgt det(M)^{2} = 1 beziehungsweise det(M) = ±1. Insbesondere ist det(M) ≠ 0 und somit M invertierbar. Beachte, daß aus der Annahme \frac{1}{2} ∈ K folgt 1 ≠ −1, und daß das Polynom x^{2} − 1 höchstens zwei verschiedene Nullstellen in K besitzen kann, nämlich dann ±1.

\underline{Bemerkung}: Im allgemeinen ist eine Isometrie nicht notwendigerweise invertierbar. Zum Beispiel ist im Fall S = 0 jede lineare Abbildung M eine Isometrie!

\underline{Definition}: Sei S = S′ eine symmetrische invertierbare Matrix in M_{n,n}(K). Der Kern des Gruppenhomomorphismus

det : O_{S}(n, K) → {−1, 1}

heißt \underline{spezielle orthogonale Gruppe}. Dies definiert eine Untergruppe SO_{S}(n, K) der orthogonalen Gruppe O_{S}(n, K).

\underline{Beispiel}: Im Spezialfall V = ℝ^{2} und S = E ist ein Endomorphismus M in der speziellen orthogonalen Gruppe genau dann wenn gilt

M = ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ) .

Die Spiegelung ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ist zwar orthogonal, hat dagegen Determinante −1.

\underline{Beweis}: Dies folgt aus dem Matrixkriterium M′SM = S oder hier M′M = E wegen S = E. Hat M die reellen Einträge a, b, c, d, dann liefert das Matrixkriterium die Bedingungen: a^{2} + c^{2} = 1, b^{2} + d^{2} = 1 und ab + cd = 0. Mit anderen Worten (a, b) und (c, d) müssen zwei orthogonale Vektoren der Länge 1 in der Ebene ℝ^{2} bilden. Es gibt dann (Analysis!) ein θ mit a = cos θ und c = sin θ. Dann ist notwenig (c, d) proportional zum Normalenvektor (− sin θ, cos θ) von (cos θ, sin θ). Die Matrix M ist also in O(2, ℝ) genau dann wenn

M = ( \begin{matrix}cos θ & λ · (− sin θ) \\ sin θ & λ · cos θ \end{matrix} ) , λ^{2} = 1 ,

und es gilt det(M) = λ.

46 Der Satz von Sylvester

Wir betrachten in den beiden nächsten Paragraphen ausschließlich den Fall des Körpers K = ℝ.

Für eine Orthogonalbasis b_{1}, ..., b_{n} einer symmetrischen K–Bilinearform < , > auf einem Vektorraum V gilt

< b_{i}, b_{j} > = a_{i} · δ_{ij} , a_{i} ∈ K

für alle i, j. Die Form < , > ist nichtausgeartet genau dann wenn gilt a_{i} ∈ K^{∗}. Eine Orthogonalbasis b_{1}, ..., b_{n} heißt \underline{Orthonormalbasis}, falls a_{i} = 1 für alle i.

Ersetzt mit die Vektoren b_{i} einer \underline{Orthogonalbasis} von < , > durch skalare Vielfache λ_{i} · b_{i} erhält wieder eine Orthogonalbasis von < , > . Die ‘neuen Diagonaleinträge ’ sind dann λ_{i}^{2} · a_{i}. Waren alle a_{i} Quadrate in K^{∗}, so kann man auf diese Weise alle ã_{i} zu 1 machen. Mit anderen Worten: λ_{1}b̃_{1}, .., λ_{n}b_{n} bildet dann eine Orthonormalbasis. Etwas allgemeiner zeigt dieser Schluß

Folgerung: Jede nichtausgeartete symmetrische Bilinearform < , > auf V = K^{n} besitzt im Fall K = ℝ eine Orthogonalbasis b_{1}, .., b_{n} mit der Eigenschaft

< b_{i}, b_{j} > = a_{i} · δ_{ij} , a_{i} ∈ {±1} .

Zusatz: Im Fall K = ℂ besitzt < , > sogar eine Orthonormalbasis.

Weiterhin gilt

Sylvester’sche Trägheitssatz: Sei K = ℝ. Dann ist die Anzahl der Vektoren b_{i} mit < b_{i}, b_{i} > = 1 resp < b_{i}, b_{i} > = −1 einer Orthogonalbasis einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform < , > auf ℝ^{n} unabhängig von der Wahl der Orthogonalbasis.

\underline{Beweis}: Seien b_{1}, .., b_{n} und b̃_{1}, .., b̃_{n} Orthogonalbasen mit < b_{i}, b_{i} >= a_{i} und < b̃_{i}, b̃_{i} >= ã_{i}. Sei

a_{i} = 1 für i = 1, .., r und a_{i} = −1 für i = r + 1, .., n

sowie

ã_{i} = 1 für i = 1, .., s und ã_{i} = −1 für i = s + 1, .., n.

Für x ∈ V gilt x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}b_{i} = ∑_{i=1}^{n} y_{i}b̃_{i}. Die Koordinaten y_{i} = L_{i}(x) sind

Linearform in x und es gilt

(∗) \{ \begin{matrix}< x, x > = & x_{1}^{2} + ⋯ + x_{r}^{2} − x_{r+1}^{2} − ⋯ − x_{n}^{2} \\ < x, x > = & L_{1}(x)^{2} + ⋯ + L_{s}(x)^{2} − L_{s+1}(x)^{2} − ⋯ − L_{n}(x)^{2} \end{matrix}

Im Fall r < s besitzen die r + (n − s) = n + (r − s) < n Gleichungen

x_{1} = ⋯ x_{r} = L_{s+1}(x) = ⋯ = L_{n}(x) = 0

mindestens eine nichttriviale Lösung x ≠ 0 (da n Unbekannte x_{i}!). Ein Positivitätsargument zeigt dann wegen der Identität (∗) sofort

x_{r+1} = ⋯ = x_{n} = L_{1}(x) = ⋯ = L_{s}(x) = 0 .

Dies erzwingt x = 0 im Widerspruch zu x ≠ 0. Es folgt r ≤ s und aus Symmetriegründen dann r = s.

\underline{Bemerkung}: Wie der Sylvestersche Trägheitssatz zeigt, besitzt eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform über einem Körper K (mit \frac{1}{2} ∈ K) zwar immer eine Orthogonalbasis aber nicht immer eine Orthonormalbasis.

47 Der Sylvestertyp

Wir wollen ein Kriterium angeben, wann eine gegebene \underline{symmetrische} nichtausgeartete Bilinearform

< , > : V × V → ℝ

auf einem endlich dimensionalen ℝ-Vektorraum eine Orthonormalbasis besitzt.

Sei genauer V = ℝ^{n} mit Standardbasis e_{1}, .., e_{n}. Dann bestimmt die symmetrische Matrix S mit den Einträgen S_{ij} = < e_{i}, e_{j} > die Form < , > eindeutig. Sei 1 ≤ r ≤ n. Die Determinante der r × r Teilmatrix

m_{r}(S) = det ( \begin{matrix}s_{11} & ⋯ & s_{1r} \\ ⋮ & & ⋮ \\ s_{r1} & ⋯ & s_{rr} \end{matrix} )

heißt \underline{r-ter Hauptminor} von S.

\underline{Notation}: Für reelle λ, μ schreiben wir

λ ∼ μ,

falls λ = c · μ für positives c > 0 in ℝ gilt.

Arbeitshypothese: Wir nehmen an für die symmetrische Matrix S = S′ gilt

m_{1}(S) ≠ 0, m_{2}(S) ≠ 0, ..., m_{s}(S) ≠ 0 .

Wir nehmen weiterhin an, es sei r < s ≤ n und wir hätten bereits r Vektoren b_{1}, ..., b_{r} ∈ V konstruiert mit den folgenden Eigenschaften:

ℝb_{1} + ... + ℝb_{ν} = ℝe_{1} + ... + ℝe_{ν}

erzeugen denselben Teilraum V_{ν} ⊂ V für alle ν = 1, .., r. Weiterhin sei b_{1}, .., b_{r} eine Orthogonalbasis von V_{r}

(< b_{i}, b_{j} >) = diag(< b_{1}, b_{1} >, ..., < b_{n}, b_{n} >) .

Schließlich soll gelten

∏_{i=1}^{ν} < b_{i}, b_{i} > ∼ m_{ν}(S)

für alle ν = 1, ..., r.

Wir wollen versuchen einen weiteren Vektor b_{r+1} hinzuzufügen, derart daß die entsprechende Aussage für die Vektoren b_{1}, .., b_{r+1} und r + 1 anstelle von r gilt: Aus der Arbeitshypothese und der Annahmen an b_{1}, ..b_{r} folgt < b_{i}, b_{i} >≠ 0 für alle i = 1, .., r da ansonsten ein m_{j}(S) Null sein müsste.

\underline{Ansatz}: Der Vektor

b_{r+1} := e_{r+1} − ∑_{i=1}^{r} \frac{< b_{i}, e_{r+1} >}{< b_{i}, b_{i} >} · b_{i}

ist daher wohldefiniert. Nach Konstruktion gilt dann

ℝb_{1} + ... + ℝb_{r+1} = ℝe_{1} + ... + ℝe_{r+1} =: V_{r+1}

und b_{1}, ..., b_{r}, b_{r+1} ist eine Orthogonalbasis der Einschränkung der Form < ., . > auf V_{r+1}. Wegen < b_{i}, b_{j} >= δ_{ij} gilt nämlich

< b_{r+1}, b_{j} >=< e_{r+1}, b_{j} > − ∑_{i=1}^{r} \frac{< b_{i}, e_{r+1} >}{< b_{i}, b_{i} >}· < b_{i}, b_{j} >= 0

für alle j = 1, .., r. Die Einschränkung von < , > auf diesen r+1-dimensionalen Raum läßt sich bezüglich beider Basen beschreiben. Bis auf einen Basiswechsel T ∈ Gℓ(r + 1, ℝ) gilt daher

(< b_{i}, b_{j} >) = T · (< e_{i}, e_{j} >) · T′

für 1 ≤ i, j ≤ r + 1. Wegen det(T) · det(T′) = (det(T))^{2} > 0 folgt daraus durch Determinantenbildung

∏_{i=1}^{r+1} < b_{i}, b_{i} > ∼ m_{r+1}(S) ,

da b_{1}, ..., b_{r+1} eine Orthogonalbasis von V_{r+1} ist. Dies zeigt den Induktionsschritt.

Da der Induktionsanfang für b_{1} = e_{1} trivialerweise erfüllt ist folgt

Satz: Sei S = S′ ∈ M_{n,n}(ℝ) eine reelle symmetrische Matrix, deren Hauptminoren alle nicht verschwinden. Dann gibt es eine invertierbare reelle Matrix T mit der Eigenschaft

T ST′ = diag(m_{1}(S), m_{2}(S)/m_{1}(S), ..., m_{n}(S)/m_{n−1}(S)) .

Insbesondere kann man den Sylvestertyp der Matrix S von den Vorzeichen der Minorenquotienten m_{i+1}(S)/m_{i}(S) ablesen!

\underline{Beispiel}: Für S = ( \begin{matrix}2 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} ) ist m_{1}(S) = 2 und m_{2}(S) = 2.

Normierte Räume

48 Komplexe Konjugation

Für alle nun folgenden Paragraphen dieses Kapitels ist der Körper K entweder K = ℝ oder K = ℂ. Wir betrachten zusätzlich einen Automorphismus des Körpers K

σ(z + w) = σ(z) + σ(w) ,
σ(z · w) = σ(z) · σ(w) .

Hierbei wählen wir für σ im folgenden die Identität – im Fall K = ℝ – beziehungsweise σ(z) = \overline{z} (die komplexe Konjugation) – im Fall K = ℂ. Die komplexe Konjugation ist definiert durch

σ(x + iy) = x − iy

für x, y ∈ ℝ. Obige Eigenschaften sind leicht zu verifizieren (siehe Appendix). In beiden Fällen gilt σ^{2} = id. Für z ∈ ℂ gilt σ(z) = z genau dann wenn z reell ist.

\underline{Fortsetzung auf Matrizen}: Ist M eine Matrix mit Koeffizienten in K, dann schreiben wir σ(M) oder \overline{M} für die Matrix, welche aus M entsteht wenn man auf alle Koeffizienten die komplexe Konjugation σ anwendet

σ(M)_{ij} = σ(M_{ij}) .

\underline{Definition}: Für eine Matrix M ∈ M_{m,n}(K) sei M^{t} ∈ M_{n,m}(K) die Matrix mit den Einträgen (M^{t})_{ij} = σ(M_{ji}). Mit anderen Worten

M^{t} = σ(M′) = (σ(M))′
(M · N)^{t} = N^{t} · M^{t} , (M^{t})^{t} = M .

Appendix

Für komplexe Zahlen z = a + bi definieren wir

N(z) = z\overline{z} = a^{2} + b^{2}.

Hierbei ist \overline{z} = a − bi die konjugiert komplexe Zahl. Es gilt

N(z) ≥ 0 und N(z) = 0 ⟺ z = 0.

Außerdem gilt

N(z · w) = N(z) · N(w) ∀z, w ∈ ℂ.

\underline{Beweis}: Wegen Norm(z · w) = zw · \overline{zw} =^{!} z · w · \overline{z} · \overline{w} = z\overline{z} · w\overline{w} = N(z) · N(w)

genügt zu zeigen

\overline{z · w} = \overline{z} · \overline{w} .

Beweis von \overline{z · w} = \overline{z} · \overline{w}:

\overline{(a + bi) · (a′ + b′i)} = (aa′ − bb′) − (ab′ + a′b)i
\overline{(a + bi)} · \overline{(a′ + b′i)} = (a − bi) · (a′ − b′i)
= (aa′ − (−b)(−b′)) − (a(−b′) + a′(−b))i
= (aa′ − bb′) − (ab′ + a′b)i

Analog zeigt man \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}.

Folgerung: Die Abbildung σ(z) = \overline{z} ist ein Körper Automorphismus von ℂ.

\underline{Beweis}: z → \overline{z} ist eine bijektive Abbildung von ℂ auf ℂ wegen \overline{(\overline{z})} = z und sie respektiert Addition sowie Multiplikation.

49 Sesquilinearformen

\underline{Definition}: Ist V eine K-Vektorraum, dann heißt eine Abbildung

< ., . >: V × V → K

\underline{sesquilinear}, falls sie ℝ-linear ist und falls gilt

< λv, μw >= σ(λ)μ < v, w > , ∀v, w ∈ V ∀λ, μ ∈ K .

Eine solche \underline{Sesquilinearform} heißt \underline{hermitesch}, falls gilt

< v, w > = σ(< w, v >) .

Insbesondere folgt < v, v > = σ(< v, v >) und somit

Lemma 1: Für hermitesche Sesquilinearformen gilt < v, v > ∈ ℝ für alle v ∈ V.

\underline{Beispiel}: Im Fall K = ℝ ist sesquilinear gleichbedeutend mit K-linear und hermitesch gleichbedeutend mit symmetrisch.

\underline{Beispiel}: Im Fall V = ℂ^{n} und K = ℂ sei < ., . > die \underline{Standardform} < v, w >= ∑_{i=1}^{n} \overline{v}_{i}w_{i} für v = (v_{1}, .., v_{n}) und w = (w_{1}, .., w_{n}). Diese ist \underline{sesquilinear} und \underline{hermitesch}.

\underline{Definition}: Eine \underline{hermitesche}, \underline{Sesquilinearform} auf V heißt \underline{positiv definit}, falls

< v, v > > 0 , ∀ 0 ≠ v ∈ V

beziehungsweise heißt \underline{semidefinit}, falls gilt

< v, v > ≥ 0 , ∀ 0 ≠ v ∈ V .

\underline{Beispiel}: Die sesquilineare Standardform auf dem ℂ-Vektorraum V = ℂ^{n} ist definit; ebenso die bilineare Standardform auf dem ℝ-Vektorraum ℝ^{n}.

\underline{Übungsaufgabe}: Sei V der K-Vektorraum der stetigen Funktionen f : [a, b] → K auf einem reellen Intervall (für a ≤ b aus ℝ). Dann definiert

< f, g > = ∫_{a}^{b} \overline{f}(t) · g(t)dt

eine positiv definite, hermitesche Sesquilinearform auf V. (Das Integral wird hierbei definiert als das Integral über den Realteil φ(t) plus i mal das Integral über den Imaginärteil ψ(t) des Produktes \overline{f}(t)·g(t) = φ(t)+iψ(t). Sowohl φ(t) als auch ψ(t) sind stetige Funktionen und somit Riemann integrierbar auf dem Intervall).

\underline{1.Bemerkung}: Die Einschränkung einer (positiv definiten) hermiteschen Sesquilinearform von V auf einen K-Untervektorraum W ⊂ V ist wieder eine (positiv definite) hermitesche Sesquilinearform.

\underline{2.Bemerkung}: Jede \underline{positiv definite} hermitesche Sesquilinearform ist \underline{nichtausgeartet}.

\underline{Beweis}: Zu zeigen ist: < v, w > = 0 für alle w ∈ V impliziert v = 0. Zum Beweis genügt es w = v zu setzen wegen < v, v > > 0 für v ≠ 0!

\underline{3.Bemerkung}: Jede \underline{Sesquilinearform} auf V = K^{n} wird wie folgt beschrieben durch eine quadratische Matrix H = (H_{ij}) ∈ M_{n,n}(K)

H_{ij} = < e_{i}, e_{j} >

< v, w > = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} σ(v_{i})H_{ij}w_{j} .

In Matrixsprechweise

< v, w > = v^{t} · H · w , v, w ∈ K^{n} .

Lemma 2: Die der Matrix H zugeordnete Sesquilinearform < ., . > auf V = K^{n} ist genau dann \underline{hermitesch}, wenn gilt

H^{t} = H .

\underline{Beweis}: Übungsaufgabe!

\underline{4.Bemerkung}: Ist < v, w > = v^{t} · H · w eine \underline{positiv definite} hermitesche Sesquilinear auf V = K^{n}, dann schreiben wir kurz H > 0. Wir behaupten (eine Variante von Bemerkung 2)

H > 0 ⇒ det(H) ≠ 0 .

\underline{Beweis}: Aus H · v = 0 folgt v^{t}Hv = 0, also v = 0. Somit Kern(H) = 0. H : K^{n} → K^{n} injektiv, also bijektiv und somit invertierbar.

50 Normen

Sei wieder K = ℝ oder K = ℂ und σ : K → K sei wie im letzten Abschnitt und sei < ., . > eine \underline{positiv definite} \underline{hermitesche} \underline{Sesquilinearform} auf V.

Unter den obigen Annahmen definiert

\begin{matrix}V & → & ℝ_{≥0} \\ v & ↦ & _{+}\sqrt{< v, v >} = ∥v∥ \end{matrix}

eine eine reellwertige Funktion auf V. Diese ist wohldefiniert, da nach Annahme < v, v > ≥ 0 gilt. Insbesondere ist ∥v∥ = 0 genau dann, wenn v = 0. Der Wert ∥.∥ hängt wohlgemerkt von der Wahl der Sesquilinearform ab.

\underline{Geometrische Deutung}: Bei fester Wahl der Form < ., . > hat ∥.∥ die Eigenschaft einer \underline{Längenfunktion}. Genauer: ∥v∥ wird als Norm bezeichnet und als Länge des Vektors v gedeutet.

\underline{Eigenschaften der Norm}: Setze |λ| = _{+}\sqrt{\overline{λ}λ} für λ ∈ ℂ. Beachte |x + iy| = +\sqrt{x^{2} + y^{2}} ist nach Pythagoras die euklidsche Länge des Vektors λ = x + iy = (x, y) ∈ ℝ^{2} im Fall λ ∈ ℂ. Analog ist |λ| = _{+}\sqrt{λ^{2}} der Absolutbetrag der reellen Zahl λ im Falle λ ∈ ℝ.

Offensichtlich gilt ∥λ · v∥^{2} = \overline{λ}λ · ∥v∥^{2}. Es folgt

∥λ · v∥ = |λ| · ∥v∥ , λ ∈ K, v ∈ V .

Schwarzsche Ungleichung: Sei < ., . > eine positiv definite, hermitesche Sesquilinearform auf einem K-Vektorraum V. Für alle v, w ∈ V gilt dann

| < v, w > | ≤ ∥v∥ · ∥w∥

Gleichheit gilt genau dann, wenn v, w linear abhängig sind.

\underline{Beweis}: Einerseits ist wegen der Definitheit

0 ≤^{pos.} < λv + w, λv + w > .

Andererseits ist die rechte Seite wegen der Sesquilinearität und der hermiteschen

Symmetrie \overline{λ} < v, λv + w > + < w, λv + w > =^{sesquilinear.}|λ|^{2} < v, v > +\overline{λ} <

v, w > +λ < w, v > + < w, w >, also gleich

|λ|^{2}∥v∥^{2} + 2 · Re(λ < w, v >) + ∥w∥^{2} .

Sei v ≠ 0 (im Fall v = 0 ist die Schwarzsche Ungleichung trivial). Wir spezialisieren dann λ und setzen λ = \frac{−<v,w>}{∥v∥^{2}}. Man erhält

0 ≤ \frac{| < v, w > |^{2}}{∥v∥^{2}} − 2\frac{< v, w >}{∥v∥^{2}} < w, v > +∥w∥^{2}
= \frac{−| < v, w > |^{2} + ∥w∥^{2}∥v∥^{2}}{∥v∥^{2}}

Wegen ∥v∥ > 0 folgt daraus | < v, w > |^{2} ≤ ∥v∥^{2}∥w∥^{2}. Dies beweist die Schwarzsche Ungleichung durch Wurzelziehen.

Im Gleichheitsfall | < v, w > | = ∥v∥ · ∥w∥ ist entweder v = 0 oder

< λv + w, λv + w >= |λ|^{2}∥v∥^{2} + 2 · Re(λ < w, v >) + ∥w∥^{2}

hat λ_{0} = \frac{−<v,w>}{∥v∥^{2}} ∈ ℝ als Nullstelle. Wegen Definitheit folgt daraus λ_{0}v+w = 0. Somit sind v und w linear abhängig. Dies beweist den Zusatz.

Folgerungen:

1. |∑_{i=1}^{n} \overline{x}_{i}y_{i}|^{2} ≤ ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2} · ∑_{i=1}^{n} |y_{i}|^{2}

2. |∫_{a}^{b} \overline{f}(t)g(t)dt|^{2} ≤ ∫_{a}^{b} |f(t)|^{2}dt · ∫_{a}^{b} |g(t)|^{2}dt

Dreiecksungleichung: Sei < ., . > eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform auf dem K-Vektorraum V. Für die zugehörige Längenfunktion gilt

∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥ .

\underline{Beweis}: Aus |Re(z)| = |x| ≤ \sqrt{x^{2} + y^{2}} = |z| für z = x + iy aus ℂ folgt

∥v + w∥^{2}  =  < v + w, v + w >
=  ∥v∥^{2} + 2Re(< w, v >) + ∥w∥^{2}
≤  ∥v∥^{2} + |2 < w, v > | + ∥w∥^{2}
≤^{Schw.Ungl.} ∥v∥^{2} + 2∥w∥∥v∥ + ∥w∥^{2}
=  (∥v∥ + ∥w∥)^{2}

Die Dreiecksungleichung folgt durch Wurzelziehen, da die beiden äußeren Terme ∥v + w∥^{2} und (∥v∥ + ∥w∥)^{2} nicht negativ sind.

[figure: v; w; v + w]

\underline{Geometrische Deutung}: In der Ebenengeometie besitzt die Schwarzsche Ungleichung eine \underline{explizite} Deutung! Dies ist der Spezialfall K = ℝ und V = ℝ^{2} für das standard Skalarprodukt < ., . > des ℝ^{2}. Es gilt dann nämlich

cos(α) = \frac{< v, w >}{∥v∥∥w∥} ,

wobei α der Winkel zwischen den Vektoren v, w der Ebene ℝ^{2} ist. Die Schwarzsche Ungleichung ergibt sich in diesem Spezialfall aus der Tatsache, daß der Cosinus nur Werte zwischen −1 und 1 annimmt.

∗ Spinornorm

Für die symmetrische Matrix

S = diag(1, −1, ., −1)

vom \underline{Sylvestertyp} (1, n−1) liegen g = −E und g = S in der orthogonalen Gruppe O_{S}(ℝ, n), denn in beiden Fällen gilt g′Sg = S. Für beliebiges g ∈ SO_{S}(n, ℝ) ist damit auch g′ = Sg^{−1}S in SO_{S}(n, ℝ).

g ∈ O_{S}(n, ℝ) bedeutet g′Sg = S. Dies impliziert (g′Sg)_{11} = S_{11} oder mit anderen Worten (∗)

(g_{11})^{2} − ∑_{i=2}^{n}(g_{1i})^{2} = 1 .

Für g′ anstelle von g folgt analog (∗∗)

(g_{11})^{2} − ∑_{i=2}^{n}(g_{i1})^{2} = 1 .

Insbesondere ist |g_{11}| ≥ 1 nicht Null und besitzt ein eindeutig bestimmtes Vorzeichen.

\underline{Definition}: Für g ∈ O_{S}(n, ℝ) sei N(g) ∈ \{±1\} das Vorzeichen von g_{11}.

Lemma: Die Abbildung N : O_{S}(n, ℝ) → {±1} definiert einen surjektiven Gruppenhomomorphismus.

Wegen N(−E) = −1 führt man den Beweis zurück auf den Nachweis der folgenden Aussage: Für g, h ∈ O_{S}(n, ℝ) mit g_{11} > 0, h_{11} > 0 gilt

(gh)_{11} = g_{11} · h_{11} + ∑_{i=2}^{n} g_{1i} · h_{i1} > 0 .

Dies folgert man aber leicht aus (∗), (∗∗) mittels der \underline{Schwarzschen Ungleichung}

| ∑_{i=2}^{n} g_{1i} · h_{i1}| ≤ \sqrt{∑_{i=2}^{n}(g_{1i})^{2}} · \sqrt{∑_{i=2}^{n}(h_{i1})^{2}} < g_{11} · h_{11} .

51 Selbstadjungierte Abbildungen

Sei wieder K = ℝ, ℂ und < ., . > eine hermitesche Sesquilinearform.

\underline{Definition}: Seien N und M Endomorphismen eines K-Vektorraums V. Wir nennen N die zu M Adjungierte bezüglich der Bilinearform < ., . >, falls

< Mv, w > = < v, Nw > , ∀v, w ∈ V

gilt. Wir benutzen in diesem Fall die Notation

N = M^{∗} .

\underline{Bemerkung}: Bei dieser Bezeichnungweise wird angenommen, daß die Form < ., . > fest gewählt ist. M^{∗} ist abhängig von der Wahl der Form < ., . >.

Lemma 1: Sei V = K^{n} ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und < ., . > eine nicht ausgeartete Sesquilinearform auf V. Dann besitzt jeder Endomorphismus M : V → V eine eindeutig bestimmte Adjungierte M^{∗}. Es gilt

(M^{∗})^{∗} = M .

\underline{Beweis}: Sei < v, w > = v^{t}Hw. Da < ., . > nicht ausgeartet ist, ist H invertierbar. Wegen < Mv, w > = (Mv)^{t}Hw = v^{t}(M^{t})Hw = v^{t}H(H^{−1}M^{t}H)w = < v, (H^{−1}M^{t}H)w > ist das gesuchte M^{∗} gleich

M^{∗} = H^{−1} · M^{t} · H .

Offensichtlich ist M^{∗} eindeutig bestimmt und man zeigt leicht (M^{∗})^{∗} = M.

\underline{Beispiel}: Im Fall der Standardform < v, w >= v^{t} · w gilt M^{∗} = M^{t}.

\underline{Definition}: Eine K-lineare Abbildung M : V → V heißt selbstadjungiert bezüglich der Sesquilinearform < ., . >, falls gilt

M^{∗} = M

beziehungsweise normal, falls gilt

M^{∗} · M = M · M^{∗} .

Beispiele: 1) Jede \underline{selbstadjungierte} Abbildung ist \underline{normal}.

2) Jede \underline{antiselbstadjungierte} Abbildung M, d.h. M^{∗} = −M, ist normal.

3) Jeder Endomorphismus M (eines endlich dimensionalen K-Vektorraums) ist die Summe zweier normaler Endomorphisen

M = M_{1} + M_{2}

mit M_{1}^{∗} = M_{1} und M_{2}^{∗} = −M_{2}. Setze M_{1} = \frac{1}{2}(M +M^{∗}) und M_{2} = \frac{1}{2}(M −M^{∗}).

4) M genau dann normal, wenn die beiden in Punkt 3) definierten Zerlegungskomponenten M_{1} und M_{2} miteinander kommutieren

M_{1} · M_{2} = M_{2} · M_{1} .

5) Für K = ℂ ist M genau dann \underline{selbstadjungiert}, wenn i·M \underline{antiselbstadjungiert} ist.

Lemma 2: Sei < ., . > eine hermitesche Sesquilinearform auf einem K-Vektorraum V und sei M : V → V ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann definiert

< M(v), w >

wieder eine hermitesche Sesquilinearform auf V. Insbesondere gilt für alle v ∈ V

< M(v), v > ∈ ℝ .

\underline{Beweis}: Die Sesquilinearität ist unmittelbar klar. Weiterhin gilt < M(w), v > = < w, M^{∗}(v) > = < w, M(v) >, denn M ist selbstadjungiert. Andererseits gilt < w, M(v) > = σ(< M(v), w >). Also ist < M(.), . > hermitesch.

\underline{Annahme}: Für die folgenden Betrachtungen machen wir der Einfachheit halber etwas schärfere Annahmen. Sei dazu V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, und < ., . > sei eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform. Wie wir bereits in § 49 Bemerkung 4) gezeigt haben, ist dann die Form < ., . > nicht ausgeartet. Konkret gilt < v, w > = v^{t}Hw für eine hermitesche Matrix H = H^{t} mit det(H) ≠ 0.

\underline{Formenvergleich}: Für selbstadjungierte Endomorphismen M : V → V gilt nach Definition M^{∗} = M. Zur Erinnerung: M^{∗} = H^{−1} · M^{t} · H (Lemma 1). Wegen H = H^{t} folgt daher aus M^{∗} = M die Hermitizität der Matrix H_{1} = H · M

H_{1}^{t} = H_{1} .

Die hermitesche Sesquilinearform < M(v), w > ist also gegeben durch

< M(v), w >= v^{t} · H_{1} · w , H_{1} = H · M = M^{t} · H .

Sei nun allgemeiner < v, w >_{1}= v^{t}H_{1}w eine beliebige hermitesche Sesquilinearform auf V. Dann gilt (H_{1})^{t} = H_{1}. Setzt man M = H^{−1} · H_{1}, so ist M selbstadjungiert bezüglich der Form < ., . > wegen

M^{∗} = H^{−1}(H^{−1}H_{1})^{t}H = H^{−1}H_{1}^{t}(H^{−1})^{t}H = H^{−1}H_{1} = M .

Korollar: Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit einer fixierten positiv definiten hermiteschen Sesquilinearform < ., . >. Dann entsprechen die \underline{hermiteschen Sesquilinearformen} < ., . >_{1} auf V eineindeutig den bezüglich < ., . > \underline{selbstadjungierten Endomorphismen} M : V → V vermöge der Zuordnung

< v, w >_{1} = < M(v), w > .

\underline{Bemerkung}: Sind X, Y antiselbstadjungierte Endomorphismen X^{∗} = −X, Y^{∗} = −Y. Dann ist offensichtlich (!) auch der Kommutator

[X, Y] = X · Y − Y · X

wieder antiselbstadjungiert. In der Physik spielen Orts- und Impulsoperatoren eine Rolle. Für diese gilt die Kommutatorrelation

[X, Y] = 2πi · ℏ · id_{V} .

Für Zustände v ∈ V mit ∥v∥ = 1 beobachtet man die (quadratischen) Erwartungswerte ∥Xv∥ und ∥Y v∥ von Ort und Impuls. In obiger Situation gilt dann als formale Anwendung der Schwarzschen Ungleichung die sogenannte \underline{Heisenbergsche} \underline{Unschärferelation}.

π · ℏ ≤ ∥Xv∥ · ∥Y v∥ .

\underline{Beweis}: 2πℏ = | < v, 2πiℏ·v > | = | < v, (XY −Y X)v > | = | < −Xv, Y v > + < Y v, Xv > | ≤ 2 · ∥Xv∥ · ∥Y v∥ wegen der Schwarzschen Ungleichung und der Dreiecksungleichung.

51. Selbstadjungierte Abbildungen 152

52 Der Spektralsatz

Sei K entweder ℝ oder ℂ.

Satz: Sei V ein endlicher K-Vektorraum, < , > eine \underline{positiv definite} hermitesche Sesquilinearform auf V, sowie φ ∈ End_{K}(V) ein \underline{selbstadjungierter} Endomorphismus bezüglich der Form < , > . Unter dieser Vorausetzung existiert eine \underline{Orthonormalbasis} b_{1}, ..., b_{n} des Vektorraums V

< b_{i}, b_{j} > = δ_{ij} 1 ≤ i, j ≤ n = dim_{K}(V)

welche aus \underline{Eigenvektoren} von φ besteht

φ(b_{i}) = λ_{i} · b_{i} , i = 1, ..., n

mit \underline{reellen} Eigenwerten

λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ ... ≥ λ_{n} .

Korollar: Jede reelle symmetrische Matrix M ∈ M_{n,n}(ℝ) (jede hermitesche komplexe Matrix in M_{n,n}(ℂ)) hat n reelle Eigenwerte. Das charakteristische Polynom zerfällt in ein Produkt reeller Linearfaktoren

χ_{M}(t) = ∏_{i=1}^{n} (t − λ_{i}) λ_{i} ∈ ℝ.

Das letzte Korollar folgt, indem man V = ℝ^{n} beziehungsweise ℂ^{n} setzt und für < , > die Standardpaarung wählt

< x, y > = x^{t} · y = ∑_{i=1}^{n} \overline{x}_{i}y_{i} .

Die M zugeordnete Abbildung ist dann bezüglich < , > selbstadjungiert, und das Korollar folgt unmittelbar aus dem obigen Satz.

53 Hauptachsentransformation

Satz 1: Sei S = S′ ∈ M_{n,n}(ℝ) eine symmetrische Matrix. Dann existiert eine orthogonale Matrix T ∈ O(n, ℝ), so daß gilt

T ST^{−1} = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ) , T′T = T T′ = E

für λ_{1} ≥ ... ≥ λ_{n} aus ℝ. Die Zahlen λ_{i} sind die Eigenwerte der Matrix S.

Zusatz: Wegen T′ = T^{−1} für T ∈ O(n, ℝ) kann man auch schreiben

T ST′ = T ST^{−1} = Diag(λ_{1}, ..., λ_{n}) .

Insbesondere ist S definit dann und nur dann, wenn gilt λ_{n} > 0.

\underline{Beweis}: Eine symmetrische Matrix S ist selbstadjungiert bezüglich der Standardform < , > des ℝ^{n}. Der \underline{Spektralsatz} für die Standardform < ., . > zeigt, daß somit eine Orthogonalbasis b_{1}, ..., b_{n} des ℝ^{n} existiert, welche aus Eigenvektoren von S besteht

S · b_{i} = λ_{i} · b_{i}.

Sei e_{1}, ..., e_{n} die Standardbasis des ℝ^{n} und T die eindeutig bestimmte lineare Basiswechsel Abbildung mit

T^{−1}(e_{i}) = b_{i} i = 1, ..., n .

Dann gilt T ST^{−1}(e_{i}) = λ_{i} · e_{i} für alle i = 1, ..., n. In Matrixsprechweise

T ST^{−1} = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ) .

Zu zeigen ist, daß T^{−1} (und damit auch T) orthogonal sind:

< T^{−1}v, T^{−1}w > = < v, w > ∀v, w.

Dazu genügt wegen der Äquivalenz (iii) ⇔ (ii) aus §45 etwas schwächer

< T^{−1}(e_{i}), T^{−1}(e_{j}) > = < e_{i}, e_{j} >= δ_{ij} ∀i, j = 1, .., n.

Dies ist aber klar nach Definition von T wegen

< T^{−1}(e_{i}), T^{−1}(e_{j}) > = < b_{i}, b_{j} >= δ_{ij}

da nach dem Spektralsatz die b_{i} eine Orthonormalbasis bilden < b_{i}, b_{j} > = δ_{ij}. Dies beweist den Satz.

\underline{Eine geometrische Deutung}: Die Matrix T^{−1} führt die \underline{orthonormale} Standardbasis e_{1}, ..., e_{n} in die orthonormale Basis b_{1}, ..., b_{n} über. Daher sind T und T^{−1} orthogonale Matrizen. (Siehe §45 die Äquivalenz von (i)-(iii).)

Der Name \underline{Hauptachsentransformation} erklärt sich wie folgt:

Sei E der Kegelschnitt

{x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) | x′ · S · x = 1}

und E^{#} der Kegelschnitt

{x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) | x′ · Diag(λ_{1}, ..., λ_{n}) · x = 1}.

Dann gilt T (E) = E^{#} bezw. E = M(E^{#}), denn

x ∈ E^{#} ⇔ x′ · Diag(λ_{1}, ..., λ_{n}) · x = 1
⇔  x′ · M′ · S · M · x = 1
⇔  (Mx)′ · S · (Mx) = 1
⇔  Mx ∈ E

wegen M^{−1}SM = Diag(λ_{1}, ..., λ_{n}) ist für M = T^{−1} ∈ O(n, ℝ).

Die Winkel und Längen erhaltende orthogonale Abbildung T : ℝ^{n} → ℝ^{n} bildet also den Kegelschnitt E bijektiv auf den Kegelschnitt E^{#} ab und umgekehrt. Während sich E in schiefer Lage befindet

S_{11}x_{1}^{2} + 2S_{12}x_{1}x_{2} + ⋯ + 2S_{nn−1}x_{n−1}x_{n} + S_{nn}x_{n}^{2} = 1 ,

liegt der Kegelschnitt E^{#} achsenparallel und ist gegeben durch die Gleichung

λ_{1}x_{1}^{2} ⋯ + λ_{n}x_{n}^{2} = 1.

Im definiten Fall λ_{1}, .., λ_{n} > 0 ist dies die Gleichung eines Ellipsoids im ℝ^{n}.

53. Hauptachsentransformation 156

Beispiel: Für S := ( \begin{matrix}3 & −1 \\ −1 & 3 \end{matrix} ) ist M = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )

[figure: •; •; •; •; •; \sqrt{λ_{1}^{−1}}= \frac{1}{2}; \sqrt{λ_{2}^{−1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}; x; y; E]

Die Drehung M um 45^{∘} liefert E^{#} : 4x^{2} + 2y^{2} = 1:

[figure: •; •; •; •; √λ_{1}^{−1}= {1 \atop 2}; √λ_{2}^{−1}= \begin{matrix}1 \\ ^{√} & 2 \end{matrix}; x; y; E^{#}]

Hierbei ist E die Ellipse 3x^{2} − 2xy + 3y^{2} = 1. Die Hauptachsen haben die Längen √λ_{1}^{−1} = {1 \atop 2} und √λ_{2}^{−1} = \begin{matrix}1 \\ √ & 2 \end{matrix}. Es gilt λ_{1} = 4 und λ_{2} = 2. E^{#} geht durch Achsenstreckung aus der Sphäre ∑ x_{i}^{2} = 1 hervor.

Der Vollständigkeit halber formulieren wir Varianten des obigen Satzes. Die Beweise sind Modifikationen des obigen Argumentes und bleiben dem Leser überlassen.

Satz 2: Sei H = H^{t} ∈ M_{n,n}(ℂ) eine hermitesche Matrix. Dann existiert eine sogenannte \underline{unitäre} Transformation T^{t} = T^{−1} ∈ Gl(n, ℂ), so daß gilt

T · H · T^{−1} = T · H · T^{t} = Diag(λ_{1}, ..., λ_{n})

mit reellen Zahlen λ_{1} ≥ ... ≥ λ_{n}. Die Zahlen λ_{i} sind die Eigenwerte der Matrix H. Schließlich ist H positiv definit genau dann wenn gilt λ_{n} > 0.

Eine weitere Verfeinerung dieses Satzes (mit Ausnahme der Definitheitsaussage) zeigt, daß es ausreicht H \underline{normal} anzunehmen, d.h. H · H^{t} = H^{t} · H. In der Tat führt man diese Verschärfung durch einen Trick auf den obigen Satz 2 zurück. Man zerlegt dazu die normale Matrix H in eine Summe H = H_{1} + i · H_{2} mit kommutierenden hermiteschen Matrizen H_{1} und H_{2}. Siehe Beispiel 4) und 5) von §51. Man diagonalisiert dann zuerst H_{1} durch einen unitären Basiswechsel (Satz 2). Da H_{2} mit H_{1} kommutiert, bildet H_{2} die Eigenräume von H_{1} auf sich ab. Wendet man den obigen Satz dann für die Einschränkungen von H_{2} auf die Eigenräume von H_{1} an, erhält man die gewünschte Verallgemeinerung.

\underline{Hermitesche Sylvestertypen}: Zum Abschluß betrachten wir die Frage, wann zwei hermitesche Matrizen H_{1} und H_{2} aus Gl(n, ℂ) durch eine Matrix M ∈ Gl(n, ℂ) via H_{1} = M · H_{2} · M^{t} ineinander übergeführt werden können. Satz 2 zeigt, daß H = H^{t} ∈ Gl(n, ℂ) bereits mittels einer unitären Matrix M in die reelle Diagonalmatrix Diag(λ_{1}, ..., λ_{n}) übergeführt werden kann. Für allgemeine M ∈ Gl(n, ℂ) kann dann sogar

M · H · M^{t} = Diag(1, 1, ..., 1, −1, −1, ..., −1)

erreicht werden. Somit ist der \underline{Sylvestertyp} der hermiteschen Matrix H gegeben durch die Zahl der Einträge +1 resp. −1, also durch die Zahl der positiven respektive negativen Eigenwerte λ_{i} der Matrix H. Wie im Paragraph §46 zeigt man dann

Satz 3: Zwei hermitesche invertierbare Matrizen H_{1} und H_{2} lassen sich genau dann durch eine Matrix M ∈ Gl(n, ℂ) mittels H_{1} = M · H_{2} · M^{t} ineinander überführen, wenn die hermiteschen Sylvestertypen der Matrizen H_{1} und H_{2} überereinstimmen.

54 Beweis des Spektralsatzes

In diesem Abschnitt seien folgende Daten fixiert

• Ein K-Vektorraum V der Dimension n für K = ℝ oder ℂ.

• Eine \underline{positiv definite} hermitesche Sesquilinearform < ., . > auf V.

• Ein bezüglich < v, w > \underline{selbstadjungierter} Endomorphismus φ : V → V mit hermitescher Sesquilinearform < v, w >_{1} = < M(v), w >.

\underline{Die Hilfsfunktion f}: Zum Beweis des Spektralsatzes betrachten wir die folgende \underline{reellwertige} Hilfsfunktion

f : V \ {0} ⟶ ℝ

definiert durch (siehe §49 Lemma 1)

v ↦ \frac{< M(v), v >}{< v, v >} .

Da < ., . > definit ist, wird der Nenner auf dem Definitionsbereich nie Null. Da Zähler und Nenner von f(v) sesquilinear sind, folgt außerdem

f(λ · v) = f(v) , λ ∈ K^{∗} .

Die Funktion f(v) ist somit \underline{konstant} auf den \underline{Geraden durch Null}!

\underline{Eigenvektoren}: Sei λ ein Eigenwert von M zum Eigenvektor v_{0} ≠ 0 aus V. Dann gilt

f(v_{0}) = \frac{< M(v), v >}{< v, v >} = \frac{< λ · v, v >}{< v, v >} = \overline{λ} .

Weil f reellwertig ist, ist somit insbesondere auch der Eigenwert λ = \overline{λ} reell.

\underline{Folgerung}: Alle Eigenwerte λ von M sind reell.

\underline{Der Beweis des Spektralsatz benutzt die folgenden drei Aussagen}.

1) Die Funktion f(v) nimmt in einem Punkt v_{0} ∈ V \ {0} ihr Maximum an.

2) Jeder solche Extremwert v_{0} ∈ V \ {0} von f(v) ist ein Eigenvektor des selbstadjungierten Endomorphismus M mit dem Eigenwert λ = f(v_{0}).

3) Für v_{0} wie in Punkt 2) gibt es eine direkte Zerlegung

V = K · v_{0} ⊕ v_{0}^{⊥} ,

wobei M die Unterräume Kv_{0} und v_{0}^{⊥} jeweils in sich abbildet.

\underline{Wir nehmen an 1) und 2) wären bereits gezeigt. Wir zeigen dann 3)}:

Die direkte Summenzerlegung von V wird genau so gezeigt wie das Lemma von Paragraph §44. Wir können dabei v_{0} so \underline{normieren}, daß < v_{0}, v_{0} > = 1 gilt.

Nach 2) ist v_{0} ein Eigenvektor. Somit gilt M(K · v_{0}) ⊂ K · v_{0}. Aus

< M(v), v_{0} > = < v, M^{∗}(v_{0}) > = < v, M(v_{0}) > = λ < v, v_{0} > = 0 , v ∈ v_{o}^{⊥}

folgt M(v_{0}^{⊥}) ⊂ v_{0}^{⊥}. Dies beweist Aussage 3).

Der K-Vektorraum W = v_{0}^{⊥} hat kleinere Dimension als V. Die Einschränkung von < ., . > auf den Unterraum W ist wieder eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform. Die Einschränkung des Endomorphismus M auf W ist wegen 3) erklärt (und wieder selbstadjungiert). Per Induktion gilt dann der Spektralsatz auf W und liefert dort die gesuchte Orthonormalbasis b_{2}, .., b_{n}. Ergänzt man um b_{1} = v_{0} erhält man die gesuchte Orthogonalbasis des Spetralsatzes auf V. Dies zeigt den Spektralsatz.

\underline{Zum Beweis verbleibt es die Eigenschaften 1) und 2) zu verifizieren}: Wir beginnen mit Eigenschaft 2).

Sei v_{0} ≠ 0 aus V ein Extremalpunkt von f, in dem das Maximum angenommen wird. Für einen beliebigen \underline{Richtungsvektor} v ≠ 0 aus V ist dann t ↦ g(t) = f(v_{0} + t · v) eine reellwertige Funktion des Parameters t ∈ ℝ. Es gibt ein offenes Intervall (−ε, ε) in ℝ um Null, derart daß v_{0}+t·v für |t| < ε im Definitionsbereich V \ {0} der Funktion f liegt!

Als Funktion von t hat g(t) = f(v_{0} + t · v) ein Maximum bei t = 0. Andererseits ist

g(t) = \frac{t^{2} < Mv, v > +2tRe(< Mv, v_{0} > + < Mv_{0}, v_{0} >}{t^{2} < v, v > +2tRe(< v, v_{0} > + < v_{0}, v_{0} >}

als Quotient quadratischer Polynome in t differenzierbar im Intervall (−ε, ε). Somit ist die folgende Ableitung im Punkt t = 0 gleich Null

\frac{d}{dt}g(t)|_{t=0} = \frac{2Re(< Mv, v_{0} >) < v_{0}, v_{0} > − < Mv, v_{0} > 2Re(< v, v_{0} >)}{< v_{0}, v_{0} >^{2}} .

Dies liefert die Gleichung

Re(< Mv, v_{0} >) < v_{0}, v_{0} > = < Mv_{0}, v_{0} > Re(< v, v_{0} >)

oder wegen < v_{0}, v_{0} >= 1 und M = M^{∗} die Gleichung

Re(< v, M(v_{0}) − λ_{0} · v_{0} >) = 0 , λ_{0} = \frac{< Mv_{0}, v_{0} >}{< v_{0}, v_{0} >} .

Die Form < ., . > ist nach Annahme nicht ausgeartet. Da v ≠ 0 beliebig gewählt werden kann (ersetze insbesondere v durch i · v im Fall K = ℂ), impliziert dies die gewünschte \underline{Eigenwertgleichung}

M(v_{0}) = λ_{0} · v_{0} .

Dies zeigt die Behauptung 2).

\underline{Bemerkung}: Der so konstruierte Eigenwert λ_{0} ist der maximale Eigenwert von M.

\underline{Es verbleibt der Beweis von Aussage 1)}:

Wir benötigen folgende Fakten aus der Analysis mehrerer Veränderlicher

(I) Eine stetige Funktion nimmt auf einer \underline{abgeschlossenen}, \underline{beschränkten} Teilmenge X von ℝ^{n} ihr Maximum an.

(II) Polynome auf ℝ^{n} sind stetig und Quotienten stetiger Funktionen sind stetig, falls der Nenner keine Nullstellen besitzt.

(III) Ist h : ℝ^{n} → ℝ eine \underline{stetige} Funktion, dann ist X = \{v ∈ ℝ^{n} | h(v) = 1\} \underline{abgeschlossen} in ℝ^{n}.

\underline{Zur Erinnerung}: Eine Teilmenge des ℝ^{n} heißt \underline{beschränkt}, wenn sie in einem Quader ∏_{i=1}^{n}[−R, R] für ein geeignetes R ∈ ℝ enthalten ist. Eine Teilmenge A ⊂ ℝ^{n} heißt (unter Grenzwertbildung) \underline{abgeschlossen}, wenn für jede (komponentenweise) in ℝ^{n} konvergente Folge v_{k} ∈ A der Grenzwert v ∈ ℝ^{n} in A liegt. Eine Funktion f : U → ℝ auf einer Teilmenge U heißt \underline{stetig}, wenn f stetig in allen Punkten v von U ist. f heißt stetig im Punkt v ∈ U wenn gilt

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∥w − v∥ < δ, w ∈ U ⇒ ∥f(w) − f(v)∥ < ε .

(Hierbei ist ∥.∥ irgend eine Norm auf ℝ^{n}).

Um obige Sätze der Analysis anwenden zu können, identifizieren wir V mit ℝ^{n} (bzw. ℝ^{2n} im komplexen Fall). Dann ist

X = {v ∈ V | < v, v >= 1 }

\underline{beschränkt} und \underline{abgeschlossen} (nach III). Wir begründen dies wie folgt

\underline{Zur Beschränkheit}: Sei der Einfachheit halber < ., . > die sesquilineare Standardform auf K^{n}. Dann wählen wir eine Orthonormalbasis e_{1}, ..., e_{n} von < , > auf V

(§46) und identifizieren jeden Vektor v = ∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i} aus V mit dem Spaltenvektor

( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) im ℝ^{n}. Bezüglich dieser Basiswahl ist

X = {v ∈ V | < v, v > = 1} = {v ∈ ℝ^{n} | ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2} = 1}

offensichtlich im Quader {v ∈ ℝ^{n} | |x_{i}| ≤ 1 i = 1, ..., n} enthalten, also beschränkt. X ist Urbild von {1} unter der stetigen Abbildung (Analysisbox II)

h(( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} )) = |x_{1}|^{2} + ... + |x_{n}|^{2} .

Also ist X abgeschlossen (Analysisbox III).

Aus (II) folgt die Stetigkeit von f(v) auf X. Aus Aussage (I) folgt dann, daß die Funktion f(v) auf X ihr Maximum in einem Punkt v_{0} ∈ X annimmt. Wir behaupten, daß f(v_{0}) das Maximum der Hilfsfunktion f(v) auf dem ganzen Definitionsbereich V \ {0} ist. Benutze dazu, daß f konstant auf Geraden in V ist. Dies zeigt die Behauptung 1). Damit ist der Spektralsatz gezeigt – zumindestens im Fall wo < ., . > die sesquilineare Standardform auf K^{n} ist.

Dieser Spezialfall des Spektralsatzes genügt um den Hauptachsentransformation zu beweisen. Siehe Satz 2 des letzten Paragraphen.

Durch Hauptachsentransformation von H (siehe letzter Paragraph) zeigt man dann, daß für beliebige \underline{definite} hermitesche Sesquilinearformen < v, w >= v^{t}Hw der \underline{Ellipsoid} E aller Punkte v ∈ K^{n} mit < v, v > ≤ 1 \underline{beschränkt} in K^{n} ist. Bis auf eine orthogonale resp. unitäre Transformation – welche beschränkte Mengen in beschränkte Mengen überführt! – handelt es sich nämlich um die gestauchte Einheitssphäre E^{#}. Diese ist offensichtlich beschränkt.

Dieses Argument schließt die noch verbliebene Lücke des Arguments im Fall beliebiger positiv definiter hermitescher Sesquilinearformen auf V. Damit ist der Spektralsatz in voller Allgemeinheit gezeigt.

55 Hermitesche Matrizen und Lorentzgruppe

Punkte v = (t, x, y, z) des reellen Vektorraums ℝ^{4} entsprechen Ereignissen in der Raum-Zeit. In der speziellen Relativitätstheorie spielen dann lineare Koordinatenwechsel der Raum-Zeit eine Rolle, welche die indefinite quadratische Form

q(v) = t^{2} − x^{2} − y^{2} − z^{2}

festlassen. Die dadurch definierte Lorentzgruppe ist die orthogonale Gruppe der quadratischen Form S = diag(1, −1, −1, −1). Die Untergruppe der speziellen orthogonalen Transformationen nennt man die \underline{eigentliche Lorentzgruppe} L.

Bewegungen ohne Beschleunigung entsprechen Geraden im ℝ^{4}. Vom Nullpunkt ausgehende Bewegungen liegen aus physikalischen Gründen im positiven Lichtkegel P aller Punkte v mit Koordinaten t > 0 und

t^{2} > r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} .

Die Geschwindigkeit der Bewegung – nämlich die Steigung β_{v} = r/t der zugehörigen Gerade – ist hier nämlich kleiner als 1 (Lichtgeschwindigkeit). Analog hat man den rückwertigen Lichtkegel N = −P. Der eigentliche Lichtkegel C ist die Menge der Punkte v ∈ ℝ^{4} mit q(v) = 0. Die verbleibenden Punkte bilden eine Teilmenge I des Vektorraums ℝ^{4}.

Die vom Basisvektor σ_{t} = (1, 0, 0, 0) aufgespannte Gerade beschreibt einen im Ursprung ruhenden ‘Bewegung’ der Geschwindigkeit Null. Das Orthokomplement σ_{t}^{⊥} des Vektors σ_{t} bezüglich der Form S ist der dreidimensionale Euklidsche Raum H^{0} = ℝ^{3}, welcher von den drei verbleidenden Basisvektoren σ_{x}, σ_{y}, σ_{z} aufgespannt wird. Sei darin H^{00} der von σ_{x}, σ_{y} aufgespannte Teilraum.

Die Abbildungen der (eigentlichen) Lorentzgruppe erhalten die quadratische Form q und bilden daher die Teilmengen P ∪ −P sowie C und I jeweils bijektiv auf sich ab. Zum Beispiel vertauscht die Raum-Zeit Spiegelung v ↦ −v (eine Element der eigentlichen Lorentzgruppe) die Kegel P und N = −P. Ordnet man jeder eigentlichen Lorentzsubstitution ein Vorzeichen ±1 zu, je nach dem ob P und −P vertauscht werden oder nicht, so definiert dies einen surjektiven Gruppenhomomorphismus N : L → \{±1\}, die sogenannte \underline{Spinornorm} N (siehe Appendix §50) mit Kern L^{0} (dem \underline{Spinorkern}). Offensichtlich gilt L = L^{0} ∪−L^{0}.

Wir wollen zeigen, daß die Gruppe L^{0} im wesentlichen die Gruppe Sl(2, ℂ) ist. Genauer gesagt gilt

Satz: Es gilt L = L^{0} ∪ −L^{0} und es gibt einen surjektiven Homorphismus von Gruppen

π : Sl(2, ℂ) → L^{0} ,

dessen Kern die Untergruppe der Matrizen {±E} von Sl(2, ℂ) ist.

\underline{Bemerkung}: π definiert also eine zweiblättrige Überlagerung von L^{0}!

Zum Beweis identifizieren wir den ℝ^{4} mit dem ℝ-Vektorraum H der hermitesch komplexen 2 × 2-Matrizen H = H^{t} ∈ M_{2,2,}(ℂ) vermöge der Zuordnung von Basisvektoren

σ_{t} ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , σ_{z} ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , σ_{x} ↦ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , σ_{z} ↦ ( \begin{matrix}0 & i \\ −i & 0 \end{matrix} ) .

Mit anderen Worten der Vektor v = (t, x, y, z) entspricht der hermiteschen komplexen Matrix

H = ( \begin{matrix}t + z & x + iy \\ x − iy & t − z \end{matrix} ) .

Jede hermitesche Matrix H läßt sich eindeutig auf diese Weise schreiben. In der Sprache der hermiteschen Matrizen ist die quadratische Form q durch die Determinante der Matrix H

det(H) = t^{2} − x^{2} − y^{2} − z^{2}

gegeben.

Der Lichtkegel C beschreibt also die Matrizen H ∈ H der Determinante Null. Die Zerlegung des Komplements H\C in die Teilmengen P, I, N wird dann jeweils durch den hermiteschen \underline{Sylvestertyp} der invertierbaren Matrix H ∈ H\C beschrieben. In Termen der Eigenwerte λ_{1} ≥ λ_{2} der hermiteschen Matrix H, welche durch λ_{1/2} = t ± r gegeben sind, bedeutet H ∈ P, I, N jeweils λ_{2} > 0 resp. λ_{1} > 0 > λ_{2} resp. 0 > λ_{1}. Siehe dazu §53.

Weiterhin ist H ∈ H^{0} (d.h. H liegt im ‘Raum’ ℝ^{3}) gleichbedeutend mit Spur(H) = 0 und H ∈ H^{00} (d.h. H liegt in der xy-Ebene) gleichbedeutend mit dem Verschwinden der Diagonale von H.

\underline{Konstruktion von π}: Für komplexe Matrizen M ∈ Gl(2, ℂ) definieren wir

π(M) : H ↦ MHM^{t} , H ∈ H .

Offensichtlich ist π(M) eine ℝ-lineare Abbildung

π(M) : H → H .

Es gilt π(M_{1} ·M_{2}) = π(M_{1})∘π(M_{2}) und π(E) = id_{H}. Somit ist π ein Gruppenhomomorphismus. Insbesondere ist π(M^{−1}) die Umkehrabbildung von π(M).

Wegen det(MHM^{t}) = |det(M)|^{2}·det(H) ist somit π(M) für M ∈ Sl(2, ℂ) eine orthogonale Abbildung von H bezüglich der quadratischen Form q(.) = det(.). π(M) liegt dann bereits in der eigentlichen Lorentzgruppe. Es genügt dies für Erzeuger von Sl(2, ℂ) – etwa Elementarmatrizen – zu zeigen. Die Abbildung π : Sl(2, ℂ) → L^{0} ist damit konstruiert. Offensichtlich lässt π(M) den Vektor σ_{t} ∈ H genau dann fest, wenn M unitär ist: MM^{t} = E.

\underline{Zum Beweis des Satzes}: Wir überlassen es dem Leser Kern(π) = \{±E\} zu zeigen. Wir skizzieren aber die Surjektivität der Abbildung π : Sl(2, ℂ) → L^{0}. Benutze

a) Für H ∈ P mit det(H) = 1 existiert M ∈ Sl(2, ℂ) mit MHM^{t} = E.

b) Für H ∈ H^{0} mit det(H) = −1 existiert eine unitäre Matrix M ∈ Sl(2, ℂ) mit MHM^{t} = diag(1, −1).

Beide Aussagen folgen unmittelbar aus dem Spektralsatz für hermitesche Operatoren (Satz 2 und Satz 3 aus §53). Dies zu zeigen überlassen wir wieder dem Leser.

\underline{Surjektivität von π}: Sei g eine Substitution aus L^{0}. Diese bildet σ_{t} ∈ P auf eine Matrix H aus P ab. Es gilt det(H) = det(σ_{t}), denn g erhält die quadratische Form q(.) = det(.). Wegen a) kann g durch ein π(M) ∈ L^{0} so modifiziert werden, daß H = E gilt. Das heißt obdA kann daher zum Beweis im folgenden g(σ_{t}) = σ_{t} angenommen werden.

Im Fall g(σ_{t}) = σ_{t} definiert g eine spezielle orthogonale Abbildung des Orthokomplements σ_{t}^{⊥} = H^{0}, also ein Element der \underline{Drehgruppe} SO(3, ℝ).

Sei nun H̃ ∈ H^{0} das Bild von σ_{z} ∈ H^{0} unter g. Dann gilt det(H̃) = det(σ_{z}) = −1. Nach b) kann g durch ein π(M) (M unitär, det(M) = 1) modifiziert werden, so daß auch gilt g(σ_{z}) = σ_{z}. Damit ist g obdA eine spezielle orthogonale Abbildung der x, y-Ebene, also eine Drehung. Man zeigt aber leicht, daß jede Drehung der x, y-Ebene durch eine Substitution

π(M) , M = ( \begin{matrix}w & 0 \\ 0 & \overline{w} \end{matrix} ) ∈ Sl(2, ℂ)

mit einer geeigneten komplexen Zahl w ∈ C^{∗} vom Betrag w\overline{w} = 1 realisiert wird. Daraus läßt sich ein beliebiges g ∈ L^{0} als Produkt von drei Substitutionen aus Bild(π) schreiben. Da Bild(π) eine Gruppe ist, folgt L^{0} ⊂ Bild(π). Somit ist π ist surjektiv.

Der eben skizzierte Beweis zeigt zugleich

Korollar: Die Einschränkung von π auf SU(2, ℂ) ⊂ Sl(2, ℂ) definiert einen \underline{surjektiven} Gruppenhomomorphismus

π : SU(2, ℂ) → SO(3, ℝ)

von der Gruppe SU(2, ℂ) der unitären komplexen 2 × 2-Matrizen mit Determinante 1 auf die dreidimensionale spezielle orthogonale Gruppe SO(3, ℝ) mit Kern(π) = {±E}.

Ringe und Moduln

56 Grundlegende Begriffe

Definition: Ein \underline{Ring} (R, +, ·) ist eine abelsche Gruppe bezüglich + und besitzt eine Multiplikationsabbildung R × R → R, so daß gilt:

\begin{aligned}(I) & (r · s) · t & = & r · (s · t) & ∀r, s, t ∈ R \\ (II) & (r + s) · t & = & r · t + s · t & ∀r, s, t ∈ R \\ (III) & r · (s + t) & = & r · s + r · t & ∀r, s, t ∈ R \end{aligned}

Wir fordern zusätzlich die Existenz eines \underline{neutralen Elements 1 = 1_{R}} mit der Eigenschaft

(IV) r · 1 = r = 1 · r ∀r ∈ R.

Aus der geforderten Eigenschaft folgt sofort die Eindeutigkeit dieses neutralen Elementes 1. Wir fordern aber nicht 0 ≠ 1.

\underline{Achtung}: Im Allgemeinen gilt r · s ≠ s · r.

Ein Ring R heißt \underline{kommutativ}, falls r · s = s · r ∀r, s ∈ R.

\underline{Beispiel}:

1) Jeder Körper ist ein Ring.

2) R := ℤ ist ein Ring.

Allgemein ist jede bezüglich der Multiplikation abgeschlossene additive Untergruppe eines Körpers ein Ring.

3) R := M_{n,n}(K) mit Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation ist ein Ring.

4) Ist R ein Ring, dann ist auch M_{n,n}(R) ein Ring bezüglich der Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation.

5) R := {0} ist ein Ring.

\underline{Polynomringe}: Ein wichtiges Beispiel sind die sogenannten \underline{Polynomringe}. Sei R ein gegebener Ring. Dann setzen wir

R[X] := {(a_{0}, a_{1}, ...) | a_{i} ∈ R ∀i ∈ ℕ_{0}, fast alle a_{i} = 0}.

Anstelle von (a_{0}, a_{1}, ...) schreiben wir auch

∑_{i≥0} a_{i}X^{i}.

Die Addition zweier Elemente ist definiert durch

(a_{0}, a_{1}, ...) + (b_{0}, b_{1}, ...) := (a_{0} + b_{0}, a_{1} + b_{1}, ...).

Die Multiplikation zweier Elemente ist definiert durch

(a_{0}, a_{1}, ...) · (b_{0}, b_{1}, ...) := (a_{0} · b_{0}, a_{0} · b_{1} + a_{1} · b_{0}, ...) = (c_{0}, c_{1}, ...),

wobei c_{n} := ∑_{i=0}^{n} a_{i}b_{n−i}.

Lemma 1: R[X] ist mit + und · ein Ring.

\underline{Beweis}: Übungsaufgabe

Definition: Ein \underline{Ringhomomorphismus} φ : T → S zwischen zwei Ringen R und S ist eine Abbildung mit den Eigenschaften

\begin{aligned}φ(r_{1} + r_{2}) & = & φ(r_{1}) + φ(r_{2}) \\ φ(r_{1} · r_{2}) & = & φ(r_{1}) · φ(r_{2}) \\ φ(1_{R}) & = & 1_{S} \end{aligned}

Definition: Die \underline{Einheiten} R^{∗} eines Ringes R sind die Elemente r ∈ R mit der Eigenschaft:

r ∈ R^{∗} ⟺ ∃s ∈ R mit s · r = 1 = r · s.

\underline{Beispiel}:

1) Sei R = K ein Körper. K^{∗} = K \ {0}.

2) R = ℤ ℤ^{∗} = {1, −1}

3) Sei R = K[X] der Polynomring über einem Körper. R^{∗} = {(a_{0}, 0, 0, ...) | a_{0} ∈ K^{∗}}

4) R = M_{n,n}(K) R^{∗} = Gℓ(n, K)

Lemma 2: R^{∗} ist eine Gruppe bezüglich Multiplikation (die \underline{Einheitengrupppe}). \underline{Beweis}: 1 ∈ R^{∗} wegen 1 · 1 = 1. Nach Definition hat jedes Element r_{i} ∈ R^{∗} ein zugehöriges Element s_{i}− ∈ R mit s_{i} · r_{i} = 1 = r_{i} · s_{i}. Es folgt r_{1}, r_{2} ∈ R^{∗} ⇒ r := r_{1} · r_{2} ∈ R^{∗}. Setze s := s_{2} · s_{1}. Dann folgt

s · r = (s_{2} · s_{1}) · (r_{1} · r_{2}) = s_{2} · (s_{1} · r_{1}) · r_{2} = s_{2} · 1 · r_{2} = s_{2} · r_{2} = 1

r · s = (r_{1} · r_{2}) · (s_{2} · s_{1}) = r_{1} · (r_{2} · s_{2}) · s_{1} = r_{1} · 1 · s_{1} = r_{1} · s_{1} = 1

Für r ∈ R^{∗} mit s · r = 1 = r · s ist somit auch s ∈ R^{∗}. s ist inverses Element von R in R^{∗}.

57. R-Moduln 171

57 R-Moduln

Definition: Sei R ein Ring. Ein \underline{R-Modul} ist eine abelsche Gruppe (M, +) versehen mit einer zusätzlichen skalaren Multiplikation

\begin{matrix}R × M & → & M \\ (r, m) & ↦ & r · m = rm, \end{matrix}

so daß für alle m, m_{1}, m_{2} ∈ M, r, s ∈ R gilt:

\begin{aligned}(I) & (r · s) · m & = & r · (s · m) \\ (II) & (r + s) · m & = & r · m + s · m \\ (III) & r · (m_{1} + m_{2}) & = & r · m_{1} + r · m_{2} \\ (IV) & 1 · m & = & m. \end{aligned}

Es handelt sich hier um \underline{R-Linksmoduln}, da die skalare Multiplikation links erfolgt.

\underline{Beispiel}:

1) Ist R = K ein Körper, dann sind per Definition R-Moduln dasselbe wie K–Vektorräume.

2) Der \underline{freie Modul} R^{n} vom Rang n :

R^{n} := {(r_{1}, ..., r_{n}) | r_{i} ∈ R} mit

\begin{aligned}(r_{1}, ..., r_{n}) + (r′_{1}, ..., r′_{n}) & = & (r_{1} + r′_{1}, ..., r_{n} + r′_{n}) \\ r · (r_{1}, ..., r_{n}) & = & (r · r_{1}, ..., r · r_{n}) \end{aligned}

Eine \underline{R-lineare Abbildung} φ : M → N zwischen zwei R-Moduln M, N ist eine Abbildung mit der Eigenschaft

φ(r_{1}m_{1} + r_{2}m_{2}) = r_{1}φ(m_{1}) + r_{2}φ(m_{2}).

Die Menge aller solcher R-linearen Abbildungen sei Hom_{R}(M, N).

\underline{Bemerkung}: Ist speziell R ein \underline{kommutativer} Ring dann, dann definiert Hom_{R}(M, N) bezüglich der nachfolgende definierten punktweisen Addition und Skalarmultiplikation wieder einen R-Modul

(rφ + sψ)(m) := rφ(m) + sψ(m) .

Sind nämlich φ, ψ R-linear, dann ist auch die so definierte Abbildung rφ + sψ wieder R-linear. Dies benutzt die Kommutativität des Rings R

(rφ + sψ)(r_{1}m_{1} + r_{2}m_{2}) = rφ(r_{1}m_{1} + r_{2}m_{2}) + sψ(r_{1}m_{1} + r_{2}m_{2})
= rr_{1}φ(m_{1}) + rr_{2}φ(m_{2}) + sr_{1}ψ(m_{1}) + sr_{2}ψ(m_{2}) = a.

Die zweite Gleichheit folgt aus φ, ψ ∈ Hom_{R}(M, N). Wir hätten gerne

(rφ + sψ)(r_{1}m_{1} + r_{2}m_{2}) = r_{1}(rφ + sψ)(m_{1}) + r_{2}(rφ + sψ)(m_{2})
= r_{1}(rφ(m_{1}) + sψ(m_{1})) + r_{2}(rφ(m_{2}) + sψ(m_{2}))
=^{(III)} r_{1}rφ(m_{1}) + r_{1}sψ(m_{1}) + r_{2}rφ(m_{2}) + r_{2}sψ(m_{2}) = b.

Die Behauptung a = b folgt, da R kommutativ angenommen worden war. Für nicht kommutatives R ist im allgemeinen Hom_{R}(M, N) kein R-Modul.

\underline{Bemerkung}: Folgende Eigenschaften und Definitionen lassen sich unmittelbar vom Vektorraumfall (R = K ein Körper) auf den Fall beliebiger R-Moduln übertragen:

1) Die Komposition R-linearer Abbildungen ist R-linear.

2) Sei M ein R-Modul. Ein R-Untermodul N ⊆ M ist eine abelsche Untergruppe von (M, +) mit

r · N ∈ N ∀n ∈ N, ∀r ∈ R.

Insbesondere ist jeder Untermodul ein R-Modul.

3) Kern und Bild jeder R-linearen Abbildung φ : M → N sind R-Untermoduln (und somit insbesondere R-Moduln) von M resp. N. Hierbei ist wie bisher

Kern(φ) = {m ∈ M | φ(m) = 0}

und

Bild(φ) = {φ(m) | m ∈ M}.

4) Eine R-lineare Abbildung φ heißt \underline{Isomorphismus} (von R-Moduln), falls sie ϕ bijektiv ist.

5) Eine R-lineare Abbildung φ ist injektiv genau dann wenn gilt Kern(φ) = 0.

6) Sei φ : M → N ein Isomorphismus von R-Moduln, dann ist auch φ^{−1} ein Isomorphismus, d.h. ϕ^{−1} ist automatisch wieder R-linear.

\underline{Quotientenmoduln}: Sei M ein R-Modul und N ⊆ M ein R-Untermodul. Unter einen Quotienten R-Modul von N ⊂ M verstehen wir ein Paar, bestehend aus einem R-Modul M/N zusammen mit einer R-linearen Abbildung

π : M → M/N

mit folgenden Eigenschaften

(1) π ist surjektiv.

(2) Kern(π) = N

\underline{Existenz von Quotienten}: Die Existenz eines solchen Quotientenmoduls zeigt man wie im Fall der Vektorräume in §15.

Setze hierzu M/N = {[m] | m ∈ M}. Hierbei sei

[m] = m + N = {m + n | n ∈ N} ⊆ M.

Dann gilt für beliebige m, m′ ∈ M :

[m] ∩ [m′] = \{ \begin{matrix}∅ & oder \\ [m] \end{matrix}

M/N ist die Menge aller ‘Parallelen’ [m] von N in M. Die R-Modulstruktur auf M/N wird erklärt durch

r[m] + s[m′] := [rm + sm′].

Dies ist wohldefiniert! Definiere dann die Abbildung π : M → M/N durch

π(m) = [m] .

Per Konstruktion von M/N ist diese Abbildung π surjektiv und R-linear.

58 Exakte Sequenzen und Komplexe

Eine Sequenz von R-linearen Abbildungen

⋯ ⟶ K^{−1} ⟶^{d_{−1}} K^{0} ⟶^{d_{0}} K^{1} ⟶^{d_{1}} K^{2} ⟶ ⋯

von R-Moduln K^{i} (i ∈ ℤ) heißt ein Komplex von R-Moduln, falls für alle Indices i ∈ ℤ gilt d_{i+1} · d_{i} = 0, d.h.

Bild(d_{i}) ⊆ Kern(d_{i+1}).

Definition: Eine Sequenz von R-linearen Abbildungen

K′ ⟶^{φ} K ⟶^{ψ} K′′

von R-Moduln heißt \underline{exakt} (an der Stelle K), wenn gilt

Bild(φ) = Kern(ψ).

Insbesondere gilt dann ψ ∘ φ = 0.

Definition: Ein Komplex heißt \underline{exakt}, falls er an jeder Stelle exakt ist, d.h. wenn gilt:

Bild(d_{i}) = Kern(d_{i+1}) ∀i ∈ ℤ.

Ein Synonym für exakte Komplexe ist der Begriff \underline{lange exakte Sequenz}.

Eine \underline{kurze, exakte Sequenz} von R-Moduln ist gegeben durch:

0 ⟶ K′ ⟶^{φ} K ⟶^{ψ} K′′ ⟶ 0,

wobei φ, ψ R-lineare Abbildungen von R-Moduln K′, K, K′′ sind, so daß Exaktheit an den drei Stellen K′, K, K′′ vorliegt.

58. Exakte Sequenzen und Komplexe 175

\underline{Einige Erläuterungen zum Begriff der kurzen exakten Sequenz}:

1) Eine Sequenz

0 ⟶ L ⟶^{φ} L′′

ist exakt bei L genau dann, wenn φ injektiv ist, d.h. falls Kern(φ) = 0. \underline{Beweis}: Exaktheit bei L ⟺ (Bild(0) = 0 = Kern(φ)) ⟺ (Kern(φ) = 0).

2) Eine Sequenz

L′ ⟶^{ψ} L ⟶ 0

ist exakt bei L genau dann, wenn ψ surjektiv ist, d.h. falls Bild(ψ) = L. \underline{Beweis}: Exaktheit bei L ⟺ (Bild(ψ) = Kern(0) = L) ⟺ (Bild(ψ) = L).

3) Die Sequenz

L′ ⟶ 0 ⟶ K

ist immer exakt. \underline{Beweis}: trivial.

\underline{Behauptung}: Gegeben sei eine \underline{Surjektion}

V ⟶^{φ} W,

wobei φ R-linear und V, W R-Moduln sind. Dann ist offensichtlich

0 ⟶ Kern(φ) ⟶^{i} V ⟶^{φ} W ⟶ 0

kurz exakt wegen Bild(i) = Kern(φ) und der Injektivität der Inklusion i. \underline{Behauptung}: Gegeben sei eine \underline{Injektion}

U ⟶^{ψ} W,

wobei ψ R-linear und U, W R-Moduln sind. Dann ist offensichtlich

0 ⟶ U ⟶^{ψ} W ⟶^{π} W/ψ(U) ⟶ 0

kurz exakt wegen Kern(π) = ψ(U) = Bild(U) und der Surjektivität von π.

59 Ein Fortsetzungssatz

Satz: Gegeben seien exakte Sequenzen von R-Moduln

\xymatrix{0 \ar[r] & M′ \ar[r] \ar[d]^{φ} & M \ar[r]^{d} \ar[d]^{ψ} & M′′ \ar[r] \ar@{.>}[d]^{∃! τ} & 0 \\ 0 \ar[r] & N′ \ar[r] & N \ar[r]^{d̃} & N′′ \ar[r] & 0}

sowie R-lineare Abbildungen φ, ψ, so daß das linke Quadrat des Diagramms kommutativ ist. Dann existiert \underline{eine eindeutig bestimmte R-lineare Abbildung}

τ : M′′ → N′′ ,

welche das rechte Quadrat kommutativ macht.

\underline{Beweis}: Als Ansatz für die gesuchte Abbildung τ nehmen wir

[figure: m; d; ψ; m′′; τ; ψ(m); d̃; τ(m′′)]

das heißt wir nehmen \underline{irgendein} Urbild m von m′′ – also d(m) = m′′; ein solches m existiert, da M ⟶^{d} M′′ ⟶ 0 exakt ist, somit d surjektiv – und setzen dann

τ(m′′) := d̃(ψ(m)) = (d̃∘ ψ)(m) .

Um zu zeigen, daß τ R-linear ist, muß man zuerst zeigen, daß τ nicht von der Wahl des Urbildes m abhängt. Dies wird im nächsten Hilfssatz gezeigt.

Hilfssatz : d̃∘ ψ(m) hängt nur ab von d(m).

\underline{Beweis des Hilfssatzes}: Es genügt zu zeigen, daß Kern(d) ⊆ M unter der Abbildung d̃∘ ψ auf Null abgebildet wird.

\xymatrix{ & m′ \ar@{|->}[r] & m \ar@{|->}[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M′ \ar[r]^{d} \ar[d]^{φ} & M \ar[r]^{d} \ar[d]^{ψ} & M′′ \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N′ \ar[r]^{d̃} & N \ar[r]^{d̃} & N′′ \ar[r] & 0 \\  & φ(m′) \ar@{|->}[r] & ... \ar@{|->}[r] & 0}

Wegen der Exaktheit bei M impliziert d(m) = 0 die Existenz eines m′ ∈ M′ mit d(m′) = m. Wegen der Kommutativität des linken Digrammes gilt:

d̃∘ ψ(m) = d̃∘ (ψ ∘ d)(m′) =^{!} d̃∘ (d̃∘ φ)(m′) .

Wegen der Exaktheit bei N gilt d̃∘ d̃= 0 und somit folgt

d̃∘ ψ(m) = 0 .

q.e.d.

\underline{R-Linearität von τ}: Betrachte m′′_{1}, m′′_{2} ∈ M′′ und r_{1} · m′′_{1} + r_{2} · m′′_{2} ∈ M′′. Wir wollen dann zeigen τ(r_{1} · m′′_{1} + r_{2} · m′′_{2}) = r_{1} · τ(m′′_{1}) + r_{2} · τ(m′′_{2}).

Seien m_{1}, m_{2} Urbilder unter d von m′′_{1}, m′′_{2}. Sei m_{3} ein Urbild von r_{1}m′′_{1} + r_{2}m′′_{2}

\xymatrix{m_{1}, m_{2}, m_{3} \ar[r]^{d} \ar[d]^{ψ} & m′′_{1}, m′′_{2}, r_{1}m′′_{1} + r_{2}m′′_{2} \ar[d]^{τ} \\ ψ(m_{1}), ψ(m_{2}), ψ(m_{3}) \ar[r]^{d̃} & d̃ψ(m_{1}), d̃ψ(m_{2}), d̃ψ(m_{3})}

Ein weiteres Urbild von r_{1}m′′_{1} + r_{2}m′′_{2} ist natürlich auch r_{1}m_{1} + r_{2}m_{2}, denn d ist R-linear

d(r_{1}m_{1} + r_{2}m_{2}) = d(m_{3}) .

(d̃∘ ψ)-Anwenden auf die Urbilder gibt links

(d̃∘ ψ)(r_{1}m_{1} + r_{2}m_{2}) = r_{1}d̃ψ(m_{1}) + r_{2}d̃ψ(m_{2}) = r_{1}τ(m_{1}) + r_{2}τ(m_{2})

sowie rechts

(d̃∘ ψ)(m_{3}) = τ(r_{1}m_{1} + r_{2}m_{2}).

Aus dem letzten Hilfssatz folgt die Gleichheit der rechten Seiten. Somit ist τ R-linear und macht das rechte Quadrat des Diagramms kommutativ.

\underline{Eindeutigkeit von τ}: Angenommen es gäbe ein weiteres τ̃, welches das rechte Dreieck kommutativ macht

\xymatrix{M \ar[r]^{d} \ar[d]_{φ} \ar[dr]^{d̃∘ψ} & M′′ \ar[d]^{τ̃} \\ N \ar[r]^{d̃} & N′′}

59. Ein Fortsetzungssatz 178 Da d surjektiv ist, ist jede Abbildung τ̃ aber dann gleich τ, d.h. eindeutig bestimmt. Gilt nämlich

m ⟼^{d} m′′,

dann gilt notwendigerweise auch

τ̃d(m) = d̃∘ ψ(m)

bzw.

τ̃(m′′) = d̃∘ ψ(m),

wobei m irgendein Urbild von m′′ ist.

60 Der Isomorphiesatz

Satz: Gegeben seien R-Moduln V und W und eine R-lineare Abbildung

φ : V → W .

Sei U ein R-Untermodul von Kern(φ) und i : U → V die Inklusionsabbildung

U ⊆ Kern(φ),

sowie π : V → Q ein Quotient von U ⊆ V. Dann existiert genau eine R-lineare Abbildung φ̃, welche das folgende Diagramm

\xymatrix{0 \ar[r] & U \ar[r]^{i} \ar[dr]^{0} & V \ar[r]^{π} \ar[d]^{φ} & Q \ar[r] \ar@{.>}[dl]^{∃!φ̃} & 0 \\  &  & W}

kommutativ macht, d.h. für die gilt

φ = φ̃ ∘ π.

Es gilt Bild(φ̃) = Bild(φ) und Kern(φ̃) = π (Kern(φ)) .

Diese Eigenschaft nennt man die \underline{universelle Eigenschaft des Quotienten}. Sie zeigt, daß Quotienten bis auf Isomorphie eindeutig sind. Ist nämlich φ : V → W selbst ein Quotient von U ⊆ V, dann folgt

\xymatrix{V \ar[r]^{π} \ar[d]^{φ} & Q \ar@{.>}[dl]^{∃!φ̃} \\ W \ar@{.>}[ur]^{∃!π̃}}

Aus der Eindeutigkeit der Abbildungen, folgt π̃ ∘ φ̃ = id_{Q} und φ̃ ∘ π̃ = id_{W}. Zur Begründung: Ist ϕ : V → W gleich zu der Abbildung π : V → W, dann ist die eindeutig bestimmte Abbildung ϕ̃ des letzten Satzes natürlich die identische Abbildung.

\underline{Beweis}: Die Sequenzen

[figure: 0; U; i; 0; V; π; φ; Q; ∃! φ̃; ∃!φ̃; 0; 0; 0; W; id; W; 0]

erfüllen die Voraussetzungen des Satzes von §58. Das linke Diagramm ist kommutativ wegen der Annahme ϕ ∘ i = 0. Die Existenz und Eindeutigkeit von φ̃ folgt somit aus dem Satz aus §59. Zu zeigen bleibt: Bild(φ̃) = Bild(φ) und Kern(φ̃) = π(Kern(φ)).

w ∈ Bild(φ̃) ⟺ ∃[v] ∈ V/U mit φ̃([v]) = w
⟺^{π surj.} ∃v ∈ V mit φ̃ (π(v)) = w
⟺ ∃v ∈ V mit id ∘ φ(v) = w
⟺ ∃v ∈ V mit φ(v) = w
⟺ w ∈ Bild(φ)

q.e.d.

[v] ∈ Kern(φ̃) ⟺ v ∈ Kern(φ̃ ∘ π) ∀v ∈ π^{−1}([v])
⟺ v ∈ Kern(id ∘ φ) = Kern(φ) ∀v ∈ π^{−1}([v])
⟺^{π anw.} [v] = π(v) ∈ π (Kern(φ))

Isomorphiesatz: Sei φ : V ↠ W eine surjektive R-lineare Abbildung zwischen R-Moduln V, W. Dann definiert φ̃ einen Isomorphismus

φ̃ : V/Kern(φ) ⟶^{≅} W

von R-Moduln.

\underline{Beweis}: Setze U = Kern(φ) im Satz. Wegen Bild(φ̃) = Bild(φ) =^{!} W ist φ̃ surjektiv. Wegen Kern(φ̃) = π(Kern(φ)) = 0 ist φ injektiv. Somit ist φ̃ bijektiv, also ein Isomorphismus.

Kohomologietheorie

61 Kohomologiegruppen eines Komplexes

Gegeben sei ein Komplex K^{•} von R-Moduln

⋯ ⟶ K^{−1} ⟶^{d_{−1}} K^{0} ⟶^{d_{0}} K^{1} ⟶^{d_{1}} K^{2} ⟶ ⋯

mit d_{i} ∘ d_{i−1} = 0. Wir betrachten dazu folgende abgeleitete R-Moduln:

\underline{Für jedes i ∈ ℤ setzen wir}:

i-Zykel: Z^{i}(K^{•}) = Kern(d_{i} : K^{i} → K^{i+1})

und die

i-Ränder: B^{i}(K^{•}) = Bild(d_{i−1} : K^{i−1} → K^{i}).

Wegen d_{i} ∘ d_{i−1} = 0 definiert dies R-Moduln mit der Eigenschaft

B^{i}(K^{•}) ⊆ Z^{i}(K^{•}) ⊆ K^{i} .

Definition: Die \underline{i-te Kohomologiegruppe} H^{i}(K^{•}) des Komplexes ist definiert als Quotienten-R-Modul

H^{i}(K^{•}) = Z^{i}(K^{•})/B^{i}(K^{•}).

Man hat dann per Definition die folgenden kurzen exakten Sequenzen von R-Moduln

\begin{aligned}0 & → & B^{i}(K^{•}) & → & Z^{i}(K^{•}) & → & H^{i}(K^{•}) & → & 0 \\ & & & & k & ↦ & [k] \end{aligned}

Offensichtlich gilt H^{i}(K^{•}) = 0 genau dann, wenn B^{i}(K^{•}) = Z^{i}(K^{•}) ist. Also

Folgerung: H^{i}(K^{•}) = 0 ⟺ K^{•} ist exakt an der Stelle i.

62. Die induzierte Abbildung φ_{∗} 183

62 Die induzierte Abbildung φ_{∗}

Seien K^{•} und L^{•} Komplexe. Eine \underline{Komplexabbildung} φ von K^{•} nach L^{•} ist per Definition ein System φ_{n} : K^{n} → L^{n} (n ∈ ℤ) von R-linearen Abbildungen mit der Eigenschaft

φ_{n} ∘ d_{n−1} = d_{n−1} ∘ φ_{n−1}

für alle n ∈ ℤ.

\xymatrix{⋮ \ar[d] & ⋮ \ar[d] \\ K^{n−1} \ar[r]^{φ_{n−1}} \ar[d]^{d_{n−1}} & L^{n−1} \ar[d]^{d_{n−1}} \\ K^{n} \ar[r]^{φ_{n}} \ar[d] & L^{n−1} \ar[d] \\ ⋮ & ⋮}

Lemma 1: Jede Komplexabbildung φ von K^{•} nach L^{•} induziert Abbildungen

φ_{∗} : H^{n}(K^{•}) → H^{n}(L^{•})

für alle n ∈ ℤ.

\underline{Beweis}: Betrachte

\xymatrix{0 \ar[r] & B^{n}(K^{•}) \ar[r] \ar[d]^{φ_{n}} & Z^{n}(K^{•}) \ar[r] \ar[d]^{φ_{n}} & H^{n}(K^{•}) \ar[r] \ar@{.>}[d]^{φ_{∗}} & 0 \\ 0 \ar[r] & B^{n}(L^{•}) \ar[r] & Z^{n}(L^{•}) \ar[r] & H^{n}(L^{•}) \ar[r] & 0}

Wir verwenden dabei den Satz aus §58, daß man zwischen zwei exakten Sequenzen das linke, kommutative Diagramm eindeutig ergänzen kann durch eine R-lineare Abbildung φ_{∗} zu einem kommutativen rechten Diagramm.

Das linke Diagramm ist kommutativ und von φ_{n} induziert: Das heißt die Enschränkung von

φ_{n} : K^{n} → L^{n}

bildet Z^{n}(K^{•}) = Kern(d_{n}) automatisch auf Kern(d_{n}) = Z^{n}(L^{•}) ab, und bildet B^{n}(K^{•}) = Bild(d_{n−1}) automatisch auf Bild(d_{n−1}) = B^{n}(L^{•}) ab. \underline{Begründung}:

[figure: ⋮; ⋮; K^{n−1}; φ_{n−1}; d_{n−1}; L^{n−1}; d_{n−1}; y; φ_{n−1}(y); K^{n}; φ_{n}; d_{n}; L^{n}; d_{n}; x; φ_{n}(x); K^{n+1}; φ_{n+1}; L^{n+1}; 0; 0; ⋮; ⋮]

Sei x ∈ Z^{n}(K^{•}) = Kern(d_{n}). Dann folgt φ_{n}(x) ∈ Kern(d_{n}) = Z^{n}(L^{•}) wegen

d_{n}φ_{n}(x) = φ_{n+1}d_{n}(x) = φ_{n+1}(0) = 0 .

Gilt andererseits B^{n}(K^{•}) = Bild(d_{n−1}) ∋ x = d_{n−1}(y), so folgt φ_{n}(x) = φ_{n}d_{n−1}(y) = d_{n−1}(φ_{n−1}(y)) ∈ Bild(d_{n−1}) = B^{n}(L^{•}). q.e.d.

Damit ist das anfangs benutzte Diagramm erklärt. Wir haben gezeigt, daß die vertikalen Abbildungen φ_{n} das linke Quadrat kommutativ machen. φ_{∗} ist die einzige Ergänzung nach §58, welche auch das rechte Quadrat kommutativ macht. Es gilt für [k] ∈ H^{n}(K^{•})

φ_{∗}([k]) = [φ_{n}(k)]

für irgendeinen Repräsentaten k ∈ Z^{n}(K^{•}) mit [k] = π(k). Das heißt

[figure: 0; B^{n}(K^{•}); φ_{n}; Z^{n}(K^{•}); π; φ_{n}; H^{n}(K^{•}); φ_{∗}; 0; 0; B^{n}(L^{•}); Z^{n}(L^{•}); H^{n}(L^{•}); 0; k; [k]; φ_{n}(k); [φ_{n}(k)]]

Lemma 2: Seien φ und ψ Abbildungen von Komplexen (φ von K^{•} nach L^{•} und ψ von L^{•} nach M^{•}). Dann ist die zusammengesetzte Abbildung ψ ∘ φ von K^{•} nach M^{•} erklärt durch

(ψφ)_{n} = ψ_{n} ∘ φ_{n}

Dies ist eine Komplexabbildung und die induzierte Abbildung

(ψφ)_{∗} : H^{•}(K^{•}) → H^{•}(L^{•})

ist die Zusammensetzung

(ψφ)_{∗} = ψ_{∗} ∘ φ_{∗}

von φ_{∗} : H^{•}(K^{•}) → H^{•}(M^{•}) und ψ_{∗} : H^{•}(M^{•}) → H^{•}(L^{•}).

\underline{Beweis}: Wir müssen zuerst zeigen, daß (ψφ)_{n} definiert durch ψ_{n} ∘ φ_{n} eine Komplexabbildung definiert. Gegeben ist

\xymatrix{K^{n−1} \ar[r]^{φ_{n−1}} \ar[d]^{d} & L^{n−1} \ar[r]^{ψ_{n−1}} \ar[d]^{d} & M^{n−1} \ar[d]^{d} \\ K^{n} \ar[r]^{φ_{n}} & L^{n} \ar[r]^{ψ_{n}} & M^{n}}

Zu zeigen ist, daß die zusammengesetzten Quadrate kommutativ sind:

\xymatrix{K^{n−1} \ar[r]^{ψ_{n−1}φ_{n−1}} \ar[d]^{d} & M^{n−1} \ar[d]^{d} \\ K^{n} \ar[r]^{ψ_{n}φ_{n}} & M^{n}}

Dies folgt aber aus:

\underline{(ψ_{n}φ_{n})d} = ψ_{n}(φ_{n}d) = ψ_{n}(dφ_{n−1}) = (ψ_{n}d)φ_{n−1} = (dψ_{n−1})φ_{n−1} = \underline{d(ψ_{n−1}φ_{n−1})}

Damit ist gezeigt, daß das System ψφ = (ψ_{n}φ_{n})_{n∈ℤ} eine Abbildung vom Komplex K^{•} nach M^{•} ist.

Zu zeigen bleibt: \underline{ψ_{∗}φ_{∗} = (ψφ)_{∗}}: Wir betrachten die definierenden Sequenzen für die Kohomologie und die Zusammensetzung von φ_{∗} und ψ_{∗} :

\xymatrix{0 \ar[r] & B^{n}(K^{•}) \ar[r] \ar[d]^{φ_{n}} & Z^{n}(K^{•}) \ar[r] \ar[d]^{φ_{n}} & H^{n}(K^{•}) \ar[r] \ar@{.>}[d]^{φ_{∗}} & 0 \\ 0 \ar[r] & B^{n}(L^{•}) \ar[r] \ar[d]^{ψ_{n}} & Z^{n}(L^{•}) \ar[r] \ar[d]^{ψ_{n}} & H^{n}(L^{•}) \ar[r] \ar@{.>}[d]^{ψ_{∗}} & 0 \\ 0 \ar[r] & B^{n}(M^{•}) \ar[r] & Z^{n}(M^{•}) \ar[r] & H^{n}(M^{•}) \ar[r] & 0}

sowie die definierenden Sequenzen für die Abbildung (ψφ)_{∗}:

\xymatrix{0 \ar[r] & B^{n}(K^{•}) \ar[r] \ar[d]^{ψ_{n}φ_{n}=(ψφ)_{n}} & Z^{n}(K^{•}) \ar[r] \ar[d]^{ψ_{n}φ_{n}=(ψφ)_{n}} & H^{n}(K^{•}) \ar[r] \ar@{.>}[d]^{(ψφ)_{∗}} & 0 \\ 0 \ar[r] & B^{n}(M^{•}) \ar[r] & Z^{n}(M^{•}) \ar[r] & H^{n}(M^{•}) \ar[r] & 0}

In dem ersten Diagramm ergibt sich durch Aneinanderreihen der beiden rechten kommutativen Diagramme ein kommutatives Diagramm.

\xymatrix{0 \ar[r] & B^{n}(K^{•}) \ar[r] \ar[d]^{ψ_{n}φ_{n}} & Z^{n}(K^{•}) \ar[r] \ar[d]^{ψ_{n}φ_{n}} & H^{n}(K^{•}) \ar[r] \ar@{.>}[d]^{ψ_{∗}∘φ_{∗}} & 0 \\ 0 \ar[r] & B^{n}(M^{•}) \ar[r] & Z^{n}(M^{•}) \ar[r] & H^{n}(M^{•}) \ar[r] & 0}

Da die rechte kommutative Ergaänzung eindeutig ist, folgt durch Vergleich der beiden letzten Diagramme:

ψ_{∗} ∘ φ_{∗} = (ψφ)_{∗}.

63 Die lange exakte Kohomologiesequenz

Seien K^{•}, L^{•} und M^{•} Komplexe von R-Moduln. Wir nehmen an, wir haben Abbildungen φ_{n} und ψ_{n} gegeben für alle n ∈ ℤ wie im folgenden Diagramm:

\xymatrix{ & ⋮ \ar[d] & ⋮ \ar[d] & ⋮ \ar[d] \\ 0 \ar[r] & K^{n−1} \ar[r]^{φ_{n−1}} \ar[d] & L^{n−1} \ar[r]^{ψ_{n−1}} \ar[d] & M^{n−1} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & K^{n} \ar[r]^{φ_{n}} \ar[d] & L^{n} \ar[r]^{ψ_{n}} \ar[d] & M^{n} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & K^{n+1} \ar[r]^{φ_{n+1}} \ar[d] & L^{n+1} \ar[r]^{ψ_{n+1}} \ar[d] & M^{n+1} \ar[r] \ar[d] & 0 \\  & ⋮ & ⋮ & ⋮}

so daß außerdem gilt:

1) (φ_{n}) ist eine Komplexabbildung von K^{•} nach L^{•}, d.h.

φ_{n} ∘ d = d ∘ φ_{n−1} ∀n ∈ ℤ.

2) (ψ_{n}) ist eine Komplexabbildung von L^{•} nach M^{•} d.h.

ψ_{n} ∘ d = d ∘ ψ_{n−1} ∀n ∈ ℤ.

3) für alle n ∈ ℤ sind die waagrechten Sequenzen

0 ⟶ K^{n} ⟶^{φ_{n}} L^{n} ⟶^{ψ_{n}} M^{n} ⟶ 0

\underline{kurze exakte} Sequenzen, d.h. insbesondere ist φ_{n} injektiv und ψ_{n} surjektiv und es gilt ψ_{n} ∘ φ_{n} = 0.

Satz: Dann gibt es R-lineare Abbildungen δ : H^{n}(M^{•}) → H^{n+1}(K^{•}) für alle n ∈ ℤ, so daß

[figure: δ; H^{n}(K^{•}); φ_{∗}; H^{n}(L^{•}); ψ_{∗}; H^{n}(M^{•}); δ; H^{n+1}(K^{•}); φ_{∗}; H^{n+1}(L^{•}); ψ_{∗}; H^{n+1}(M^{•}); δ]

eine \underline{lange exakte} Sequenz von R-Moduln definiert.

Die auftretenden Abbildungen δ : H^{n}(M^{•}) → H^{n+1}(K^{•}) heißen Verbindungshomomorphismen.

\underline{Bemerkung}: In vielen Anwendungen ist nur die Berechnung der Kohomologiemoduln H^{n}( ) und die Berechnung der Abbildungen φ_{∗}, ψ_{∗} wichtig. Von δ wird oft nur die Existenz benötigt.

\underline{Beweis}: \underline{1. Schritt}: Konstruktion von δ

Sei [m] ∈ H^{n}(M^{•}.) Dann wähle ein Urbild in der definierenden Sequenz

\begin{aligned}0 & ⟶ & Bild(d_{n−1}) & ⟶ & Kern(d_{n}) & ⟶ & H^{n}(M^{•}) & ⟶ & 0 \\ & & & & m & ⟼ & [m] \end{aligned}

Dann ist m ∈ M^{n}, so daß d(m) = 0 gilt.

[figure: ⋮; ⋮; ⋮; 0; K^{n}; φ_{n}; L^{n}; ψ_{n}; M^{n}; 0; 0; K^{n+1}; φ_{n+1}; L^{n+1}; ψ_{n+1}; M^{n+1}; 0; 0; K^{n+2}; φ_{n+2}; L^{n+2}; ψ_{n+2}; M^{n+2}; 0; ⋮; ⋮; ⋮; l_{n}; m; 0; k_{n+1}; l_{n+1}; d(m) = 0; ?; 0]

Da ψ_{n} surjektiv ist, gibt es ein Urbild l_{n} ∈ L^{n} mit ψ_{n}(l_{n}) = m. Wegen ψ_{n+1}(dl_{n}) = dψ_{n}(l_{n}) = 0 und der Exaktheit bei L^{n+1} gilt l_{n+1} = d(l_{n}) = φ_{n+1}(k_{n+1}) für ein k_{n+1} ∈ K^{n+1}. \underline{Beh.}: d(k_{n+1}) = 0 \underline{Bew.}: Es gilt

φ_{n+2}(dk_{n+1}) = dφ_{n+1}(k_{n+1}) = dl_{n+1} = ddl_{n} = 0

und die Injektivität von φ_{n+2} und φ_{n+2}(dk_{n+1}) = 0 impliziert dk_{n+1} = 0. \underline{Wir machen den Ansatz}: δ([m]) := [k_{n+1}] Willkür trat auf bei der Konstruktion von k_{n+1} an zwei Stellen:

(i) bei der Wahl des Repräsentanten m von [m] : m′ = m + d(m_{n})

63. Die lange exakte Kohomologiesequenz 190

(ii) bei der Wahl des Repräsentanten l_{n} von m : l′_{n} = l_{n} + φ_{n}(k_{n})

Andere Wahlen bei (i) und (ii) führen zu einem modifizierten Element

l_{n} + φ_{n}(k_{n}) + d(l_{n−1})

an Stelle von l_{n}. Dies gibt wegen dd(l_{n−1}) = 0 als Modifikation von l_{n+1} = d(l_{n})

l_{n+1} + dφ_{n}(k_{n}) = l_{n+1} + φ_{n}(dk_{n}) .

Somit erhält man an Stelle von k_{n+1} das Element

k′_{n+1} = k_{n+1} + d(k_{n}) .

Es folgt für die Kohomologieklasse [k′_{n+1}] = [k_{n+1} + d(k_{n})] = [k_{n+1}]

\begin{aligned}0 & ⟶ & Bild(d_{n}) & ⟶ & Kern(d_{n+1}) & ⟶ & H^{n+1}(M^{•}) & ⟶ & 0 \\ & & d(k_{n}) & & k′_{n+1}, k_{n+1} & ⟼ & [k_{n+1}] \end{aligned}

Die Abbildung δ ist also wohldefiniert

\begin{matrix}H^{n}(M^{•}) & ⟶^{δ} & H^{n+1}(K^{•}) \\ [m] & ⟼ & [k_{n+1}] \end{matrix}

und, wie man leicht sieht, R-linear. \underline{2. Schritt}: δ ∘ ψ_{∗} = 0 auf H^{n}(L^{•}) Sei [m] = ψ_{∗}([l]) mit l = l_{n} ∈ Z^{n}(L^{•}). Dann gilt δ([m]) = 0 wegen l_{n+1} = dl_{n} = 0 und somit k_{n+1} = 0. Es folgt δ ∘ ψ_{∗}([l]) = 0 für alle [l] ∈ H^{n}(L^{•}). \underline{3. Schritt}: φ_{∗} ∘ δ = 0 auf H^{n}(M^{•}) φ_{∗}δ([m]) = φ_{∗}([k_{n+1}]) = [φ_{n+1}(k_{n+1})] = [l_{n+1}] = 0, da l_{n+1} = d(l_{n}) in B^{n+1}(L^{•}) liegt. \underline{4. Schritt}: ψ_{∗} ∘ φ_{∗} = 0 auf H^{n}(K^{•}) ψ_{∗} ∘ φ_{∗} = (ψ ∘ φ)_{∗} = 0_{∗} = 0, da die waagrechten Abbildungen exakt sind und somit ψ_{n} ∘ φ_{n} = 0 für alle n ∈ ℤ gilt. Benutze dann Lemma 2 von §62.

\underline{5. Schritt}: Kern(δ) ⊆ Bild(ψ_{∗}) in H^{n}(M^{•})

Sei [m] ∈ Kern(δ). Dann gilt k_{n+1} = d(k_{n}) ∈ B^{n+1}(K^{•}).

[figure: k_{n}; l̃_{n}, l_{n}; m; k_{n+1}; l_{n+1}]

Für l̃_{n} = l_{n} − φ_{n}(k_{n}) gilt dann auch ψ_{n}(l̃_{n}) = ψ_{n}(l_{n}) = m. Anderseits gilt jetzt d(l̃_{n}) = 0, also l̃_{n} ∈ Z^{n}(L^{•}). Dies definiert eine Kohomologieklasse [l̃_{n}] ∈ H^{n}(L^{•}) und es gilt [m] = ψ_{∗}([l̃_{n}]) ∈ Bild(ψ_{∗}).

\underline{6. Schritt}: Kern(ψ_{∗}) ⊆ Bild(φ_{∗}) in H^{n}(L^{•})

Sei [l_{n}] ∈ Kern(ψ_{∗}). Dann gilt ψ_{n}(l_{n}) = d(m_{n−1}) ∈ B^{n}(K^{•}) und dl_{n} = 0

[figure: l_{n−1}; m_{n−1}; d; 0; k_{n}; l′_{n}, l_{n}; ψ_{n}; m_{n}; ?; 0]

l′_{n} = l_{n} − d(l_{n−1}) ist ein modifiziertes Urbild [l′_{n}] = [l_{n}] von [m]. Wählt man für l_{n−1} ein Urbild von m_{n−1}, so folgt aus ψ_{n−1}(l_{n−1}) = m_{n−1}

ψ_{n}(l′_{n}) = ψ_{n}(l_{n}) − ψ_{n}d(l_{n−1}) = ψ_{n}(l_{n}) − dm_{n−1} = m_{n} − m_{n} = 0.

Wegen der Exaktheit bei L^{n} folgt daraus l′_{n} = φ_{n}(k_{n}) für ein k_{n} ∈ K^{n}. Es gilt wegen der Injektivität von φ_{n+1} und wegen dl′_{n} = 0 sogar d(k_{n}) = 0! Also ist k_{n} in Z^{n}(K^{•}) und somit ist [k_{n}] ∈ H^{n}(K^{•}) eklärt. Es folgt für die Kohomologieklassen [l_{n}] = φ_{∗}([k_{n}]) ∈ Bild(φ_{∗}).

\underline{7. Schritt}: Kern(φ_{∗}) ⊆ Bild(δ) in H^{n+1}(K^{•})

Sei [k_{n+1}] ∈ Kern(φ_{∗}), φ_{∗}([k_{n+1}]) = 0, d.h. φ_{n+1}(k_{n+1}) = d(l_{n}) ∈ B^{n+1}(K^{•})

[figure: l_{n}; m_{n}; k_{n+1}; l_{n+1} = φ_{n+1}(k_{n+1}); 0]

63. Die lange exakte Kohomologiesequenz 192 Setze m_{n} = ψ_{n}(l_{n}). Dann gilt

d(m_{n}) = dψ_{n}(l_{n}) = ψ_{n+1}d(l_{n}) = ψ_{n+1}(l_{n+1}) = ψ_{n+1}φ_{n+1}(k_{n+1}) = 0, also ist m_{n} ∈ Z^{n}(M^{•}) und dies definiert die Kohomologieklasse [m_{n}] ∈ H^{n}(M^{•}). Dann gilt aber per Definition der Verbindungsabbildung (!)

δ([m_{n}]) = [k_{n+1}].

Daraus folgt Kern(φ_{∗}) ⊆ Bild(δ).

Damit ist der Beweis dieses technischen Satzes abgeschlossen.

64 Das Schlangenlemma

Ein Spezialfall der langen, exakten Kohomologiesequenz aus dem letzten Abschnitt ist das Schlangenlemma

Annahme (∗). Seien zwei \underline{kurze exakte} Sequenzen gegeben

\xymatrix{0 \ar[r] & K^{0} \ar[r]^{φ_{0}} \ar[d]^{χ} & L^{0} \ar[r]^{ψ_{0}} \ar[d]^{λ} & M^{0} \ar[r] \ar[d]^{μ} & 0 \\ 0 \ar[r] & K^{1} \ar[r]^{φ_{0}1} & L^{1} \ar[r]^{ψ_{1}} & M^{1} \ar[r] & 0}

und vertikale Abbildungen wie im Diagramm. Alle Moduln seien R-Moduln, alle Abbildungen R-linear. Beide Quadrate des Diagramms seien kommutativ.

Dann kann man durch Auffüllen mit Nullmoduln Komplexe K^{•}, L^{•} und M^{•} konstruieren:

\xymatrix{ & ⋮ \ar[d] & ⋮ \ar[d] & ⋮ \ar[d] \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & K^{0} \ar[r]^{φ_{0}} \ar[d]^{χ} & L^{0} \ar[r]^{ψ_{0}} \ar[d]^{λ} & M^{0} \ar[r] \ar[d]^{μ} & 0 \\ 0 \ar[r] & K^{1} \ar[r]^{φ_{1}} \ar[d] & L^{1} \ar[r]^{ψ_{1}} \ar[d] & M^{1} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[r] \ar[d] & 0 \\  & ⋮ & ⋮ & ⋮}

Die Kohomologie des Komplexes K^{•} ist dann gegeben durch:

H^{i}(K^{•}) = \{ \begin{matrix}0 & i ≠ 0, 1 \\ Kern(χ) & i = 0 \\ Kokern(χ) & i = 1 \end{matrix}

64. Das Schlangenlemma 194

Gleiches gilt für die Komplexe L^{•} und M^{•}. Hierbei wurde folgende allgemeine Definition benutzt Definition: Ist χ : K_{0} → K_{1} eine R-lineare Abbildung von R-Moduln, dann ist der Kokern(χ) definiert durch:

Kokern(χ) = K_{1}/Bild(χ).

Als Spezialfall der langen, exakten Kohomologiesequenz erhält man – angewandt auf obige Situation – die sogenannte \underline{Kern-Kokern-Sequenz}: Lemma: Unter der Annahme (∗) von weiter oben gibt es eine exakte Sequenz

\xymatrix{0 \ar[r] & Kern(χ) \ar[r]^{φ_{0}} & Kern(λ) \ar[r]^{ψ_{0}} & Kern(μ) \ar[dll]^{δ} \\  & Kokern(χ) \ar[r] & Kokern(λ) \ar[r] & Kokern(μ) \ar[r] & 0}

Dieses Lemma wird aus offensichtlichen Gründen \underline{Schlangenlemma} genannt.

Algebren

65. K–Algebren 196

65 K–Algebren

Sei K ein fester Körper oder allgemein ein fest gewählter kommutativer Ring und A ein Ring, welcher K enthält. A kann als K–Modul aufgefaßt werden. Wir nehmen an A sei eine freier R–Modul. Dann besitzt A eine Basis B über K

A = K · e_{1} ⊕ ... ⊕ K · e_{n}

oder allgemein A = ⨁_{e_{i}∈B} K · e_{i}, falls |B| = ∞.

Definition: A wie oben heißt dann K–Algebra, wenn K außerdem im \underline{Zentrum} Z(A) von A liegt, d.h. wenn gilt

λ · a = a · λ

für alle λ ∈ K und alle a ∈ A.

\underline{Bemerkung}: Die Distributivgesetze für den Ring A besagen, daß die Multiplikation additiv in beiden Variablen ist. Da K · 1_{A} nach Annahme im Zentrum von A liegt, läßt sich mit dem Distributivgesetz in der Aussage zusammenfassen, daß die Multiplikation

A × A ⟶^{m} A

eine K–bilineare Abbildung ist. Eine solche genügt es auf den Basiselementen (e_{i}, e_{j}) ∈ A×A festzulegen. Umgekehrt definieren daher beliebige Vorgaben von Konstanten C_{ij}^{k} ∈ K mit e_{i} · e_{j} = ∑_{k=1}^{n} C_{ij}^{k} · e_{k} eine K-bilineare Multiplikationsabbildung m auf A. Dies definiert eine K–Algebra, wenn das Assoziativgesetz gilt oder äquivalent

∑_{l} C_{ij}^{l}C_{lk}^{m} = ∑_{l} C_{il}^{m}C_{jk}^{l} ∀ i, j, k, m ,

und wenn ein Einselement existiert.

\underline{Beachte}: Wegen der Distributivgesetze genügt es, das Assoziativgesetz auf einer K–Basis nachzuweisen!

Eine K–Algebra ist also vollständig bestimmt durch die Strukturkonstanten C_{ij}^{k}

e_{i} · e_{j} = ∑_{k=1}^{n} C_{ij}^{k} · e_{k}.

Häufig wählen wir für e_{1} das Einselement e_{1} = 1_{A} des Ringes A.

\underline{Beispiel}: Der Polynomring K[X] ist eine K–Algebra mit der Basis e_{i} = X^{i} für i = 0, 1, 2, ... und den Strukturkonstanten C_{ij}^{k} = 1 oder 0 je nachdem, ob i + j = k gilt oder nicht.

\underline{Beispiel}: (n=2): In diesem Fall gilt für A = K · 1 ⊕ K · e allgemein e^{2} = α · 1 + β · e. Im Fall \frac{1}{2} ∈ K kann durch die Basiswahl ẽ = e − \frac{1}{2}β angenommen werden, daß ẽ · ẽ = e^{2} − β · e + \frac{1}{4}β^{2} = (α + \frac{1}{4}β^{2}) ∈ K. Also obdA e^{2} ∈ K · 1.

Definition: C(a) ist die K–Algebra

C(a) = K · 1 ⊕ K · e

mit

e^{2} = −a

für gegebenes a ∈ K. Setze C^{+}(a) = K · 1 und C^{−}(a) = K · e.

\underline{Bemerkung}: Schreibt man x · 1 + y · e in der Form (x, y), dann werden die Rechengesetze von C(a) durch (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) und (x, y)(x′, y′) = (xx′ − ayy′, xy′ + yx′) beschrieben. Man überprüft leicht durch explizites Nachrechnen, daß das Assoziativgesetz sowie die übrigen Ringaxiome erfüllt sind.

\underline{Bemerkung}: Ist K ein Körper, dann ist C(a) genau dann wieder ein Körper, wenn a kein Quadrat in K ist. Dies zeigt man im Fall des Körpers der komplexen Zahlen. Für a = 0 ist C(0) kein Körper, sondern ein Spezialfall der folgenden, allgemeiner definierten Graßmann–Algebren.

66 Graßmann Algebra

Sei V = K · e_{1} ⊕ ... ⊕ K · e_{m} ein m–dimensionaler freier K–Modul. Die Graßmann–Algebra A = Λ^{•}(V) hat per Definition 2^{m} Basiselemente

e_{I} , I ⫅ {1, ..., m},

welche durch die Teilmenge I der Menge {1, ..., m} indiziert werden:

Λ^{•}(V) = ⨁_{I⫅{1,...,m}}K · e_{I}.

Wir schreiben oft e_{i} anstelle von e_{{i}} zur Vereinfachung der Schreibweise im Fall der einelementigen Mengen I = {i}.

Die charakterisierenden Relationen der Graßmann Algebra sind

(∗)  \begin{matrix}e_{i} · e_{j} = & −e_{j} · e_{i} & (1 ≤ i, j, ≤ m) \\ e_{i} · e_{i} = & 0 & (1 ≤ i ≤ m), \end{matrix}

sowie

(∗∗)  e_{I} = e_{i_{1}} · e_{i_{2}} ⋯ e_{i_{r}},

für

I = {i_{1}, i_{2}, ..., i_{r}}, i_{1} < i_{2} < ... < i_{r}.

Diese Formeln legen die Strukturkonstanten der Graßmann Algebra bereits vollkommen fest, wie man sich leicht überlegt: Beispielsweise folgt aus den obigen Bedingungen

e_{I} · e_{J} = (−1)^{|I|·|J|}e_{J} · e_{I}

sowie

e_{I} · e_{J} = \{ \begin{matrix}0 & I ∩ J ≠ ∅ \\ ±e_{I∪J} & I ∩ J = ∅. \end{matrix}

Das Vorzeichen ± in der letzten Formel ist dabei vollkommen festgelegt als das Signum der Permutation, welche die Zahlen (i_{1}, ..., i_{r}, j_{1}, ..., j_{s}) mit i_{1} < ... < i_{r} sowie j_{1} < ... < j_{s} in aufsteigende Anordnung überführt. Hierbei sei I = {i_{1}, .., i_{r}} und J = {j_{1}, ..., j_{s}}.

\underline{Zur Existenz von Λ^{•}(V)}: Es bleibt natürlich zu zeigen, daß die geforderten Bedingungen (∗) und (∗∗) tatsächlich einen Ring A mit K–Basis {e_{I}} definieren, welcher insbesondere das Assoziativgesetz erfüllt. Dies kann man natürlich direkt verifizieren. Eleganter und einfacher ist aber die im übernächsten Paragraphen §68 beschriebene Konstruktion mittels eines getwisteten Tensorprodukts.

\underline{Bezeichnung}:

Λ^{+}(V) = ⨁_{\begin{matrix}I \\ |I| gerade \end{matrix}} K · e_{I}

Λ^{−}(V) = ⨁_{I ; |I| ungerade} K · e_{I}

Bemerkung: Für das Produkt in der Graßmann Algebra schreibt man häufig v∧w anstelle von v · w.

67 Tensorprodukte

Seien V und W zwei K–Moduln. Das Tensorprodukt V ⊗_{K} W ist ein K– Modul und durch folgende universelle Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt:

Es gibt eine K–bilineare Abbildung

π : V × W ⟶ V ⊗_{K} W

derart, daß für jede K–bilineare Abbildung B : V × W → U in einen K– Modul U eine eindeutig bestimmte K–lineare Abbildung b : V ⊗_{K} W → U existiert, welche das Diagram

\xymatrix{V × W \ar[rr]^{π} \ar[dr]_{B} &  & V ⊗_{K} W \ar@{.>}[dl]^{∃!b} \\  & U}

kommutativ macht.

\underline{Bemerkung}: Das Tensorprodukt existiert immer. Für zwei freie K–Moduln V und W von endlichem Rang ist dies aber besonders einfach zu sehen. Ist e_{1}, ..., e_{r} eine K–Basis von V und e′_{1}, ..., e′_{s} eine K–Basis von W, dann definieren wir V ⊗_{K} W als des freien Modul K^{r·s} mit den Basisvektoren e_{i} ⊗_{K} e′_{j} (formale Bezeichnung). Die Abbildung π wird definiert durch π(e_{i}, e_{j}) = e_{i} ⊗_{K} e_{j}. Für bilineares B : V × W → U ist die gesuchte Abbildung b durch folgende Vorgabe auf den Basisvektoren (siehe §11)

b(e_{i} ⊗ e′_{j}) = B(e_{i}, e′_{j}).

Man überprüft leicht, daß die geforderte universelle Eigenschaft gilt. Insbesondere gilt

rang_{K}(V ⊗_{K} W) = rang_{K}(V) · rang_{K}(W).

\underline{Warnung}: rang_{K}(V × W) = rang_{K}(V) + rang_{K}(W).

\underline{Tensorprodukte von Algebren}: Seien A und A′ zwei K–Algebren, dann ist das Tensorprodukt

A ⊗_{K} A′

wieder eine K–Algebra, wenn man die Multiplikation wie folgt definiert

(a_{1} ⊗_{K} a′_{1}) · (a_{2} ⊗_{K} a′_{2}) = a_{1}a_{2} ⊗_{K} a′_{1}a′_{2}.

In der Tat ist 1_{A} ⊗_{K} 1_{A′} das Einselement. Das Assoziativgesetz der K–Algebra ist unmittelbar klar.

\underline{Bemerkung}: Das Tensorprodukt kommutativer K–Algebren ist offensichtlich wieder kommutativ. Um auch nichtlommutative Algebren zu erhalten betrachten wir alternativ auch folgende getwistete Konstruktion.

68 Getwistete Produkte von Algebren

Eine K–Algebra heißt ℤ_{2}–graduierte Algebra, wenn gilt

A = A_{+} ⊕ A_{−}

mit K–Untermoduln A_{+}, A_{−} derart, daß

(∗)  \begin{matrix}A_{+} · A_{+} ⊂ A_{+} , & A_{−} · A_{−} ⊂ A_{+} \\ A_{−} · A_{+} ⊂ A_{−} , & A_{+} · A_{−} ⊂ A_{−}. \end{matrix}

\underline{Beispiel}: A = Λ^{•}(V) mit A_{±} = Λ^{±}(V) oder C(a) mit C^{±}(a).

Die Elemente aus A_{+}∪A_{−} werden ”homogen” genannt. Für homogene Elemente a ∈ A_{+} resp. a ∈ A_{−} ist der Grad definiert durch |a| = 0 resp. |a| = 1. Aus den Regeln für die Multiplikation homogener Elemente (∗) folgt |a·b| = |a|+|b| ∈ ℤ_{2} für homogene a und b.

Sind A und A′ zwei ℤ_{2}–graduierte Algebren, dann kann man dem Tensorprodukt eine getwistete Ringstruktur geben vermöge der Definition

(a_{1} ⊗_{K} a′_{1}) · (a_{2} ⊗_{K} a′_{2}) = (−1)^{|a′_{1}||a_{2}|}a_{1}a_{2} ⊗_{K} a′_{1}a′_{2}.

Hierbei seien a_{i} ∈ A_{±} resp. a′_{i} ∈ A′_{±} ”homogene” Elemente.

\underline{Genauer}: Die Abbildung M, definiert für die homogenen Elemente wie folgt

\begin{matrix}M : A × A′ × A × A′ & ⟶ & A ⊗_{K} A′ \\ (a_{1}, a′_{1}, a_{2}, a′_{2}) & ⟼ & (−1)^{|a′_{1}||a_{2}|}a_{1}a_{2} ⊗_{K} a′_{1}a′_{2}, \end{matrix}

ist K–bilinear in (a_{1}, a′_{1}) und K–bilinear in (a_{2}, a′_{2}). Wegen der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts faktorisiert somit M über eine Abbildung

(A ⊗_{K} A′) × (A ⊗_{K} A′) ⟶^{m} A ⊗_{K} A′.

Diese Abildung m induziert die Multiplikation auf A ⊗_{K}^{ε} A′.

Es ist wieder eine leicht Aufgabe zu zeigen, daß diese Multiplikation eine K– Algebra definiert. Diese K–Algebra nennt man das getwistete Tensorprodukt A ⊗_{K}^{ε} A′ von A und A′. Im übrigen ist A ⊗_{K}^{ε} A′ wieder ℤ_{2}–graduiert mit der Zerlegung in

(A ⊗_{K}^{ε} A′)_{+} = (A_{+} ⊗_{K} A′_{+}) ⊕ (A_{−} ⊗_{K} A′_{−})

und

(A ⊗_{K}^{ε} A′)_{−} = (A_{−} ⊗_{K} A′_{+}) ⊕ (A_{−} ⊗_{K} A′_{+}).

\underline{Existenz der Eins}: 1_{A} ⊗_{K} 1_{A′} ist ein Einselement von A ⊗_{K}^{ε} A′. Dies benützt, daß die Eins einer ℤ_{2}–graduierten Algebra stets homogen vom Grad 0 ist.

\underline{Nachweis der K–Algebreneigenschaften}: Die beiden Distributivgesetze und die K–Algebreneigenschaft besagen gerade, daß die Multiplikationsabbildung K– linear in der ersten und zweiten Variable ist. Wegen der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts genügt dazu, daß die Abbildung M K–bilinear in den Variablen (a_{1}, a′_{1}) resp. K–bilinear in den Variablen (a_{2}, a′_{2}) ist. Es verbleibt also nur das Assoziativgesetz zu zeigen. Wegen der Distributivgesetze, genügt es, das Assoziativgesetz auf Erzeugenden der additiven Gruppe nachzuweisen. Wir können uns daher darauf beschränken

[(a_{1} ⊗_{K}^{ε} a′_{1}) · (a_{2} ⊗_{K}^{ε} a′_{2})] · (a_{3} ⊗_{K}^{ε} a′_{3}) = (a_{1} ⊗_{K}^{ε} a′_{1}) · [(a_{2} ⊗_{K}^{ε} a′_{2}) · (a_{3} ⊗_{K}^{ε} a′_{3})]

zu zeigen für homogene Elemente a_{1}, a′_{1}, a_{2}, a′_{2}, a_{3}, a′_{3}. In der Tat ist das Assoziativgesetz dann äquivalent zu

(−1)^{|a′_{1}||a_{2}|} · (−1)^{(|a′_{1}|+|a′_{2}|)|a_{3}|} = (−1)^{|a′_{1}|(|a_{2}|+|a_{3}|)} · (−1)^{|a′_{2}||a_{3}|},

was unmittelbar nachgeprüft werden kann. Beachte:

Für homogene a_{i} ∈ A resp. a′_{i} ∈ A′ gilt [(a_{1} ⊗_{K} a′_{1}) · (a_{2} ⊗_{K} a′_{2})] · (a_{3} ⊗_{K} a′_{3}) = (−1)^{|a′_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2} ⊗_{K} a′_{1}a′_{2})·(a_{3} ⊗_{K} a′_{3}) = (−1)^{|a′_{1}||a_{2}|+|a′_{1}a′_{2}||a_{3}|}a_{1}a_{2}a_{3} ⊗_{K} a′_{1}a′_{2}a′_{3} = (−1)^{|a′_{1}||a_{2}|+|a′_{1}||a_{3}|+|a′_{2}||a_{3}|}a_{1}a_{2}a_{3} ⊗_{K} a′_{1}a′_{2}a′_{3} . Berechnet man (a_{1} ⊗_{K} a′_{1}) · [(a_{2} ⊗_{K} a′_{2}) · (a_{3} ⊗_{K} a′_{3})] erhält man dasselbe Resultat wegen (−1)^{|a′_{1}||a_{2}|+|a′_{1}||a_{2}a_{3}|} = (−1)^{|a′_{2}||a_{3}|+|a′_{1}||a_{3}|+|a′_{2}||a_{3}|}. Daraus folgt das Assoziativitätsgesetz für beliebige Elemente von A ⊗_{K}^{ε} A′ durch Linearkombinieren.

Schliesslich ist klar, daß A ⊗_{K}^{ε} A′ bezüglich der natürlich induzierten Graduierung auf A ⊗_{K}^{ε} A′ wieder eine graduierte Algebra wird. Wir überlassen dies als Übungsaufgabe dem Leser.

\underline{Beispiel}: A = C(0)⊗_{K}^{ε} C(0) liefert die Graßmann Algebra Λ^{•}(V) für zweidimensionales V. Man erhält als Basis von A = C(0) ⊗_{K}^{ε} C(0) nämlich

1 = 1 ⊗_{K}^{ε} 1, e_{1} = e ⊗_{K}^{ε} 1, e_{2} = 1 ⊗_{K}^{ε} e, e_{{1,2}} = e ⊗_{K}^{ε} e.

Man überprüft sofort e_{1}^{2} = e_{2}^{2} = 0 und e_{1}·e_{2} = −e_{2}·e_{1} sowie dann e_{{1,2}} = e_{1}·e_{2}.

69 Iterierte Tensorprodukte

\underline{Allgemeiner}: Durch Iteration erhält man die Graßmann Algebra

Λ^{•}(K · e_{1} ⊕ ... ⊕ K · e_{n}) = Λ^{•}(K · e_{1}) ⊗_{K}^{ε} ... ⊗_{K}^{ε} Λ^{•}(K · e_{n}). Insbesondere folgt

Λ^{•}(V ⊕ W) = Λ^{•}(V) ⊗_{K}^{ε} Λ^{•}(W).

Lemma: Die Abbildung

\begin{matrix}A ⊗_{K}^{ε} A′ & ⟶ & A′ ⊗_{K}^{ε} A \\ a ⊗ a′ & ⟼ & (−1)^{|a|·|a′|}a′ ⊗ a \end{matrix}

für homogene a ∈ A, a′ ∈ A′ definiert einen Ringisomorphismus

A ⊗_{K}^{ε} A′ ≅ A′ ⊗_{K}^{ε} A

von ℤ_{2}–graduierten K–Algebren. \underline{Beweis}: Betrachte

[figure: a_{1} ⊗ a′_{1}; (−1)^{|a_{1}||a′_{1}|}; ×; a_{2} ⊗ a′_{2}; (−1)^{|a_{2}||a′_{2}|}; a_{1}a_{2} ⊗ a_{1}a′_{2} · (−1)^{|a′_{1}||a_{2}|}; (−1)^{|a_{1}+a_{2}|·|a′_{1}+a′_{2}|}; a′_{1} ⊗ a_{1}; ×; a′_{2} ⊗ a_{2}; a′_{1}a′_{2} ⊗ a_{1}a_{2} · (−1)^{|a_{1}||a′_{2}|}]

und benutze

(−1)^{|a_{1}||a′_{1}|} · (−1)^{|a_{2}||a′_{2}|} = (−1)^{|a_{1}||a_{2}|} · (−1)^{|a_{1}||a′_{2}|} · (−1)^{|a_{1}+a_{2}|·|a′_{1}+a′_{2}|}. Ähnlich zeigt man das \underline{Assoziativgesetz des Tensorprodukts}

(A_{1} ⊗_{K}^{ε} A_{2}) ⊗_{K}^{ε} A_{3} = A_{1} ⊗_{K}^{ε} (A_{2} ⊗_{K}^{ε} A_{3}).

Dies folgert man aus

(a_{1} ⊗ a′_{1} ⊗ a′′_{1}) · (a_{2} ⊗ a′_{2} ⊗ a′′_{2}) = (−1)^{|a′′_{1}||a_{2}|+|a′′_{1}||a′_{2}|+|a′_{1}||a_{2}|}a_{1}a_{2} ⊗ a′_{1}a′_{2} ⊗ a′′_{1}a′′_{2}

jeweils für homogene Elemente in beiden Fällen. Siehe auch die Aufgabe auf dem Übungsblatt.

\underline{Schlußfolgerung}: Hat man graduierte K–Algebren A_{1}, ..., A_{n}, dann kann man iterierte Tensorprodukte bilden ohne auf Klammerung achten zu müssen. Wir schreiben daher kurz

A = A_{1} ⊗_{K}^{ε} A_{2} ⊗_{K}^{ε} ... ⊗_{K}^{ε} A_{n} .

Man überlegt sich außerdem leicht, daß die so definierte graduierte Algebra nicht von der Reihenfolge der Tensorproduktbildung abhängt.

70 Die Quaternionenalgebra

Die Quaternionenalgebren sind definiert durch

C(a_{1}, a_{2}) = C(a_{1}) ⊗_{K}^{ε} C(a_{2}).

für a_{1}, a_{2} ∈ K^{∗}. Zur Erinnerung C(a_{i}) = K ·1+K ·e_{i} mit e_{i}^{2} = −a_{i} für i = 1, 2. Dann ist

1 = 1 ⊗_{K}^{ε} 1
j = e_{1} ⊗_{K}^{ε} 1
k = 1 ⊗_{K}^{ε} e_{2}
l = e_{1} ⊗_{K}^{ε} e_{2} = j · k

eine Basis von C(a_{1}, a_{2}). Man erhält

j · j = −a_{1} · 1
k · k = −a_{2} · 1
l · l = −a_{1}a_{2} · 1

sowie j · k = −k · j, j · l = −l · j und k · l = −l · k. Für ein beliebiges Element z ∈ C(a_{1}, a_{2})

z = α · 1 + β · j + γ · k + δ · l

definiert man

\overline{z} = α · 1 − β · j − γ · k − δ · l.

Lemma 1: Es gilt N(z) := z · \overline{z} = \overline{z} · z ist gleich

N(z) = α^{2} + a_{1} · β^{2} + a_{2} · γ^{2} + a_{1}a_{2} · δ^{2}

und für alle z_{1}, z_{2} ∈ C(a_{1}, a_{2}) gilt

\begin{matrix}\overline{z_{1} + z_{2}} = & \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}} \\ \overline{z_{1} · z_{2}} = & \overline{z_{2}} · \overline{z_{1}}. \end{matrix}

Wir geben später eine Verallgemeinerung dieser Aussage und lassen daher den Beweis als Übungsaufgabe.

Lemma 2: C(a, −a) ≅ M_{2,2}(K) falls a ≠ 0.

\underline{Beweis}:

j = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ a & 0 \end{matrix} ) und k = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ a & 0 \end{matrix} )

erfüllen für E = 1

j^{2} = −a · E und k^{2} = +a · E

sowie j · k = −k · j = diag(−a, a) =: l. Dann gilt l^{2} = −a^{2} · E und j · l = j·j·k = −j·k·j = −l·j sowie k·l = k·j·k = −j·k·k = −l·k. Offensichtlich bilden 1, j, k und l eine K–Basis von M_{2,2}(K).

\underline{Beachte}: Der Matrixring M_{2,2}(K) erhält durch Lemma 2 eine Struktur einer ℤ_{2}–graduierten Algebra durch die Zerlegung:

M_{2,2}(K) ≅ C(a, −a) ≅ C^{+}(a, −a) ⊕ C^{−}(a, −a).

Hierbei entsprechen die geraden und ungeraden Anteile den Matrizen vom Typ

( \begin{matrix}∗ & 0 \\ 0 & ∗ \end{matrix} ) gerade bzw. ( \begin{matrix}0 & ∗ \\ ∗ & 0 \end{matrix} ) ungerade.

Lemma 3: C(a_{1}, a_{2}) ist ein Schiefkörper (alle Körperaxiome sind erfüllt mit Ausnahme des Kommutativgesetzes für die Multiplikation) falls gilt

α^{2} + a_{1}β^{2} + a_{2}γ^{2} + a_{1}a_{2}δ^{2} = 0 ⟺ (α, β, γ, δ) = 0

für alle α, β, γ, δ ∈ K.

\underline{Beispiel}: K = ℝ; a_{1} = a_{1} = 1. In diesem Fall erhält man den Schiefkörper H der Hamiltonschen Quaternionen.

71 Tensorprodukte von Matrizen

Sei K ein Körper oder allgemeiner ein kommutativer Ring und sei V = K^{n} ein freier K–Modul. Die K–bilinearen Abbildungen φ : V → V bilden dann bezüglich Komposition einen Ring, den Endomorphismenring End_{K}(V). Dieser Ring ist offensichtlich eine K–Algebra mit den Basiselementen e_{i,j} (i, j = 1, ..., n) und den Rechengesetzen

e_{i,j} · e_{i′,j′} = \{ \begin{matrix}0 & j ≠ i′ \\ e_{i,j′} & j = i′ \end{matrix}

und dem Einselement E = e_{1,1} + e_{2,2} + ... + e_{n,n}. Sei nun W = K^{m} ein weitere freier K–Modul. Weiterhin seien gegeben Matrizen

M ∈ End_{K}(V)
N ∈ End_{K}(W).

Wir definieren dann eine Matrix

M ⊗_{K} N ∈ End_{K}(V ⊗_{K} W)

durch die Vorschrift

(M ⊗_{K} N)(e_{i} ⊗_{K} e_{j}) = M(e_{i}) ⊗_{K} N(e_{j}).

Offensichtlich gilt dann allgemeiner

(M ⊗_{K} N)(v ⊗_{K} w) = M(v) ⊗_{K} N(w)

für alle v ∈ V, w ∈ W. Für v = ∑ λ_{i}e_{i} und w = ∑ μ_{j}e_{j} erhält man dies durch Aufsummieren der obigen Gleichungen nach Multiplikation mit λ_{i}μ_{j}.

Folgerung: (M_{1} ⊗_{K} N_{1}) ∘ (M_{2} ⊗_{K} N_{2}) = (M_{1}M_{2} ⊗_{K} N_{1}N_{2}).

\underline{Beweis}: Beide Seiten auf Elemente v ⊗_{K} w (mit v ∈ V, w ∈ W) angewendet liefern dasselbe Bild. Da endliche Summen von Elementen v ⊗_{K} w das Tensorprodukt V ⊗_{K} W erzeugen, folgt die Behauptung.

Folgerung: Die Zuordnung (M, N) ↦ M ⊗_{K} N definiert einen K–Algebrenhomomorphismus

\begin{aligned}ρ : & End_{K}(V) × End_{K}(W) & ⟶ & End_{K}(V ⊗_{K} W) \\ & (M, N) & ⟼ & M ⊗_{K} N. \end{aligned}

\underline{Beispiel}: Sei V = K^{2}, W = K^{2}, M = (_{c}^{a}_{d}^{b}), N = (_{γ}^{α}_{δ}^{β}). Dann ist

M ⊗_{K} N = ( \begin{matrix}αM & βM \\ γM & δM \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}αa & αb & βa & βb \\ αc & αd & βc & βd \\ γa & γb & δa & δb \\ γc & γd & δc & δd \end{matrix} )

bezüglich der Basis e_{1}⊗_{K} e_{1}, e_{2}⊗_{K} e_{1}, e_{1}⊗_{K} e_{2} und e_{2}⊗_{K} e_{2} von V ⊗_{K} W ≅ K^{4}.

Lemma: Die Abbildung ρ induziert einen K–Algebrenisomorphismus

ρ̃: End_{K}(V) ⊗_{K} End_{K}(W) ⟶^{∼} End_{K}(V ⊗_{K} W).

\underline{Beweis}: ρ ist K–bilinear in M und N und faktorisiert daher über einen K– Algebrenhomomorphismus ρ̃.

\xymatrix{End_{K}(V) × End_{K}(W) \ar[rr] \ar[dr]_{ρ} &  & End_{K}(V) ⊗_{K} End_{K}(W) \ar@{.>}[dl]^{∃!ρ̃} \\  & End_{K}(V ⊗_{K} W)}

Um zu zeigen, daß ρ̃ ein Isomorphismus ist, genügt es zu zeigen, daß ρ̃ surjektiv ist. Ein Dimensionsvergleich zeigt nämlich n^{2}·m^{2} =^{!} (n·m)^{2}. Aber ρ̃ ist surjektiv, falls ρ surjektiv ist. Die Surjektivität von ρ folgt schließlich aus ρ̃(e_{i,j} ⊗_{K} e_{i′,j′}) = e_{ii′,jj′}. Dies macht man sich am besten klar an Hand des obigen Beispiels.

72. ^{∗}Der getwistete Fall 211

72 ^{∗}Der getwistete Fall

Seien die Bezeichnungen wie im vorigen Abschnitt. Seien allgemeiner aber

V = V_{+} ⊕ V_{−}
W = W_{+} ⊕ W_{−}

etc. ℤ_{2}–graduierte freie K–Moduln. Das heißt V_{±} = K^{n_{±}} und W_{±} = K^{m_{±}}.

Die Wahl einer ℤ_{2}–Graduierung V = V_{+} ⊕ V_{−} induziert eine Zerlegung

End_{K}(V) = End_{K}^{+}(V) ⊕ End_{K}^{−}(V) .

Hierbei sei End_{K}^{+}(V) die Algebra aller Endomorphismen φ : V → V ist mit

φ(V_{±}) ⊆ V_{±}

sowie End_{K}^{−}(V) die Menge aller K–Endomorphismen φ : V → V mit

φ(V_{±}) ⊆ V_{∓} .

\underline{In Matrixform}:

End_{K}^{+}(V) = \{( \begin{matrix}∗ & 0 \\ 0 & ∗ \end{matrix} )\}

beziehungsweise

End_{K}^{−}(V) = \{( \begin{matrix}0 & ∗ \\ ∗ & 0 \end{matrix} )\}

im Sinn von (n_{+} + n_{−}) × (m_{+} + m_{−})–Blockmatrizen.

Sei nun außerdem auch W = W_{+} ⊕ W_{−} graduiert. Beachte, daß dann auch V ⊗_{K}^{ε} W graduiert ist und somit End_{K}(V ⊗_{K}^{ε} W) im obigen Sinne graduiert ist. Die Frage ist, ob und wie man diese Graduierung in Termen der graduierten K–Algebra End_{K}(V) und End_{K}(W) beschreiben kann. Die Antwort lautet Lemma: Es gibt einen kanonischen Isomorphismus von ℤ_{2}–graduierten K– Algebren

ρ̃: End_{K}(V) ⊗_{K}^{ε} End_{K}(W) ⟶^{∼} End_{K}(V ⊗_{K}^{ε} W),

der vom graduierten Tensorprodukt zweier Matrizen induziert wird.

\underline{Beweis}: Der Beweis ist analog zum Beweis des Lemmas in §71. In der Tat ist das dort behandelte Lemma der Spezialfall V = V_{+} und W = W_{+}. Wir beschränken uns daher darauf, die Abbildung ρ̃ anzugeben: M ∈ End_{K}^{±}(V) und N ∈ End_{K}^{±}(W) bilden wir ab auf den Endomorphismus

ρ̃(M ⊗_{K}^{ε} N) ∈ End_{K}(V ⊗_{K}^{ε} W),

welcher durch

v ⊗_{K}^{ε} w ⟼ (−1)^{|N|·|v|}M(v) ⊗_{K}^{ε} N(w)

gegeben ist für homogenes v ∈ V_{±} (und w ∈ W_{±}).

73 Cliffordalgebren

Sei K ein Körper und \frac{1}{2} ∈ K, sei V ein endlich dimensionaler K–Vektorraum und ⟨v, w⟩ eine symmetrische K–Bilinearform auf V.

Wir betrachten dann K–Algebren A und K–lineare Abbildungen

V ⟶^{φ} A

mit der Eigenschaft

(∗)  φ(v) · φ(v) + ⟨v, v⟩ · 1_{A} = 0.

Erfüllt (φ, A) diese Eigenschaft, dann auch (φ′, A′) = (f ∘ φ, A′),

\xymatrix{V \ar[rr]^{φ} \ar[dr]_{φ′} &  & A \ar[dl]^{f} \\  & A′}

wobei f : A → A′ ein beliebiger K–Algebrenhomomorphismus ist.

Satz: Es gibt ein universelles Paar (φ^{univ}, A) wie oben mit der Eigenschaft (∗), so daß jedes andere Paar (φ′, A′) aus (φ, A) durch Anwenden eines K– Algebrenhomomorphismus f : A → A′ entsteht.

\xymatrix{V \ar[rr]^{φ^{univ}} \ar[dr]_{φ′} &  & A \ar@{.>}[dl]^{∃!f} \\  & A′}

Definition: Das universelle Paar (φ^{univ}, A) definiert die Cliffordalgebra A = C(V, ⟨·, ·⟩) von (V, ⟨·, ·⟩). Es wird durch die universelle Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig charakterisiert.

\underline{Bemerkung}: Für eine K-lineare Abbildung φ : V → A sind die folgenden Eigenschaften äquivalent (i) φ(v) · φ(v) + ⟨v, v⟩ · 1_{A} = 0 für alle v ∈ V.

(ii) φ(v) · φ(w) + φ(w) · φ(v) + 2 · ⟨v, w⟩ · 1_{A} = 0 für alle v, w ∈ V.

(iii) φ(b_{i}) · φ(b_{j}) + φ(b_{j}) · φ(b_{i}) + 2 · ⟨b_{i}, b_{j}⟩ · 1_{A} = 0 für eine Basis {b_{i}} von V.

Der Beweis erfolgt durch Polarisierung und ist vollkommen analog zum Beweis von Lemma 1 in §45. q.e.d

Da eine K–lineare Abbildung φ : V → A durch die Vorgabe auf einer Basis b_{1}, ..., b_{n} von V eindeutig festgelegt ist, betrachten wir Algebren A mit e_{i} = φ(b_{i}) ∈ A mit der Eigenschaft

e_{i} · e_{j} + e_{j} · e_{i} + 2 · ⟨b_{i}, b_{j}⟩ · 1_{A} = 0.

Wählt man für b_{1},..., b_{n} eine Orthonormalbasis der Form ⟨·, ·⟩, dann gilt ⟨b_{i}, b_{j}⟩ = δ_{ij} · a_{i} für gewisse a_{i}.

Folgerung: A = C(a_{1}, ..., a_{n}) mit e_{i} = 1 ⊗^{ε} ... ⊗^{ε} 1 ⊗^{ε} e ⊗^{ε} 1... ⊗^{ε} 1 für i = 1, ..., n hat die Eigenschaft

e_{i} · e_{j} + e_{j} · e_{i} + 2 · a_{i} · δ_{ij} · 1_{A} = 0.

\underline{Behauptung}: A = C(a_{1}, ..., a_{n}) mit φ(b_{i}) = e_{i} hat die gewünschte universelle Eigenschaft. (Insbesondere ist für die Nullform < ., . >= 0 die Cliffordalgebra gerade die Graßmann Algebra).

\underline{Beweis}: Man reduziert den Beweis mit Induktion nach n auf den trivialen Fall n = 1 mit Hilfe der folgenden Aussage: Seien A_{1}, A_{2}, A′ ℤ_{2}-graduierte K-Algebren und f_{i} : A_{i} → A′ Grad erhaltende K-Algebrenhomomorphismen. Diese setzten sich zu einem Grad erhaltenden K-Algebrenhomomorphismus f : A_{1} ⊗^{ε} A_{2} → A fort durch f(a_{1} ⊗ a_{2}) = f_{1}(a_{1}) · f_{2}(a_{2}) falls f_{1}(a_{1}) · f_{2}(a_{2}) = (−1)^{|a_{1}||a_{2}|}f_{2}(a_{2})f_{1}(a_{1}) gilt für alle homogenene Elemente a_{i} ∈ A_{i}. q.e.d

Satz: Ist ψ eine isometrische K–lineare Abbildung

ψ : V ⟶ W,

bezüglich symmetrischer Bilinearformen ⟨·, ·⟩_{V} resp. ⟨·, ·⟩_{W} auf V und W, d.h.

⟨ψ(v), ψ(v′)⟩_{W} = ⟨v, v′⟩_{V} ,

dann existiert ein eindeutig bestimmter K–Algebrenhomomorphismus C(ψ) zwischen den Cliffordalgebren C(V, ⟨·, ·⟩_{V}) und C(W, ⟨·, ·⟩_{W}), welcher folgendes Diagramm kommutativ macht:

\xymatrix{V \ar[r]^{ψ} \ar[d]_{φ^{univ}} & W \ar[d]^{φ^{univ}} \\ C(V, ⟨·, ·⟩_{V}) \ar@{.>}[r]^{∃! C(ψ)} & C(W, ⟨·, ·⟩_{W}).}

\underline{Beweis}: Ist ψ eine isometrische K–lineare Abbildung ψ : V → W, dann liefert die Zusammensetzung φ = φ^{univ} ∘ ψ eine K–linearen Abbildung von V in die K–Algebra A = C(W, ⟨, ⟩_{W}) mit der Eigenschaft

φ(v) · φ(v) + ⟨v, v⟩_{V} · 1_{A}
= φ^{univ}(ψ(v)) · φ^{univ}(ψ(v)) + ⟨ψ(v), ψ(v)⟩_{W} · 1_{A}
= 0.

Somit existiert wegen der universellen Eigenschaft von (φ, C(V, ⟨, ⟩_{V})) ein eindeutiger Algebrenhomomorphismus C(ψ) : C(V, ⟨, ⟩_{V}) → C(W, ⟨, ⟩_{W}), welcher das obige Diagramm kommutativ macht. q.e.d

Korollar: Für Isometrien ϕ : U → V und ψ : V → W (bezüglich gewisser symmetrischer K-Bilinearformen < ., . >_{U}, < ., . >_{V} und < ., . >_{W} auf U, V, W gilt

C(ψ ∘ ϕ) = C(ψ) ∘ C(ϕ) .

\underline{Beweis}: Durch Aneinandersetzen der Diagramme für ϕ und ψ des obigen Satz, erhält man ein kommutatives Diagramm

\xymatrix{U \ar[r]^{ψ∘ϕ} \ar[d]_{φ^{univ}} & W \ar[d]^{φ^{univ}} \\ C(U, ⟨·, ·⟩_{U}) \ar@{.>}[r]^{C(ψ)∘C(ϕ)} & C(W, ⟨·, ·⟩_{W}).}

Wegen der Eindeutigkeit eines solchen Diagram, ist der Homomorphismus C(ψ)∘ C(ϕ) von K-Algebren daher notwendiger Weise gleich C(ψ ∘ ϕ). Damit ist das Korollar bewiesen.

Im Spezialfall, wo ⟨·, ·⟩ die Nullform auf V ist, ist die Cliffordalgebra gerade die Graßmann Algebra Λ^{•}(V) und

[figure: V; φ; Λ^{•}(V); Λ^{1}(V)]

ist die kanonische Abbildung auf die Schicht vom Grad 1.

Im Spezialfall der Nullform < ., . >≡ 0 ist jede K–lineare Abbildung ψ : V → W eine Isometrie und man erhält als Spezialfall das

Korollar: Ist ψ : V → W eine K–lineare Abbildung, dann existiert genau ein K–Algebrenhomomorphismus

Λ^{•}(ψ) : Λ^{•}(V) ⟶ Λ^{•}(W)

mit der Eigenschaft

\xymatrix{Λ^{•}(V) \ar@{.>}[r]^{Λ^{•}(ψ)} & Λ^{•}(W) \\ Λ^{1}(V) \ar[r]^{ψ} \ar@{^{(}->}[u] & Λ^{1}(W). \ar@{^{(}->}[u]}

sowie Λ^{•}(ψ ∘ ϕ) = Λ^{•}(ψ) ∘ Λ^{•}(ϕ).

Im Fall der Graßmann Algebren hat man außerdem die Besonderheit, daß der Ringhomomorphismus Λ^{•}(ψ) die einzelnen Schichten der Graßmann Algebra in sich abbildet. Das heißt die Abbildung Λ^{•}(ψ) zerfällt in eine ganze Kollektion von Abbildungen

Λ^{i}(ψ) : Λ^{i}(V) → Λ^{i}(W) , ∀i ∈ ℕ .

Zum Beweis genügt, daß Λ^{i}(V) erzeugt wird von den i-fachen Produkten von Vektoren aus V. Diese werden auf Summen von i-fachen Produkten von Vektoren aus W, also nach Λ^{i}(W) abgebildet. Wir schreiben im folgenden v ∧ w für das Produkt in der Graßmann Algebra.

74 Die Determinante

Wir betrachten jetzt die Abbildung Λ^{•}(ψ) des vorigen Abschnitts in einem Spezialfall. Sei dazu

V = W = K^{n}

und sei

ψ : K^{n} → K^{n}

ein Endomorphismus. Die induzierten K-Abbildungen

Λ^{i}(ψ) : Λ^{i}(K^{n}) → Λ^{i}(K^{n})

lassen sich bezüglich der Basis e_{I}, |I| = i wieder als Matrix schreiben. Die Koeffizienten dieser Matrix lassen sich durch Unterdeterminanten der Matrix von ψ beschreiben. Wir diskutieren hier nur den wichtigsten Spezialfall i = n.

\underline{Beispiel}: Wir beginnen mit dem Fall n = 2. Die Abbildung ψ wird durch eine Matrix

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )

beschrieben. Offensichtlich ist Λ^{0}(ψ) = id, da e_{∅} = 1 in e_{∅} = 1 übergeführt wird. Auf K^{2} = Λ^{1}(K^{2}) ist Λ(ψ) gerade ψ selbst. Λ^{2}(k^{2}) = Ke_{{1,2}} wird von e_{{1,2}} = e_{1} ∧e_{2} erzeugt. Da Λ^{•}(ψ) ein multiplikativ ist (ein Ringhomomorphismus!), folgt

Λ^{•}(ψ)(e_{1} · e_{2}) = Λ^{•}(ψ)(e_{1}) · Λ^{•}(ψ)(e_{2}) = (a · e_{1} + c · e_{2}) ∧ (b · e_{1} + d · e_{2}) .

Aus e_{1} ∧ e_{1} = e_{2} ∧ e_{2} = 0 und e_{2} ∧ e_{1} = −e_{1} ∧ e_{2} folgt dann durch distributives Ausmultiplizieren

= (ad − bc) · e_{1} ∧ e_{2}
= det(ψ) · e_{1} ∧ e_{2} .

Allgemeiner

Lemma: Es gilt für alle Endomorphismen ψ : k^{n} → k^{n}

Λ^{n}(ψ) = det(ψ) .

\underline{Beweis}: Zu zeigen ist Λ^{n}(ψ)(e_{\{12..n\}}) = det(ψ) · e_{\{12..n\}}. Wie im Fall n = 2 gilt

Λ^{•}(ψ)(e_{1} ∧ e_{2} ∧ ... ∧ e_{n}) = Λ^{•}(ψ)(e_{1}) ∧ Λ^{•}(ψ)(e_{2}) ∧ ... ∧ Λ^{•}(ψ)(e_{n})

= ∑_{j_{1}=1}^{n} M_{j_{1}1}e_{j_{1}} ∧ ∑_{j_{2}=1}^{n} M_{j_{2}2}e_{j_{2}} ∧ ... ∧ ∑_{j_{n}=1}^{n} M_{j_{n}n}e_{j_{n}} .

Wegen e_{i} ∧ e_{i} = 0 kann man alle Terme weglassen, für die (j_{1}, .., j_{n}) nicht paarweise verschieden sind. Diese Indizes entsprechen eindeutig den Permutationen σ aus der symmetrischen Gruppe S_{n} vermöge der Zuordnung j_{i} = σ(i) für i = 1, ..., n. Es ergibt sich

∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) · ∏_{k=1}^{n} M_{σ(k)k} · e_{1} ∧ ... ∧ e_{n}

= det(ψ) · e_{1} ∧ ... ∧ e_{n} .

Das Vorzeichen sign(σ) ergibt sich dabei aus den Graßmann Regeln beim Umordnen des Produktes e_{σ(1)} ∧ ... ∧ e_{σ(n)} = sign(σ) · e_{1} ∧ ... ∧ e_{n} in aufsteigende Reihenfolge wie im Fall n = 2.

\underline{Ausblick}: Somit erweisen sich die im letzten Paragraph bewiesenen Formeln

Λ^{i}(ψ ∘ ϕ) = Λ^{i}(ψ) ∘ Λ^{•}(ϕ)

als eine weitreichende Verallgemeinerung der Determinanten Multiplikationsformel. Denn ϕ : U → V und ψ : V → W waren dabei beliebige R-lineare Abbildungen (für einen kommutativen Ring R), und diese Formeln gelten für alle i = 1, 2, 3, ...

75 Der Koszulkomplex

Seien f_{1},..., f_{n} K–lineare Abbildungen f_{i} : R ⟶ R einer kommutativen K– Algebra R, welche miteinander kommutieren:

f_{i} ∘ f_{j} = f_{j} ∘ f_{i} , ∀i, j.

Dann definiert man den \underline{Koszulkomplex} K(f_{1}, ..., f_{n}) durch die K-Vektorräume

Λ^{i}(R^{n}) = ⨁_{|I|=i} R · e_{I}

mit den K-linearen Abbildungen d_{i} : Λ^{i}(R^{n}) ⟶ Λ^{i+1}(R^{n}), welche für r ∈ R auf den Elementen r · e_{I} durch

d_{i}(r · e_{I}) = ∑_{ν=1}^{n} f_{ν}(r) · e_{ν} ∧ e_{I}

und sonst durch K-lineare Fortsetzung definiert werden. Dies definiert einen Komplex von K-Vektorräumen, denn offensichtlich gilt d_{i+1} ∘ d_{i} = 0 wegen

d_{i+1} ∘ d_{i}(r · e_{I}) = ∑_{μ=1}^{n} ∑_{ν=1}^{n} f_{μ}(f_{ν}(r)) · e_{μ} ∧ e_{ν} ∧ e_{I} = 0 .

Benutze e_{μ} ∧ e_{ν} + e_{ν} ∧ e_{μ} = 0 sowie (f_{μ} ∘ f_{ν})(r) = (f_{ν} ∘ f_{μ})(r). Im Fall n = 2 erhält man nämlich (f_{1} ∘ f_{1})(r) · e_{1} ∧ e_{1} + (f_{1} ∘ f_{2})(r) · e_{1} ∧ e_{2} + (f_{2} ∘ f_{1})(r) · e_{2} ∧ e_{1} + (f_{2} ∘ f_{2})(r) · e_{2} ∧ e_{2} = [(f_{1} ∘ f_{2})(r) − (f_{2} ∘ f_{1})(r)] · e_{1} ∧ e_{2} = 0. Der allgemeine Fall n ≥ 2 geht genauso.

\underline{Beispiel}: (n = 1) Hier ist K^{0} = K^{1} = R, f = f_{1} und der Komplex K(f_{1}) kann mit dem Komplex

R ⟶^{f} R

identifiziert werden.

\underline{Beispiel}: (n = 2) Hier ist K^{0} = K^{2} = R und K^{1} = R und der Komplex K(f_{1}, f_{2}) kann mit dem Komplex

R ⟶^{(f_{1},f_{2})}  R^{2}  ⟶^{f_{2}−f_{1}}  R
r ⟼ (f_{1}(r), f_{2}(r))
(r_{1}, r_{2})  ⟼ f_{2}(r_{2}) − f_{1}(r_{1})

identifiziert werden.

\underline{Übungsaufgabe}: Sei R = K[x, y] = (K[x])[y] der Polynomring in zwei Variablen und K eine Körper. Berechne die Kohomologiegruppen dieses Komplexes K(f_{1}, f_{2}) in den folgenden beiden Fällen:

1) f_{1} resp. f_{2} ist Multiplikation mit x respektive y.

2) f_{1} resp. f_{2} ist Ableiten nach x respektive nach y.

76 Differentialformen

Ist U ⫅ ℝ^{n} eine offene Teilmenge, dann ist der Ring der ℝ-wertigen unendlich oft partiell diffenzierbaren Funktionen auf U

R = C^{∞}(U, ℝ)

eine kommutative ℝ–Algebra.

Die partiellen Ableitungen ∂_{i} = \frac{∂}{∂x_{i}}, i = 1, ..., n definieren ℝ–lineare Abbildungen ∂_{i} : R → R mit der Eigenschaft

∂_{i} ∘ ∂_{j} = ∂_{j} ∘ ∂_{i}

(Symmetrie der Hessematrix).

Setzt man daher K = ℝ und f_{i} = ∂_{i} mit den Bezeichnungen des vorigen Abschnitts, so erhält man den Differentialformenkomplex der alternierenden Differentialformen auf U.

\begin{matrix}A^{i}(U, ℝ) = & Λ^{i}(C^{∞}(U, ℝ)^{n}) \\ ω = & ∑_{|I|=i} f_{I}(x_{1}, ..., x_{n}) · dx_{I}. \end{matrix}

Beachte die Schreibweise dx_{ν} resp. dx_{I} anstelle von e_{ν} resp. e_{I}. Dies ist motiviert durch folgende Formel, welche sich für die Abbildung d = d_{0} aus der Definition des letzten Paragraphen ergibt

\begin{matrix}A^{0}(U, ℝ) & ⟶ & A^{1}(U, ℝ) \\ f(x_{1}, ..., x_{n}) & ⟼ & df = ∑_{ν=1}^{n} (\frac{∂}{∂x_{ν}} f) (x_{1}, ..., x_{n}) · dx_{ν}. \end{matrix}

Poincare Lemma (ohne Beweis): Ist U eine sternförmige offene Teilmenge von ℝ^{N}, dann ist der Komplex A^{•}(U, ℝ) der alternierenden Differntialformen auf U exakt mit Ausnahme im Grad i = 0.

\underline{Definition}: Eine offene Teilmenge U von ℝ^{n} heißt \underline{sternförmig}, falls es einen Punkt x_{0} ∈ U gibt so daß mit x ∈ U auch die Verbindungsgerade \overline{xx_{0}} in U liegt.

\underline{Bemerkung}: A^{•}(U, ℝ) ist ein Ring bezüglich der Tensorproduktalgebrenstruktur auf A^{•}(U, ℝ) = C^{∞}(U, ℝ) ⊗_{ℝ} ⋀^{•}(ℝ^{n}). Die Multiplikation in diesem Ring wird durch das ∧-Produkt gegeben. Man zeigt dann leicht die folgende verallgemeinerte Produktregel

d(ω ∧ η) = d(ω) ∧ η + (−1)^{|ω||η|} · ω ∧ d(η)

für ω ∈ A^{i}(U, ℝ) und η ∈ A^{j}(U, ℝ) mit |ω| = i, |η| = j.

Die ist eine formale Folgerung aus der Eigenschaft f_{i}(r · s) = f_{i}(r) · s + r · f_{i}(s) der partiellen Ableitungen (Produktformel).

77 Pullbacks

Seien U ⫅ ℝ^{n} und V ⫅ ℝ^{m} offene Teilmengen und sei φ : V → U eine unendlich oft diffenzierbare Abbildung. Für jede Funktion f ∈ C^{∞}(U, ℝ) ist dann der Pullback φ^{∗}(f) = f ∘ φ

\xymatrix{V \ar[dr]_{φ^{∗}(f)} \ar[rr]^{φ} &  & U \ar[dl]^{f} \\  & ℝ}

mit φ^{∗}(f) ∈ C^{∞}(V, ℝ) definiert.

Die Zuordnung f ↦ φ^{∗}(f) definiert einen ℝ–Algebrenhomomorphismus

φ^{∗} : C^{∞}(U, ℝ) ⟶ C^{∞}(V, ℝ) ,

den sogenannten \underline{Pullback von Funktionen}. Es gilt offensichtlich für zusammengesetzte Abbildungen

(φ ∘ ψ)^{∗} = ψ^{∗} ∘ φ^{∗}

wegen (φ ∘ ψ)^{∗}(f) = f ∘ (φ ∘ ψ) = (f ∘ φ) ∘ ψ = ψ^{∗}(f ∘ φ) = ψ^{∗}(φ^{∗}(f)).

Lemma: (ohne Beweis) Den oben definierte Pullback kann man auf eine einzige Weise zu einer Abbildung

φ^{∗} : A^{•}(U, ℝ) ⟶ A^{•}(V, ℝ)

fortsetzen mit folgenden Eigenschaften

(i) φ^{∗} ist eine \underline{Komplexabbildung}, d.h.

φ^{∗}(d(ω)) = d(φ^{∗}(ω)) , φ^{∗}(A^{i}(U, ℝ)) ⫅ A^{i}(V, ℝ).

(ii) φ^{∗} ist ein \underline{ℝ–Algebrenhomomorphismus}, welcher im Grad i = 0 auf A^{0}(U, ℝ) = C^{∞}(U, ℝ) mit dem Pullback von Funktionen übereinstimmt.

\underline{Hinweis}: Da A^{•}(U, ℝ) als Ring von C^{∞}(U, ℝ) und den dx_{1}, ..., dx_{n} erzeugt wird, legt Bedingung (ii) den Pullback φ^{∗} fest, wenn man alle φ^{∗}(dx_{ν}) kennt. Beachte weiterhin: Ist π_{ν} : U → ℝ die ν–te Koordinatenfunktion, welche jedem Punkt x ∈ U ⊂ ℝ^{n} seine ν-te Koordinate x_{ν} zuordnet, dann gilt A^{1}(U, ℝ) ∋ d(π_{ν}) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂}{∂x_{i}} (π_{ν})dx_{i} = dx_{ν} wegen ∂x_{i}(π_{ν}) = δ_{iν}. Nennt man die Abbildung π_{ν} suggestiv x_{ν}, dann schreibt sich dies

d(x_{i}) = dx_{i} , (i = 1, ..., n) .

Wegen Bedingung (i) ist jedenfalls dann für φ = (φ_{1}, ..., φ_{n}) (mit φ_{ν} ∈ C^{∞}(V, ℝ))

φ^{∗}(dx_{ν}) = d(φ^{∗}(π_{ν})) = d(φ_{ν}) .

Daher legt (i) und (ii) den Pullback auf eindeutige Weise fest.

Die funktorielle Eigenschaft der Graßmann Algebra (§73) zeigt umgekehrt, daß es einen solchen Pullback φ^{∗} tatsächlich gibt.

\underline{Bemerkung 1}: Wegen obiger Formel dx_{i} = d(x_{i}) schreibt man allgemeiner für ω ∈ A^{i}(U, ℝ) oft nur dω statt d(ω).

\underline{Bemerkung 2 (Verallgemeinerte Kettenregel)} : Die Eindeutigkeit der Pullbacks (im Sinn des obigen Lemmas) und der oben erläuterte Spezialfall des Pullbacks von Funktionen führen allgemein zu der Formel

(φ ∘ ψ)^{∗} = ψ^{∗} ∘ φ^{∗}

für den Pullback von alternierenden Differentialformen unter zusammengesetzten Abbildungen.

Grundlagen der Arithmetik

78 Euklidsche Ringe

Wir kehren nun zurück zu den kommutativen Ringen. Jeder Ring wird im folgenden stillschweigend als kommutativ angenommen.

Definition: Ein Ring heißt \underline{nullteilerfrei}, falls gilt 0 ≠ 1 und wenn aus ab = 0 entweder a = 0 oder b = 0 folgt.

\underline{Beispiel}:

1) Jeder Körper ist nullteilerfrei.

2) ℤ ist nullteilerfrei.

3) Der Polynomring K[X] für Körper ist nullteilerfrei.

4) Jeder Teilring eines nullteilerfreien Ringes ist nullteilerfrei (z.B. ℤ ⊆ ℚ).

Definition: Ein \underline{Euklidscher Ring} R ist ein kommutativer, nullteilerfreier Ring, versehen mit einer Gradfunktion

g : R \ {0} → ℕ_{≥0},

so daß gilt:

(i) g(ab) ≥ g(a) ∀a, b ∈ R \ {0} (ii) Für jedes Paar a, b ∈ R mit b ≠ 0 existieren m, r ∈ R mit a = mb + r,

wobei entweder r = 0 oder g(r) < g(b) gilt.

a = mb + r g(r) < g(b) oder r = 0

\underline{Beispiele}:

1. Jeder Körper K ist für g(a) := 1, ∀a ∈ K ist ein Euklidscher Ring.

2. R = ℤ ist nullteilerfrei. Sei g(r) = |r|. Für jedes Paar ganzer Zahlen a, b ∈ ℤ \ {0} gilt

g(ab) = |ab| = |a||b| ≥ |a| = g(a)

wegen |b| ≥ 1. Jede ganze Zahl a ∈ ℤ schreibt sich in der Form

a = mb + r

mit r ∈ [0, b[ und m ∈ ℤ (b ≠ 0 aus ℤ gegeben). Es gilt entweder r = 0 oder g(r) = |r| ≤ |b| − 1 < b = g(b).

3. Sei K ein Körper und R = K[X]. Setze

g(a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{n}X^{n}) = max{n ∈ ℕ | a_{n} ≠ 0},

falls das Polynom nicht identisch Null ist, also nicht alle a_{i} = 0 sind.

g (∑_{i=1}^{n} a_{i}X^{i})

heißt \underline{Grad des Polynoms} P (X) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}X^{i}.

In einer der Übungsaufgaben der Vorlesung LAI war nachzuweisen, daß K[X] bezüglich g ein Euklidscher Ring ist.

4. Setze

R = Z[i] := {a + bi | a, b ∈ ℤ} ⊆ ℂ.

R heißt der Ring der \underline{ganzen Gauß’schen Zahlen}. R ist ein Ring wegen

(a + bi) + (a′ + b′i) = (a + a′) + (b + b′)i
(a + bi) · (a′ + b′i) = (aa′ − bb′) + (ab′ + a′b)i

Da R ein Unterring des Körpers ℂ ist, ist R nullteilerfrei. Setze

g(a + bi) = N(a + bi) = a^{2} + b^{2}.

Beweis von Axiom (i) für R = ℤ[i] :

g(ab) = N(ab) = N(a) · N(b) ≥ N(a) = g(a) ∀a, b ∈ ℂ \ {0},

denn es gilt N(b) ≥ 1 für jede von Null verschiedene ganze Gaußsche Zahl.

\underline{Beweis von Axiom (ii)}: Gegeben seien ganze Gaußsche Zahlen a, b mit b ≠ 0. Gesucht sind m und r mit a = m · b + r und g(r) < g(b) oder r = 0.

Betrachte z = \frac{a}{b} ∈ ℂ. Dann gibt es ein m ∈ ℤ[i] so, daß gilt

z − m := r̃ ∈ Q

für den Quader

Q = {x + iy ∈ | |x| ≤ 1/2, |x| ≤ 1/2} .

Jede komplexe Zahl z kann also durch Translation um eine geeignete Gaußsche ganze Zahl m in das Innere des Einheitskreises (um den Nullpunkt) gebracht werden. Für alle solche Punkte gilt dann offensichtlich N(r̃) < 1 oder r̃ = 0 hat, denn der Quader Q ist im Inneren des Einheitskreis enthalten.

Setze r = b · r̃. Dann folgt a − mb = r mit N(r) = N(b) · N(r̃) < N(b) oder r = 0. q.e.d.

\underline{Bemerkung}: Ähnlich zeigt man, daß der Ring der Eisensteinzahlen ℤ[ρ] = ℤ + ℤ · ρ, welcher durch Hinzunahme einer dritten Einheitswurzel ρ ∈ ℂ entsteht, ein Euklidscher Ring ist. Für den Ring R = ℤ + ℤ · \sqrt{−5} ist dies aber nicht mehr richtig.

79 Ideale

Ein Maß für die Komplexität eines kommutativen Ringes R sind die R-Untermoduln des Ringes. Solche Untermoduln heißen \underline{Ideale} des Ringes R.

Ist a ∈ R beliebig, dann definieren die Vielfachen von a

(a) = {r ∈ R | ∃s ∈ R mit r = s · a} ⊆ R

ein solches Ideal. Man nennt (a) das \underline{Hauptideal} gebildet zum Element a.

Die R-Modul-Eigenschaft von (a) ist klar. Sind nämlich m_{1}, m_{2} ∈ (a), dann gilt m_{1} = s_{1} · a und m_{2} = s_{2} · a. Also folgt

m_{1} + m_{2} = s_{1} · a + s_{2} · a = (s_{1} + s_{2}) · a ∈ (a),

denn (s_{1} + s_{2}) ∈ R. Weiterhin

λm_{1} = λ(s_{1} · a) = (λs_{1}) · a ∈ (a),

denn λs_{1} ∈ R.

\underline{Beispiele}:

1) Sei R = ℤ, dann bildet die Teilmenge der geraden Zahlen einen ℤ-Untermodul von ℤ. Dieser Untermodul ist das von Element a = 2 erzeugte Hauptideal (2).

2) (n) ⊆ ℤ für n ∈ ℤ ist die Teilmenge aller durch n teilbaren Zahlen, falls n ≠ 0 in ℤ und gleich {0}, falls n = 0 ist.

3) Sei R = K ein Körper. Jedes Ideal I ist entweder I = K oder I = {0}.

\underline{Begründung}: Ideale von R = K sind K-Untervektorräume I von K^{1}. Wir wissen aber nach dem Basisergänzungssatz

dim_{K}(I) ≤ dim_{K}(K) = 1 .

Also ist entweder dim_{K}(I) = 0 und somit I = {0}, oder aber dim_{K}(I) = 1 und dann gilt I = K. Siehe §13).

Satz: Jedes Ideal in einem Euklidschen Ring ist ein Hauptideal.

\underline{Beweis}: Sei I ⊆ R ein R-Untermodul, d.h. I ist ein Ideal von R. Nach der Definition eines Untermoduls ist I nicht leer. Also entweder I = {0}, oder es existiert ein weiteres Element a ≠ 0 in I). Sei oBdA I ≠ {0} und

m = min{g(a) | 0 ≠ a ∈ I} ∈ ℕ_{≥0}.

Wähle ein a ∈ I mit grad(a) = m.

\underline{Behauptung}: I = (a) = \{sa | s ∈ R\}, insbesondere ist I also ein Hauptideal.

\underline{Beweis}: Sei b aus I. Zu zeigen ist: ∃m ∈ R mit b = m · a. Wegen (ii) gilt

b = ma + r mit r = 0 oder g(r) < g(a).

Es folgt wegen r = b − ma dann r ∈ I, da b und ma in I liegen. Wegen g(r) < g(a) und da g(a) minimal ist, folgt r = 0. Also ist b ein Vielfaches von a wie behauptet: I ⊆ (a).

Andererseits gilt a ∈ I ⇒ m · a ∈ I für alle m ∈ R.. Somit (a) ⊆ I. Es folgt I = (a).

Definition: Ein Hauptidealring ist ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit Einselement, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist.

Folgerung: Jeder Euklidsche Ring ist ein Hauptidealring.

80 Elementare Teilertheorie

Definition: Ein Ring R heißt \underline{Integritätsbereich}, wenn R ein kommutativer nullteilerfreier Ring ist.

Kürzungslemma: In einem Integritätsbereich folgt aus x · a = y · a und a ≠ 0 die gekürzte Identität x = y.

\underline{Beweis}: Man erhält (x − y) · a = 0 und wegen der Nullteilerfreiheit von R und a ≠ 0 also x − y = 0. Das heißt x = y.

\underline{Quotientenkörper}: Die Menge der Äquivalenzklassen von formalen Brüchen x/y (mit y ≠ 0) von Elementen aus einem Integritätsbereich R bilden mit den üblichen Rechen- und Kürzungsregeln einen Körper K(R), den sogenannten Quotientenkörper von R. (Zwei formale Brüche x/y und x′/y′ heißen äquivalent, wenn xy′ = x′y gilt; aus dem Kürzungslemma folgt die Transitivität dieser Relation!). Der Integritätsbereich R läßt sich mit dem Teilring von K(R) aller Brüche der Gestalt x/1 identifizieren.

Sei R ein Integritätsbereich.

Definition: Für Elemente a, b ∈ R sagen wir \underline{a teilt b} (und schreiben a|b), falls eine der folgenden drei äquivalenten Aussagen gilt:

(i) b = m · a für ein m ∈ R (b ist ein Vielfaches von a)

(ii) b ∈ (a)

(iii) (b) ⊆ (a)

\underline{Beweis}: (i) ⇔ (ii) ⇒ (iii) ist trivial. Umgekehrt (iii) ⇒ (i) folgt aus: b = 1 · b ∈ (b) ⊆ (a). Also ist b = m · a für ein m ∈ R.

\underline{Beispiel}:

1) 1|a für alle a ∈ R wegen (a) ⊆ (1) = R.

2) a|0 für alle a ∈ R wegen (0) ⊆ (a).

3) a|b und b|c ⇒ a|c wegen b = ma, c = m′b ⇒ c = (m′m)a.

Lemma: Für von a ≠ 0 und b ≠ 0 aus R sind äquivalent:

(i) (a) = (b)

(ii) a = r · b für eine Einheit r ∈ R^{∗}

(iii) b = r′ · a für eine Einheit r′ ∈ R^{∗}

\underline{Beweis}: (ii) ⇒ (i): Sei r ∈ R^{∗}, d.h. es gibt ein r′ ∈ R mit rr′ = r′r = 1. Aus a = rb folgt (a) ⊆ (b). Andererseits gilt r′ · a = r′ · r · b = b. Der umgekehrte Schluß liefert dann (b) ⊆ (a), und somit (a) = (b). (iii) ⇒ (i) folgt dann aus Symmetrie!

(i) ⇒ (ii), (i) ⇒ (iii): Aus (i) folgt a = r · b = r · (r′ · a) = rr′ · a für gewisse r, r′ aus R. Das Kürzungslemma impliziert wegen a ≠ 0

1 = rr′ = r′r .

Somit sind r und r′ wie behautet Einheiten des Rings R.

Definition: Ein Teiler a von b heißt \underline{echter Teiler}, falls gilt

(b) {⊂ \atop ≠} (a) {⊂ \atop ≠} R.

\underline{Beispiel}: 1|b, aber 1 ist kein echter Teiler von b. Genauso gilt b|b, aber b ist kein echter Teiler von b.

\underline{Bemerkung}: Sei a ≠ 0. Dann ist a als Teiler von b mit

b = m · a

genau dann ein echter Teiler von b, wenn \underline{weder a noch m eine Einheit von R ist}.

\underline{Zum Beweis}: (b) = (a) ist nach obigem Lemma äquivalent zu b = r · a für ein r ∈ R^{∗}. Andererseits gilt b = m · a nach Annahme. Das Kürzungslemma impliziert r = m, somit ist m eine Einheit im Fall (b) = (a). Ist umgekehrt m ∈ R^{∗} eine Einheit, dann folgt (b) = (a) nach obigem Lemma. Analog dazu ist (a) = R = (1) äquivalent zur Aussage a ∈ R^{∗}.

Definition: Ein Element p ∈ R mit p ≠ 0 und p ∉ R^{∗} heißt \underline{Primelement}, falls p eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften besitzt

(i) p besitzt keine echten Teiler (ii) Für jede Zerlegung p = u · v von p folgt u ∈ R^{∗} oder v ∈ R^{∗}. (iii) Für jedes \underline{Hauptideal} I mit (p) ⊆ I ⊆ R gilt I = (p) oder I = R.

\underline{Beispiele}:

1) In R = K[X] ist jedes lineare Polynome X − a_{0} ein Primelement.

2) X^{2} − 2aX + a^{2} ist kein Primelement in K[X].

3) Ist K = ℝ, dann ist X^{2} + 1 ein Primelement in ℝ[X].

4) In R = ℤ ist ein Element n Primelement genau dann, wenn |n| eine Primzahl ist.

81 Teilertheorie in Hauptidealringen

Von nun an werde zusätzlich zu der Annahme des vorigen Abschnitts angenommen, daß R ein \underline{Hauptidealring} ist.

Für gegebene Elemente a_{1}, ..., a_{n} des Ringes R setzen wir

(a_{1}, ..., a_{n}) = {∑_{i=1}^{n} m_{i}a_{i} | m_{i} ∈ R} .

Diese Teilmenge von R ist unter Addition und außerdem unter Skalarmultiplikation mit Elementen aus R abgeschlossen. Also ist (a_{1}, ..., a_{n}) ein R-Untermodul von R oder mit anderen Worten ein Ideal. Dies gilt für jeden kommutativen Ring. Da aber R nach Voraussetzung jetzt ein Hauptidealring ist, existiert jetzt aber ein a ∈ R mit

(a_{1}, ..., a_{n}) = (a).

Die Zahl a ∈ R ist bis auf eine Einheit eindeutig bestimmt, und man nennt sie ggT (a_{1}, ..., a_{n}) oder \underline{größter} \underline{gemeinsamer Teiler} der Zahlen a_{1}, ..., a_{n} aus R.

Analog definiert man kgV (a_{1}, ..., a_{n}) = b mittels des Durchschnittideals

(a_{1}) ∩ ... ∩ (a_{n}) = (b) .

\underline{Bemerkung}: Aus der Charakterisierung von Primelementen im letzten Paragraph sind in einem \underline{Hauptidealring} folgende Aussagen äquivalent

(i) p ist ein Primelement

(ii) Für jedes I mit (p) ⊆ I ⊆ R gilt I = (p) oder I = R.

Lemma 1: Sei p ein Primelement eines Hauptidealrings und q ∈ R sei beliebig. Dann sind äquivalent:

(i) p|q

(ii) (p, q) = (p)

\underline{Beweis}: (i) ⇒ (ii): p|q ⇒ (q) ⊆ (p) ⇒ (p, q) ⊆ (p) per Definition des Ideals (p, q). Andererseits ist (p) ⊆ (p, q) immer richtig. Also (p, q) = (p).

(ii) ⇒ (i): (p, q) = (p) ⇒ 0 · p + 1 · q = m · p ⇒ q = m · p ⇒ p|q

Lemma 2: (Teilerlemma) Sei p ein Primelement in einem Hauptidealring. Dann gilt:

Aus p|qq̃ folgt p|q oder p|q̃.

\underline{Beweis}: Sei I = ggT (p, q). Dann gilt (p) ⊂ I ⊂ R. Wegen obiger Bemerkung ist also entweder ggT (p, q) = (1) = R oder ggT (p, q) = (p). Im letzten Fall ggT (p, q) = (p) folgt p|q (letztes Lemma). OBdA können wir daher ggT (p, q) = 1 annehmen. Also existieren α, β ∈ R mit

α · p + β · q = 1 .

Daraus folgt wegen qq̃ = mp

q̃ = (α · p + β · q) · q̃ = α · p · q̃ + β · m · p = (α · q̃ + β · m) · p,

also p|q̃ wie behauptet.

\underline{Bemerkung}: Der \underline{Gaußsche} Ring ℤ + ℤ · i und der \underline{Eisensteinsche} Ring ℤ + ℤ · ρ mit ρ^{3} = 1, Im(ρ) > 0 sind beides euklidsche Ringe, somit Hauptidealringe und das Teilerlemma gilt in diesen Ringen. Dies ist nicht richtig für den Ring R = ℤ + ℤ · \sqrt{−5} wegen (1 + 2\sqrt{−5})(1 − 2\sqrt{−5}) = 3 · 7. Man kann zeigen, daß 3, 7, 1 + 2\sqrt{−5} und 1 − 2\sqrt{−5} Primelemente in R sind, aber 3 weder 1 + 2\sqrt{−5} noch 1 − 2\sqrt{−5} teilt. Betrachte die Normen! Der Ring ℤ + ℤ · \sqrt{−5} ist also kein Hauptidealring!

82 Primzahlzerlegung

Sei R ein kommutativer Hauptidealring.

Satz (Eindeutigkeit der Zerlegung in Primelemente): Jede Zerlegung a = p_{1} · ... · p_{r} einer Zahl 0 ≠ a ∈ R in Primelemente p_{1}, ..., p_{r} bestimmt die Primelemente p_{i}(i = 1, ..., r) eindeutig bis auf die Reihenfolge und bis auf Abänderungen derselben durch Einheiten.

\underline{Beweis}: Sei q = p_{1} ·...·p_{r} = q_{1} ·...·q_{s} (p_{i}, q_{j} Primelemente). Wir schließen durch Induktion nach n = max(r, s). OBdA sei r ≥ s und r ≥ 1. Aus der Relation folgt insbesondere:

p_{1}|q_{1} · ... · q_{s}.

Durch Iteration von Lemma 2 aus dem letzten Abschnitt folgt p_{1}|q_{i} für ein i, 1 ≤ i ≤ s. Dies impliziert wiederum (p_{1}) = (q_{i}), da q_{i} als Primelemente keine echte Teiler besitzt. Es folgt p_{1} = ϵ · q_{i} mit einer Einheit ϵ und man erhält aus dem Kürzungslemma

(ϵp_{2}) · ... · p_{r} = q_{1} · ...· q̸_{i} · ... · q_{s} .

Die Zahl der Primfaktoren dieser Identität ist max(r − 1, s − 1) < max(r, s). Mit Hilfe der Induktionsannahme folgt daraus der Satz.

Sei R wie bisher ein Hauptidealring. Dann gilt

Satz: (Existenz der Primzahlzerlegung) Jedes Element r ∈ R, r ≠ 0 besitzt eine Zerlegung r = p_{1}·...·p_{s} in ein Produkt von endlich vielen Primelementen, oder r ist eine Einheit.

Korollar: In einem Hauptidealring besitzt jede von Null verschiedene Nichteinheit eine ”eindeutige” Zerlegung in Primelemente.

Zum Beweis der Existenz einer Primelementzerlegung benötigen wir folgendes

Lemma: Sei R ein Hauptidealring. Dann wird jede aufsteigende Kette von Idealen

(a_{1}) ⊆ ⋯ ⊆ (a_{n}) ⊆ (a_{n+1}) ⊆ ⋯

stationär, d.h. es gibt einen Index i_{0}, so daß für alle i ≥ i_{0} gilt

(a_{i}) = (a_{i+1}).

\underline{Beweis}: Setze I := ⋃_{i=1}^{n}(a_{i}) ⊆ R. Offensichtlich ist I ein R-Untermodul von R.

Da R ein Hauptidealring ist, gilt I = (a) für ein a ∈ R. Wegen

a ∈ I = ⋃_{i=1}^{n} (a_{i})

existiert dann ein i_{0}, so daß a ∈ (a_{i_{0}}).

a = m · a_{i_{0}} ∈ (a_{i_{0}})

Jetzt folgt

I = (a) ⊆ (a_{i_{0}}) ⊆ (a_{i}) ⊆ I

für alle i ≥ i_{0}. Also I = (a_{i}) für i ≥ i_{0}. Damit ist das Lemma bewiesen.

\underline{Beweis von der Existenz der Primelementzerlegung}: Sei r ein von Null verschiedene Nichteinheit in R. Sei

r = ∏_{i=1}^{n} r_{i}^{(n)} r_{i}^{(n)} ∈ R, r_{i}^{(n)} ∉ R^{∗}

eine Zerlegung von r der Länge n. Sind nicht alle r_{i}^{(n)} Primfaktoren, dann existiert ein i (oBdA i = n), so daß r_{i}^{(n)} eine weitere Zerlegung in das Produkt zweier Nichteinheiten besitzt.

r_{n}^{(n)} = r_{n}^{(n+1)} · r_{n+1}^{(n+1)}

Setzt man r_{i}^{(n+1)} = r_{i}^{(n)}, dann erhält man eine Zerlegung wie oben von der Länge n + 1. Dieser Prozeß bricht nach endlich vielen Schritten ab, denn andernfalls wäre

(r) = (r_{1}^{(1)}) {⊂ \atop ≠} (r_{2}^{(2)}) {⊂ \atop ≠} (r_{3}^{(3)}) {⊂ \atop ≠} ⋯

eine nichtstationäre Kette von Teilern. Dies ist nicht möglich, wie im letzten Lemma gezeigt wurde. Bricht der Prozeß dagegen ab, ist die Zerlegung die gewünschte Zerlegung von r in Primelemente.

83 Der Chinesische Restsatz

Seien a, b ∈ R mit ggT (a, b) = (1) = (R), das heißt a, b seien \underline{teilerfremd}. Dann existieren per Definition α, β ∈ R mit

αa + βb = 1.

Setze A = αa und B = βb. Dann gilt

A + B = 1 und A ∈ (a) B ∈ (b) .

Andererseits gilt für den kgV (a, b) = (a) ∩ (b) dann außerdem

kgV (a, b) = (a · b) ,

denn die Teilerfremdheit von a und b impliziert wegen der Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in R, daß eine Zahl z durch a und durch b teilbar ist genau dann, wenn z durch a·b teilbar ist. Dies liefert die folgende nichttriviale Identität

Lemma: Für teilerfremde Zahlen a, b in einem Hauptidealring gilt

(a) ∩ (b) = (a · b) .

Daraus folgern wir jetzt

Satz: Für teilerfremde Zahlen a, b in einem Hauptidealring R gilt

R/(a · b) ≅ R/(a) ⊕ R/(b).

\underline{Beweis}: Betrachte die R-lineare Abbildung

φ : R → R/(a) ⊕ R/(b)

welche durch Restklassenbildung wie folgt

φ(r) = ([r], [r]) = (r + (a), r + (b))

definiert ist. Offensichtlich gilt 0) φ ist R-linear.

1) Kern(φ) = (a)∩(b) beziehungsweise auch Kern(φ) = (a·b) nach obigem Lemma, da nach Annahme a und b teilerfremd sind.

2) \underline{φ ist surjektiv}: Seien A und B gewählt wie am Anfang des Paragraphen! Dann gilt φ(A) = ([0], [1]) , denn A ∈ (a) und A = 1 − B ∈ [1]. Analog zeigt man φ(B) = ([1], [0]) .

Es folgt φ(r_{2}A + r_{1}B) = (r_{2}[0], r_{2}[1]) + (r_{1}[1], r_{1}[0]) = ([r_{1}], [r_{2}]). Das heißt jedes Element ([r_{1}], [r_{2}]) ∈ R/(a) ⊕ R/(b) liegt im Bild von φ.

Der Isomorphiesatz aus §60 impliziert wegen 2) daher wie behauptet

R/(a) ⊕ R/(b) ≅ R/Kern(φ) =^{1)} R/(a · b) .

\underline{Beispiel}: ℤ/(6) ≅ ℤ/(3) ⊕ ℤ/(2)

Korollar: Sei a = ∏_{i=1}^{r} p_{i}^{n_{i}} · ϵ mit einer Einheit ϵ ∈ R^{∗} und seien paarweise

teilerfremde Primelemente p_{1}, ..., p_{r} gegeben. Dann gilt

R/(a) ≅ ⨁_{i=1}^{r} R/ (p_{i}^{n_{i}}) .

84 Äquivalenz von Matrizen

Sei R ein kommutativer Ring. Eine Matrix U ∈ M_{n,n}(R) mit Einträgen in R heißt \underline{invertierbar}, wenn eine Umkehrmatrix U^{−1} ∈ M_{n,n}(R) mit Einträgen in R existiert mit

U ∘ U^{−1} = U^{−1} ∘ U = E .

U ist invertierbar genau, dann wenn det(R) eine \underline{Einheit} von R ist. Dies folgt unmittelbar aus der \underline{Cramerschen Regel}.

Die Menge der invertierbaren Matrizen in M_{n,n}(R) bezeichnen wir mit

Gℓ(n, R) .

Matrizen in Gℓ(n, R) bilden eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation.

\underline{Bemerkung}: Für U ∈ Gℓ(n, R) gilt auch Λ^{i}(U) ∈ Gℓ(N, R) für die Graßmann Potenzen Λ^{i}(U). Nämlich Λ^{i}(U^{−1}) ist invers zu Λ^{i}(U) und hat Koeffizienten in R. Siehe §86.

Definition: Zwei Matrizen M_{1}, M_{2} ∈ M_{n,m}(R) heißen \underline{äquivalent}, wenn invertierbare Matrizen U ∈ Gℓ(n, R) und V ∈ Gℓ(m, R) existieren mit der Eigenschaft

M_{1} = U · M_{2} · V.

Man schreibt dann M_{1} ∼ M_{2}. Dies verallgemeinert die Definition aus §25.

Wie man leicht nachprüfen kann, gilt

M_{1} ∼ M_{1}
M_{1} ∼ M_{2} ⇒ M_{2} ∼ M_{1}
M_{1} ∼ M_{2}, M_{2} ∼ M_{3} ⇒ M_{1} ∼ M_{3}.

Der Beweis ist vollkommen analog zum Beweis des bereits behandelten Körperfalls. Siehe §25. Auch der nächste Abschnitt ist eine Verallgemeinerung von §25.

85 Elementarteiler (Existenz)

Satz: Sei R ein Hauptidealring. Dann ist jede Matrix M ∈ M_{n,m}(R) äquivalent zu einer Matrix 𝔼 in Normalform:

\begin{matrix}𝔼 = ( \begin{matrix}e_{1} & & 0 \\ & ... & & 0 \\ 0 & & e_{n} \end{matrix} ) & bzw. & 𝔼 = ( \begin{matrix}e_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & e_{m} \\ & & 0 \end{matrix} ) \\ m ≥ n & & n ≥ m \end{matrix}

für gewisse e_{1}, ..., e_{r} ∈ R mit der Eigenschaft

e_{1}|e_{2}| ⋯ |e_{r−1}|e_{r} r = min{n, m}.

Die Zahlen e_{1}, ..., e_{r} heißen \underline{Elementarteiler} der Matrix M. Sie sind bis auf Einheiten in R^{∗} eindeutig durch die Matrix M bestimmt.

\underline{Bemerkung}: Der Fall e_{i} = 0 ist möglich. Beachte, daß jede Zahl m ∈ R Null teilt. Die e_{i} = 0 stehen daher am Ende.

\underline{Beweis des Satzes}: Wir führen den Beweis nur in dem Spezialfall durch, wo R ein Euklidscher Ring ist. Sei g : R → ℕ_{≥0} die Gradfunktion von R. Invertierbare n × n-Matrizen mit Einträgen in R sind die Elementarmatrizen:

1) Diag(a_{1}, ..., a_{n}) = ( \begin{matrix}a_{1} & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & ... & ... & & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & & ... & ... & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & a_{n} \end{matrix} ) mit a_{1}, ..., a_{n} ∈ R^{∗}

2) E_{ν,μ}(λ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & ⋮ & ... & & & & ⋮ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & ... & & & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & & & ... & λ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ⋮ & & & & ... & ⋮ & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) mit λ ∈ R und ν ≠ μ

3) Permutationsmatrizen P (σ) = (P (σ)_{ij})

P (σ)_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & j = σ(i) \\ 0 & j ≠ σ(i) \end{matrix} für σ ∈ S_{n}

Dies zeigt man wie in §24 im Körperfall.

Linksmultiplikationen mit solchen Matrizen (beziehungsweise Rechtsmultipliaktionen mit den entsprechenden m × m-Matrizen) zeigt wie in §31, daß durch folgende Operationen Matrizen in äquivalente Matrizen übergeführt werden:

1. Multiplikation der Spalten (bzw. Zeilen) mit Einheiten

2. Addition des λ-fachen der ν-ten Zeile (Spalte) zur μ-ten Zeile (Spalte) (ν ≠ μ)

3. Permutation der Spalten (Zeilen).

Der Beweis des Elementarteilersatzes erfolgt durch Ausräumen der gegebenen Matrix M mit Hilfe der Operationen 1.-3. g hat Werte in ℕ_{≥0}. Wir wählen unter allen Matrizen, welche zur ursprünglichen Matrix äquivalent sind, eine für die g(a_{11}) minimal ist (insbesondere ist dann a_{11} ≠ 0 für M ≠ 0; aber die Nullmatrix hat bereits Normalform). OBdA können wir also M selbst als eine dieser minimalenMatrizen annehmen.

\underline{Folgerung}: Jede der Zahlen a_{1i} und a_{i1} ist durch a_{11} teilbar.

\underline{Beweis}: a_{11} |̸a_{1i} ⇒ a_{1i} = m · a_{11} + r mit r ≠ 0 und g(r) < g(a_{11}). Addiert man das −m-fache der ersten Spalte zur i-ten Spalte und vertauscht dann die erste und die i-te Spalte,

\begin{aligned}( \begin{matrix}a_{11} ⋯ a_{1i} ⋯ \\ * \end{matrix} ) & ⟶^{2. λ=−m} & ( \begin{matrix}a_{11} ⋯ \overbrace{a_{1i} − m · a_{11}}^{=r} ⋯ \\ * \end{matrix} ) \\ & ⟶^{3.} & ( \begin{matrix}r ⋯ \\ * \end{matrix} ) g(r) < g(a_{11}) \end{aligned}

erhält man einen Widerspruch zur Minimalität von g(a_{11}). q.e.d. Analog schließt man für a_{i1}.

Durch Umformungen mittels der Operationen 1.,2. und 3. können wir also jetzt die Matrix überführen in die Gestalt

( \begin{matrix}a_{11} & 0 \\ 0 & * \end{matrix} )

\underline{Behauptung}: Jeder Eintrag der Matrix ( \begin{matrix}a_{11} & 0 \\ 0 & * \end{matrix} ) ist durch a_{11} teilbar.

\underline{Beweis}: Angenommen a_{11} |̸a_{ij} ⇒ a_{ij} = m·a_{11} +r mit r ≠ 0 und g(r) < g(a_{11}). Die Operationen

( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & 0 & ⋯ \\ 0 & & a_{ij} \end{matrix} ) ⟶^{2. λ=1} ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{11} & ⋯ \\ 0 & & a_{ij} \end{matrix} )

⟶^{2. λ=−m} ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{11} & ⋯ \\ ∗ & & r \end{matrix} )

⟶^{3.}  ( \begin{matrix}r & ∗ \\ ∗ & * \end{matrix} )

liefern dann wegen g(r) < g(a_{11}) einen Widerspruch zur Minimalität. Somit ist die letzte Behauptung bewiesen.

Es folgt

( \begin{matrix}a_{11} & 0 \\ 0 & * \end{matrix} ) = a_{11} · ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & N \end{matrix} )

mit einer Matrix N ∈ M_{n−1,m−1}(R). Per Induktion hat N oBdA Normalform. Setzt man e_{1} = a_{11}, erhält man:

( \begin{matrix}e_{1} & & & & 0 \\ & e_{1}e′_{1} \\ & & e_{1}e′_{2} & & & & 0 \\ & & & . & . & . \\ 0 \end{matrix} ) m ≥ n.

Setzt man nun e_{i} = e_{1}e′_{i−1} für i = 2, ..., n, dann erhält man:

( \begin{matrix}e_{1} & & & 0 \\ & e_{2} \\ & & ... & & 0 \\ 0 & & & e_{n} \end{matrix} ) m ≥ n.

a_{11} ist der erste Elementarteiler.

Der Beweis der Eindeutigkeit der Elemetarteilerzerlegung wird im nächsten Abschnitt gegeben. Vorab sei aber das folgende Verfahren zur Bestimmung der Elementarteiler mitgeteilt, welches auch die Eindeutigkeit derselben impliziert.

Ist M = (i_{νμ}) , dann gilt

e_{1} = ggT (i_{11}, ..., i_{nm})
e_{1} · e_{2} = ggT (det aller 2 × 2 Teilmatrizen von M )
e_{1} · e_{2} · e_{3} = ggT (det aller 3 × 3 Teilmatrizen von M )
⋮
e_{1} · ... · e_{n} = ggT (det aller n × n Teilmatrizen von M )

Der Beweis dieser Aussage sei dem ambitionierten Leser als Übungsaufgabe überlassen. Hierbei sind die ν × ν Teilmatrizen zu verstehen als diejenigen Matrizen, die durch Streichen von n − ν Zeilen und n − ν Spalten entstehen!

\underline{Hinweis}: Die Aussage ist klar, wenn M in Normalform vorliegt. Benutze Λ^{i}(U) ∘ Λ^{i}(V) = Λ^{i}(U ∘ V) und U ∈ Gℓ(n, R), V ∈ Gℓ(m, R) ⇒ Λ^{i}(U) ∈ Gℓ(N, R), Λ^{i}(V) ∈ Gℓ(M, R) um den allgemeinen Fall auf diesen Fall zurückzuführen.

\underline{Beispiel}: M = ( \begin{matrix}5 & 3 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) hat Elementarteiler e_{1} = 1, e_{2} = det(M) = 4.

86 Elementarteiler (Eindeutigkeit)

In diesem Abschnitt sei R wieder ein Hauptidealring.

Für U in M_{n,n}(R) gilt offensichtlich det(U) ∈ R. Eine Matrix U mit dieser Eigenschaft heißt \underline{unimodular}.

Für eine Matrix U in M_{n,n}(R) schreiben wir U ∈ Gℓ(n, R), wenn eine zu U inverse Matrix U^{−1} in M_{n,n}(R) existiert. In diesem Fall ist wegen det(U) · det(U^{−1}) = 1 die Zahl det(U) eine Einheit in R^{∗}, also U unimodular. Die Umkehrung gilt auch, insbesondere bilden die unimodularen Matrizen eine Gruppe

Lemma: Es gilt U ∈ Gℓ(n, R) ⟺ det(U) ∈ R^{∗} für U ∈ M_{n,n}(R).

Dies ergibt sich unmittelbar aus der Formel für die inverse Matrix U^{−1} in Termen der adjungierten Matrix Ũ ∈ M_{n,n}(R).

Lemma: Für M, N ∈ M_{n,m}(R) seien

(a) = ggT (M_{ij}) und (b) = ggT (N_{ij})

die ggT’s der Matrixkoeffizienten. Sind M und N \underline{äquivalente} Matrizen, dann gilt

(a) = (b) .

\underline{Beweis}: Es gilt M = a·M_{1} für ein M_{1} ∈ M_{n,m}(R). Aus N = UMV = a·UM_{1}V, folgt a|b, da UM_{1}V Koeffizienten in R besitzt. Wegen Symmetrie folgt genauso b|a, also (a) = (b).

Sei nun M ∈ M_{n,m}(R) eine beliebige Matrix. Bezeichne r := min{n, m}. Nach §85 ist M äquivalent zu einer Elementarteilermatrix

M ∼ 𝔼 = ( \begin{matrix}e_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & e_{r} \end{matrix} ) mit e_{1} | ... | e_{r} und r = min\{n, m\}.

Folgerung: Es gilt (ggT (M_{11}, ..., M_{nm})) = (e_{1}).

\underline{Die Graßmannkonstruktion}: M ∈ M_{n,m}(R) ist eine R–lineare Abbildung

M : R^{m} → R^{n}

zugeordnet: M(b_{i}) = ∑_{j=1}^{n} M_{ji}b_{j} für i = 1, ..., m. Hierbei seien b_{i} bzw. b_{j} die kanonischen Basisvektoren des R^{m} bzw. R^{n}. Die Graßmannkonstruktion (für k = 0, 1, 2, ...) induziert R-lineare Abbildungen

Λ^{k}(R^{m}) ⟶^{Λ^{k}(M)} Λ^{k}(R^{n}) ,

so daß gilt

Λ^{k}(id) = id und Λ^{k}(M_{1} · M_{2}) = Λ^{k}(M_{1}) · Λ^{k}(M_{2}) .

Bezüglich der induzierten R-Basen b_{I} lassen sich diese Abbildungen wieder durch Matrizen beschreiben, welche Koeffizienten in R besitzen. Dies folgt aus Λ^{k}(M)(b_{I}) = Λ^{k}(M)(b_{i_{1}} ∧ ... ∧ b_{i_{k}}) = M(b_{i_{1}}) ∧ ... ∧ M(b_{i_{k}}) = ∑_{j_{1}=1}^{n} M_{j_{1}i_{1}}b_{j_{1}} ∧ ... = ∑_{J⊂{1,...,n}} Λ^{k}(M)_{IJ}b_{J} durch ausmultiplizieren und zusammenfassen.

\underline{Beispiel}: Für n = m = 4, k = 2 und M = diag(λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, λ_{4}) ist Λ^{2}(M) gleich

\begin{matrix}b_{1} ∧ b_{2} b_{1} ∧ b_{3} b_{1} ∧ b_{4} b_{2} ∧ b_{3} b_{2} ∧ b_{4} b_{3} ∧ b_{4} \\ ( \begin{matrix}λ_{1}λ_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{1}λ_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{1}λ_{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{2}λ_{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & λ_{2}λ_{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & λ_{3}λ_{4} \end{matrix} ) & \begin{matrix}b_{1} ∧ b_{2} \\ b_{1} ∧ b_{3} \\ b_{1} ∧ b_{4} \\ b_{2} ∧ b_{3} \\ b_{2} ∧ b_{4} \\ b_{3} ∧ b_{4} \end{matrix} \end{matrix}

denn b_{i} ∧ b_{j} ↦ λ_{i} · b_{i} ∧ λ_{j} · b_{j} = λ_{i}λ_{j} · b_{i} ∧ b_{j}. Allgemeiner

Lemma: Für M = diag(λ_{1}, .., λ_{r}) ist Λ^{k}(M) eine Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen ∏_{i∈I} λ_{i} an der Diagonalenstelle I ⊂ {1, ..., n} mit |I| = k.

Lemma: Wenn U : R^{n} → R^{n} invertierbar in M_{n,n}(R) ist, ist Λ^{k}(U) : Λ^{k}(R^{n}) → Λ^{k}(R^{n}) invertierbar in M_{\binom{n}{k},\binom{n}{k}}(R).

\underline{Beweis}: Weil U invertierbar ist, gibt es ein U_{1} ∈ M_{n,n}(R) mit U_{1}U = UU_{1} = id. Es folgt Λ^{k}(U_{1}) · Λ^{k}(U) = Λ^{k}(U_{1} · U) = Λ^{k}(id) = id. Also ist Λ^{k}(U_{1}) invers zu Λ^{k}(U), und ist ganzzahlig weil Ũ ganzzahlig ist.

Aus diesem Lemma und der Formel Λ^{k}(UMV) = Λ^{k}(U) · Λ^{k}(M) · Λ^{k}(V) ergibt sofort als

Folgerung: Sind M und N äquivalent, dann auch Λ^{k}(M) und Λ^{k}(N).

Nach diesen Vorbereitungen kommen wir nun zu der entscheidenden Aussage dieses Abschnitts

Satz: Für die Elementarteiler e_{i} einer Matrix M gilt

∏_{i=1}^{k} e_{i} = ggT (Koeffizienten von Λ^{k}(M)) .

Insbesondere sind diese Produkte (für k = 1, 2, .., r) und damit auch die Elementarteiler e_{1}, .., e_{r} selber bis auf Einheiten eindeutig durch die Matrix M bestimmt.

\underline{Beweises des Satzes}: Da wie nun gezeigt Λ^{k}(𝔼) und Λ^{k}(M) äquivalent sind, haben sie denselben Koeffizienten ggT. Aus den oben gegebenen Formeln für die Einträge der Diagonalmatrix Λ^{k}(𝔼) und der Teilerbedingung e_{1}|e_{2}... ergibt sich der Koeffizienten ggT von Λ^{k}(𝔼) als die Zahl ∏_{i=1}^{k} e_{i} = ggT_{I,|I|=k}(∏_{i∈I} e_{i}).

Hauptidealringe und ihre Moduln

87 Kern, Bild, Kokern

Genau so wie im Körperfall kann man nun auch lineare Gleichungssysteme mit Koeffizienten in einem Hautidealring R betrachten und für ein solches Gleichungssystem nach \underline{Lösungen mit Koeffizienten in R} fragen. Wird das Gleichungssystem durch die Matrix M ∈ M_{m,n}(R) beschrieben, hat man analog zum Körperfall eine zugeordnete R-lineare Abbildung

\begin{matrix}M : R^{n} & ⟶ & R^{m} \\ x & ⟼ & M · x. \end{matrix}

Wie im Körperfall ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems entweder leer oder ist von der Gestalt x_{0} + Kern(M). Es stellt sich dann natürlich die Frage nach der Struktur der R-Moduln Kern(M) ⊂ R^{n} und Bild(M) ⊂ R^{m}? Es sind Untermoduln von freien Moduln. Tatsächlich sind beide Moduln selbst wieder freie R-Moduln. Den Beweis kann man zum Beispiel dadurch führen, daß man auf den Fall reduziert, wo M eine Elementarteilermatrix ist. Dieser Fall ist, wie wir sehen werden, von besonderem Interesse.

Die Aussage folgt aber auch aus dem im Anhang bewiesenen allgemeinen Satz. Wir erhalten in jedem Fall

Satz: Für ein R-lineares Gleichungssystem M : R^{n} → R^{m} mit M ∈ M_{m,n}(R) gilt

• Kern(M) ist ein freier R-Modul vom Rang ≤ n

• Bild(M) ist ein freier R-Modul vom Rang ≤ m.

\underline{Frage}: Wann hat nun M ·x = b überhaupt eine Lösung (zu gegebenem b ∈ R^{m})? Was ist das \underline{Hindernis} dafür?

\underline{Antwort}: Die Lösbarkeit des inhomogenen Gleichungssystems ist aus tautologischen Gründen äquivalent zum Verschwinden der Restklasse [b] im Kokern(M) = R^{m}/Bild(M). Der R–Modul Kokern(M) hängt aber nur von M ab und nicht von b. Man nennt ihn daher auch den ¨ \underline{Hindernisraum}” oder ”Obstruktionsraum”. Dieser Kokern ist im allgemeinen aber kein freier R-Modul mehr, enthält aber interessante Informationen über das Gleichungssystem.

\underline{Beispiel}: Für M ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x + y \\ x − y \end{matrix} ) ist der Hindernisraum ≃ ℤ/2ℤ.

In der Tat hängt der \underline{Hindernisraum} (bis auf Isomorphie von R-Moduln) nur von den \underline{Elementarteilern} von M ab. Im obigen Beispiel sind die Elementarteiler gerade 1 und 2, und dies gibt dann ℤ/2ℤ für den Hindernisraum. Die Rechnung zeigt aber mehr, und erlaubt es diesen Modul in Termen der Elementarteiler direkt auszurechnen:

Sei

M = U · 𝔼 · V

mit U ∈ GL(m, R), V ∈ Gℓ(n, R) und Elementarteilermatrix 𝔼. Beachte

v ∈ Kern(M) ⇔ M · v = 0 ⇔ U · 𝔼 · V · v = 0 ⇔ 𝔼 · V · v = 0 ⇔ V (v) ∈ Kern(𝔼). Also folgt

Lemma: Die Abbildung

\begin{matrix}Kern(M) & ⟶^{∼} & Kern(𝔼) \\ v & ⟼ & V (v) \end{matrix}

ist ein R–linearer Isomorphismus.

\underline{Beispiel}: Für 𝔼 = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) gilt Kern(𝔼) = \{( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} )| 2 · x = 0\} .

Somit ist Kern(𝔼) wegen der Nullteilerfreiheit von R gleich dem von dem 2. und 3. Basisvektor aufgespannten freien R-Untermodul vom R^{3}, also isomorph zu R^{2}.

\underline{Bemerkung}: Im allgemeinen folgt genauso Kern(𝔼) ≃ R^{l}, wobei

l = \{ \begin{matrix}#(Elementarteiler e_{i} = 0) & falls n ≤ m \\ #(Elementarteiler e_{i} = 0) + n − m & falls n ≥ m. \end{matrix}

Den Rang des freien Moduls Kern(M) kann man daher daher direkt von den Elementarteilern von M ablesen.

Lemma: Man hat R-Modulisomorphismen Bild(M) ≅ Bild(𝔼) und

Kokern(M) ≅ Kokern(𝔼)

in Termen der Elementarteilermatrix 𝔼 von M.

\underline{Beweis}: Für das Bild und Kokern gilt Kokern(M) = R^{m}/Bild(M) sowie

Bild(M) = Bild(U · 𝔼 · V) = U · 𝔼 · \underbrace{V (R^{n})}_{=R^{n}} = (U𝔼)(R^{n}) .

Man erhält einen Isomorphismus U : Bild(𝔼) = 𝔼(R^{n}) → Bild(M) mit Umkehrabbildung

U^{−1} : (U𝔼)(R^{n}) → 𝔼(R^{n}) .

Dies ergibt das Diagramm

\xymatrix{0 \ar[r] & (U𝔼)(R^{n}) \ar[d]_{≃}^{U^{−1}} \ar[r] & R^{m} \ar[r] \ar[d]_{≃}^{U^{−1}} & Kokern(M) \ar[r] \ar@{.>}[d]_{≃}^{∃!} & 0 \\ 0 \ar[r] & 𝔼(R^{n}) \ar[r] & R^{m} \ar[r] & R^{m}/𝔼(R^{n}) \ar[r] & 0}

Die R-Isomorphismen U^{−1} induzieren einen kanonisch bestimmten R-Isomorphismus zwischen den R-Moduln Kokern(M) und Kokern(𝔼) = R^{m}/𝔼(R^{n}).

Appendix

Satz: Sei R ein Hauptidealring. Dann ist ein R Untermodul M des freien R–Moduls R^{n} wieder ein freier R–Modul, und sein Rang ist ≤ n.

\underline{Beweis}: (Induktion nach n) Der Fall n = 1 ist im wesentlichen gerade die Annahme, daß R ein Hauptidealring ist. Für den Induktionsschritt betrachte die Abbildungen i : R^{n−1} → R^{n} und pr_{n} : R^{n} → R

i ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n−1} ) = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n−1} ; 0 )  und  pr_{n} ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = x_{n} .

Es gilt M ⊂ R^{n} nach Annahme. Sei I das Bild von M unter pr_{n}. Als R– Untermodul von R ist I = pr_{n}(M) ⊂ R ein Ideal. Weil R Hauptidealring ist, gibt es ein a ∈ R mit I = (a). ObdA ist a ≠ 0, da sonst M ⊂ R^{n−1} = Kern(pr_{n}) und wir per Induktion schließen. Nun hat man folgendes kommutative Diagramm, dessen oberste Zeile offensichtlich (!) exakt ist

\xymatrix{0 \ar[r] & R^{n−1} \ar[r]^{i} & R^{n} \ar[r]^{pr_{n}} & R \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & i(R^{n−1}) ∩ M \ar@{^{(}->}[u] \ar[r] & M \ar@{^{(}->}[u] \ar[r] & (a) \ar[r] \ar@{^{(}->}[u] & 0}

Die untere Zeile ist ebenfalls exakt: Die Exaktheit bei i(R^{n−1}) ∩ M und bei (a) ist klar. Zur Exaktheit in der Mitte

Kern (pr_{n}|_{M}) = M ∩ Kern (pr_{n}) = M ∩ i(R^{n−1}) .

Per Induktion ist nun i(R^{n−1}) ∩ M ⊂ i(R^{n−1}) ≃ R^{n−1} frei vom Rang ≤ n − 1.

(a) = R · a ≃ R ist als R-Modul frei vom Rang 1 mit Basiselement a.

Der Satz folgt daher aus dem folgenden Lemma

Lemma: Sei 0 → F_{1} →^{φ} M →^{π} F_{2} → 0 eine kurze exakte Sequenz von R– Moduln. Sind F_{1}, F_{2} freie R–Moduln vom Rang n_{1} resp. n_{2} (aus ℕ), dann ist M frei vom Rang n_{1} + n_{2}.

\underline{Beweis}: Sei b_{1}, ..., b_{n_{1}} eine Basis von F_{1} und b̃_{1}, ..., b̃_{n_{2}} eine Basis von F_{2}. Da π surjektiv ist, existieren b_{n_{1}+1}, ..., b_{n_{1}+n_{2}} ∈ M mit π(b_{n_{1}+i}) = b̃_{i}. Das Lemma folgt dann aus der

\underline{Behauptung}: φ(b_{1}), ..., φ(b_{n_{1}}),b_{n_{1}+1}, ..., b_{n_{1}+n_{2}} bilden eine Basis von M.

\underline{Beweis}: \underline{Lineare Unabhängigkeit}: Wenn für λ_{i} ∈ R gilt

0 = λ_{1}φ(b_{1}) + ... + λ_{n_{1}}φ(b_{n_{1}}) + λ_{n_{1}+1}b_{n_{1}+1} + ... + λ_{n_{1}+n_{2}}b_{n_{1}+n_{2}},

so folgt durch Anwenden von π

0 = 0 + λ_{n_{1}+1}b̃_{1} + ... + λ_{n_{1}+n_{2}}b̃_{n_{2}}.

Weil die b̃_{i} linear unbhängig sind, folgt daraus 0 = λ_{n_{1}+1} = ... = λ_{n_{1}+n_{2}}. Also ist die ursprüngliche Relation von der Gestalt 0 = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}φ(b_{i}) = φ (∑_{i=1}^{n_{1}} λ_{i}b_{i}). Da φ injektiv ist, gilt 0 = ∑_{i=1}^{n_{1}} λ_{i}b_{i}, Wegen der linearen Unabhängigkeit der b_{i} hat das zur Folge, daß auch die restlichen λ_{1} = ... = λ_{n_{1}} = 0 verschwinden.

\underline{Erzeugendensystem}: Sei m ∈ M beliebig. Weil b̃_{i} ein Erzeugendensystem von F_{2} bilden, hat man für geeignete λ_{i} ∈ R

F_{2} ∋ π(m) = λ_{1}b̃_{1} + ... + λ_{n_{2}}b̃_{n_{2}} = ∑_{i=1}^{n_{2}} λ_{i}π(b_{n_{1}+i}) = π (∑_{i=1}^{n_{2}} λ_{i}b_{n_{1}+i}) .

Also π(m − ∑_{i=1}^{n_{2}} λ_{i}b_{n_{1}+i}) = 0 oder

m − ∑_{i=1}^{n_{2}} λ_{i}b_{n_{1}+i} ∈ Kern(π) = φ(F_{1}) .

Die b_{i} bilden ein Erzeugendensystem von F_{1}. Also gibt es μ_{i} ∈ R mit

m − ∑_{i=1}^{n_{2}} λ_{i}b_{n_{1}+i} = φ(∑_{j=1}^{n_{1}} μ_{j}b_{j}) = ∑_{j=1}^{n_{1}} μ_{j}φ(b_{j}) .

Folglich gilt m = ∑_{j=1}^{n_{1}} μ_{j}φ(b_{j}) + ∑_{i=1}^{n_{2}} λ_{i}b_{n_{1}+i}. q.e.d.

\underline{Bemerkung}: Betrachtet man in diesem Appendix – für ein fest gewähltes Primelement π von R – nur noch R-Moduln M mit der Eigenschaft π · M = 0 und ersetzt ‘freier R-Modul vom Rang n’ durch ‘R-Modul vom Typ (R/πR)^{n}’, dann übertragen sich sowohl die Aussage des Satzes als auch sein Beweis.

88 Struktursätze

Satz: Jede endliche abelsche Gruppe G ist isomorph zu einem (direkten) Produkt von zyklischen Gruppen.

Variante: (mittels chinesischem Restsatz) G ist sogar isomorph zu einem Produkt von Gruppen ℤ/p^{r}ℤ mit Primzahlen p ∈ ℕ (und r ∈ ℕ).

Dies sind Spezialfälle im Fall R = ℤ eines in diesem Abschnitt formulierten allgemeinen Struktursatzes für endlich erzeugte R-Moduln über einem Hauptidealring.

Definition:

1) Ein R–Modul heißt \underline{endlich erzeugt}, wenn er ein endliches Erzeugendensystem hat.

2) Ein R–Modul heißt \underline{zyklisch}, wenn er von einem einzigen Element erzeugt wird.

\underline{Präsentationen}: Sei m_{1},...,m_{n} ∈ M ein endliches Erzeugendensystem eines R– Moduls M. Die Abbildung

\begin{matrix}R^{n} & ⟶^{π} & M \\ ( r_{1} ; ⋮ ; r_{n} ) & ⟼ & r_{1}m_{1} + ... + r_{n}m_{n} \end{matrix}

ist eine wohldefinierte R-lineare Abbildung. Weil {m_{1}, .., m_{n}} den R–Modul M erzeugen, ist π surjektiv. Für F := Kern(π) erhält man die exakte Sequenz

0 ⟶ F ⟶^{i} R^{n} ⟶^{π} M ⟶ 0.

Da R ein Hauptidealring ist, ist F als Untermodul von R^{n} freier Modul vom Rang r ≤ n, d.h. es gibt einen Isomorphismus δ : F ≃ R^{r}. Betrachte

𝕄 = i ∘ δ^{−1} : R^{r} ≃ F ↪ R^{n} .

Als Zusammensetzung injektiver Abbildungen ist 𝕄 wieder injektiv. Der Kokern von 𝕄 ist isomorph zu M, denn

[figure: 0; F; ≃; δ; i; R^{n}; π; M; ≃; ∃!; 0; 0; R^{r}; 𝕄; R^{n}; Kokern(𝕄); 0]

ist kommutativ mit exakten Zeilen. Also hat man den

Präsentationssatz: Jeder endlich erzeugte R-Modul M über einem Hauptidealring R ist isomorph zu einem Modul Kokern(𝕄) für eine geeignete Matrix 𝕄 ∈ M_{n,r}(R) (n ≥ r ∈ ℕ geeignet).

Andererseits wissen wir, daß 𝕄 ähnlich ist zu seiner Elementarteilermatrix 𝔼 und daß gilt Kokern(𝕄) ≃ Kokern(𝔼). Also stellt sich die Frage, wie der Kokern aussieht für Matrizen der Gestalt

𝔼 = ( \begin{matrix}e_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & e_{r} \\ & & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{n,r}(R).

Die zugehörige Abbildung 𝔼 : R^{r} → R^{n} ist

𝔼(( x_{1} ; ⋮ ; x_{r} )) = ( e_{1}x_{1} ; ⋮ ; e_{r}x_{r} ; 0 ) .

\underline{Behauptung}:

Kokern(𝔼) = R^{n}/Bild(𝔼) ≃ R/e_{1}R ⊕ ... ⊕ R/e_{r}R ⊕ \underbrace{R/0 ⊕ ... ⊕ R/0}_{n−r Kopien} .

\underline{Beweis}: Die Abbildung

\begin{matrix}R^{n} & ⟼^{p} & R/e_{1}R ⊕ ... ⊕ R/0R \\ ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) & ⟼ & ([x_{1}], ..., [x_{n}]) \end{matrix}

ist surjektiv und hat als Kern den Untermodul

{( e_{1} · x_{1} ; ⋮ ; e_{r} · x_{r} ; 0 )| x_{i} ∈ R} = Bild(𝔼).

Aus der Eindeutigkeit des Quotienten folgt daher

R/e_{1}R ⊕ ... ⊕ R/0R ≃ R^{n}/Bild(𝔼) .

\underline{Bemerkung}: R/0R = R ist zyklisch und R/e_{i}R ist zyklisch.

Struktursatz: Jeder endlich erzeugte R–Modul M über einem Hauptidealring R ist isomorph zu einer direkten Summe von zyklischen R-Moduln

M ≃ ⨁_{i=1}^{n} R/a_{i}R

für a_{i} ∈ R mit a_{1} | ... | a_{n}. Hierbei können und wollen wir außerdem annehmen, daß keine der Zahlen a_{i} eine Einheit in R ist.

Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, daß dann n und die a_{i}, i = 1, .., n bis auf Einheiten durch (die Isomorphieklasse von) M \underline{eindeutig} festgelegt sind. Wir nennen die Zahlen a_{i} daher auch die \underline{Elementarteiler} des R-Moduls M.

89 Beweis der Eindeutigkeit

Wir wollen zeigen, daß die \underline{Elementarteiler} eines endlich erzeugten R-Moduls über einem Hauptidealring R bis auf Einheiten \underline{eindeutig} bestimmt sind.

Gibt es einen Isomorphismus von R-Moduln

N = ⨁_{i=1}^{n} R/(a_{i}) ≅ N′ = ⨁_{j=1}^{m} R/(b_{j})

sowie a_{1} | ... | a_{n} und b_{1} | ... | b_{m}, müssen wir n = m sowie (a_{i}) = (b_{i}) zeigen für alle i = 1, .., n. Nach Annahme ist keine der Zahlen a_{i}, b_{j} eine Einheit.

Aus Symmetriegründen können wir N und N′ vertauschen und annehmen

r = #{a_{i} ≠ 0} ≥ r′ = #{b_{j} ≠ 0} .

Sei k das Minimum der Zahl k der Primteiler (mit Vielfachheiten) aller a_{i} ≠ 0 bzw. b_{j} ≠ 0. Wir benutzen Induktion nach k. Der Induktionsanfang k = 0 ist der Fall a_{1} = .. = a_{n} = 0 bzw. b_{1} = ... = b_{m} = 0. Somit ist der Modul N ≅ N′ frei und alle a_{i} und b_{j} sind Null. Wegen N = R^{n} und N′ = R^{m} und dem Satz aus dem Appendix von §87 folgt dann m ≤ n (und dann n = m aus Symmetrie).

\underline{Die Strategie}: Im Fall k > 0 wählen wir einen Primteiler π von a_{1} und betrachten den Untermodul N[π] ⊂ N aller \underline{π-Torsionselemente}

N[π] = {x ∈ N | π · x = 0} .

Es ist klar, daß ein Isomorphismus ψ : N → N′ von R-Moduln einen Isomorphismus der π-Torsionsmoduln ψ : N[π] → N′[π] induziert. Wir erhalten somit

\xymatrix{0 \ar[r] & N[π] \ar[d]^{≅} \ar[r] & N \ar[d]^{≅} \ar[r] & N/N[π] \ar@{.>}[d]^{≅} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N′[π] \ar[r] & N′ \ar[r] & N′/N′[π] \ar[r] & 0}

Die Strategie ist jetzt die folgende: Wir setzen die Elementarteiler von N in Beziehung zu denen von N[π] und N/N[π] und zeigen per Induktion, daß N/N[π] ≅ N′/N′[π] sowie N[π] ≅ N′[π] dieselben Elementarteiler besitzen.

\underline{Berechnung von N[π]}: Unsere Moduln N sind direkte Summen von Moduln N = ⨁_{i} N_{i}. Somit ist klar N[π] = ⨁_{i} N_{i}[π]. Für die Berechnung können wir uns somit auf den Fall zyklischer Moduln

M = R/aR

beschränken. Hier gibt es drei Fälle.

\underline{Erster Fall} (π ist teilerfremd zu a). Dann folgt wegen 1 = α · π + β · a sowie a · m = π · m = 0, m ∈ M[π] sofort m = 1 · m = 0 für alle Elemente m ∈ M[π]. Also folgt

M[π] = 0 .

\underline{Zweiter Fall} (π teilt a = 0). Dann ist M = R und wegen der Nullteilerfreiheit

M[π] = 0 .

\underline{Dritter Fall} (π teilt a ≠ 0). Dann gilt M[π] = \{m = r · ã mod (a) | r ∈ R\} für die Zahl ã = a/π. Somit ist M[π] ein zyklischer R-Modul erzeugt von der Restklasse [ã]. Die Abbildung R → M[π], welche r ∈ R auf r · [ã] abbildet, ist surjektiv und hat als Kern das Ideal (π). Aus dem Isomorphisatz folgt daher im dritten Fall

M[π] ≅ R/(π) .

Korollar: Ist M ein endlich erzeugter R-Modul über einem Hauptidealring, dann ist M[π] wieder endlich erzeut als R-Modul. Es gilt M[π] = M genau dann wenn gilt

M ≅ (R/πR)^{ρ}

Die natürliche Zahl ρ ist durch die Isomorphieklasse von M eindeutig bestimmt.

\underline{Beweis}: Alle Aussagen folgen im zyklischen Fall aus den obigen Fallunterscheidungen. Im allgemeinen resultieren sie dann – mit Ausnahme der Eindeutigkeit von ρ – aus dem Struktursatz für endlich erzeugte R-Moduln durch Zerlegung in zyklische Moduln. Die Eindeutigkeit von ρ folgt aus der Bemerkung im Appendix von §87. q.e.d.

Wir kehren nun zu unserem Induktionsschluß zurück:

Zur Erinnerung: N[π] ≅ N′[π] und N/N[π] ≅ N′/N′[π].

Aus N/N[π] = ⨁_{i} N_{i}/N_{i}[π] und den obigen Fallunterscheidungen folgt

N[π] ≅ (R/πR)^{ρ} , ρ = #{i | a_{i} ≠ 0 , π|a_{i}}

sowie

N/N[π] ≅ ⨁_{i=1}^{n} R/(\frac{a_{i}}{π}) .

Beachte, daß für die Indizes i mit a_{i} = π die a_{i}/π zu Einheiten werden, und die dazu gehörigen Summanden Null werden.

Es genügt die letzte Formel für N/N[π] im zyklischen Fall nachzurechnen: Für zyklisches N_{i} = R/(a_{i}) ist wegen π|a_{i} der R-Modul N_{i}[π] erzeugt von ã_{i} = a_{i}/π und somit N_{i}/N_{i}[π] ≅ R/(ã_{i}).

Nach Wahl von π ist aber N[π] ≠ 0 und r = ρ. Somit folgt aus N[π] = (R/πR)^{r} und N′[π] ≅ N[π] dann N′[π] = (R/π)^{ρ′} ≠ 0 mit ρ′ = r (siehe letztes Korollar!). Wegen

r ≥ r′ ≥ ρ′ = r

folgt somit dann r = r′ = ρ = ρ′. Aus der analogen Formel für N′[π]

ρ′ = #{j | b_{j} ≠ 0, π|b_{j}}

folgt somit π|b_{j} für alle b_{j} ≠ 0. Damit gilt auch die zur obigen Formel analoge Formel für N′/N′[π].

Aus dem Isomorphismus N/N[π] ≅ N′/N′[π] folgt daher

⨁_{i=1}^{n} R/(\frac{a_{i}}{π}) ≅ ⨁_{j=1}^{m} R/(\frac{b_{j}}{π})

und per Induktion (!) die Gleichheit all der Elementarteiler, welche jeweils von (π) verschieden sind. Benutzt man die dadurch erhaltene Information, schließt man dann die noch fehlende Gleichheit der Anzahl der Elementarteiler vom Typ (π) aus r = r′.

90. Der K[X]–Modul eines Endomorphismus 261

90 Der K[X]–Modul eines Endomorphismus

Der Polynomring R = K[X] über einem kommutativen Körper K wird durch den Polynomgrad zu einem euklidischen Ring.

\underline{Einsetzungen}: Sei a ein Element einer K–Algebra A mit 1_{A}. Dann gibt es genau einen K–Algebrenhomomorphismus φ = φ_{a}

φ : K[X] ⟶ A

mit der Eigenschaft φ(X) = a.

Dies ist sehr einfach zu sehen! φ(1) = 1_{A}, φ(X^{2}) = a^{2} ... und die K-Linearität erzwingen für p(X) = ∑ λ_{i} · X^{i} ∈ K[X]

φ(p(X)) = φ(∑_{i=0}^{n} λ_{i} · X^{i}) = ∑_{i=0}^{n} λ_{i} · a^{i} .

Daß die so definierte Abbildung φ_{a} wohldefiniert ist und ein Ringhomomorphismus, ist leicht nachzurechnen.

\underline{Der Modul (V, M)}: Sei A = End(V) für einen K-Vektorraum V und a = M für einen Endomorphismus M von V. Durch obigen Einsetzungshomomorphismus wird V zu einem K[X]–Modul, den wir mit (V, M) bezeichnen. Die Modulmultiplikation von p(X) = ∑_{i=0}^{n} λ_{i} · X^{i} ∈ K[X] auf V wird gegeben durch

\begin{matrix}K[X] × M & ⟶ & M \\ (p(X), v) & ⟼ & P (a)v = ∑_{i=0}^{n} λ_{i} · a^{i}(v) \end{matrix}

\underline{Beispiel}: Sei V = K^{2} und M = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ). Für v = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) ∈ K^{2}

1 · v = v
X · v = M · v = ( \begin{matrix}x_{2} \\ 0 \end{matrix} )
X^{2} · v = M^{2}v = 0 · v = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} )
⋮
X^{n} · v = 0 (n ≥ 2)

M hat zwei K–Erzeuger e_{1}, e_{2} (die Standardbasisvektoren von K^{2}). Also ist M endlich erzeugt als K–Modul und erst recht als K[X]–Modul. Wegen X ·e_{2} = e_{1} ist der Modul sogar ein zyklischer K[X]–Modul erzeugt von e_{2}. Nach dem Struktursatz gilt daher M ≅ K[X]/a(X). Man zeigt leicht a(X) = X^{2}. Also M ≅ K[X]/X^{2}, was als K–Vektorraum isomorph ist zu K + K · X ist.

Ist der K-Vektorraum V endlich dimensional, dann ist offensichtlich (V, M) als K[X]–Modul endlich erzeugt. Nach dem Stuktursatz für Moduln über dem Hauptidealring R = K[X] in §88 gilt: Jeder endlich erzeugte R–Modul ist isomorph zu einem R–Modul der Gestalt

R/(a_{1}) ⊕ R/(a_{2}) ⊕ ... ⊕ R/(a_{r})

mit a_{1} | a_{2} | ... | a_{r} ∈ R. Wir können diesen Struktursatz auf die K[X]–Moduln (V, M) anwenden.

\underline{Bemerkung}: Für a = 0 ist R/(a) = R. Im Fall R = K[X] ist dies unendlichdimensional als K–Vektorraum. Da (V, M) aber endlichdimensional als K-Vektorraum ist, kommt somit das Polynom a_{i} = 0 in der Zerlegung in zyklische Moduln nicht vor.

Korollar: Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, M ∈ End(V) und (V, M) der zugeordnete K[X]-Modul. Dann gibt es nichtverschwindende, obdA normierte Polynome a_{i} = a_{i}(X) ∈ K[X] mit a_{1} | ... | a_{r} vom Grad n_{i} ≥ 1, so daß gilt

(V, M) ≃ ⨁_{i=1}^{n} R/(a_{i}).

Ein Polynom heißt \underline{normiert}, wenn es von der Form ist

a_{i}(X) = X^{n_{i}} + (Polynom vom Grade < n_{i}) .

91 Zyklische Moduln

Sei im folgenden a(X) = X^{n} + α_{1}X^{n−1} + ... + α_{n} ein normiertes Polynom mit Koeffizienten in K vom Grad n ≥ 1.

Die Restklassen der Monome in dem Quotientenmodul W = K[X]/(a(X)) des Polynomrings K[X] nach dem von a(X) aufgespannten Hauptideal, sind Mengen der Form

[1] = 1 + a(X) · K[X]
[X] = X + a(X) · K[X]
⋮
[X^{n−1}] = X^{n−1} + a(X) · K[X]

Lemma: Faßt man W = K[X]/(a(X)) als K–Vektorraum auf, dann bildet [1], [X], [X^{2}], ... [X^{n−1}] eine K–Basis von W.

\underline{Beweis}: (\underline{Erzeugendensystem}) Sei [p(X)] ∈ W mit Repräsentant p(X) ∈ K[X]. Division mit Rest gibt Polynome r und m mit p(X) = m(X) · a(X) + r(X) und grad(r) < grad(a) oder r ≡ 0 gilt. Für r ≡ 0, d.h. p(X) = m(X) · a(X), ist [p(X)] = [0]; oder r(X) = ρ_{1}X^{n−1} + ... + ρ_{n} hat Grad kleiner als n = grad(a). Dann liegt [p(X)] = [r(X)] = ρ_{1}[X^{n−1}]+...+ρ_{n}[1] im K-Aufspann der Vektoren [X^{n−1}], ..., [1].

\underline{Lineare Unabhängigkeit}: Für λ_{0}, ..., λ_{n−1} ∈ K so daß

λ_{0}[1] + λ_{1}[X] + ... + λ_{n−1}[X^{n−1}] = 0
⇔  [λ_{0} + λ_{1}X + ... + λ_{n−1}X^{n−1}] = 0
⇔  λ_{n−1}X^{n−1} + ... + λ_{1}X + λ_{0} = m(X) · a(X)

(für ein m ∈ K[X]) folgt aus Gradgründen m(X) = 0 (wegen grad(a(X)) = n) und damit λ_{0} = ... = λ_{n−1} = 0.

Betrachte die K-lineare Selbstabbildung von W = K[X]/(a(X))

\begin{matrix}φ : W & ⟶ & W \\ v & ⟼ & X · v \end{matrix}

Die Matrix zu φ bezüglich der Basis ([1], [X], [X^{2}], ..., [X^{n−1}]) besitzt die sogenannte \underline{Jordan–Normalform}

M = \begin{matrix}[1] & [X] & [X^{2}] & ⋯ & [X^{n−1}] \\ ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & −α_{n} \\ 1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & −α_{n−1} \\ 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 & −α_{n−2} \\ ⋮ & & ... & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & & 0 & −α_{2} \\ 0 & 0 & ⋯ & & 1 & −α_{1} \end{matrix} ) , & [1] ; [X] ; [X^{2}] ; ⋮ ; [X^{n−2}] ; [X^{n−1}] \end{matrix}

denn φ([X^{i}]) = X · [X^{i}] = [X^{i+1}] für i = 0, 1, ..., n − 2, und

φ([X^{n−1}]) = [X^{n}] = [a(X) − α_{1}X^{n−1} − ... − α_{n}]
= −α_{1}[X^{n−1}] − ... − α_{n−1}[X] − α_{n}[1] .

\underline{Bemerkung}: Wir haben also dem zyklischen K[X]-Modul W eine Matrix M zugehördnet. Diese beschreibt die Operation von X ∈ K[X] auf dem W = K[X]/(a(X)) zugrundeliegenden K-Vektorraum. Offensichlich gilt daher

W ≅ (K^{n}, M)

mit den Bezeichnungen des letzten Paragraphen.

Lemma 1: Das charakteristische Polynom der Matrix M zu φ ist

χ_{M}(t) = t^{n} + α_{1}t^{n−1} + ... + α_{n−1}t + α_{n}.

Lemma 2: M^{n} + α_{1}M^{n−1} + ... + α_{n−1}M + α_{n}E ≡ 0 \underline{Beweis von Lemma 1}: Laplaceentwicklung nach der ersten Spalte.

\underline{Beweis von Lemma 2}: Zu zeigen ist, daß X^{n}+...+α_{n} = a(X) die Nullabbildung ist auf W = k[X]/(a(X)). Dazu rechnet man nach, daß Multiplizieren mit a(X) auf W die Nullabbildung ist: a(X) · [P] = [a(X) · P] = [0].

Wir erhalten als Anwendung den folgenden

Satz: (Cayley–Hamilton) Sei M ∈ M_{n,n}(K), K ein Körper und χ(t) das charakteristische Polynom von M. Dann gilt

χ(M) = 0.

\underline{Beispiel}: Für M = ( \begin{matrix}2 & 3 \\ 5 & 1 \end{matrix} ) gilt χ(t) = t^{2} − 3t − 13. Also

M^{2} − 3M − 13E = ( \begin{matrix}19 & 9 \\ 15 & 16 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}6 & 9 \\ 15 & 3 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}13 & 0 \\ 0 & 13 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

\underline{Beweis des Satzes}: Sei V = K^{n}. Für den K[X]-Modul (V, M) gilt

(V, M) ≃ ⨁_{i=1}^{r} \underbrace{k[X]/(a_{i}(X))}_{W_{i}} ≃ ⨁_{i=1}^{r}(W_{i}, M_{i}) ,

wobei die M_{i} in Jordan–Normalformen sind. Die Matrix M beschreibt die Skalarmultiplikation mit X. Bezüglich der Zerlegung in zyklische Moduln hat M daher als Matrix Blockmatrizengestalt M = Diag(M_{1}, ..., M_{r}). Für Blockdiagonalmatrizen M (§38) gilt χ_{M}(t) = χ_{M_{1}}(t) ⋯ χ_{M_{r}}(t). Weil χ_{M_{i}}(M_{i}) ≡ 0 auf W_{i} und wegen χ_{M_{i}}(t) | χ_{M}(t) folgt χ_{M}(M_{i}) = 0 für i = 1, ..., r. Also ist χ_{M}(M) = 0 auf allen W_{i} und somit auch auf V.

92 Jordan–Normalform

Gegeben seien Endomorphismen M : V → V bzw. M′ : V′ → V′ von endlichdimensionalen K–Vektorräumen V, V′, sowie die dazu gebildeten K[X]–Moduln (V, M) und (V′, M′).

\underline{Frage}: Was bedeutet in der Sprache der K-Vektorräume, daß eine Abbildung

φ : (V, M) → (V′, M′)

K[X]–linear ist?

\underline{Antwort}: φ : V → V′ ist einerseits notwenig K–linear und zusätzlich gilt φ(Xv) = Xφ(v) für alle v ∈ V, das heißt

φ ∘ M = M′ ∘ φ ,

oder als \underline{kommutatives} Diagramm geschrieben

\xymatrix{V \ar[r]^{φ} \ar[d]_{M} & V′ \ar[d]^{M′} \\ V \ar[r]_{φ} & V′.}

Ist umgekehrt φ : V → V′ eine K–lineare Abbildung, so daß obiges Diagramm kommutiert, dann definiert φ eine k[X]–lineare Abbildung zwischen den k[X]– Moduln (V, M) und (V′, M′).

\underline{Begründung}: Aus der K–Linearität von φ sowie φ(Mv) = M′φ(v) (für alle v ∈ V) folgt

φ(∑_{i} λ_{i}X^{i}v) =^{Def.} φ(∑_{i} λ_{i}M^{i}v) = ∑_{i} λ_{i}M′^{i}φ(v) = (∑_{i} λ_{i}X^{i})φ(v) .

Somit folgt φ(rv) = rφ(v) für alle r ∈ K[X].

Folgerung: Die Zerlegung (V, M) ≃ ⨁_{i=1}^{r}(V_{i}, M_{i}) von k[X]–Moduln in zyklische Moduln bedeutet daher in der Sprache der K-linearen Algebra die Existenz einer K–linearen bijektiven Abbildung φ, welche das Diagramm kommutativ macht

\xymatrix{V \ar[r]^{φ}_{∼} \ar[d]_{M} & ⨁_{i=1}^{r} V_{i} \ar[d]^{⨁_{i} M_{i}} \\ V \ar[r]_{φ}^{∼} & ⨁_{i=1}^{r} V_{i}.}

Wenn man Basen B_{i} von V_{i} wählt um V_{i} mit K^{dim(V_{i})} und M_{i} mit einer Matrix zu idendifizieren, so hat die ⨁_{i} M_{i} zugeordnete Matrix Blockdiagonalgestalt. Das heißt, wir haben via φ letzlich damit auch eine Basis von V gefunden, bezüglich der M Blockdiagonalgestalt bekommt.

Satz: Sei K = ℂ und sei M ∈ M_{n,n}(ℂ). Dann existiert eine Basiswechselmatrix T ∈ Gℓ(n, K) , so daß gilt

T MT^{−1} = ( \begin{matrix}M_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & M_{s} \end{matrix} )

mit (sogenannten) Jordanblöcken der Gestalt

M_{i} = ( \begin{matrix}λ_{i} & 0 & 0 & ⋯ & & 0 \\ 1 & λ_{i} & 0 & ⋯ & & 0 \\ 0 & 1 & λ_{i} & ⋯ & & 0 \\ ⋮ & & ... & ... & & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & & 1 & λ_{i} \end{matrix} ) , λ_{i} ∈ ℂ.

\underline{Beweis}: Sei V = K^{n}. Nach dem Struktursatz von §88 ist der Modul (V, M) als K[X]–Modul direkte Summe von zyklischen Moduln. Mit dem chinesischen Restsatz kann man die zyklischen Summanden als K[X]–Moduln weiter zerlegen in K[X]-Moduln der Gestalt ⨁_{i} K[X]/p_{i}^{e_{i}}, wobei p_{i}(X) die Primpolynome sind (obdA paarweise teilerfremd). Zusammengefaßt gibt es also Primpolynome π_{i} = π_{i}(X) in K[X], so daß

(V, M) ≃^{K[X]} ⨁_{i=1}^{s} K[X]/(π_{i}^{e_{i}}) .

Jetzt wird ausgenützt, daß für K = ℂ der Fundamentalsatz der Algebra gilt. Somit hat jedes normierte Primpolynom π(X) ∈ ℂ[X] die Gestalt π(X) = X−λ für ein geeignetes λ ∈ ℂ.

Also kann man sich nun auf Moduln der Gestalt ℂ[X]/((X −λ)^{n}) konzentrieren. Eine seiner Basen (als ℂ–Vektorraum) besteht aus den Restklassen [1], [X], [X^{2}], ..., [X^{n−1}]. Also ist auch [1], [X − λ], [(X − λ)^{2}], ..., [(X − λ)^{n−1}] eine Basis, wie man leicht zeigt. Bezüglich dieser Basis wird die Multiplikation mit X durch folgende n × n–Matrix beschrieben

( \begin{matrix}λ & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 1 & λ & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & λ & ⋯ & 0 \\ ⋮ & & ... & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 & λ \end{matrix} ) ,

denn der i–te Basisvektor [(X − λ)^{i}] wird abgebildet auf

X · [(X − λ)^{i}] = (X − λ) · [(X − λ)^{i}] + λ · [(X − λ)^{i}]
= [(X − λ) · (X − λ)^{i}] + λ · [(X − λ)^{i}]
= [(X − λ)^{i+1}] + λ · [(X − λ)^{i}].

\underline{Behauptung}: Auf der Diagonalen der Jordan–Normalform einer Matrix M ∈ M_{n,n}(ℂ) stehen die Eigenwerte von M.

\underline{Beweis}: Mit den Bezeichnungen des Satzes ist das charakteristische Polynom

χ_{M}(t) = det(M − t · E) = det(T MT^{−1} − t · E)
= det(( \begin{matrix}λ_{1} − t & & & & 0 \\ & . & . & . \\ ∗ & & & & λ_{s} − t \end{matrix} ))
= (λ_{1} − t)^{n_{1}} ⋯ (λ_{s} − t)^{n_{s}}.