Abstieg anisotroper Konjugationsklassen in Weylgruppen

Joachim Ballmann, Dan Fulea, Rainer Weissauer

August 1999

1 Bezeichnungen und Definitionen

Sei G eine halbeinfache Gruppe, definiert über einem Körper F der Charakteristik 0. Sei Φ das Wurzelsystem von G, Φ^{∨} die Kowurzeln und V = ℤ[Φ^{∨}] ⊗ ℝ der von den Kowurzeln erzeugte Vektorraum. Die meisten Bezeichnungen zu den Wurzelsystemen sind wie in [Bou]: Δ ist ein System einfacher positiver Wurzeln α_{1}, ..., α_{n}. Die bzgl. Δ positiven Wurzeln werden mit Φ^{+} bezeichnet, α^{+} ist die positive Wurzel maximaler Höhe und α_{0} = 1 − α^{+} ∈ Φ_{aff} sei die affine Wurzel, die in [Ti, 1.8] zu Δ hinzugenommen wird, um das affine Dynkindiagramm zu bilden: Δ(Φ_{aff}) := Δ ∪ {α_{0}}. Die Fundamentalgewichte β_{1}^{∨},... β_{n}^{∨} bezüglich Δ sind die Dualbasis zu Δ in V, d.h. ⟨α_{i}, β_{j}^{∨}⟩ = δ_{ij}. Sie erzeugen ℤ[Φ]^{∗}. Analog sind die dualen Fundamentalgewichte β_{1},... β_{n} bezüglich Δ^{∨} die Dualbasis von Δ^{∨} in V^{∗} = ℤ[Φ] ⊗ ℝ. Die Fundamentalgruppe wird mit π(Φ) := ℤ[Φ]^{∗}/ℤ[Φ^{∨}] = π(G_{ad}) bezeichnet.

Im Folgenden werden Wurzelsysteme mit Twists benutzt, d.h. Paare (Φ, θ), für die Φ ein Wurzelsystem ist und θ ein Automorphismus von V, der Δ und Φ jeweils in sich abbildet. Die maximalen Subsysteme von (Φ, θ) sind die maximalen Elemente unter den θ–stabilen Unterwurzelsystemen von Φ. Man erhält die maximalen Subsysteme, indem man stets einen ganzen θ–Orbit (mit allen von im ausgehenden Kanten) aus dem affinen Dynkindiagramm wegstreicht. Wenn der gestrichene Orbit mehr als ein Element von Δ(Φ_{aff}) enthält, d.h. der Rang des Subsystems echt kleiner als der von Φ wird, wird ein Z_{a} zu dem System dazugeschrieben, um anzudeuten, daß in der Gruppe ein anisotroper zentraler Torus auftritt. Eine W –Konjugationsklasse in W bzw. W ⋊ θ steigt ab in ein Subsystem Φ_{1} bzw. (Φ_{1}, θ_{1} = θ|_{Φ_{1}}) , wenn die Klasse aus der Weylgruppe W_{1} = W (Φ_{1}) bzw. W_{1}⋊θ_{1} kommt. M.a.W.: Es gibt in der W –Konjugationsklasse einen Vertreter aus W_{1} ⊂ W bzw. aus W_{1} ⋊θ_{1} ⊂ W ⋊θ ⊂ W^{ext}.

Es werden die Bezeichnungen von Tits [Ti] benutzt um (Φ, θ) durch Graphen (mit Zusatzinformation) zu beschreiben. Die Graphen sind das (absolute) lokale Dynkindiagramm und das relative lokale Dynkindiagramm. In [Ti, S. 60–66] findet man eine Liste aller einfachen Systeme. Als Zusatzinformation wird in [Ti, S. 60ff] angegeben, welche der Ecken hyperspeziell “hs” sind. Die Definition dieser Begriffe wird in [Ti, 1.10+1.11] gegeben.

Die Grade d_{i} der Weylgruppe W sind die Polynomgrade, die bei einem System von Erzeugern für die Invariantenalgebra ℂ[V ⊗ ℂ]^{W} auftreten. Sollte ein Twist θ ≠ id vorliegen, so kann man nach [Sp1, 6.1.] die Erzeuger f_{i} ∈ ℂ[V ⊗ ℂ]^{W} (mit deg(f_{i}) = d_{i}) so wählen, daß es gewisse Einheitswurzeln ε_{i} gibt mit θf_{i} = ε_{i} · f_{i}. Diese ε_{i} sind (nach [Sp1, 6.1.]) unabhängig von der Wahl der f_{i} und werden Faktoren der mit θ getwisteten Weylgruppe W genannt.

Sei im Folgenden w̄ die W–Konjugationsklasse eines Elements w ∈ W bzw. w ∈ W ⋊ θ. Dann sei h^{1}(w̄) := h^{1}(⟨w⟩, ℤ[Φ^{∨}]). Die Klasse w̄ heißt anisotrop, wenn für ein Element w dieser Klasse der Invariantenraum V^{⟨w⟩} = 0 ist. Eine anisotrope Klasse w̄ heißt primitiv, wenn |π(Φ)^{⟨w⟩}| = h^{1}(w̄) ist. Springer bezeichnet in [Sp1, 4.2+6.4] ein w ∈ W bzw. w ∈ W ⋊ θ regulär, wenn es einen Eigenvektor in V ⊗ ℂ besitzt, der in keiner der Spiegelungshyperebenen zu W liegt, d.h. er liegt im Inneren einer Weylkammer.

2 Beschreibung der Tabellensammlung

Die folgende Tabellensammlung gibt für einfache, über F hyperspezielle Gruppen, d.h. Grupppen deren relatives lokales Dynkindiagramm in [Ti, S. 60ff] eine hyperspezielle Ecke besitzt, gewisse Fakten zu folgenden Punkten:

I Wurzelsystem II Weylgruppe W III W –Konjugationsklassen in W bzw. W ⋊ θ IV anisotrope und primitive Klassen V Tabellen mit Information zu den primitiven Klassen

Im Einzelnen: Unter I wird Φ^{+}, V und Δ in Bezeichnung und Normierung von [Bou] angegeben. Es folgen die Fundamentalgewichte, die Fundamentalgruppe und ihre Operation auf Δ(Φ_{aff}). Dann kommt das (relative) lokale Dynkindiagramm, im getwisteten Fall unter dem absoluten lokalen Dynkindiagramm. Es werden alle maximalen Subsysteme aufgelistet. Um Fundamentalgruppen von maximalen Subsytemen zu bestimmen wurde die Linearkombination (α^{+})^{∨} = ∑_{i=1}^{n} b_{i} · (α_{i})^{∨} angegeben, denn man hat die

Behauptung 1 Sei G s.c., und H die Untergruppe zu einem Subsystem Φ_{H} von Φ_{G}. Dann ist die nach Borovoi definierte Fundamentalgruppe π(H) ≃ ℤ[Φ^{∨}]/ℤ[Φ_{H}^{∨}]. Es gibt b_{i} ∈ ℕ, so daß (α^{+})^{∨} = ∑_{i=1}^{n} b_{i} · (α_{i})^{∨} in Φ_{G}^{∨} gilt (wobei Δ(Φ) = {α_{i}} ⊂ Φ_{G}). Wenn Φ_{H} ein maximales Subsystem von Φ ist und durch Wegstreichen von α_{i} ensteht, so ist die Fundamentalgruppe π(H) ≃ ℤ/b_{i}. Für die maximalen Subsysteme von getwisteten irreduziblen Systemen (Φ, θ), für die man einen Orbit der Länge c > 1 streichen muß, erhält man (außer im Fall ^{2}(A_{1}^{2}) × A_{3} ⊂ ^{2}E_{6}) stets π(H) ≃ ℤ^{c−1}. Im Fall Φ_{H} = ^{2}(A_{1}^{2}) × A_{3} ⊂ ^{2}E_{6} = Φ (wenn man {α_{3}, α_{5}} streicht) gilt π(H) ≃ ℤ × ℤ/2.

Beweis: Es wird die Definition der Fundamentalgruppe nach Borovoi [Mi] benützt. Nach [Sp2, 2.15] ist dann für jede reduktive Gruppe π(H) = X_{∗}(T)/ℤ[Φ_{H}^{∨}]. Das Gitter ℤ[Φ_{H}^{∨}] entsteht, indem man aus der ℤ–Basis Δ^{∨} von ℤ[Φ^{∨}] = X_{∗}(T_{sc}) den Vektor α_{i}^{∨} herausnimmt und durch (α^{+})^{∨} ersetzt. Da man in jedem Wurzelsystem (α^{+})^{∨} = ∑_{i=1}^{n} b_{i} ·(α_{i})^{∨} mit b_{i} ∈ ℤ hat, folgt die Aussage über die maximalen ungewisteten Subsysteme sofort. In den Fällen, in denen mehrere Punkte gestrichen werden, steicht man – außer im Fall ^{2}(A_{1}^{2}) × A_{3} ⊂ ^{2}E_{6} – den hyperspeziellen Orbit, d.h. ℤ[Φ_{H}^{∨}] hat ein Subsystem von Δ^{∨} zur Basis. Daher ist π(H) frei. Den verbleibenden Sonderfall kann man ausrechnen.

Schließlich wird in Punkt I noch der abgeschlossene Alkoven

{v ∈ V = ℤ[Φ^{∨}] ⊗ ℝ | α_{1}(v) ≥ 0, ..., α_{n}(v) ≥ 0, 1 − α^{+}(v) = α_{0}(v) ≥ 0}

bzgl. der Basis Δ(Φ_{aff}) angegeben.

In Punkt II wird die Weylgruppe W sowie W^{ext} = {g ∈ Aut(V) | g(Φ) = Φ} beschrieben. Ferner werden die Grade und gegebenenfalls die Faktoren von W bzw. (W, θ) angegeben. Außerdem wird die W -Konjugationsklasse des Coxeterelements und die Coxeterzahl angegeben.

Im getwisteten Fall wird dabei die Definition des getwisteten Coxeterelements von [Sp1, 7.1.– 7.3] verwendet: Man nehme aus jedem θ–Orbit von Δ eine Wurzel und mulipliziere die zu diesen Wurzeln gehörende Spiegelungen (in irgendeiner Reihenfolge und ohne Wiederholung) zu einem Element w ∈ W. Dann ist die W -Konjugationsklasse von w ⋊ θ unahängig von allen Wahlen und wird getwistete Coxeterklasse genannt.

In III werden die W –Konjugationsklassen in W bzw. W ⋊θ klassifiziert und angegeben, welche Klassen primitiv, welche anisotrop und welche regulär nach Springer [Sp1] sind. Außerdem werden das charakteristische Polynom und h^{1} zu jeder Klasse angegeben. Für B–, C– und D–Systeme empfiehlt sich die Verwendung von signierten Zykeln (wie bei Carter [Ca, S.25]). Ein signierter Zykel w der Länge r ist beschrieben durch die Abbildungsvorschrift

ε_{a_{1}} ↦ ±ε_{a_{2}} ↦ ±ε_{a_{3}} ↦ ... ↦ ±ε_{a_{r}} ↦ ±ε_{a_{1}}

sowie die “Parität der Vorzeichen”: er wird positiv bezeichnet, falls ord(w) = r und negativ, falls ord(w) = 2r (d.h. w^{r}(ε_{a_{1}}) = −ε_{a_{1}}). Einen negativen Zykel schreibt man w = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{r})^{−}, einen positiven w = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{r}). Die Menge aller Produkte paarweise ziffernfremder signierter Zykeln mit positiven Zykeln der Längen a, b, c, ... und negativen Zykeln der Längen A, B, C, ... wird (wie bei Carter [Ca]) mit [abc... ĀB̄C̄...] bezeichnet.

In IV werden die anisotropen und die (anisotropen) primitiven Konjugationsklassen aufgelistet.

Die Tabellen im Punkt V geben Informationen zu den primitiven, anisotropen Konjugationsklassen. Die Eigenwerte EW, bzw. das charakteristische Polynom der Klasse liest man so ab: Der Eintrag a_{p}b_{p}c_{p}... bedeutet, daß das charakteristische Polynom das Produkt der Kreisteilungspolynome Φ_{a} · Φ_{b} · Φ_{c} ⋯ ist, d.h. die Klasse hat die primitven a–ten, b–ten, c–ten... Einheitswurzeln als Eigenwerte. Die Bilder in der Rubrik Abstieg geben durch geschwärzte Punkte im affinen Dynkindiagramm an, daß die Klasse zu dem maximalen Subsytem Φ_{1} bzw. (Φ_{1}, θ_{1} = θ|_{Φ_{1}}) absteigt, das man durch Weglassen dieser Ecke bzw. θ–Orbits von Ecken nach dem oben beschriebenen Verfahren erhält. Die Zentralisatoren in derselben Tabellenspalte geben die Zentralisatorkardinalität in den entsprechenden Untergruppen an. Carter ordnet in [Ca] den Konjugationsklassen in W (nicht kanonische) Graphen zu. Sie werden in einer Tabellenspalte angegeben. Konjugationsklassen in W ⋊ θ behandelt Carter nicht. Deshalb werden im getwisteten Fall keine Graphen angegeben. In der Rubrik ”reg” steht genau dann ein r, wenn die Klasse regulär nach Springer [Sp1, 4.2+6.4] ist.

Beispiel zu V: Es gibt unten folgenden Tabelleneintrag zu einer Konjugationsklasse in W (E_{8}):

Frame EW

|W_{w}| h^{1}

Graph reg

Abstieg : Zentralisatoren

⋮
\overline{1}^{3}·\overline{5} (−a) 2_{p}^{4}10_{p} 2^{4}·3·5^{2} 2^{4} D_{6} × A_{1}^{2}  6 : 2^{4}·3·5, 2^{3}·3·5
⋮

(1)

Die hier beschriebene Konjugationsklasse w̄ heißt bei [Fr] \overline{1}^{3} · \overline{5} (und −w ist dort vom Typ (a)). Sie hat das charkteristische Polynom Φ_{2}^{4} · Φ_{10}, d.h. w̄ hat −1 als 4–fachen Eigenwert und die primitiven 10–ten Einheitswurzeln als einfache Eigenwerte. Der Zentralisator W_{w} von w in W hat 2^{4} · 3 · 5^{2} Elemente und h^{1} = h^{1}(⟨w⟩, ℤ[Φ^{∨}]) = 2^{4}. Carter ordnet in [Ca] dieser Klasse den Graphen D_{6} × A_{1}^{2} zu (denn w hat einen Vertreter, der Coxeterelement in dem D_{6} × A_{1}^{2}–Subsystem von E_{8} ist). Die Klasse ist nicht regulär nach Springer [Sp1], weshalb ein entsprechender Vermerk ”r” fehlt. Die letzte Spalte bezieht sich auf die Tabelle direkt hinter der oben zitierten. Dort findet man als sechstes Bild Folgendes:

⋮ ; 6 • ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • • ∘ D_{8}, D_{8}(a_{2}), D_{4}^{2}, D_{6} × A_{1}^{2}, D_{4} × A_{1}^{4}, A_{1}^{8} ; ⋮ (2)

Das heißt, die Klasse w̄ steigt ab in genau die folgenden maximalen Subsysteme: D_{8}, E_{7} × A_{1} (es wird auch der triviale ”Abstieg” nach E_{8} angezeigt). In der letzten Spalte der Tabelle (1) werden die Zentralisatorordungen der Klasse in diesen maximalen Subsystemen angegeben. Das sind die Zahlen nach dem Doppelpunkt: 2^{4} · 3 · 5 und 2^{3} · 3 · 5. Die Reihenfolge bezieht sich auf die Reihenfolge der α_{i} ∈ Δ, die zu dem maximalen Subsystem gehören: Da das D_{8}–Subsystem der E_{8} (beim Verfahren von Dynkin) durch Streichen von α_{1} entsteht, E_{7} × A_{1} dagegen durch Streichen von α_{8}, ist die Zuordnung der Zentralisatorordungen folgende:

|W (D_{8})_{w}| = 2^{4} · 3 · 5 und |W (E_{7} × A_{1})_{w}| = 2^{3} · 3 · 5.

Die letzte Spalte in (2) gibt die Konjugationsklassen (in Carters Bezeichnung) an, die das abgebildete Abstiegsdiagramm 6 haben.

Weylgruppen vom Typ A_{m} :

I : Sei V = {(x_{1}, ..., x_{m+1}) ∈ ℝ^{m+1} | ∑_{i=1}^{m+1} x_{i} = 0} und (ε_{i})_{1≤i≤m+1} sei die kanonische Basis des ℝ^{m+1}. Φ^{+} = \{ε_{i} − ε_{j} | 1 ≤ i < j ≤ m + 1\}, |Φ^{+}| = \frac{1}{2}m(m + 1) Das Wurzelsystem Φ(A_{m}) ist vom Typ ADE und α^{∨} = α für alle α ∈ Φ. Δ = {α_{1} = ε_{1} − ε_{2}, ..., α_{m} = ε_{m} − ε_{m+1}} α^{+} = (ε_{1} − ε_{m+1}) = (α_{1} + α_{2} + ... + α_{m})

• α_{1} • α_{2} • α_{3}  • α_{m−2} • α_{m−1} • α_{m} • α_{0}  alle hs  bzw, falls m = 1 :  • α_{0} hs • α_{1} hs

Es gibt keine (nicht parabolische) maximale (echte) Subsysteme, d.h. alle Subsysteme werden erzeugt von echten Teilmengen von Δ. Die Fundamentalgewichte (bzgl. α_{1}, ..., α_{m}) sind β_{i}^{∨} = ε_{1} + ... + ε_{i} − \frac{i}{m+1}(∑_{i=1}^{m+1} ε_{i}) für 1 ≤ i ≤ m. Man hat ℤ[Φ^{∨}] = {(x_{1}, ..., x_{m+1}) ∈ ℤ^{m+1} | ∑_{i=1}^{m+1} x_{i} = 0} und ℤ[Φ]^{∗} wird erzeugt von ℤ[Φ^{∨}] und β_{1}^{∨}. Die Fundamentalgruppe ist π(Φ) ≃ ℤ/(m + 1). Wenn man sich das affine Dynkindiagramm der A_{m} als regelmäßiges (m+1)–Eck vorstellt, operiert β_{i}^{∨} durch die Drehung, die α_{0} auf α_{i} dreht. Der abgeschlossene Alkoven (bzgl. der Bourbakibasis oben) ist

{(x_{1}, ..., x_{m+1}) ∈ V | 1 + x_{m+1} ≥ x_{1} ≥ x_{2} ≥ ... ≥ x_{m} ≥ x_{m+1}}.

Die Ecken des Alkovens sind 0, β_{1}^{∨},...,β_{m}^{∨}.

II : W = W (A_{n}) = S_{n+1}. Die Aktion auf V ist die Einschränkung der Aktion auf ℝ^{m+1}, die bestimmt ist durch die (übliche) Permutation der Basis (ε_{i})_{1≤i≤m+1}: σ(ε_{i}) = ε_{σ(i)} (σ ∈ S_{m+1}). W (A_{m})^{ext} = S_{m+1}⋊⟨θ⟩ = S_{m+1}⋊⟨−1⟩, wobei θ die Restriktion von −J_{m+1} = (−δ_{i,m+2−j})_{i,j} ∈ Gl_{m+1}(ℝ) auf V ist. Die Grade von W (A_{m}) sind 2, 3, ..., m + 1. Coxeterzahl: h = m + 1. Die Coxeterklasse ist die von (1, 2, 3, ..., m + 1).

III : Die Konjugationsklassen der W (A_{m}) werden durch ihre Zykelstruktur vollständig beschrieben: Jede Klasse korrespondiert (bijektiv) zu einer Partition m + 1 = m_{1} + m_{2} + ... + m_{k}, so daß

σ = (1, ..., m_{1})(m_{1} + 1, ..., m_{1} + m_{2}) ⋯ (m_{1} + ... + m_{k−1} + 1, ..., m + 1)

ein Vertreter der Klasse ist. Primitiv ist nur das Coxeterelement, denn für k ≥ 1 kommt σ (als Coxeterelement) aus der Weylgruppe von A_{m_{1}−1} × A_{m_{2}−1} × ... × A_{m_{k}−1}. Dies ist zugleich der “Carter–Graph” der Klasse. Das charakteristische Polynom der Klasse ist (X−1)^{−1} ∏_{i=1}^{k}(X^{m_{i}}− 1). Es gilt h^{1} = ∏_{i=1}^{k} m_{i}. Anisotrop ist ebenfalls nur die Coxeterklasse. Regulär nach Springer sind Klassen mit Zykelstruktur

[\underbrace{d d... d}_{k−mal}] falls kd = m + 1  bzw.  [1 \underbrace{d d... d}_{k−mal}] falls kd = m.

IV : Anisotrop ist nur die Coxeterklasse. Sie ist auch primitiv

w  char. Poly. |W_{w}| h^{1}  Graph reg
(1, 2, ..., m + 1) ∏_{1≠d|m+1} Φ_{d} m + 1 m + 1 A_{m} r V:

Die Typen ^{2}A′_{m} → BC_{n} (m = 2n ≥ 2) :

I : V, Φ^{+}, Δ, usw. siehe A_{m} oben.

∘ α_{0}  ∘ α_{1} ∘ α_{2} ∘ α_{3}  ∘ ∘ α_{n−1} ∘ α_{n} ∘ α_{n+1} ∘ α_{n+2} ∘ ∘ ∘ α_{2n−1} ∘ α_{2n} • hs > ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ >  bzw, falls n = 1:  ∘ α_{0}  ∘ α_{1} ∘ α_{2} • hs > ∘

Die maximalen Subsysteme sind A_{1} ×^{2}A′_{2(n−1)} × Z_{a}, ^{2}A′_{2n−1} × Z_{a}, ^{2}A′_{2k+1} ×^{2}A′_{2(n−k−1)} × Z_{a} für 1 ≤ k ≤ n − 1.

II : W^{ext} = S_{2n+1}⋊⟨θ⟩ = S_{2n+1}⋊⟨−1⟩, wobei θ die Restriktion von −J_{2n+1} = (−δ_{i,2n+2−j})_{i,j} ∈ Gl_{2n+1}(ℝ) auf V ist. Grade: d_{j} = j + 1, Faktoren: ε_{j} = (−1)^{d_{j}} für 1 ≤ j ≤ 2n. getwistetes Coxeterelement: −(1, 2, 3, ..., 2n+1). Coxeterzahl: h_{θ} = 4n+2, n_{θ} := dimV^{θ} = n.

III : Jede W (A_{2n})–Konjugationsklasse in W (A_{2n}) ⋊ θ korrespondiert bijektiv zu einer Partition 2n + 1 = n_{1} + n_{2} + ... + n_{k} so, daß

σ = −(1, ..., n_{1})(n_{1} + 1, ..., n_{1} + n_{2}) ⋯ (n_{1} + ... + n_{k−1} + 1, ..., 2n + 1)

ein Vertreter der Klasse ist. Primitiv ist nur das Coxeterelement, denn für k > 1, enthält die Partition ein gerades n_{i}, o.E.d.A. n_{1}. Dann kommt die Klasse von ^{2}A′_{n_{1}−1} × ^{2}A′_{2n−n_{1}}. Das char. Polynom ist (X + 1)^{−1} ∏_{n_{i} gerade}(X^{n_{i}} − 1) ∏_{n_{i} ungerade}(X^{n_{i}} + 1). Es gilt h^{1} = 2^{#\{n_{i} ungerade\}−1} ·∏_{n_{i} gerade} n_{i}. Regulär nach Springer sind Klassen mit Zykelstruktur −[\underbrace{d d... d}_{k−mal}],

wobei kd = 2n + 1. IV : Genau dann ist σ anisotrop, wenn alle Zykel ungerade Länge haben, d.h. alle n_{i} ungerade sind. (Notwendigerweise ist die Anzahl k der Zykel ungerade.) Primitiv ist nur das getwistete Coxeterelement.

V :

w ∈ W (A_{2n}) ⋊ θ  char. Poly.  |(W ⋊ ⟨θ⟩)_{w}| h^{1} Graph  reg

−[n_{1} ⋯ n_{k}] alle n_{i} ungerade

(X + 1)^{−1} ∏_{i=1}^{k}(X^{n_{i}} + 1) 2^{k−1}

r falls alle n_{i} = n/k
−(1, 2, ..., 2n + 1) (X + 1)^{−1}(X^{2n+1} + 1)  4n + 2  1 BC_{n}  r

Der Abstiegsgraph von −[n_{1} ⋯ n_{k}] entsteht, indem man in dem Diagramm oben die Orbiten zu den α_{l} (1 ≤ l < n) schwärzt, für deren Index gilt: Es gibt Indizes 1 ≤ i_{1} < ... < i_{s} ≤ k, so daß 2l = ∑_{r=1}^{s} n_{i_{r}}. (Der Orbit α_{n} kann nie schwarz sein.)

Die Typen ^{2}A′_{m} → C_{n} (m = 2n − 1 ≥ 3) :

I : V, Φ^{+}, Δ, usw. siehe A_{m} oben. α_{0} = −(ε_{1} − ε_{2n})

∘ α_{0}  ∘ α_{1} ∘ α_{2} ∘ α_{3}  ∘ ∘ α_{n−2} ∘ α_{n−1} ∘ α_{n} ∘ α_{n+1} ∘ α_{n+2} ∘ ∘ ∘ α_{2n−2} ∘ α_{2n−1} • hs > ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ ∘ < • hs

Die maximalen Subsysteme sind von der Form A_{1} ×^{2}A_{2n−3} × Z_{a}, ^{2}A_{2k−1} ×^{2}A_{2(n−k)−1} × Z_{a}, für 2 ≤ k ≤ \frac{n}{2}.

II : W^{ext} = S_{2n} ⋊ ⟨θ⟩ = S_{2n} ⋊ ⟨−1⟩, wobei θ die Restriktion von −J_{2n} ∈ Gl_{2n}(ℝ) auf V ist. Grade: d_{j} = j + 1, Faktoren: ε_{j} = (−1)^{d_{j}} für 1 ≤ j ≤ 2n − 1. getwistetes Coxeterelement: −(1)(2, 3, ..., 2n). Coxeterzahl: h_{θ} = 2(2n − 1), n_{θ} := dimV^{θ} = n.

III : Jede W (A_{2n−1})–Konjugationsklasse in W (A_{2n−1}) ⋊ θ korrespondiert bijektiv zu einer Partition 2n = n_{1} + n_{2} + ... + n_{k} so, daß

σ = −(1, ..., n_{1})(n_{1} + 1, ..., n_{1} + n_{2}) ⋯ (n_{1} + ... + n_{k−1} + 1, ..., 2n)

ein Vertreter der Klasse ist. Primitiv sind Klassen zu Partitionen 2n = n_{1} + n_{2} mit ungeraden n_{1}, n_{2} (d.h. k=2). Denn sollte für eine geeignete Umordnung der n_{i} gelten , daß n_{1} + ... + n_{l} = 2m für ein m < n (d.h. für ein l < k), so kommt die Klasse von ^{2}A_{2m−1} ×^{2}A_{2(n−m)−1}. (Falls m = 1, ist A_{1} × ^{2}A_{2n−3} zu lesen.) Die Klasse zur Partition 2n = n_{1} (d.h. k = 1) kommt vom parabolischen Subsystem ^{2}(A_{n−1}^{2}), das von Δ\{α_{n}} erzeugt wird. Das char. Polynom ist (X + 1)^{−1} ∏_{n_{i} gerade}(X^{n_{i}} − 1) ∏_{n_{i} unger.}(X^{n_{i}} + 1). Es gilt h^{1} = 2^{#{n_{i} ungerade}−1} · ∏_{n_{i} gerade} n_{i}. Regulär nach Springer sind Klassen mit Zykelstruktur −[1 \underbrace{d d... d}_{k−mal}], wobei kd = 2n − 1.

IV : Genau dann ist σ anisotrop, wenn alle Zykel ungerade Länge haben, d.h. alle n_{i} ungerade sind. (Notwendigerweise ist die Anzahl k der Zykel gerade.) Primitiv sind alle σ, die genau zwei Zykel haben.

V :

w ∈ W (A_{2n−1}) ⋊ θ  char. Poly. |(W ⋊ ⟨θ⟩)_{w}| h^{1} Graph  reg
−[n_{1} ⋯ n_{k}]

alle n_{i} ungerade und k > 2

\frac{∏_{i=1}^{k}(X^{ni}+1)}{X+1} 2^{k−1} \begin{matrix}r falls \\ −[n_{1} ⋯ n_{k}] \\ = −[1 d...d] \end{matrix}

−(1, 2, ..., a)(a + 1, ..., 2n)

für 1 ≤ a < n ungerade

\frac{(X^{a}+1)(X^{2n−a}+1)}{X+1} a · (2n − a) 2 r falls a = 1

−(1, 2, ..., n)(n + 1, ..., 2n), falls n > 1 ungerade

\frac{(X^{n}+1)^{2}}{X+1} 2n^{2} 2

Der Abstiegsgraph von −[n_{1} ⋯ n_{k}] entsteht, indem man in dem Diagramm oben die Orbiten zu den α_{l} (1 ≤ l ≤ n) schwärzt, für deren Index gilt: Es gibt Indizes 1 ≤ i_{1} < ... < i_{s} ≤ k, so daß 2l = ∑_{r=1}^{s} n_{i_{r}}.

Φ ist vom Typ B_{n} (n ≥ 3) :

I : V = ℝ^{n} und (ε_{i})_{1≤i≤n} sei die kanonische Basis des ℝ^{n}. Φ^{+} = {ε_{i} ± ε_{j} | 1 ≤ i < j ≤ n} ∪ {ε_{i} | 1 ≤ i ≤ n}, |Φ^{+}| = n^{2} (ε_{i} ± ε_{j})^{∨} = ε_{i} ± ε_{j} und ε_{i}^{∨} = 2ε_{i}. Δ = {α_{1} = ε_{1} − ε_{2}, ..., α_{n−1} = ε_{n−1} − ε_{n}, α_{n} = ε_{n}}, α^{+} = (ε_{1} + ε_{2}) = (α_{1} + 2α_{2} + 2α_{3} + ... + 2α_{n−1} + 2α_{n}) (α^{+})^{∨} = (ε_{1} + ε_{2}) = (α_{1}^{∨} + 2α_{2}^{∨} + 2α_{3}^{∨} + ... + 2α_{n−1}^{∨} + α_{n}^{∨}) Die Fundamentalgewichte (bzgl. α_{1}^{∨}, ..., α_{n}^{∨}) sind β_{i} = ∑_{j=1}^{i} ε_{j} für 1 ≤ i < n und β_{n} = \frac{1}{2} ∑_{j=1}^{n} ε_{j}. Die dualen Fundamentalgewichte (bzgl. α_{1}, ..., α_{n}) sind β_{i}^{∨} = ∑_{j=1}^{i} ε_{j} für 1 ≤ i ≤ n. Man hat ℤ[Φ] = ⨁_{i=1}^{n} ℤε_{i} und ℤ[Φ^{∨}]^{∗} ist die von ℤ[Φ] und β_{n} erzeugte Gruppe, ℤ[Φ^{∨}] = {(x_{1}, ..., x_{n}) ∈ ℤ^{n} | ∑_{i=1}^{n} x_{i} gerade} und ℤ[Φ]^{∗} = ⨁_{i=1}^{n} ℤε_{i}. Die Fundamentalgruppe ist π(Φ) ≃ ℤ/2 und der Erzeuger β_{1}^{∨} operiert auf Δ(Φ_{aff}) durch Vertauschen von α_{0} und α_{1}.

• hsα_{0} • hsα_{1} ∘ α_{2} ∘ α_{3} ∘ α_{4}  ∘ α_{n−2} ∘ α_{n−1}> ∘ α_{n}

Maximale Subsysteme sind A_{1} × A_{1} × B_{n−2}, D_{n}, D_{m} × B_{n−m} für 3 ≤ m ≤ n − 1. Der abgeschlossene Alkoven ist

{(x_{1}, ..., x_{n}) ∈ ℝ^{n} | 1 − x_{2} ≥ x_{1} ≥ x_{2} ≥ ... ≥ x_{n} ≥ 0}.

Die Ecken des Alkovens sind 0, β_{1}^{∨},\frac{1}{2}β_{2}^{∨},...,\frac{1}{2}β_{n}^{∨}.

II : W = W (B_{n}) = (ℤ/2)^{n} ⋊ S_{n}. Die Operation ist bestimmt durch s_{ε_{i}−ε_{j}} = (ij) ∈ S_{n} und s_{ε_{i}} = diag(1, ...1, −1, 1...) ∈ Gl_{n}, wobei die -1 an der i–ten Stelle steht. W (B_{n})^{ext} = W (B_{n}). Die Grade von W (B_{n}) sind 2, 4, 6, ..., 2n. Coxeterzahl: h = 2n. Die Coxeterklasse ist die von (1, 2, 3, ..., n)^{−} ∈ [n̄].

III : Die Konjugationsklassen sind eindeutig durch ihre signierte Zykelstruktur bestimmt. Jede Klasse korrespondiert bijektiv zu signierten Zykeln der Form [n_{1} ⋯ n_{k} m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] mit n = ∑_{i=1}^{k} n_{i} + ∑_{i=1}^{l} m_{i}. Primitiv ist nur das Coxeterelement (k = 0, l = 1, m_{l} = n), denn anderenfalls kommt die Klasse aus der Weylgruppe von A_{n_{1}−1} ×...×A_{n_{k}−1} ×D_{m_{1}+m_{2}} ×D_{m_{3}+m_{4}} ×...× D_{m_{l−1}+m_{l}}, falls l gerade ist, bzw. von A_{n_{1}−1} × ... × A_{n_{k}−1} × D_{m_{1}+m_{2}} × ... × D_{m_{l−2}+m_{l−1}} × B_{m_{l}}, falls l ungerade ist. Das charakteristische Polynom der Klasse ist ∏_{i=1}^{k}(X^{n_{i}} −1) ∏_{i=1}^{l}(X^{m_{i}} +1). Es gilt h^{1} = 2^{l} · ∏_{i=1}^{k} n_{i}. Regulär nach Springer sind Klassen mit signierter Zykelstruktur

[\underbrace{d d... d}_{m−mal}] falls d ungerade und md = n  bzw.  [\underbrace{d̄ d̄... d̄}_{m−mal}] falls md = n

IV : Genau dann ist die Klasse anisotrop, wenn alle Zykel negativ sind (d.h. k = 0). Primitiv ist nur das Coxeterelement.

w  char. Poly. |W_{w}| h^{1} Graph  reg

[m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] ∏_{i=1}^{l}(X^{m_{i}} + 1) 2^{l} r falls alle m_{i} = n/l

(1, 2, ..., n)^{−}  X^{n} + 1  2n 2 B_{n}  r

Der Abstiegsgraph für die anisotrope (nicht primitiven) Klasse [m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] (mit ∑_{i+1}^{l} m_{i} = n und l > 1) ist ein B_{n}–Graph (wie oben indiziert), in dem die k–te Ecke genau dann geschwärzt wird, wenn sich k aus einer geraden Anzahl der m_{i} kombinieren läßt, d.h. k = ∑_{r=1}^{s} m_{i_{r}} für geeignete 1 ≤ i_{1} < ... < i_{s} ≤ l und gerades s.

Φ ist vom Typ C_{n} (n ≥ 2) :

I : V = ℝ^{n} und (ε_{i})_{1≤i≤n} sei die kanonische Basis des ℝ^{n}. Φ^{+} = {ε_{i} ± ε_{j} | 1 ≤ i < j ≤ n} ∪ {2ε_{i} | 1 ≤ i ≤ n}, |Φ^{+}| = n^{2} (ε_{i} ± ε_{j})^{∨} = ε_{i} ± ε_{j} und 2ε_{i}^{∨} = ε_{i}. Δ = {α_{1} = ε_{1} − ε_{2}, ..., α_{n−1} = ε_{n−1} − ε_{n}, α_{n} = 2ε_{n}} α^{+} = 2ε_{1} = (2α_{1} + 2α_{2} + ... + 2α_{n−1} + α_{n}) (α^{+})^{∨} = ε_{1} = (α_{1}^{∨} + α_{2}^{∨} + ... + α_{n−1}^{∨} + α_{n}^{∨}) Die Fundamentalgewichte (bzgl. α_{1}^{∨}, ..., α_{n}^{∨}) sind β_{i} = ∑_{j=1}^{i} ε_{j} für 1 ≤ i ≤ n. Die dualen Fundamentalgewichte (bzgl. α_{1}, ..., α_{n}) sind β_{i}^{∨} = ∑_{j=1}^{i} ε_{j} für 1 ≤ i < n und β_{n}^{∨} = \frac{1}{2} ∑_{j=1}^{n} ε_{j}. Man hat ℤ[Φ] = {(x_{1}, ..., x_{n}) ∈ ℤ^{n} | ∑_{i=1}^{n} x_{i} gerade}, ℤ[Φ^{∨}]^{∗} = ⨁_{i=1}^{n} ℤε_{i} sowie ℤ[Φ^{∨}] = ⨁_{i=1}^{n} ℤε_{i} und ℤ[Φ]^{∗} ist die von ℤ[Φ^{∨}] und β_{n}^{∨} (s.u.) erzeugte Gruppe. Die Fundamentalgruppe ist π(Φ) ≃ ℤ/2 und der Erzeuger β_{n}^{∨} operiert auf Δ(Φ_{aff}) durch die Permutation (0, n)(1, n − 1)(2, n − 2)... der Indizes.

• α_{0} hs > ∘ α_{1} ∘ α_{2} ∘ α_{3}  ∘ α_{n−2} ∘ α_{n−1}< • α_{n}hs  bzw. falls n = 2:  • α_{0} hs > ∘ α_{1} • α_{2} hs <

Die maximalen Subsysteme sind C_{m} × C_{n−m} für 1 ≤ m ≤ n − 2. Der abgeschlossene Alkoven ist

\{(x_{1}, ..., x_{n}) ∈ ℝ^{n} | \frac{1}{2} ≥ x_{1} ≥ x_{2} ≥ ... ≥ x_{n} ≥ 0\}.

Die Ecken des Alkovens sind 0, \frac{1}{2}β_{1}^{∨},...,\frac{1}{2}β_{n−1}^{∨}, β_{n}^{∨}.

II : W (C_{n}) = W (B_{n}), weil s_{ε_{i}} = s_{2ε_{i}} als Elemente von Gl(V).

III : Auch hier ist alles wie im B_{n}–Fall, außer der Bemerkungen zu den nicht primitiven Elementen: Primitiv ist (auch hier) nur das Coxeterelement aber ein signierter Zykel des Typs [n_{1}n_{2} ⋯ n_{k} m̄_{1}m̄_{2} ⋯ m̄_{l}] mit n = ∑_{i=1}^{k} n_{i} + ∑_{i=1}^{l} m_{i} kommt hier (als Coxeterelement) von einem Unterwurzelsystem des Typs A_{n_{1}−1} × ... × A_{n_{k}−1} × C_{m_{1}} × ... × C_{m_{l}}. Dies ist deswegen auch der Graph, den Carter dieser Konjugationsklasse zuordnet.

IV : Genau dann ist die Klasse anisotrop, wenn alle Zykel negativ sind. Primitiv ist nur das Coxeterelement.

V :

w  char. Poly. |W_{w}| h^{1} Graph  reg

[m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] ∏_{i=1}^{l}(X^{m_{i}} + 1) 2^{l} r falls alle m_{i} = n/l

(1, 2, ..., n)^{−}  X^{n} + 1  2n 2 C_{n}  r

Der Abstiegsgraph der anisotropen Klasse [m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] (mit ∑_{i+1}^{l} m_{i} = n) ist ein C_{n}–Graph (wie oben indiziert), in dem die k–te Ecke genau dann geschwärzt wird, wenn es Indizes 1 ≤ i_{1} < ... < i_{s} ≤ l gibt, so daß k = ∑_{r=1}^{s} m_{i_{r}}.

Weylgruppen vom Typ D_{n}(n ≥ 4) :

I : V = ℝ^{n} und (ε_{i})_{1≤i≤n} sei die kanonische Basis des ℝ^{n}. Φ^{+} = {ε_{i} ± ε_{j} | 1 ≤ i < j ≤ n}, |Φ^{+}| = n(n − 1) Das Wurzelsystem ist vom Typ ADE und α^{∨} = α für alle α ∈ Φ. Δ = {α_{1} = ε_{1} − ε_{2}, ..., α_{n−1} = ε_{n−1} − ε_{n}, α_{n} = ε_{n−1} + ε_{n}} α^{+} = (ε_{1} + ε_{2}) = (α_{1} + 2α_{2} + ... + 2α_{n−2} + α_{n−1} + α_{n}) Die Fundamentalgewichte (bzgl. α_{1}, ..., α_{n}) sind β_{i}^{∨} = ε_{1} +...+ε_{i} für 1 ≤ i ≤ n−2 und β_{n−1}^{∨} = \frac{1}{2}(−ε_{n} +∑_{i=1}^{n−1} ε_{i}), β_{n}^{∨} = \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} ε_{i}. Daher ist ℤ[Φ^{∨}] = \{(x_{1}, ..., x_{n}) ∈ ℤ^{n} | ∑_{i=1}^{n} x_{i} gerade\} = ℤ[Φ] und ℤ[Φ]^{∗} = (⨁_{i=1}^{n} ℤε_{i}) + ℤ(\frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} ε_{i}). Für gerades n ist π(Φ) ≃ ℤ/2 × ℤ/2. Für ungerades n ist π(Φ) ≃ ℤ/4. In jedem Fall ist {0, β_{1}^{∨}, β_{n−1}^{∨}, β_{n}^{∨}} ein Vertretersystem für π(Φ) = ℤ[Φ]^{∗}/ℤ[Φ^{∨}]. Falls n ungerade ist, gilt β_{1}^{∨} ≡ 2β_{n}^{∨} mod ℤ[Φ^{∨}]. Die Operation der Fundamentalgruppe auf Δ(Φ_{aff}) (als Permutationen auf den Indizes von Δ(Φ_{aff})) ist

n gerade  n ungerade
β_{1}^{∨} (0, 1)(n − 1, n) (0, 1)(n − 1, n)
β_{n−1}^{∨} (0, n − 1)(1, n)(2, n − 2)(3, n − 3)... (0, n − 1, 1, n)(2, n − 2)(3, n − 3)...
β_{n}^{∨} (0, n)(1, n − 1)(2, n − 2)(3, n − 3)... (0, n, 1, n − 1)(2, n − 2)(3, n − 3)...

• hsα_{0} • hsα_{1} ∘ α_{2} ∘ α_{3} ∘ α_{4}  ∘ α_{n−3} ∘ α_{n−2} • hs α_{n−1} • hs α_{n}

Falls n = 4, so gibt es nur A_{1}^{4} als maximales Subsystem. Falls n ≥ 5, sind die maximale Subsysteme A_{1} × A_{1} × D_{n−2}, D_{m} × D_{n−m} für 3 ≤ m ≤ \frac{n}{2}. Der abgeschlossene Alkoven ist

{(x_{1}, ..., x_{n}) ∈ ℝ^{n} | 1 − x_{2} ≥ x_{1} ≥ x_{2} ≥ ... ≥ x_{n−1} ≥ x_{n} ≥ −x_{n−1}}.

Die Ecken des Alkovens sind 0, β_{1}^{∨}, \frac{1}{2}β_{2}^{∨}, ..., \frac{1}{2}β_{n−2}^{∨}, β_{n−1}^{∨}, β_{n}^{∨}.

II : Weil s_{ε_{i}+ε_{j}}s_{ε_{i}−ε_{j}} = s_{ε_{i}}s_{ε_{j}}, ist

W (D_{n}) = {w ∈ W (B_{n}) | w hat nur eine gerade Anzahl negativer Zykeln} ≅ (ℤ/2)^{n−1} ⋊ S_{n}.

Falls n ≥ 5, ist W (D_{n})^{ext} = W (D_{n}) ⋊ ⟨θ_{2}⟩ = W (B_{n}) mit θ_{2} = s_{ε_{n}} ∈ Gl(V). Falls n = 4, ist W (D_{4})^{ext} = W (D_{4}) ⋊ S_{4} = W (F_{4}) (siehe ^{3}D_{4}). Die Grade von W (D_{n}) sind 2, 4, 6, ..., 2n − 2, n. Coxeterzahl: h = 2(n − 1). Die Coxeterklasse ist die von (1, 2, 3, ..., n − 1)^{−}(n)^{−} ∈ [\overline{n − 1} ¯1].

III : Wenn nicht alle Zykeln positiv und gerade sind, ist die Konjugationsklasse eines Elements aus W (D_{n}) vollständig durch seine signierte Zykelstruktur bestimmt. Wenn aber alle Zykeln von w ∈ W (D_{4}) positiv und gerade sind, so gibt es genau zwei Konjugationsklassen mit der Zykelstruktur von w. Denn die Vertreter dieses Zykeltyps aus den parabolischen Subsystemen zu Δ\{α_{n−1}} und zu Δ\{α_{n}} sind nicht konjugiert in W (D_{n}). Primitiv ist eine Klasse mit Zykelstruktur [n_{1}n_{2}...n_{k} m̄_{1}m̄_{2} ⋯ m̄_{l}] genau dann, wenn k = 0 und l = 2. Falls nämlich nicht k = 0 und l = 2, kommt die Klasse [n_{1} ⋯ n_{k} m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] von A_{n_{1}−1} × ... × A_{n_{k}−1} × D_{m_{1}+m_{2}} × D_{m_{3}+m_{4}} × ... × D_{m_{l−1}+m_{l}}. Das char. Polynom der Klasse [n_{1} ⋯ n_{k} m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] ist ∏_{i=1}^{k}(X^{n_{i}} − 1) ∏_{i=1}^{l}(X^{m_{i}} + 1). Das char. Polynom der Klasse −[n_{1} ⋯ n_{k}] mit geraden n_{i} ist ∏_{i=1}^{k}(X^{n_{i}} − 1). Es gilt h^{1} = 2^{l} · ∏_{i=1}^{k} n_{i}, wobei für −[n_{1} ⋯ n_{k}] mit geraden n_{i} l = 0 zu setzen ist. Regulär nach Springer sind Klassen mit folgender signierter Zykelstruktur:

[\underbrace{d d... d}_{m−mal}]  [1 \underbrace{d d... d}_{m−mal}]  [¯1 \underbrace{d̄ d̄... d̄}_{m−mal}]  [1 \underbrace{d̄ d̄... d̄}_{m−mal}]  [\underbrace{d̄ d̄... d̄}_{m−mal}]
falls md = n falls md = n − 1 falls md = n − 1 falls md = n − 1 falls md = n
und d unger. und d unger.  und m unger.  und m gerade und m ger.

IV : Genau dann ist die Klasse anisotrop, wenn alle Zykel negativ sind (k = 0). Primitiv sind anisotrope Klassen mit zwei negativen Zykeln.

V :

signierter Zykel char. Poly.

|W_{w}| h^{1}

Graph

reg

[m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] (l gerade) ∏_{i=1}^{l}(X^{m_{i}} + 1) 2^{l}

r falls [m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] = [d̄ d̄...d̄] oder = [¯1 d̄...d̄]

\begin{matrix}[k̄l̄] \\ (n = k + l, 1 ≤ k ≤ l) \end{matrix} (X^{k} + 1)(X^{l} + 1) 2kl 2^{2} D_{n}(a_{k−1})  r

Der Abstiegsgraph der anisotropen (nicht primitiven) Klasse [m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] (mit ∑_{i+1}^{l} m_{i} = n und geradem l > 2) ist ein D_{n}–Graph (wie oben indiziert), in dem die k–te Ecke genau dann geschwärzt wird, wenn sich k aus einer geraden Anzahl der m_{i} kombinieren läßt, d.h. k = ∑_{r=1}^{s} m_{i_{r}} für geeignete 1 ≤ i_{1} < ... < i_{s} ≤ l mit geradem s.

Die Typen ^{2}D_{n} → B_{n−1} :

I : V, Φ^{+}, Δ wie in D_{n} beschrieben. θ = θ_{2}

∘ α_{0} ∘ α_{1}  ∘ α_{2} ∘ α_{3} ∘ α_{4}  ∘ α_{n−3} ∘ α_{n−2} ∘α_{n−1} ∘ α_{n} • hs • hs  ∘ ∘ ∘  ∘ ∘ > ∘

Die maximale Subsysteme sind A_{1}^{2} × ^{2}D_{n−2}, ^{2}(A_{1}^{2}) × D_{n−2}, A_{3} × ^{2}D_{n−3}, ^{2}A_{3} × D_{n−3}, D_{n−1} × Z_{a} und D_{m} ×^{2}D_{n−m} für 4 ≤ m ≤ n − 4.

II : Ein Element aus W (B_{n}) liegt in W (D_{n}) ⋊ θ genau dann, wenn die Anzahl der negativen Zykel ungerade ist:

W (D_{n}) ⋊ θ_{2} = {w ∈ W (B_{n}) | w hat eine ungerade Anzahl negativer Zykeln}.

Grade and Faktoren: d_{i} = 2, ε_{i} = 1 (1 ≤ i < n) , d_{n} = n, ε_{n} = −1 . getwistetes Coxeterelement: (1, 2, 3, ..., n)^{−}. Coxeterzahl: h_{θ} = 2n, n_{θ} = dimV^{θ} = n − 1.

III : Die Konjugationsklassen sind eindeutig durch ihre signierte Zykelstruktur bestimmt. Jede Klassen korrespondiert bijektiv zu signierten Zykeln der Form [n_{1} ⋯ n_{k} m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] mit ungeradem l und n = ∑_{i=1}^{k} n_{i} + ∑_{i=1}^{l} m_{i}. Primitiv ist nur das getwistete Coxeterelement, denn falls nicht m_{l} = n, kommt die Klasse von A_{n_{1}−1}×...×A_{n_{k}−1}×D_{m_{1}+m_{2}} ×...×D_{m_{l−2}+m_{l−1}} ×^{2}D_{m_{l}} Das charakteristische Polynom der Klasse ist ∏_{i=1}^{k}(X^{n_{i}} −1) ∏_{i=1}^{l}(X^{m_{i}} +1). Es gilt h^{1} = 2^{l}·∏_{i=1}^{k} n_{i}. Regulär nach Springer sind in W (D_{n}) ⋊ θ_{2} die Klassen mit folgender signierter Zykelstruktur:

[¯1 \underbrace{d d... d}_{m−mal}]  [\underbrace{d̄ d̄... d̄}_{m−mal}]
falls md = n − 1 falls md = n, d > 1

und m ungerade

IV : Genau dann ist die Klasse anisotrop, wenn alle Zykel negativ sind (also k = 0). Primitiv ist nur das getwistete Coxeterelement.

V :

signierter Zykel char. Poly.

|(W ⋊ ⟨θ⟩)_{w}| h^{1}

Graph

reg

[m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] (l ungerade)

∏_{i=1}^{l}(X^{m_{i}} + 1) 2^{l} r falls alle m_{i} = n/l > 1

[\overline{n}]  X^{n} + 1  n  2 B_{n−1}  r

Der Abstiegsgraph von [m̄_{1} ⋯ m̄_{l}] ensteht aus dem Diagramm oben, indem man – zusätzlich zu den stets geschwärzten θ–Orbiten von α_{0} und α_{1}– alle die Orbiten von α_{k} (1 < k ≤ n − 1) schwärzt, für die k = ∑_{r=1}^{s} m_{i_{r}} aus einer geraden Anzahl s der m_{i} kombinieren werden kann (d.h. 1 ≤ i_{1} < ... < i_{s} ≤ n und s gerade).

Der Typ ^{3}D_{4} → G_{2}:

I : V, Φ^{+} und Δ sind wie in D_{n} oben. Der Twist ist θ = θ_{3} in II unten.

∘ α_{0} ∘ α_{1} ∘ α_{3} ∘ α_{4}  ∘ α_{2} ∘ < ∘ • hs

Die maximalen Subsysteme sind A_{2} × Z_{a}, ^{3}(A_{1}^{3}) × A_{1}.

II : W (D_{4})^{ext} = W (D_{4}) ⋊ S_{4} = W (F_{4}), wobei die äußeren Automorphismen erzeugt werden von θ_{2} = s_{ε_{4}} und θ_{3}, der bezgl. der Basis (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4}) gegeben ist durch die Matrix

θ = θ_{3} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 & −1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 \\ −1 & 1 & 1 & −1 \end{matrix} ) .

W (D_{4})^{θ} = W (G_{2}). Grade: 2, 4, 4, 6. Faktoren: 1, e^{2πi/3}, e^{4πi/3}, 1. getwistetes Coxeterzahl: h_{θ_{3}} = 12. n_{θ} = dimV^{θ} = 2.

III bis V : Es gibt 7 W (D_{4})–Konjugationsklassen in W (D_{4}) ⋊ θ, davon 4 anisotrope und (davon) 2 primitive. Die Klassen sind (vollständige) Unterklassen in W (F_{4}). Daher wird hier mit den Namen auf die F_{4}–Tabelle Bezug genommen. Bei den Repräsentanten sei

s_{0} = s_{α^{+}}, s_{1} = s_{α_{1}}, ..., s_{4} = s_{α_{4}}, s_{5} = s_{e_{1}−e_{4}}

Name EW Repr

|(W ⋊ ⟨θ⟩)_{w}| h^{1}

Graph reg

Abstieg : Zentr.

II  1_{p}2_{p}3_{p} s_{2}θ 2^{2}  2 · 3
III  1_{p}2_{p}6_{p} s_{1}θ 2^{2}  2
IX  1_{p}^{2}3_{p}  θ 2^{2} · 3  3
XI  2_{p}^{2}6_{p} s_{2}s_{5}θ 2^{2} · 3  2^{2}  2 : 2^{2}
XXIV 3_{p}^{2}  s_{0}s_{2}θ 2^{3} · 3  3^{2}  r 3 : 3
VI  12_{p}  s_{2}s_{3}θ 2^{2}  1 G_{2} (cox) r 1
VII 6_{p}^{2}  s_{5}s_{3}θ 2^{3} · 3  1 G_{2}(a_{1}) r 1

1 ∘ < ∘ • VI, VII
2 ∘ < • • XI
3 • < ∘ • XXIV

Die Weylgruppe von E_{6}:

I : V = {(x_{1}, ..., x_{8}) ∈ ℝ^{8} | x_{6} = x_{7} = −x_{8}}.

Φ^{+} = \{±ε_{i} + ε_{j} | 1 ≤ i < j ≤ 5\} ∪ \{\frac{1}{2}(−ε_{6} − ε_{7} + ε_{8} + ∑_{i=1}^{5}(−1)^{ν(i)}ε_{i}) | ∑_{i=1}^{5} ν(i) gerade\},

|Φ^{+}| = 36 Das Wurzelsystem ist vom Typ ADE und α^{∨} = α für alle α ∈ Φ.

Δ = \{α_{1} = \frac{1}{2}(ε_{1} − ε_{2} − ε_{3} − ε_{4} − ε_{5} − ε_{6} − ε_{7} + ε_{8}), α_{2} = ε_{1} + ε_{2},
α_{3} = −ε_{1} + ε_{2}, α_{4} = −ε_{2} + ε_{3}, α_{5} = −ε_{3} + ε_{4}, α_{6} = −ε_{4} + ε_{5}},

α^{+} = \frac{1}{2}(ε_{1} + ε_{2} + ε_{3} + ε_{4} + ε_{5} − ε_{6} − ε_{7} + ε_{8}) = (α_{1} + 2α_{2} + 2α_{3} + 3α_{4} + 2α_{5} + α_{6}) Die Fundamentalgewichte (bzgl. α_{1}, ..., α_{6}) sind

β_{1}^{∨} =(0, 0, 0, 0, 0, −\frac{2}{3}, −\frac{2}{3}, \frac{2}{3})  β_{2}^{∨}=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{1}{2})
β_{3}^{∨} =(−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, −\frac{5}{6}, −\frac{5}{6}, \frac{5}{6}) β_{4}^{∨}=(0, 0, 1, 1, 1, −1, −1, 1)
β_{5}^{∨} =(0, 0, 0, 1, 1, −\frac{2}{3}, −\frac{2}{3}, \frac{2}{3})  β_{6}^{∨}=(0, 0, 0, 0, 1, −\frac{1}{3}, −\frac{1}{3}, \frac{1}{3})

Es ist ℤ[Φ] = ℤ[Φ^{∨}] = {(x_{1}, ..., x_{8}) ∈ ℤ^{8} | x_{6} = x_{7} = x_{8} = 0 und ∑_{i=1}^{5} x_{i} gerade} + ℤα_{1} und ℤ[Φ]^{∗} wird erzeugt von ℤ[Φ^{∨}] und β_{1}^{∨}. Die Fundamentalgruppe π(Φ) ≃ ℤ/3 wird erzeugt von β_{1}^{∨} ≡ β_{5}^{∨} ≡ −β_{3}^{∨} ≡ −β_{6}^{∨} mod ℤ[Φ^{∨}] und β_{1}^{∨} operiert durch (016)(235) auf (den Indizes von) Δ(Φ_{aff}).

• α_{1} hs  • α_{6}hs ∘ α^{4} •α_{0} hs ∘ α_{3}  ∘ α_{5} ∘α_{2}

Die maximalen Subsysteme sind A_{5} × A_{1}, A_{3}^{2}. Der abgeschlossene Alkoven ist

\{(x_{1}, ..., x_{8}) ∈ V | \begin{matrix}−x_{2} ≤ x_{1} ≤ x_{2} ≤ x_{3} ≤ x_{4} ≤ x_{5} und \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} − 2 ≤ 3x_{6} ≤ x_{1} − x_{2} − x_{3} − x_{4} − x_{5} \end{matrix} \} .

Die Ecken des Alkovens sind 0, β_{1}^{∨}, \frac{1}{2}β_{2}^{∨}, \frac{1}{2}β_{3}^{∨}, \frac{1}{3}β_{4}^{∨}, \frac{1}{2}β_{5}^{∨}, β_{6}^{∨}.

II : Im Atlas [Atlas, S. 26f] ist W (E_{6}) = G.2 für G = U_{4}(2) ≅ S_{4}(3). |W (E_{6})| = 2^{7} · 3^{4} · 5. W (E_{6})^{ext} = W (E_{6}) ⋊ ⟨θ⟩ = W (E_{6}) ⋊ ⟨−1⟩, wobei θ der Automorphismus der Ordnung 2 ist, der α_{1} mit α_{6} sowie α_{3} mit α_{5} vertauscht und die restlichen Basiswurzeln (α_{2} und α_{4}) festläßt. Die Grade sind 2, 5, 8, 9, 12. Coxeterzahl : h = 12.

III bis V : Die 25 Konjugationsklassen kann man dem Atlas [Atlas] entnehmen. Die 5 anisotropen Klassen sind in der folgenden Tabelle. Unter dem Doppelstrich sind die 3 primitiven Klassen.

Atlas EW

|W_{w}| h^{1}

Graph reg

Abstieg : Zentr

3A 3_{p}^{3}  2^{3} · 3^{4} 3^{3} A_{2}^{3}  r 1 : 3^{3}
6E 2_{p}^{2}3_{p}6_{p} 2^{2} · 3^{2} 2^{2} · 3 A_{5} × A_{1}  2 : 2^{2} · 3
12A 3_{p}12_{p} 2^{2} · 3  3 E_{6}  r 3
9A 9_{p}  3^{2}  3 E_{6}(a_{1}) r 3
6A 3_{p}6_{p}^{2} 2^{3} · 3^{2} 3 E_{6}(a_{2}) r 3

\begin{matrix}•  • • • ∘  ∘ ∘ 1 & •  • ∘ • •  • • 2 & •  • ∘ • ∘  ∘ ∘ 3 \\ 3A & 6E & 6A, 9A, 12A \end{matrix}

Der Typ ^{2}E_{6} → F_{4} :

I : V, Φ^{+} und Δ siehe E_{6}.

∘ α_{0}  ∘ α_{1} ∘ α_{3} ∘ α_{4} ∘ α_{5} ∘ α_{6} ∘ α_{2}  ∘ ∘ > ∘ ∘ • hs

Die maximalen Subsysteme sind ^{2}D_{5} × Z_{a}, ^{2}(A_{1}^{2}) × A_{3} × Z_{a}, ^{2}(A_{2}^{2}) × A_{2}, ^{2}A_{5} × A_{1}.

II : W (E_{6})^{ext} = W (E_{6}) ⋊ ⟨θ⟩ = W (E_{6}) ⋊ ⟨−1⟩, wobei θ der äußere Automorphismus der Ordnung 2 ist. W (E_{6})^{θ} = W (F_{4}). Grade: 2, 5, 6, 8, 9, 12. Faktoren: 1, −1, 1, 1, −1, 1. getwistete Coxeterzahl: h_{θ} = 18. n_{θ} = dimV^{θ} = 4.

III bis V : In der folgenden Tabelle sind alle 9 anisotropen W = W (E_{6})–Konjugationsklassen in W (E_{6}) ⋊ θ aufgeführt. (Unter dem Doppelstrich sind die 3 primitiven Klassen.)

Atlas EW

|(W ⋊ ⟨θ⟩)_{w}| h^{1}

Graph reg

Abstieg : Zentr.

− 1A 2_{p}^{6}  2^{8} · 3^{4} · 5  2^{6}  r 4 : 2^{4} · 3 · 5, 2^{7} · 3 · 5
−3C 2_{p}^{4}6_{p} 2^{4} · 3^{3}  2^{4}  4 : 2^{2} · 3^{2}, 2^{3}3
−3D 2_{p}^{2}6_{p}^{2} 2^{3} · 3^{3}  2^{2}  3 : 2 · 3^{2}, 2 · 3^{2}
−4A 2_{p}^{2}4_{p}^{2} 2^{6} · 3  2^{4}  r 5 : 2^{3}, 2^{5}
−5A 2_{p}^{2}10_{p} 2^{2} · 5  2^{2}  4 : 2 · 5, 5
−6A 3_{p}^{2}6_{p} 2^{4} · 3^{2}  3^{2}  r 2 : 3^{2}
− 9A 18_{p} 2 · 3^{2}  1 cox  r 1
−12A 6_{p}12_{p} 2^{3} · 3  1  r 1
−3A 6_{p}^{3}  2^{4} · 3^{4}  1  r 1

\begin{matrix}1 & • α_{0} ∘ α_{1} ∘ α_{2}> ∘ α_{3} ∘ α_{4} & −3A, −9A, −12A \\ 2 & • ∘ • > ∘ ∘ & −6A \\ 3 & • • • > ∘ ∘ & −3D \\ 4 & • • ∘ > ∘ • & −1A, −3C, −5A \\ 5 & • ∘ ∘ > • • & −4A \end{matrix}

Die Weylgruppe von E_{7} :

I : V ist die Hyperebene des ℝ^{8} orthogonal zu ε_{7} + ε_{8}.

Φ^{+} = \{±ε_{i} + ε_{j} | 1 ≤ i < j ≤ 6\} ∪ \{ε_{7} − ε_{8}\} ∪ \{\frac{1}{2}(ε_{7} − ε_{8} + ∑_{i=1}^{6}(−1)^{ν(i)}ε_{i}) | ∑_{i=1}^{6} ν(i) ungerade\},

|Φ^{+}| = 63 Das Wurzelsystem ist vom Typ ADE und α^{∨} = α für alle α ∈ Φ.

Δ = \{ \begin{matrix}α_{1} = \frac{1}{2}(ε_{1} − ε_{2} − ε_{3} − ε_{4} − ε_{5} − ε_{6} − ε_{7} + ε_{8}), α_{2} = ε_{1} + ε_{2}, α_{3} = −ε_{1} + ε_{2}, \\ α_{4} = −ε_{2} + ε_{3}, α_{5} = −ε_{3} + ε_{4}, α_{6} = −ε_{4} + ε_{5}, α_{7} = −ε_{5} + ε_{6} \end{matrix} \}

α^{+} = (−ε_{7} + ε_{8}) = (2α_{1} + 2α_{2} + 3α_{3} + 4α_{4} + 3α_{5} + 2α_{6} + α_{7}) Die Fundamentalgewichte (bzgl. α_{1}, ..., α_{7}) sind

β_{1}^{∨} =(0, 0, 0, 0, 0, 0, −1, 1)  β_{2}^{∨}=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, −1, 1)
β_{3}^{∨} =(−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, −\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) β_{4}^{∨}=(0, 0, 1, 1, 1, 1, −2, 2)
β_{5}^{∨} =(0, 0, 0, 1, 1, 1, −\frac{3}{2}, \frac{3}{2})  β_{6}^{∨}=(0, 0, 0, 0, 1, 1, −1, 1)
β_{7}^{∨} =(0, 0, 0, 0, 0, 1, −\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

Hier ist ℤ[Φ] = ℤ[Φ^{∨}] = {(x_{1}, ..., x_{8}) ∈ ℤ^{8} | x_{7} = x_{8} = 0 und ∑_{i=1}^{6} x_{i} gerade} + ℤα_{1} und ℤ[Φ]^{∗} wird erzeugt von ℤ[Φ^{∨}] und β_{7}^{∨}. Die Fundamentalgruppe π(Φ) ≃ ℤ/2 wird erzeugt von β_{7}^{∨} ≡ β_{2}^{∨} ≡ β_{5}^{∨} mod ℤ[Φ^{∨}] und β_{7}^{∨} operiert durch (07)(16)(35) auf (den Indizes von) Δ(Φ_{aff}).

• α_{0} hs  ∘ α_{1} ∘ α_{3} ∘ α_{4} ∘ α_{5} ∘ α_{6} • α_{7} hs ∘α_{2}

Die maximalen Subsysteme sind D_{6} × A_{1}, A_{7}, A_{5} × A_{2}, A_{3}^{2} × A_{1}. Der abgeschlossene Alkoven ist

\{(x_{1}, ..., x_{8}) ∈ V | \begin{matrix}−x_{2} ≤ x_{1} ≤ x_{2} ≤ x_{3} ≤ x_{4} ≤ x_{5} ≤ x_{6} und \\ −x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} ≤ 2x_{8} ≤ 1 \end{matrix} \} .

Die Ecken des Alkovens sind 0, \frac{1}{2}β_{1}^{∨}, \frac{1}{2}β_{2}^{∨}, \frac{1}{3}β_{3}^{∨}, \frac{1}{4}β_{4}^{∨}, \frac{1}{3}β_{5}^{∨}, \frac{1}{2}β_{6}^{∨}, β_{7}^{∨}.

II : Im Atlas [Atlas, S. 46f] ist W (E_{7}) = 2×G für G = S_{6}(2) ≅ O_{7}(2). |W (E_{7})| = 2^{10}·3^{4}·5·7. W (E_{7}) = W (E_{7})^{ext}. Die Grade sind 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18. Coxeterzahl : h = 18.

III bis V: Die 60 Konjugationsklassen kann man Carter [Ca], Frame [Fr] oder dem Atlas [Atlas] entnehmen. Die anisotropen Klassen sind in der folgenden Tabelle. Die erste Spalte gibt die Konjugationsklassen in W (E_{8}) in der Bezeichnung von Frame [Fr] an, die eingeschränkt auf Φ(E_{7}) ⊂ Φ(E_{8}) die betreffende Konjugationsklasse ist W (E_{7}) ergeben. Dabei gibt es immer eine (komplette) W (E_{8})–Konjugationsklasse, die anisotrop ist (die erste) und eine, die in E_{8} nicht anisotrop ist (die zweite).

Frames E^{8} Namen EW

|W_{w}| h^{1}

Graph reg

Abstieg : Zentralisatoren

− 1^{8}, −1^{6}·2  2_{p}^{7}  2^{10}·3^{4}·5·7 2^{7} A_{1}^{7}  r 2 : 2^{10}·3^{2}·5
−1^{4}·¯2^{2}, −1^{2}·2·¯2^{2}  2_{p}^{3}4_{p}^{2}  2^{8}·3  2^{5} A_{3}^{2} × A_{1}  4 : 2^{8}, 2^{7}
−1^{5}·3, −1^{3}·2·3  2_{p}^{5}6_{p}  2^{5}·3^{3}·5  2^{5} D_{4} × A_{1}^{3}  2 : 2^{5}·3^{2}
−1·3·¯3^{2}/¯1^{2}, −6·¯3/¯1 2_{p}3_{p}^{2}6_{p} 2^{4}·3^{2}  2·3^{2} A_{5} × A_{2}  5 : 2·3^{2}
−1^{2}·3^{2}, −2·3^{2}  2_{p}^{3}6_{p}^{2}  2^{3}·3^{3}  2^{3} D_{6}(a_{2}) × A_{1}  2 : 2^{3}·3^{2}
−1^{2}·¯2·¯4, 8v  2_{p}4_{p}8_{p} 2^{5}  2^{3} A_{7}  3 : 2^{5}, 2^{3}
1^{3}·5, −1·2·5  2_{p}^{3}10_{p} 2^{2}·3·5  2^{3} D_{6} × A_{1}  2 : 2^{2}·5
− 1^{2}·9/3, −2·9/3 2_{p}18_{p} 2·3^{2}  2 E_{7}  r 1
−1·7, 2·¯7/¯1  2_{p}14_{p} 2·7  2 E_{7}(a_{1})  r 1
−1·3·¯6/¯2, 2·¯3·¯6/¯1·¯2 2_{p}6_{p}12_{p} 2^{3}·3  2 E_{7}(a_{2})  1
−3·5, 2·¯3·¯5/¯1^{2}  2_{p}6_{p}10_{p} 2·3·5  2 E_{7}(a_{3})  1
¯3^{3}/¯1, 2·¯3^{3}/¯1^{3}  2_{p}6_{p}^{3}  2^{4}·3^{4}  2 E_{7}(a_{4})  r 1

\begin{matrix}1 & • α_{0} ∘ α_{1} ∘ α_{3} ∘ α_{4} ∘ α_{5} ∘ α_{6} • α_{7} ∘α_{2} & E_{7}, E_{7}(a_{1}), ..., E_{7}(a_{4}) \\ 2 & • • ∘ ∘ ∘ • • ∘ & D_{6} × A_{1}, D_{6}(a_{2}) × A_{1}, D_{4} × A_{1}^{3}, A_{1}^{7} \\ 3 & • • ∘ ∘ ∘ • • • & A_{7} \\ 4 & • • ∘ • ∘ • • ∘ & A_{3}^{2} × A_{1} \\ 5 & • ∘ • ∘ • ∘ • ∘ & A_{5} × A_{2} \end{matrix}

Die Weylgruppe von E_{8}:

I: V = ℝ^{8} und (ε_{i})_{1≤i≤8} sei die kanonische Basis des ℝ^{8}.

Φ^{+} = \{±ε_{i} + ε_{j} | 1 ≤ i < j ≤ 8\} ∪ \{\frac{1}{2}(ε_{8} + ∑_{i=1}^{7}(−1)^{ν(i)}ε_{i}) | ∑_{i=1}^{7} ν(i) gerade\}, |Φ^{+}| = 120

Das Wurzelsystem ist vom Typ ADE und α = α^{∨} für alle α ∈ Φ.

Δ = \{ \begin{matrix}α_{1} = \frac{1}{2}(ε_{1} − ε_{2} − ε_{3} − ε_{4} − ε_{5} − ε_{6} − ε_{7} + ε_{8}), α_{2} = ε_{1} + ε_{2}, α_{3} = −ε_{1} + ε_{2}, \\ α_{4} = −ε_{2} + ε_{3}, α_{5} = −ε_{3} + ε_{4}, α_{6} = −ε_{4} + ε_{5}, α_{7} = −ε_{5} + ε_{6}, α_{8} = −ε_{6} + ε_{7} \end{matrix} \}

α^{+} = (ε_{7} + ε_{8}) = (2α_{1} + 3α_{2} + 4α_{3} + 6α_{4} + 5α_{5} + 4α_{6} + 3α_{7} + 2α_{8}) Die Fundamentalgewichte (bzgl. α_{1}, ..., α_{8}) sind

β_{1}^{∨} =(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2)  β_{2}^{∨}=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{5}{2})
β_{3}^{∨} =(−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{7}{2}) β_{4}^{∨}=(0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 5)
β_{5}^{∨} =(0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 4)  β_{6}^{∨}=(0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 3)
β_{7}^{∨} =(0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2)  β_{8}^{∨}=(0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1)

Hier ist ℤ[Φ^{∨}] = ℤ[Φ]^{∗} = ℤ[Φ] = {(x_{1}, ..., x_{8}) ∈ ℤ^{8} | ∑_{i=1}^{8} x_{i} gerade} + ℤα_{1}, d.h. die Fundamentalgruppe π(Φ) ist Eins.

∘ α_{1} ∘ α_{3} ∘ α_{4} ∘ α_{5} ∘ α_{6} ∘ α_{7} ∘ α_{8} • α_{0} hs ∘α_{2}

Maximale Subsysteme sind D_{8}, A_{8}, A_{7} × A_{1}, A_{5} × A_{2} × A_{1}, A_{4}^{2}, D_{5} × A_{3}, E_{6} × A_{2}, E_{7} × A_{1}. Der abgeschlossene Alkoven ist

\{(x_{1}, ..., x_{8}) ∈ ℝ^{8} | \begin{matrix}−x_{2} ≤ x_{1} ≤ x_{2} ≤ x_{3} ≤ x_{4} ≤ x_{5} ≤ x_{6} ≤ x_{7} und \\ −1 − x_{7} ≤ x_{8} ≤ −x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} \end{matrix} \} .

Die Ecken des Alkovens sind 0, \frac{1}{2}β_{1}^{∨}, \frac{1}{3}β_{2}^{∨}, \frac{1}{4}β_{3}^{∨}, \frac{1}{6}β_{4}^{∨}, \frac{1}{5}β_{5}^{∨}, \frac{1}{4}β_{6}^{∨}, \frac{1}{3}β_{7}^{∨}, \frac{1}{2}β_{8}^{∨}.

II : Im Atlas [Atlas, S. 85ff] ist W (E_{8}) = 2.G.2 für G = O_{8}^{+}(2). |W (E_{8})| = 2^{14} · 3^{5} · 5^{2} · 7. W (E_{8}) = W (E_{8})^{ext}. Die Grade sind 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30. Coxeterzahl : h = 30.

III : Alle 112 Konjugationsklassen findet man in Frame [Fr], Carter [Ca] oder im Atlas [Atlas]. Die 30 anisotropen Klassen sind in der folgenden Tabelle. Unter dem Doppelstrich sind die 9 primitven Klassen.

IV und V: Die anisotropen Klassen der E_{8}: Frame EW

|W_{w}| h^{1}

Graph reg

Abstieg : Zentralisatoren

\overline{2}^{8}  (−a) 2_{p}^{8}  2^{14}3^{5}5^{2}7 2^{8} A_{1}^{8}  r 6 : 2^{14}3^{2}5·7, 2^{11}3^{4}5·7
3^{4}/1^{4}  (−a) 3_{p}^{4}  2^{7}·3^{5}·5 3^{4} A_{2}^{4}  r 3 : 2^{3}·3^{5}
\overline{1}^{4}·\overline{2}^{2}  (−a) 2_{p}^{4}4_{p}^{2}  2^{11}·3^{2}  2^{6} A_{3}^{2} × A_{1}^{2}  10 : 2^{11}·3, 2^{7}·3, 2^{9}·3
\overline{2}^{4}  (b) 4_{p}^{4}  2^{10}·3^{2}·5 2^{4} D_{4}(a_{1})^{2}  r 5 : 2^{10}·3
5^{2}/1^{2}  (−a) 5_{p}^{2}  2^{3}·3·5^{2} 5^{2} A_{4}^{2}  r 4 : 5^{2}
\overline{1}^{5}·\overline{3}  (−a) 2_{p}^{6}6_{p}  2^{8}·3^{5}·5 2^{6} D_{4} × A_{1}^{4}  6 : 2^{8}·3^{2}·5, 2^{6}·3^{3}·5
\overline{1}^{2}·\overline{3}^{2}  (−a) 2_{p}^{4}6_{p}^{2}  2^{5}·3^{4}  2^{4} D_{4}^{2}  6 : 2^{5}·3^{2}, 2^{4}·3^{3}
\overline{1}·\overline{3}·3^{2}/1^{2} (−a) 2_{p}^{2}3_{p}^{2}6_{p} 2^{5}·3^{3}  2^{2}·3^{2} A_{5} × A_{1} × A_{2}  9 : 2^{2}·3^{2}, 2^{2}·3^{3}, 2^{5}·3^{2}
\overline{1}·\overline{2}^{2}·\overline{3}v (−a) 2_{p}^{2}4_{p}^{2}6_{p} 2^{6}·3^{2}  2^{4} D_{5}(a_{1}) × A_{3}  8 : 2^{6}·3, 2^{4}·3
6^{2}/2^{2}v  (b) 3_{p}^{2}6_{p}^{2}  2^{6}·3^{3}  3^{2} E_{6}(a_{2}) × A_{2}  3 : 2^{3}·3^{3}
\overline{3}^{3}/\overline{1}  (a) 2_{p}^{2}6_{p}^{3}  2^{5}·3^{5}  2^{2} E_{7}(a_{4}) × A_{1}  2 : 2^{5}·3^{4}
\overline{1}^{2}·\overline{2}·\overline{4}  (−a) 2_{p}^{2}4_{p}8_{p} 2^{7}  2^{4} A_{7} × A_{1}  11 : 2^{7}, 2^{4}, 2^{5}, 2^{6}
\overline{4}^{2}  (b) 8_{p}^{2}  2^{6}·3  2^{2} D_{8}(a_{3})  r 5 : 2^{6}
9/1  (−a) 3_{p}9_{p}  2·3^{3}  3^{2} A_{8}  7 : 3^{2}, 3^{3}
\overline{1}^{3}·\overline{5}  (−a) 2_{p}^{4}10_{p} 2^{4}·3·5^{2} 2^{4} D_{6} × A_{1}^{2}  6 : 2^{4}·3·5, 2^{3}·3·5
\overline{3}·\overline{5}  (−a) 2_{p}^{2}6_{p}10_{p} 2^{2}·3·5  2^{2} D_{8}(a_{2})  6 : 2·3·5, 2^{2}·3·5
3^{2}·\overline{6}/1^{2}·\overline{2} (−a) 3_{p}^{2}12_{p} 2^{5}·3^{2}  3^{2} E_{6} × A_{2}  3 : 2^{2}·3^{2}
\overline{2}·\overline{6}  (b) 4_{p}^{2}12_{p} 2^{3}·3^{2}  2^{2} D_{8}(a_{1})  5 : 2^{3}·3
\overline{1}·\overline{3}·\overline{6}/\overline{2} (−a) 2_{p}^{2}6_{p}12_{p} 2^{4}·3^{2}  2^{2} E_{7}(a_{2}) × A_{1}  2 : 2^{4}·3
\overline{1}·\overline{7}  (−a) 2_{p}^{2}14_{p} 2^{2}·7  2^{2} D_{8}  6 : 2·7, 2^{2}·7
\overline{1}^{2}·\overline{9}/\overline{3}  (−a) 2_{p}^{2}18_{p} 2^{2}·3^{3}  2^{2} E_{7} × A_{1}  2 : 2^{2}·3^{2}
(\overline{1}·\overline{15})/(\overline{3}·\overline{5})(−a) 30_{p}  2·3·5  1 E_{8}  r 1
(\overline{12})/\overline{4}  (b) 24_{p}  2^{3}·3  1 E_{8}(a_{1})  r 1
(\overline{10})/\overline{2}  (b) 20_{p}  2^{2}·5  1 E_{8}(a_{2})  r 1
\overline{6}^{2}/\overline{2}^{2}  (b) 12_{p}^{2}  2^{5}·3^{2}  1 E_{8}(a_{3})  r 1
\overline{9}/\overline{1}  (a) 6_{p}18_{p} 2·3^{3}  1 E_{8}(a_{4})  1
1·(15)/3·5 (a) 15p  2·3·5  1 E_{8}(a_{5})  r 1
\overline{5}^{2}/\overline{1}^{2}  (a) 10_{p}^{2}  2^{3}·3·5^{2}  1 E_{8}(a_{6})  r 1
\overline{3}^{2}·\overline{6}/\overline{1}^{2}·\overline{2} (a) 6_{p}^{2}12_{p} 2^{5}·3^{2}  1 E_{8}(a_{7})  1
\overline{3}^{4}/\overline{1}^{4}  (a) 6_{p}^{4}  2^{7}·3^{5}·5  1 E_{8}(a_{8})  r 1

weiter E_{8}: \begin{matrix}1 & ∘ α_{1} ∘ α_{3} ∘ α_{4} ∘ α_{5} ∘ α_{6} ∘ α_{7} ∘ α_{8} • α_{0} ∘α_{2} & E_{8}, E_{8}(a_{1}), ..., E_{8}(a_{8}) \\ 2 & ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • • ∘ & E_{7} × A_{1}, E_{7}(a_{2}) × A_{1}, E_{7}(a_{4}) × A_{1} \\ 3 & ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ • ∘ & E_{6} × A_{2}, E_{6}(a_{2}) × A_{2}, A_{2}^{4} \\ 4 & ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘ ∘ • ∘ & A_{4}^{2} \\ 5 & • ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ & D_{8}(a_{1}), D_{8}(a_{3}), D_{4}(a_{1})^{2} \\ 6 & • ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • • ∘ & D_{8}, D_{8}(a_{2}), D_{4}^{2}, D_{6} × A_{1}^{2}, D_{4} × A_{1}^{4}, A_{1}^{8} \\ 7 & ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ • ∘ • • & A_{8} \\ 8 & • ∘ ∘ ∘ • ∘ ∘ • ∘ & D_{5}(a_{1}) × A_{3} \\ 9 & ∘ ∘ • ∘ ∘ • • • ∘ & A_{5} × A_{1} × A_{2} \\ 10 & • ∘ ∘ ∘ • ∘ • • ∘ & A_{3}^{2} × A_{1}^{2} \\ 11 & • • ∘ ∘ • ∘ • • ∘ & A_{7} × A_{1} \end{matrix}

22 Die Weylgruppe von F_{4}:

I : V = ℝ^{4} mit Standardbasis ε_{i}. Φ^{+} = \{ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4}\} ∪ \{ε_{i} ± ε_{j} | 1 ≤ i < j ≤ 4\} ∪ \{\frac{1}{2}(ε_{1} ± ε_{2} ± ε_{3} ± ε_{4})\}, |Φ^{+}| = 24. Das duale Wurzelsystem Φ^{∨} ist ebenfalls vom Typ F_{4}. Allerdings ist in dieser (Bourbaki–) Normierung Φ ≠ Φ^{∨}. Stattdessen hat man (ε_{i})^{∨} = 2ε_{i}, (ε_{i} ± ε_{j})^{∨} = ε_{i} ± ε_{j}, \frac{1}{2}(ε_{1} ± ε_{2} ± ε_{3} ± ε_{4})^{∨} = ε_{1} ± ε_{2} ± ε_{3} ± ε_{4}. Δ = \{α_{1} = ε_{2} − ε_{3}, α_{2} = ε_{3} − ε_{4}, α_{3} = ε_{4}, α_{4} = \frac{1}{2}(ε_{1} − ε_{2} − ε_{3} − ε_{4})\} α^{+} = (ε_{1} + ε_{2}) = (2α_{1} + 3α_{2} + 4α_{3} + 2α_{4}). (α^{+})^{∨} = α^{+} = (2α_{1}^{∨} + 3α_{2}^{∨} + 2α_{3}^{∨} + α_{4}^{∨}). Die Fundamentalgewichte (bzgl. α_{1}, ..., α_{4}) sind

β_{1}^{∨} = (1, 1, 0, 0), β_{2}^{∨} = (2, 1, 1, 0), β_{3}^{∨} = (3, 1, 1, 1), β_{4}^{∨} = (2, 0, 0, 0).

Man hat ℤ[Φ^{∨}] = ℤ[Φ]^{∗} = {x ∈ ℤ^{4} | ∑_{i=1}^{4} x_{i} gerade} und ℤ[Φ] = ℤ[Φ^{∨}]^{∗} = ⨁_{i=1}^{n} ℤε_{i} + ℤα_{4}. Die Fundamentalgruppe π(Φ) ist daher Eins.

• α_{0} hs  ∘ α_{1} ∘ α_{2} > ∘ α_{3} ∘ α_{4}

Die maximale Subsysteme sind A_{1} × C_{3}, A_{2} × A_{2}, A_{3} × A_{1}, B_{4}. Der abgeschlossene Alkoven ist

{(x_{1}, ..., x_{4}) ∈ ℝ^{4} | x_{2} ≥ x_{3} ≥ x_{4} ≥ 0 und 1 − x_{2} ≤ x_{1} ≤ x_{2} + x_{3} + x_{4}} .

Die Ecken des Alkovens sind 0, \frac{1}{2}β_{1}^{∨}, \frac{1}{3}β_{2}^{∨}, \frac{1}{4}β_{3}^{∨}, \frac{1}{2}β_{4}^{∨}.

II : Man hat W (F_{4}) = W (D_{4})^{ext}, wobei das D_{4}–Subsystem {±ε_{i} ± ε_{j} | 1 ≤ i < j ≤ 4} ⊂ Φ ist. Damit kann man sich verbatim auf die D_{4} oben beziehen. Grade: 2, 6, 8, 12. Coxeterzahl: h = 12.

III : In der folgenden Tabelle sind alle 25 Konjugationsklassen verzeichnet. Eine Klasse ist nicht in allen Fällen durch ihr charakteristisches Polynom (d.h. durch ihre Eigenwerte) bestimmt. Daher wurde in der dritten Spalte das char. Poly. der Operation auf π(Φ) = ℤ[Φ]^{∗}/ℤ[Φ^{∨}] ≃ 𝔽_{2}^{2} mitaufgenommen. Bei den Graphen deutet (wie bei Carter [Ca]) die Tilde über einem A–System an, daß es aus kurzen Vektoren besteht.

IV und V: Unterhalb des ersten Doppelstrichs stehen die 9 anisotropen Klassen der F_{4} und unterhalb des zweiten Doppelstrichs stehen die beiden primitiven Klassen.

Name EW Operation auf π(Φ)

|W_{w}| h^{1}

Graph reg

Abstieg

X  1_{p}^{4}  X + 1 2^{7} · 3^{2} 1  ∅
IV  1_{p}^{3}2_{p}  X + 1 2^{5} · 3 2  A_{1}
XVII 1_{p}^{3}2_{p}  X^{2} + 1 2^{5} · 3 2  Ã_{1}
XIX 1_{p}2_{p}^{3}  X^{2} + 1 2^{5} · 3 2^{3} A_{1}^{2} × Ã_{1}
XXIII ”  X + 1 2^{5} · 3 2^{3}  A_{1}^{3}
VIII 1_{p}^{2}2_{p}^{2}  X + 1 2^{6}  2^{2}  A_{1}^{2}
XIII  ”  X^{2} + 1 2^{4}  2^{2} A_{1} × Ã_{1}
XIV 1_{p}^{2}4_{p}  X^{2} + 1 2^{5}  2  B_{2}
XVI 1_{p}2_{p}4_{p}  X^{2} + 1 2^{4}  2^{2} B_{2} × A_{1}
I  ”  X + 1 2^{4}  2^{2}  A_{3}
II  1_{p}2_{p}3_{p} X^{2} + X + 1 2^{2} · 3 2 · 3 Ã_{2} × A_{1}
XVIII ”  X^{2} + 1 2^{2} · 3 2 · 3 A_{2} × Ã_{1}
III  1_{p}2_{p}6_{p} X^{2} + X + 1 2^{2} · 3 2  C_{3}
XV  ”  X^{2} + 1 2^{2} · 3 2  B_{3}
V  1_{p}^{2}3_{p}  X + 1 2^{2} · 3^{2} 3  A_{2}
IX  ”  X^{2} + X + 1 2^{2} · 3^{2} 3  Ã_{2}
XXV 2_{p}^{4}  X^{2} + 1 2^{7} · 3^{2} 2^{4}  A_{1}^{4}  r 5
XX 2_{p}^{2}4_{p}  X^{2} + 1 2^{5}  2^{3} A_{3} × Ã_{1}  6
XXII 4_{p}^{2}  X + 1 2^{5} · 3 2^{2} D_{4}(a_{1}) r 4
XII 8_{p}  X^{2} + 1 2^{3}  2  B_{4}  r 4
XI  2_{p}^{2}6_{p} X^{2} + X + 1 2^{2} · 3^{2} 2^{2} C_{3} × A_{1}  2
XXI ”  X + 1 2^{2} · 3^{2} 2^{2}  D_{4}  4
XXIV 3_{p}^{2}  X^{2} + X + 1 2^{3} · 3^{2} 3^{2} A_{2} × Ã_{2} r 3
VI  12_{p}  X^{2} + X + 1 2^{2} · 3 1  F_{4}  r 1
VII 6_{p}^{2}  X^{2} + X + 1 2^{3} · 3^{2} 1 F_{4}(a_{1}) r 1

1 • α_{0} ∘ α_{1} ∘ α_{2}> ∘ α_{3} ∘ α_{4} VI, VII
2 • • ∘ > ∘ ∘ XI
3 • ∘ • > ∘ ∘ XXIV

4

• ∘ ∘ > ∘ •

XII, XXI, XXII

5 • • ∘ > ∘ • XXV
6 • • ∘ > • • XX

Die Weylgruppe von G_{2}:

I : V ist die Hyperebene des ℝ^{3} orthogonal zu ε_{1} + ε_{2} + ε_{3}. Φ^{+} = {α_{1}, α_{2}, α_{1} + α_{2}, 2α_{1} + α_{2}, 3α_{1} + α_{2}, 3α_{1} + 2α_{2}}, |Φ^{+}| = 6. Das duale Wurzelsystem Φ^{∨} ist ebenfalls vom Typ G_{2}. Allerdings ist in dieser (Bourbaki–) Normierung Φ ≠ Φ^{∨}. Man hat stattdessen α^{∨} = α für α ∈ {±(ε_{i} − ε_{j}) | 1 ≤ i < j ≤ 3} und sonst α^{∨} = \frac{1}{3}α. Δ = {α_{1} = ε_{1} − ε_{2}, α_{2} = −2ε_{1} + ε_{2} + ε_{3}} α^{+} = (−ε_{1} − ε_{2} + 2ε_{3}) = (3α_{1} + 2α_{2}). (α^{+})^{∨} = \frac{1}{3}α^{+} = (α_{1}^{∨} + 2α_{2}^{∨}). Die Fundamentalgewichte (bzgl. α_{1}, α_{2}) sind β_{1}^{∨} = (0, −1, 1), β_{2}^{∨} = \frac{1}{3}(−1, −1, 2). Man hat ℤ[Φ] = ℤ[Φ^{∨}]^{∗} bzw. ℤ[Φ^{∨}] = ℤ[Φ]^{∗}. Daher ist die Fundamentalgruppe π(Φ) = 1.

∘ α_{1} ∘ α_{2} • α_{0}hs <

Die maximalen Subsysteme sind A_{2}, A_{1} × Ã_{1}. Der abgeschlossene Alkoven ist

{(x_{1}, ..., x_{3}) ∈ V | 1 + x_{2} − 2x_{3} ≥ x_{1} ≥ x_{2} ≥ 2x_{1} − x_{3}} .

Die Ecken des Alkovens sind 0, \frac{1}{3}β_{1}^{∨}, \frac{1}{2}β_{2}^{∨}.

II : W (G_{2}) = ⟨cox⟩ ⋊ ⟨s_{α_{2}}⟩ = D_{6·2}. W (G_{2}) = W (G_{2})^{ext}. Grade : 2, 6. Coxeterzahl: h = 6. Coxeterelement: cox = s_{α_{1}}s_{α_{2}}.

III bis V : Es gibt 6 Konjugationsklassen, davon 3 anisotrope. Primitiv ist nur das Coxeterelement.

w char. Poly. |W_{w}| h^{1}  Graph reg Abstieg
1  1_{p}^{2}  12 1  ∅
s_{α_{2}}  1_{p}2_{p}  4 2  A_{1}
s_{α_{1}}  1_{p}2_{p}  4 2  Ã_{1}
cox^{3}  2_{p}^{2}  12 2^{2} A_{1} × Ã_{1} r ∘ < • •
cox^{2}  3_{p}  6 3  A_{2}  r • < ∘ •
cox  6_{p}  6 1  G_{2}  r ∘ < ∘ •

In folgender Tabelle werden Stuktur und Erzeuger von Aut_{W} (Φ_{1}) angegeben. Dabei ist Φ_{1} ein maximales (nicht parabolisches) Subsystem von Φ und Aut_{W} (Φ_{1}) := Aut(Φ_{1}) ∩ W die Gruppe der Diagrammautomorphismen von Φ_{1}, die von Elementen der Weylgruppe bewirkt werden. Die Erzeuger werden in Zykelschreibweise notiert. Dabei wird Aut(Φ_{1}) aufgefaßt als Permutationsgruppe auf den Indizes der Wurzeln in Δ(Φ_{aff}) = Δ ∪ {α_{0}}. Die Nummerierung der Wurzeln ist die der affinen Dynkindiagramme auf den vorangegangenen Seiten.

Typ von Φ max. Subsyst. Φ_{1}  Aut_{W} (Φ_{1}) Erzeuger
A_{n}  ∅
A_{1}^{2} × B_{r−2}  1
B_{r} (r ≥ 2) D_{m} × B_{r−m} (3 ≤ m ≤ r − 2)  ℤ/2  (01)
D_{r−1} × A_{1}  ℤ/2  (01)
C_{r} (r ≥ 2) A_{1} × C_{r−1}  1
C_{m} × C_{r−m} (2 ≤ m ≤ r − 2)  1
D_{4}  A_{1}^{4}  ℤ/2 × ℤ/2 (01)(34), (04)(13)
D_{r} (r ≥ 5) A_{1}^{2} × D_{r−2}  ℤ/2  (01)(r − 1, r)
D_{m} × D_{r−m} (3 ≤ m ≤ r − 2)  ℤ/2  (01)(r − 1, r)
E_{6}  A_{5} × A_{1}  1
A_{2}^{3}  S_{3}  (061)(253), (06)(25)
D_{6} × A_{1}  1
E_{7}  A_{7}  ℤ/2  (07)(16)(35)
A_{5} × A_{2}  ℤ/2  (01)(27)(46)
A_{3}^{2} × A_{1}  ℤ/2 × ℤ/2 (03)(57), (05)(16)(37)
D_{8}  1
A_{8}  ℤ/2  (10)(28)(37)(45)
A_{7} × A_{1}  ℤ/2  (20)(48)(57)
E_{8}  A_{5} × A_{2} × A_{1}  ℤ/2  (50)(68)(13)
A_{4}^{2}  ℤ/4  (0162)(3748)
D_{5} × A_{3}  ℤ/2  (25)(70)
E_{6} × A_{2}  ℤ/2  (16)(35)(80)
E_{7} × A_{1}  1
C_{3} × A_{1}  1
F_{4}  A_{2}^{2}  ℤ/2  (01)(34)
A_{3} × A_{1}  ℤ/2  (02)
B_{4}  1
G_{2}  A_{1}^{2}  1
A_{2}  ℤ/2  (02)
Typ von Φ max. Subsyst. Φ_{1}  Aut_{W^{ext}}(Φ_{1}) Erzeuger
D_{4} A_{1}^{4} S_{4} (01), (13), (34)
D_{r} (r ≥ 5) A_{1}^{2} × D_{r−2}  ℤ/2 × ℤ/2 (01), (r − 1, r)
D_{n} × C_{m} (n + m = r)  ℤ/2 × ℤ/2 (01), (r − 1, r)
E_{6}  A_{5} × A_{1}  ℤ/2  (16)(35)
A_{2}^{3}  D_{6·2}  (036215), (06)(25)

References

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