Inhaltsverzeichnis

Ganze Ringerweiterungen 3 1 Endliche Ringerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Der ganze Abschluß von R in S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Der Körperfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 Der Noethersche Normalisierungssatz . . . . . . . . . . . . . . . 8

Das Spektrum eines Ringes 11 5 Die Zariski Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6 Eine Basis der offenen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7 Das Nilradikal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 Radikal-Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 9 Zusammenhangskomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 10 Eine Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Maximale Ideale 23 11 Lokale Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 12 Das Jacobson Radikal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 13 Der Hilbertsche Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 14 Endlich erzeugte R-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 15 Eine Umformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Noethersche Moduln und Ringe 32 16 Noethersche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 17 Noethersche Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 18 Generische Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 19 Primzyklische Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 20 Der Träger eines R-Moduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 21 P -Koprimäre Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 22 Koprimäre Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 23 Einbettbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 24 Primärzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Dimensionstheorie 49

25 Höhe eines Primideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 26 Going Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 27 Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Graduierte Ringe 55 28 Filtrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 29 Graduierte Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 30 Hilbert–Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 31 Dimensionsvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 32 Reguläre lokale Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Normale Ringe 65 33 Krull’s Hauptidealsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 34 Faktorielle Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 35 Diskrete Bewertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 36 Primärzerlegung von Hauptidealen . . . . . . . . . . . . . . . . 70 37 Reflexive Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 38 Die Klassengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Ringe der Dimension 1 76 39 Dedekindringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 40 Zahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 41 Kreiskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Komplettierungen 83 42 Vervollständigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Ringe der Charakteristik p 88 43 Perfekte Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 44 Der Teichmüller Lift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 45 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 46 Der Kern der Perfektionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 47 ^{∗} Bewertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Wittringe 97 48 p-adische Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 49 Rechnen mit Übertrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 50 Wittringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 51 Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 52 Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Fontaine Ringe 106

53 Verdickungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 54 Neue Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 55 Der Kern von θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Einleitung

Ist X ein kompakter topologischer Raum, dann ist der Ring C(X) der stetigen reellwertigen Funktionen auf X ein kommutativer Ring mit 1. Für jeden Punkt x ∈ X definiert die Auswertung f ↦ f(x) einen Ringhomomorphismus von C(X) auf den Körper der reellen Zahlen. Das Bild ist der Körper ℝ, der Kern P_{x} dieser Auswertung ist also ein maximales Ideal in C(X). Eine stetige Abbildung g : X → Y induziert einen Ringhomomorphismus

φ : C(Y) → C(X) ,

den Pullback f(y) ↦ f(g(y)). Das Urbild des maximalen Ideale P_{x} ⊂ C(X) ist wieder maximal: φ^{−1}(P_{x}) = P_{g(x)}. Somit legt der Ringhomomorphismus φ die zugrunde liegende Abbildung g eindeutig fest.

Da die stetigen Funktionen die Punkte in X trennen (kompakte Räume sind normal), gibt es für x, y ∈ X eine Funktion f ∈ C(X) gibt mit f(x) ≠ f(y). Daher sind die Ideale P_{x} (für x ∈ X) alle verschieden voneinander. In der Tat liefert dies genau die Menge X = Specm(R) aller maximalen Ideale des Rings R = C(X). [Gäbe es ein weiteres maximales Ideal P in C(X), dann gibt es zu jedem Punkt x ∈ X ein f_{x} ∈ C(X) mit f ∈ P, f_{x} ∉ P_{x}. Das heißt f_{x}(x) ≠ 0, obdA > 0. Durch Multiplikation mit der stetigen Funktion max(0, f_{x}) kann dann obdA angenommen werden f_{x} ≥ 0. Wegen Kompaktheit existiert eine endliche Menge S ∈ X mit f = ∑_{x∈S} f_{x} > 0. Einerseits ist f ∈ P. Andererseits ist 1/f in C(X). Ein Widerspruch.]

In der kommutativen Algebra versucht man diesen Gedanken umzudrehen, indem man jedem kommutativen Ring R einen topologischen Raum X = Spec(R) zuordnet. Eigentlich würde man gerne für X die Menge der maximalen Ideale von R nehmen. Ein Ringhomorphismus φ : R → S hat aber im allgemeinen nicht mehr die Eigenschaft, daß Urbilder von maximalen Idealen maximal sind. Geht man aber von maximalen Idealen auf die größere Menge der Primideale oder gar Primärideale über, dann ist die entsprechende Aussage aber erfüllt. Urbilder von Primidealen sind Primideale, Urbilder von Primäridealen sind Primärideale. Man definiert daher X = Spec(R) als die Menge der Primideale und versieht diese mit einer geeigneten Topologie, der Zariski Topologie.

Ganze Ringerweiterungen

1 Endliche Ringerweiterungen

Sei φ : R → S ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen mit Eins, im folgenden kurz \underline{Ringerweiterung} genannt. Per Definition des Ringhomomorphismus werden die Einselemente aufeinander abbildet. Wir schreiben dann r ∈ S anstatt φ(r) ∈ S für Elemente r ∈ R, obwohl φ nicht notwendigerweise injektiv sein muß.

Definition: Ein Element s ∈ S heißt \underline{ganz} über R (bezüglich einer Ringerweiterung R → S), wenn es r_{1}, .., r_{n} ∈ R gibt mit der Eigenschaft

s^{n} + r_{1}s^{n−1} + ... + r_{n} = 0

in S, d.h. s erfüllt eine sogenannte \underline{Ganzheitsgleichung}.

Definition: Eine Ringerweiterung R → S heißt \underline{ganz}, wenn jedes s ∈ S \underline{ganz} über R ist.

Es gibt einen engen Zusammenhang mit dem Begriff der endlichen Ringerweiterung

Definition: Eine Ringerweiterung R → S heißt \underline{endlich}, wenn S als R-Modul \underline{endlich erzeugt} ist.

Wie bei Körpererweiterungen zeigt man leicht

Satz: Sind R → S, S → T \underline{endliche} Ringhomomorphismen, dann ist die Zusammensetzung R → T wieder \underline{endlich}.

Hilfssatz: Jede \underline{endliche} Ringerweiterung R → S ist \underline{ganz}.

\underline{Beweis}: Seien b_{1}, ..., b_{n} Erzeugende des R-Moduls S und obdA b_{1} = 1_{S}. Dann gibt es r_{ji} ∈ R mit

s · b_{j} = ∑_{i=1}^{n} r_{ji} · b_{i} .

Dies definiert eine Matrix R ∈ M_{nn}(R). Setzt man M = R − s · E und ist M̃ die Komplementärmatrix von M ∈ M_{nn}(S), dann gilt M̃ · M = det(M) · E (Graßmannkalkül !). Die ursprünglichen Gleichungen

∑_{i} M_{ji} · b_{i} = 0

multipliziert mit M̃_{kj} liefern daher nach Summation über j die Gleichungen det(M) · b_{k} = 0, für k = 1 wegen b_{1} = 1_{S} daher

det(M) = 0 .

Wegen (−1)^{n}det(M) = s^{n} − spur(R)s^{n−1} ± ... + (−1)^{n}det(R) ist dies eine Ganzheitsgleichung für s über R.

Eine \underline{ganze} Ringerweiterung R → S ist \underline{nicht notwendig endlich}, aber es gilt

Lemma 1.1. Für s ∈ S sind äquivalent

a) s ist ganz über R.

b) Die von s und R in S erzeugte Teilalgebra R[s] ⊂ S ist \underline{endlich} über R.

c) Die Ringerweiterung R → S faktorisiert R → S̃ → S, wobei R → S̃ eine \underline{endliche} Ringerweiterung mit s ∈ S̃ (genauer im Bild von S̃).

\underline{Beweis}: Klar. Außer dem Hilfssatz benutzt dies nur, daß R[s] als R-Modul erzeugt wird von den Monomen 1, s, s^{2}, ..., s^{n−1} im Fall einer Ganzheitsgleichung vom Grad n.

Korollar: Sind R → S und S → T \underline{ganze} Ringhomomorphismen, dann ist auch die Zusammensetzung R → S \underline{ganz}.

\underline{Beweis}: Für t ∈ T seien s_{1}, ..., s_{n} ∈ S die Koeffizienten einer Ganzheitsgleichung. Dann gilt

t ∈ R[s_{1}, .., s_{n}, t] .

Da R[s_{1}] endlich über R, R[s_{1}, s_{2}] = R[s_{1}][s_{2}] endlich über R[s_{1}] etc., ist am Ende R[s_{1}, .., s_{n}, t] endlich über R und somit t ganz über R. Benutze Lemma 1(c).

Zum Abschluß

Lemma 1.2. Ist R → T \underline{ganz} und S \underline{multiplikativ abgeschlossen} in R. Dann ist auch die induzierte Ringerweiterung

S^{−1}R → S^{−1}T

(universelle Eigenschaft der Lokalisierung !) wieder \underline{ganz}.

\underline{Beweis}: Genügt t der Ganzheitsgleichung t^{n} + r_{1}t^{n−1} + ... + r_{n} = 0 über R, dann genügt t/s folgender Ganzheitsgleichung über S^{−1}R

(t/s)^{n} + (r_{1}/s)(t/s)^{n−1} + ... + (r_{n}/s^{n}) = 0 .

2. Der ganze Abschluß von R in S 6

2 Der ganze Abschluß von R in S

Sei R → S eine Ringerweiterung. Dann bilden die über R ganzen Elemente von S einen Teilring Int_{R}(S) von S mit Eins

\xymatrix{Int_{R}(S) \ar@{^{(}->}[rr] & & S \\ & R \ar[ul] \ar[ur]} ,

den \underline{ganzen Abschluß} von R in S.

\underline{Beweis}: Sind s_{1}, s_{2} ganz über R, dann sind R[s_{1}] und R[s_{2}] endlich über R in S. Somit ist auch R[s_{1}, s_{2}] = R[s_{1}][s_{2}] endlich über R. Da 1, s_{1} · s_{2}, s_{1} ± s_{2} ∈ R[s_{1}, s_{2}], sind diese Elemente wieder ganz über R wegen Lemma 1.1(c).

\underline{Beispiel}: Ist L eine endliche Körpererweiterung von ℚ, dann nennt man den ganzen Abschluß Int_{ℤ}(L) von ℤ in L den Ring O_{L} der ganzen Zahlen in L.

Offensichtlich ist die Bildung des ganzen Abschlußes funktoriell in folgendem Sinn. Ist

\xymatrix{S_{1} \ar[r]^{σ} & S_{2} \\ R_{1} \ar[r] \ar[u] & R_{2} \ar[u]}

ein kommutatives Diagramm von Ringerweiterungen, dann induziert die Einschränkung von σ ein kommutatives Diagramm

\xymatrix{Int_{R}(S_{1}) \ar[r]^{σ} & Int_{R}(S_{2}) \\ R_{1} \ar[r] \ar[u] & R_{2} \ar[u]}

Dies ist klar, denn das Bild σ(s_{1}) von s_{1} ∈ Int_{R}(S_{1}) genügt in S_{2} über R_{2} ‘derselben’ Ganzheitsgleichung wie s_{1} in S_{1} über R_{1}. Insbesondere gilt daher σ(s_{1}) ∈ Int_{R}(S_{2}).

Lemma 2.1. Sei R ein \underline{faktorieller} Ring (= Integritätsbereich mit eindeutiger Primfaktorzerlegung) mit Quotientenkörper K = Quot(R). Dann gilt

Int_{R}(K) = R ,

d.h. R ist ein \underline{normaler} Ring, d.h. nullteilerfrei und \underline{ganz abgeschlossen} in K.

Dies zeigt, daß typischer Weise Lokalisierungen R → R_{S} nicht ganz sind. Wir werden das später noch genauer untersuchen.

\underline{Beweis}: Sei x = r/s ∈ Int_{R}(K) mit r, s aus R uns s ≠ 0. Aus der Existenz einer Ganzheitsgleichung für x folgt

r^{n} + s · (r_{1} · r^{n−1} + ... + s^{n−1} · r_{n}) = 0 .

Somit gilt für jeden Primteiler π von s auch π|r^{n}, also dann auch π|r. Also folgt durch Kürzen obdA s = 1 beziehungsweise x ∈ R. Q.e.d.

Kriterium: Ist R ⊂ K = R_{S} ein Ring mit Quotientenkörper K. Sei R nicht ganz abgeschlossen in K mit x = r/s ∈ Int_{R}(K) \ R. Dann folgt [r] ≠ 0 in R/sR sowie [r]^{n} = 0 in R/sR (für ein n ∈ ℕ). Das heißt [r] ist \underline{nilpotent} in R/sR.

Lemma 2.2. Sei K der Quotientenkörper eines faktoriellen Ringes R und Int_{R}(L) der ganze Abschluß von R in einem endlichen Erweiterungskörper L von K. Dann existiert für jedes x ∈ L ein 0 ≠ m ∈ R mit m·x ∈ Int_{R}(L). Inbesondere gilt L = Quot(Int_{R}(L)).

\underline{Beweis}: Sei x^{n} + r_{1}x^{n−1} + ... + r_{n} = 0 eine Ganzheitsgleichung von x über K mit r_{1}, .., r_{n} ∈ K. Sei 0 ≠ m ∈ R so gewählt, daß gilt m · r_{i} ∈ R. Durch Multiplikation der Ganzheitsgleichung mit m^{n} folgt dann sofort m·x ∈ Int_{R}(L).

3 Der Körperfall

Sind R und S Körper, ist eine Ringerweiterung R → S genau dann endlich, wenn gilt dim_{R}(S) < ∞, also wenn es sich um eine endliche Körpererweiterung handelt. Über einem Körper R \underline{ganze} Elemente nennt man synonym auch über R \underline{algebraische} Elemente.

Wir betrachten jetzt Fälle, wo entweder R oder S ein Körper ist. Hierbei nehmen wir obdA an

R ↪ S

sei \underline{injektiv}.

Lemma 3.1. Sei R → S eine \underline{injektive}, \underline{ganze} Ringerweiterung und sei S ein \underline{Körper}. Dann ist R ein \underline{Teilkörper}.

\underline{Beweis}: Sei r ≠ 0 in R und s = r^{−1} ∈ S. Multipliziert man eine Ganzheitsgleichung von s über R (vom Grad n) mit r^{n−1} erhält man r^{−1} ∈ R wegen

r^{−1} + (r_{1} + r_{2} · r + ⋯ + r_{n} · r^{n−1}) = 0 .

Lemma 3.2. Sei R ein \underline{Körper} und S ein \underline{Integritätsbereich} und R → S eine (injektive), \underline{ganze} Ringerweiterung. Dann ist S ein \underline{Körper}.

\underline{Beweis}: Für s ∈ S ist R → R[s] endlich erzeugt, also ist R[s] ein endlich dimensionaler R-Vektorraum. Multiplikation mit s ist ein \underline{injektiver} (!) Rlinearere Endomorphismus von R[s], also wegen LAI auch surjektiv. Somit hat die Gleichung s·x = 1 eine Lösung x ∈ R[s] ⊂ S. Dies liefert das Inverse x = s^{−1} ∈ S.

Aus dem im nächsten Abschnitt bewiesenen Noetherschen Normalisierungssatz folgt jetzt unmittelbar

Korollar 3.3. Sei K → S eine Körpererweiterung und ist S als \underline{Ring} von K und \underline{endlich} vielen Elementen s_{1}, .., s_{n} ∈ S \underline{erzeugt}, dann ist S \underline{endlich} über K.

\underline{Beweis}: Es gibt einen Polynomring R in r Variablen über K, welcher in S enthalten ist, so daß S endlich und damit auch ganz über R ist (Noethers Normalisierungssatz). Dann ist nach dem vorletzten Lemma R ein Körper. Dies impliziert r = 0 bzw. R = K. Also ist S endlich über K.

4 Der Noethersche Normalisierungssatz

\underline{Substitutionen}: Für M ∈ M_{n,n}(K) (K ein kommutativer Ring) induziert die Einsetzung t_{i} ↦ ∑_{j} M_{ij}t_{j} einen Ringhomomorphismus φ_{M} des Polynomrings K[t_{1}, .., t_{n}] in sich. Ist M invertierbar, dann ist φ_{M} ein Automorphismus.

\underline{Der Körperfall}: Sei jetzt K ein \underline{Körper} mit \underline{unendlich} vielen Elementen und

f(t_{1}, .., t_{n}) = c_{0}(t_{2}, .., t_{n}) · t_{1}^{m} + c_{1}(t_{2}, .., t_{n}) · t_{1}^{m−1} + ...c_{m}(t_{2}, .., t_{n})

ein Polynom f ∈ K[t_{1}, .., t_{n}]. Per Induktion nach n findet man leicht ein

λ = (λ_{1}, .., λ_{n}) ∈ (K^{∗})^{n}

mit f(λ) ≠ 0. Für die lineare Variablensubstitition M

t_{1} ↦ λ_{1} · t_{1}, t_{2} ↦ t_{2} + λ_{2} · t_{1}, ... , t_{n} ↦ t_{n} + λ_{n} · t_{1}

gilt dann

f(t_{1}, ..., t_{n}) ↦ f(λ_{1}, λ_{2}, .., λ_{n}) · t_{1}^{N} + niedere Term in t_{1} .

Der Koeffizient f(λ) ≠ 0 der höchsten Potenz von t_{1} hängt daher nicht von den anderen Variablen t_{2}, .., t_{n} ab.

Folgerung: Ist K ein unendlicher Körper und 0 ≠ f ∈ R = K[t_{1}, .., t_{n}], dann gibt es einen K-Automorphismus φ von R derart, daß nach Anwendung der Transformation φ auf f gilt

φ(f) = c_{0} · t_{1}^{N} + c_{1}(t_{2}, .., t_{N})t_{1}^{N−1} + ... + c_{N}(t_{2}, .., t_{N}) , 0 ≠ c_{0} ∈ K^{∗} .

\underline{Bemerkung}: Ist K ein endlicher Körper, dann induziert die Substitution

t_{1} ↦ t_{1}, t_{2} ↦ t_{2} + λ_{2} · t_{1}^{m_{2}}, ..., t_{n} ↦ t_{n} + λ_{n} · t_{1}^{m_{n}}

einen Ringautomorphismus von K[t_{1}, .., t_{n}]. Bei geeigneter Wahl der λ_{i} ∈ K^{∗} und m_{i} ∈ N (zum Beispiel geeignete Potenzen der Charakteristik) überträgt sich die Aussage der obigen Folgerung.

Eine Ringerweiterung R → S heißt \underline{endlich erzeugt}, wenn es endlich viele Elemente s_{1}, .., s_{n} in S gibt, so daß S als Ring von R und s_{1}, .., s_{n} erzeugt wird. Mit anderen Worten, der Einsetzungshomomorphismus

R[t_{1}, .., t_{n}] → S

vom Polynomring, welcher die Variablen t_{i} auf s_{i} ∈ S abbildet, ist surjektiv. Somit gilt S ≅ R[t_{1}, .., t_{n}]/I für ein Ideal I ⊂ R[t_{1}, .., t_{n}]/I. Umgekehrt sind alle Ringe dieser Gestalt endlich erzeugt über R.

Satz: Ist R \underline{endlich erzeugt} über einem \underline{Körper} K, dann ist R eine \underline{endliche} Ringerweiterung eines (geeigneten) Polynomrings K[y_{1}, .., y_{r}] ⊂ R.

\underline{Beweis}: Sei R über K von den Elementen t_{1}, .., t_{n} ∈ R als Ring erzeugt. Dann ist entweder R = K[t_{1}, .., t_{n}] isomorph zum Poynomring, oder (man kann man durch Übergang zu neuen Erzeugern mittels einer Variablensubstitution obdA annehmen)

f(t_{1}, ..., t_{n}) = c_{0} · t_{1}^{N} + c_{1}(t_{2}, .., t_{n}) · t_{1}^{N−1} + ... + c_{N}(t_{2}, .., t_{N}) = 0

für ein Polynom f ≠ 0 mit c_{0} ∈ K^{∗}. Teilt man durch c_{0}, dann erfüllt t_{1} eine Ganzheitsgleichung über dem Teilring K[t_{2}, .., t_{n}] ⊂ R, und man schließt nun per Induktion nach der Zahl der Ringerzeuger.

\underline{Übungsaufgabe}: Sei R endlich erzeugt über ℤ und p eine Primzahl. Dann existiert ein N ∈ ℤ teilerfremd zu p, so daß die Lokalisierung R_{N} endlich ist über einem geeigneten Polynomring ℤ[\frac{1}{N}][y_{1}, .., y_{r}] in R_{N}.

Das Spektrum eines Ringes

5 Die Zariski Topologie

Für einen Ring R bezeichne X = Spec(R) die Menge seiner Primideale und |X| = Specm(R) ⊂ Spec(R) die Teilmenge der maximalen Ideale. Betrachtet man Ideale I mit 1 ∉ I, so folgt aus dem Zornschen Lemma: Specm(R) ist nicht leer, genau dann wenn gilt R ≠ {0}. Jeder Ringhomorphismus

f : R → S

induziert dann eine Abbildung

Spec(f) : Spec(S) → Spec(R)

in der umgekehrten Richtung durch

P ↦ f^{−1}(P) .

Offensichtlich ist f^{−1}(P) wegen a · b ∈ f^{−1}(P) ⟹ f(a) · f(b) ∈ P ⟹ f(a) ∈ P oder f(b) ∈ P ⟹ a oder b ∈ P ⟹ a oder b ∈ f^{−1}(P) wieder ein Primideal.

Klar ist auch, daß Spec einen \underline{kontravarianten Funktor} von der Kategorie der Ringe mit 1 in die Kategorie der Mengen definiert.

Für Ideale I von R betrachten wir nun die Teilmengen

V (I) = {P ⊃ I | P prim}

in Spec(R). Das Symbol V steht für ‘Varietät’ und ‘Verschwinden’. Es gilt

Lemma:

• X = V ({0})

• ∅ = V (R), genauer V (I) = ∅ ⟺ I = R

• ⋂_{ν} V (I_{ν}) = V (ggT (I_{ν}))

• V (I_{1}) ∪ ... ∪ V (I_{n}) = V (I_{1} · ... · I_{n})

Hierbei bezeichne ggT (I_{ν}) das von allen I_{ν} aufgespannte Ideal in R. Für die letzte Beziehung beachte: Für Ideale I, J in R bezeichne I · J das von allen endlichen Summen ∑_{ν} i_{ν} · j_{ν}(i_{ν} ∈ I, j_{ν} ∈ J) aufgespannte Ideal von R. Es gilt dann (I · J) · K = I · (J · K). Die letzte Identität des Lemmas folgt aus

I_{1} · I_{2} ⊂ P prim ⟹ I_{1} ⊂ P oder I_{2} ⊂ P

und somit I_{1} · I_{2} ⊂ P. Nur die erste Implikation bedarf der Begründung. Dazu: Ist I_{1} ⊈ P, dann existiert i_{1} ∉ P. Aus i_{1} · i_{2} ∈ P und der Primidealeigenschaft von P, folgt i_{2} ∈ P für alle i_{2} ∈ I_{2}. Das heißt I_{2} ⊂ P.

Folgerung: Die Teilmengen V (I), I ⊂ R Ideal definieren die \underline{abgeschlossenen} Mengen einer Topologie auf Spec(R), der sogenannten \underline{Zariskitopologie}. Für diese Topologien sind die den Ringhomomorphismen f : R → S zugeordneten Abbildungen Spec(f) : Spec(S) → Spec(R) stetige Abbildungen.

\underline{Beweis}: Klar wegen Spec(f)^{−1}(V (I)) = V (J), wobei J das von den Elementen von f(I) aufgespannte Ideal in S ist. Beachte für P prim in S und I ⊂ R gilt: P ∈ Spec(f)^{−1}(V (I)) ⟺ f^{−1}(P) ⊇ I ⟺ f^{−1}(P) ⊇ ggT (I, Kern(f)) ⟺ P ⊇ f(I) ⟺ P ⊇ J.

Jedes V (I) besteht aus den Primidealen von R oberhalb des Ideals I. Diese Menge von Primidealen kann mit der Menge der Primideale des Quotientenrings π : R → R/I identifiziert werden. Somit gilt

Spec(π) : Spec(R/I) ↪ Spec(R) .

Im speziellen Fall der Abbildung Spec(π) werden maximale Ideale auf maximale Ideale abgebildet (dies ist im allgemeinen nicht der Fall), und es gilt

Spec(π)(Spec(R/I)) = V (I) ⊂ Spec(R) .

\underline{Lokalisierung}: Wir betrachten nun \underline{multiplikativ abgeschlossene} Teilmengen S in R. Dazu gehört ein Lokalisierungs Homomorphismus

g : R → R_{S} = S^{−1}R

und eine zugehörige Abbildung

Spec(g) : Spec(R_{S}) → Spec(R) .

Wir nehmen an 0 ∉ S. Dann ist R_{S} ≠ {0} und somit Spec(R_{S}) ≠ ∅.

Lemma: Die Abbildung Spec(g) ist \underline{injektiv} mit dem Bild

Bild(g) = {P ∈ Spec(R) |P ∩ S = ∅} .

\underline{Beweis}: Für Primideale P in R_{S} gilt

S ∩ g^{−1}(P) = ∅ ,

da Elemente von S Einheiten in R_{S} werden, und Einheiten wegen P ≠ R_{S} in keinem Primideal liegen können.

Sei umgekehrt p ein Primideal in R mit p∩S = ∅. Setze P = S^{−1}p = R_{S}·g(p). Dann gilt

g^{−1}(P) = g^{−1}(S^{−1}p) = p .

Denn für x = r/s mit r ∈ p, s ∈ S impliziert x ∈ R dann s · x ∈ p und somit x ∈ p (wegen s ∉ p). Außerdem ist P prim in R_{S}, denn für r_{1}/s_{1} ·r_{2}/s_{2} = r/s impliziert r ∈ p, s ∈ S (oder r/s ∈ P) dann sr_{1}r_{2} ∈ p. Da p prim ist, folgt sr_{1} ∈ p oder r_{2} ∈ p. Somit gilt entweder r_{1}/s_{1} ∈ S^{−1}p oder r_{2}/s_{2} ∈ S^{−1}p. Also ist P = S^{−1}p ein Primideal. (Bemerkung: Der Schluß g^{−1}(S^{−1}I) = I überträgt sich auf \underline{primäre} Ideale^{1} I von R).

\underline{Injektivität}: Seien P_{1}, P_{2} Primideale von R_{S} mit g^{−1}(P_{1}) = g^{−1}(P_{2}). Wir zeigen P_{1} = P_{2}. Dazu genügt P_{1} ⊂ P_{2} wegen Symmetrie. Sei x = r/s aus P_{1} mit r ∈ g^{−1}(P_{1}) = g^{−1}(P_{2}) =: p_{2}. Es folgt x ∈ S^{−1}p_{2} = P_{2}. Also P_{1} ⊂ P_{2}. Damit ist das Lemma gezeigt.

\underline{Beachte}: P = S^{−1}g^{−1}(P).

6 Eine Basis der offenen Mengen

In gewisser Weise würde man die Elemente f des Rings R gerne als Funktionen auf dem Raum

X = Spec(R)

auffassen mit den Funktionswerten

f(P) := f mod P ∈ R/P .

Das macht natürlich keinen Sinn, da die Werte dieser ‘Funktion’ ja dann in den Ringen R/P liegen würde, was von Punkt zu Punkt variiert. Man muß dann schon ⊕_{P} R/P als Bild wählen

f : X → ⨁_{P} R/P .

Was aber dann in jedem Fall sinnvoll ist, ist die Aussage ob f in P eine Nullstelle besitzt. Gleichbedeutend mit f(P) = 0 ist dann f ∈ P oder (f) = R · f ⊂ P. Die Menge der Nullstellen von f in Spec(R) ist daher die abschlossene Teilmenge

1D.h. Ideale I ≠ R mit x ∉ I, y ∉ I, x · y ∈ I ⟹ ∃ N mit x^{N}, y^{N} ∈ I

V (I) , I = (f)

oder kurz V (f) aller Primideale, welche das Hauptideal I enthalten.

Die erste interessante Beobachtung ist nun, daß für \underline{nilpotente} Elemente f ∈ R, d.h. für die es ein n ∈ ℕ mit f^{n} = 0 gibt, gilt

V (f) = X .

\underline{Mit anderen Worten}: Nilpotente f definieren die \underline{Nullfunktion} auf Spec(R)! Dies ist klar, da nilpotente f auf nilpotente Elemente in R/P abgebildet werden. Da die Ringe R/P als Quotienten nach Primidealen nullteilerfrei sind, folgt aus (f mod P)^{n} = 0 aber f mod P = 0.

Sei nun f \underline{nicht} nilpotent. Dann ist S = \{1, f, f^{2}, ..\} eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von R. Da sie nach Annahme 0 nicht enthält, folgt R_{S} ≠ {0}, insbesondere also

X_{f} := Spec(R_{S}) ≠ ∅ .

Wir schreiben auch R_{f} anstelle von R_{S}. Wir behaupten jetzt V (f) ≠ X. Dies folgt aus der allgemeinen disjunkten Zerlegung

X = X_{f} ⊔ V (f) .

Beachte nämlich für P ∈ Spec(R) gilt wegen des letzten Lemmas: P ∉ X_{f} ⟺ S ∩ P ≠ ∅ ⟺ f^{n} ∈ P ⟺ f ∈ P ⟺ P ⊇ (f) ⟺ P ∈ V (f).

Beachte R_{f} = R_{f^{n}} und somit

X_{f} = X_{f^{n}} .

X_{f} ist die Teilmenge, auf der f nicht verschwindet. Wir fassen zusammen

Lemma 6.1. Die Teilmengen X_{f}, wobei f die Elemente des Rings R durchläuft, sind (für nicht nilpotentes f \underline{nichtleere}) \underline{offene} Teilmengen von X = Spec(R) und bilden eine \underline{Basis} der Topologie.

\underline{Beweis}: X_{f} ist offen, da das Komplement V (f) abgeschlossen ist. Für eine beliebige offene Teilmenge U = X \ V (I) gilt wegen V (I) = ⋂_{f∈I} V (f) aber

U = ⋃_{f∈I} X_{f} .

Für nilpotentes f gilt X_{f} = ∅.

Lemma 6.2. (\underline{Einheiten}): Ist f ∈ R ist genau dann eine Einheit f ∈ R^{∗} des Rings R, wenn f ≠ 0 für alle Punkte P ∈ X = Spec(R) – oder bereits Specm(R) – gilt

f ∈ R^{∗} ⟺ X_{f} = X .

\underline{Beweis}: Für eine Einheit f existiert r ∈ R mit r · f = 1. Daraus folgt, daß auch die Restklasse von f in R/P eine Einheit ist. Somit folgt f(P) ≠ 0.

Sei umgekehrt f(P) ≠ 0 für alle P ∈ Spec(R). Dann folgt (f) = R, denn anderenfalls gäbe es ein maximales Ideal P mit (f) ⊂ P, 1 ∉ P in dem f verschwindet. Aus (f) = R folgt aber f ∈ R^{∗}.

Punktetrennung: Sei P_{1}, .., P_{r} Primideale mit P_{i} ⊈ P_{j} für i ≠ j. Dann gibt es f_{i} ∈ R mit f_{i}(P_{i}) ≠ 0 aber f_{i}(P_{j}) = 0 für alle j ≠ i. [Setze dazu f_{i} = ∏_{j≠i} f_{ij} für irgendwelche f_{ij} ∈ R mit f_{ij}(P_{i}) ≠ 0 und f_{ij}(P_{j}) = 0].

Lemma 6.3. I ⊂ ⋃_{i=1}^{r} P_{i} ⟹ I ⊂ P_{i} für ein i (I Ideal, P_{1}, .., P_{r} Primideale).

\underline{Beweis}: Anderenfalls gäbe es g_{i} ∈ I mit g_{i}(P_{i}) ≠ 0 und f = ∑_{i=1}^{r} g_{i} · f_{i} wäre in I, aber f(P_{i}) ≠ 0, ∀P_{i}. Widerspruch.

7 Das Nilradikal

Den Durchschnitt aller Primideale

Nil(R) = ⋂_{P ∈Spec(R)} P

nennt man das \underline{Nilradikal} des Ringes R. Der Name erklärt sich aus folgendem

Lemma: f ist genau dann im \underline{Nilradikal} von R, wenn f ein \underline{nilpotentes} Element des Rings ist.

\underline{Beweis}: Nilpotente f verschwinden auf Spec(R). Somit f ∈ P für alle P, d.h. f ∈ Nil(R). Ist andererseits f nicht nilpotent, dann ist wie bereits gezeigt U_{f} nichtleer. Für P ∈ U_{f} gilt dann f ∉ P. Also f ∉ Nil(R).

Teilt man den Ring durch das Nilradikal, erhält man als Quotientenring den \underline{reduzierten} Ring

R_{red} = R/Nil(R) .

Offensichtlich gilt

Nil(R_{red}) = {0},

denn aus f^{n} ∈ Nil(R) folgt (f^{n})^{m} = 0, also f ∈ Nil(R). Die Bildung des reduzierten Rings ist funktoriell. Das heißt, man hat kommutative Diagramme

\xymatrix{R \ar[r]^{f} \ar[d]_{π} & S \ar[d]^{π} \\ R_{red} \ar[r]^{f_{red}} & S_{red}}

8 Radikal-Ideale

Allgemeiner definiert man die \underline{Radikal-Ideale} eines Ideals I ⊂ R durch

Rad(I) = ⋂_{P ∈V (I)} P .

Offensichtlich ist Rad(I) wieder ein Ideal und es gilt

I ⊂ Rad(I) .

Im Spezialfall I = {0} gilt Rad(0) = Nil(R). Offensichtlich gilt aber

V (I) = V (Rad(I)) .

Zum Beweis ersetzt man R durch den Quotient R/I und kann daher obdA annehmen I = {0}.

Lemma: V (I_{1}) = V (I_{2}) ⟺ Rad(I_{1}) = Rad(I_{2}).

\underline{Beweis}: Man kann obdA annehmen, daß I_{ν} = Rad(I_{ν}) gilt. Aber solche Radikal-Ideale sind per Definition durch die Mengen V (I_{ν}) definiert.

\underline{Bemerkung}: Im Fall V (I) = ∅ ist die Situation besonders einfach. Hier folgt immer I = Rad(I) = R, denn jedes Ideal I ≠ R besitzt ein Primideal P ∈ V (I).

9 Zusammenhangskomponenten

\underline{Ringprodukte}: Für kommutative Ringe R_{i} mit Eins (für i = 0, 1) setzen wir

R = R_{0} × R_{1}

mit \underline{komponentenweiser} Multiplikation und Addition. Dann gilt 1_{R} = 1_{R_{0}} + 1_{R_{1}}, 1_{R_{0}} · 1_{R_{1}} = 0 und R ist ein kommutativer Ring mit Eins. Die Elemente e_{i} = 1_{R_{i}} bilden ein Paar von orthogonalen Idempotenten: e_{0}^{2} = e_{0}, e_{1}^{2} = e_{1} und e_{0}e_{1} = 0 sowie e_{0} + e_{1} = 1. Weiterhin gilt V (e_{i}) ≅ Spec(R_{1−i}). \underline{Orthogonale Idempotente}: Ist umgekehrt e_{0} + e_{1} = 1, e_{0}^{2} = e_{0}, e_{1}^{2} = e_{1} ein orthogonales Paar von Idempotenten eines Rings R. Dann sind R_{i} = e_{i} · R Ringe mit Einselement e_{i}. Es folgt R = R_{1} + R_{2} wegen r = r_{1} + r_{2} und r_{i} = e_{i}·r. Die Zerlegung ist eindeutig wegen R_{1}∩R_{2} ⊂ R_{1}·R_{2} = e_{1}e_{2}·R = {0}. Also R = R_{1} ⊕ R_{2} und (r_{1} + r_{2})(r′_{1} + r′_{2}) = r_{1}r′_{1} + r_{2}r′_{2} wegen R_{1} · R_{2} = 0. Somit gilt

R = R_{1} × R_{2} .

In der obigen Situation ist e_{i} eine Funktion auf X = Spec(R) mit e_{i} = 0 auf V (e_{i}). Wegen 1 = e_{1} + e_{2} gilt daher e_{i} = 0 auf A_{i} = V (e_{i}) und e_{i} = 1 auf A_{1−i} = V (e_{1−i}). Der Raum X = Spec(R) zerfällt in die \underline{disjunkte} Vereinigung zweier \underline{abgeschlossener} Teilmengen

X = X_{0} ⊔ X_{1} , X_{i} = V (e_{i}) .

Da e_{2} − e_{1} ∈ R auf X nirgendwo verschwindet, gilt e_{2} − e_{1} ∈ R^{∗}.

\underline{Zerlegungen}: Sei umgekehrt X = Spec(R)

X = X_{0} ⊔ X_{1}

eine \underline{disjunkte} Vereinigung von \underline{abgeschlossenen} Teilmengen A_{i} = V (I_{i}). Aus der \underline{Disjunktheit} X_{0} ∩ X_{1} = ∅ folgt dann V (I_{0} + I_{1}) = ∅ und daher

I_{0} + I_{1} = R .

Aus X_{0} ∪ X_{1} = Spec(R) folgt

I_{0} · I_{1} ⊂ Nil(R) .

Somit existieren Elemente e_{i} ∈ I_{i} mit

e_{0} + e_{1} = 1

(e_{0} · e_{1})^{k} = 0

für geeignetes k ∈ ℕ. Wir wollen durch absteigende Induktion nun zeigen, daß obdA hier \underline{k = 1} gewählt werden kann.

\underline{Ansatz}: ẽ_{0} = e_{0} − x, ẽ_{1} = e_{1} + x mit x ∈ I_{1} ∩ I_{2}.

Dieser Ansatz liefert ẽ_{0} + ẽ_{1} = 1 sowie ẽ_{0} · ẽ_{1} = e_{0} · e_{1} + (e_{1} − e_{0})x − x^{2}. Die Funktion e_{0} − e_{1} ist -1 auf A_{0} und 1 auf A_{1}, somit nirgens Null. Daher ist e_{0} − e_{1} eine Einheit in R. Wir setzen

x = −e_{0}e_{1}/(e_{1} − e_{0}) ∈ I_{0} · I_{1} .

Dann folgt ẽ_{i} ∈ I_{i} sowie ẽ_{0} · ẽ_{1} = −x^{2}, also (ẽ_{0} · ẽ_{1})^{[k/2]} = 0. Wegen [k/2] < k für k > 1 können wir durch Iteration obdA von jetzt an k = 1 annehmen.

\underline{Wir nehmen nun k = 1 an}: Dann sind e_{0} und e_{1} sogar \underline{Idempotente}. Durch Multiplizieren mit e_{i} folgt e_{i}^{2} = e_{i}. Also R = R_{0} ×R_{1} mit R_{i} ⊂ I_{i} und e_{i} ∈ I_{i}. Wir behaupten, daß die Idempotenten e_{i} dadurch sogar eindeutig bestimmt sind.

\underline{Eindeutigkeit}: Wäre ẽ_{i} ∈ I_{i} ein zweites Paar mit 1 = ẽ_{0} + ẽ_{1}, ẽ_{i}^{2} = ẽ_{i}. Zerlegt man R ∋ ẽ_{0} = r_{0} + r_{1} im obigen Sinn mit r_{i} ∈ R_{i} ⊂ I_{i}, dann sind auch r_{0} = e_{0}ẽ_{0} und r_{1} = e_{1}ẽ_{0} Idempotente. Anderseits ist r_{1} ∈ I_{1} · I_{0} ⊂ Nil(R) nilpotent. Daraus folgt r_{1} = 0. Es folgt r̃_{0} = r_{0}. Ditto r̃_{1} = r_{1}. Somit sind Zerlegung R = R_{1} × R_{2} und Idempotente eindeutig durch die Bedingung Spec(R_{1−i}) = X_{i} festgelegt. Also

Lemma 9.1. \underline{Disjunkte} Zerlegungen X = X_{1} ⊔ X_{2} von X = Spec(R) in \underline{abgeschlossene} Teilmengen X_{i} entsprechen eineindeutig \underline{Zerlegungen} von R in direkte \underline{Produkte} der Gestalt

R = R_{1} × R_{2} .

Hierbei gilt obdA A_{i} ≅ Spec(X_{i}).

Folgerung: Spec(R) ist \underline{zusammenhängend} genau dann wenn 0 und 1 die einzigen Idempotenten in R sind.

\underline{Beweis}: Ein Idempotent e liefert Elemente e_{1} = e und e_{0} = 1−e mit e_{0}^{2} = e_{0}, e_{1}^{2} = e_{1} und e_{0} · e_{1} = 0 und umgekehrt.

10 Eine Anwendung

Lemma 10.1. Sind I_{1}, I_{2} Ideale mit I_{1} + I_{2} = R, dann gilt I_{1} · I_{2} = I_{1} ∩ I_{2}.

\underline{Beweis}: Die Inklusion ⊂ ist klar. Sei umgekehrt x ∈ I_{1} ∩ I_{2} und 1 = i_{1} + i_{2} mit i_{ν} ∈ I_{ν}. Dann ist x = x · i_{1} + x · i_{2} ∈ I_{1} · I_{2}.

Satz 10.2. Ist K ein Körper und L eine endliche K-Algebra, dann gilt

L ≅ ⨁_{i} L_{i} (endliche Summe)

mit K-Algebren L_{i}, so daß alle (L_{i})_{red} endliche Körpererweiterungen von K sind.

\underline{Beweis}: \underline{Schritt 1}. Jedes Primideal P von L ist \underline{maximal}, wegen Lemma 3.2 und K ↪ L/P. Daher ist {P } = V (P) ein abgeschlossener Punkt (!) in Spec(R).

\underline{Schritt 2}. Für Primideale P_{i} ≠ P_{j} von L gilt wegen der Maximalität daher P_{i} + P_{j} = L und somit (siehe obiges Lemma)

P_{i} ∩ P_{j} = P_{i} · P_{j} .

\underline{Schritt 3}. Für Primideale P_{1}, .., P_{r} von L gilt

⋂_{i=1}^{r} P_{i} ⫋ ⋂_{i=1}^{r−1} P_{i} ,

denn andernfalls wäre ⋂_{i=1}^{r−1} P_{i} = P_{1} · ... · P_{r−1} [gilt per Induktion!] enthalten in P_{r}, und da P_{r} prim ist, wäre somit P_{i} ⊂ P_{r} für ein i = 1, ..., r − 1 (siehe §5) im Widerspruch zu Schritt 1. [Induktionsschritt: Außerdem somit P_{r} + ⋂_{i=1}^{r−1} P_{i} = (1) wegen der Maximalität von P_{r} und daher ⋂_{i=1}^{r} P_{i} = P_{1} · ... · P_{r} wie in Schritt 2.]

\underline{Schritt 4}. Jedes Primideal ist ein K-Vektorraum. Nach Schritt 3 folgt daher aus K-Dimensionsgründen, daß es nur \underline{endlich} viele Primideale in L geben kann.

\underline{Schritt 5}. Wie gezeigt ist Spec(L) die endliche disjunkte Vereinigung von abgeschlossenen einpunktigen Mengen {P_{i}}. Somit wegen des letzten Paragraphen

L ≅ ⨁_{i} L_{i} ,

wobei jetzt jedes L_{i} nur noch ein einziges Primideal besitzt. Also ist (L_{i})_{red} ein Körper, da Null sein (einziges) Primideal und gleichzeitig maximales Ideal ist.

\underline{Schritt 6}. Die L_{i} = L · e_{i} sowie auch (L_{i})_{red} sind K-Vektorräume. Somit ist der Körper (L_{i})_{red} eine endliche Körpererweiterung von K. Q.e.d.

Bemerkung: L/K ist per Definition separabel, wenn die Kählerdifferentiale verschwinden: Ω(L/K) = 0. Für L/K wie im letzten Satz ist dazu äquivalent Ω(L_{i}/K) = 0 für alle i. Ω(L_{i}/K) = 0 gilt genau dann, wenn L_{i} = (L_{i})_{red} ein Körper ist und L_{i}/K eine separable Körpererweiterung ist (siehe Appendix).

\underline{Beispiel}: Sei M eine n × n-Matrix mit Koeffizienten in dem Körper K = ℂ. Sei L die von M in M_{nn}(K) aufgespannte K-Unteralgebra. Wendet man das letzte Lemma in dieser Situation an, erhält man daraus die Zerlegung in Jordannormalformen. Insbesondere für eine Blockmatrix mit α auf der Diagonale und 1 in der unteren Nebendiagonale und Nullen sonst, gilt dim_{K}(L) = n, aber

L_{red} = ℂ

sowie

M − α · E ∈ Nil(L) .

Dieser Zusammenhang mit der Eigenwerttheorie erklärt den Name Spektrum. Im allgemeinen entsprechen die Punkte von Spec(L) den Jordanblöcken. Das Element f = M ∈ L definiert die Funktion mit den Werten

f(P_{i}) = α_{i} ∈ ℂ .

Appendix

Sei L eine endliche K-Algebra mit einelementigem Spektrum. Dann ist nach dem letzten Satz L_{red} = L/I eine Körpererweiterung von K, wobei I das Radikal von L bezeichne. Man hat also folgende Ringerweiterungen

K ↪ S = K · 1 ⊕ I ↪ L .

Ist I = 0 und L_{red}/K separabel, dann ist L/K separabel. Die Umkehrung gilt auch Lemma 10.3. L/K ist genau dann separabel, wenn gilt L = L_{red} und die Körpererweiterung L_{red}/K separabel ist.

\underline{Beweis}: Ist umgekehrt L/K separabel, dann ist L/S separabel (AI Lemma IX.3.5). Dann ist aber wegen Der_{S}(L, M) = 0 auch Der_{K}(L_{red}, M) = 0 für alle L_{red}-Vektorräume M. Also ist L_{red}/K separabel. Aus dem Satz vom primitiven Element für die separable Körpererweiterung L_{red}/K sowie AI Lemma IX.4.1 folgt dann schließlich: S/K ist \underline{separabel}. Wir behaupten, dies impliziert I = 0, d.h. L_{red} = L. Wäre I ≠ 0, dann folgt I/I^{2} ≠ 0 (benutze I^{n} = 0 für n >> 0 oder das Nakayama Lemma in §12). Es genügt dann die Existenz von nichttrivialen K-Derivationen von S oder vom Quotienten S/I^{2}, um einen Widerspruch abzuleiten. Wir können daher S durch S/I^{2} ersetzen und obdA annehmen I^{2} = 0. Dann gilt aber (!)

Der_{K}(S, M) = Hom_{K}(I, M)

für alle S-Moduln M. Ist S/K separabel, gilt per Definition Der_{K}(S, M) = 0 für alle M. Daher I = 0.

Maximale Ideale

11 Lokale Ringe

Ein Ring heißt \underline{lokaler} Ring, wenn er ein \underline{einziges maximales} Ideal besitzt.

Ist R ein beliebiger Ring und P ∈ Spec(R), dann bilden die Elemente

S = R \ P

wegen der Primidealeigenschaft von P eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von R. Die Lokalisierung R_{S} von R nennt man in diesem Fall die \underline{Lokalisierung} nach dem Primideal P und schreibt R_{P} anstatt R_{S}

R → R_{P} .

Lemma 11.1. R_{P} ist ein \underline{lokaler} Ring. Bezüglich der von R → R_{P} induzierten Abbildung Spec(R_{P}) → Spec(R) wird das maximale Ideal von R_{P} gerade auf P abgebildet.

\underline{Genauer}: Der Inklusionsverband der Primideale^{2} von R_{P} entspricht dem Inklusionsverband der Primideale von R, welche in P enthalten sind.

\underline{Beweis}: Ein Primideal P′ von R liegt genau dann im Bild von Spec(R_{P}), wenn gilt P′ ∩ S = P′ ∩ (R \ P) = ∅, d.h. aber

P′ ⊂ P .

Mit anderen Worten: für P ∈ X = Spec(R) gilt

Spec(R_{P}) ≅ {P′ ∈ X | P′ ⊂ P } .

Q.e.d.

Wir bemerken an dieser Stelle, daß andererseits per Definition gilt

V (P) = {P′′ ∈ X | P ⊂ P′′} .

Dabei ist V (P) die \underline{kleinste} abgeschlossene Teilmenge von X, welche den Punkt P ∈ X enthält. Also ist V (P) der \underline{Abschluß} der einpunktigen Menge {P } ⊂ X in der Zariskitopologie

\overline{\{P \}} = \{P′′ ∈ X | P ⊂ P′′\} .

2Analog entsprechen die Primärideale von R_{P} den Primäridealen von R, welche in P enthalten sind.

Folgerung: Ein Punkt P ∈ X = Spec(R) ist genau dann \underline{abgeschlossen} als Teilmenge von X, wenn P ein \underline{maximales} Ideal von R ist.

Die lokalen Ringe R sind also genau jene, für die Spec(R) genau einen abgeschlossenen Punkt besitzt. Aus Lemma 6.2 folgt weiterhin, daß für einen lokalen Ring R mit maximalem Ideal m gilt

R^{∗} = R \ m .

12 Das Jacobson Radikal

Sei R ein von Null verschiedener Ring, dann ist das \underline{Jacobson} \underline{Radikal} definiert als der Durchschnitt

Rad_{J}(R) = ⋂_{P ∈Specm(R)} P

aller \underline{maximalen} Ideale P. Offensichtlich gilt auf Grund der Definition Nil(R) ⊂ Rad_{J}(R).

Jedes Element

1 + r , r ∈ Rad_{J}(R)

ist nach Lemma 6.2 eine \underline{Einheit}.

Nakayama Lemma: Sei

I ⊂ Rad_{J}(R)

ein Ideal von R und M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann gilt

I · M = M ⟹ M = {0} .

\underline{Beispiel}: Für lokal noethersches^{3} R mit maximalem Ideal I folgt ⋂_{n=0}^{∞} I^{n} = 0.

Durch Übergang zum Quotient M/N erhält man die

Variante: M = N + I · N′ impliziert M = N für Untermoduln N, N′. (Es genügt sogar nur anzunehmen, daß N′ endlich erzeugt ist).

3siehe §16

\underline{Beweis}: Sei e_{1}, ..., e_{n} ein Erzeugendensystem von M von minimaler Länge. Aus e_{n} = i_{1}e_{1} + ... + i_{n}e_{n} (i_{ν} ∈ I) folgt e_{n} = (1 − i_{n})^{−1}(i_{1}e_{1} + ... + i_{n−1}e_{n−1}) im Widerspruch zur Minimalität von n falls M ≠ 0. Beachte, daß 1 − i_{n} eine Einheit ist wegen i_{n} ∈ Rad_{J}(R).

13 Der Hilbertsche Nullstellensatz

Für jeden Ring gilt Nil(R) ⊂ Rad_{J}(R). Im allgemeinen gilt hier aber \underline{nicht} das Gleichheitszeichen. Das sieht man schon am Beispiel R = ℤ_{(p)} (Lokalisierung im Punkt p): Dann ist Nil(R) = {0} und Rad_{J}(R) = (p).

Man sagt daher: Der \underline{Hilbertsche Nullstellensatz} gilt für R, wenn

Nil(R) = Rad_{J}(R)

erfüllt ist. Mit anderen Worten besagt der

\underline{Nullstellensatz}: Eine ‘Funktion’f ∈ R verschwindet auf X = Spec(R) bereits identisch, wenn f auf den abgeschlossenen Punkten verschwindet.

Annahme: Der Ring R besitze folgende Eigenschaft: Die von R → R[t] (Polynomring über R) induzierte Abbildung

\xymatrix{𝔸_{X} = Spec(R[t]) \ar[r]^{π} & X = Spec(R)}

bildet \underline{abgeschlossene} Punkte auf \underline{abgeschlossene} Punkte ab.

Im nächsten Paragraphen geben wir Bespiele für solche Ringe R an.

\underline{Frage}: Was geht schief im Fall R = ℤ_{(p)}?

(Antwort: Das maximale Ideal x = Kern(φ) des Kerns von φ : ℤ_{(p)}[t] ↠ ℚ mit φ(t) = 1/p, wird auf das Primideal P_{x} = Kern(φ|ℤ_{(p)}) = 0 abgebildet. P_{x} = 0 ist prim, aber nicht mehr maximal!)

14. Endlich erzeugte R-Algebren 27

Lemma: Ist obige Annahme für R erfüllt, dann gilt der Hilbertsche Nullstellensatz für den Ring R.

\underline{Beweis}: Andernfalls gäbe es ein f ∈ R, das Null auf Specm(R) aber nicht nilpotent ist; insbesondere R_{f} ≠ 0 sowie Specm(R_{f}) ≠ ∅. Für ein maximales Ideal x ∈ Spec(R_{f}) = X_{f} bezeichne P_{x} ∈ Spec(R) = X das Bild in Spec(R)

\xymatrix{X_{f} \ar@{^{(}->}[r] & X \\ x \ar@{|->}[r] & P_{x}} .

Angenommen, P_{x} ist wieder ein maximales Ideal. Dann folgt – wegen der disjunkten Zerlegung X = X_{f} ⊔ V (f) – also (f) ⊈ P_{x} bzw f ∉ P_{x} im Widerspruch zu f ∈ Rad_{J}(R) = ⋂_{P ∈Specm(R)} P. Es genügt also die Maximalität von P_{x} zu zeigen.

Dazu benutzen wir eine neue Beschreibung der Lokalisierung R_{f}, nämlich

R_{f} ≅ R[t]/(f · t − 1)

(der Ring auf der rechten Seite erfüllt die universelle Eigenschaft der Lokalisierung!). Wegen R → R[t] → R[t]/(f · t − 1) = R_{f} faktoriert daher die Einbettung X_{f} ↪ X in der Form

\xymatrix{X_{f} \ar@{^{(}->}[dr] \ar@{^{(}->}[r]^{ι} & 𝔸_{X} \ar[d]^{π} \\ & X} .

Die erste Abbildung ι bildet abgeschlossene Punkt auf abgeschlossene Punkte ab, da sie von einer Ringquotientenabbildung induziert wird; die zweite Abbildung π tut dies ebenfalls auf Grund unserer Annahme an R. Somit ist P_{x} abgeschlossener Punkt in Spec(R), also P_{x} maximal.

14 Endlich erzeugte R-Algebren

Wir betrachten einen Ring R mit folgender Eigenschaft

Annahme: Für jede Ringerweiterung

φ : R → L

von R in einen \underline{Körper} L, so daß L als Ring \underline{endlich} \underline{erzeugt} über φ(R) ist, ist das Bild von R ein Körper

K_{φ} = φ(R) .

(Beispielsweise: R ist selbst ein Körper).

Für einen solchen Ring R betrachten wir die Kategorie der \underline{endlich} \underline{erzeugten} R-Algebren. Objekte sind alle Ringerweiterungen R → A, welche aus R durch Polynomringbildung und Quotientenbildung hervorgehen. Jede solche Ringerweiterung ist also ein Quotient des Polynomrings in n Unbestimmten für geeignetes n ∈ ℕ

R → R[t_{1}, .., t_{n}]/I = A .

Morphismen sind die R-Algebrenhomomorphismen, also die Ringhomomorphismen über R. Die maximalen Ideale einer solchen R-Algebra A sind die maximalen Ideale des Polynomrings R[t_{1}, .., t_{n}], welche das Ideal I enthalten.

\underline{Maximale Ideale des Polynomrings} sind Kerne von surjektiven R-Algebren Homomorphismen

φ : R[t_{1}, .., t_{n}] ↠ L

auf Körpererweiterungen L von R. L ist dann als Ring \underline{endlich} \underline{erzeugt} über φ(R) (mit n Erzeugenden). Nach obiger Annahme an R folgt daraus, daß φ(R) = R/m selbst ein Körper ist. Das zugehörige durch φ bestimmte maximale Ideal m von R liefert eine Faktorisierung von φ

\xymatrix{R[t_{1}, .., t_{n}] \ar[dr]_{π_{m}} \ar[rr]^{φ} &  & L \\  & (R/m)[t_{1}, .., t_{n}] \ar@{->>}[ur]_{∃!}}

Der recht untere Pfeil ist dabei ein Einsetzungshomorphismus, welcher die Variablen t_{i} auf ihre Bilder α_{i} ∈ L abbildet

t_{i} ↦ α_{i} (i = 1, .., n) .

Aus Korollar 3.3 folgt, daß alle α_{i} \underline{algebraisch} über dem \underline{Körper} R/m sind. Da die α_{i} den Körper L über R/m erzeugen, folgt

[L : (R/m)] < ∞ .

\underline{Umgekehrt}: Ist m ein maximales Ideal von R und α_{1}, .., α_{n} algebraisch über R/m, L die davon erzeugte endliche Körpererweiterung von R/m, dann definiert der Kern des zugehörigen Einsetzungshomomorphismus R[t_{1}, .., t_{n}] ↠ L ein maximales Ideal.

Aus dieser expliziten Beschreibung der maximalen Ideale, welche aus der oben gemachtem \underline{Annahme an R} folgt, ergibt sich

Folgerung 14.1. Die maximalen Ideale des Polynomrings ℂ[t_{1}, .., t_{n}] entsprechen eineindeutig den Punkten (α_{1}, .., α_{n}) des ℂ^{n}.

Specm(ℂ[t_{1}, .., t_{n}]) ≅ ℂ^{n} .

Folgerung 14.2. Die von einem R-Algebrenhomomorphismus ψ : A → A′ zwischen endlich erzeugten R-Algebren induzierte Abbildung

Spec(ψ) : Spec(A′) → Spec(A)

bildet \underline{abgeschlossene} Punkte auf \underline{abgeschlossene} Punkte ab

Spec(ψ) : Specm(A′) → Specm(A) .

\underline{Beweis}: ObdA kann A = R[t_{1}, .., t_{n}] angenommen werden.

Sei φ′ : A′ ↠ L′ die Quotientenabbildung nach einem maximalen Ideal m′_{x} von A′ für x ∈ Specm(A′). Der Kern der Zusammensetzung

φ′ ∘ ψ : R[t_{1}, .., t_{n}] → L′

ist das Primideal P = Spec(ψ)(x). Sei L = Bild(φ′ ∘ ψ).

L ist ein endlich erzeugter Erweiterungsring des Körpers R/(P ∩R) ≅ R/(m∩ R) im Körper L′, also ein Integritätsbereich. Die Erzeugenden α_{i} liegen in der endlichen Körpererweiterung L′ von K_{φ} := R/(P ∩ R), sind also algebraisch über dem Körper K_{φ}. Somit ist L also ganze integre Ringerweiterung des Körpers K_{φ} selbst ein Körper (Lemma 3.2). Also ist das Primideal P ein maximales Ideal. q.e.d.

Aus der Folgerung 14.2 und den Ausführungen des vorangegangenen Paragraphen folgt

Folgerung 14.3. Gilt obige Annahme gilt für den Ring R, dann gilt der Hilbertsche Nullstellensatz für jede endlich erzeugte R-Algebra A.

Korollar 14.4. Für eine endlich erzeugte Algebra A über ℤ oder über einem Körper gilt der Hilbertsche Nullstellensatz.

\underline{Beweis}: Wir müssen zeigen, daß unsere Annahme im Fall R = ℤ erfüllt ist. Dazu sei φ : ℤ → L eine endlich erzeugte Ringerweiterung und L sei ein Körper. Es ist zu zeigen, daß φ über einen endlichen Quotient ℤ → ℤ/pℤ faktorisiert, da dann gilt φ(ℤ) = 𝔽_{p}. Wir behaupten dies ist immer der Fall. Anderenfalls wäre nämlich φ(ℤ) = ℤ ein Unterring von L. Somit gilt auch ℚ ⊂ L und L ist eine endlich erzeugte Körpererweiterung von ℚ. Aus Korollar 3.3 folgt [L : ℚ] < ∞. Seien r_{1}, .., r_{n} ∈ L die endlich vielen Ringerzeuger von L über ℤ. Es gibt dann ein 0 ≠ N ∈ ℕ mit N · r_{i} ∈ O_{L} (Lemma 2.2). Es folgt O_{L}[\frac{1}{N}] = L. Aber O_{L}[\frac{1}{N}]∩ℚ = ℤ[\frac{1}{N}] (Lemma 1.2 und 2.1) ist nicht L∩ℚ = ℚ. Dies ist ein Widerspruch und zeigt die Behauptung.

15 Eine Umformulierung

Wir geben in diesem Abschnitt einige offensichtliche Umformulierungen des Hilbertschen Nullstellensatzes für Ringe vom Typ \overline{R} = ℂ[t_{1}, .., t_{n}]/I:

Seien f_{1}, .., f_{r} Polynome des Polynomrings R = ℂ[t_{1}, .., t_{n}] und

I = (f_{1}, .., f_{r})

das von diesen Polynomen erzeugte Ideal von R. Dann gilt

V (I) ∩ Specm(R) = {z ∈ ℂ^{n} | f_{1}(z) = ⋯ = f_{r}(z) = 0} .

Dies entspricht gerade den abgeschlossenen Punkten z aus Spec(\overline{R}). Dies erlaubt es Punkte z ∈ Specm(\overline{R}) mit Lösungen des polynomialen Gleichungssystems

f_{1}(z) = f_{2}(z) = ⋯ = f_{r}(z) = 0 , z ∈ ℂ^{n}

zu identifizieren. Wir erhalten nunmehr folgende Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Algebra.

Entweder gilt

1 = ∑_{i=1}^{r} g_{i} · f_{i}

(für geeignete g_{i} ∈ R) oder mit anderen Worten I = R. Oder aber \overline{R} ≠ 0 und ∃z ∈ Specm(\overline{R}) ≠ ∅. In diesem Fall folgt also die Existenz einer Lösung z ∈ ℂ^{n} des Gleichungssystems f_{1}(z) = ⋯ = f_{r}(z) = 0.

Folgerung: Ein polynomiales Gleichungssystem f_{1}(z) = .. = f_{r}(z) = 0 besitzt genau dann keine Lösung z ∈ ℂ^{n} wenn es Polynome g_{1}(z), .., g_{r}(z) gibt mit der Eigenschaft ∑_{i} g_{i}(z)f_{i}(z) = 1.

\underline{Weiterhin}: Für ein Polynom f ∈ ℂ[t_{1}, .., t_{n}] sind die folgenden Aussagen äquivalent

• f|V (I) = 0

• f_{1}(z) = ⋯ = f_{r}(z) = 0 ⟹ f(z) = 0

• ∃N ∈ ℕ, f^{N} ∈ I, d.h. f^{N} = ∑_{i=1}^{r} p_{i}(z)f_{i}(z).

Alle gemachten Aussagen gelten analog für einen beliebigen algebraisch abgeschlossenen Körper K anstelle von K = ℂ.

Noethersche Moduln und Ringe

16 Noethersche Ringe

Ein R-Modul M heißt \underline{noetherscher} R-Modul, wenn sein R-Untermoduln alle \underline{endlich erzeugte} R-Moduln sind.

Ein Ring R heißt \underline{noethersch}, wenn R als R-Modul noethersch ist. Mit anderen Worten:

\underline{Definition}: Ein Ring R heißt \underline{noethersch}, wenn alle seine Ideale endlich erzeugte R-Moduln sind.

\underline{Beispiele}: Körper und Hauptidealringe sind noethersche Ringe. Quotienten von noetherschen Ringen sind wieder noethersche Ringe. Quotientenund Untermoduln eines noetherschen R-Moduls sind automatisch wieder noethersch. Es gilt auch folgende Umkehrung

Lemma 16.1. Sei (0 →)N → M → N′(→ 0) eine exakte Sequenz von R-Moduln. Dann ist Mnoetherscher R-Modul, falls N, N′ noethersche R-Moduln sind.

\underline{Beweis}: ObdA ist die linke Abbildung injektiv und die rechte surjektiv! Sind dann N′, N noethersch und n′_{1}, ..., n′_{r} sowie n_{1}, ..n_{s} R-Erzeugendensysteme von BN′ resp. N. Dann ist n_{1}, .., n_{s}, m_{1}, .., m_{r} ein R-Erzeugendensystem von M, falls m_{i} ↦ n′_{i}. Das Argument überträgt sich sofort auf Untermoduln von M.

Korollar: Für \underline{noethersches} R sind \underline{endlich erzeugte} R-Moduln \underline{noethersch}. (Per Definition ist umgekehrt jeder noethersche Modul endlich erzeugt).

Lemma 16.2. Ist R ein noethersch, dann auch jede Lokalisierung S^{−1}R.

\underline{Beweis}: Ist I ein Ideal in S^{−1}R und f : R → S^{−1}R die natürliche Abbildung, dann ist das R-Ideal f^{−1}(I) endlich erzeugt. Aber für r/s ∈ I folgt r ∈ f^{−1}(I) = (r_{1}, .., r_{n}). Somit erzeugen r_{1}, .., r_{n} auch den S^{−1}R-Modul I.

Lemma 16.3. Ist R noethersch und normal (nullteilerfrei und ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper K). Dann ist der ganze Abschluß S von R in einer endlichen separablen^{4} Körpererweiterung L von K wieder noethersch und normal.

4Diese Annahme ist notwendig, wenn R nicht endlich erzeugt über einem Körper ist.

\underline{Beweis}: Sei a ein (obdA über R ganzes) primitives Element von L/K. Ist y = ∑_{i=0}^{[L:K]−1} x_{i} · a^{i} ganz, dann auch seine Konjugierten. Sei D die Vandermonde Determinante der Konjugierten von a. Wegen Cramers Formel ist D · x_{i} ∈ S für alle x_{i} ∈ K. Wegen D ∈ S und D^{2} ∈ R also x_{i} ∈ D^{−2} · R. Somit ist S ein R-Untermodul des freien R-Moduls vom Rangs [L : K], also noethersch.

Satz 16.4. Ist R noethersch, dann auch der Polynomring R[X].

\underline{Beweis}: Für ein Ideal I von R[X] definieren die ‘höchsten’ Koeffizienten a_{0} = a_{0}(f) der f = a_{0} · X^{n} + ... + a_{n} ∈ I ein Ideal J von R

J = {a_{0}(f) | f ∈ I} .

Nach Annahme wird J von endlich vielen r_{1}, .., r_{m} als R-Modul erzeugt und es gibt Polynome f_{1}, .., f_{m} ∈ I mit den führenden Koeffizienten r_{1}, .., r_{m}.

\underline{Es folgt}: I wird von f_{1}, .., f_{m} und einem R-Erzeugendensystem des R-Moduls

M = I ∩ (R + R · X + ... + R · X^{N−1})

erzeugt, wobei N = max_{i}(deg_{X}(f_{i})). Da M als R-Untermodul eines endlich erzeugten R-Moduls (mit N Erzeugenden) wieder endlich erzeugter R-Modul ist (letztes Korollar), ist daher I erst recht endlich erzeugt als R[X]-Modul.

Per Induktion folgt

Korollar: Ist R noethersch, dann auch der Polynomring R[X_{1}, .., X_{n}].

\underline{Bemerkung}: Ein R-Modul M ist genau dann noethersch, wenn \underline{aufsteigende} Ketten von R-Untermoduln

... ⊂ N_{i−1} ⊂ N_{i} ⊂ N_{i+1}.... ⊂ M

stationär werden

N_{i} = N_{i+1} für i ≥ i_{0} .

\underline{Begründung}: Der R-Modul N = ⋃_{i} N_{i} ist im noetherschen Fall endlich erzeugt und alle Erzeugenden liegen daher in einem N_{i_{0}}.

Umgekehrt, gilt die Kettenbedingung, dann ist jeder R-Untermodul endlich erzeugt, da anderenfalls durch Hinzunahme immer neuer Erzeuger unendlich aufsteigende nicht stationäre Ketten entstehen würden.

17 Noethersche Räume

Ein topologischer Raum heißt \underline{noethersch}, wenn jede absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen stationär wird. Aus der Bemerkung des letzten Abschnitts folgt daher unmittelbar

Lemma: Ist der Ring R ist \underline{noethersch}, dann auch der topologische Raum Spec(R).

Ein topologischer Raum X heißt \underline{quasikompakt}, wenn jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung zulässt. Die duale dazu äquivalente Aussage ist: Ist ein Durchschnitt von abgeschlossenen Teilräumen leer, dann bereits ein endlicher Teildurchschnitt. Daraus folgt

Lemma: Ein topologischer Raum X ist noethersch genau dann, wenn jede offene Teilmenge von X (mit der induzierten Topologie) quasikompakt ist.

\underline{Beweis}: Sei X noethersch und U ⊂ X offen. Seien A_{ν} ⊂ U mit ⋂_{ν} A_{ν} = ∅ abgeschlossene Teilmengen und A = X \U. Da dann A∪A_{ν} abgeschlossen in X ist [U \ A_{v} = X \ (A ∪ A_{v}) ist offen in U und offen in X, da U offen], folgt aus ⋂_{ν}(A ∪ A_{ν}) = A bereits ⋂ A_{ν} = ∅ für einen endlichen Teildurchschnitt, da man anderenfalls eine nicht stationäre zu A absteigende unendliche Kette von abgeschlossenen Teilmengen in X konstruieren könnte.

Ist umgekehrt jede offene Teilmenge U ⊂ X quasikompakt, ist X noethersch. Sei A_{i} ⫆ A_{i+1} ⫆ eine absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen in X mit Durchschnitt A = ⋂ A_{i}. Betrachte dann U = X \ A. Aus der Quasikompaktheit von U folgt, daß A bereits ein endlicher Teildurchschnitt der A_{i} ist. Die Kette der A_{i} wird daher stationär in X.

\underline{Abgeschlossene} Teilmengen eines topologischen Raumes X heißen \underline{irreduzibel}, falls sie nicht als Vereinigung von zwei abgeschlossenen echten Teilmengen geschrieben werden kann.

Lemma 17.1. Sei X ein \underline{noetherscher} topologischer Raum. Jede abgeschlossene Teilmenge Y von X kann als \underline{endliche} Vereinigung von \underline{irreduziblen} Mengen Y_{ν} geschrieben werden

Y = Y_{1} ∪ .... ∪ Y_{n} .

Man kann obdA annehmen Y_{i} ⊈ Y_{j} für i ≠ j. In diesem Fall sind die irreduziblen Komponenten Y_{ν} eindeutig bestimmt. ganze Erweiterung von Koerper

\underline{Beweis}: Die Eindeutigkeit folgt unmittelbar aus der Existenz.

Existenz (mittels \underline{noethersche Induktion}): Sei E eine Eigenschaft der abgeschlossenen Mengen Y von X – etwa die oben relevante Eigenschaft ‘Y ist Vereinung endlich vieler irreduzibler Komponenten’ – und für E selbst sei folgendes vorausgesetzt:

1) E gelte für die leere Menge.

2) E gelte für Y, wenn E für alle echten abgeschlossenen Teilmengen von Y gilt.

Dann gilt (für noethersches X): E ist für alle abgeschlossenen Y ⊂ X erfüllt.

\underline{Beweis}: Anderenfalls gibt es eine nicht stationäre absteigende Kette von abgeschlossenen Mengen, für die E nicht gilt. Widerspruch!

18 Generische Punkte

Für X = Spec(R) = Spec(R_{red}), gilt:

1) Ist X irreduzibel und nicht leer, dann ist R_{red} nullteilerfrei:

f · g = 0 ⟹ X = V (0) = V (f) ∪ V (g) ⟹ V (f) = X oder V (g) = X bzw. f ∈ Nil(R_{red}) = 0 oder g ∈ Nil(R_{red}) = 0.

2) \underline{Die Umkehrung}:

Ist R nullteilerfrei, dann ist X = Spec(R) irreduzibel und nicht leer: X = V (I) ∪ V (J) = V (I · J) (I, J Ideale)⟹ I · J ⊂ Rad(R) = Nil(R) = 0 ⟹ I = 0 oder J = 0 bzw. V (I) = X resp. V (J) = X.

3) Ist X irreduzibel, ist {0} ein Primideal von R_{red}, das eindeutig bestimmte minimale Primideal des Ringes mit Zariski Abschluß \overline{\{0\}} = X.

Gibt es umgekehrt ein eindeutig bestimmtes minimales Primideal P. Dann gilt Rad(R) = ⋂_{P′} P′ = P. Somit ist das Radikal das minimale Primideal P und R_{red} = R/P ist nullteilerfrei. Den zum Radikal gehörigen Punkt P ∈ X nennt man dann den \underline{generischen} Punkt von X. Es ist der eindeutig bestimmte Punkt in X, dessen Abschluß ganz X ist.

Korollar: X = Spec(R) ist \underline{irreduzibel} und \underline{nicht leer} genau dann, wenn X einen \underline{einzigen} \underline{generischen} Punkt besitzt bzw. genau dann, wenn R_{red} \underline{nullteilerfrei} ist.

Sei R ein noetherscher Ring und X = ∪_{i=1}^{n}X_{i} die Zerlegung des Spektrums in seine irreduzible Komponenten. Die Komponenten X_{i} = V (I_{i}) sind homöomorph zu V (I_{i}) = Spec(R/I_{i}). Sie besitzen daher eindeutig bestimmte generische Punkte P_{i} ∈ X_{i}, deren Abschluß \overline{\{P_{i}\}} gerade X_{i} ist. Die reduzierten Ringe (R/P_{i}) = (R/I_{i})_{red} sind nullteilerfrei. Sei

GenSupp(R) = {P_{1}, .., P_{n}}

die Menge der generischen Punkte, dann gilt

Rad(R) = ⋂_{P ∈GenSupp(R)} P .

19 Primzyklische Moduln

\underline{Allgemeine Begriffe}: Sei M ein R-Modul. Die r ∈ R mit r · M = 0 definieren ein Ideal in R, den \underline{Annulator} Ann_{R}(M). Aus N ⊂ M folgt Ann_{R}(M) ⊂ Ann_{R}(N), da rM = 0 ⟹ rN = 0.

\underline{Beispiel}: Für zyklische Moduln M ≅ R/I gilt

Ann_{R}(M) = {r ∈ R | r · [1] = [r] ∈ I} = I .

M heißt \underline{primzyklisch}, wenn I prim ist.

Lemma 19.1. Sei R/I zyklisch und R/P′ primzyklisch. Dann gilt (a)

Hom_{R}(R/I, R/P′) ≠ 0 ⟺ I ⊂ P′ .

(b) Ein \underline{injektiver} Homomorphismus φ ≠ 0 existiert genau dann wenn I = P′.

\underline{Beweis}: Sei φ : R/I → R/P′ R-linear. φ ist durch das Bild [r] des Erzeugers [1] ∈ R/I festgelegt. Aus φ ≠ 0 folgt r ∉ P′. Der Annulator von [1] ∈ R/I ist I. Somit I ⊂ Ann_{R}(φ([1])) = Ann_{R}([r]). [r] ≠ 0, wenn φ nicht null ist. Somit Ann_{R}([r]) = P′, da R/P′ \underline{nullteilerfrei} ist. Es folgt I ⊂ P′. Ist φ injektiv, dann gilt Ann_{R}([1]_{R/I}) = Ann_{R}([r]), also I = P′. Q.e.d.

Sei nun R ein \underline{noetherscher} Ring und M ein endlich erzeuter R-Modul. Wir interessieren uns dann für

\underline{Zyklische Untermoduln}: Ein zyklischer Untermodul <m> ⊂ M wird erzeugt von einem Element m. < m > ist ein Quotient von R. Somit gilt < m >≅ R/I, für ein Ideal I. I ist der Annulator I = {r ∈ R | r·m = 0} des Elements m. I ist ungleich R, genau dann wenn gilt m ≠ 0.

Im Inklusionsverband aller Annulatoren I ≠ R von Elementen m in M liegt jedes I in einem \underline{maximalen} Elementannulator ≠ R (R ist \underline{noethersch}!). Sei I ≠ R maximal in diesem Sinn. Dann ist I ein \underline{Primideal}: Aus r · s ∈ I und r ∉ I (d.h. m′ = r · m ≠ 0), s ∉ I folgt nämlich ein Widerspruch zur Maximalität von I:

Ann_{R}(m) ⫋ Ann_{R}(m′) , s ∈ Ann_{R}(m′) \ Ann_{R}(m) .

\underline{Maximale Annulatoren} P ≠ R von Elementen m aus M definieren daher nichttriviale \underline{primzyklische} Untermoduln R/P ≅< m > ⊂ M. Somit ist für M ≠ 0 die folgende Menge nichtleer

Ass(M) = {P ∈ Spec(R) | ∃ R/P ↪ M } .

Die Ideale P ∈ Ass(M) nennt man die zu M \underline{assoziierten} Primideale. ein Primideal P ∈ Ass(M) heißt \underline{isoliert}, wenn P ⊉ P′ gilt für alle P′ ∈ Ass(M).

Folgerung 19.2. Sei R noethersch und M ein noetherscher R-Modul. Dann existieren endliche aufsteigende Filtrationen

M_{0} = {0} ⫋ ... ⫋ M_{i−1} ⫋ M_{i} ⫋ ... ⫋ M_{n} = M

gegeben durch R-Untermoduln M_{i} von M mit

M_{i}/M_{i−1} ≅ R/P_{i} (P_{i} prim) .

ObdA kann angenommen werden, daß jeweils P_{i} ∈ Ass(M/M_{i−1}) isoliert sei.

\underline{Beweis}: Wähle wie oben R/P ↪ M nichttrivial und primzyklisch. Betrachte den Quotienten und iteriere das Verfahren bis es (wegen der Annahmen an R und M) abbricht. Q.e.d.

Sei N ⊂ M ein R-Untermodul. Trivialerweise gilt Ass(N) ⊂ Ass(M). Sei P ∈ Ass(M) \ Ass(N). Dann erhält man eine \underline{injektive} R-lineare Abbildung φ : R/P ↪ M/N via

\xymatrix{N \ar@{^{(}->}[r] & M \ar@{->>}[r] & M/N \\ & R/P \ar@{^{(}->}[u] \ar@{^{(}->}[ur]_{φ}} .

Also P ∈ Ass(M/N).

\underline{Begründung}: [Für 0 ≠ Kern(φ) existiert P′ ∈ Ass(Kern(φ)). Also R/P′ ↪ Kern(φ)↪R/P. Somit P′ = P (Lemma 19.1). Aber R/P′ ↪Kern(φ)↪N im Widerspruch zu P′ = P ∉ Ass(N).] Es folgt die erste Aussage von

Folgerung 19.3. Seien R und M noethersch, und N ⊂ M ein R-Untermodul. Dann gilt

1. Ass(N) ⊂ Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N)

2. Ass(R/P) = {P }, für Primideale P.

3. Ass(M) ist \underline{endlich} und \underline{nichtleer} für M ≠ 0.

\underline{Beweis}: 2. folgt aus Lemma 19.1(b). Aus 1., 2. und Folgerung 19.2 folgt 3.

Ass(M) ⊂ ⋃_{i=0}^{n} Ass(R/P_{i}) = ⋃_{i=0}^{n}{P_{i}} = {P_{1}, .., P_{n}} .

Ein r ∈ R heißt \underline{Nullteiler} von M, wenn r · m = 0 gilt für ein m ≠ 0 aus M.

Lemma 19.4. ⋃_{P ∈Ass(M)} P ist die Menge der \underline{Nullteiler} von M.

\underline{Beweis}: ⊂ ist klar wegen P · < m >= 0 für < m >≅ R/P ↪ M.

Sei andererseits r ein Nullteiler von M mit r · m = 0, m ≠ 0. Dann gilt < m > ≅ R/I, also r ∈ I. Für einen maximalen Elementannulator P ≠ R, welcher I enthält, ist dann P prim, somit in Ass(M), und es gilt r ∈ I ⊂ P.

20. Der Träger eines R-Moduls 40

Folgerung 19.5. Besteht ein Ideal I eines noetherschen Rings R nur aus Nullteilern^{5}, folgt I ⊂ P für ein P ∈ Ass(R). Ist R reduziert^{6}, gilt Ass(R) ⊂ GenSupp(R).

\underline{Beweis}: r ∉ P, ∀P ∈ GenSupp(R) und r · s = 0 ⟹ s ∈ P, ∀P ∈ GenSupp(R). Also s ∈ Nil(R) = {0}. Somit ist r kein Nullteiler und Ass(R) ⊂ GenSupp(R).

20 Der Träger eines R-Moduls

\underline{Allgemeine Begriffe}: Der \underline{Träger} Supp(M) eines R-Moduls M ist die abgeschlossene Teilmenge

Supp(M) = V (Ann_{R}(M))

von X = Spec(R). Im zyklischen Fall M = R/I ist Ann_{R}(M) = I, also

Supp(R/I) = V (I) .

Offensichtlich ist Supp(M) für M ≠ {0} immer nicht leer. Weiterhin gilt N ⊂ M ⟹ Supp(N) ⊂ Supp(M). Sei N ⊂ M ein Untermodul. Sind I, I_{1}, I_{2} die Annulatoren von M, N, M/N, dann gilt I_{1} · I_{2} ⊂ I sowie I ⊂ I_{1} und I ⊂ I_{2}. Es folgt

Supp(M) = Supp(N) ∪ Supp(M/N) .

\underline{Der noethersche Fall}: Sei von nun an R und M noethersch. Sei

GenSupp(M) ⊂ X

die endliche Menge der \underline{generischen} Punkte des Trägers Supp(M). Deren Abschlüsse V (P) liefern die irreduziblen Komponenten

Supp(M) = ⋃_{P ∈GenSupp(M)} V (P) .

5Lemma 6.3 und Lemma 19.4

6Nach Lemma 20.1 gilt dann sogar Ass(R) = GenSupp(R).

Nach 19.2 besitzt M eine endliche Filtration mit primzyklische Subquotienten M_{i}/M_{i−1} ≅ R/P_{i} füe alle i. Somit Supp(M) = ⋃_{i=0}^{n} Supp(R/P_{i}) = ⋃_{i=0}^{n} V (P_{i}) sowie Ass(M) ⊂ ⋃_{i=0}^{n} Ass(R/P_{i}) = ⋃_{i=0}^{n}{P_{i}} (Folgerung 19.3). Also

Ass(M) ⊂ {P_{1}, ..., P_{n}} ⊂ Supp(M) .

Für P ∈ Supp(M) ist P ∈ V (P_{i}) (d.h. P_{i} ⊂ P) für mindestens ein i. Für minimale Primideale von Supp(M), d.h. P ∈ GenSupp(M), folgt daraus P_{i} = P

(∗) GenSupp(M) ⊂ {P_{1}, .., P_{n}} .

Lemma 20.1. (R, M noethersch) Die generischen Punkte^{7} von Supp(M) liegen in Ass(M)

GenSupp(M) ⊂ Ass(M) .

Daraus folgt sogar, daß die minimalen Elemente innerhalb der Mengen Ass(M) und Supp(M) übereinstimmen. Dies charakterisiert die \underline{minimalen} oder auch \underline{isoliert} genannten Elemente von Ass(M) als die generischen Punkte von Supp(M). Im allgemeinen kann natürlich vorkommen P ⫋ P′ für Elemente P, P′ ∈ Ass(M). Diese nicht isolierten Primideale P′ von Ass(M) nennt man \underline{‘eingebettet’}.

Folgerung 20.2. (R, M noethersch). Sei P ein Primideal von R. Dann gilt

Ass(M) = {P } ⟹ Supp(M) = V (P) .

Somit gilt P_{i} ⫆ P für die Subquotienten R/P_{i} einer primzyklischen Filtration von M.

\underline{Beweis}: Ass(M) = \{P \} ⟹ M ≠ 0, GenSupp(M) ⊂ \{P \} nach Lemma 20.1. Also GenSupp(M) = {P }. Folglich Supp(M) = V (P). Somit wegen P_{i} ∈ Supp(M) = V (P) also P ⊂ P_{i}. \underline{Beweis von Lemma 20.1}: Für P ∈ GenSupp(M) gilt obdA P ∉ Supp(M_{i−1}) und P = P_{i} für ein i im Sinne von Folgerung 19.2. Aus dem nächsten Lemma [für M = M_{i}, N = M_{i−1} und P = P_{i}] folgt P_{i} ∈ Ass(M_{i}) ⊂ Ass(M).

Lemma 20.3. (R, N ⊂ M noethersch). Aus Ass(M/N) ∩ Supp(N) = ∅ folgt

Ass(M) = Ass(N) ∪ Ass(M/N) .

7Insbesondere gilt daher Nil(R) = ⋂_{P ∈Ass(R)} P.

21. P -Koprimäre Moduln 42

\underline{Beweis}: Die Inklusion ⊂ gilt nach Folgerung 19.3. Es bleibt P ∈ Ass(M) zu zeigen für P ∈ Ass(M/N). Ersetzt man M durch das Urbild eines R/P ⊂ M/N, kann obdA M/N = R/P angenommen werden. Wähle ein Urbild m ∈ M von [1] ∈ R/P

\xymatrix{0 \ar[r] & N \ar[r] & M \ar[r]^{π} & R/P \ar[r] & 0 \\  &  & M′ = J · m \ar@{^{(}->}[u]}

P · m liegt in N und wird vom Annulator J von N annuliert. Es folgt

P ⊂ Ann_{R}(M′)

für M′ = J · m wegen J · (P · m) = P · (J · m) = 0. In dem Untermodul M′ von M existiert ein m′ mit π(m′) ≠ 0. Anderenfalls J ⊂ P im Wiederspruch zu P ∉ Supp(N). Der von m′ aufgespannte zyklische Modul < m′ >≅ R/I erfüllt als Untermodul von M′ wegen P ⊂ Ann_{R}(M′) ⊂ I = Ann_{R}(m′)

P ⊂ I , R/I ↪ M .

Andererseits gilt Hom_{R}(R/I, R/P) ≠ 0 auf Grund der Wahl von m′. Aus Lemma 19.1 folgt I ⊂ P und somit I = P. Dies impliziert P ∈ Ass(M).

21 P -Koprimäre Moduln

Definition: Sei R ein noetherscher Ring und M ein noetherscher R-Modul. Gilt

Ass(M) = {P }

heißt M \underline{P -koprimär}, Für einen koprimären Modul gilt nach Folgerung 20.2

Supp(M) = V (P) .

\underline{Bemerkung}: Primideale P sind Radikalideale. Aus V (I) = V (P) für I = Ann_{R}(M) folgt daher Rad(I) = Rad(P) = P. P = (r_{1}, .., r_{k}) ist endlich erzeugt (R noethersch !). Für jeden Erzeuger r_{i} existiert ein m_{i} mit (r_{i})^{m_{i}} ∈ I (Radikalbedingung !). Also folgt P^{N} ⊂ I ⊂ P für N = ∑_{i=1}^{k} m_{i}, denn r = ∑_{i=1}^{k} α_{i}·r_{i} ∈ I ⟹ r^{N} = ∑_{i=1}^{k} Binomialkoeffizient·(α_{1}·r_{1})^{e_{1}} ⋯ (α_{k} ·r_{k})^{e_{k}}. Für jeden Summanden gibe es mindestens ein i mit e_{i} ≥ m_{i}. Also sind alle Summanden bereits einzeln in dem Ideal I. Es folgt r^{N} ∈ I. Man erhält

Lemma: Für einen \underline{P -koprimären} Modul M sind folgende (für noethersches R zueinander äquivalente) Eigenschaften erfüllt • Supp(M) = V (P)

• P^{N} ⊂ Ann_{R}(M) ⊂ P für ein N ∈ ℕ

• Rad(Ann_{R}(M)) = P.

Folgerung 21.1. Für einen endlich erzeugten R-Modul M ≠ 0 über einem noetherschen Ring R mit P ∈ Spec(R) sind äquivalent:

1. Ass(M) = \{P \}, d.h. M ist \underline{P -koprimär}

2. Für r ∈ R ist die Multiplikationsabbildung

\xymatrix{M \ar[r]^{r} & M}

\underline{injektiv} für r ∉ P und \underline{nilpotent} auf M für jedes r ∈ P (eine Potenz von r induziert die Nullabbildung von M).

\underline{Beweis}: 1.⟹2.: Ist Kern(r : M → M) ≠ 0, dann ist r ein M-Nullteiler. Also r ∈ Ass(M) = {P } (Lemma 19.4). Für r ∈ P existiert N mit r^{N} ∈ P^{N} ⊂ Ann_{R}(M) (für ein geeignetes N nach dem letzten Lemma). Daher ist r^{N} = 0 auf M, also r nilpotent auf M.

2.⟹1.: Nilpotente Abbildungen sind nicht injektiv auf M wegen M ≠ 0. Aus Annahme 2 folgt daher, daß P die Menge der M-Nullteiler ist. Also {P } = Ass(M) nach Lemma 19.4.

Als Spezialfall von Folgerung 19.3 erhält man daher

Lemma 21.2. Sei N ein R-Untermodul von M. Sind N und M/N P - koprimär, dann auch M. Ist M P -koprimär, dann auch N.

\underline{Beispiel}: Direkte Summen von P -koprimären Moduln sind somit P -koprimär. R/P ist P -koprimär. Achtung: Zwar ist R/P^{n} im allgemeinen^{8} nicht P - koprimär, aber es gilt GenSupp(R/P^{n}) = {P }.

8Für R = ℤ + (pt, t^{2}) · ℤ[t] in ℤ[t] ist P = (pt, t^{2}) · ℤ[t] ein Primideal. Es gilt R/P = ℤ und R/P^{2} = ℤ ⊕ ℤpt ⊕ (ℤ/p^{2}) · t^{2} ⊕ (ℤ/p) · t^{3}. Also I = Ann_{R}((ℤ/p) · t^{3}) = (p, pt, t^{2}) mit R/I = 𝔽_{p} und I ∈ Ass(R/P^{2}) \ Ass(R/P).

22 Koprimäre Moduln

Definition: Ein noetherscher R-Modul M über einem noetherschen Ring R heißt \underline{koprimär} oder \underline{nullteilerarm}, falls gilt: 1) M ≠ 0. 2) Für r ∈ R ist entweder r : M → M \underline{injektiv} oder \underline{nilpotent} auf M.

Ein noetherscher Ring R heißt \underline{koprimär} oder \underline{nullteilerarm}, wenn er als R-Modul koprimär ist.

\underline{Mit anderen Worten}: Ein Ring R ist \underline{nullteilerarm} (koprimär), wenn gilt R ≠ 0 und

r · s = 0 und r ≠ 0, s ≠ 0 ⟹ r nilpotent und s nilpotent.

Das heißt: Die nilpotenten Elemente sind die einzigen Nullteiler von R.

\underline{Beispiel}: Sei R ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m und I ein Ideal von R, das eine Potenz von m enthält. Dann ist automatisch R/I koprimär. Beachte Ass(R/I) ⊂ Supp(R/I) = V (I) = V (m) = {m} wegen m = Rad(I). Ist dagegen P ein nicht maximales Primideal, dann ist im allgemeinen R/I nicht einmal koprimär für die Primidealpotenzen I = P^{n}.

Ein \underline{koprimärer Modul} ist \underline{P -koprimär} für ein eindeutig bestimmtes Primideal P ∈ Spec(R). Denn für koprimäres M ist

P = {r ∈ R | r nilpotent auf M}

ein Ideal (Summen komm. nilpotenter Abbildungen sind nilpotent, Vielfache ebenso) und P ist prim (da die Komposition injektiver Abbildungen injektiv ist, und da injektive Abbildungen wegen M ≠ 0 nicht nilpotent sind).

23 Einbettbarkeit

Jeder noethersche R-Modul M über einem noetherschen Ring R läßt sich in eine endliche direkte Summe von koprimären R-Moduln einbetten läßt (wir zeigen dies weiter unten)

M ↪ ⊕_{j=1}^{r}M′_{j} , M′_{j} koprimär .

Die M′_{j} sind obdA koprimär zu paarweise verschiedenen Primidealen P_{j} wegen Lemma 21.2. Aus Korollar 19.3 folgt weiterhin

Ass(M) ⊂ {P_{1}, .., P_{r}} .

Ist r \underline{minimal} gewählt, gilt Gleichheit

Ass(M) = {P_{1}, .., P_{r}} .

\underline{Beweis}: Wegen der Minimalität von r ist π_{j} : M → ⊕_{i≠j} M′_{i} nicht mehr injektiv. Als Untermodul von M′_{j} ist Kern(π_{j}) = M ∩ M′_{j} aber P_{j}-koprimär (Lemma 21.2): Ass(Kern(π_{j})) = Ass(M′_{j}) = {P_{j}}. Es folgt P_{j} ∈ Ass(M) wegen Kern(π_{j}) ⊂ M.

\underline{Beweis der Einbettbarkeit}: (mittels Induktion nach der Länge l einer ‘primzyklischen’ Filtration (M_{i})_{i=0,..,l} von M wie in Folgerung 19.2). Zur Erinnerung R/P_{i} ↪ M/M_{i−1} für isoliertes P_{i} ∈ Ass(M/M_{i−1}). Also P_{1} ∈ GenSupp(M) ⊂ Ass(M) (nach Lemma 20.1). Für P = P_{1} und alle i = 1, ⋯, l gilt daher

P_{i} ≠ P ⟹ P ⫆̸ P_{i} .

\underline{Induktionsschritt}: Sei P = P_{1}. Betrachte M_{1} ≅ R/P ↪ M mit Quotient π : M → N = M/M_{1}. Per Induktion gibt es dann bereits eine Einbettung φ : N ↪ N′ = ⊕_{i}N_{i} (mit P_{i}-koprimären Moduln N_{i}). Es verbleibt daher nur noch eine R-lineare Abbildung

ψ : M → M′ , (M′ koprimär)

zu finden, welche auf Kern(φ) = R/P injektiv ist. Dann ist ψ ⊕ (φ ∘ π) : M ↪ M′ ⊕ N′ eine Injektion von M in eine direkte Summe von koprimären Moduln.

\underline{Konstruktion von ψ}: Für die Subquotienten R/P_{i} der Filtration von M gilt

P_{i} ≠ P ⟹ P ⫆̸ P_{i} ⟹ ∃r_{i} ∈ P_{i} \ P .

Das Produkt r aller so definierten r_{i} erfüllt

r ∈ P_{i} für alle P_{i} ≠ P sowie r ∉ P .

Die in Schritt 1 gesuchte Abbildung ist dann ψ(m) = r^{l} · m

ψ : M → M′ , M′ = r^{l} · M .

Offensichtlich ist ψ auf dem Untermodul R/P injektiv wegen r ∉ P (Nullteilerfreiheit von R/P) und M′ ist koprimär (siehe nächster Hilfsatz). Q.e.d.

\underline{Hilfssatz}: Das Bild M′ = r^{l} · M der l-fach angewendenten Multiplikation mit r ist ein P -koprimärer Modul.

\underline{Beweis} (durch absteigende Induktion nach der Länge l): Die Multiplikation \xymatrix{M \ar[r]^{r} & M} für r ∈ R respektiert Filtrationen M_{0} ⊂ ... ⊂ M_{i} ⊂ ... ⊂ M_{l} = M

\xymatrix{M_{l−1} \ar[d]^{r} \ar@{^{(}->}[r] & M_{l} \ar@{->>}[r]^{π} \ar[d]^{r} & R/P_{l} \ar[d]^{r} \\ M_{l−1} \ar@{^{(}->}[r] & M_{l} \ar@{->>}[r]^{π} & R/P_{l}}

Der Fall P ≠ P_{l}: Dann ist die rechte vertikale Abbildung Null. Somit r : M_{l} → M_{l−1} und r^{l}M ⊂ r^{l−1}M_{l−1}. Per Induktionsannahme ist r^{l−1}M_{l−1} P -koprimär, und damit auch M′ = r^{l}M (Lemma 21.2).

Der Fall P = P_{l}: Dann ist r^{l} : R/P → R/P injektiv. Somit r(r^{l−1} · M_{l−1}) ⊂ r^{l}·M_{l} mit Quotient r^{l}·(R/P) isomorph zu R/P. Beachte: π(r^{l}M_{l}) = r^{l}(R/P) mit Kern(π) ∩ (r^{l}M_{l}) = r^{l}M_{l−1}, da r^{l} kein Nullteiler von R/P ist. Somit ist M′ = r^{l} · M_{l} wegen Lemma 21.2 und der Induktionsannahme wieder P -koprimär.

24 Primärzerlegung

Sei R ein noetherscher Ring und M ein noetherscher R-Modul.

Einen R-Untermodul N von M nennt man \underline{(P)-primären} Untermodul, wenn der Quotient M/N ein (P)-\underline{koprimärer} R-Modul ist

N (P)-primär ⟺ M/N (P)-koprimär , d.h. nullteilerarm (bzgl. P) .

Ein Ideal I in R heißt \underline{Primärideal} (zum Primideal P), wenn der Quotient R/I \underline{nullteilerarm} (ein P -koprimärer R-Modul) ist

I primär ⟺ R/I nullteilerarm.

Insbesondere gilt dann P^{N} ⊂ I ⊂ P für ein geeignetes N ∈ ℕ.

\underline{Bemerkung}: Für Ideale gilt: maximal ⟹ prim ⟹ primär ⟹ V (I) irreduzibel.

Die Aussagen des letzten Abschnitts lassen sich wie folgt umformulieren:

Sei ⊕_{j}φ_{j} : M ↪ ⊕_{j=1}^{r}M′_{j} eine Einbettung in eine direkte Summe von P_{j}- koprimären R-Moduln M′_{j}. Sei M_{j} ⊂ M der Kern von φ_{j} : M → M′_{j}. Da M′_{j} P_{j}-koprimär ist, ist auch der Untermodul Bild(φ_{j}) ≅ M/M_{j} ein P_{j}- koprimärer R-Modul. Somit ist M_{i} primär und es gilt

{0} = ⋂_{j=1}^{r} M_{i} .

Wendet man dies auf einen Quotientenmodul M/N an, erhält man

Satz 24.1. Sei R ein noetherscher Ring und M ein noetherscher R-Modul und N ⊂ M ein R-Untermodul. Dann gibt es eine (nicht eindeutige) Darstellung

N = ⋂_{j=1}^{r} M_{j}

als Durchschnitt von \underline{P_{j}-primären} R-Untermoduln M_{j} ⊂ M. Ist r \underline{minimal} gewählt gilt

Ass(M/N) = {P_{1}, .., P_{r}} .

Bemerkung: Für M = 0 ist N = 0 der leere Durchschnitt.

Korollar: Jedes Ideal I ≠ R eines noetherschen Rings R ist ein endlicher Durchschnitt von Primäridealen zu den Primidealen P ∈ Ass(R/I).

\underline{1.Beispiel}: Sei R = ℂ[X, Y]. Dann sind I = (X^{2}, XY) = (X) ∩ (X, Y)^{2} = (X) ∩ (X^{2}, Y) verschiedene Primärzerlegungen von I, wobei Ass(R/I) = {(X), (X, Y)}.

\underline{2.Beispiel}: Ist I = P^{n}, dann ist P das einzige Primideal in GenSupp(R/I). Wegen GenSupp(R/I) ⊂ Ass(R/I) kommt ein P -primäres Ideal in der Primärzerlegung von I vor. Dieses Primärideal nennt man die n-te symbolische Potenz P^{(n)} von P. Es gilt

P^{n} ⊂ P^{(n)} ⊂ P .

Die symbolische Potenz P^{(n)} ist \underline{eindeutig} bestimmt und hängt nicht ab von der Wahl der Primärzerlegung wegen Satz 24.2. Ist P ∈ GenSupp(M/N), dann ist die zugehörige P -primäre Komponente M_{i} einer Primärzerlegung N = ⋂_{j=1}^{r} M_{j} eindeutig bestimmt.

\underline{Beweis}: ObdA N = 0. Seien P = P_{i} eines der isolierten Primideale der Primärzerlegung wie im letzten Satz 24.1. Dann ist M_{i} = Kern(φ_{i}) \underline{der} \underline{maximale} R-Untermodul U von M mit Träger in Y = ⋃_{j≠i} V (P_{j}) (M ist noethersch!). Also ist M_{i} \underline{intrinsisch} definiert.

\underline{Begründung}: Der Aufspann von Untermoduln mit Träger in Y hat wieder Träger in Y. Somit ist U eindeutig bestimmt. Quotienten haben wieder Träger in Y. Wegen M_{i} ⊂ U gilt Supp(U/M_{i}) ⊂ Y. P ist im Träger Y nicht enthalten (Minimalität von P!). Wäre M_{i} ≠ U, ist U/M_{i} ≠ 0 als Untermodul von M′_{i} wieder P -koprimär (Lemma 21.2). Somit P ∈ Ass(U/M_{i}) ⊂ Supp(U/M_{i}) im Widerspruch zu obiger Feststellung. Es folgt U = M_{i}. Q.e.d.

Analog gibt es einen kanonischen Untermodul N ⊂ M

0 → N → M → Q → 0

mit Ass(Q) = Ass(M)_{isoliert} und Ass(N) = Ass(M)_{eingebettet}.

\underline{Alternativer Beweis} (via Lokalisierung): Für endliche Durchschnitte gilt allgemein (Übungsaufgabe!)

S^{−1} ⋂_{j} I_{j} = ⋂_{j} S^{−1}I_{j} .

Für \underline{Primärideale} I und g : R → S^{−1}R gilt g^{−1}(S^{−1}I) = I (siehe §5). Für das Primärideal I = P^{(n)} gilt P^{n} = P^{(n)} ∩ ⋂_{j} I′_{j}. Für S = R \ P ist S^{−1}I′_{j} = S^{−1}R für alle Primärkomponenten I′_{j} ≠ P^{(n)} wegen der Minimalität von P ∈ Ass(R/P^{n}). Dies charakterisiert P^{(n)} eindeutig:

g^{−1}(S^{−1}P^{n}) = g^{−1}(S^{−1}P^{(n)} ∩ ⋂_{j} S^{−1}I′_{j}) = g^{−1}(S^{−1}P^{(n)}) = P^{(n)} .

\underline{Übungsaufgaben}: Zeige S^{−1}P^{n} = (S^{−1}P)^{n} und S^{−1}(I + J) = S^{−1}I + S^{−1}J.

Dimensionstheorie

25 Höhe eines Primideals

Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Für ein Primideal P in X = Spec(R) definieren wir die \underline{Höhe} h = h(P) als das Maximum der Längen von echt \underline{absteigenden} Kette von Primidealen P_{i} in R mit

P ⫌ P_{1} ⫌ ... ⫌ P_{h} .

Der Fall h = ∞ ist möglich.

\underline{Krulldimension}: Wir setzen dim(R) = −∞ für den Nullring. Ansonsten

dim(R) = max_{P ∈X}(h(P)) .

Die \underline{Krulldimension} hängt offensichtlich nur von dem topologischen Raum X ab. Insbesondere dim(R) = dim(R_{red}).

\underline{Beispiele}: 1) Sei R noethersch. Ist die Dimension Null, ist jeder Punkt im Spektrum X abgeschlossen. Somit sind die endlich vielen generischen Punkte abgeschlossene Punkte. Der Abschluß X ist die Vereinigung der endlich vielen generischen abgeschlossenen Punkte. Aus Lemma 9.1 folgt dann: R_{red} ist eine endliche direkte Summe von Körpern ⟺ dim(R) = 0.

2) dim(ℤ) = dim(K[X]) = 1 für Körper K.

3) Wir zeigen später dim(R) = 2 für R = ℤ_{(p)}[X]. Eine echte maximale Kette von Primidealen der Länge zwei für R ist etwa {0} ⫅̸ (X − p) ⫅̸ (X, p). Dagegen ist {0} ⫅̸ (1−pX) eine maximale Kette von Primidealen des Rings, deren Länge aber nur eins ist! Dies folgt aus dem später bewiesenen Krullschen Hauptidealsatz, da ℤ_{(p)}[X]/(1 − pX) = ℚ.

\underline{Eine Ungleichung}: Offensichtlich gilt dim(R) ≥ dim(R/P) + h(P) für alle P ∈ X

R_{dim(R/P)} P_{h(P)} 0 .

Im noetherschen Fall kann somit die Dimensionsbestimmung immer auf den Fall eines nullteilerfreier Ring durch Betrachten der irreduziblen Komponenten zurückgeführt werden. D.h. für noethersches R und Ideale I ≠ R gilt

dim(R/I) = max_{P} (dim(R/P))

für P ∈ GenSupp(R/I). Offensichtlich gilt

dim(R) = max_{P ∈Spec(R)} (dim(R_{P})) .

ObdA könnte man sich dabei auch auf die maximalen Ideale P beschränken (siehe Lemma 11.1 von §11).

Lemma 25.1. Sei R noethersch und 0 ≠ a ∈ R kein Nullteiler von R. Dann gilt

dim(R) ≥ dim(R/a) + 1 .

\underline{Beweis}: ObdA R/a ≠ 0. Wähle \overline{P} ∈ GenSupp(R/a) mit Urbild P in R so, daß dim(R/a) = dim(R/P). P kann nicht minimal in R sein. Wäre P minimal in R, wäre a ∈ P wegen P ∈ GenSupp(R) ⊂ Ass(R) (Lemma 20.1) ein Nullteiler in R (Lemma 19.4). Widerspruch! Also h(P) ≥ 1. Daraus folgt dim(R) ≥ dim(R/P) + 1 = dim(R/a) + 1. Q.e.d.

26 Going Up

In diesem Paragraphen sei R ↪ R′ eine \underline{injektive}, \underline{endliche} Ringerweiterung. Es seien X′ = Spec(R′) und X = Spec(R) die zugehörigen Spektren und π die zugehörige Abbildung

π : X′ → X .

Dann gelten die folgenden Lemmata 26.1–26.4 (zum Beweis wird obdA R ≠ 0 und damit R′ ≠ 0 angenommen).

Lemma 26.1. Aus P_{2} ⊂ P_{1} und P_{1}, P_{2} ∈ X′ sowie π(P_{1}) = π(P_{2}) folgt P_{1} = P_{2}.

\underline{Beweis}: Durch Division nach P_{2} gilt obdA P_{2} = 0 und p = π(P_{2}) = R ∩ P_{2} = 0. Somit sind R, R′ nullteilerfrei. Für 0 ≠ x ∈ P_{1} sei x^{n}+a_{1}x^{n−1}+...+a_{n} = 0 eine Ganzheitsgleichung über R von minimalem Grad. Dann ist a_{n} ≠ 0 (R′ ist nullteilerfrei!). Andererseits ist a_{n} ∈ P_{1} ∩ R = π(P_{1}) = p = 0. Widerspruch! Es folgt P_{1} = 0, also P_{1} = P_{2}. Q.e.d.

Lemma 26.2. π bildet maximale Ideale auf maximale Ideale ab

π : |X′| → |X| .

\underline{Beweis}: : Lemma 3.1.

Lemma 26.3. π : X′ → X ist surjektiv.

\underline{Beweis}: Sei p ∈ X und S = R\p. Dann ist S^{−1}R → S^{−1}R′ wieder \underline{injektiv}(!) und \underline{endlich}. Für X_{S} = Spec(S^{−1}R) und X′_{S} = Spec(S^{−1}R′) gilt (siehe §5)

[figure: ∅ ≠; |X′_{S}|; π; X′_{S}; π; X′; π; {p}; |X_{S}|; X_{S}; X]

Wegen p ∈ Bild(X_{S}) kann man daher obdA durch Lokalisieren p als maximal und R als lokalen Ring annehmen. Es genügt dann, daß Specm(R′) (nicht leer!) auf Specm(R) abgebildet wird (Lemma 26.2)!

Korollar 26.4. dim(R) = dim(R′).

\underline{Beweis}: Wegen Lemma 26.1 ist dim(R) ≥ dim(R′). Eine maximale Primidealkette von R kann andererseits geliftet werden. Es genügt zu zeigen daß für p_{i} ⫅̸ p_{i+1} und π(P_{i}) = p_{i} ein P_{i+1} ⫆ P_{i} gefunden werden kann mit π(P_{i+1}) = p_{i+1}. ObdA p_{i} = 0 und P_{i} = 0 wie in Lemma 26.1. Dann folgt die Existenz von P_{i+1} sofort aus Lemma 26.3. Somit dim(R) = dim(R′).

Lemma 26.5. π(P) ist maximal ⟺ P maximal ist.

\underline{Beweis}: ⟸ nach Lemma 26.2. Nach Lemma 26.3 existiert für p ∈ |X| ⊂ X ein Urbild P_{2} ∈ X′. Für maximales P_{1} ⊃ P_{2} gilt dann notwendiger Weise auch π(P_{2}) = p. Nach Lemma 26.1 ist dann P_{1} = P_{2} maximal.

27 Polynomringe

Ist K ein Körper und R_{n} = K[X_{1}, .., X_{n}] der Polynomring. Dann ist P_{0} = 0 das eindeutige minimale Primideal. Sei P_{d} ⫌ P_{d−1} ⫌ ...P_{1} ⫌ P_{0} irgend eine echte Kette von Primidealen in R_{n}, welche sich nicht weiter verfeinern läßt. Wähle 0 ≠ f ∈ P_{1}. Dann bilden die Quotienten \overline{P}_{i} (ab i = 1) eine nicht verfeinerbare echte Kette von Primidealen im Quotientenring \overline{R} = R/f und umgekehrt. Es folgt

dim(R_{n}) = dim(\overline{R}) + 1 .

\overline{R} ist andererseits eine endliche Ringerweiterung eines Polynomrings R_{n−1} ↪ \overline{R} (Noetherscher Normalisierungssatz). Somit folgt

dim(\overline{R}) = dim(R_{n−1}) ,

und durch Induktion nach n

Satz 27.1. dim(K[X_{1}, .., X_{n}]) = n .

Allgemeiner folgt daraus

Satz 27.2. Für noethersche^{9} Ringe R gilt dim(R[X_{1}, .., X_{n}]) = dim(R) + n.

Der Fall R = R_{m} ist klar. Den Fall einer endlich erzeugten K-Algebra R kann man durch Noether-Normalisierung und going up sofort auf den Fall R = R_{m} zurückgeführen.

\underline{Beweisskizze}: Den allgemeinen Fall reduziert man sofort auf die Situation R nullteilerfrei und n = 1. Dann folgt dim(R[X]) ≥ dim(R) + 1, weil (X) ein Primideal mit Restklassenring R ist und {0} ein Primideal mit Restklassenring R[X] ist.

Für die nichttriviale Ungleichung

dim(R[X]) ≤ dim(R) + 1

genügt es die Dimension einer Lokalisierung von R′ = R[X] nach einem beliebigen gewählten maximalen Ideal I′ von R′ zu betrachten. Sei I das Primideal I = I′ ∩R von R. Wir können daher zuerst R nach I lokalisieren wegen R \ I ⊂ R[X] \ I′. Ersetzt man R durch diese Lokalisierung, erlaubt es dies obdA R als lokal anzunehmen mit maximalem Ideal I = I′ ∩R und Restklassenkörper K. Wir betrachten nun wieder den Polynomring R′ = R[X] über dem lokalen Ring R (nicht seine Lokalisierung nach I′). Das abschließende Argument benutzt eine Technik des nächsten Kapitels, welche es erlaubt den noetherschen Ring R durch eine endliche erzeugte K-Algebra über einem Körper K zu ersetzen (und diesen Fall haben wir bereits bewiesen):

Der Ring Gr_{I}(R) = ⊕_{n}I^{n}/I^{n+1} ist eine endlich erzeugte K-Algebra. Er hat dieselbe Dimension wie R. (Siehe \underline{nächstes} Kapitel, Korollar 31.1). Analog gilt, daß R[X] dieselbe Dimension hat wie Gr_{I′}(R′) (nach Lemma 29.1 ist es egal ob man R′ zuerst nach I′ lokalisiert oder nicht; wir lokalisieren daher nicht).

9Für nicht noethersches R ist dies im allgemeinen falsch.

Das maximale Ideal I′ ist der Kern eines surjektiven Homomorphismus φ : R′ → L auf einen Körper L. Hierbei wird R auf den Teilkörper R/R ∩ I′ = R/I = K abgebildet. L ist algebraisch über K und von der Restklasse [X] von X erzeugt (Korollar 3.3).

\xymatrix{R[X] \ar[r] & K[X] \ar@{->>}[r]^{π} & L \\ R \ar[u] \ar[r] & K \ar[u] \ar@{^{(}->}[ur]}

Der Kern von π wird vom K-Minimalpolynom von [X] ∈ L erzeugt. Also ist der Kern I′ von φ gleich

I′ = (I, Y)

für ein Polynom Y = X^{n} + a_{1}X^{−1} + ... + a_{n} ∈ R[X], welches das Minimalpolynom liftet. Es folgt die Existenz eines surjektiven graduierten Homomorphismus

Gr_{I}(R)[Y] ↠ Gr_{I′}(R′) .

Wir erhalten dim(Gr_{I′}(R′)) ≤ dim(Gr_{I}(R)[Y]) = dim(Gr_{I}(R)) + 1. Also

dim(R[X]) = dim(Gr_{I′}(R′)) ≤ dim(Gr_{I}(R)) + 1 = dim(R) + 1 .

Q.e.d.

Graduierte Ringe

28 Filtrationen

Eine \underline{Filtration} auf einem R ist eine absteigende Kette von Idealen R = I_{0} ⊇ I_{1} ⊇ I_{2} ⊇ ... mit der Eigenschaft I_{i} · I_{j} ⊂ I_{i+j} für alle i, j ∈ ℕ. Wir \underline{fixieren} nun eine solche Filtration und erhalten ein filtrierten Ring R.

Sei M ein R-Modul. Eine absteigende Kette M = M_{0} ⊇ M_{1} ⊇ M_{2} ⊇ ... von R-Modul definiert einen \underline{filtrierten} Modul M, falls gilt I_{i} · M_{j} ⊂ M_{i+j}. Die filtrierten R-Moduln bilden eine Kategorie, deren Morphismen die R-linearen Abbildungen f : M → N sind mit der Eigenschaft f(M_{i}) ⊂ N_{i} für alle i.

\underline{I-adische Filtration}: Sei I ⊂ R ein Ideal. I_{n} = I^{n} definiert die I-adische Filtration R^{I−ad} auf R. Ditto definiert M_{n} = I^{n} · M die I-adische Filtration M^{I−ad} auf M.

\underline{Induzierte Filtrationen}: Ist ein M ein filtrierter R-Modul und

0 → N → M → Q → 0

eine kurze exakte Sequenz von R-Moduln. Dann definiert N_{n} = M_{n}∩N resp. Bild(M_{n}) \underline{induzierte} Filtrationen N = N^{ind} und Q = Q^{ind} auf N resp. Q. Ist die Filtration M auf M I-adisch, dann auch die Filtration Q auf Q; im allgemeinen ist aber N nicht I-adisch auf N, d.h. N^{ind} ≠ N^{I−ad}.

Man definiert nun einen graduierten Erweiterungsring R → R^{•}

R^{•} = R ⊕ I_{1} ⊕ I_{2} ⊕ ...

mit der graduierten Multiplikationsregel I_{i}·I_{j} ⊂ I_{i+j}. Äquivalente Definition: R^{•} = R⊕t·I_{1} ⊕t^{2} ·I_{2} ⊕⋯ als Untering des Polynomrings R[t]. Ein filtrierter R-Modul M definiert den R^{•}-Modul

M^{•} = M_{0} ⊕ M_{1} ⊕ M_{2} ⊕ ... .

Alternativ: M^{•} als Untermodul des R[t]-Moduls M[t] = ⊕_{i=0}^{∞}t^{i} · M_{i}.

\underline{Der noethersche Fall}: Ist R \underline{noethersch}, und die Filtration auf R \underline{I-adisch}, dann ist R^{•} wieder ein \underline{noetherscher} Ring (nämlich ein Quotient des Polynomrings R[X_{1}, .., X_{s}] unter der Abbildung X_{i} ↦ t·r_{i}, wobei r_{1}, .., r_{s} Erzeugende des R-Moduls I sind).

Lemma 28.1. Sei R noethersch und die Filtration R I-adisch. Sei M ein zugehöriger filtrierter, \underline{endlich erzeugter} R-Modul (nicht notwendig selbst Iadisch). Dann sind äquivalent 1) M_{n+1} = I · M_{n} für n ≥ n_{0}.

2) Der R^{•}-Modul M^{•} ist endlich erzeugt als R^{•}-Modul.

\underline{Beweis}: 1) ⟹ 2) ist klar, da dann M^{•} = R^{•} · M^{≤n_{0}} gilt für den endlich erzeugten R-Untermodul

M^{≤n_{0}} = ⊕_{i=0}^{n_{0}}t^{i} · M_{i} .

Umgekehrt folgt aus 2., daß in M^{•} jede aufsteigende Kette von R^{•}-Moduln ab einem n = n_{0} stationär wird. Angewandt auf die aufsteigende Kette ⊂ R^{•} · M^{≤n} ⊂ R^{•} · M^{≤n+1} ⊂ ... von R^{•}-Untermoduln von M^{•}

R^{•} · M^{≤n} = M^{≤n} ⊕ t^{n+1}(I · M_{n}) ⊕ t^{n+2}(I^{2}M_{n}) ⊕ ...

erhält man 1). Q.e.d.

Einen filtrierten R-Modul M mit den beiden äquivalenten Eigenschaften des letzten Lemmas nennt man \underline{stabil}. Da Untermoduln von noetherschen Moduln wieder noethersch sind, folgt aus dem letzten Lemma sofort die erste Aussage von

Lemma 28.2. (Artin-Rees) Seien die Voraussetzungen wie im letzten Lemma, M stabil filtriert und N ⊂ M ein R-Untermodul. Dann ist die auf N induzierte Filtration N stabil, d.h.

N ∩ M_{n+k} = I^{n} · (N ∩ M_{k}) , k ≥ k_{0}, ∀n .

\underline{Zusatz}: Für die I-adische Filtration M_{n} = I^{n} · M auf M folgt

I^{n+k} · N ⫅ N ∩ (I^{n+k} · M) ⫅ I^{n} · N

für alle n und ein geeignetes k.

\underline{Beweis}: (Zusatz) Trivial ist die linke Inklusion, denn I^{n+k} · N ⊂ I^{n+k} · M ist eine Teilmenge von N. Die rechte Inklusion folgt aus Artin-Rees N ∩M_{n+k_{0}} = I^{n} · (N ∩ M_{k_{0}}) ⊂ I^{n} · N für alle n ≥ 0. Q.e.d.

29 Graduierte Moduln

Sei R ein noetherscher Ring versehen mit der I-adischen Filtration. Im letzten Abschnitt haben wir einen Funktor konstruiert von der Kategorie der stabil filtrierten endlich erzeugten R-Moduln in die Kategorie der endlich erzeugten R^{•}-Moduln

M ↦ M^{•} .

Wegen R ⊂ R^{•} ist R^{•} ein R-Modul. Sei I · R^{•} das von I erzeugte R^{•}-Ideal. Dann ist

Gr_{I}(R) = R^{•}/I · R^{•}

als Quotientenring des noetherschen Rings R^{•} wieder noethersch. Beachte,

Gr_{I}(R) = (R/I) ⊕ (I/I^{2}) ⊕ (I^{2}/I^{3}) ⊕ ...

ist ein R/I-Modul.

Ist M^{•} als R^{•}-Modul endlich erzeugt, dann ist

M^{•}/I · R^{•}M^{•} = (M_{0}/IM_{0}) ⊕ (M_{1}/IM_{1}) ⊕ ⋯

ein endlich erzeugter Gr_{I}(R)-Modul. Ebenso der Gr_{I}(R)-Modul

Gr_{I}(M) = ⊕_{n} M_{n}/M_{n+1} ,

da M nach Annahme eine stabile Filtrationen ist, gilt M_{n}/M_{n+1} = M_{n}/I ·M_{n} für fast alle n. Somit stimmen beide Quotienten nach Artin-Rees für fast alle n überein (Lemma 28.1) und Gr_{I}(M) ist ein Quotient von M^{•}/I · R^{•}M^{•}.

Lemma 29.1. Für \underline{maximale} Ideale I ∈ Specm(R) sei R → S^{−1}R die Lokalisierung nach I. Dann gilt

Gr_{I}(R) ≅ Gr_{S^{−1}I}(S^{−1}R) .

\underline{Beweis}: (S^{−1}I)^{n} = S^{−1}I^{n} und S^{−1}I^{n} = I^{n} + S^{−1}I^{n+1} (Exaktheit der Lokalisierung). I^{n+1} ist I-koprimär, da I ein maximales Ideal ist. Es folgt (S^{−1}I^{n+1}) ∩ R = I^{n+1} nach §5. Somit (S^{−1}I)^{n}/(S^{−1}I)^{n+1} = I^{n}/(I^{n} ∩ S^{−1}I^{n+1}) = I^{n}/I^{n+1}.

30 Hilbert–Dimension

Sei R noethersch (nicht notwendig lokal) mit maximalem Ideal I. Dann ist K = R/I ein Körper. Somit ist Gr_{I}(R) eine \underline{K-Algebra}.

\underline{Gr_{I}(R) ist \underline{endlich erzeugt} über K}: Sind x_{1}, .., x_{r} Erzeugende des Ideals I, dann ist R^{•} ein Quotient von R[X_{1}, .., X_{r}]. Somit ist Gr_{I}(R) ein Quotient von K[X_{1}, .., X_{r}].

\underline{Weiterhin}: Wegen des noetherschen Normalisierungssatzes kann man die Erzeugenden x_{1}, .., x_{r} von I so wählen, daß die ersten s Variablen X_{1}, X_{2}, ..., X_{s} einen K-Polynomring in Gr_{I}(R) aufspannen, über dem Gr_{I}(R) eine \underline{endliche} injektive Ringerweiterung von graduierten Ringen ist

K[X_{1}, .., X_{s}] ↪ Gr_{I}(R) endlich .

Insbesondere hat man nach Going Up Dimensionsgleichheit.

Definition-Folgerung: Für R noethersch lokal mit I maximal und der I-adischen Filtration R ist \underline{s = s(R) die Dimension von Gr_{I}(R)}, und s(R) nennt man die \underline{Hilbert-Dimension} des lokalen noetherschen Rings R.

Da die K-Dimension des Raums P_{s}^{n} der Polynome in X_{1}, .., X_{s} vom Grad ≤ n gleich \binom{n+s}{s} ist [wegen P_{s}^{n}/X_{1} · P_{s}^{n−1} ≅ P_{s−1}^{n} sowie \binom{n+(s−1)}{(s−1)} + \binom{(n−1)+s}{s} = \binom{n+s}{s}], ist \binom{n+s−1}{s−1} die Dimension der Polynome vom genauen Grad n.

Korollar 30.1. Im Fall ≥ 1 gilt für alle n ∈ ℕ

\frac{1}{(s−1)!} · n^{s−1} ≤ dim_{K}(I^{n}/I^{n+1}) ≤ C · n^{s−1}

bezüglich einer geeigneten Konstante C.

\underline{Bemerkung}: Sei G = ⊕_{n=n_{0}}^{∞}G^{n} ein endlich erzeugter graduierter Modul über dem Polynomring K[X_{1}, .., X_{s}]. Nach Hilbert gibt es dann ein Polynom P_{G}(t) vom Grad ≤ s − 1, so daß gilt

dim_{K}(G^{n}) = P_{G}(n) , ∀ n ≥ n_{0} .

Dies beweist man durch Induktion nach s: Betrachte die Multiplikation X_{s} : G^{•} → G^{•+1}. Kern und Kokern sind endliche graduierte Moduln über K[X_{1}, .., X_{s−1}] und man erhält P_{G}(n + 1) − P_{G}(n) = P_{Koker}(n + 1) − P_{Ker}(n). Die rechte Seite p(n) ist nach Induktionsannahme polynomial vom Grad ≤ s − 2 (für n >> 0). Benutze nun, daß für jedes Polynom p(n) auch P (n) = ∑_{i=0}^{n−1} p(i) ein Polynom ist.

\underline{Daraus folgt}: Sei R ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal I und Restklassenkörper K = R/I. Sei M ein noetherscher R-Modul versehen mit einer stabilen Filtration M = (M_{n})_{n∈ℕ}. Dann sind die Subquotienten M_{i}/M_{i+1} endlich dimensionale K-Vektorräume. Setze l(M/M_{n}) = ∑_{i=0}^{n−1} dim_{K}(M_{i}/M_{i+1}). Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome Q_{M}(t), P_{M}(t) mit

l(M/M_{n}) = Q_{M}(n) , dim_{K}(M_{n}/M_{n}) = P_{M}(n)

für alle n ≥ n_{0}(M). Offensichtlich gilt Q_{M}(t + 1) − Q_{M}(t) = P_{M}(t). Aus 30.1 folgt daher

Folgerung: Die Hilbert-Dimension eines lokalen noetherschen Rings R ist gleich dem Grad des Polynoms Q_{R}(t)

s(R) = deg(Q_{R}(t)) .

Additivität

Ist N ⊂ M ein R-Untermodul von M und versieht man N und M/N mit den von M induzierten Filtrationen, so erhält man aus der Kern-Kokern Sequenz die folgenden exakten Sequenzen

\xymatrix{0 \ar[r] & N_{i}/N_{i+1} \ar[r] & M_{i}/M_{i+1} \ar[r] & (M/N)_{i}/(M/N)_{i+1} \ar[r] & 0}

Daraus folgt P_{N}(t)+P_{M/N}(t) = P_{M}(t) und durch Aufaddieren dieser Beträge zu den Längen folgt die \underline{Längenadditivität} l(N/M_{n} ∩ N) + l(M/(N + M_{n})) = l(M/M_{n}). Also

Q_{N}(t) + Q_{M/N}(t) = Q_{M}(t) .

Lemma 30.2. Die Länge l(M/M_{n}) hängt nur von M_{n} ⊂ M und nicht von der Filtration ab. Aus M_{n} ⊂ M′_{n} folgt l(M/M_{n}) ≥ l(M/M′_{n}).

\underline{Beweis}: Sei M fixiert und M′_{r} ⊂ ... ⊂ M′_{1} ⊂ M′_{0} = M eine zweite Filtration. Die Filtration M induziert Filtration auf den Untermoduln M′_{i} und den Subquotienten. Wir nehmen an M_{n} ⊂ M′_{r}. Bezüglich dieser induzierten Filtrationen folgt aus der Additivität der Längen

l_{M}(M/M_{n}) = ∑_{i=0}^{r−1} l_{M}(M′_{i}/M′_{i+1}) + l_{M}(M′_{r}/M_{n}) .

Der Index l_{M} soll daran erinnern, daß es sich um von M induzierte Längen handelt. Der letzte Term l_{M}(M′_{r}/M_{n}) ist ≥ 0. Es genügt daher für den Beweis zu zeigen l_{M}(M′_{i}/M′_{i+1}) = dim_{K}(M′_{i}/M′_{i+1}). Somit ist die Aussage des Lemmas auf den Fall von R-Moduln reduziert, auf denen I trivial operiert. R-Untermoduln sind dann aber nichts anderes als K-Untervektorräume. Die von M induzierte Filtration ist ein Filtration durch K-Untervektorräume und die Ausage folgt aus der Dimensionsformel für Kern und Bild.

31 Dimensionsvergleich

Sei R ein lokaler noetherscher Ringe mit maximalem Ideal I und I-adischer Filtration R. Wir vergleichen die Hilbert-Dimension mit der Krull-Dimension und zeigen Gleichheit.

Korollar 31.1. Für noethersche lokale Ringe mit maximalem Ideal I gilt

dim(R) = dim(Gr_{I}(R)) = s(R) .

\underline{Beweis}: Induktion nach s = dim(Gr_{I}(R)). Sei dim(Gr_{I}(R)) = 0 (Induktionsanfang). Also I^{n}/I^{n+1} = 0 für fast alle n, d.h I·I^{n} = I^{n}. Daher I^{n} = 0 für n >> 0 (Nakayama Lemma). Also I = Nil(R). Daher ist R_{red} = R/I = K ein Körper. Es folgt dim(R) = dim(R_{red}) = dim(K) = 0. Die Umkehrung gilt auch.

Also können wir daher annehmen dim(R) ≥ 1. Zum Beweis von dim(R) = dim(Gr_{I}(R)) können wir R durch R_{red} ersetzen. Dies ändert weder die Dimension noch die Hilbert-Dimension, da G_{I_{red}}(R_{red}) ein Quotient von G_{I}(R) mit nilpotentem Kern ist. Dadurch ist nun R obdA \underline{reduziert} und I ≠ 0.

Wähle P ∈ GenSupp(R) mit dim(R) = dim(R/P) und ein P′ ⫌ P mit dim(R) − 1 = dim(R/P′). Das Ideal P′ enthält nach Folgerung 19.5 einen \underline{Nichtnullerteiler} x des Rings R. Setze \overline{R} = R/x·R. Die induzierte Filtration \overline{R} ist die \overline{I}-adische für das maximale Ideal \overline{I} = Bild(I) von \overline{R}.

Wegen (x) ⊂ P′ gilt dim(\overline{R}) ≥ dim(R/P′) = dim(R/P) − 1 = dim(R) − 1. Wegen Lemma 25.1 gilt dim(R) − 1 ≥ dim(\overline{R}), da x kein Nullteiler in R ist. Also

dim(\overline{R}) = dim(R) − 1 .

Aus dem nächsten Lemma 31.2 folgt dim(G\overline{I}(\overline{R})) = dim(G_{I}(R))−1. Wegen der Induktionsannahme gilt daher dim(R) = dim(Gr_{I}(R)). Q.e.d.

Lemma 31.2. Sei R lokaler noetherscher Ring und x ∈ I, I maximal. Dann gilt für die Hilbert-Dimensionen s resp. \overline{s} von R resp. \overline{R} = R/xR die Ungleichung s − 1 ≤ \overline{s}. Ist x ∈ I \underline{kein Nullteiler} in R gilt \overline{s} = s − 1.

\underline{Beweis} 1. 0 → (xR ∩ I^{n})/(xR ∩ I^{n+1}) → (I^{n}/I^{n+1}) → (\overline{I}^{n}/\overline{I}^{n+1}) → 0 ist exakt (Kern-Kokern Sequenz). Somit \overline{s} ≤ s und durch Aufaddieren für n >> 0

Q_{R}(n) − Q\overline{R}(n) = Q_{xR}^{ind}(n) .

2. Aus I^{n}/I^{n+1} ↠ xI^{n}/xI^{n+1} folgt durch Aufaddieren

Q_{xR}^{I−ad}(n) ≤ Q_{R}(n)

für n >> 0. Ist x \underline{kein Nullteiler} in R, gilt sogar Q_{xR}^{I−ad}(n) = Q_{R}(n) wegen I^{n}/I^{n+1} ≅ xI^{n}/xI^{n+1}.

3. Wegen x ∈ I ist xI^{n} ⊂ xR ∩ I^{n+1} ⊂ R. Somit folgt für alle n >> 0 genügend groß Q_{xR}^{ind}(n + 1) ≤ Q_{xR}^{I−ad}(n) (Lemma 30.2). Daraus folgen zusammen mit 2. und 3. folgende Ungleichungen Q_{R}(n + 1) − Q\overline{R}(n + 1) = Q_{xR}^{ind}(n + 1) ≤ Q_{xR}^{I−ad}(n) ≤ Q_{R}(n). Die äußere Ungleichung liefert

Q_{R}(n + 1) − Q_{R}(n) ≤ Q\overline{R}(n + 1) .

Also deg(Q\overline{R}) ≥ deg(Q_{R}) − 1, da der führende Koeffizient von Q_{R}(n) positiv ist. Das heißt: \overline{s} ≥ s − 1.

4. Nach Artin-Rees gilt xR∩I^{n+k} ⊂ xI^{n} ⊂ xR. Also Q_{xR}^{ind}(n+k) ≥ Q_{xR}^{I−ad}(n) für n >> 0 (Lemma 30.2). Ist x \underline{kein Nullteiler}, folgt nach 1. und 2. daraus Q_{R}(n+k)−Q\overline{R}(n+k) ≥ Q_{R}(n) oder Q\overline{R}(n+k) ≤ Q_{R}(n+k)−Q_{R}(n). Somit \overline{s} ≤ s − 1, da der führende Koeffizient von Q\overline{R}(n) positiv ist. Zusammen mit der Ungleichung aus 3. folgt \overline{s} = s − 1. Q.e.d.

Korollar 31.3. Sei R lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal I. Für x ∈ I gilt dann

dim(R) ≤ dim(R/xR) + 1

mit Gleichheit, wenn x kein Nullteiler von R ist.

32 Reguläre lokale Ringe

Sei R \underline{noethersch}, \underline{lokal} mit Restklassenkörper K = R/I. Jedes minimale Erzeugendensystem x_{1}, .., x_{r} des Ideals I muß I/I^{2} als K-Vektorraum erzeugen. Elemente x_{1}, .., x_{r} ∈ I mit I = Rx_{1} + ⋯ + Rx_{r} mod I^{2} tun dies andererseits (Nakayama Lemma). Es folgt r = dim_{K}(I/I^{2}). Nach §30 galt für die Hilbert-Dimension s(R) immer s(R) ≤ r . Wegen s(R) = dim(R) folgt daraus

dim(R) ≤ dim_{K}(I/I^{2}) .

Wird für einen noetherschen lokalen Ring R die Gleichheit

dim(R) = dim_{K}(I/I^{2})

angenommen, heißt R \underline{regulär}.

Wir bemerken an dieser Stelle, daß der Quotient I/I^{2} eine geometrische Bedeutung besitzt. Man nennt den K-Vektorraum I/I^{2} den \underline{Kotangentialraum} des lokalen Rings (R, I).

Für reguläre lokale Ringe ist die in §30 konstruierte Injektion

K[X_{1}, .., X_{s}] ↪ Gr_{I}(R)

wegen s = dim(R) (Korollar 31.1) eine Bijektion. Nämlich I/I^{2} = K · X_{1} + ⋯ + K · X_{s}. I^{n}/I^{n+1} wird dann von den Monomen vom Grad n in X_{1}, .., X_{s} erzeugt.

Korollar 32.1. Für einen regulären lokalen Ring R der Dimension s mit Restklassenkörper K = R/I gilt

Gr_{I}(R) = K[X_{1}, .., X_{s}] .

\underline{Bemerkung}: Sei R lokal noethersch mit maximalem Ideal und sei Gr_{I}(R) nullteilerfrei und ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper. Dann ist auch R nullteilerfrei und ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper. Beachte, ν(x) = min_{ν}(x ∉ I^{ν+1}) ist eine diskrete Bewertung^{10} auf R. Somit ist R nullteilerfrei. Sei r/s ganz über R. Dann folgt durch Betrachtung der graduierten Ganzheitsgleichung r ∈ a · s + I^{ν(r)+1} für ein a ∈ R. Auch r′/s′ = r/s − a = (r − as)/s ist ganz über R. Iteriert man das Argument, folgt r ∈ (s) + I^{n} für alle n ∈ ℕ. Aber ⋂_{n=0}^{∞}((s) + I^{n}) = (s). [Nakayama Lemma für den lokalen Ring R/(s)]. Es folgt r ∈ (s) bzw. r/s ∈ R.

10Siehe §35

Korollar 32.2. Reguläre lokale Ringe R sind \underline{normal}, d.h. nullteilerfrei und ganz abgeschlossen in ihrem Quotientenkörper.

\underline{Beweis}: K[X_{1}, .., X_{s}] ist nullteilerfrei und ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper.

Korollar 32.3. Ist R regulär lokal und x ∈ I \I^{2}, dann ist auch R/x regulär lokal und von der Dimension dim(R/x) = dim(R) − 1.

Normale Ringe

33 Krull’s Hauptidealsatz

Satz 33.1. Sei R noethersch und a ∈ R. Für jedes P ∈ GenSupp(R/(a)) gilt h(P) ≤ 1. Ist R nullteilerfrei und a ≠ 0, gilt h(P) = 1.

\underline{Beweis}: ObdA R \underline{lokal} mit maximalem Ideal P; ersetze dazu R durch die Lokalisierung nach P. Noethersch bleibt nach §16 erhalten! (Ist R nullteilerfrei, dann auch die Lokalisierung; a ≠ 0 ⟹ a/1 ≠ 0 in diesem Fall). Aus Korollar 31.3 folgt dim(R) − dim(R/a) ≤ 1. Wegen h(P) ≤ dim(R) − dim(R/a) folgt also h(P) ≤ 1. (Ist R nullteilerfrei und a ≠ 0, gilt h(P) = 1 wegen P ≠ {0}).

\underline{Bemerkung}: Analog h(P) ≤ r für P ∈ GenSupp(R/(a_{1}, .., a_{r})) und beliebige Elemente a_{1}, .., a_{r} ∈ R.

34 Faktorielle Ringe

Ein kommutativer Ring mit 1 heißt \underline{faktoriell}, wenn R \underline{nullteilerfrei} ist, und wenn jedes Element 0 ≠ a aus R eine \underline{eindeutige} Zerlegung der Form

a = ε · π_{1}^{e_{1}} ⋯ π_{r}^{e_{r}} , ε ∈ R^{∗}

mit Primelementen π_{1}, ..., π_{r} ∈ R besitzt. Ein Element 0 ≠ π ∈ R, π ∉ R^{∗} heißt \underline{prim} oder Primelement, wenn für jede Zerlegung π = a · b entweder a oder b eine Einheit ist.

\underline{Existenz}: Ist R \underline{noethersch}, dann besitzt jedes Element ein Primfaktorzerlegung. Dies folgt unmittelbar aus dem Abbrechen aufsteigender Idealketten. Siehe LA-II-Skript. Im allgemeinen ist diese Primfaktorzerlegung aber nicht eindeutig!

\underline{Beispiel}: R = ℤ[\sqrt{−5}] = ℤ[X]/(X^{2} + 5) ist nicht faktoriell wegen

2 · 3 = (1 + \sqrt{−5}) · (1 − \sqrt{−5})

für Primelemente 2, 3, 1 ± \sqrt{−5} von R, deren Hauptideale – wie man durch Normbildung leicht sieht – paarweise verschieden sind. Die aufgespannten Hauptideale (2), (3), (1 ± \sqrt{−5}) sind jedoch \underline{keine} Primideale. Die darüber Primideale sind

(2, 1 ± \sqrt{−5}) sowie (3, 1 + \sqrt{−5}) und (3, 1 − \sqrt{−5}) .

\underline{Eindeutigkeit}: Sei R faktoriell. Sei π ∈ R prim. Aus π|a·b folgt durch Primfaktorzerlegung von a und b sofort π|a oder π|b. Somit ist das Hauptideal (π) des Primelements π ein Primideal.

Sei umgekehrt R ein (noetherscher) Ring, in dem für jedes prime Element π ∈ R das zugehörige Hauptideal (π) ein Primideal ist. Dann folgt die Eindeutigkeit von Primfaktorzerlegungen in R. Man zeigt dies durch Induktion nach der Länge einer Primfaktor-Zerlegung wie im Fall euklidscher Ringe (LA-II Skript).

Lemma 34.1. Sei R ein \underline{nullteilerfreier}, \underline{noetherscher} Ring. Dann sind äquivalent Bezeichnung (HI = Hauptideal)

Der Ring R ist faktoriell.

[figure]

klar

[figure]

Primideale P mit h(P) = 1 sind HIe.

Krulls HI-Satz [figure: 2]

[figure]

(π) prim, ; falls π prim Def. Höhe

[figure: 1]

[figure] [figure] [figure]

[figure]

Def. Primelement [figure: 3]

Jedes HI ≠ R liegt in einem primen HI

\underline{Beweis}: 1) \underline{Def.Höhe}: Sei R faktoriell, d.h. (π) sei prim für jedes Primelement π ∈ R. Sei P ein Primideal der Höhe 1 in R. Wähle 0 ≠ a ∈ P mit Primfaktorzerlegung a = ε · ∏_{i} π_{i} ∈ P. Da P Primideal ist folgt π ∈ P für mindestens einen Primfaktor π = π_{i} von a. Also {0} ⊂ (a) ⊂ (π) ⊂ P. Da {0} und (π) Primideale sind, folgt dann P = (π) wegen h(P) = 1. Somit ist P ein Hauptideal.

2) \underline{Krulls HI-Satz}: Sei (a) ≠ R ein Hauptideal. ObdA a ≠ 0, a ∉ R^{∗}. Die minimalen Primideale P über (a) haben dann Höhe h(P) = 1 nach Krulls Hauptidealsatz 33.1. Somit sind sie nach Annahme Hauptideale.

3) \underline{Def. Primelement}: Sei π ein Primelement. Nach Annahme existiert ein primes Hauptideal (a) mit (π) ⊂ (a). Also π = r · a. Da π Primelement ist, folgt r ∈ R^{∗} wegen a ∉ R^{∗} (sonst wäre (a) = R kein Primideal!). Es folgt (π) = (a). Also ist (π) ein Primideal. Q.e.d.

Wir erinnern abschließend an den \underline{Satz von Gauß} (siehe Algebra I)

Satz 34.2. Ist R faktoriell, dann auch der Polynomring R[X].

Als Konsequenz

Korollar 34.3. Polynomringe über ℤ oder einem Körper K sind faktoriell.

35 Diskrete Bewertungen

Sei R noethersch lokal mit maximalem Ideal I. Für einen lokalen Ring R mit maximalem Ideal I gilt R \ I = R^{∗} (§11). Weiterhin gilt ⋂_{n=0}^{∞} I^{n} = 0 (Nakayama’s Lemma). Für 0 ≠ x ∈ I sei n = v(x) das minimale n ∈ ℕ mit x ∉ I^{n+1}. Für x ∈ R \ I = R^{∗} setzen wir v(x) = 0. Dann gilt x = ε · a^{v(x)}. Setze noch formal v(0) := ∞.

Ist a kein Nullteiler in R, ist der so definierte Exponent v(x) \underline{eindeutig} durch x bestimmt. Insbesondere ist dann R = ⋃_{ν=0}^{∞} R^{∗} · a^{ν} nullteilerfrei.

Lemma 35.1. Sei R noethersch lokal und das maximale Ideal sei ein Hauptideal I = (a). Dann hat jedes Ideal J die Gestalt J = (a^{n}). R ist ein Hauptidealring der Dimension ≤ 1.

\underline{Beweis}: 0 ≠ x ∈ R schreibt sich in der Form x = a^{v(x)} · ε mit ε ∈ R^{∗} = R \ I. Es folgt J = (x_{1}, .., x_{r}) = (a^{n}) für n = min(v(x_{1}), .., v(x_{r})). Q.e.d.

Bewertungsringe: Erfüllt R die Annahmen von Lemma 35.1 und ist a kein \underline{Nullteiler} in R, dann ist R ein \underline{regulärer} lokaler Ring von der Dimension dim(R) = 1. Die Umkehrung gilt offensichtlich auch. Ein solcher Ring ist insbesondere nullteilerfrei. Erfüllt R die Annahmen von Lemma 35.1 und ist nullteilerfrei, dann nennt man R einen \underline{diskreten} \underline{Bewertungsring}. Die Zuordnung x ↦ v(x) definiert eine \underline{diskrete} \underline{Bewertung}, also eine Funktion

v : R → ℤ ∪ {∞}

mit den Eigenschaften

1) v(x · y) = v(x) + v(y)
2) v(x + y) ≥ min(v(x), v(y))
3) v(x) = ∞ ⟺ x = 0.

Eine \underline{Bewertung} v eines nullteilerfreien Rings R kann mittels v(x/y) = v(x)− v(y) auf den Quotientenkörper K = Quot(R) fortgesetzt werden. Für einen diskreten Bewertungsring (im obigen Sinn) gilt dann sogar K^{∗} = a^{ℤ} · R^{∗} (oder dim(R) = 0 und R ist bereits ein Körper). Die Eigenschaften 1) und 2) bleiben erhalten, und es gilt: Für x ∈ K sind äquivalent x ∈ R und v(x) ≥ 0.

\underline{Bemerkung}: Ein diskreter Bewertungsring R ist \underline{normal}, d.h. nullteilerfrei und ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper. Nullteilerfreiheit folgt aus 1) und 3). Aus x^{n} + r_{1} · x^{n−1} + ⋯ + r_{n} = 0 und r_{i} ∈ R folgt andererseits n · v(x) ≥ min((n − 1)v(x), .., v(x), 0), also v(x) ≥ 0 bzw. x ∈ R. [Unter der zusätzlichen Annahme dim(R) = 1 ist R dann ein regulärer lokaler Ring der Dimension 1. Dies folgt aus dem nächsten Lemma 35.2 wegen (iii) ⟹ (ii).

Das duale Ideal I^{∗}

Sei R ein nullteilerfreier Ring und I ein Ideal in R. Die Menge I^{∗} aller x in Quot(R) mit x · I ⊂ R ist ein R-Modul. Per Definition gilt I^{∗}I ⊂ R und R ⊂ I^{∗}.

Lemma 35.2. Sei R ein lokaler noetherscher \underline{normaler} Ring mit maximalem Ideal I. Dann sind äquivalent

(i) I^{∗} ≠ R.

(ii) I ist Hauptideal und somit R ein diskreter Bewertungsring.

(iii) dim(R) ≤ 1.

(iv) I ∈ Ass(R/(a)) für ein a ∈ R.

\underline{Beweis}: Angenommen es gilt (i). Aus I^{∗}I ⊂ R und R ⊂ I^{∗} folgt I ⊂ I^{∗}I ⊂ R. Da I ein maximales Ideal ist, folgt

I^{∗}I = R .

[I^{∗}I = I ist ausgeschlossen. I^{∗} wäre ganz über R (I ist ein endlich erzeugter R-Modul), also wäre I^{∗} = R entgegen der Annahme (i).]

Wähle a ∈ I (obdA a ∉ I^{2} wegen des Nakayama Lemmas, denn der Körperfall I = 0 ist trivial). Dann ist I^{∗}a ⊂ I^{∗}I = R. Somit gilt entweder I^{∗}a ⊂ I (also (a) = II^{∗}a ⊂ I^{2} im Widerspruch zu a ∉ I^{2}) oder daher I^{∗}a = R. Letzteres impliziert (a) = (II^{∗})a = I(I^{∗}a) = I, also I = (a). Die Implikationen (i)⟹(ii)⟹(iii) folgen daher aus Lemma 35.1.

(iii) ⟹ (iv): Wegen dim(R) ≤ 1 und der Nullteilerfreiheit von R sind {0} und I die einzigen Primideale von R. ObdA können wir annehmen I ≠ {0}, da der Körperfall trivial ist. Für 0 ≠ a ∈ I ist dann Ass(R/a) ⊂ Supp(R/a) = {I}.

(iv)⟹(i): Sei I ∈ Ass(R/a). Dann existiert R/I ≅< m > zyklisch in R/a mit I = Ann(m) = {r ∈ R | r · x ∈ (a)} für ein Urbild x ∈ R von m ∈ R/a. Also ξ · I ⊂ R für ξ = x/a, bzw ξ ∈ I^{∗}. Genauer

ξ = x/a ∈ I^{∗} \ R

wegen x ∉ (a) ⟺ m ≠ 0 ∈ R/(a). Also I^{∗} ≠ R. Q.e.d.

36 Primärzerlegung von Hauptidealen

Sei R ein noetherscher normaler Ring mit Quotientenkörper K = Quot(R).

\underline{Lokalisierungen}: Für jedes Primideal P ∈ X ist die Lokalisierung R_{P} dann wieder noethersch und normal in K: Dafür müßen wir zeigen, daß R_{P} wieder ganz abgeschlossen in K ist. Sei (ξ)^{n} + (r_{1}/s_{1})(ξ)^{n−1} + ⋯ + (r_{n}/s_{n}) = 0 eine Ganzheitsgleichung von ξ ∈ K über S^{−1}R = R_{P}, dann genügt ξ ·∏_{i=1}^{n} s_{i} ∈ K einer Ganzheitsgleichung über R und liegt somit in R. Also ξ ∈ R_{P}. Wir behaupten

Lemma 36.1. Sei R noethersch. Ist R normal dann gilt^{11} für alle a ∈ R

Ass(R/a) = GenSupp(R/a)

11Umgekehrt folgt die Normalität von R aus diesen Eigenschaften, indem man damit direkt Lemma 38.3 zeigt. Ein Durchschnitt von Bewertungsringen ist nämlich normal.

und jedes P in GenSupp(R/a) ist ein Primideal in R (der Höhe 1), dessen lokaler Ring R_{P} ein diskreter Bewertungsring ist.

\underline{Beweis}: ObdA a ≠ 0. Für \overline{P} ∈ Ass(R/a) sei P das Urbild in R mit a ∈ P und R_{P} = S^{−1}R die Lokalisierung von R nach P mit dem maximalem Ideal I = S^{−1}P. Dann ist I ∈ Ass(R_{P} /a). [Für m ∈ R/a mit Ann_{R}(m) = P gilt s · m ≠ 0 für alle s ∈ S = R \ P. Also m/1 ≠ 0 in R_{P} /a. Somit Ann_{R_{P}} (m/1) ≠ R_{P}. Anderseits gilt P · m = 0, also I · m/1 = 0 und daher Ann_{R_{P}} (m/1) = I]. Somit ist jetzt obdA R lokal, noethersch, normal mit maximalem Ideal und I ∈ Ass(R/a). Daraus folgt dim(R_{P}) = 1 wegen der Implikation (iv)⟹(iii) von Lemma 35.2. Wegen dim(R_{P}) = 1 ist dann aber P ein minimales Primideal über (a) (nach dem Krullschen Hauptidealsatz). Es folgt Ass(R/a) ⊂ GenSupp(R/a). Die andere Inklusion gilt nach Lemma 20.1. Q.e.d.

Folgerung 36.2. Sei R noethersch und normal. Dann besitzt jedes Hauptideal (a) ≠ R eine eindeutige Primärzerlegung als endlicher Durchschnitt von symbolischen Potenzen P^{(n)} von Primidealen P der Höhe 1

(a) = ⋂_{P_{i}∈X^{1}} P_{i}^{(n_{i})} , n_{i} = v_{P_{i}}(a) .

\underline{Beweis}: Die Primärzerlegung (a) = ⋂_{i} Q_{i} in primäre Ideale Q_{i} ist eindeutig wegen Lemma 36.1 und Satz 24.2. Die Ideale Q_{i} sind primär zu Primidealen P_{i} der Höhe 1 nach Lemma 36.1. Nach Abschnitt §5 entsprechen die P_{i}- primären Ideale genau den S^{−1}P_{i}-primären Idealen der Lokalisierung R_{P_{i}} = S^{−1}R. Da dieser lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist, sind die von Null verschiedenen Ideale dieses lokalen Rings die Potenzen des maximalen Ideals. Daraus folgt, daß Q_{i} = P_{i}^{(n)} eine symbolische Potenz des Primideals P_{i} ist. Siehe §24.

Korollar 36.3. Endliche Durchschnitte von Hauptidealen schreiben sich in der Form

⋂_{a∈J}(a) = ⋂_{P_{i}∈X^{1}} P_{i}^{(n_{i})} , n_{i} = max_{a∈J}(v_{P_{i}}(a)) .

Im nächsten Abschnitt geben wir einen von der Primärzerlegung unabhängigen Zugang zu den obigen Resultaten.

37 Reflexive Ideale

In diesem Paragraphen sei R ein \underline{nullteilerfreier} \underline{noetherscher} Ring und K der Quotientenkörper von R. Ein endlich erzeugter R-Untermodul I ≠ 0 von K heißt \underline{gebrochenes Ideal} von R. Es gibt dann ein r ∈ R mit r · I ⊂ R. Also sind die gebrochenen Ideale die R-Moduln der Gestalt ξ · I für ξ ∈ K^{∗} und Ideale I in R. Zwei gebrochene Ideale I_{1}, I_{2} heißen \underline{äquivalent}, wenn ξ · I_{1} = I_{2} gilt für ein ξ ∈ K^{∗}. Jedes gebrochene Ideal ist dann äquivalent zu einem Ideal in R. Jedes Ideal in R ist äquivalent zu einem gebrochenen Ideal das 1 und damit R enthält. Ein gebrochenes Ideal der Gestalt (ξ) = ξ · R heißt (gebrochenes) Hauptideal. Für ein gebrochenes Ideal sei

I^{∗} = {x ∈ K | x · I ⊂ R} .

Offensichtlich gilt R^{∗} = R und (ξ · I)^{∗} = ξ^{−1} · I^{∗}. Aus I_{1} ⊂ I_{2} folgt I_{2}^{∗} ⊂ I_{1}^{∗}. Aus I ⊃ R folgt I^{∗} ⊂ R, also ist I^{∗} wieder ein gebrochenes Ideal. Daraus folgt aber durch Übergang zur Äquivalenzklasse, daß I^{∗} für beliebige gebrochene Ideale I wieder ein gebrochenes Ideal ist.

Allgemein gilt I ⊂ I^{∗∗} = (I^{∗})^{∗}. Gilt dann I = (I^{∗})^{∗}, nennt man das \underline{gebrochene} Ideal I \underline{reflexiv}. Beispiel: Von Null verschiedene Hauptideale sind reflexiv. Allgemein gilt ξ ∈ (I^{∗})^{∗} ⟺ ξ · y ∈ R für alle y ∈ K \ 0 mit y · I ⊂ R. Dazu äquivalent ist ξ ∈ (y^{−1}) falls I ⊂ (y^{−1}). Also

I^{∗∗} = ⋂_{x∈K,I⊂(x)}(x) .

\underline{Durchschnitte}: Diese Formel für I^{∗∗} impliziert für reflexive Ideale I_{j} sofort (⋂_{j} I_{j})^{∗∗} ⊂ ⋂_{j}(⋂_{x∈K,I_{j}⊂(x)}(x)) = ⋂_{j} I_{j}^{∗∗} = ⋂_{j} I_{j} und somit wegen der umgekehrten trivialen Inklusion beim Doppeldual

(⋂_{j} I_{j})^{∗∗} = ⋂_{j} I_{j} .

Es folgt

Lemma 37.1. Ein gebrochenes Ideal I eines nullteilerfreien noetherschen Rings ist genau dann reflexiv, wenn I ein endlicher^{12} Durchschnitt von (gebrochenen) Hauptidealen ist.

\underline{Bemerkung}: Für jedes gebrochene Ideal I ist I^{∗} reflexiv: Einerseits gilt I^{∗} ⊃ (I^{∗∗})^{∗} wegen I ⊂ I^{∗∗}. Andererseits gilt I^{∗} ⊂ (I^{∗})^{∗∗}. Es folgt I^{∗} = I^{∗∗∗}.

\underline{Übungsaufgabe}: Es gilt I^{∗} = Hom_{R}(I, R). Benutze, jedes φ ∈ Hom_{R}(I, R) ist von der Gestalt φ(a) = x · a für ein x ∈ K.

12I ↦ I^{∗} transferiert absteigende Ketten reflexiver Ideale in aufsteigende Ketten.

∗ Appendix

Wir zeigen für \underline{nullteilerfreie} \underline{noethersche} Ringe R die folgende \underline{Verschärfung}^{13} des Krullschen Hauptidealsatzes:

Sei I′ ⊂ R reflexiv. Da R noethersch ist gibt es unter den reflexiven Idealen I mit der Eigenschaft 1 ∉ I und I′ ⊂ I ⊂ R ein maximales. Ist I maximal in diesem Sinn, dann ist I ein Primideal. Genauer

Satz 37.2. Maximale reflexive Oberideale I ⫋ R eines gegebenen reflexiven Ideals in R sind Primideale. Sie haben Höhe 1 und sind von der Gestalt I = (x) ∩ (1) für ein x ∈ K^{∗}.

\underline{Beweis}: I = ⋂_{x∈J}(x) (Reflexivität). ObdA 1 ∈ J und dann obdA (x)∩(1) ≠ (1) für x ∈ J. Dadurch gilt entweder J ⊂ R, und wegen der Maximalität von I somit #J = 1 und I = (x) = (x) ∩ (1). Oder wegen der Maximalität von I gilt I = (x) ∩ (1) für ein einziges x ∈ J \ R. Damit ist bereits die letzte Aussage gezeigt.

Aus I ⫋ R folgt I ⊂ P ⫋ R für ein P ∈ Spec(R). Sei a · b ∈ I für a, b ∈ R.

\underline{Der Fall (a^{−1}x) ∩ (1) ⫅ P}: Hier gilt I = (x) ∩ (1) ⊂ (a^{−1}x) ∩ (1) ⊂ P ⊂ R. Wegen der Maximalität von I ist daher I = (a^{−1}x) ∩ (1). Andererseits gilt b ∈ (a^{−1}x) ∩ (a^{−1}) und b ∈ (1). Also b ∈ (a^{−1}x) ∩ (1) = I.

\underline{Der Fall (a^{−1}x) ∩ (1) ⫅̸ P}: Dann existiert ein c ∈ R mit c ∉ P und c ∈ (a^{−1}x) ∩ (1). Somit a · c ∈ (x) ∩ (c) ⊂ (x) ∩ (1). Also a ∈ (c^{−1}x) ∩ (c^{−1}) sowie a ∈ (1). Es folgt

a ∈ (c^{−1}x) ∩ (1) .

Aber c·[(c^{−1}x)∩(1)] ⊂ (x)∩(c) ⊂ (x)∩(1) ⊂ P. Da P ein Primideal ist und da c ∉ P, folgt daraus (c^{−1}x) ∩ (1) ⊂ P ⫋ R. Aus der Maximalität von I und der Reflexivität von (c^{−1}x) ∩ (1) folgt (c^{−1}x) ∩ (1) = I und damit a ∈ I.

Somit gilt entweder a ∈ I oder b ∈ I. Also ist I ein Primideal in R.

Da I reflexiv ist, gilt h(I) ≤ 1. [Benutze Lokalisierung nach I! Reflexivität bleibt erhalten – also I^{∗} ≠ R – und I wird maximal. Aus Lemma 35.2 folgt dann h(I) = dim(R_{I}) ≤ 1]. Q.e.d.

13Der Beweis ist unabhängig vom Beweis in 33

38 Die Klassengruppe

In diesem Paragraph sei R \underline{noethersch} und \underline{normal}. Sei X = Spec(R) und

X^{1} ⊂ X

die Menge der Primideale P von R der Höhe h(P) = 1. Wie bereits in §36 gezeigt gilt

Lemma 38.1. Ist R noethersch und normal, dann ist auch jede Lokalisierung R_{P} nach einem Primideal P von R noethersch und normal.

Sei P ≠ 0 \underline{minimal}, also P ∈ X^{1}. Dann gilt dim(R_{P}) = 1 für den lokalen und noetherschen normalen Ring R_{P}. Wir erhalten nach Lemma 35.2

Lemma 38.2. Sei R \underline{noethersch}, \underline{normal} mit K = Quot(R) und P ∈ X^{1} ein Primideal mit h(P) = 1. Dann ist die Lokalisierung R_{P} ein diskreter Bewertungsring. D.h. es existiert eine diskrete Bewertung v = v_{P} von K mit R_{P} = {x ∈ K | v(x) ≥ 0} und maximalem Ideal {x ∈ K | v(x) > 0}.

Sei

Div(R) = ⨁_{P ∈X^{1}} ℤ · P .

Jedem Element x ∈ K^{∗} ist ein \underline{Divisor} in Div(R) zugeordnet durch

Div(x) = ∑_{P ∈X^{1}} v_{P} (x) · P .

Fast alle v_{P} (x) sind Null; dazu kann obdA x ∈ R angenommen werden. Dann liegen nur endliche Primideale der Höhe 1 über dem Hauptideal (x) (die generischen Punkte von R/(x) wegen des Krullschen Hauptidealsatzes).

\underline{Notation}: Wir schreiben D_{1} = ∑_{P ∈X^{1}} n_{P} · P ≥ D_{2} = ∑_{P ∈X^{1}} m_{P} · P für Divisoren D_{1}, D_{2}, wenn n_{P} ≥ m_{P} für alle P ∈ X^{1} gilt.

Lemma 38.3. Unter den Vorausetzungen von 38.2 gilt R = ⋂_{P ∈X^{1}} R_{P}, d.h. für x ∈ K^{∗} sind äquivalent

x ∈ R ⟺ Div(x) ≥ 0 .

\underline{Beweis}: Die Inklusion ⊂ ist trivial. Sei umgekehrt x = \frac{r}{s} ∈ K^{∗} gegeben mit v(x) ≥ 0 für alle P ∈ X^{1}. Das heißt max(v_{P} (r), v_{P} (s)) = v_{P} (r) für alle P ∈ X^{1}. Aus 36.3 und Div(x) ≥ 0 ⟺ Div(r) ≥ Div(s) folgt (s)∩(r) = (r), also r ∈ (s), d.h. x ∈ R. Q.e.d.

\underline{Alternativer Beweis}: Das Ideal I = (x^{−1}) ∩ (1) in R ist reflexiv. Wäre I ⫋ R, gibt es ein P ∈ X^{1} mit I ⊂ P nach Satz 37.2. Also (s) ∩ (r) ⊂ r · P (alternativ folgt dies auch aus Folgerung 36.2). Durch Lokalisieren nach P folgt S^{−1}[(s) ∩ (r)] = S^{−1}(s) ∩ S^{−1}(r) ⊂ S^{−1}r · P ⫋ S^{−1}R = R_{P}. Da R_{P} ein Bewertungsring ist folgt max(v_{P} (s), v_{P} (r)) ≥ v_{P} (r) + 1. Ein Widerspruch. Somit gilt (x^{−1}) ∩ (1) = R und 1 = t · x^{−1} für ein t ∈ R. Somit x = t ∈ R. Q.e.d.

Korollar 38.4. Ein Element in K^{∗} ist genau dann eine Einheit von R, wenn für alle P ∈ X^{1} gilt v_{P} (x) = 0.

Man erhält daher eine exakte Sequenz

0 → R^{∗} → K^{∗} → Div(R) → Cl(R) → 0 .

Den Kokern Cl(R) der Divisorenabbildung nennt man die \underline{Klassengruppe} des Rings R. Nach Lemma 34.1 ist der Ring R genau dann \underline{faktoriell}, wenn gilt Cl(R) = 0.

\underline{Bemerkung}: Jeder Divisor D ∈ Div(R) definiert ein gebrochenes Ideal

I(D) = {x ∈ K | v_{P} (x) ≥ D} .

Beachte, für jedes D existiert ein ξ ∈ R mit Div(ξ)+D ≥ 0. Somit ξ·I(D) ⊂ I(0) = R. Offensichtlich gilt I(D)^{∗} = I(−D). Insbesondere ist daher I(D) \underline{reflexiv}. Für Hauptdivisoren D = (ξ) folgt weiterhin I(D) = (ξ). Wegen ⋂_{i=1}^{r} I(D_{i}) = I(D) für D = sup_{i}(D_{i}), ist daher dann sogar \underline{jedes} reflexive Ideal I von der Gestalt I = I(D) wegen Lemma 37.1.

Die \underline{Primideale P ∈ X^{1}} sind Spezialfälle. Beachte P = \{x ∈ R | v_{P} (x) ≥ 1\} wegen^{14} P = g^{−1}(S^{−1}P) = R ∩ (P · R_{P}). Aus Lemma 38.3 folgt somit

I(P) = P .

Folgerung: Ist R noethersch und normal, dann sind die Primideale P ∈ X^{1} reflexiv. Nach Satz 37.2 sind dies genau die reflexiven Primideale von R.

14Bezeichnungen wie in §5.

Ringe der Dimension 1

39 Dedekindringe

Ein noetherscher, normaler Ring der Dimension ≤ 1 heißt \underline{Dedekindring}. Die Primideale P ≠ {0} eines Dedekindrings sind wegen dim(R) = 1 alle maximal und haben die Höhe 1. Insbesondere sind sie daher reflexiv.

Lokalisierungen von Dedekindringen sind wieder Dedekindringe.

\underline{Beispiele}: ℤ und K[X] für Körper K sind Dedekindringe. Für jede endliche^{15} Körpererweiterung L von ℚ (Zahlkörper) bzw. von K(t) (Funktionenkörper) ist der ganze Abschluß von ℤ resp. K[t] in L wieder ein Dedekindring.

Sei I ≠ 0 ein Ideal eines Dedekindringes R und sei I = ⋂_{i=1}^{r} Q_{i} sei seine Primärzerlegung. Hierbei sind Q_{i} P_{i}-koprimäre Ideale; die P_{i} sind notwendig maximale Ideale von R. Dann bedeutet P_{i}-koprimär aber gerade

P_{i}^{n} ⊂ Q_{i} ⊂ P_{i}

für ein geeignetes n ∈ ℕ. Genauer gilt für Dedekindringe dann aber sogar Q_{i} = P_{i}^{n} für geeignetes n, denn die P_{i}-primären Ideale entsprechen eineindeutig den P_{i}-primären Idealen der Lokalisierung R_{P_{i}} (siehe §5). In der Lokalisierung ist jedes Ideal eine Potenz des maximalen Ideals (Lemma 35.2 und Lemma 35.1). Aus dieser verfeinerten Primärzerlegung folgt

I = ⋂_{i=1}^{r} P_{i}^{n_{i}} .

Hierbei sind obdA die P_{i} \underline{paarweise} verschieden, indem man überflüssige Terme streicht. Da es für jeden Divisor D ∈ Div(R) ein reflexives Ideal I(D) gibt, folgt durch Vergleich sofort

I = I(D) , D = ∑_{i=1}^{R} n_{i} · P_{i} .

Folgerung 39.1. Jedes (gebrochene) Ideal I ≠ 0 eines Dedekindringes ist reflexiv und einem eindeutig bestimmten Divisor D zugeordnet: I = I(D).

Sein nun dim(R) = 1, d.h. R kein Körper. Sind P_{i} und P_{j} verschiedene maximale Ideale des Dedekindringes, dann gilt I = R für das Ideal I := P_{i}^{n_{i}} +P_{j}^{n_{j}} (für beliebige n_{i} > 0, n_{j} > 0). [Beachte V (I) = V (P_{i}^{n_{i}})∩V (P_{j}^{n_{j}}) = {P_{i}} ∩ {P_{j}} = ∅, also I = R]. Somit

15Für den inseparablen Fall siehe Zariski-Samuel

P_{i}^{n_{i}} ∩ P_{j}^{n_{j}} = P_{i}^{n_{i}} · P_{j}^{n_{j}}

nach Lemma 10.1. Dieser Schluß verallgemeinert sich sofort auf endliche Produkte. Es folgt

Korollar 39.2. Jedes Ideal I ≠ 0 eines Dedekindringes R schreibt sich auf eindeutige Weise als ein Produkt von Primidealpotenzen

I = ∏_{i=1}^{r} P_{i}^{n_{i}}

für paarweise verschiedene maximale Ideale P_{i} von R (die auftretenden Primideale P_{i} sind die Elemente von Ass(R/I)).

Die gebrochenen Ideale bilden daher von sich aus eine Gruppe, welche man mit der Divisorengruppe identifitieren kann.

\underline{Beispiel}: Im Ring R = ℤ[\sqrt{−5}] gilt (2, 1 + \sqrt{−5}) = (2, 1 − \sqrt{−5}) sowie 2 · 3 = (1 + \sqrt{−5}) · (1 − \sqrt{−5}). Somit

(2, 1 + \sqrt{−5})^{2} = (2)
(3, 1 + \sqrt{−5}) · (3, 1 − \sqrt{−5}) = (3)
(2, 1 + \sqrt{−5}) · (3, 1 − \sqrt{−5}) = (1 − \sqrt{−5})
(2, 1 + \sqrt{−5}) · (3, 1 + \sqrt{−5}) = (1 + \sqrt{−5})

wegen (2, 1+\sqrt{−5})·(2, 1−\sqrt{−5}) = (4, 2(1±\sqrt{−5}), 6) = (2). Wegen (9, 3(1+ \sqrt{−5}), 3(1−\sqrt{−5}), 6) = (3). Wegen (6, 2(1−\sqrt{−5}), 3(1+\sqrt{−5}), 6) = (6, 2(1− \sqrt{−5}), 3(1 − \sqrt{−5})) = (1 − \sqrt{−5}) und wegen (2, 1 − \sqrt{−5}) · (3, 1 + \sqrt{−5}) = (1 + \sqrt{−5}).

40 Zahlkörper

Sei L/ℚ eine endliche Körpererweiterung. Der ganze Abschluß R = O_{L} von ℤ in L ist ein Dedekindring. Going up liefert eine Surjektion

π : Spec(R) ↠ Spec(ℤ)

mit Fasern Y = π^{−1}(p).

\underline{Beispiel} Der Ring R = ℤ[\sqrt{−5}] ist normal in L. Also R = O_{L} und es gilt

π^{−1}(\{(2)\}) = \{ (2, 1 + \sqrt{−5}) \} .

Weiterhin π^{−1}(\{(3)\}) = \{ (3, 1 + \sqrt{−5}) , (3, 1 − \sqrt{−5}) \}.

\underline{Zur Erinnerung}: Die Primideale P ∈ Y von über einem maximalen Ideal p ⊂ ℤ sind die Primideale von R mit der Eigenschaft P ∩ ℤ = p oder P ⫆ p · R. Es folgt

Y ≅ Spec(R/pR) .

\underline{Zerlegungsgesetz}: Das Hauptideal p · R schreibt sich nach Kor.39.2 als Produkt

p · R = ∏_{i=1}^{g} P_{i}^{e_{i}} .

Das Produkt erstreckt sich über die Primideale P_{1}, ..., P_{g} ∈ Ass(R/pR). Wegen dim(R) = 1 ist jedes Primideal in Ass(R/pR) isoliert. Es folgt

Ass(R/pR) = GenSupp(R/pR) = Spec(R/pR) = Y .

\underline{Beispiel}: Für R = ℤ[\sqrt{−5}] ist 2 · R = (2, 1 + \sqrt{−5})^{2}. Dagegen 3 · R = (3, 1 + \sqrt{−5}) · (3, 1 + \sqrt{−5}).

Man zeigt nun ohne Mühe, daß R als Untermodul eines freien ℤ-Moduls (siehe §16) selbst ein freier ℤ-Modul ist. Also

Lemma 40.1. R ist ein freier ℤ-Modul vom Rang [L : ℚ].

R/pR ist also eine 𝔽_{p}-Algebra der Dimension [L : ℚ] und zerfällt nach Satz 10.2 in eine direkte Summe lokaler 𝔽_{p}-Algebren R_{i}

R/pR ≅ ⨁_{P_{i}∈Y} R_{i} .

\underline{Restklassengrad}: R/P_{i} = (R_{i})_{red} ist der Restklassenkörper von P_{i}, ein endlicher Erweiterungskörper von 𝔽_{p} mit Restklassengrad f_{i} = [R/P_{i} : 𝔽_{p}].

\underline{Verzeigungsindex}: Beachte R_{i} ≅ R/P_{i}^{e_{i}}. Der Verzeigungsindex e_{i} ist die Länge des R-Moduls R/P_{i}^{e_{i}}. Es gilt dim_{𝔽_{p}}(R_{i}) = e_{i} · [R/P_{i} : 𝔽_{p}] (wegen Lemma 38.2 ist die P_{i}-Lokalisierung von R ein Bewertungsring).

\underline{Dimensionsformel}: Aus der Summenzerlegung von R/pR folgt

[L : ℚ] = ∑_{P ∈Y} e_{P} · f_{P} .

\underline{Idealnormen}: Definiere für maximale Ideale P von R die Norm

N(P) = #(R/P) .

Für P über p · R gilt N(P) = p^{f} für f = [R/P : 𝔽_{p}]. Es folgt

Korollar 40.2. Sei p eine Primzahl und p · O_{L} = ∏_{P} P^{e_{P}} seine Faktorisierung in O_{L}. Dann gilt die Normen

p^{[L:ℚ]} = ∏_{P} N(P)^{e_{P}} .

Das Produkt durchläuft die Primideale von O_{L} über p, und es gilt e_{P} ≥ 1.

\underline{Galois Fall}: Sei L/ℚ galoisch mit Galoisgruppe G. G operiert auf Spec(O_{L}) und Y = π^{−1}((p)). Sei Y = ∐ Y_{j} die Zerlegung in G-Orbits. Wähle f ∈ R mit f ∈ P = P_{1} ∈ Y_{1} und f ∉ P_{i}, i ≥ 2 (Punktetrennung). Es folgt N(f) = ∏_{σ∈G} σ(f) ∈ P für alle P ∈ Y_{1}, und N(f) ∉ P für die P ∈ Y \ Y_{1}. Aber N(f) ∈ ℤ liegt in (p) und somit in allen P ∈ Y. Es folgt Y = Y_{1} und somit

Lemma 40.3. Ist L/ℚ galoisch, dann operiert die Galoisgruppe \underline{transitiv} auf den Fortsetzungen P des Primideals (p). Die Restklassengrade f_{P} und die Verzweigungszahlen e_{P} hängen nur ab von p. Setzt man g_{p} := #Y, gilt

#G = e_{p} · f_{p} · g_{p} .

41 Kreiskörper

Sei die Situation wie im letzten Paragraph, aber nun speziell

L = ℚ(ζ_{p^{n}})

für eine primitive p^{n}-te Einheitswurzel ζ_{p^{n}}. L ist der Zerfällungskörper des über ℚ irreduziblen ganzzahligen Kreispolynoms

Φ_{p^{n}}(X) = X^{(p−1)p^{n−1}} + ... + 1 .

Also ist ζ_{p^{n}} ganz über ℤ wegen Φ_{p^{n}}(ζ_{p^{n}}) = 0 (Ganzheitsgleichung). Somit ist

R = ℤ[ζ_{p^{n}}] = ℤ[X]/(Φ_{p^{n}}(X)) .

ein Unterring von O_{L}.

Lemma 41.1. R = O_{L}.

\underline{Beweis}: 1) L = S^{−1}R für S = ℤ \ \{0\}. Wir zeigen, R ist ganz abgeschlossen in L. Angenommen es gäbe x = r/s in O_{L} \ R mit r ∈ R, s ∈ S. Wir zeigen einen Widerspruch.

2) Wählt man x mit |s| minimal, ist s = l notwendig prim in ℤ. Nach §2 ist 0 ≠ [r] ∈ R/lR nilpotent. Daraus folgt l = p, denn R/lR = 𝔽_{l}[X]/\overline{Φ}_{p^{n}}(X) ist reduziert für primes l ≠ p. Beachte \overline{Φ}(X)|X^{p^{n}} − 1 und X^{p^{n}} − 1 ist separabel im Fall l ≠ p. Benutze den Appendix von §10!

3) Es folgt l = p. Insbesondere liegt x nicht in der Lokalisierung R_{(p)} von R nach ℤ\(p). R_{(p)} wäre somit nicht ganz abgeschlossen in L. Ein Widerspruch! Nach Schritt 4) ist nämlich R_{(p)} noethersch lokal mit einem maximalen Ideal I, das ein Hauptideal ist

I = (1 − ζ_{p^{n}}) .

Somit ist R_{(p)} ein diskreter Bewertungsring (Lemma 35.1), insbesondere also ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper. Der Widerspruch zeigt daher R = O_{L}.

4) Es gilt R/pR = R_{(p)}/pR_{(p)} (dies gilt für ℤ und R ist frei als ℤ-Modul). Die maximalen Ideale in R_{(p)} entsprechen den Primidealen von R über pR respektive den Primidealen von R/pR = 𝔽_{p}[X]/\overline{Φ}_{p^{n}}(X). In 𝔽_{p}[X] gilt

\overline{Φ}(X) · (X^{p^{n−1}} − 1) = (X^{p^{n}} − 1) .

Die Variablensubstitution X = Y + 1 und der kleine Fermat liefern daher

R/pR ≅ 𝔽_{p}[Y]/(Y^{(p−1)p^{n−1}}) .

Insbesondere ist (R/pR)_{red} ≅ 𝔽_{p}[Y]/(Y) = 𝔽_{p} ein Körper. Somit ist R/pR ein lokaler Ring. Sein maximales Ideal wird von Y = [ζ_{p^{n}}] − 1 erzeugt. Folglich ist R_{(p)} ein lokaler Ring mit dem maximalem Ideal I = (ζ_{p^{n}} − 1, p). Aber N(ζ_{p^{n}} − 1) = p wegen Φ_{p^{n}}(Y + 1) = Y^{(p−1)p^{n−1}} + ⋯ + p. Daraus folgt p = (ζ_{p^{n}} − 1) · ∏_{σ≠1} σ(ζ_{p^{n}} − 1) ∈ (ζ_{p^{n}} − 1), also I = (1 − ζ_{p^{n}}). Q.e.d.

Korollar 41.2. Für die Verzweigungszahlen der Erweiterung ℚ(ζ_{p^{n}})/ℚ gilt: (i) e_{l} = 1 für Primzahlen l ≠ p. (ii) e_{l} = [ℚ(ζ_{p^{n}}) : ℚ] für l = p.

Somit f_{p} = g_{p} = 1 und p · R = (N(ζ_{p^{n}} − 1)) = P^{e_{P}}. Das eindeutig bestimmte Primideal P über p ist das Hauptideal

P = (1 − ζ_{p^{n}}) .

Komplettierungen

42 Vervollständigung

Gegeben sei ein \underline{projektives} System von abelschen Gruppen (Ringen, R-Moduln), also ein System A_{0}, A_{1}, .. von abelsche Gruppen (kommutative Ringen, R-Moduln etc.) mit (Ring, R-Modul) Homomorphismen

π_{j} : A_{j} → A_{j−1} .

Sei θ : ∏_{j} A_{j} → ∏_{j} A_{j} der Homomorphismus

θ(x_{0}, x_{1}, ⋯, x_{n}, ⋯) = (π_{1}(x_{1}), π_{2}(x_{2}), ⋯, π_{n+1}(x_{n+1}), ⋯) .

Definition: Der \underline{projektive Limes} lim_{←} A_{j} ist Kern(1 − θ) ⊂ ∏_{j} A_{j} . Elemente in lim_{←} A_{n} haben die Form (a_{0}, a_{1}, a_{2}, ⋯) mit π_{j}(a_{j}) = a_{j−1} für alle j ≥ 1. Der Kokern Kokern(1 − θ) wird mit lim\underleftarrow{1} A_{j} bezeichnet.

Für kurze exakte Sequenzen mit kommutativen Quadraten

\xymatrix{0 \ar[r] & A_{j} \ar[r] \ar[d]_{π_{j}} & B_{j} \ar[r] \ar[d]_{π_{j}} & C_{j} \ar[d]_{π_{j}} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & A_{j−1} \ar[r] & B_{j−1} \ar[r] & C_{j−1} \ar[r] & 0}

liefert die Kern-Kokern Sequenz eine 6-Term exakte Sequenz zwischen den projektiven und höheren projektiven Limiten der Gruppen. Man erhält sogar kurze exakte Sequenzen

0 → lim_{←} A_{j} → lim_{←} B_{j} → lim_{←} C_{j} → 0 ,

wenn (fast) alle π_{j} : A_{j} → A_{j−1} \underline{surjektiv} sind. Dann ist Kokern(1−θ_{A}) = 0.

\underline{Bemerkung}: Wenn alle π_{j} Isomorphismen sind für j > n, dann definiert die Projektion (a_{0}, a_{1}, ⋯) ↦ a_{n} einen Isomorphismus (lim_{←} A_{j}) ≅ A_{n}.

\underline{Der Ringfall}: Sei R ein \underline{filtrierter} Ring. Sei R = I_{0} ⊇ I_{1} ⊇ I_{2} ⊇ ... die zugehörige Filtration durch Ideale I_{j} mit der Eigenschaft I_{i} · I_{j} ⊂ I_{i+j}. Man hat dann Ringhomomorphismen π_{j} : (R/I_{j}) → (R/I_{j−1}) und dies defininiert den projektiven Limes R̂ = lim_{←}(R/I_{j}) als Ring. Man hat einen Ringhomomorphismus

i : R → R̂ = lim_{←}(R/I_{j})

definiert durch i(x) = ([x], [x], [x], ⋯). Analog definiert man den projektiven Limes M̂ = lim_{←} M/M_{j} eines gefilterten R-Moduls M. Die Abbildung i : M → M̂ ist im allgemeinen weder injektiv noch surjektiv. Ihr Kern wird beschrieben durch folgende exakte Sequenz

0 → ⋂_{ν=0}^{∞} M_{ν} → M → M̂ .

Definition: Ist i : R → R̂ \underline{bijektiv}, dann heißt R \underline{vollständig}.

\underline{Begründung}: Sei q > 1. Dann ist d(r, r′) = q^{−max\{j | r′−r∈I_{j} \}} eine Pseudo-Metrik auf R. Es gilt die \underline{scharfe} Dreiecksungleichung

d(r, r′′) ≤ max(d(r, r′), d(r′, r′′)) .

Die \underline{offenen} Kugeln um Null sind gerade die I_{j}. Gilt ⋂_{j} I_{j} = 0, dann ist d(., .) eine Metrik. Das heißt d(r, r′) = 0 ⟺ r = r′ sowie R ↪ R̂. Für x = (x_{0}, x_{1}, ..) ∈ R̂ sei j = v(x) maximal mit x_{i} = 0 (in R/I_{i}) für i ≤ j. Dann ist d̂(x, x′) = q^{−v(x′−x)} eine \underline{Fortsetzung der Metrik} d von R auf R̂. Addition und Multiplikation sind stetige Abbildungen auf R̂ bzw. R. Der Ring R liegt dicht in R̂: Für x ∈ R̂ und ε > 0 gibt es r ∈ R mit d(x, i(r)) < ε. Der metrische Ring (R̂, d̂) ist die (isomorph zu der) \underline{Cauchy-Vervollständigung} des metrischen Rings (R, d) (= metrische Ring der Cauchyfolgen von R modulo dem Ideal der Nullfolgen von R).

[Beachte: Für x = (x_{0}, ...) und Repräsentanten y_{j} ∈ R von x_{j} ∈ R/I_{j} ist y_{j} eine Cauchyfolge in R: d(y_{i}, y_{j}) ≤ q^{−max(i,j)}. Ist umgekehrt y′_{j} eine Cauchyfolge in R, dann ist x_{j} := y′_{i} mod I_{j} unabhängig von i für i >> 0. Dies definiert ein Element x = (x_{0}, x_{1}, ...) ∈ R̂. Ändert man (y′_{i}) ab um eine Nullfolge, ändert dies nichts am Wert x ∈ R̂ und y′_{j} − y_{j} ist eine Nullfolge.]

Man kann auch Reihenkonvergenz untersuchen. Auf Grund der scharfen Dreiecksungleichung gilt sogar

Lemma 42.1. Für eine Folge y_{n} in R̂ sind äquivalent: 1) y_{n} ist eine Nullfolge. 2) Die Reihe ∑_{n=0}^{∞} y_{n} konvergiert.

\underline{Äquivalente Filtrationen}: Zwei Filtrationen M_{j}, M′_{j} auf einem R-Modul heißen \underline{äquivalent}, wenn für ein geeignetes festes k ∈ ℕ für alle j ∈ ℕ gilt

M_{j} ⊂ M′_{j−k} , M′_{j} ⊂ M_{j−k} .

\underline{Beispiel}: Seien M, R noethersch und sei N ⊂ M ein R-Untermodul. Nach Artin-Rees ist die I-adische Filtration N_{j} = I^{j} · N auf N äquivalent zu der von der I-adischen Filtration auf M induzierten Filtration N′_{j} = N ∩(I^{j} ·M).

\underline{Äquivalente} Filtrationen definieren \underline{dieselbe Topologie} auf M und haben \underline{denselben} projektiven Limes: Die Abbildungen

(M/M′_{j}) ↠ (M/M_{n−k}) und (M/M_{n−k}) ↠ (M/M_{n−2k})

induzieren Abildungen der projektiven Limiten

lim_{←}(M/M′_{j}) → lim_{←}(M/M_{j−k}) , lim_{←}(M/M_{j−k}) → lim_{←}(M/M′_{j−2k}) ,

deren Zusammensetzung die Identität von M̂′ ist. Sie wird induziert von

(x_{0}, .., x_{2k}, x_{2k+1}, ..) ↦ (x_{2k} mod M′_{0}, ..) = (x_{0}, x_{1}, ...) .

Ditto in der umgekehrten Richtung.

\underline{Wichtige Beispiele}: Sei R = ℤ und I_{j} = p^{j} · ℤ, dann bezeichnet man die zugehörige Komplettierung von ℤ als p-adische Komplettierung und ℤ̂ als den Ring der \underline{p-adischen ganzen} Zahlen ℤ_{p}.

Ist R = ℤ und I_{j} = (j!), dann bezeichnet man die zugehörige Komplettierung als den Ring ℤ_{fin} der \underline{ganzen Adele}. Es gilt

ℤ_{fin} ≅ ∏_{p prim} ℤ_{p} .

Die Lokalisierung von ℤ_{fin} nach ℤ \ 0 ist der Ring der endlichen Adele 𝔸_{fin}. Der Ring 𝔸 = ℝ × 𝔸_{fin} heißt Ring der \underline{Adele}. Dieser Ring spielt eine fundamentale Rolle in der algebraischen Zahlentheorie.

\underline{π-adische Entwicklungen}: Sei I = (π) ein Hauptideal und sei π \underline{kein Nullteiler} von R. Sei R ⊂ R ein Repräsentantensystem von R/I. Dann gibt es für a ∈ R ein δ^{0} ∈ R mit a − δ^{0} = a_{1} · π. Da π kein Nullteiler ist, ist a_{1} ∈ R durch a eindeutig bestimmt. Somit gilt a_{1} = δ^{1} +a_{2} ·π usw. Rekursiv enthält man eine eindeutige π-adische Entwicklung

a = δ^{0} + δ^{1} · π + δ^{2} · π^{2} + ... + δ^{n} · π^{n} + (π^{n+1}) , (δ^{i} ∈ R) .

\underline{Beispiel}: Im Fall R = ℤ_{p} kann man R = \{0, ⋯, p − 1\} wählen und π = p. Wir werden im nächsten Kapitel zeigen, daß ℤ_{p} die (p − 1)-ten Einheitswurzeln enthält. Zusammen mit Null bildet dies ein multiplikatives Repräsentantensystem R von ℤ_{p}/pℤ_{p} = 𝔽_{p} in ℤ_{p}.

Trivialerweise folgt durch Rechnen mit den π-adischen Entwicklungen

Lemma 42.2. Ist R/(π) nullteilerfrei und ⋂_{i=0}^{∞}(π^{i}) = {0}, dann ist auch R nullteilerfrei.

Insbesondere ist also der Ring ℤ_{p} der p-adischen Zahlen nullteilerfrei und sein Quotientenkörper ist der Körper ℚ_{p} der sogenannten \underline{p-adischen} Zahlen.

Ringe der Charakteristik p

43 Perfekte Ringe

In einem Ring R der Charakteristik p gilt p · R = 0. Der \underline{Frobenius} F rob_{R} : R → R ist i.a. weder injektiv noch surjektiv. Ist F rob_{R} \underline{bijektiv} (surjektiv), heißt R \underline{perfekt} (semiperfekt).

Lemma: Für einen Ring R der Charakteristik p gibt es einen \underline{perfekten} Ring P (R) – die \underline{Perfektionierung} von R – und einen Ringhomomorphismus ρ : P (R) → R, so daß (P (R), ρ) in folgendem Sinn \underline{universell} ist:

Jeder Ringhomomorphismus φ eines \underline{perfekten} Rings R′ nach R faktorisiert eindeutig über ρ

\xymatrix{R′ \ar[r]^{φ} \ar@{.>}[dr]_{∃! ψ} & R \\ & P (R) \ar[u]_{ρ}} .

\underline{Zusatz}: Ist F rob_{R} surjektiv (injektiv), dann ist ρ surjektiv (injektiv). Ist R perfekt, dann ist ρ ein Isomorphismus.

\underline{Beweis}: Sei P (R)

P (R) = lim ( \xymatrix{R & R \ar[l]^{F rob} & R \ar[l]^{F rob} & R \ar[l]^{F rob} & R ⋯) \ar[l]^{F rob}} .

der projektive Limes bezüglich des Frobenius Homomorphismus F rob_{R}. Die Elemente von P (R) sind somit Folgen (x_{n})_{n≥0} von Ringelementen x_{n} ∈ R mit der Eigenschaft (x_{n})^{p} = x_{n−1}. P (R) ist ein Ring mit komponentenweiser Addition und Multiplikation.

P (R) ist ein Ring der Charakteritik p. Sein Frobeniushomomorphismus

F rob_{P (R)}((x_{n})_{n≥0}) = (x_{n−1})_{n≥0} (mit x_{−1} := x_{0}^{p})

ist \underline{bijektiv} mit F rob_{P (R)}^{−1}((x_{n})_{n≥0}) = (x_{n+1})_{n≥0} (voi’la !). Also ist P (R) \underline{perfekt}.

Setze nun ρ((x_{n})_{n≥0}) := x_{0}. Offensichtlich ist ρ surjektiv, wenn F rob_{R} surjektiv ist (wähle x_{1} ∈ R mit F rob_{R}(x_{1}) = x_{0} usw.). Ist F rob_{R} injektiv, ist auch ρ injektiv (aus x_{0} = 0 folgt x_{1} = 0 etc.).

Die Konstruktion von P (R) ist \underline{funktoriell}: Ein Ringhomorphismus φ : R′ → R induziert auf offensichtliche Weise ein kommutatives Diagramm

\xymatrix{R′ \ar[r]^{φ} & R \\ P (R′) \ar[u]_{ρ} \ar[r]^{P (φ)} & P (R) \ar[u]_{ρ}}

via (x_{n})_{n≥0} ↦ (φ(x_{n}))_{n≥0}. Ist R′ perfekt, gilt ρ : P (R′) = R′. Dies zeigt die universelle Eigenschaft. Beachte ψ(x)_{n} = ρ(F rob_{P (R)}^{−n}ψ(x)) = ρ(ψ(F rob_{R′}^{−n}(x))) = φ(F rob_{R′}^{−n}(x)). Also ist ψ \underline{eindeutig} bestimmt.

44 Der Teichmüller Lift

In diesem Paragraph sei p eine Primzahl und A ein kommutativer Ring mit 1, und sei \underline{I-vollständig}

A = lim_{←} A/I^{n}

für ein Ideal I mit der \underline{Eigenschaft p ∈ I}. Dann ist A/I ein Ring der \underline{Charakteristik} p. Für a ∈ A bezeichne \overline{a} die Restklasse in A/I.

\underline{Betrachte}: Z_{I}(A) = \{x = (x_{0}, x_{1}, ⋯) | x_{n} ∈ A mit (x_{n})^{p} = x_{n−1} mod I\} . Offensichtlich definiert diesen einen Ring. Im Fall I = (p) schreiben wir Z(A) für diesen Ring anstatt Z_{I}(A).

Ersetzt man die Kongruenzbedingungen (x_{n})^{p} = x_{n−1} mod I in der Definition von Z_{I}(A) durch die rigidener Bedingungen (x_{n})^{p} = x_{n−1} erhält man a priori keinen Ring mehr. Dies definiert erst einmal nur einen \underline{multiplikativen}

\underline{Untermonoid} \xymatrix{P (A) \ar@{^{(}->}[r]^{i} & Z_{I}(A)}
P (A) = {x = (x_{0}, x_{1}, ⋯) | x_{n} ∈ A mit (x_{n})^{p} = x_{n−1}} .

Ziel dieses Abschnitts ist es zu zeigen, daß man (P (A), ·) dennoch als den multiplikativen Monoid einer Ringstruktur auf P (A) auffassen kann. Dazu genügt es zu zeigen (siehe Satz 44.3), daß die Reduktionsabbildung A → A/I einen Monoidisomorphismus P (A) → P (A/I) induziert. Denn nun ist A′ = A/I ein Ring der Charakteristik p. Und für Ringe A′ der \underline{Charakteristik p} ist P (A′) in natürlicher Weise ein \underline{Ring}. P (A′) = Z(A′) ist dann nämlich die \underline{Perfektionierung} des Rings A′, genauer (P (A′), ·) ist der muulpikative Monoid dieses Ringes.

Wie gesagt gilt per Definition

Z(A/I) = P (A/I)

und Reduktion modulo I liefert das kommutative Diagramm

[figure: Z_{I}(A); π_{Z}; P (A); π; i; Z_{I}(A/I); P (A/p)]

für i : (x_{0}, x_{1}, ..) ↦ (x_{0}, x_{1}, ...), wegen lim_{n}(x_{n+i})^{p^{n}} = lim_{n}(x_{i}) = x_{i}.

Lemma 44.1. Für x ∈ Z_{I}(A) existiert in A der Limes

[x]_{0} = lim_{n→∞}(x_{n})^{p^{n}} .

\underline{Beweis}: [x]_{0} = x_{0} + (x_{1}^{p} − x_{0}) + (x_{2}^{p^{2}} − x_{1}^{p}) + ... konvergiert, denn der kleine Fermat liefert

x′_{i} = x_{i} mod I^{r} ⟹ (x′_{i})^{p} = (x_{i})^{p} mod I^{r+1} .

Für x′_{i} = (x_{i+1})^{p} ist daher (x_{i+1}^{p^{i+1}} − x_{i}^{p^{i}}) = (x′_{i})^{p^{i}} − (x_{i})^{p^{i}} in I^{i}. Q.e.d.

\underline{Bemerkung}: Analog existiert dann

[x]_{i} = lim_{n→∞}(x_{n+i})^{p^{n}}

(durch Verschieben). Dies definiert einen Monoidhomomorphismus, die surjektive Retraktion [.] : x = (x_{0}, x_{1}, ⋯) ↦ [x] = ([x]_{0}, [x]_{1}, ⋯) mit

\xymatrix{Z_{I}(A) \ar@{->>}[r]^{[.]} & P (A) \ar[l]^{i}} , [.] ∘ i = id_{P (A)} .

Lemma 44.2. Die Limiten [x]_{i} hängen nur ab von (x_{n} mod I)_{n≥0}.

\underline{Beweis}: x_{n} = x′_{n} mod I ⟹ (x_{n})^{p^{n}} = (x′_{n})^{p^{n}} mod I^{n+1} ⟹ [x]_{0} = [x′]_{0}. Es genügt obdA i = 0. Q.e.d.

Wegen Lemma 44.2 faktorisiert die Retraktion [.] über die Reduktion π_{Z} modulo I. Dabei ist die Reduktion π_{Z} : Z_{I}(A) → Z_{I}(A/I) definiert durch π_{Z}(x_{0}, x_{1}, ⋯) = (\overline{x}_{0}, \overline{x}_{1}, ⋯). Diese Faktorisierung definiert eine Monoidabbildung, den \underline{Teichmüller}-Lift ψ : P (A/I) → P (A)

[figure: Z_{I}(A); π_{Z}; [.]; P (A); Z_{I}(A/I); P (A/I); ∃! ψ]

1) ψ ist \underline{surjektiv}, da die Rektraktion surjektiv ist.

2) ψ ist \underline{injektiv} wegen

π ∘ ψ = id_{P (A/p)}  für  π : P (A) → P (A/I) .

Nämlich (π∘ψ)((\overline{x}_{n})_{n≥0}) = π((lim_{i}(x_{n+i})_{n≥0})^{p^{i}}) = lim_{i}((\overline{x}_{n+i})_{n≥0})^{p^{i}} = (\overline{x}_{n})_{n≥0}.

Satz 44.3. Sei A I-vollständig für ein Ideal I mit p ∈ I. Dann sind der \underline{Teichmüller Lift} ψ und die \underline{Reduktion} π : P (A) → P (A/I) modulo I invers zueinander. π und ψ definieren \underline{Bijektionen}

P (A) ≅ P (A/I) .

Da A/I Charakteristik p besitzt ist P (A/I) ein Ring (die Perfektionierung von A/I). Obige Bijektion induziert auf P (A) wie bereits erläutert eine natürliche Ringstruktur, welche die gegebene multiplikative Monoidstruktur induziert. Der so definierte Ring P (A) ist funktoriell bezüglich (A, I). Ist A/I perfekt, dann gilt P (A/I) = A/I und es folgt

Korollar 44.4. Ist der Restklassenring A/I sogar \underline{perfekt}, dann gibt es einen Isomorphismus multiplikativer Monoide

ψ : (A/I, · ) ≅ (P (A), · ) .

Die Zuordnung, welche jeder Restklasse \overline{x} ∈ A/I die nullte Komponente [\overline{x}] = ψ(\overline{x})_{0} ∈ A zuordnet, ist multiplikativ

[\overline{x} · \overline{y}] = [\overline{x}] · [\overline{y}]

und erfüllt

[\overline{x}] ≡ \overline{x} modulo I .

Man nennt [\overline{x}] den \underline{Teichmüller}-Repräsentant, und R = \{[\overline{x}] | \overline{x} ∈ A/I\} das \underline{multiplikative} Restklassensystem von A/I in A.

45 Einige Beispiele

\underline{Beispiel 1)}: P (𝔽_{q}) = 𝔽_{q}.

\underline{Beispiel 2)}: P (𝔽_{q}[t]) = 𝔽_{q}.

\underline{Beispiel 3)}: P (ℤ_{p}) ≅ P (ℤ_{p}/pℤ_{p}) = P (𝔽_{p}) = 𝔽_{q} ist ein multiplikativer Monoid in ℤ_{p}. Somit sind die p − 1-ten Einheitswurzeln in ℤ_{p}^{∗}. Es gilt

ℤ_{p}^{∗} = μ_{p−1} × (1 + pℤ_{p}) .

Beachte (1 + px)^{−1} = 1 − px + p^{2}x^{2} ⋯ konvergiert.

Wie in Beispiel 3 zeigt man allgemeiner

Lemma 45.1. Ist A/I perfekt, dann gilt A^{∗} ≅ (A/I)^{∗} × (1 + I).

\underline{Beispiel 4)}: Sei A = O_{ℝ_{p}} die \underline{p-adische} Komplettierung (nicht die Bewertungskomplettierung) des zyklotomischen Rings^{16} aller p-Potenzeinheitswurzeln ζ_{p^{n}} über ℤ_{p}. A erfüllt unsere Annahmen und

ς = (1, ζ_{p}, ζ_{p^{2}}, ⋯) ∈ P (A)

für geeignete primitive p^{n}-te Einheitswurzeln ζ_{p^{n}}. Identifiziert man P (A) = P (A/p) und betrachtet anstelle von ς das Element

\overline{ς} = (1, \overline{ζ}_{p}, \overline{ζ}_{p^{2}}, ..) ∈ P (A/p) ,

so ist in dem \underline{Ring} P (A/p) das Element

\overline{ς} − 1 = (0, \overline{π}_{1}, \overline{π}_{2}, ..) ∈ P (A/pA)

erklärt. Es wird representiert von den Elementen π_{n} = ζ_{p^{n}} − 1 ∈ A mit der p-adischen Bewertung v(π_{n}) = \frac{p^{1−n}}{p−1} . Offensichtlich ist \overline{ς} − 1 ein nichttriviales Element im Kern

\overline{ς} − 1 ∈ Kern(ρ : P (A/p) → A/p) .

16Es gilt Φ_{P^{n}}(Y + 1) ≡ Y^{(p−1)p^{n−1}} mod p. Für O = ℤ[ζ_{p^{n}}] = ℤ[X]/Φ_{p^{n}}(X) folgt O/pO ≅ 𝔽_{p}[Y]/Y^{(p−1)p^{n−1}}. Also A/pA = 𝔽_{p}[t^{p^{−∞}}]/(t^{p−1}) für A = O_{ℝ_{p}}. Notation:

𝔽_{p}[t^{p^{−∞}}] := 𝔽_{p}[t, t^{p^{−1}}, t^{p^{−2}}, ⋯] und t = Y^{1/(p−1)}.

46 Der Kern der Perfektionierung

Sei A und die Bezeichnungen wie im letzten Paragraph. A/I ist ein Ring der Charakteristik p. Der Einfachheit halber sei p ≠ 2. Betrachte die Perfektionierung

ρ : P (A/I) → A/I .

Der Kern K = ρ^{−1}(0_{A/I}) kann mit 1 + K = ρ^{−1}(1_{A/I}) identifiziert werden.

\underline{Einheiswurzeln}: Liegt (\overline{ε} − 1) in K, dann auch \overline{ε}^{ν} − 1. Elemente \overline{ε} = (\overline{ε}_{n})_{n≥0} in 1 + K erfüllen \overline{ε}_{n}^{p^{n}} = \overline{ε}_{n−1}^{p^{n−1}} = ... = \overline{ε}_{1}^{p} = 1. Die \overline{ε}_{n} sind p^{n}-te Einheitswurzeln in A/I. Betrachte ψ(\overline{ε}) in P (A). Es gilt ψ(\overline{ε})_{0} = lim_{n} ε_{n}^{p^{n}} = 1. Die Komponenten [\overline{ε}]_{n} ∈ A von ψ(\overline{ε}) sind daher p^{n}-te Einheitswurzeln des Quotientenkörpers Quot(A), falls A nullteilerfrei ist. Ist \overline{ε} ≠ 1 in P (A/I), dann ist ψ(\overline{ε}) ≠ 1 in P (A). Somit erfüllt eine geeignete Potenz von ψ(\overline{ε}) außerdem [\overline{ε}]_{0} = 1, [\overline{ε}]_{1} ≠ 1. Dann sind alle [\overline{ε}]_{n} = ζ_{p^{n}} primitive n-te Einheitswurzeln in A. Fixiere ein solches \overline{ε} = \overline{ς}, welches auch im Kern von ρ liegt.

Folgerung 46.1. Sei A \underline{nullteilerfrei}. Dann ist P (A/I) nullteilerfrei und es gilt genau dann

Kern(ρ : P (A/I) → A/I) ≠ 0 ,

wenn A \underline{alle} primitiven p-Potenz-Einheitswurzeln enthält (d.h A enthält die I-adische Vervollständigung O_{ℝ_{p}} des p^{∞}-zyklotomischen Rings !).

Zusatz: Im letzteren Fall gilt

Kern(ρ) = (1 − \overline{ς}) · P (A/I) , ⋂_{i=0}^{∞}(1 − \overline{ς})^{i} = \{0\}

und Bild(ρ) enthält 𝔽_{p}[\overline{ζ}_{p}, \overline{ζ}_{p^{2}}, ..] wegen ρ(F rob^{−n}(\overline{ς})) = \overline{ζ}_{p^{n}}.

\underline{Beweis} (des Zusatzes): Ist A nullteilerfrei, dann ist es auch der Monoid P (A). Wegen P (A/I) ≅ P (A) ist daher die multiplikative Gruppe des Rings P (A/I) nullteilerfrei. Für \overline{x} ∈ (1 − \overline{ς})^{p^{n}} gilt \overline{x}_{0} = \overline{x}_{1} = .. = \overline{x}_{n−1} = 0. Somit ist der Durchschnitt aller Potenzen des Ideals (1 − \overline{ς}) gleich Null.

Für \overline{ε} ∈ 1 + K ist \overline{ε} ∈ (\overline{ς} − 1) · P (A/I) zu zeigen. Es gilt \overline{ε} = (1, \overline{ε}_{p}, \overline{ε}_{p^{2}}, ..) für p^{n}-te Einheitswurzeln ε_{p^{n}}. Somit existieren n_{i} ∈ ℤ/p^{i}ℤ mit

ε_{p^{i}} = (ζ_{p^{i}})^{n_{i}} .

47. ^{∗} Bewertungen 95

\underline{Behauptung}:

(\overline{ς} − 1) = (\overline{ε} − 1) · (n_{1}, ∑_{ν=0}^{n_{1}−1}(\overline{ζ}_{p})^{ν}, ∑_{ν=0}^{n_{2}−1}(\overline{ζ}_{p}^{2})^{ν}, ... )

liegt im Hauptideal (\overline{ς} − 1) · P (A/I). \underline{Beweis}: Wir wissen n_{r+1} = n_{r} mod p^{r} und müssen zeigen

F rob(∑_{ν=0}^{n_{r+1}}(\overline{ζ}_{p^{r+1}})^{ν}) = ∑_{ν=0}^{n_{r}}(\overline{ζ}_{p^{r}})^{ν}

modulo I. Dazu genügt wegen p ∈ I Lemma 46.2. Für r ≥ 1 und n = m mod p^{r} gilt ∑_{ν=0}^{n} ζ_{p^{r}}^{ν} = ∑_{ν=0}^{m} ζ_{p^{r}}^{ν} mod p.

\underline{Beweis}: ObdA m − n = p^{r} · k ≥ 0. Zeige also ∑_{ν=n+1}^{m} ζ_{p^{r}}^{ν} = 0 mod p oder ζ_{p^{r}}^{n+1} · ∑_{ν=0}^{kp^{r}−1} ζ_{p^{r}}^{ν} = 0 mod p. Dazu genügt ∑_{ν=0}^{p^{r}−1} ζ_{p^{r}}^{ν} = 0 mod p. Dies folgt aus ∏_{ν=0}^{p^{r}}(X − ζ_{p^{r}}^{ν}) = X^{p^{r}} − 1 (betrachte den Term X^{p^{r}−1}). Korollar 46.3. Für \overline{x} = (\overline{x}_{0}, \overline{x}_{1}, ⋯) ∈ P (A/I) sind äquivalent

(1) Es gilt \overline{x}_{i} = 0 für alle i = 0, .., n.

(2) Es gilt \overline{x} ∈ (1 − \overline{ς})^{p^{n}} · P (A/I).

\underline{Beweis}: Es gilt

(1 − \overline{ς})^{p^{n}} = (0, ..., 0, 1 − \overline{ζ}_{p}, 1 − \overline{ζ}_{p^{2}}, ⋯) ∈ P (A/I) .

Somit überträgt sich der Beweis von Folgerung 46.1.

47 ^{∗} Bewertungen

Sei A \underline{I-vollständig mit p ∈ I}, \underline{nullteilerfrei} und habe eine Bewertung v : A → ℝ ∪ {∞}, für welche e^{−v(.)} stetig ist bezüglich der I-adischen Topologie, z.B. wenn gilt v(p) = 1 im Fall I = (p). Wir setzen dann für x = (\overline{x}_{0}, \overline{x}_{1}, ⋯) ≠ 0 aus P (A/p) mit Teichmüller Lift ψ(x) = (x_{0}, x_{1}, ⋯)

\overline{v}((\overline{x}_{0}, \overline{x}_{1}, ⋯)) = v(x_{0}) .

Dies ist wohldefiniert. Sind a_{n} ∈ A irgendwelche Repräsentanten der \overline{x}_{n} ∈ A/I, dann gilt wegen der Stetigkeit

\overline{v}(a_{0} mod I, a_{1} mod I, ⋯) = v( lim_{n→∞}(a_{n})^{p^{n}}) = lim_{n→∞} p^{n} · v(a_{n}) .

Es gilt weiterhin

\overline{v}(x · y) = \overline{v}(x) + \overline{v}(y)
\overline{v}(x + y) ≥ min(\overline{v}(x), \overline{v}(y)) ,

wenn man formal \overline{v}(0) = ∞ setzt.

Korollar 47.1. Sei A \underline{I-vollständig mit p ∈ I}, \underline{nullteilerfrei} und habe eine Bewertung v : A → ℝ ∪ {∞}, für welche e^{−v(.)} stetig ist bezüglich der Iadischen Topologie, dann ist P (A/p) ein bewerteter perfekter Ring.

\underline{Beispiel}: Sei x = (p, p^{1/p}, p^{1/p^{2}}, ..) in P (A) bzw. x = (0 mod p, p^{1/p} mod p, ..) in P (A/p) für A = O_{ℂ_{p}} mit \overline{v}(x) = 1. Frage: Liegt x ∈ P (A_{0}) für A_{0} = O_{ℝ_{p}}?

Analog für \overline{ς} − 1 = (0 mod p, ζ_{p} − 1 mod p, ζ_{p^{2}} − 1 mod p, ⋯) ist dann

\overline{v}(\overline{ς} − 1) = p^{r} · v(ζ_{p^{r}} − 1) = \frac{p}{p − 1} .

Wittringe

48. p-adische Entwicklungen 98

48 p-adische Entwicklungen

Ein Ring A heißt p-vollständig, wenn A vollständig ist bezüglich der Komplettierung nach den Potenzen des Ideals I = (p).

\underline{Lazardbedingung}: Sei A \underline{p-vollständig}, sei p \underline{kein} Nullteiler in A und sei R = A/p \underline{perfekt}.

Unter dieser Bedingung gilt A/pA = P (A/pA), und die Teichmüllerabbildung definiert eine Abbildung ψ : A/pA → P (A). Die nullte Komponente ψ(\overline{a})_{0} ∈ A nennt man den \underline{Teichmüller Repräsentant} [\overline{a}] von \overline{a} in A.

Damit besitzt jedes a ∈ A eine kanonische \underline{Taylorentwicklung}

a = δ^{0}(a) + p · δ^{1}(a) + p^{2} · δ^{2}(a) + ⋯

mit δ^{0}(a) = ψ(a mod p)_{0} (Teichmüller Repräsentant). Dann ist δ^{0}(a) = a mod p. Also ∃! a_{1} ∈ A (p ist kein Nullteiler) mit a − δ^{0}(a) = p · a_{1}. Setze δ^{1}(a) = ψ(a_{1})_{0} usw. Die Terme δ^{i}(a) verhalten sich ähnlich wie Ableitungen^{17}.

\underline{Folgerung}: a ist somit eindeutig eine Folge zugeordnet

(α_{0}, α_{1}, α_{2}, ⋯) ∈ ∏_{i=0}^{∞} A/p

mit α_{i} = a_{i} mod p und δ^{i}(a) = ψ(α_{i}).

Rechnet man in dem Restklassenring A/p^{n+1}A, dann bricht die Taylorentwicklung obdA an der n + 1-sten Stelle ab. Nach Lemma 44.1 (Beweis) gilt modulo p^{n+1}A

δ^{0}(a) ≡ Lift(F rob^{−n}(α_{0}))^{p^{n}}
p · δ^{1}(a) ≡ p · Lift(F rob^{−n+1}(α_{1}))^{p^{n−1}}
⋯
p^{n} · δ^{n}(a) ≡ p^{n} · Lift(α_{n}) .

Lift(α) steht für ‘irgendein Urbild von α ∈ A/pA’ in A. Mit den Abkürzungen X_{0} = Lift(F rob^{−n}(α_{0})), X_{1} = Lift(F rob^{−n+1}(α_{0})), ..., X_{n} = Lift(α_{n}) für diese Elemente aus A erhält man

a ≡ X_{0}^{p^{n}} + p · X_{1}^{p^{n−1}} + ⋯ + p^{n} · X_{n} mod p^{n+1}A .

17z.B. δ^{1}(a + b) = δ^{1}(a) + δ^{1}(b) + (δ^{0}(a)^{p} + δ^{0}(b)^{p} − (δ^{0}(a) + δ^{0}(b))^{p})/p und δ^{1}(a.b) = δ^{0}(a)δ^{1}(b) + δ^{1}(a)δ^{0}(b) + pδ^{1}(a)δ^{1}(b)

\underline{Beachte}: p^{i} · X_{i}^{p^{n−i}} modulo p^{n+1}A hängt nur ab von der Restklasse X_{i} mod pA.

49 Rechnen mit Übertrag

Seien X_{0}, X_{1}, X_{2}, ⋯ abzählbar viele Unbestimmte. Setze

w_{0} = X_{0}
w_{1} = X_{0}^{p} + p · X_{1}
⋯
w_{n} = X_{0}^{p^{n}} + p · X_{1}^{p^{n−1}} + ⋯ + p^{n} · X_{n}.

im Polynomring ℤ[X_{0}, X_{1}, ⋯]. Dann gilt

ℚ[X_{0}, X_{1}, ⋯ X_{n}] = ℚ[w_{0}, w_{1}, ⋯, w_{n}] .

Etwa X_{1} = (w_{1} − w_{0}^{p})/p etc. Sind dann Y_{0}, Y_{1}, ⋯ weitere Unbestimmte und w̃_{n} die entsprechenden Polynome in den Y_{i}. Wir schreiben auch w_{i} = w_{i}(X) und w̃_{i} = w_{i}(Y). Induktiv findet sofort rekursiv Polynome U_{0}, U_{1}, ..V_{0}, V_{1}, .. in ℚ[X_{0}, X_{1}, ⋯, Y_{0}, Y_{1}, ⋯] mit

w_{0}(X) + w_{0}(Y) = w_{0}(U) resp w_{0}(X) · w_{0}(Y) = w_{0}(V)
w_{1}(X) + w_{1}(Y) = w_{1}(U) resp w_{1}(X) · w_{1}(Y) = w_{1}(U)
⋯
w_{n}(X) + w_{n}(Y) = w_{n}(U) resp. w_{n}(X) · w_{n}(Y) = w_{n}(U).

Die Polynome U_{i}(X, Y), V_{i}(X, Y) hängen nur von X_{0}, .., X_{i}, Y_{0}, ..Y_{i}. Die Koeffizienten der Polynome sind a priori rationale Zahlen mit p-Potenznennern.

\underline{Beispiel}: U_{0} = X_{0} + Y_{0}, V_{0} = X_{0}Y_{0} sowie U_{1} = X_{1} + Y_{1} + (X_{0}^{p} + Y_{0}^{p} − (X_{0} + Y_{0})^{p})/p und V_{1} = X_{0}Y_{1} + X_{1}Y_{0} + pX_{1}Y_{1}, etc.

Lemma 49.1. Die Polynome U_{i}(X, Y), V_{i}(X, Y) sind für alle i ganzzahlig.

\underline{Beweis}: Dies ist ziemlich klar, da diese Polynome das Rechnen mit Übertrag (Addition und Multiplikation) in dem Ring

A_{0} = ℤ_{p}[X_{0}^{1/p^{∞}}, X_{1}^{1/p^{∞}}, ..., Y_{0}^{1/p^{∞}}, Y_{1}^{1/p^{∞}}, ..]

regulieren (X^{1/p^{∞}} steht für alle sukzessiven p-Potenz Wurzeln von X; dies liefert abzählbar viele Elemente). Sei A die p-adische Komplettierung von A_{0}. A ist p-vollständig, p ist kein Nullteiler in A, und A/p ist perfekt. Die U_{i}, V_{i} ergeben sich daher wie im vorigen Abschnitt als Potenzreihen mit p-adisch ganzen Koeffizienten (in ℤ_{p}). Sie sind die Phantomkomponenten von der Summe bzw. dem Produkt von ∑_{i=0}^{n} p^{i}X_{i} und ∑_{i=0}^{n} p^{i}Y_{i}. Beachte X_{i} = ψ(X_{i}) und Y_{i} = ψ(Y_{i})! Andererseits sind sie Polynome mit rationalen Koeffizienten, deren Nenner höchsten p-Potenzen sind. Durch Koeffizienten Vergleich folgt, daß alle Koeffizienten ganz sind.

50 Wittringe

Sei A ein beliebiger kommutativer Ring mit 1. Betrachte die Abbildung W

\xymatrix{W (A) = ∏_{i=0}^{∞} A \ar[r]^{W} & ∏_{i=0}^{∞} A \\ x = (x_{0}, x_{1}, ⋯) \ar@{|->}[r] & (w_{0}(x), w_{1}(x), ⋯)}

welche durch die Polynome w_{i}(x_{0}, x_{1}, ..) des letzten Paragraphen definiert wird. Erklärt man die Addition und Multiplikation im rechten Produkt komponentenweise, im linken Produkt dagegen durch

(x + y)_{n} := U_{n}(x_{0}, ..., x_{n}, y_{0}, ..., y_{n})
(x · y)_{n} := V_{n}(x_{0}, ..., x_{n}, y_{0}, ..., y_{n}) ,

für n = 0, 1, ..., dann wird W ein Ringhomomorphismus. W (A) wird nämlich durch diese Definition zu einem Ring mit 1_{W (A)} = (1, 0, 0, ⋯), der sogenannte \underline{Wittring} von A (zur Primzahl p).

\underline{Reduktion auf den universellen Fall}: Das Assoziativ-, Distributivgesetz etc. genügt es in geeigneten universellen Situationen zu prüfen (Ringe vom Typ des Rings A_{0} aus dem letzten Paragraph, nur eventuell mehr Variablen). Für diese Ringe ist die Aussage klar nach §39. Für einen beliebigen Ring A involviert das Nachprüfen der Axiome immer nur endlich viele Elemente des Rings A. Diese kann man in einen über ℤ endlich erzeugten Unterring B ⊂ A einbetten. B ist ein Quotient eines Polynomrings über ℤ. Diesen kann man in einen universellen Ring vom Typ A_{0} einbetten und so das Axiom durch Reduktion auf den universellen Fall verifizieren.

Implizit bei dieser Verifikation haben wir folgende Tatsache ausgenutzt

Lemma 50.1. Ist φ : A → A′ ein Ringhomomorphismus, dann definiert

φ(x_{0}, x_{1}, ..) := (φ(x_{0}), φ(x_{1}), ..)

einen Ringhomomorphismus φ : W (A) → W (A′).

\underline{Beweis}: φ(x+y) = φ(U_{0}(x, y), ...) = (φ(U_{0}(x, y)), ...) = (U_{0}(φ(x), φ(y)), ...) = φ(x) + φ(y). Q.e.d.

\underline{Bemerkung}: Ist p \underline{kein Nullteiler} in A, ist die Abbildung W : W (A) → ∏_{i=0}^{∞} A \underline{injektiv}, im Fall \underline{p ∈ A^{∗}} sogar ein \underline{Ringisomorphismus}. Dies folgt unmittelbar aus den Formeln, welche die w_{i} durch die x_{i} ausdrücken. Um \underline{allgemeine Identitäten} auf dem Wittringe zu prüfen, genügt es diese in Ringen A zu prüfen, in denen p kein Nullteiler oder eine Einheit ist.

\underline{Variante}: Die Projektion W (A) = ∏_{i=0}^{∞} A → W_{n}(A) = ∏_{i=0}^{n} A definiert einen Quotientenring W (A) ↠ W_{n}(A) mit einem Ringhomomorphismus

W : W_{n}(A) → ∏_{i=0}^{n} A .

Beachte, daß die Polynome U_{i}, V_{i}, w_{i} nur von X_{0}, .., X_{i}, Y_{0}, .., Y_{i} abhängen. Lemma 40.1 und die Bemerkung übertragen auf diesen Fall.

Die Verschiebung

Die \underline{injektive} Verschiebung V : W (A) ↪ W (A) ist definiert durch

V (x_{0}, x_{1}, ⋯) = (0, x_{0}, x_{1}, ⋯) .

Lemma 50.2. Die Verschiebung V ist (nur !) \underline{additiv} auf W (A). Ist A ein Ring der \underline{Charakteristik p}, dann gilt

V · F = F · V = p · id_{W (A)} ,

insbesondere dann also p · 1_{W (A)} = (0, 1, 0, ⋯). Hierbei bezeichne F den vom Frobenius F rob_{A} induzierten \underline{Ringhomomorphismus} von W (A)

F (x_{0}, x_{1}, ⋯) = (x_{0}^{p}, x_{1}^{p}, ⋯) .

\underline{Beweis}: Die erste Aussage folgt durch Reduktion auf den universellen Fall. Die zweite durch Reduktion auf A = A_{0}/p, d.h. den universellen Fall mod p. Hier ist A perfekt und die Aussage folgt aus den Formeln für das Rechnen mit Übertrag.

Korollar 50.3. Ist A ein Ring der Charakteristik p und F rob_{A} \underline{injektiv}, dann ist p \underline{kein Nullteiler} in W (A). Ist F rob_{A} \underline{surjektiv}, dann ist V^{n+1}(W (A)) = p^{n+1} · W (A) das von p^{n+1} erzeugte Hauptideal und es gilt

W (A)/p^{n+1}W (A) ≅ W_{n}(A) .

\underline{Beweis}: p · x = 0 impliziert V F (x) = 0, also F (x) = 0. Daraus folgt x_{i}^{p} = 0 für alle Komponenten x_{i} ∈ A von x. Somit x = 0 für injektiven Frobenius. Die zweite Aussage folgt aus F V = V F, F V = p sowie F^{n}(W (A)) = W (A) (im surjektiven Fall).

Übungsaufgabe: Es gibt einen \underline{Ringhomorphismus F : W (A) → W (A)}, welcher unter W : W (A) → ∏_{i=0}^{∞} A mit dem Shift (x_{0}, x_{1}, ..) ↦ (x_{1}, x_{2}, ..) von ∏_{i=0}^{∞} A kommutiert. F (x_{0}, x_{1}, ..) = (f_{0}(x), f_{1}(x), ⋯) mit ganzzahligen Polynomen f_{i}(x) ≡ x_{i}^{p} modulo pA. Also induziert F den Frobenius im Fall p · A = 0. Allgemein gilt V (F (x) · y) = x · V (y) und F V = p. (Universelle Reduktion). Somit V F = F V ⟺ V (1) = p ⟺ p · A = 0. (Für ⟹ benutze W (0, 1, 0, ..) = (0, p, p, ..) sowie W (p) = (p, p, p, ..), für ⟸ dagegen Kor.50.2).

51 Rekonstruktion

Für jeden Ring A existiert ein kommutatives Diagramm

\xymatrix{W_{n}(A) \ar[r]^{w_{n}} \ar[d] & A \ar@{->>}[d] \\ W_{n}(A/pA) \ar@{.>}[r]^{∃! θ_{n}} & A/p^{n+1}A}

Die Zusammensetzung des Ringhomomorphismus w_{n} mit der Projektion von A auf A/p^{n+1}A bildet (x_{0}, .., x_{n}) ∈ W_{n}(A) auf

a ≡ x_{0}^{p^{n}} + p · x_{1}^{p^{n−1}} + ... + p^{n} · x_{n} mod p^{n+1} · A

ab. Nach §48 hängt dieser Wert modulo p^{n+1}A nur von den Restklassen (\overline{x}_{0}, .., \overline{x}_{n}) ∈ W (A/p) ab. Somit faktorisiert dieser Homomorphismus über einen Homomorphismus θ_{n} : W (A/pA) → A/p^{n+1}A.

Lemma 51.1. Sei A p-vollständig, p kein Nullteiler in A. Ist F rob_{A/p} surjektiv (resp. injektiv), dann ist θ_{n} surjektiv (resp. injektiv). Ist A/p perfekt – das heißt die \underline{Lazardbedingungen} seien erfüllt – dann induziert

θ_{n}(\overline{x}_{0}, ..., \overline{x}_{n}) = x_{0}^{p^{n}} + ... + p^{n}x_{n}

einen \underline{Ringisomorphismus}

[figure: θ_{n} : W_{n}(A/pA); ∼; A/p^{n+1}A] .

\underline{Beweis}: Nach §48 ist die Abbildung θ_{n} surjektiv (p-Entwicklung von a ∈ A), im perfekten Fall aber auch injektiv. Aus θ_{n}(\overline{x}_{0}, .., \overline{x}_{n}) folgt \overline{x}_{0}^{p^{n}} = 0 in A/pA. Wenn A/pA perfekt ist, folgt \overline{x}_{0} = 0 und obdA also x_{0} = 0. Da p kein Nullteiler in A ist folgt x_{1}^{p^{n−1}} + ... + p^{n−1}x_{n} ∈ p^{n}A und induktiv damit \overline{x}_{1} = ... = \overline{x}_{n} = 0 in A/pA.

Nach Konstruktion hat man kommutative Diagramme

\xymatrix{W_{n}(A/pA) \ar[r]^{θ_{n}} \ar[d]_{F} & A/p^{n+1}A \ar@{->>}[d] \\ W_{n−1}(A/pA) \ar[r]^{θ_{n−1}} & A/p^{n}A}

für den Frobenius F (\overline{x}_{0}, .., \overline{x}_{n}) = (\overline{x}_{0}^{p}, ..., \overline{x}_{n−1}^{p}). Die rechte vertikale Abbildung ist die natürliche Quotientenabbildung.

\underline{Sei nun A/pA perfekt}: Setzt man π_{n} = W_{n}(F rob^{−n}) ∘ proj(W → W_{n}) und θ(\overline{x}_{0}, ⋯) = ∑_{i=0}^{∞} p^{i} · ψ(F rob^{−i}\overline{x}_{i}), dann erhält man ein kommutatives Diagramm

\xymatrix{W (A/pA) \ar[r]^{θ} \ar[d]_{π_{n}} & A \ar@{->>}[d] \\ W_{n}(A/pA) \ar[r]^{θ_{n}} & A/p^{n+1}A}

Die W_{n}(F rob^{−n}) sind Isomorphismen. Somit induzieren die Abbildungen π_{n} einen Ringisomorphismus

W (A) ≅ lim_{\underleftarrow{F}} W_{n}(A/pA)

sowie θ einen Ringhomomorphismus

W (A) → lim_{←} A/p^{n+1}A .

Aus Lemma 51.1 folgt Lemma 51.2. Sei A \underline{p-vollständig} und ist A/pA \underline{perfekt}. Dann definiert

θ(\overline{x}_{0}, \overline{x}_{1}, ⋯) = ∑_{i=0}^{∞} p^{i} · ψ(F rob_{A/pA}^{−i}(\overline{x}_{i}))_{0}

einen \underline{Ringhomorphismus} θ : W (A/pA) → A. Ist die \underline{Lazardbedingung} erfüllt – d.h. zusätzlich sei p \underline{kein Nullteiler} in A – dann ist θ ein \underline{Ringisomorphismus}

W (A/pA) ≅ A .

Bemerkung: δ^{i}(θ(x)) = ψ(F rob_{A/pA}^{−i}(\overline{x}_{i})) im Sinn von §48. Bemerkung: Wegen Lemma 50.2 gilt

θ(x) = ∑_{i=0}^{∞} ψ(V^{i}(x)_{0})_{0} .

52 Konstruktion

Sei R ein Ring der Charakteristik p. Dann besitzt A = W (R) einen surjektiven Restklassenhomorphismus

w_{0} : A = W (R) ↠ R

welcher (x_{0}, x_{1}, ⋯) ∈ W (R) auf x_{0} ∈ R abbildet. Ist R \underline{semiperfekt}, dann ist Kern(w_{0}) das von p erzeugte Hauptideal von W (R) und W (R) ist p-vollständig wegen W (R) = lim_{n}W_{n}(R) = lim_{n}W (R)/p^{n} · W (R) (nach Korollar 50.3). Ist R \underline{perfekt}, erfüllt A = W (R) die Lazardbedingung (wieder Korollar 50.3).

Korollar 52.1. Zu jedem \underline{perfekten} Ring R der Charakteristik p gibt es einen Ring A, welcher die \underline{Lazardbedingung} (d.h. A ist p-vollständig und p ist kein Nullteiler in A) erfüllt, so daß weiterhin gilt

A/pA = R .

Der Ring A ist dadurch eindeutig bestimmt bis auf Isomorphie und es gilt

A ≅ W (R) .

Der Frobenius Automorphismus F rob_{R} besitzt eine Fortsetzung F auf A.

Aus Lemma 42.2 folgt

Lemma 52.2. Ist R nullteilerfrei und perfekt von der Charakteristik p, dann ist auch W (R) nullteilerfrei.

\underline{Beispiel 1}: Es gilt W (𝔽_{p}) = ℤ_{p} (nach Lemma 51.2 für A = ℤ_{p}) \underline{Beispiel 2}: Sei R = 𝔽_{q} eine endliche Körpererweiterung von 𝔽_{p}. R ist perfekt und Gal(𝔽_{q}/𝔽_{p}) wird vom Frobenius erzeugt. Der Ring W (𝔽_{q}) ist ein Erweiterungsring von W (𝔽_{p}) = ℤ_{p} und enthält die (q −1)-sten Einheitswurzeln als Teichmüller Repräsentanten. Mittels der p-adischen Entwicklung (Lemma 51.2) folgt dann sofort

W (𝔽_{q}) = ℤ_{p}[ζ_{q−1}] .

W (𝔽_{q}) ist ein regulärer lokaler Ring mit maximalem Ideal (p), somit ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ℚ_{q}.

Fontaine Ringe

53 Verdickungen

Sei A p-vollständig. Dann ist A/p ein Ring der Charakteristik p. Sei P (A/p) seine Perfektionierung. Dies ist ein perfekter Ring der Charakteristik p. Als multiplikativer Monopoid kann er mit dem Monoid P (A) ⊂ (A, ·) der Teichmüllerrepresentanten in A identifiziert werden. Der Wittring W P (A) des perfekten Rings hat die Eigenschaft W P (A)/p = P (A) und es gilt

P (P (A/p)) = P (A/p)

Die linke Seite kann mit P (W P (A)), gewissen Folgen von Teichmüller Repräsentanten in W P (A), die rechte Seite mit P (A), gewissen Folgen von Teichmüller Repräsentanten in A, identifiziert werden

∏_{j=0}^{∞} W P (A) ⫆ P (W P (A)) ⟷ P (A) ⫅ ∏_{j=0}^{∞} A .

Der Ringhomomorphismus ρ der Perfektionierung P (A/p) → A/p induziert Ringhomomorphismen W_{n}(P (A/p)) → W_{n}(A/p). Die Zusammensetzung mit den Abbildungen θ_{n} : W_{n}(A/p) → A/p^{n} (siehe Anfang von §51) liefert Ringhommorphismen W_{n}(P (A/p)) → A/p^{n}, und im projektiven Limes einen Ringhomomorphismus θ : W P (A) → A zusammen mit einem kommutativen Reduktionsdiagramm

[figure: W P (A); θ; mod p; A; mod p; P (A/p); ρ; A/p]

\underline{Explizite Beschreibung von θ}: Elemente x = (\overline{x}_{0}, \overline{x}_{1}, ⋯) im Wittring W P (A) können auch durch

x = ∑_{i} p^{i} · ψ_{W P (A)}(F rob_{P (A/p)}^{−i}(\overline{x}_{i}))_{0}

repräsentiert werden (Lemma 51.2). Jede Komponente \overline{x}_{i} ist in P (A/p), also selber repräsentiert durch eine Sequenz

\overline{x}_{i} = ( \begin{matrix}\overline{x} & 0i \\ \overline{x} & 1i \\ ⋯ \end{matrix} ) , (\overline{x}_{ji} ∈ A/pA)

mit (\overline{x}_{ji})^{p} = \overline{x}_{j−1i}. Andererseits kann x mit einer Sequenz

x_{i} = ( \begin{matrix}x_{0i} \\ x_{1i} \\ ⋯ \end{matrix} ) ∈ P (A) = P (A/p)

identifiziert werden (Satz 44.3). Zur Erinnerung: Dann gilt x_{ji} ∈ A mit x_{ji}^{p} = x_{j−1i}. Man hat also die bijektive Zuordnung

W P (A) ∋ (\overline{x}_{ji}) ↦ (x_{ji}) ∈ ∏_{j,i} A

und die Teichmüller Repräsentanten

ψ_{W P (A)}(F rob_{P (A/p)}^{−i}(\overline{x}_{i}))_{0} = ψ_{W P (A)}(( \begin{matrix}\overline{x} & ii \\ \overline{x} & i+1i \\ ⋯ \end{matrix} ))_{0}

in W P (A) respektive die Teichmüller Representanten

ψ_{A}(F rob_{P (A/p)}^{−i}(\overline{x}_{i}))_{0} = x_{ii}

in A.

Lemma 53.1. Der kanonische Homomorphismus

θ : W P (A) → A

ist gegeben durch:

x = ∑_{i} p^{i} · [( \begin{matrix}\overline{x} & ii \\ \overline{x} & i+1i \\ ⋯ \end{matrix} )] ↦ θ(x) = ∑_{i} p^{i} · x_{ii} .

Ist A/p semiperfekt, dann ist θ surjektiv.

54 Neue Elemente

Sei A p-vollständiger Teilring eines Körpers und es seien alle p^{n}-ten Einheitswurzeln in A. Der Einfachheit halber sei p ≠ 2. Dann gilt

\overline{ς} = (1, \overline{ζ}_{p}, \overline{ζ}_{p^{2}}, ⋯) ∈ P (A/p)

mit primitiven p^{n}-ten Einheitswurzeln ζ_{p^{n}} ∈ A. Identifiziert man P (A) = P (A/p) wie im letzten Abschnitt, kann man \overline{ς} als Element in P(A) auffassen. Es ist gegeben durch eine Folge von Elementen in A wie folgt

\overline{ς} = (1, ζ_{p}, ζ_{p^{2}}, ⋯) ∈ P (A) ⊂ ∏_{j} A .

Anderseits kann man den multiplikativen Teichmüller Repräsentant

e^{(2πi)_{p}} := [\overline{ς}] ∈ W P (A)

von \overline{ς} ∈ P (A/p) = W P (A)/p betrachten. Dieser ist gerade der Wittvektor

e^{(2πi)_{p}} = (\overline{ς}, 0, 0, ⋯) ∈ ∏_{i} P (A/p) = W (P (A/p)) = W P (A) .

\underline{Notation}: ς = e^{(2πi)_{p}} .

Es gilt θ(e^{(2πi)_{p}}) = p^{0} · 1 = 1 ∈ A. Das heißt 1 − e^{(2πi)_{p}} ∈ Kern(θ).

\underline{Notation}: ς_{p^{n}} = e^{\frac{(2πi)p}{p^{n}}} bezeichne den Teichmüllerlift von (F^{−n}(\overline{ς}), 0, ⋯).

Beachte ς_{p^{n}}^{p^{n}} = ς sowie θ(e^{\frac{(2πi)p}{p^{n}}}) = ζ_{p^{n}} und ς_{p^{n}} = F^{−n}(ς).

Frage: Liegen die p^{n}-ten Einheitswurzeln in W P (A)?

Antwort: Nur wenn der Ring A der Nullring ist.

\underline{Beweis}: Eine Einheitswurzeln der Ordnung p^{n} in W P (A) hat die Gestalt

ζ_{p^{n}} = e^{\frac{(2πi)p}{p^{n}}} + y · (1 − e^{(2πi)_{p}}) , y ∈ W P (A) .

Hierbei benutzen wir, daß der Kern von θ das von (1 − e^{(2πi)_{p}}) aufgespannte Hauptideal ist. Dies wird im nächten Paragraph gezeigt. Durch Potenzieren mit p^{n} folgt dann

1 ≡ e^{(2πi)_{p}} + p^{n}ς_{p^{n}}^{p^{n}−1}y · (1 − e^{(2πi)_{p}}) modulo (1 − e^{(2πi)_{p}})^{2} · W P (A) .

Nach Kürzen von (1 − e^{(2πi)_{p}}) – benutze das nächste Lemma – müßte also gelten p^{n}ς_{p^{n}}^{p^{n}−1}y ≡ 1 modulo (1 − e^{(2πi)_{p}}) · W P (A), und somit

θ(y) = p^{−n} · ζ_{p^{n}} .

Das postulierte Element y hat aber sein Bild θ(y) ∈ A. Wegen ζ_{p^{n}} ∈ A^{∗} folgt p ∈ A^{∗}. Da A p-vollständig ist, folgt daraus A = 0. Q.e.d. Lemma 54.1. Ist A nullteilerfrei, dann auch W P (A).

\underline{Beweis}: Beachte P (A/p) ist nullteilerfreier Untermonoid von A. Somit folgt die Behauptung wegen Lemma 42.2.

55. Der Kern von θ 110

55 Der Kern von θ

Sei A p-vollständiger Teilring eines Körpers, insbesondere also nullteilerfrei. Der Einfachheit halber sei p ≠ 2. Man hat dann den kanonischen Homomorphismus

θ : W P (A) → A .

\underline{Wir bestimmen den Kern von θ}: Elemente x = ∑_{i} p^{i}[F^{−i}(\overline{x}_{i})] ∈ W P (A) mit θ(x) = 0 erfüllen per Definition ∑_{i} p^{i}x_{ii} = 0 in A. Da x_{ii} Teichmüller Repräsentanten der Restklassen \overline{x}_{ii} ∈ A/pA in A sind, ist daher x_{ii} = 0 resp. \overline{x}_{ii} = 0 für alle i mittels p-adischer Entwicklung gleichbedeutend mit θ(x) = 0. Nach Lemma 46.3 sind diese Bedingungen – wegen p ≠ 2 – äquivalent zu \overline{x}_{i} ∈ (1 − \overline{ς})^{p^{i}} · \overline{y}_{i} (\overline{y}_{i} ∈ P (A/p) für alle i. Hierbei ist \overline{ς} definiert wie in Kapitel 46. [\overline{ς} = 0, außer wenn alle p^{n}-ten Einheitswurzeln in A/p (oder äquivalent dazu in A) liegen].

\underline{Mit anderen Worten}: θ(x) = 0 ⟺ x = ∑_{i} p^{i}[1−\overline{ς}]·[F^{−i}\overline{y}_{i}] ∈ [1−\overline{ς}]·W P (A). Beachte [F^{−i}((1 − \overline{ς})^{p^{i}} · \overline{y}_{i})] = [(1 − \overline{ς}) · F^{−i}(\overline{y}_{i})] = [1 − \overline{ς}] · [F^{−i}(\overline{y}_{i})]. Setze e^{(2πi)_{p}} := [\overline{ς}].

\underline{Behauptung}: Für p ≠ 2 gilt [1 − \overline{ς}] = α · (1 − e^{(2πi)_{p}}) für eine Einheit α ∈ W P (A)^{∗}.

Korollar 55.1. Sei p ≠ 2. Der Kern von θ : W P (A) → A ist das von (1 − e^{(2πi)_{p}}) erzeugte Hauptideal von W P (A), wenn A alle p^{n}-ten Einheitswurzeln enthält. Anderenfalls ist θ injektiv.

\underline{Beweis der Behauptung}: Aus θ([\overline{ς}] − 1) = 0 folgt [\overline{ς}] − 1 = α · [1 − \overline{ς}] für ein α ∈ W P (A), wie bereits oben gezeigt. Da W P (A) p-vollständig ist, gilt W P (A)^{∗} = [P (A/p)^{∗}] × (1 + p · W P (A)). Somit ist α eine Einheit genau dann, wenn die nullte Wittkomponente \overline{α}_{0} ∈ P (A/p) von α eine Einheit in P (A/p) ist. Dies können wir durch Reduktion nach p bestimmen. Dies liefert (\overline{ς} − 1) = \overline{α} · (\overline{ς} − 1). Da P (A/p) nach 46.1 nullteilerfrei ist, folgt \overline{α} = 1. Q.e.d.