Endoskopische Gruppen der unverzweigten einfachen Gruppen

Joachim Ballmann Dan Fulea Rainer Weissauer

12 2000

In dieser Arbeit werden alle endoskopischen Gruppen zu den einfachen Gruppen ausgerechnet, die Matchings ermöglichen, an denen primitive Tori beteiligt sind. ”Primitiv” wurde in [BFW] definiert und bedeutet im wesentlichen, daß solche Tori in keine reduktive Untergruppe von G̃ ”absteigen”. (Vgl. Behauptung 2.6.) Via Exponentialabbildung wird die Berechnung auf das Lösen einer Gleichung (∗) im Appartment eines maximalen Torus T ⊂ Ĝ zurückgeführt. Die Lösungen in einer Kammer des Komplexes zu P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ} werden angegeben im Dynkingraphen einer solchen Kammer. Zu Beginn werden die wichtigsten benötigten Resultate über diesen Kammerkomplex angegeben. (Details findet man z. B. in [Ball].)

1 Der affine Kammerkomplex zu (Φ, Θ)

(1.1) Sei V ein (reeller endlichdimensionaler) Vektorraum, V^{∗} sein Dualraum, Φ ⊂ V^{∗} ein irreduzibles Wurzelsystem, Δ eine Basis von Φ und Θ ∈ Aut(Φ, Δ). Das von den Kowurzeln Φ^{∨} erzeugte Gitter wird mit ℤ[Φ^{∨}] ⊂ V bezeichnet, das Gewichtegitter mit ℤ[Φ]^{∗} := {v ∈ V_{der} | ⟨α, v⟩ ∈ ℤ für alle α ∈ Φ}, wobei V_{der} := ℤ[Φ^{∨}] ⊗ ℝ ⊂ V.

Definition 1.2. Sei P_{Θ} die Projektion x ⟼ \frac{1}{ordΘ} ∑_{i=1}^{ordΘ} Θ^{i}(x) in V oder V^{∗} und

Φ_{Θ} := P_{Θ}(Φ)  sowie  Φ^{Θ} = ((Φ^{∨})_{Θ})^{∨}.

Für einen Θ–Orbit O ⊂ Φ (oder O ⊂ Φ^{∨}) sei S_{O} = ∑_{γ∈O} γ die Orbitsumme.

Satz 1.3 (Steinberg). Sei G eine reduktive Gruppe, B ⊂ G eine Borelgruppe, T ⊂ B ein maximaler Torus und Θ ∈ Aut(G, B, T) ein Automorphismus von G, der B und T stabilisiert. Ferner sei t ∈ T und Φ = Φ(G, T) das Wurzelsystem von G. Die Einskomponente (G^{tΘ})^{∘} der Fixgruppe von intt∘Θ in G ist eine reduktive Gruppe. Für ihr Wurzelsystem gilt

Φ(G^{tΘ∘}, T^{Θ∘}) ≃ \{P_{Θ}(O_{α}) ∈ Φ_{Θ} | S_{O_{α}}(t) = \{ \begin{matrix}1 & falls \frac{1}{2}P_{Θ}(O_{α}) ∉ Φ_{Θ} \\ −1 & falls \frac{1}{2}P_{Θ}(O_{α}) ∈ Φ_{Θ} \end{matrix} \} .

Beweis: [Stein, 8.1]

Lemma 1.4. (a) Sei O_{α} = {Θ^{i}(α)} ⊂ Φ. Dann gilt

(P_{Θ}(α^{∨}))^{∨} = \{ \begin{matrix}S_{O_{α}} & falls 2P_{Θ}(α) ∉ Φ_{Θ} \\ 2 · S_{O_{α}} & falls 2P_{Θ}(α) ∈ Φ_{Θ} \end{matrix} \} =: c(α) · S_{O_{α}}

(b) Sei Δ^{∗} ⊂ V_{der} die Dualbasis zu Δ, genauer sei Δ^{∗} = {β_{α}^{∨} | α ∈ Δ}, so daß γ(β_{α}^{∨}) = δ_{γ,α} für γ ∈ Δ. Die Dualbasis von V_{der}^{Θ} zu (P_{Θ}(Δ^{∨}))^{∨} ist die Menge der \frac{1}{c(α)}P_{Θ}(β_{α}^{∨}) für alle Orbiten O_{α} ⊂ Δ mit α ∈ O_{α}. Dagegen bildet P_{Θ}(Δ^{∗}) eine ℤ–Basis von ℤ[Φ^{Θ}]^{∗} := {v ∈ V_{der}^{Θ} | ⟨α, v⟩ ∈ ℤ für alle α ∈ Φ^{Θ}}. Falls Φ_{Θ} ein reduziertes Wurzelsystem ist, ist c(α) = 1 für alle α!

Beweis: Das rechnet man in allen Fällen sofort nach.

(1.5) Der Kammerkomplex: Durch die Hyperebenen (Wände)

H_{O_{α},k} := {v ∈ V^{Θ} | (P_{Θ}(α^{∨}))^{∨}(v) = −k} = {v ∈ V^{Θ} | (c(α) · S_{O_{α}})(v) = −k}

für alle Θ–Orbiten O_{α} ⊂ Φ (mit α ∈ O_{α}) und alle k ∈ ℤ ist auf V^{Θ} folgender Kammerkomplex definiert: Die Kammern sind die Zusammenhangskomponenten von

V^{Θ}\ ⋃_{\begin{matrix}O_{α}⊂Φ Θ–Orbit, \\ k∈ℤ \end{matrix}}H_{O_{α},k}.

Die Spiegelungen an den verschiedenen Wänden einer Kammer erzeugen die affine Weylgruppe W_{aff}(Φ, Θ) = P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ}. Sie operiert einfach transitiv auf den Kammern.

Definition 1.6. Sei Õ = {Θ^{i}(α̃) | i ∈ ℤ} ⊂ Φ^{−} der Θ–Orbit, für den folgende äquivalente Bedingungen gelten:

• Die Wände H_{O_{i},0} für alle Θ–Orbiten O_{i} ∈ Δ (1 ≤ i ≤ Rang((Φ^{∨})_{Θ})) begrenzen zusammen mit dem ”Deckel” H_{Õ,1} eine Kammer (”Alkoven”) des Kammerkomplexes V^{Θ} zu P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ}.

• −P_{Θ}(α̃^{∨})^{∨} = −c(α̃)SÕ ist die höchste Wurzel in (P_{Θ}(Φ^{∨})^{∨})^{+} = (Φ^{Θ})^{+}, bezüglich des Positivbereiches, der durch Δ definiert wird.

Dem Paar (Φ, Θ) werde das affine Dynkindiagramm zugeordnet:

Δ_{aff}(Φ, Θ) := P_{Θ}(Δ) ∪ {c(α̃)P_{Θ}(α̃) + 1}
=^{1.4} \{\frac{1}{c(α_{i})}(S_{O_{α^{∨}_{i}}})^{∨} | α_{i}^{∨} ∈ O_{α_{i}^{∨}} ⊂ Δ^{∨}\} ∪ \{(S_{Õ_{∨}})^{∨} + 1 | Õ^{∨} = \{Θ^{i}(α̃^{∨})\}\}

(1.7) Der Alkovendeckel: Wenn man die Wurzeln der irreduziblen ADE–Systeme so numeriert, wie auf Seite 13 (das ist die Bourbakinotation [Bou, VI §4]), hat man folgende Orbiten Õ = {Θ^{i}(α̃) | i ∈ ℤ}, falls Θ ≠ id

\begin{matrix}^{2}A_{2n−1}: & \{−(α_{1} + α_{2} + ... + α_{2n−2}), −(α_{2} + α_{3}... + α_{2n−1})\} \\ ^{2}A_{2n} : & \{−(α_{1} + α_{2} + ... + α_{n}), −(α_{n+1} + ... + α_{2n})\} \\ ^{2}D_{n} : & \{−(α_{1} + ... + α_{n−2} + α_{n−1}), −(α_{1} + ... + α_{n−2} + α_{n})\} \\ ^{2}E_{6} : & \{−(α_{1} + α_{2} + 2α_{3} + 2α_{4} + α_{5} + α_{6}), −(α_{1} + α_{2} + α_{3} + 2α_{4} + 2α_{5} + α_{6})\} \\ ^{3}D_{4} : & \{−(α_{1} + α_{2} + α_{3}), −(α_{2} + α_{3} + α_{4}), −(α_{1} + α_{2} + α_{4})\} \end{matrix}

Bei diesen Fällen (außer den^{2}A_{2n}–Systemen) ist −Õ immer der Orbit höchster Höhe in Φ^{+}, der nicht aus einer Fixwurzel besteht. Im Ausnahmefall Φ = A_{2n} und Θ ≠ id ist 2 · P_{Θ}(α̃) ∈ Φ_{Θ}, d.h. c(α̃) = 2! Falls Θ = id, ist −α̃ immer die höchste Wurzel in Φ^{+}. Alle Dynkingraphen Δ_{aff}(Φ, Θ) (mit irreduziblem Φ) sind in der Tabelle auf Seite 14 angegeben.

Definition 1.8. Ein Punkt v ∈ V^{Θ} heißt speziell, falls für den Stabilisator von v gilt:

(P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ})_{v} ≃ W^{Θ}.

Dann liegt ein spezielles v in einer Facette niedrigster Dimension einer Kammer und die Wurzel der gegenüberliegenden Wand in Δ_{aff}(Φ, Θ) wird ebenfalls speziell genannt.

Für Stabilisatoren von Punkten v ∈ V^{Θ} in W_{aff} hat man den

Satz 1.9 (Chevalley-Steinberg). Der Fixator W_{H} := (P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ})_{v} von v ∈ V^{Θ} ist eine Spiegelungsgruppe, erzeugt von den Spiegelungen aus W_{aff}, die v festlassen. Sei C eine Kammer, so daß v ∈ \overline{C}. Ihre Wände seien die Hyperebenen H_{O_{i},k_{i}} (1 ≤ i ≤ r).Dann ist {P_{Θ}(α_{i}^{∨})^{∨} | v ∈ H_{O_{i},k_{i}} und α_{i} ∈ O_{i}} eine Basis eines Wurzelsystems Φ_{H}, dessen Weilgruppe isomorph zu W_{H} ist.

Beweis: [Stein, 1.19]

(1.10) Nach diesem Satz kann man die speziellen Ecken am Graphen von Δ_{aff}(Φ, Θ) ablesen: Eine Ecke ist genau dann speziell, wenn die Weylgruppe von P_{Θ}(Φ) gleich der Weylgruppe des Graphen ist, der entsteht, wenn man die Ecke (mit allen zu ihr führenden Kanten) aus dem Diagramm zu Δ_{aff}(Φ, Θ) streicht. Auf Seite 14 sind genau alle speziellen Punkte geschwärzt.

Behauptung 1.11. Genau dann ist v ∈ V^{Θ} speziell, wenn

v ∈ ℤ[(P_{Θ}(Δ^{∨}))^{∨}]^{∗} =^{Def} {x ∈ V_{der}^{Θ} | γ(v) ∈ ℤ für alle γ ∈ P_{Θ}(Δ^{∨})^{∨}} = ℤ[Φ_{lang}^{Θ}]^{∗},

wobei Φ_{lang}^{Θ} = {γ ∈ Φ^{Θ} | 2 · γ ∉ Φ^{Θ}} das reduzierte Wurzelsystem der längsten Wurzeln in Φ^{Θ} = P_{Θ}(Φ^{∨})^{∨} ist.

Beweis: Nach Chevalley–Steinberg 1.9 und der Inspektion in (1.10) ist v ∈ V^{I} genau dann speziell, wenn es zu jedem Orbit O_{α} ⊂ Φ ein k_{O_{α}} ∈ ℤ gibt mit v ∈ H_{O_{α},k_{Oα}}, d.h. (P_{Θ}(α^{∨})^{∨})(v) = k_{O_{α}} ∈ ℤ. Falls Φ nicht vom Typ ^{2}A_{2n} ist, ist (nach 1.4) P_{Θ}(Δ^{∨})^{∨} eine Basis von Φ^{Θ} = Φ_{lang}^{Θ}. Falls Φ vom Typ ^{2}A_{2n} ist, errechnet man (mit 1.4), daß P_{Θ}(Δ^{∨})^{∨} eine Basis von Φ_{lang}^{Θ} ist.

(1.12) Die Ecken des Alkovens: Sei α̃ ∈ Õ wie in Definition 1.6. Dann gibt es für alle Θ–Orbiten Θ_{α} ⊂ Δ ∪ Õ Zahlen c_{O_{α}} ∈ ℤ_{>0}, so daß

0 = ∑_{O_{α}⊂Δ∪Õ} c_{O_{α}}P_{Θ}(α^{∨})^{∨} = ∑_{O_{α}⊂Δ∪Õ} c_{O_{α}}c(α)S_{O_{α}} ,

wobei das c(α) aus Lemma 1.4 ist. Dabei gilt cÕ = 1. Die Dualbasis zu P_{Θ}(Δ^{∨})^{∨} wurde in 1.4 angegeben. Mit den Bezeichnungen von dort sind die Ecken das Alkovens zu Δ_{aff}(Φ, Θ), abgesehen vom Ursprung, genau die Punkte

\frac{1}{c_{O_{α}} · c(α)}P_{Θ}(β_{α}^{∨}), αO_{α} ⊂ Δ.

Die folgende Tabelle gibt die c_{O_{α}} für alle irreduziblen Systeme an: Die Orbiten O_{α} sind dabei genau so angeordnet, wie die (S_{O_{α}^{∨}})^{∨} in der Tabelle auf Seite 14.

Φ  Θ^{∗} = id  OrdΘ = 2
A_{2n−1}  alle c_{O_{α}} = 1  {1 \atop 1} 2 2 ... 2 2 2
C_{n}  1 2 2 ... 2 2 1
A_{2n}  alle c_{Iα} = 1  1 2 2 ... 2 2 1
D_{n+1}  {1 \atop 1} 2 2 ... 2 2 {1 \atop 1}  1 2 2 ... 2 2 1
B_{n}  {1 \atop 1} 2 2 ... 2 2 2
E_{8}  3 2 4 6 5 4 3 2 1
E_{7}  2 1 2 3 4 3 2 1
E_{6}  1 2 3 2 1 2 1  2 4 3 2 1
F_{4}  1 2 3 4 2
OrdΘ^{=}3
D_{4}  1 2 1 1 1  3 2 1
G_{2}  1 2 3

Beispiel 1.13. Φ vom Typ A_{m} (mit m = 2n) und Θ ≠ id. Mit den Bezeichnungen aus [BFW] (oder [Bou, VI §4]) hat man folgende (reelle) Alkoven

Alk(Δ_{aff}(Φ, id)) := {(x_{1}, ..., x_{m+1}) ∈ V | 1 + x_{m+1} > x_{1} > x_{2} > ... > x_{m} > x_{m+1}}
Alk(Δ_{aff}(Φ_{Θ}, id)) = \{(x_{1}, ..., x_{n}, 0, −x_{n}, ... − x_{1}) ∈ V^{Θ} | \frac{1}{2} > x_{1} > ... > x_{n} > 0\}
Alk(Δ_{aff}(Φ, Θ)) = \{(x_{1}, ..., x_{n}, 0, −x_{n}, ... − x_{1}) ∈ V^{Θ} | \frac{1}{4} > x_{1} > ... > x_{n} > 0\} .

Obwohl die Dynkindiagramme der letzten beiden Alkoven gleich aussehen, sind die entsprechenden Alkoven nicht gleich. Insbesondere hat man folgende Stabilisatorgruppe dieser Alkoven in P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}) ⋊ W^{Θ}:

Ω_{Alk(Δ_{aff} (Φ_{Θ},id))} ≃ ℤ/2  aber  Ω_{Alk(Δ_{aff} (Φ,Θ))} ≃ 1.

(1.14) Im Folgenden sei stets Λ das Gitter (in V_{der}^{Θ}) der speziellen Punkte. Nach Behauptung 1.11 ist Λ = ℤ[Φ_{lang}^{Θ}]^{∗}. Falls (Φ, Θ) ≠ (A_{2n}, Flip), hat man nach Lemma 1.4 Λ = P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}). Im Ausnahmefall ist P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}) = P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) und ℤ/2 ≃ Λ/P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}) = Λ/P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]). Bezeichne Aut(Φ)^{Θ} := Cent(Θ, Aut(Φ)). Wähle eine Kammer C ⊂ V^{Θ} mit 0 ∈ \overline{C}. Folgende Stabilisatoren der Kammer C werden benötigt:

Ω_{C}  := Stab_{C}(P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}) ⋊ W^{Θ}),
Ω_{C}^{spez} := Stab_{C}(Λ ⋊ W^{Θ}),
Ω_{C}^{ext} := Stab_{C}(P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}) ⋊ Aut(Φ)^{Θ}) ≃ Aut(Δ_{aff}(Φ, Θ)) und
Ω_{C}^{spez,ext} := Stab_{C}(Λ ⋊ Aut(Φ)^{Θ}).

Weil sowohl die Operation von P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ} auf den Kammern von V^{Θ} als auch die Operation von Ω_{C}^{ext} auf den speziellen Punkten von C (bzw. Δ_{aff}(Φ, Θ)) einfach transitiv ist, hat man folgendes kommutative Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten

1  P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ}  Λ ⋊ W^{Θ}  Ω_{C}^{spez}  1 1  P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ}  Λ ⋊ Aut(Φ)^{Θ}  Ω_{C}^{spez,ext}  1 Aut(Δ(Φ, Θ)) _{∼} Stab_{0}(Ω_{C}^{spez,ext}),

wobei Δ(Φ, Θ) = Δ_{aff}(Φ, Θ)\{1 + S∨ ; Õ^{∨}}. Dadurch erhält man Isomorphismen

π_{1}(Φ_{Θ}) =^{Def} P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗})/P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ≃ Ω_{C}  und  Ω_{C}^{spez} ≃ Λ/P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]).

2 Die Gleichung (∗)

Definition 2.1. Betrachtet werden Sextupel (V, Φ, Θ, σ, Fr, β^{∨}) mit

• V ist ein Vektorraum und Φ ⊂ V^{∗} ein Wurzelsystem.

• Θ ∈ Aut(Φ, Δ_{aff})

• Fr ∈ Cent(Θ, Aut(Φ)) =^{Def} Aut(Φ)^{Θ} • σ ist das Bild von Fr unter der Projektion auf den zweiten Faktor bei der

Zerlegung Aut(Φ) = W ⋊ Aut(Φ, Δ). Offensichtlich vertauscht σ mit Θ.

• β^{∨} ∈ ℤ[Φ]^{∗}

Sextupel heißen anisotrop, wenn (Fr −1)V^{Θ} = V^{Θ}. Anisotrope Sextupel heißen primitiv, wenn Fr primitiv ist im Sinne von [BFW], d.h. |(Λ/P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]))^{Fr}| = |H^{1}(⟨Fr⟩, P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]))| Äquivalent sind zwei Sextupel (V, Φ, Θ, σ, Fr, β^{∨}) ≈ (V, Φ, Θ, σ̃, F̃r, β̃^{∨}), wenn ein t ⋊ w ∈ P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ} existiert, so daß einerseits F̃r = w Fr w^{−1} und andererseits P_{Θ}(β̃^{∨}) = (t ⋊ w)(P_{Θ}(β^{∨})). Klarerweise ist dabei σ̃ = σ.

(2.2) In dieser Arbeit soll für alle irreduziblen Φ und alle Äquivalenzklassen von anisotropen, primitiven Sextupeln (ℤ[Φ^{∨}]⊗ℝ, Φ, Θ, σ, Fr, β^{∨}) folgende Gleichung (in v) gelöst werden

Fr(v) ≡ v + β^{∨} mod ℤ[Φ^{∨}] + (1 − Θ)V (∗)

oder äquivalent umformuliert

(∗∗) (Fr −1)(P_{Θ}(v)) ≡ P_{Θ}(β^{∨}) mod P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}])

Der Abschluß des Alkovens zu Δ_{aff}(Φ, Θ), der in (1.6) (oder (1.12)) beschrieben wurde, ist ein (schwacher) Fundamentalbereich für die Operation von P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ} auf V^{Θ}. Indem man das Sextupel innerhalb seiner Äquivalenzklasse geeignet abändert, sucht man also Lösungen der Gleichung (∗) in dem (abgeschlossen) Alkoven zu Δ_{aff}(Φ, Θ).

Satz 2.3. Sei (G, θ, a) ein Tripel wie in [KS]. Dabei sei G eine einfache F –Gruppe, die über einer endlichen unverzweigten Erweiterung F′/F zerfällt. (F ist ein p– adischer Körper.) Bezeichne Φ := Φ(Ĝ) ≃ Φ^{∨}(G) und Θ den von θ induzierten Diagrammautomorphismus aus Aut(Φ, Δ). Sei

Φ(v) := \{P_{Θ}(α) | α ∈ Φ und S_{\{Θ^{i}(α)\}}(v) ∈ \{ \begin{matrix}ℤ & falls \frac{1}{2}P_{Θ}(α) ∉ Φ_{Θ} \\ \frac{1}{2} + ℤ & falls \frac{1}{2}P_{Θ}(α) ∈ Φ_{Θ} \end{matrix} \} .

Dann sind äquivalent (Die Bezeichnungen für endoskopische Daten sind aus [KS, (2.1)].)

• (Φ(v))^{∨} ist das Wurzelsystem einer endoskopische Gruppe H zu (G, θ, a′) (mit H ≃ ^{L}H), so daß erstens Φ(Ĥ) = Φ(v) und zweitens das Bild des Frobenius Frob ∈ Gal(F′/F) unter ξ : ^{L}H → ^{L}G gleich Fr ist.

• v löst die Gleichung (∗) für ein Sextupel (ℤ[Φ^{∨}]⊗ℝ, Φ, Θ, ρ_{G}(Frob), ρ_{H}(Frob), β^{∨}) mit β^{∨} ∈ ℤ[Φ]^{∗} so, daß expβ^{∨} = a′(Frob) ∈ T ≃^{exp} (V ⊗ ℂ)/X_{∗}(T ) für einen maximalen Torus T ⊂ Ĝ.

Äquivalente Sextupel ergeben dabei isomorphe endoskopische Daten.

Beweis: Nach der Definition in [KS, (2.1)] und mit den Bezeichnungen und Konventionen zu Beginn des Beweises von [KS, Theorem 3.3.A] ist ein endoskopisches Datum mit H ≃ ^{L}H gegeben durch ein s ∈ T ⊂ Ĝ und einen Homomorphismus ξ : ^{L}H → ^{L}G mit den Bedingungen (1) bis (3) unten. Dabei ist T Torus eines galoisstabilen Splittings splĜ von Ĝ, θ̂ ∈ Aut(Ĝ, splĜ) ≃ Out(Ĝ) der zu θ duale Automorphismus von Ĝ, der splĜ stabilisiert, und ^{L}H = Ĥ ⋊W_{F} die L–Gruppe der endoskopischen Gruppe H. Die Annahme H ≃ ^{L}H ist harmlos, da man hier nur mit unverzweigten Gruppen G und H arbeitet: Siehe [Hal, Lemma 6.1] oder [Ball, Lemma 5.53] für getwistete Endoskopie. Die Bedingungen an (^{L}H, s, ξ) sind dann

(1) Ĥ = (Ĝ^{sθ̂})^{∘} ist die Einskomponente der Fixgruppe unter ints ∘ θ̂ von Ĝ.

(2) ξ(h ⋊ w) =: h · m_{ξ}(w) ⋊ w ∈ Ĝ ⋊ W_{F} (für alle h ∈ Ĥ, w ∈ W_{F}) ist ein Homomorphismus, d.h. m_{ξ} ∈ Z^{1}(W_{F} , Ĝ).

(3)

s · (θ̂(m_{ξ}(w)) ⋊ w) · s^{−1} = a′(w) · m_{ξ}(w) ⋊ w,

wobei a′ ein 1–Kozykel in der Klasse von a ∈ H^{1}(W_{F} , Cent(Ĝ)) ist.

Ein Isomorphismus zweier endoskopischer Daten (H, H, s, ξ) und (H′, H′, s′, ξ′) ist ein Element g ∈ Ĝ mit

gξ(H)g^{−1} = ξ′(H′)  und  gsθ̂(g)^{−1} ∈ s′ · Cent(Ĝ).

Bis auf Isomorphie darf man nach [KS, Beweis zu 3.3.A] annehmen, daß ξ(T_{H}) = T^{θ̂∘} für einen maximalen Torus T_{H} ⊂ Ĥ, der galoisinvariant ist. Dann stabilisieren sowohl ξ(w) als auch die W_{F} –Operation von ^{L}G den Torus T^{θ̂∘}. Also liegt m_{ξ}(w) ∈ Norm(T^{θ̂∘}, Ĝ) = T · Norm(T^{θ̂∘}, Ĝ^{θ̂∘}). (Diese Zerlegung gilt, weil es stark reguläre Elemente in T^{θ̂∘} gibt.) Sei m_{ξ}(Frob) = t_{ξ} · n_{ξ} mit t_{ξ} ∈ T und n_{ξ} ∈ Norm(T , Ĝ) ∩ Ĥ. Dann besagt (3)

(ξ(ρ_{H}(Frob)))(s) = a′(Frob)^{−1} · s · θ̂(t_{ξ}) · t_{ξ}^{−1}.

Bezeichne Θ := θ̂. Benutze die Exponentialsequenz

1 ⟶ X_{∗}(T ) ⟶ V ⊗ ℂ ⟶^{exp} T ⟶ 1,

um s = exp(v) zu schreiben. Durch (ξ ∘ ρ_{H})(Frob) wird ein Fr ∈ Aut(Φ)^{Θ} gegeben (denn ((ξ ∘ ρ_{H})(w))(T^{θ̂∘}) = T^{θ̂∘}). Man hat X_{∗}(T_{sc}) = ℤ[Φ^{∨}] ⊂ X_{∗}(T ) ⊂ ℤ[Φ]^{∗} und (Fr −1)ℤ[Φ]^{∗} ⊂ ℤ[Φ^{∨}]. Mit diesen Bezeichnungen ist die Bedingung (3) die Gleichung (∗). Die Bedingung (1) besagt nach Steinberg 1.3 gerade Φ(v) = Φ(Ĝ^{sθ̂}) = Φ(Ĥ). Weil G unverzweigt ist, ist die Bedingung (2) leer: Die Operation von W_{F} faktorisiert über W_{F} /I_{F} ≃ ⟨Frob⟩ ≃ ℤ, d.h. m_{ξ}(Frob) ist frei wählbar in Norm(T θ̂, Ĝ). Zwei äquivalente Sextupel werden nach Definition durch ein x⋊w ∈ P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}])⋊W^{Θ} ineinander übergeführt. Wenn v eine Lösung von (∗) mit Fr und β^{∨} ist, so ist w(v) eine Lösung von (∗) mit w Fr w^{−1} = F̃r und (x ⋊ w)(β^{∨}) = β̃^{∨}. Weil θ̂ ein Splitting von Ĝ stabilisiert, gibt es ein Urbild g ∈ Norm(T , Ĝ)θ̂ von w ∈ W^{Θ}. Somit ist durch g ein Isomorphismus von endoskopischen Daten gegeben, denn s′ = exp(ṽ) = (exp(w(v))) = gexp(v)g^{−1} = g · s · θ̂(g)^{−1}.

(2.4) Nach diesem Satz ist (2.2) gleichbedeutend zur Klassifikation aller Isomorphieklassen von unverzweigten endoskopischen Gruppen zu den einfachen algebraischen Gruppen, für die die Operation des Frobenius für ein T̂ ⊂ Ĝ anisotrop und primitiv in W^{ext} := Aut(Φ(T̂, Ĝ)) ist. Für nicht einfach zusammenhängenden Gruppen G kommen dabei nur Sextupel in Betracht, für die β^{∨} in π_{1}(Ĝ) ⊂ π_{1}((Ĝ)_{ad}) = ℤ[Φ]^{∗}/ℤ[Φ^{∨}] vorkommt.

(2.5) Die Projektion der Lösungen der homogenen Gleichung (∗), d.h. der Gleichung zu Sextupeln mit β ∈ ℤ[Φ^{∨}], liegen in V^{σ}: Sei \overline{v} := P_{Θ}(v) ∈ \overline{C} eine homogene Lösung von (∗∗). Dann existiert ein w ∈ P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ}, so daß w(\overline{v}) = σ(\overline{v}) ∈ \overline{C} (denn σ bildet C in sich ab). Nach dem Satz von Chevalley–Steinberg 1.9 gilt daher w(\overline{v}) = \overline{v}. Also ist \overline{v} ∈ V^{σ}.

Behauptung 2.6. Genau dann ist (V, Φ, Θ, σ, Fr, β^{∨}) primitiv, wenn es kein Θ– und σ–stabiles Subsystem Φ′ von Φ gibt, so daß die W (Φ)^{Θ}–Konjugationsklasse von Fr einen Vertreter in W (Φ′)^{Θ} ⋊ σ hat.

Beweis: Zuerst beobachtet man, daß (w − 1)Λ ⊂ P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) für alle w ∈ W^{Θ} ⋊ σ. Als zweiten Schritt errechnet man für anisotropes Fr = wσ ∈ W^{Θ} ⋊ σ:

H^{1}(⟨Fr⟩, P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}])) =^{Def}P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}])/( Fr −1)(P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]))
=( Fr −1)^{−1}(P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]))/P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⊃ (Λ/P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]))^{Fr}.

Nach Definition ist Fr primitiv genau dann, wenn ganz links Gleichheit gilt. Mit (2.5) hat man

( Fr −1)^{−1}(P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}])) = {x ∈ V^{Θ} | Fr(x) ≡ x mod P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}])}

= {x ∈ V^{⟨Θ,σ⟩} | Fr ·σ^{−1} ∈ Bild [(P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ})_{x} ⟶^{Proj.} W^{Θ}]}

Diese Menge ist genau dann gleich dem Gitter Λ ∩ V^{σ} der σ–invarianten (Θ–) speziellen Punkte, wenn es kein Θ– und σ–stabiles Subsystem Φ′ von Φ gibt, so daß die W^{Θ}–Konjugationsklasse von Fr einen Vertreter in W (Φ′)^{Θ} ⋊ σ hat.

3 Ergebnisse

(3.1) Eine Lösung v von (∗) wird in einem getwisteten affinen Dynkingraphen angegeben werden und zwar wie folgt: Fixiere einen Alkoven C zu Δ_{aff}(Φ, Θ). Es gibt (genau) ein ω = ω(Fr, β^{∨}) ∈ Ω_{C}^{ext}, so daß −P_{Θ}(β^{∨})⋊Fr ∈ ω ·(P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}])⋊W^{Θ}). Das affine Dynkindiagramm Δ_{aff}(Φ, Θ) wird mit der Operation von ω versehen und im Diagramm der ω–Orbiten (Quotientendiagramm) wird ein Orbit von Ecken genau dann geschwärzt, wenn für eine (und damit für jede) Ecke des Orbits v nicht auf der zu dieser Ecke gehörenden (gegenüberliegenden) Wand liegt.

Satz 3.2. Sei (ℤ[Φ^{∨}] ⊗ ℝ, Φ, Θ, σ, Fr, β^{∨}) anisotrop und primitiv mit irreduziblem Φ.

(a) Für jeden Punkt v, der (∗) löst, wird genau ein ω–Orbit in (Δ_{aff}(Φ, Θ), ω) geschwärzt.

(b) Alle Punkte, für die (∗) gilt, bilden einen Orbit unter Cent(ω, Ω_{C}^{spez}).

(c) Falls β^{∨} = 0, so ist die Menge der Punkte, die (∗) genügen (d.h. die homogenen Lösungen), gerade die Menge der speziellen Punkte im Quotientendiagramm zu (Δ_{aff}(Φ, Θ), σ), i.e. die Menge der σ—fixierten, in Δ_{aff}(Φ, Θ) speziellen Ecken.

Beweis: Zu (a): Sei \overline{v} = P_{Θ}(v) ∈ \overline{C} eine Lösung von (∗∗). Mit dem ω aus (3.1) gilt dann ω(\overline{v}) ≡ \overline{v} mod P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ}, woraus nach dem Satz von Chevalley– Steinberg 1.9 folgt, daß ω(\overline{v}) = \overline{v}. Daher wird immer ein ganzer ω–Orbit geschwärzt bzw. weiß gelassen. Um zu zeigen, daß nicht mehr als ein Orbit geschwärzt wird, benutzt man daß \overline{C} ein Simplex ist, dessen Ecken v_{α} := \frac{1}{c_{Iα}·c(α)}P_{Θ}(β_{Iα}^{∨}) und vα̃ := 0 in (1.12) angegeben wurden. Demnach gibt es 0 ≤ x_{α} mit

\overline{v} = ∑_{Iα⊂Δ∪Iα} x_{α}v_{α} und ∑_{Iα⊂Δ∪Iα} x_{α} = 1.

Sei l := ordω. Weil l\overline{v} Lösung der homogenen Gleichung ist, hat man nach Teil (c) l\overline{v} ∈ P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}) ∩ V^{σ}. Daher teilt c_{Iα}c(α) | lx_{α} ∈ ℤ. Aus dieser Bedingung folgt sofort die

Behauptung A: Sei α′ aus einem ω–Orbit der Länge l = ordω, so daß \overline{v} = ∑ x_{α}v_{α} eine Lösung von (∗∗) ist mit x_{α′} > 0. Dann ist \overline{v} = \frac{1}{l} ∑_{γ∈⟨ω⟩α′} v_{γ} (und v_{α′} ∈ ℤ[Φ]^{∗}).

Behauptung B: Für eine Lösung \overline{v} = ∑ x_{α}v_{α} von (∗∗), enthält

M(v) := {α ∈ Δ_{aff}(Φ, Θ) | x_{α} > 0 und ω fixiert v_{α}.}

höchstens ein Element.

Beweis: Bewiesen wird, daß alle ∑_{α∈M(v)} y_{α}v_{α} mit y_{α} ≥ 0 und ∑_{α∈M(v)} y_{α} = 1 die Gleichung (∗∗) (für hiermit fixierten Fr und β^{∨}) lösen. Hieraus folgt die Behauptung wegen der Bedingung ly_{α} ∈ ℤ. Aus (∗∗) folgt, daß es eine Translation aus P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) − P_{Θ}(β^{∨}) gibt, so daß (t. Fr)(v) = v. Weil P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ} markierungserhaltend und auf den Kammern von V^{Θ} transitiv operiert, gibt es ein ρ ∈ (P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ})_{v}, so daß ρ.t. Fr die Kammer C stabilisiert. Man hat ω = ρ.t. Fr (nach Konstruktion). Nach dem Satz von Chevalley–Steinberg 1.9 fixiert ρ die Ecken v_{α} für α ∈ M(v). Also hat man (für α ∈ M(v)) ω(v_{α}) = v_{α} = ρ(v), d.h. v_{α} = (ρ^{−1}ω)(v_{α}) = (t. Fr)(v_{α}), woraus durch Summation über Fr(y_{α}v_{α}) = y_{α} Fr(v_{α}) = y_{α}v_{α} + y_{α}t die Behauptung folgt.

Indem man alle (irreduziblen) Fälle durchgeht, sieht man, daß es außer im nachfolgenden D_{n}–Fall für alle (Φ, Θ, ω) nur zwei ω-Orbitlängen von Ecken (von C) gibt, nämlich 1 und l = ordω. In diesen Fällen folgt aus den Behauptungen A und B, daß höchstens ein ω–Orbit geschwärzt wird. Zu zeigen bleibt diese Aussage im

Fall Φ = D_{n} und l = ordω = 4. Man hat dann folgende ω–Orbiten (und c_{α})

1 2 2 2 2 22 2 2 2 2 11 2 1 2  oder  1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 1 2 .

Der ω–Obit der Länge 4 tritt nach Behauptung A (höchstens) alleine auf. Sei \{α′, ωα′\} ein ω–Orbit und x_{α′} > 0. Weil 4x_{α′} ∈ ℕ gerade sein muß, ist x_{α′} ∈ \frac{1}{2}ℕ. Da ∑ x_{α} = 1 und ωx_{α} = x_{α}, folgt x_{α} = 0 für alle α außerhalb des ω–Orbits von α′. Weil C höchstens eine ω–fixierte Ecke besitzt, ist man fertig.

Zu (b): Seien v_{1}, v_{2} ∈ \overline{C} zwei verschiedene Lösungen von (∗) für eine gegebene Äquivalenzklasse eines Sextupels und \overline{v}_{i} := P_{Θ}(v_{i}), d.h. es exisitieren w_{i} ∈ W^{Θ}, so daß

(w_{i}^{−1} Fr w_{i})(\overline{v}_{i}) ≡ \overline{v}_{i} + P_{Θ}(β^{∨})  mod P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]).
⟺  Fr(w_{i}\overline{v}_{i}) ≡ w_{i}\overline{v}_{i} + w_{i}P_{Θ}(β^{∨}) ≡ w_{i}\overline{v}_{i} + P_{Θ}(β^{∨}) mod P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]).

Also löst x_{0} := w_{1}\overline{v}_{1} − w_{2}\overline{v}_{2} die homogene Gleichung. Nach Teil (c)ist daher x_{0} ∈ P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}). Also gibt es ω_{1} = ρ_{1} · t_{1} ∈ Ω_{C}^{spez} mit ω_{1}(\overline{v}_{1}) = \overline{v}_{2}, ρ_{1} ∈ P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ} und der Translation t_{1} : x ↦ x + x_{0}. Bezeichne t die Translation um −P_{Θ}(β^{∨}) auf V^{Θ}. Dann existiert ein ρ ∈ P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}])⋊ W^{Θ} mit ω = ρ · t · Fr. Nun rechnet man

ω(x_{0}) = (ρ · t · Fr)(w_{1}\overline{v}_{1} − w_{2}\overline{v}_{2}) ≡ ρ(x_{0}) ≡ x_{0} mod P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]),

d.h. die Klasse von x_{0} in Λ/P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ist ω–invariant. Somit vertauschen ω und ω_{1}.

Zu (c): Sei \overline{v} = P_{Θ}(v) ∈ \overline{C} ∩ V^{Θ} eine homogene Lösung von (∗∗). Nach (2.5) liegt \overline{v} in V^{σ}. Weil Fr anisotrop auf V^{Θ} operiert, ist (Fr −1)|_{V^{Θ}} invertierbar, d.h. (Fr −1)^{−1}P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ist ein Gitter in V^{Θ}. Sei \overline{v} ∈ (Fr −1)^{−1}P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]), d.h. Fr ·σ^{−1} ∈ W^{Θ} liegt in der Projektion auf W^{Θ} von (P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}])⋊W^{Θ})\overline{v} = (P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}])⋊W^{Θ})_{F acette(\overline{v})} (nach dem Satz von Chevalley–Steinberg 1.9). Also liegt die ganze Facette, in der \overline{v} liegt, in (Fr −1)^{−1}P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]). Weil diese Gruppe diskret ist, muß die Facette ein Punkt (\overline{v} selbst) sein. Da Fr ∈ W^{Θ} ⋊ σ primitiv ist, muß nach Lemma 2.6 die Projektion (P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ (W^{Θ} ⋊ ⟨σ⟩))\overline{v} → W^{Θ} ⋊ ⟨σ⟩ surjektiv sein. Daher ist auch die (Einschränkung der) Projektion auf W^{Θ} surjektiv. Weil \overline{v} ∈ V^{⟨Θ,σ⟩}, ist \overline{v} speziell in Δ_{aff}(Φ, Θ). Wenn umgekehrt P_{Θ}(v) ∈ V^{σ} eine spezielle Ecke von C ist, so ist v Lösung einer zu (∗) äquivalenten homogenen Gleichung, da jedes Urbild von Fr unter (P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ (W^{Θ} ⋊ ⟨σ⟩))_{P_{Θ}(v)} ↠ W^{Θ} ⋊ ⟨σ⟩ eine Lösung angibt.

Nach diesem Satz (a) werden alle Lösungen zu gegebenem (Φ, Θ, Fr, σ, β^{∨}) aus Platzgründen in ein Diagramm eingetragen.

Beispiel 3.3. Φ = A_{2n} und ord(Θ) = 2. Nach Beispiel 1.13 ist der Alkoven C ∈ V^{Θ} zu Δ_{aff}(Φ, Θ) mit 0 ∈ \overline{C} die um den Faktor \frac{1}{2} gestauchte Kammer C_{0} ∩ V^{Θ} für einen Alkoven C_{0} des A_{2n}–Systems. Man hat in diesem Fall

Ω_{C} = Ω_{C}^{ext} = 1  und  Ω_{C}^{spez} = Ω_{C}^{spez,ext} ≃ ℤ/2.

Weil hier P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) = P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}) gilt, hat man nur die homogene Gleichung (∗) zu betrachten. Man errechnet zwei Lösungen im Alkoven, von denen genau eine in P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}) liegt.

(3.4) Falls (Φ, Θ) ≠ (A_{2n}, Flip), kann man die Punkte (b) und (c) des Satzes 3.2 auch so formulieren

(b’) Alle Punkte, für die (∗) gilt, bilden einen Orbit unter den Diagrammautomorphismen des Quotientendiagramms zu (Δ_{aff}(Φ, Θ), ω), die von Diagrammautomorphismen von Δ_{aff}(Φ, Θ) herkommen, die mit ω vertauschen.

(c’) Die Lösungen der homogenen Gleichungen (∗) sind P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}) ∩ V^{σ}.

4 Bezeichnungen

(4.1) Die Bezeichnungen der folgenden Tabellen sind alle aus [BFW], insbesondere die Namen der primitiven Konjugationsklassen. Sie stammen ursprünglich aus [Car]. Für die Serien wird folgende Notation von signierten Zykeln verwendet: Ein signierter Zykel w der Länge r ist beschrieben durch die Abbildungsvorschrift

ε_{a_{1}} ↦ ±ε_{a_{2}} ↦ ±ε_{a_{3}} ↦ ... ↦ ±ε_{a_{r}} ↦ ±ε_{a_{1}}

sowie die ”Parität der Vorzeichen”: er wird positiv bezeichnet, falls ord(w) = r und negativ, falls ord(w) = 2r (d.h. w^{r}(ε_{a_{1}}) = −ε_{a_{1}}). Einen negativen Zykel schreibt man w = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{r})^{−}, einen positiven w = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{r}). Die Menge aller Produkte paarweise ziffernfremder signierter Zykeln mit positiven Zykeln der Längen a, b, c, ... und negativen Zykeln der Längen A, B, C, ... wird (wie bei Carter [Car]) mit [abc... ĀB̄C̄...] bezeichnet.

(4.2) Die Numerierung der Wurzeln, Kowurzeln und Gewichte folgt in [BFW] Bourabaki. In der Tabelle auf Seite 14 hat man dabei folgende Nummern:

Φ  Θ^{∗} = id  OrdΘ^{∗} = 2
A_{2n−1} 0 \begin{matrix}1 & 2 & ... & (n − 1) \\ (2n − 1) & (2n − 2) & ... & (n + 1) \end{matrix} n {1 \atop 0} 2 3 ... (n − 2) (n − 1) n
C_{n}  0 1 2 ... (n − 2) (n − 1) n
A_{2n} 0 \begin{matrix}1 & 2 & ... & (n − 1) & n \\ 2n & (2n − 1) & ... & (n + 2) & (n + 1) \end{matrix} 0 1 2 ... (n − 2) (n − 1) n
D_{n+1}  {0 \atop 1} 2 3 ... (n − 2) (n − 1) \begin{matrix}n \\ (n + 1) \end{matrix}  0 1 2 ... (n − 2) (n − 1) n
B_{n}  {0 \atop 1} 2 3 ... (n − 2) (n − 1) n
E_{8}  2 1 3 4 5 6 7 8 0
E_{7}  2 0 1 3 4 5 6 7
E_{6}  0 2 4 3 1 5 6  4 3 2 1 0
F_{4}  0 1 2 3 4
OrdΘ^{∗} = 3
D_{4}  0 2 1 3 4  2 1 0
G_{2}  0 2 1

(4.3) Die Diagramme werden mit den jeweiligen Namen aus [Tits, 4.3] versehen. Insbesondere werden die Entartungen der Serien–Diagramme für kleine n nur mit Verweis auf die Tabellen in [Tits] angegeben. Die Zahl links neben dem Quotientendiagramm gibt an, wieviele Punkte das untere Diagramm hat.

Bemerkung: Alle Diagramme in [Tits, 4.3] kommen in den folgenden Liste vor.

5 Homogene Lösungen: β^{∨} = 0 mit σ = id

Φ  θ = id  Ord(θ) = 2
A_{2n−1}_{n≥2}  • • • • • • • • • • •  < < > bzw. • ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘  • ∘ •

C_{n}_{n≥2}  • > ∘ ∘ ∘ ∘ < •

A_{2n}  • • • • • • • • • • • •  >  > × > × bzw. • ∘ ∘ ∘ ∘ • • •

D_{n+1}_{n≥4}  • ∘ ∘ ∘ ∘ • • ∘ • ∘  • < ∘ ∘ ∘ ∘ > •

B_{n}_{n≥3}  > • ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘

Nur θ = id möglich:

E_{8}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘

E_{7}  • ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘
θ = id  Ord(θ) = 2
E_{6}  • ∘ ∘ ∘ • • ∘ ∘  ∘ ∘ > ∘ ∘ •

F_{4}  • ∘ ∘ > ∘ ∘
θ = id  Ord(θ) = 3
D_{4}  • ∘ • • ∘ •  ∘ > ∘ •

G_{2}  • ∘ > ∘

Homogene Lösungen mit σ ≠ id

Φ

A_{2n−1}_{n≥2} ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘
• > ∘ ∘ ∘ ∘ < •

A_{2n}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘
• > ∘ ∘ ∘ ∘ > •

D_{n+1}_{n≥4} ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘

> • ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘

E_{6}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘
• ∘ ∘ > ∘ ∘

D_{4}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘
• ∘ > ∘

Die Diagramme für Θ ≠ id sind langweilig: Für sie gilt Θ = σ oder Θ = σ^{−1} (im Falle D_{4}!), so daß σ auf dem Alkoven bzgl. P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) ⋊ W^{Θ} trivial operiert. Daher genügen die Diagramme der ersten Tabelle auf der Vorseite.

Der Alkoven zum Quotientendiagramm des A_{2n}–System hier ist nicht derselbe wie der zu Δ_{aff}(Φ(A_{2n}), Θ ≠ id) sondern nur proportional zu ihm. Der Alkoven von A_{2n} ist gleich

Alk(A_{2n}) := {(x_{1}, ..., x_{m+1}) ∈ V | 1 + x_{m+1} > x_{1} > x_{2} > ... > x_{m} > x_{m+1}} .

Daher ist der Alkoven des Quotientendiagramms gleich

Alk(A_{2n}) ∩ V^{σ} = \{(x_{1}, ..., x_{n}, 0, −x_{n}, ... − x_{1}) ∈ V^{σ} | \frac{1}{2} > x_{1} > x_{2} > ... > x_{n} > 0\}

wogegen

Alk(Δ_{aff}(Φ(A_{2n}), Θ)) = \{(x_{1}, ..., x_{n}, 0, −x_{n}, ... − x_{1}) ∈ V^{Θ} | \frac{1}{4} > x_{1} > x_{2} > ... > x_{n} > 0\} .

6 Inhomogene Lösungen

Φ ist vom Typ A_{m} und β^{∨} = β_{a}^{∨} ≡ aβ_{1}^{∨} (mod ℤ[Φ^{∨}]): Fall 1: Θ = id. Fall 1.1: Sei Fr ∈ W die Coxeterklasse und c := \frac{m+1}{ggT(a,m+1)}. Die Gleichnung (∗) hat ggT(a, m + 1) verschiedene Lösungen, deren Diagramm in [Tits] mit ^{c}A_{m} bezeichnet wird. Dabei ist jeder der ggT(a, m + 1) Punkt im relativ lokalen Dynkindiagramm geschwärzt. Fall 1.2: Sei m ungerade und Fr ∈ −[k, m + 1 − k] ⊂ W ⋊ σ mit ungeradem k. Falls a ungerade ist, gibt es zwei Lösungen in einem ^{2}Am^{′′}–Diagramm: ^{1}

\frac{k+1}{2}  ^{\frac{k+1}{2}}  α\frac{m−a}{2} α_{\frac{m−a}{2} +1} α^{m+1− \frac{a−1}{2}} α_{m−1+ \frac{a+1}{2}} <  > ×  × s  s_{\frac{m+1}{2}} ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ • ∘  ∘ • ∘  ∘ ∘ ∘

Falls a gerade ist, gibt es zwei Lösungen in einem ^{2}A′_{m}–Diagramm:

α_{\frac{m+1−a}{2}} α_{m+1− \frac{a}{2}} >  < hs  hs_{\frac{m+3}{2}}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ •

Fall 1.3: Sei m = gerade und Fr ∈ −[m+1] ⊂ W ⋊σ das getwistete Coxeterelement. Die Lösungsmenge ist nur ein Punkt in einem ^{2}A′_{m}–Diagramm: ^{2}

α\frac{am}{2} >  > hs  × 1 + \frac{m}{2}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘

(Beachte, daß m + 1 und \frac{m}{2} teilerfremd sind, so daß β∨_{\frac{m}{2}} die Fundamentalgruppe π(Φ) erzeugt.)

1Dieses Diagramme hat man für m ≥ 5. Für m = 3 entarten sie zu ^{2}A3^{′′} in [Tits].

2Dieses Diagramme hat man für m ≥ 4. Für m = 2 entarten sie zu ^{2}A2^{′} in [Tits].

Fall 2: Θ ≠ id.

Fall 2.1: Sei m = 2n−1 ungerade und Fr ∈ W^{Θ}⋊⟨Θ⟩ so, daß Fr auf dem C_{n}–System P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) als Coxeterelement operiert.

< <  < s  s ^{2}B − C_{n} n = \frac{m+1}{2} ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ •

Fall 2.2: Wenn m gerade ist, hat man nur die homogene Gleichung zu lösen, da dann P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}) = P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]).

>  > >  > s  s × × 1 + \frac{m}{2} ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ •

Φ ist vom Typ B_{n} (n ≥ 3) : Sei β^{∨} = β_{1}^{∨} und Fr ∈ [n̄] das Coxeterelement. Dann ist die einzige Lösung

> <  > s  s  ^{2}B_{n} n  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ •

Φ ist vom Typ C_{n} (n ≥ 2) : Sei β^{∨} = β_{n}^{∨} und Fr = [n̄] das Coxeterelement. Falls n gerade ist, ist die einzige Lösung: ^{3}

>  < < < s  s  ^{2}C_{n} 1 + \frac{n}{2}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘

Falls n ungerade ist, ist die einzige Lösung: ^{4}

< ×  < < < s  s  ^{2}C_{n}_{\frac{n+1}{2}}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ •

3Dieses Diagramm hat man für n ≥ 4. Für n = 2 entartet es zu ^{2}C_{2} in [Tits].

4Dieses Diagramm hat man für n ≥ 5. Für n = 3 entartet es zu ^{2}C_{3} in [Tits].

D_{n} (n ≥ 4) :

Fall 1: Θ = id.

In den Fällen 1.1 bis 1.3 ist Fr ∈ W, in den Fällen 1.4 bis 1.6 ist Fr ∈ W ⋊ σ_{2} und in 1.7 ist Fr ∈ W (D_{4}) ⋊ σ_{3}.

Fall 1.1: Sei β^{∨} = β_{1}^{∨} und Fr ∈ [k̄, \overline{n − k}] ∈ W mit 1 ≤ k ≤ n − 1. Es gibt zwei Lösungen:

k  k α_{k}  α_{n−k} <  > s  s^{2}D′_{n} n − 1 ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ • ∘  ∘ • ∘  ∘ ∘ ∘ ∘

Fall 1.2: Sei n ungerade, β^{∨} ∈ \{β_{n−1}^{∨}, β_{n}^{∨}\} und Fr ∈ [k̄, \overline{n − k}] ∈ W, wobei o.E. k gerade und n − k ungerade seien. Dann ist die einzige Lösung: ^{5}

\frac{k}{2} α_{\frac{k}{2}} α_{n− \frac{k}{2}} < ×  < s  s ^{4}D_{n}_{\frac{n−1}{2}}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ • ∘  ∘ ∘ ∘

Fall 1.3: Sei n gerade, β^{∨} ∈ \{β_{n−1}^{∨}, β_{n}^{∨}\} und Fr ∈ [k̄, \overline{n − k}] ∈ W. Es gibt nur eine Lösung. Falls k und n − k gerade sind, erhält man: ^{6}

>  ss ^{2}Dn^{′′} 1 + \frac{n}{2}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘

5Dieses Diagramm hat man für n ≥ 7. Für n = 5 entartet es zu ^{4}D_{5} in [Tits].

6Dieses Diagramm hat man für n ≥ 4. Für n = 4 entartet es zu ^{2}D4^{′} bei [Tits].

Falls k und n − k ungerade sind, erhält man:

>  ss ^{2}Dn^{′′} 1 + \frac{n}{2}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ • • ∘

Fall 1.4: Sei β^{∨} = β_{1}^{∨} und Fr ∈ [n̄] ⊂ W (D_{n}) ⋊ σ_{2}. Dann hat man zwei Lösungen

α_{1}  α_{n−1} <  hs hs ^{2}D_{n} n  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ • • ∘

Fall 1.5: Sei n gerade, β^{∨} ∈ {β_{n−1}^{∨}, β_{n}^{∨}} und Fr ∈ [n̄] ⊂ W (D_{n}) ⋊ σ_{2}. Dann ist die einzige Lösung: ^{7}

>  > s  s ^{4}D_{n}_{\frac{n}{2}}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘

Fall 1.6: Sei n ungerade, β^{∨} ∈ {β_{n−1}^{∨}, β_{n}^{∨}} und Fr ∈ [n̄] ⊂ W (D_{n}) ⋊ σ_{2}. Dann hat man zwei Lösungen: ^{8}

< ×  ss ^{2}D_{n}_{\frac{n+1}{2}}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ • • ∘

Fall 1.7: Hier darf Fr ∈ W (D_{4}) ⋊ σ_{3} beliebig sein. Man hat für jede Wahl von β^{∨} genau eine Lösung:

> hs ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘

7Dieses Diagramm hat man für n ≥ 6. Für n = 4 entartet es zu ^{4}D_{4} in [Tits].

8Dieses Diagramm hat man für n ≥ 7. Für n = 5 entartet es zum entsprechenden ^{2}D5^{′′} in [Tits].

Fall 2: ord(Θ) = 2. Sei β^{∨} = β_{n} und Fr ∈ W^{Θ} ⋊ ⟨Θ⟩ so, daß Fr auf dem C_{n−1}–System P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]) als Coxeterelement operiert. Fall 2.1: n ist ungerade (d.h. n − 1 gerade). Die einzige Lösung ist: ^{9}

>  > > > s  s ^{2}C − B_{n−1}_{\frac{n+1}{2}}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘

Fall 2.2: n ist gerade (n − 1 ungerade). Die einzige Lösung ist: ^{10}

< ×  > > > s  s ^{2}C − B_{n−1}_{\frac{n}{2}}  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ •

9Dieses Diagramm hat man für n ≥ 4. Für n = 2 entartet es zu ^{2}C − B_{2} in [Tits].

10Dieses Diagramm hat man für n ≥ 5. Für n = 3 entartet es zu ^{2}C − B_{3} in [Tits].

Φ ist vom Typ E_{6} und β^{∨} ∈ {β_{1}^{∨}, β_{6}^{∨}}. Es bleibt nur Θ = id zu betrachten, da P_{Θ}(ℤ[Φ]^{∗}) = P_{Θ}(ℤ[Φ^{∨}]). Fall 1: Sei Fr = 9A = E_{6}(a_{1}) ⊂ W. Dann hat man als einzige Lösung:

>  s ^{3}E_{6} ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘

Fall 2: Sei Fr ∈ {12A, 6A} = {cox, cox^{2}} ⊂ W. Dann hat man als einzige Lösung:

>  s ^{3}E_{6} ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ •

Fall 3: Sei Fr ∈ {−12A, −9A, −3A} ⊂ −W = W ⋊ σ, d.h. Fr ist beliebig aber primitiv in W ⋊ σ. Es gibt nur eine Lösung:

> hs  ^{2}E_{6} ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘ ∘ ∘

Φ ist vom Typ E_{7} und β^{∨} = β_{7}^{∨}. Falls Fr ∈ {E_{7}, E_{7}(a_{2}), E_{7}(a_{4})} hat man als einzige Lösung:

>  ^{2}E_{7} ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ •

Falls Fr ∈ {E_{7}(a_{1}), E_{7}(a_{3})} hat man als einzige Lösung:

>  ^{2}E_{7} ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘ ∘ ∘

Literaturverzeichnis

[Ball] J. Ballmann, Berechnung der Kottwitz–Shelstad–Transferfaktoren für unverzweigte Tori in nicht zusammenhängenden reduktiven Gruppen, Dissertation, Mannheim (2001).

[Bou] N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, Chs. 4, 5, 6, Hermann (1968).

[Car] R.W. Carter Conjugacy classes in the Weyl groups, Comp. Math. 25 (1972), 1–59.

[Hal] Th. Hales, A simple definition of transfer factors for unrammified groups, Contemporary Mathematics, Vol. 145 (1993), 109–134.

[KS] R. Kottwitz und D. Shelstad, Foundations of twisted endoscopy, Astérisque 255 (1999).

[Stein] R. Steinberg, Endomorphisms of algebraic groups, Mem. Amer. Math. Soc. 80 (1968).

[Tits] J. Tits, Reductive groups over local fields, Automorphic Forms, Representations and L–functions, Proc. Sympos. Pure Math. 33, part 1 (1979), 29–69.

[BFW] J. Ballmann, D. Fulea, R. Weissauer, Abstieg anisotroper Konjugationsklassen in Weylgruppen, Manuskripte der Forschergruppe Arithmetik Mannheim–Heidelberg, 17(1999) (1999).