Vortragsmanuskripte

von Helmut Hasse

t k Vorträge von 1923 – 26 – 28 – 29 – 30 – 31

– 32 – 33 – 38 – 53 – 55 – 63

t – fertig transkribiert, k – nach Tippfehlern durchgesehen

Version vom 25.09.11 Letztmalig geändert am 27.09.11

Quelltext: hasvtr_111110.tex übersetzt am 14. März 2015

Inhaltsverzeichnis

1 Die Vorträge von Hasse 5 1.1 Marburg 1923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Marburg 1926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Leipzig 1928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4 Jena 1928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5 Erlangen 1929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.6 Marburg 1930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.7 Göttingen 1931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.8 Marburg 1931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.9 Halle 1931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1.10 Zürich 1932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.11 Kiel, Hamburg 1932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.12 Göttingen 1933 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 1.13 Marburg 1933 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 1.14 Marburg 1933 II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1.15 Würzburg 1933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 1.16 Göttingen 1933 II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 1.17 Königsberg 1936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 1.18 Baden–Baden 1938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 1.19 Helsinki, Djursholm 1938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 1.20 HU Berlin 1953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 1.21 Akad. Berlin 1953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 1.22 Bonn 1953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 1.23 Mainz 1953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 1.24 Istanbul 1955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 1.25 Hamburg 1963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Register 313 3

Vorbemerkung

[…] steht als Platzhalter für Text, der nicht oder nicht eindeutig zu entziffern war.^{1} □□□ steht für durchgestrichene, aber lesbare Passagen.^{2} 𝔩 steht für ein spezielles Zeichen, das von Hasse an mehreren Stellen verwendet wird; es handelt sich um den kleinen Buchstaben ℓ in deutscher Schrift und bezeichnet in der Regel ein verzweigtes Primideal.^{3}

1. erreichbar mit \xxx

2. erreichbar mit \boxes

3. erreichbar mit \y

Kapitel 1 Die Vorträge von Hasse

\underline{Marburg 1923} 6

1.1 Marburg 1923

Vortrag, Marburg, September 1923.

k beliebiger algebraischer Körper, der ℓ-te E.W. ζ enthält (für ℓ = 2 ganz beliebig). Ferner sei in k:

ℓ = 𝔩_{1}^{e_{1}} … 𝔩_{z}^{e_{z}}.

Alle Reziprozitätsbeziehungen für die ℓ-ten Potenzreste in k lassen sich nach Hilbert in die eine Formel

∏_{𝔴}(\frac{α, β}{𝔴}) = 1; (α, β beliebige Zahlen aus k)

zusammenfassen. Darin bedeutet 𝔴 alle Primteiler des Körpers k, für ℓ = 2 einschl. der Primstellen 𝔭_{∞} für die reellen zu k konjugierten, (\frac{α,β}{𝔴}) Normenrestsymbol.

Aus dieser Formel entstehen allgemeines Reziprozitätsgesetz, erster u. zweiter Ergänzungssatz, wenn für α, β spezielle Werte eingesetzt werden. Die zu ℓ primen 𝔭 liefern die Legendre-Jacobischen Symbole, die übrigen 𝔩 und 𝔭_{∞} schafft man dann durch Vertauschungssatz nach rechts.

Allgem. Rez.gesetz

(\frac{α}{β})(\frac{β}{α})^{−1} = ∏_{𝔩}(\frac{β, α}{𝔩}) · ∏_{𝔭_{∞}}(\frac{β, α}{𝔭_{∞}});

α, β prim zu einander und zu ℓ erster Ergänzungssatz

(\frac{ε}{α}) = ∏_{𝔩}(\frac{α, ε}{𝔩}) · ∏_{𝔭_{∞}}(\frac{α, ε}{𝔭_{∞}});

α prim zu ℓ, ε = 𝔞^{ℓ} prim zu α (speziell Einheit)

zweiter Ergänzungssatz

(\frac{λ}{α}) = ∏_{𝔩}(\frac{α, λ}{𝔩}) · ∏_{𝔭_{∞}}(\frac{α, λ}{𝔭_{∞}});

α prim zu ℓ, λ = ∏ 𝔩_{i}^{a_{i}}𝔞^{ℓ} prim zu α (also eine durch Primteiler von ℓ teilbare Zahl).

Man beherrscht diese 3 Gesetze erst dann, wenn man die rechten Seiten explizit kennt. Für^{1} die 𝔭_{∞}-Symbole ist das nicht schwer. Sie sind nach ihrer Definition falls ℓ = 2:

∏_{𝔭_{∞}}(\frac{α, β}{𝔭_{∞}}) = (−1)^{∑_{i} \frac{sgn α^{(i)}−1}{2} · \frac{sgn β^{(i)}−1}{2}} ; Vorzeichencharaktere

Ohne Beschränkung sei einfachheitshalber: Für ℓ = 2: α total positiv, sodaß die 𝔭_{∞}-Symbole identisch 1 sind.

Dann kommt es also nur auf die Normenrestsymbole nach den 𝔩_{i} an.

Abgesehen von Spezialfällen (rat. Grdk., Kreiskörper, Eisenstein) beherrschte man diese Symbole bisher nur insofern, als man Bedingungen für α angeben kann, unter denen sie identisch 1 sind. Hierzu Begriffe primär, hyperprimär.

Sei 𝔩_{0} Primteiler (1 − ζ) = (λ_{0}) des Kreiskörpers k_{ζ} (für ℓ = 2: 𝔩_{0} = 2).

\begin{matrix}α primär, & wenn & α ≡ ξ^{ℓ} mod ℓ𝔩_{0} \\ α hyperprimär, & wenn & α ≡ ξ^{ℓ} mod ℓ𝔩_{0}𝔩_{1} … 𝔩_{z} \end{matrix} \}

prim zu ℓ

(u. für ℓ = 2 tot. positiv).

Dann gilt:

(\frac{α}{β})(\frac{β}{α})^{−1} = 1, wenn α, β prim zu ℓ, zueinander und α primär.
(\frac{ε}{α}) = 1, wenn α primär, ε = 𝔞^{ℓ} prim zu α
(\frac{λ}{α}) = 1, wenn α hyperprimär, λ = ∏_{i} 𝔩_{i}^{α_{i}} · 𝔞^{ℓ} prim zu α

Es ist mir nun auf Grund der Henselschen Methoden gelungen, die Normenrestsymbole für die […] in weiteren Fällen, wo sie nicht identisch 1 sind, in einfache Form zu setzen und folgende Gesetze zu beweisen, in denen α nicht mehr primär zu sein braucht:

(\frac{α}{β})(\frac{β}{α})^{−1} = ζ^{S( \frac{α−1}{ℓ} · \frac{β−1}{λ_{0}} )}, wenn \{ \begin{matrix}α ≡ 1 mod ℓ \\ β ≡ 1 mod λ_{0} \end{matrix} \} und (α, β) = 1
(\frac{ζ}{α}) = ζ^{S(\frac{α−1}{ℓ})}, wenn α ≡ 1 mod ℓ
(\frac{ℓ}{α}) = ζ^{S(\frac{α−1}{ℓλ_{0}})}, wenn α ≡ 1 mod ℓλ_{0}

1. undeutlich

S = Spur in k. Die Ergänzungssätze sind nicht die allgemeinsten. Diese haben sehr verwickelten Typus. Der erste für beliebiges ε ist als im allgemeinen Gesetz enthalten anzusehen, der zweite läßt sich ähnlich auch noch für λ_{0} statt ℓ aussprechen, jedoch für beliebige unsymmetrische Verbindungen der 𝔩_{i} habe ich ihn noch nicht.

Ergänzungssätze in dieser Form geschrieben, wegen Analogie zum bekannten quadr. Rez. Ges. im rat. Körper:

(\frac{a}{b})(\frac{b}{a}) = (−1)^{\frac{a−1}{2} · \frac{b−1}{2}} , wenn \{ \begin{matrix}a ≡ 1 mod 2 \\ b ≡ 1 mod 2 \end{matrix} \} (a, b) = 1, a pos.
(\frac{−1}{a}) = (−1)^{(\frac{a−1}{2})}, wenn a ≡ 1 mod 2, a pos.

(\frac{2}{a}) = (−1)^{(\frac{a−1}{4})}, wenn a ≡ 1 mod 4 (hier kann a pos. entbehrt werden, da 2 positiv ist).

Das allgemeine Gesetz ist auch als Verallgem. d. Eisensteinschen Rez. Ges. anzusehen.

1.) Die Bedingung ≡ 1 ist unwesentl. ebenso gut:

≡ rat. (zu ℓ primer Zahl).

Dann muß das Gesetz geschrieben werden

(\frac{α}{β})(\frac{β}{α})^{−1} = ζ^{S( \frac{α^{ℓ−1}−1}{ℓ} · \frac{β^{ℓ−1}−1}{λ_{0}} )}

2.) Ist nun k der Kreiskörper und

α ≡ a mod ℓ
β ≡ b mod λ_{0}^{2} (semiprimär)

so wird β^{ℓ−1} ≡ b^{ℓ−1} ≡ 1 mod λ_{0}^{2}, also \frac{β^{ℓ−1}−1}{λ_{0}} durch λ_{0} teilbar, also Spur ≡ 0 (ℓ), d.h.

(\frac{α}{β})(\frac{β}{α}) = 1 wenn im Kreiskörper \{ \begin{matrix}α ≡ rat. Zahl mod ℓ \\ β ≡ rat. Zahl mod λ_{0}^{2} \end{matrix} \}

Das ist das bekannte Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz.

Es entsteht natürlich die Frage, ob sich die notwendigen Voraussetzungen nicht noch weiter herabdrücken lassen, also die Moduln noch weiter verkleinern.

In dieser Richtung habe ich noch kein abschließendes Resultat. Den Ausgangspunkt für die Aufstellung einer ganz allgemeinen Formel findet man am zweckmäßigsten in der Kummerschen Formel für den Kreiskörper k_{ζ}.

(\frac{α}{β})(\frac{β}{α})^{−1} = ζ^{∑_{k=1}^{ℓ−1}(−1)^{k}ℓ_{k}(α)ℓ_{(ℓ−k)}(β)}

(α, β prim zu ℓ und zueinander und ≡ 1 mod λ_{0}). wo die ℓ_{k}(α) die Kummerschen logarithmischen Diff.Quot. sind. Dies entsteht aus

α = α(ζ)

als

ℓ_{k}(α) ≡ \frac{d^{k} log α(e^{v})}{dv^{k}} |_{k=0} mod ℓ.

Ich habe zeigen können, daß man diese unerfreulichen Ausdrücke durch einfachere ersetzen kann, die zu ihrer Bildung nicht erst den formalen Differentiationsprozeß erfordern, sondern direkt angebbare Spuren von Polynomen in α sind.

Sei log α = (α−1)− \frac{(α−1)^{2}}{2} + \frac{(α−1)^{3}}{3} −⋯ für α ≡ 1 mod λ_{0} hinreichend weit fortgesetzt. Die Glieder werden schließlich durch jede noch so hohe Potenz von λ_{0} teilbar, also hat

S log α \{ \begin{matrix}1.) teilbar durch ℓ \\ 2.) ganz bestimmten Kongruenzwert mod ℓ. \end{matrix}

Damit ist

(\frac{α}{β})(\frac{β}{α})^{−1} = ζ^{∑_{κ=1}^{ℓ−1} κ· \frac{S(ζ^{−κ} log α)}{ℓ} · \frac{S(ζ^{κ} log β)}{ℓ} +S(\frac{α−1}{λ_{0}})\frac{S log β}{ℓ} −S(\frac{β−1}{λ_{0}})S(\frac{log α}{ℓ})}

für α, β ≡ 1 mod λ_{0}, prim zu ℓ und zueinander im Kreiskörper. Das ist soweit heruntergedrückt, als möglich. Höchstens noch α ≡ rat. Zahl mod λ_{0}, das aber leicht durch α^{ℓ−1} zu erreichen. Letzten beiden Glieder treten nur für

α, β ≢ modλ_{0}^{2}

auf. Für semiprimäre α, β nur das erste Glied.

Nach einem allgemeinen Satz über Legendre Symbole im Ober- und Unterkörper folgt hieraus:

(\frac{A}{β})(\frac{β}{A})^{−1} = ζ^{∑_{κ=1}^{ℓ−1} κ· \frac{S_{k}(ζ^{−κ} log A)}{ℓ} · \frac{S_{ζ} (ζ^{κ} log β)}{ℓ} +S_{k}(\frac{A−1}{λ_{0}})\frac{S_{ζ} log β}{ℓ} −S(\frac{β−1}{λ_{0}})(\frac{S_{k} log A}{ℓ})}

für A, β ≡ 1 mod λ_{0} prim zu einander, β im Kreiskörper k_{ζ}.

Es fehlt also noch die entspr. Formel, wenn A, B beide im Oberkörper liegen, und auch nur nach niedrigeren Potenzen, als λ_{0}, ≡ 1 sind.

Den ersten Ergänzungssatz besonders zu führen, ist nicht notwendig, da er für β = ℓ-te Idealpotenz im allgem. Gesetz unmittelbar enthalten ist.

Der zweite Ergänzungssatz läßt eine entsprechende Darstellung zu. Mitteilungen von Artin. Wieder erhält man zunächst den allgemeinsten zweiten Ergänzungssatz in k_{ζ}, der dort offenbar nur die beiden Symbole

(\frac{ℓ}{α}) und (\frac{λ_{0}}{α})

zu behandeln braucht:

(\frac{ℓ}{α}) = ζ^{−S(\frac{log α}{λ^{ℓ}_{0}})}; (\frac{λ_{0}}{α}) = ζ^{−S(\frac{ζ log α}{ℓλ_{0}})}

für α ≡ 1 mod λ_{0} im Kreiskörper.

Für beliebigen Grundkörper k wird dann, wenn ebenfalls λ auf die beiden Werte λ = λ_{0}, ℓ, die schon im Kreiskörper liegen, beschränkt wird

(\frac{ℓ}{A}) = ζ^{−S(\frac{log A}{λ^{ℓ}_{0}})}; (\frac{λ_{0}}{A}) = ζ^{−S(\frac{ζ log A}{ℓλ_{0}})}

für A ≡ 1 mod λ_{ν}.

Es fehlt also wieder eine entspr. Formel für

1.) beliebiges λ

2.) niedrigere Kongruenzbedingung für A.

1.2 Marburg 1926

Vortrag Marburg 26.XI.26.

Die Klassenkörper der komplexen Multiplikation.

I. Es sei k ein (endlicher) algebraischer Zahlkörper. Zweck der Klassenkörpertheorie ist, die relativ-Abelschen Zahlkörper K über k zu beherrschen. Das geschieht durch eineindeutige Zuordnung mit bestimmten Eigenschaften zu den Idealgruppen H mod m in k.

Idealgruppen H mod m in k.

k besitzt eine Anzahl Primstellen:

1.) die endlichen Primstellen 𝔭 (Primideale). Für diese ist im Bereich der α ≠ 0 aus k eine genaue Teilbarkeit durch 𝔭^{a} erklärt. Ist a = 0, so heißt α prim zu 𝔭. Im Bereich der zu 𝔭 primen α, β ist ferner eine Relation α ≡ β mod 𝔭^{a} erklärt, (in der bekannten Weise: α−β hat positive Ordnungszahl für 𝔭). Das führt zu einer primen Restklassengruppe mod 𝔭^{a} (Ordnung N(𝔭)(N(𝔭) − 1)).

2.) die unendlichen Primstellen 𝔭_{∞}, die den reellen konjugierten und den Paaren konjugiert-komplexer konjugierter zu k entsprechen. Für diese ist keine Teilbarkeit erklärt, wir rechnen jedes α ≠ 0 prim zu 𝔭_{∞}, und es ist dann im Bereich der zu 𝔭_{∞} primen α, β eine Relation α ≡ β mod 𝔭_{∞} erklärt, (durch die Festsetzung: sgn α ≡ sgn β für den 𝔭_{∞} entsprechenden Körper, wenn dieser reell; stets, wenn dieser komplex). Das führt zu einer primen Restklassengruppe mod 𝔭_{∞} (Ordnung 2 oder 1).

Es sei jetzt

𝔪 = ^{∏′} 𝔭^{a} ^{∏′} 𝔭_{∞} (a > 0)

ein „endliches“ Produkt von Primstellenpotenzen (bei den 𝔭_{∞} stets 1. Potenz); dann reden wir von einem Modul 𝔪.

Es ist dann durch Zusammensetzung erklärt:

1.) α prim zu 𝔪 (α prim zu den 𝔭^{a} und 𝔭_{∞})

2.) Im Bereich der zu 𝔪 primen α, β die Relation α ≡ β mod 𝔪 (α ≡ β mod 𝔭^{a} und mod 𝔭_{∞})

3.) Die prime Restklassengruppe mod 𝔪 (Ordnung endlich) (direktes Produkt der gr. Restkl. Gr. mod 𝔭^{a}, mod 𝔭_{∞}).

Wir betrachten nun den Bereich aller zu 𝔪 primen (endlichen) Ideale 𝔞, 𝔟 von k und erklären die Relation

𝔞 ∼ 𝔟 mod 𝔪

durch die Existenz einer Zahl α, sodaß

\frac{𝔞}{𝔟} = α ≡ 1 mod 𝔪

fortan also Gleichheit der absoluten Idealklasse von 𝔞, 𝔟 und überdies (falls 𝔪 ≠ 1) eine Restklassenbedingung mod 𝔪. Diese Relation führt zu einer Einteilung der zu 𝔪 primen Ideale in die Strahlklassen mod 𝔪 und zu der Strahlklassengruppe mod 𝔪, deren Ordnung endlich ist, weil die absolute Idealklassengruppe und die prime Restklassengruppe endliche Ordnung haben. (Nicht etwa das Produkt, weil hier „Ideale“, dort sogar „Zahlen“)^{1}.

Idealgruppe H mod 𝔪 heißt dann jede Gruppe von zu 𝔪 primen Idealen, die sich aus ganzen Strahlklassen mod 𝔪 zusammensetzt, oder was dasselbe, die die Idealgruppe 𝔞 ∼ 1 mod 𝔪, den sog. Strahl mod 𝔪 enthält.

Idealklassengruppe nach H heißt die Gruppe der Nebengruppen zu H in der Gruppe A aller zu 𝔪 primen Ideale (Faktorgruppe A/H). Wir schreiben dann auch

𝔞 ∼ 𝔟 mod H für \frac{𝔞}{𝔟} in H

also

𝔞 ∼ 1 mod H für a in H

(Für den Strahl mod 𝔪 ist das mit 𝔞 ∼ 𝔟 mod 𝔪, 𝔞 ∼ 1 mod 𝔪 identisch). Die Ordnung h der Idealklassengruppe nach H (Index von H, Klassenzahl nach H) ist natürlich endlich.

(H mod 𝔪) = (H′ mod 𝔪′), wenn ein Ideal 𝔪_{0} existiert, sodaß die zu 𝔪_{0} primen Ideale von H und H′ übereinstimmen.

Beispiel: k der rationale Körper, m = 3p_{∞}. Dann ist der Strahl mod 3p_{∞} die Gesamtheit der zu 3 primen Zahlen a mit

a ≡ 1 mod 3p_{∞} (d.h. ≡ 1 mod 3, > 0)

und ihrer entgegengesetzten −a (letzteres, weil nur Hauptideale genommen werden). Dieser ist gleich mit dem Strahl mod 2·3·p_{∞}, weil m_{0} = 2 gewählt werden kann.

Unter allen zu H mod 𝔪 gleichen

H mod 𝔪, H′ mod 𝔪′, …

1. Randvermerk

existiert ein ausgezeichnetes

H_{0} mod f

derart, daß f der größte gemeinsame Teiler aller 𝔪, 𝔪′, … ist und wenn 𝔪 = f𝔪_{0} ist, so entsteht H aus H_{0} einfach durch Weglassen der zu 𝔪_{0} nicht primen Ideale aus H. Es gibt umgekehrt für jedes 𝔪′_{0} ein (H′ mod 𝔪′_{0}f) = (H mod 𝔪)

f heißt der Führer von H.

Die Relation (H_{1} mod 𝔪_{1}) ≦ (H_{2} mod 𝔪_{2}) wird durch Bestehen im gewöhnlichen Sinne für geeignete gleiche H′_{1} mod 𝔪, H′_{2} mod 𝔪 mit gleichem 𝔪 erklärt.

Das ist unabhängig von 𝔪 und es gilt auch im gewöhnlichen Sinne

(H_{10} mod f_{1}) ≦ (H_{20} mod f_{2}) f_{1} Multiplum von f_{2}

Hiernach ist auch erklärt:

[H_{1} mod 𝔪_{1}, …, H_{r} mod 𝔪_{r}] Durchschnitt
(H_{1} mod 𝔪_{1}, …, H_{r} mod 𝔪_{r}) Vereinigungsgruppe.

Der Fundamentalsatz.

Wir erörtern nun die beiden Zuordnungsprinzipien:

K ⟶ H mod 𝔪 K ⟵ H mod 𝔪,

die sich zu der eineindeutigen Zuordnung zusammenfügen.

I.) Ist K ein Relativkörper über k, so ist K eine bestimmte Idealgruppe H mod 𝔪 (für jedes 𝔪 eine) zugeordnet, nämlich die Gesamtheit der Strahlklassen mod 𝔪, die Relativnormen von Idealen aus K enthalten. H mod 𝔪 heißt die Relativnormgruppe mod 𝔪 von K.

(Hier weiß man also a priori zwar die Existenz aber nicht die Eindeutigkeit der Zuordnung)

II.) Ist H mod 𝔪 eine Idealgruppe in k, so kann ihr ein Relativkörper K über k so zugeordnet sein, daß gilt:

a.) alle zu 𝔪 primen Primideale 1. Grades aus H zerfallen in K in verschiedene Primideale 1. Relativgrades (und 1. Grades)

b.) alle nicht zu H gehörigen zu 𝔪 primen Primideale 1. Grades aus k haben in K mindestens einen Primfaktor höheren als 1. Relativgrades.

(Hier weiß man a priori weder die Existenz noch die Eindeutigkeit der Zuordnung)

Es heißt dann K Klassenkörper zu H mod 𝔪 Hauptsatz. Zwischen den sämtlichen relativ-Abelschen Zahlkörpern K über k (Relativgrad n, Relativdiskriminante 𝔡, Galoissche Relativgruppe 𝔊) und den sämtlichen Idealgruppen H mod 𝔪 aus k (Klassenzahl h, Führer f, Klassengruppe A/H) läßt sich eine eineindeutige (bzgl. der H mod 𝔪 im erklärten Sinne) Zuordnung festlegen derart, daß folgende Bedingungen bestehen, wenn K und H mod 𝔪 zueinander zugeordnet sind:

I.) H mod 𝔪 (diese also eindeutig, soweit 𝔡 | 𝔪) ist die Relativnormgruppe mod 𝔪 von K und gleich der Relativnormgruppe mod 𝔡 von K.

II.) K (dieser also stets vorhanden^{2} und eindeutig, sowie rel. Abelsch.) ist Klassenkörper zu H mod 𝔪 (und jedem gleichen, insbesondere H_{0} mod f)

III.) 𝔊 ≅ A/H, h = n. (Man kann nach Artin noch genauer angeben, wie! Rez.Ges.)

IV.) 𝔡 und f bestehen aus denselben Primidealen^{∗)} (Man kann das genau angeben)

V.) Die Primideale 𝔭 aus k zerfallen in K nach dem Gesetz:

𝔭 = (𝔓_{1} … 𝔓_{g})^{e}, n(𝔓_{i}) = 𝔭^{f},

wenn H_{𝔭} die engste H enthaltende Idealgruppe von zu 𝔭 primem Führer (für 𝔭 prim zu 𝔪 also H_{𝔭} = H) ist und

a = (H_{𝔭} : H)

f der kleinste Exponent, sodaß 𝔭^{f} in H_{𝔭} (𝔭^{f} ∼ 1 mod H_{𝔭})

g = \frac{h}{ef} = \frac{n}{ef} .

(Das ist Ausdruck der Definition des Klassenkörpers. Für die 𝔭_{∞} gilt ein entsprechendes Gesetz, wenn man an Stelle von 𝔭 in H_{𝔭} setzt 𝔭_{∞} ∤ f.)

VI.) Die Relationen

K_{1} ≦ K_{2}, H_{1} mod 𝔪_{1} ≧ H_{2} mod 𝔪_{2}

sind gleichbedeutend. Demnach sind auch zugeordnet

(K_{1}, …, K_{r}) und [H_{1} mod 𝔪_{1}, …, H_{r} mod 𝔪_{r}]
[K_{1}, …, K_{r}] und (H_{1} mod 𝔪_{1}, …, H_{r} mod 𝔪_{r})

2. undeutlich

∗). Die 𝔭_{∞} kommen dabei nicht in Betracht, weil sie in 𝔡 nicht eingehen.

Beispiel.

k rational, H der Strahl mod mp_{∞}, K der Körper der m-ten E.W. (d.h. K = k (e^{\frac{2πi}{m}} )) Denn in K gilt tatsächlich das Zerlegungsgesetz V.) also gilt insbesondere das Gesetz II.), was wegen der Eineindeutigkeit festzustellen hinreicht.

Allgemein genügt zur Feststellung, daß H mod m und K sich im Sinne des Satzes entsprechen: entw. a.) daß K Klassenkörper zu H mod 𝔪 ist oder b.) daß die Idealgruppe (H′ mod 𝔡) = (H mod 𝔪) die Relativnormgruppe mod 𝔡 von K ist.

Im gegebenen Beispiel folgt daraus weiter, weil der Strahl mod mp_{∞} in jeder Idealgruppe mod 𝔪 enthalten ist, daß die Körper der m-ten E.W. alle Abelschen Zahlkörper über k enthalten (absolut Abelsche Körper – Kroneckersche Vermutung) und man beherrscht die letzteren völlig in den Hinsichten

Gegenseitiges Enthalten, Rel. diskr., Zerlegungsgesetze, Galoissche Gruppe

Dadurch, daß man die Strahlklassengruppen in k genau beherrscht.

II.) Das Ziel der komplexen Multiplikation ist, eine ebensolche Beherrschung für einen imaginär-quadratischen Grundkörper k, Diskriminante d, zu erzielen. Während für den rationalen Körper das durch die Werte der Funktion

e^{2πiu}

für rationale Werte u geschieht, indem so alle absolut-Abelschen Körper geliefert werden, hat man für ein solches k die beiden Funktionen

j(𝔴), τ(u, 𝔴)

zu nehmen, und darin 𝔴 alle Ideale aus k und u alle Zahlen aus k durchlaufen zu lassen. Jedes solche Paar definiert darin einen rel. Abelschen Körper

K = k(j(𝔴), τ(u, 𝔴))

über k und man erhält so alle zu k Abelschen Körper. (Verbesserter Kroneckerscher Jugendtraum!)

Erklärung der Funktionen j(𝔴), τ(u, 𝔴). a.) w_{1}, w_{2} komplexe Variable im Bereich: linear unabhängig in Bezug auf reelle Zahlen

ω = \frac{w_{1}}{w_{2}} also komplexe Variable im Bereich ℑ(ω) ≠ 0

w = n_{1}w_{1} + n_{2}w_{2} durchläuft den aus w_{1}, w_{2} erzeugten Modul 𝔴 mit ganzzahligen Koeffizienten.

g_{2}(𝔴) = 60 ∑_{\begin{matrix}w in 𝔴 \\ w≠0 \end{matrix}} \frac{1}{w^{4}}

g_{3}(𝔴) = 140 ∑_{\begin{matrix}w in 𝔴 \\ w≠0 \end{matrix}} \frac{1}{w^{6}}

Δ(𝔴) = g_{2}^{3}(𝔴) − 27g_{3}^{2}(𝔴)
j(𝔴) = 2^{6}3^{3} \frac{g_{2}^{3}(𝔴)}{Δ(𝔴)}.

Eigenschaften von j(𝔴):

1.) Homogen von der Dimension 0, d.h. nur von ω abhängig,

2.) Nur von 𝔴, nicht von w_{1}, w_{2} abhängig, d.h. invariant bei der weiteren homogenen Modulgruppe.

Die inhomogene weitere Modulgruppe besitzt im Bereich ℑ(ω) ≠ 0 einen Diskontinuitätsbereich D. Einfachster Repräsentant: Figur!

i∞ i  D ϱ ϱ^{2}

Uniformisierende Variable:

ω − ω_{0} für ω_{0} im Inneren von D und auf dem Rande außer

Eckpunkten

(ω − ω_{0})^{2} für ω_{0} = i
(ω − ω_{0})^{3} für ω_{0} = ϱ_{1}ϱ^{2}
q = e^{2πiω} für ω_{0} = i∞

3.) j(𝔴) ist analytische Funktion zu D, d.h. von rationalem Charakter in den zu D gehörigen uniformisierenden Variablen. Sie ist Funktion 1. Ordnung zu D, d.h. D gleichzeitig Fundamentalbereich für ihre Werte (gemessen^{3} in D-Uniformisierenden). Speziell einziger Pol 1. Ordnung in i∞.

Aus 3.) folgt nach funktionenth. Sätzen

3’.) Jede von der Dimension 0 homogene, bei weiterer Modulgruppe invariante Funktion, zu D analytische Funktion f(𝔴) (sog. Modulfunktion) ist rationale Funktion von j(𝔴), speziell jede Modulfunktion g(𝔴) mit einzigem Pol n-ter Ordnung in i∞ (ganze Modulfunktion) ganze rationale Funktion n-ten Grades von j(𝔴); und umgekehrt.

4.) j(𝔴) besitzt eine für |q| < 1 konvergente q-Entwicklung

j(𝔴) = q^{−1}(1 + a_{1}q + a_{2}q^{2} + ⋯)

mit ganzzahligen Koeffizienten a_{1}, a_{2}, . . ..

Aus 4.) und 3.) folgt

4’.) q-Entwicklungsprinzip. Gehören die Koeffizienten einer ganzen Modulfunktion einem Zahlring an, so gehören auch die Koeffizienten ihrer ganz-rationalen Darstellung durch j(𝔴) diesem Zahlring an.

b.) Außer den bisherigen Bezeichnungen: u unbeschränkte komplexe Variable

℘(u, 𝔴) = \frac{1}{u^{2}} + ∑_{\begin{matrix}w in 𝔴 \\ w≠0 \end{matrix}} (\frac{1}{(u − w)^{2}} − \frac{1}{w^{2}} )

Ω imaginär-quadratischer Körper d Diskriminante, e Anzahl der Einheiten (E.W.) also

e = 2 für d ≠ −3, −4
e = 4 für d = −4
e = 6 für d = −6.

3. undeutlich

τ_{Ω}(u, 𝔴) = g^{(e)}(𝔴)(−1)^{\frac{e}{2}} ℘^{\frac{e}{2}} (u, 𝔴)

wobei

g^{(2)}(𝔴) = 2^{7}3^{5} \frac{g_{2}(𝔴)g_{3}(𝔴)}{Δ(𝔴)}
g^{(4)}(𝔴) = 2^{8}3^{4} \frac{g_{2}^{2}(𝔴)}{Δ(𝔴)}
g^{(6)}(𝔴) = 2^{9}3^{6} \frac{g_{3}(𝔴)}{Δ(𝔴)}

Eigenschaften von τ_{Ω}(u, 𝔴):

1.) Homogen von der Dimension 0 in u, 𝔴, (d.h. nur von \frac{u}{w_{2}} , \frac{w_{1}}{w_{2}} abhängig)

2.) Nur von 𝔴, nicht von w_{1}, w_{2} abhängig, also invariant bei weiterer homogener Modulgruppe. Invariant bei der folgenden Gruppe in u, wenn speziell 𝔴 = 𝔞 ein Ideal aus Ω (singulärer Periodenmodul):

u′ = εu + α (ε Einheit aus Ω, α Zahl aus 𝔞)

Diese Gruppe besitzt in der u-Ebene Diskontinuitätsbereich D_{𝔞}. Einfachster Repräsentant:

e = 2

n = 4

[figure: 0; e = 2; α_{1}; α_{2}; α_{1} + α_{2}; 2; 2; 2; e; 2; 2]

[figure: 0; α_{1}; α_{2}; α_{1} + α_{2}; 4; 2; 4; 0]

[figure: 0; α_{1}; α_{2}; α_{1} + α_{2}; 3; 2; 6; 6]

Uniformisierende: (u − u_{0})^{n}, mod n = 1 i.a., sonst angegeben.

3.) τ_{Ω}(u, 𝔞) analytische Funktion zu D_{𝔞}, Funktion 1. Ordnung zu D_{𝔞}, Pol 1. Ordnung in u = 0.

3’.) Jede bei der genannten Gruppe invariante, zu D_{𝔞} analytische Funktion ist rationale Funktion von τ_{Ω}(u, 𝔞) und umgekehrt.

(es genügt: im Endlichen analytisch, daraus folgt: zu D_{𝔞} analytisch, wegen Invarianz)

4.) τ_{Ω}(u, 𝔴) besitzt eine Entwicklung nach

q = e^{2πiω} = e^{2πi \frac{w_{1}}{w_{2}}}
z = e^{2πi \frac{u}{w_{2}}}
τ_{Ω}(u, 𝔴) = q^{−1}(1 + [q])[1 + \frac{12}{(z^{\frac{1}{2}} − z^{− \frac{1}{2}} )^{2}} − 24 ∑_{n,n′=1}^{∞} nq^{nn′} +

+12 ∑_{n,n′=1}^{∞} nq^{nn′}(z^{n} + z^{−n})]^{\frac{e}{2}}

wobei [q] ganzzahlige bei q = 0 verschwindende Potenzreihe in q. □□□

Behauptungen.

1.) Ist 𝔞 irgendein Ideal aus Ω, so erzeugt j(𝔞) den absoluten Klassenkörper K (Strahl mod. 1) zu Ω.

2.) Ist 𝔪 ≠ 1 ein endlicher „Modul“ (Beschränkung auf endliche 𝔪 erlaubt, da mod 𝔭_{∞} nur eine Restklasse, also 𝔭_{∞} nie im Führer), 𝔞 irgendein Ideal aus Ω, 𝔯 ein zu 𝔪

primes Ideal, sodaß \frac{𝔯}{𝔪}𝔞 = ϱ Hauptideal, so erzeugten

j(𝔞), τ_{Ω}(ϱ, 𝔞) = τ_{Ω} (\frac{𝔯}{𝔪}𝔞, 𝔞)

den Strahlklassenkörper K_{𝔪} (Strahl mod 𝔪) zu Ω.

Bemerkungen.

1.) j(𝔞) hängt nur von der absoluten Idealklasse k von 𝔞 ab und heißt daher absolute Klasseninvariante. Die h_{1} abs. Klasseninvarianten sind verschieden.

2.) τ_{Ω} (\frac{𝔯}{𝔪}𝔞, 𝔞) hängt nur von der Strahlklasse mod 𝔪 von 𝔯 ab, soweit diese in der festen, zu \frac{𝔞}{𝔪} reziproken abs. Idealklasse bleibt, heißt daher Strahlklasseninvariante mod 𝔪.

Die h_{m} Systeme j(𝔞), τ_{Ω} (\frac{𝔯}{𝔪}𝔞, 𝔞), wo 𝔞 alle abs. Idealkl., 𝔯 alle Strahlkl. mod 𝔪 in den rez. abs. Id. Kl. zu \frac{𝔞}{𝔪} durchläuft, sind verschieden.

Beweis.

Es genügt zu zeigen,

a.) j(𝔞) und τ_{Ω} (\frac{𝔯}{𝔪}𝔞, 𝔞) sind algebraische Zahlen

b.) in Ω(j(𝔞)) bezw. Ω(j(𝔞), τ_{Ω} (\frac{𝔯}{𝔪}𝔞, 𝔞) ) gilt das Klassenkörperzerlegungsgesetz:

Ist 𝔭 ein (zu geeign. 𝔪_{0} primes – also endl. viele Ausnahmen gestattet) Primideal 1. Grades aus Ω, so zerfällt 𝔭 in versch. Primideale f. Grades, wenn zuerst

𝔭^{f} ∼ mod1 bzw. 𝔭^{f} ∼ 1 mod 𝔪

Beweis a.)

Transformationstheorie für j(𝔴)

Transformation 𝔪. Grades:^{4}

M = ( \begin{matrix}𝔪_{11} & 𝔪_{12} \\ 𝔪_{21} & 𝔪_{22} \end{matrix} ) , 𝔪_{ij} ganz, teilerfremd

|M| = m
M_{1} ∼ M_{2}, wenn M_{1} = SM_{2} (S aus der weiteren Modulgruppe)

Dazu ist Klassenzahl endlich. Repräsentanten seien

M_{1}, …, M_{ψ(m)}

ferner transformierte Funktionen

j(M_{ν}(w_{1}, w_{2})) unabh. von Repräsentanten.

4. unklar, ob m und 𝔪 hier und im Rest dieses Manuskripts verschiedene Zeichen sein sollen oder nicht.

Nach den Eigenschaften von j(𝔴) ist

I_{m}(t, j(𝔴)) = ∏_{ν=1}^{ψ(m)} {t − j(M_{ν}(w_{1}, w_{2}))}

Polynom in t, j(𝔴) mit ganzen rat. Koeffizienten.

Insbesondere

I_{m}(t, t) höchster Koeffiz ±1, wenn m kein Quadrat.

Ist nun

𝔞 = (α_{1}, α_{2})

und μ ganz in Ω, dann

μ𝔞 = μ(α_{1}, α_{2}) = M(α_{1}, α_{2})

mit |M| = m = N(μ) in derselben Klasse. Also

j(𝔞) = j(α_{1}, α_{2}) = j(μ(α_{1}, α_{2})) = j(M(α_{1}, α_{2}))

Wurzel von I_{m}(t, t), wenn m = N(μ) als nicht-quadratische Norm eines ganzen μ aus Ω gewählt wird. Also sind die abs. Klasseninv. j(𝔞) sogar ganze algebr. Zahlen.

Teilungstheorie von τ_{Ω}(u, 𝔴).

Wir bilden die Teilwerte m-ten Grades

τ_{Ω} (\frac{m_{1}w_{1} + m_{2}w_{2}}{m} , 𝔴) ,  m_{1}, m_{2} ganz,  (m_{1}, m_{2}, m) = 1

Dann ist

T_{m}(t, j(𝔴)) = ∏_{\begin{matrix}m_{1},m_{2} mod m \\ (m_{1},m_{2},m)=1 \end{matrix}} \{t − τ_{Ω} (\frac{m_{1}w_{1} + m_{2}w_{2}}{m} , 𝔴)\}

ein Polynom in t, j(𝔴) mit rationalen Koeffizienten, die höchstens Primteiler von m im Nenner haben.

Wird 𝔴 = 𝔞 und m als kl. g.v. Multipl. von m gewählt, so ist

\frac{𝔯}{𝔪}𝔞 = \frac{m_{1}w_{1} + m_{2}w_{2}}{m} mit m_{1}, m_{2} ganz, (m_{1}, m_{2}, m) = 1.

Somit sind die τ_{Ω} (\frac{𝔯}{𝔪}𝔞, 𝔞) algebraisch mit höchstens Primteilern von m im Nenner.

Zerlegungsgesetz.

Es genügt zu zeigen:

\begin{matrix}j(\frac{𝔞}{𝔭}) & ≡ & j(𝔞)^{p} mod 𝔭 \\ τ (𝔭\frac{𝔯}{𝔪} \frac{𝔞}{𝔭}, \frac{𝔞}{𝔭}) & ≡ & τ (\frac{𝔯}{𝔪}𝔞, 𝔞)^{p} mod 𝔭 \end{matrix} \} für 𝔭 vom 1. Grade, prim zu geeign. 𝔪_{0}

Denn daraus folgt wegen der Verschiedenheit der abs. Kl. Inv. und Strahlkl. Inv., daß man erst nach f-maliger Potenzierung mit p zum selben Kongruenzwert mod 𝔭 zurückkehrt, wenn f die Ordnung von 𝔭 mod 1 bezw. mod 𝔪 ist. Dabei ist nur 𝔭 prim zu den Differenzen der Invarianten zu nehmen.

Nach algebr. Zahlentheorie genügt das dann, wenn 𝔭 noch zur Diskr. der Invarianten prim, um auf das behauptete Zerlegungsgesetz zu schließen.

Der Beweis für jene Kongruenzen verläuft nun so:

Man konstruiert sich zunächst entsprechende Differenzen in Variablen:

δ_{P_{ν}}(w_{1}, w_{2}) = j^{p}(w_{1}, w_{2}) − j(P_{ν}(w_{1}, w_{2}))

δ_{P_{ν}}(m_{1}, m_{2}; w_{1}, w_{2}) = τ_{Ω}^{p} (\frac{m_{1}w_{1} + m_{2}w_{2}}{m}; w_{1}, w_{2}) −

−τ (\frac{m_{1}w_{1} + m_{2}w_{2}}{m} , \frac{P_{ν}(w_{1}, w_{2})}{p})

die für den singulären Fall

𝔴 = 𝔞,  \frac{m_{1}w_{1} + m_{2}w_{2}}{m} = \frac{𝔯𝔞}{𝔪},  \frac{P_{ν}(w_{1}, w_{2})}{p} = \frac{𝔞}{𝔭}

in die gesuchten Differenzen übergehen, und zeigt daß die q-Entwicklungen durch p teilbare Koeffizienten haben. So einfach geht das nicht, weil p = 𝔭𝔭′ und diese Tatsache gar nicht wahr ist. Man muß sich also geeignete Methodik entwickeln, die der Aufspaltung p = 𝔭𝔭′ gerecht wird. Dazu bildet man die Multiplikatorgleichung für

φ_{P_{ν}}(w_{1}, w_{2}) = p^{12} \frac{Δ(P_{ν}(w_{1}, w_{2}))}{Δ(w_{1}, w_{2})}

Φ_{p}(t, j(𝔴)) = ∏_{ν=1}^{ψ(p)} (t − φ(P_{ν}(w_{1}, w_{2}))) ≡ t^{p+1} + γt mod p

(durch q-Entwicklung dabei γ prim zu p)

Dann stellt man die δ_{P_{ν}}(w_{1}, w_{2}) bezw. die elementarsymm. Fkt. δ_{P_{ν}}^{(μ)}(w_{1}, w_{2}) der δ_{P_{ν}}(m_{1}, m_{2}; w_{1}, w_{2}) bzgl. der m_{1}, m_{2} in der Form dar:

δ_{P_{ν}}^{(μ)}(w_{1}, w_{2}) = \frac{G_{p}^{(μ)} (φ_{P_{ν}}(w_{1}, w_{2}), j(w_{1}, w_{2}))}{Φ′_{p}(t, j(w_{1}, w_{2}))}

wo

G_{p}^{(μ)}(t, j(w_{1}, w_{2})) = ∑_{ν=1}^{ψ(p)} \frac{Φ_{p}(t, j(w_{1}, w_{2}))}{t − φ_{P_{ν}}(w_{1}, w_{2})}δ_{P_{ν}}^{(μ)}(w_{1}, w_{2})

(Tschirnhausen Transformation).

Über die φ_{P_{ν}} muß man nun nach obigen

φ_{P} ∼ \overline{𝔭}^{12},  φ\overline{P} ∼ 𝔭^{12},  φ_{P_{ν}} ∼ 1 sonst (sing. Fall)

und die Kongruenz von Zähler und Nenner in der Darstellung der δ_{P_{ν}}^{(μ)} beherrscht man so durch Zuhilfenahme der q-Entwicklungen. Man zeigt: allgem. Zähler ≡ 0 mod p (wegen q-Entwicklung) singulär Nenner ≢ 0 mod p (mit ≡ φ_{P} + γ ∼ \overline{𝔭}^{12} + 𝔭) So kommt für den sing. Fall

δ_{P_{ν}}^{(μ)} ≡ 0 mod 𝔭

und daraus auch

δ_{P_{ν}} ≡ 0 mod 𝔭,

wenn 𝔭 nicht in Rel. Diskr. d. Körpers der δ_{P_{ν}} aufgeht.

Wenn man die Klassenkörpertheorie voraussetzt, ist damit die kompl. Multiplikation eingeordnet. Insbesondere ist der Kroneckersche Jugendtraum bewiesen.

Man kann aber nun weitergehend auch direkt die Klassenkörpertheorie für k = Ω herleiten. Nämlich so:

1.) \{ \begin{matrix}H(t) & = & ∏_{𝔨} (t − j(𝔨)) ist Polynom in Ω \\ S_{m,𝔨}(t) & = & ∏_{𝔨^{∗} zu 𝔨} (t − τ(𝔨^{∗})) ist Polynom in K \\ S_{m}(t) & = & ∏_{𝔨} S_{m,𝔨}(t) = ∏_{𝔨^{∗}} (t − τ(𝔨^{∗})) ist Polynom in Ω \end{matrix}

Prinzip der größten gem. Teilerbildung mit geeigneten Transformations bezw. Teilungsgleichungen. Ähnlich kommt man ja beim Kreiskörper von x^{m} − 1 zur irreduziblen Gleichung.

2.) \{ \begin{matrix}H(t) & ist & irreduzibel & in & Ω \\ S_{m,𝔨}(t) & ∥ & ∥ & ∥ & K \end{matrix}

Leider gelingt nicht: S_{m}(t) ist irreduzibel in Ω. (Das ginge, wenn man weiß, daß

alle Strahlkl. Inv. verschieden.)

3.) \{ \begin{matrix}H(t) & hat & Abelsche & Gruppe & isomorph & zu & abs. \\ & & & & & & Klassengr. \\ S_{m,𝔨}(t) & ∥ & ∥ & ∥ & ∥ & ∥ & Gruppe der \\ & & & & & & Strahlkl. \\ & & & & & & mod 𝔪 zu 𝔨. \end{matrix}

(Hierzu: Prinzip der kompl. Multiplikation besser allgem. […] Transforma[…] τ(u, […]) → τ (u, \frac{𝔞}{𝔪}) für Hauptideale m = μ also in τ(μu, 𝔞)).

4.) \{ \begin{matrix}Es gilt das richtige Zerl. Ges. für die Prim. 2. Grades p von Ω \\ im Körper K bis auf endl. viele Ausnahmen \end{matrix}

Leider gelingt nicht: Entspr. für K_{m}

5.) \{ \begin{matrix}Neuestens nach Fueter: Die Rel. Diskr. von K ist 1, \\ von K_{m} enth. sie nur Primteiler von m. \end{matrix}

Man kriegt also fast alle Sätze der Klassenkörpertheorie analytisch heraus.

\underline{Leipzig 1928} 25

1.3 Leipzig 1928

Zur Theorie der Ringklassenkörper der komplexen Multiplikation.

Vortrag i. math. Koll. Leipzig, 2. Juli 1928.

Gegeben sei ein imaginär-quadratischer Grundkörper Ω, mit der Diskriminante d, also der Basis

(1, ω) = (1, \frac{d + \sqrt{d}}{2}) .

Der Einfachheit halber seien d = −4, −3 ausgeschlossen, wo zu den Einheiten ±1 noch die Einheitswurzeln i, i^{−1} bezw. ϱ, ϱ^{−1} als Einheiten hinzukommen.

In Ω betrachten wir die Zahlringe R_{m}, d.h. die Gesamtheit aller ganzen α aus Ω mit

α ≡ g. rat. Zahl mod m, alias α = x + y · mω, wo x, y ganz.

m natürliche Zahl. Jeder solche Ring R_{m} bestimmt eine multiplikative Zahlgruppe Z_{m} im Bereich der sämtlichen zu m primen Zahlen aus Ω, nämlich die Gesamtheit aller zu m primen α aus Ω mit

α ≡ zu m primer rat. Zahl mod m, alias α = \frac{x + ymω}{z} ,

wo x, y, z ganz, x, […] prim zu m.

Die Zahlgruppe Z_{m} enthält mit α immer auch −α. Werden diese nicht unterschieden, also nur die Hauptideale (α) betrachtet, so liefert die Zahlgruppe Z_{m} eine Hauptidealgruppe H_{m}.

Wird H_{m} als Hauptklasse und seine Nebengruppen in der Gruppe aller zu m primen Ideale von Ω als Nebenklassen betrachtet, so entsteht die Einteilung der zu m primen Ideale von Ω in die Ringklassen mod m. Für m = 1 sind das die gewöhnlichen, „abelschen“ Idealklassen. Für m > 1 entstehen sie aus diesen durch Aufspaltung (Einengung des Äquivalenzbegriffs). Die Anzahl h_{m} der Ringklassen mod m ergibt sich leicht als

h_{m} = \frac{Φ(m)}{φ(m)} · h = h_{m}^{(0)} · h,

wo h = h_{1} die „absolute“ Klassenzahl ist, und Φ(m), φ(m) die Eulerschen Funktionen in Ω und im rat. Zahlkörper P sind. Jede abs. Idealklasse zerfällt also in \frac{Φ(m)}{φ(m)} Ringklassen mod m.□□□

Die Ringklassen mod m bilden eine Abelsche Gruppe der Ordnung h_{m}, die Ringklassengruppe mod m.

Wir skizzieren nun zuerst die Verhältnisse, wie sie in der Tat nach der allgemeinen Klassenkörpertheorie liegen, um dann nachher möglichst viel mit den Methoden der komplexen Multiplikation zu beweisen.

(1.) Zu jeder Gruppe H_{m} gibt es einen Klassenkörper K_{m} über Ω, den sog. Ringklassenkörper mod m. Dieser ist eindeutig bestimmt durch die Definitionseigenschaften:

a.) Die zu m primen Primideale 1. Grades 𝔭 aus Ω, welche in H_{m} liegen, zerfallen in K_{m} in verschiedene Primideale 1. Grades.

b.) Die zu m primen Primideale 1. Grades 𝔭 aus Ω, welche in K_{m} mindestens einen Primidealfaktor 1. Grades bekommen, liegen in H_{m}.

In a.) und b.) sind endlich viele Ausnahmeprimideale 𝔭 zugelassen.

(2.) Wenn H_{m} ≺ H_{m′}, so K_{m} ≻ K_{m′} und umgekehrt.

(3.) K_{m}/Ω ist Abelsch, vom Relativgrad h_{m}, und die Galoissche Relativgruppe ist einstufig isomorph zur Ringklassengruppe mod m in Ω.

(4.) Ist 𝔭 ein nicht in m aufgehendes Primideal aus Ω, für das 𝔭^{f_{m}} als

früheste Potenz in H_{m} liegt, so zerfällt 𝔭 in K_{m} in \frac{h_{m}}{f_{m}} verschiedene

Primideale vom Relativgrade f_{m}.

\begin{matrix}e & f & g \\ 1 & f_{m} & h_{m} : f \\ h_{p^{n}}^{(0)} & f_{m_{0}} & h_{m_{0}} : f \end{matrix}

(5.) Ist 𝔭 ein in m = p^{n} · m_{0} aufgehendes Primideal aus Ω, für das 𝔭^{f_{m_{0}}} als früheste Potenz in H_{m_{0}} liegt, so zerfällt 𝔭 in K_{m} in h_{p^{n}}^{(0)}-te Potenzen

von \frac{h_{m_{0}}}{f_{m_{0}}} verschiedene Primideale vom Relativgrade f_{m_{0}}.

([…] Relativdiskriminante von K/Ω gehen also höchstens Primteiler 𝔭 von m auf)

Nach (2.) ist der absolute Klassenkörper K_{1} = K zur absoluten Hauptklasse H in allen Ringklassenkörpern K_{m} enthalten. K selbst hat die Eigenschaften:

(3^{1}.) K/Ω ist Abelsch, vom Relativgrad h, und die Galoissche Relativgruppe ist einstufig isomorph zur absoluten Idealklassengruppe in Ω.

(4^{1}.) Ist 𝔭 ein Primideal aus Ω, für das 𝔭^{f} als früheste Potenz in H liegt, so zerfällt 𝔭 in K in \frac{h}{f} verschiedene Primideale vom Relativgrade f.

\begin{matrix}e & f & g \\ 1 & f & h : f \end{matrix}

Die Relativdiskriminante von K/Ω ist also 1.

Und K_{m}/K hat die Eigenschaften:

(3’.) K_{m}/K ist Abelsch, vom Relativgrade h_{m}^{(0)}, und die Galoissche Relativgruppe ist einstufig isomorph zur Gruppe der Ringklassen, die die absolute Hauptklasse zusammensetzen.

(4’.) Die nicht in m aufgehenden Primideale von K zerfallen in K_{m} in verschiedene Primideale vom Relativgrade \frac{f_{m}}{f}.

(5’.) Die in m = p^{n} · m_{0} aufgehenden Primideale von K zerfallen in K_{m} in h_{p^{n}}^{(0)}-te Potenzen verschiedener Primideale vom Relativgrade \frac{f_{m_{0}}}{f}.

In der Relativdiskriminante von K_{m}/K gehen also höchstens Primteiler von m auf.

Diese Sätze folgen sämtlich aus der allgemeinen Klassenkörpertheorie. Und zwar ist das schwierigste für den Beweis die Existenz der K_{m}. Ihre Eindeutigkeit und die weiteren Sätze über Grad, Gruppe, Zerlegung ergeben sich dann erheblich leichter.

Die Hauptaufgabe, die durch die komplexe Multiplikation geleistet wird, ist der Existenznachweis der K_{m} mit Methoden der automorphen Funktionentheorie. Wenn man dann zwar auch alle die weiteren Sätze über Eindeutigkeit, Grad, Gruppe, Zerlegung verhältnismäßig leicht nach den Methoden der allgemeinen Klassenkörpertheorie (unter anderm auch mittels „s → 1“) gewinnen kann, so ist es doch ein berechtigter Versuch, nun auch jene weiteren Sätze mit denselben Mitteln, der automorphen Funktionentheorie zu beweisen.

Ich skizziere zunächst, was man in dieser Hinsicht bereits durch die klassische komplexe Multiplikation (bis Weber inkl.) hat.

ad (1.), Existenz. Die Grundtatsache der komplexen Multiplikation ist, daß Körper K_{m}, im Sinne der obigen Definition (1.), durch gewisse „singuläre“

Werte der Modulfunktion j(ω_{1}, ω_{2}) = 2^{6} · 3^{3} · \frac{g_{2}^{3}(ω_{1}, ω_{2})}{Δ(ω_{1}, ω_{2})} geliefert werden,

indem man sie zu Ω adjungiert. Genauer so:

Ist α_{1}, α_{2} ein linear-unabhängiges Zahlenpaar aus Ω, so bestimmt es eindeutig einen Idealteiler 𝔞 und einen Führer m, letzteren vermöge

|\begin{matrix}α_{1} & α_{2} \\ \overline{α}_{1} & \overline{α}_{2} \end{matrix}| = mN(𝔞)\sqrt{d}.

Es stellt sich dann heraus, daß

Ω(j(α_{1}, α_{2}))

ein Körper K_{m} in obigem Sinne (1.) ist.

ad (1.), Eindeutigkeit. ([…] der allgemeinen Klassenkörpertheorie leicht […] mittels „s → 1“ zu beweisen. Diese Tatsache fällt aber ihrer Natur nach nicht in den Kompetenzbereich der komplexen Multiplikation, weil zur […] beliebige algebraische Körper über Ω zugelassen sind. […] )

ad (3.), Grad und Gruppe. j(α_{1}, α_{2}) bleibt ungeändert, wenn (α_{1}, α_{2}) durch irgendein λS(α_{1}, α_{2}) ersetzt wird, wo S eine Modulsubstitution und λ ≠ 0 ein komplexer Parameter ist. Beschränkt man λ auf Ω, so transformiert sich dabei der Idealteiler 𝔞 in λ𝔞, und der Führer m bleibt invariant. Man kann nun stets λ so wählen, daß λ(α_{1}, α_{2}) (und somit alle λS(α_{1}, α_{2})) Basis eines zu m primen Ideals λ𝔞 im Ring R_{m} wird. Sei schon α_{1}, α_{2} so beschaffen, also Basis in R_{m} eines zu m primen Ideals 𝔞. Dann zeigt sich, daß λS(α_{1}, α_{2}) D.u.n.D. die gleiche Eigenschaft hat, wenn λ eine zu m prime Zahl aus dem Quotientenring zu R_{m}, also eine Zahl der Zahlgruppe Z_{m} ist.

Somit ist die Gesamtheit λS(α_{1}, α_{2}) mit dieser Einschränkung zugeordnet der Ringklasse λ𝔞 mod m. Diese Zuordnung ist umkehrbar eindeutig. Man kann daher j(α_{1}, α_{2}) als Invariante der Ringklasse 𝔨^{(m)} von 𝔞 mod m bezeichnen:

j(α_{1}, α_{2}) = j(𝔨^{(m)})

Es zeigt sich, daß auf Grund dieser Zuordnung der Ringklassen mod m zu den singulären Werten j(𝔨^{(m)}) die Tatsache (3.) gilt; daß also

H_{m}(t) = ∏_{𝔨^{(m)}}(t − j(𝔨^{(m)}))  \{ \begin{matrix}Polynom in Ω \\ irreduzibel \\ Abelsch \\ Gruppe isomorph zur Ringklassengruppe \end{matrix}

ist, letzteres so, daß jede Substitution der Galoisschen Gruppe durch Multiplikation aller^{1} Argumente 𝔨^{(m)} mit einer u. derselben Klasse entsteht.

ad (4.), Zerlegung der 𝔭 ∤ m. Das obige Gesetz ergibt sich bei dem Existenzbeweis, der ja einen Spezialfall dieses Gesetzes zu bestätigen hat, gleich vollständig mit, allerdings mit einer endlichen Anzahl von Ausnahmeprimidealen (Teilern gewisser Gleichungsdiskriminanten), insbesondere also noch nicht die Tatsache über die Relativdiskriminante von K_{m}/Ω.

ad (3^{1}.), (4^{1}.), absoluter Klassenkörper K. Diese Tatsachen sind damit auch festgestellt, wieder allerdings mit endlich vielen Ausnahmeprimidealen in (4^{1}.). Insbesondere also noch nicht die Tatsache über die Relativdiskr. in K/Ω.

ad (2.), Unterkörper-Untergruppe. Hier hat Weber die eine Seite:

Wenn H_{m} ≺ H_{m′}, so K_{m} ≻ K_{m′}.

Wie es mit der Umkehrung steht, erläutere ich nachher.

Damit ist insbesondere K ≺ K_{m} festgestellt.

ad (3’.), (4’.), Beziehung von K_{m}/K.

Diese Tatsachen ergeben sich leicht aus der genaueren Formulierung der Weberschen Tatsache:

j (𝔨^{(m′)}) = R (j(𝔨^{(m)})) , wenn 𝔨^{(m)} ≺ 𝔨^{(m′)},

wo R eine rationalzahlige rationale Funktion ist. Wieder sind in (4’.) endlich viele Ausnahmeprimideale möglich, sodaß insbesondere die Tatsache über die Relativdiskriminante von K_{m}/K noch nicht feststeht.

Soweit die klassische Theorie. Der Überblick zeigt folgende noch auszufüllende Lücken:

1. undeutlich

(a.) Beseitigung der Ausnahmen im Zerlegungsgesetz (4.), (4^{1}.), (4’.) für die 𝔭 ∤ m, insbesondere also Nachweis der Tatsachen über die Relativdiskriminante

(b.) Herleitung des Zerlegungsgesetzes (5.), (5’.) für die 𝔭/m

(c.) Nachweis der Umkehrung zu (2.): Wenn K_{m} ≻ K_{m′}, so H_{m} ≺ H_{m′}.

(c.) folgt leicht aus (b.), da man aus dem Verzweigungsverhalten der 𝔭 | m Aussagen von der Form gewinnen kann: Wenn m′ ∤ m, so K_{m} ⊁ K_{m′}. Und H_{m} ≺ H_{m′} kommt ja auf m′|m (oder wegen einer Ausnahme für die 2^{2} jedenfalls m′ | 2m) hinaus.

Nun hat Hecke (a.) und (b.) gleichzeitig vollständig mittels seiner Funktionalgleichung der ζ-Funktionen mit Größencharakteren erledigt. Aber das ist eine Methode, die eben Hilfsmittel aus der allgemeinen Klassenkörpertheorie (die Variable s in Dirichletschen Reihen) heranzieht.

Fueter kann mit analogen, weniger tiefen Hilfsmitteln (Existenz unendlich vieler Primideale in Ω mit vorgeschr. Potenzrestcharakteren) wenigstens (a.) erledigen.

Es scheint aber wenig Aussicht zu bestehen (a.) mit alleiniger Benutzung der Hilfsmittel der komplexen Multiplikation zu erledigen.

Ganz anders dagegen (b.) und damit dann auch (c.). Da ist es mir gelungen, in einer gewissen Klasse von Fällen heranzukommen. Es genügt ersichtlich, den Tatbestand (5’.) für K_{m}/K zu beweisen. Denn damit ist (5.) auch bewiesen, mit der naturgemäßen Einschränkung, daß die Ausnahmeprimideale in (4^{1}.) von K/Ω auszunehmen sind, und die in (4.) für K_{m_{0}}/K.

Ich studiere also die Zerlegung in K_{m}/K für die 𝔭 | m, welche in K/Ω dem Gesetz (4^{1}.) folgen. Und zwar gelingt es mir durchzukommen, mit weiteren endlich vielen Ausnahmen, für diejenigen 𝔭 | m, welche den beiden letzten der Zerlegungstypen

p = 𝔭\overline{𝔭},  p = 𝔭,  p = 𝔭^{2}

in Ω angehören. Wegen der Ausnahmen, und vor allem wegen des Versagens meiner Methode für den ersten Zerlegungstypus, reicht das allerdings dann noch nicht hin, um die Umkehrung (c.) allgemein zu beweisen. Doch liegt ja an dieser Umkehrung (c.) an sich weniger. Soweit ich sie als Hilfsmittel bei meinem Beweise gebrauche, kommt sie eben durch den Beweis mit heraus.

2. undeutlich

Ich möchte meine Methode an dem einfachsten Falle erläutern:

p = 𝔭 in Ω (Primideal 2. Grades),
m = p,
zu studieren  also K_{p}/K.

In K/Ω ist

𝔭 = 𝔭_{1} ⋯ 𝔭_{h}, (Rel. Gr. 1)

weil schon 𝔭^{1} = p in H liegt; von den endlich vielen Ausnahmen für p wird abgesehen. Behauptung: In K_{p}/K ist jedes

𝔭_{i} = 𝔓_{i}^{p+1}, (Rel. Gr. 1).

Es ist nämlich

h_{p} = \frac{Φ(p)}{φ(p)}h = \frac{p^{2} − 1}{p − 1}h = (p + 1) · h

also

h_{p}^{(0)} = p + 1,

ferner

m_{0} = 1, H_{m_{0}} = H, h_{m_{0}} = h, f_{m_{0}} = f = 1.

Es wird also „reelle Verzweigung“ der 𝔭_{i} in K_{p}/K behauptet.

Denn es ist ja

K_{p}/K zyklisch vom Rel. Grade h_{p}^{(0)} = p + 1,

zyklisch, weil die Restklassen mod 𝔭 in Ω zyklisch sind, also auch jede Restklassengruppe zyklische Faktorgruppe hat. Die Aufgabe ist ganz analog zu der entsprechenden für den Kreiskörper:

ζ primitive p-te Einheitswurzel, K_{p} = P(ζ), zykl. vom Grade p − 1, (Klassenkörper zur Gruppe a ≡ 1 mod p). Behauptung p = 𝔓^{p−1} in K_{p} ist „vollverzweigt“.

Nachweis dort aus den Kenntnissen:

a.) 1 − ζ, 1 − ζ^{2}, …, 1 − ζ^{p−1} sind assoziiert

b.) (1 − ζ)(1 − ζ^{2}) ⋯ (1 − ζ^{p−1}) = p.

Wir haben zunächst analog zu den ξ^{ν} die konjugierten Wurzeln einer erzeugenden Gleichung für K_{p}/K zu bestimmen. Das tun hier die Wurzeln der Invariantengleichung

I_{p}(t) = (t − j(P_{1})) ⋯ (t − j(P_{p+1}))

wo als Argument eine Idealbasis α_{1}, α_{2} im Ring R aller ganzen Zahlen zu setzen ist. Die P_{1}, …, P_{p+1} durchlaufen die ψ(p) = p + 1 Klassen von ganzzahligen Matrizen (Transformationen) p-ten Grades:

P = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) mit |P| = ad − bc = p.

Zwei solche P′, P′′ heißen äquivalent, wenn

P′′ = SP′ mit Modulsubst. S,

was ja zum selben j-Wert führt.

Es zeigt sich, daß dazu j(P_{ν}) als Ringklasseninvarianten mod p den die Klasse von (α_{1}, α_{2}) = 𝔞 zusammensetzenden Ringklassen mod p entsprechen. In der Tat ist der Führer von P_{ν}(α_{1}, α_{2}) sofort als p zu bestimmen. I_{p}(t) hat ganz-rationale Zahlkoeffizienten, sodaß eine erzeugende Gleichung für K_{p}/K (Grad ist ja p + 1) vorliegt, und die j(P_{ν}) rel.konjugiert sind.

Jetzt haben wir das Analogon zu den 1 − ζ^{ν} zu suchen. Das leisten hier die „Multiplikatoren“

φ_{ν} = p^{12} \frac{Δ(P_{ν})}{Δ}.

Man zeigt, daß φ_{ν} rational durch j und j(P_{ν}) darstellbar ist, daß also im singulären Falle α_{1}, α_{2}

φ_{ν} in K_{p} = K(j(P_{ν})) = Ω(j, j(P_{ν}))

enthalten ist, und die φ_{ν} sind hiernach wieder relativ-konjugiert. Die direkte Bildung der „Multiplikatorgleichung“

M_{p}(t) = (t − φ_{1}) ⋯ (t − φ_{p+1})

zeigt ferner, daß die φ_{ν} ganze algebraische Zahlen sind. M_{p}(t) hat nämlich ganz-rationale Zahlkoeffizienten.

Insbesondere ergibt sich für das absolute Glied

φ_{1} … φ_{p+1} = p^{12},

als nirgends unendliche Modulfunktion.

Dagegen gelingt es hier nicht ohne weiteres zu zeigen, daß die φ_{ν} assoziiert sind. Im Kreiskörper kann man nun auch so schließen:

(1 − ζ) ⋯ (1 − ζ^{p−1}) = p

1 − ζ Wurzel von t^{p−1} − \binom{p}{1}t^{p−2} + ⋯ ± p = 0 also

1 − ζ ≡ 0 mod 𝔓 für jedes 𝔓|p in K_{p}.

Ist also

p = (𝔓_{1} · . . . · 𝔓_{g})^{e} (Grad f) in K, efg = p − 1
1 − ζ = 𝔓_{1}^{a_{1}} ⋯ 𝔓_{g}^{a_{g}}, so alle a_{κ} ≧ 1.

N(1 − ζ) = p^{a_{1}f_{1}+···+a_{g}f_{g}} = p^{1}, also g = 1, f = 1, a = 1 somit e = p − 1. 1 − ζ = 𝔓 und p = 𝔓^{p−1}.

Das läßt sich nachmachen. Man weiß nämlich, daß

I_{p}(t) ≡ (t^{p} − j)(t − j^{p}) mod p
j ≡ j^{N(𝔭)} = j^{p^{2}} mod p weil 𝔭 in Pr.Id. 1. Rel.Gr. zerfällt.

also

t^{p} − j ≡ t^{p} − j^{p^{2}} ≡ (t − j^{p})^{p} mod p
I_{p}(t) ≡ (t − j^{p})^{p+1} mod p
J(P_{ν}) − j^{p} ≡ 0 mod 𝔓_{κ} für jedes 𝔓_{κ}|p in K_{p}.

Und wenn man jetzt die Differenzen

φ_{ν} − (j(P_{ν}) − j(p))

betrachtet und ihre Relativgleichung bildet, so stellt aus den q-Entwicklungen heraus, daß deren Koeffizienten alle ≡ 0 mod p sind, also

φ_{ν} − (j(P_{ν}) − j^{p}) ≡ 0 mod 𝔓_{κ}
φ_{ν} ≡ 0 mod 𝔓_{κ} für jedes 𝔓_{κ}|p in K_{p}.
also insbesondere für jedes 𝔓_{iκ}|𝔭_{i} in K_{p}.

Jetzt könnte genau so geschlossen werden, wie beim Kreiskörper, wenn nicht

φ_{1} ⋯ φ_{p+1} = p^{12}

eine 12-te Potenz wäre.

Daher ist zu den Funktionen

ψ_{ν} = \sqrt[12]{φ_{ν}}

überzugehen, für die man wieder beweist:

ψ_{1} ⋯ ψ_{p+1} = p
ψ_{ν} ≡ 0 mod \overline{𝔓}_{ik} für jedes \overline{𝔓}_{ik}|𝔭_{i} in \overline{K}_{p},

wo \overline{K}_{p} der Körper ist, den die ψ_{ν} über K_{p} erzeugen.

Es stellt sich nun heraus, daß \overline{K}_{p} aus K_{p} durch Adjunktion der 12ten oder niedrigerer Einheitswurzeln und der Ringklasseninvarianten mod 12 oder nach einem Teiler von 12 entsteht. Die obige Schlußweise klappt nun trotzdem noch, wenn man nur weiß, daß in \overline{K}/K die Primteiler von p unverzweigt sind:

[figure: \overline{K}_{p}; K_{p}; \overline{K}; K]

Dabei entsteht \overline{K} aus K in gleicher Weise, wie \overline{K}_{p} aus K_{p}. Bis auf endlich viele Ausnahmen ist das nun der Fall nach (4’.). Insbesondere ist p ≠ 2, 3 zu nehmen.

Man bekommt dann die Verzweigung der 𝔭_{i} in K_{p}/K genau als die Verzweigung der \overline{𝔭}_{i} in \overline{K}_{p}/\overline{K}, und die letzere eben nach der zitierten Kreiskörper-Schlußweise.

Meine Methode klappt ähnlich für p = 𝔭^{2} in Ω, doch versagt sie für p = 𝔭\overline{𝔭} in Ω. In diesem Falle wird in

φ_{1} ⋯ φ_{p+1} = p^{12}
ψ_{1} ⋯ ψ_{p+1} = p

schon das Produkt von zwei Faktoren, die zum absoluten Klassenkörper K, bzw. zu \overline{K} gehören, gleich der rechten Seite. Die übrigen, die hier die p − 1 konjugierten zu K_{p} bezw. \overline{K}_{p} gehörender^{3} Größen sind, sind Einheiten. Über K_{p} lehrt dann die Methode nichts. Wohl aber über K etwas ganz anderes.

Denn die beiden zu K gehörigen Faktoren

φ = ψ^{12}, \overline{φ} = \overline{ψ}^{12}

erweisen sich als Darstellungen der Ideale

𝔭^{12}, \overline{𝔭}^{12}

als Hauptideale in K.

Es ist meinem Schüler W. Schäfer gelungen, zu zeigen, daß für Fall

d prim zu 2 und 3

die Hauptidealdarstellungen

ψ und \overline{ψ} von 𝔭 und \overline{𝔭} selbst

bei geeigneter Normierung der ^{12} √ nicht nur zu \overline{K} sondern sogar zu K gehören. Bis auf endlich viele Ausnahmen werden also in diesen Fällen alle Primideale 1. Grades von Ω zu Hauptidealen in K, und somit ausnahmslos alle Ideale zu Hauptidealen in K.

Das ist der Hilbertsche Hauptidealsatz, der allgemein noch unbewiesen ist. Für d nicht prim zu 6 ist er im Falle der komplexen Multiplikation auch

richtig, wie ich allerdings bisher nur mittels transzendenter Schlüsse („s → 1“) zeigen kann.

Einem rein-arithmetisch „automorphen“ Beweis bin ich aber schon auf der Spur.

3. undeutlich

\underline{Jena 1928} 36

1.4 Jena 1928

Das Reziprozitätsgesetz.

Vortrag i.d. Math. Gesellschaft Jena, 22.XI.1928.

Seit Hilbert’s grundlegenden Arbeiten (1897/98) über das quadratische Reziprozitätsgesetz in beliebigen algebraischen Zahlkörpern ist durch die anschließenden Arbeiten von Furtwängler und Takagi immer deutlicher hervorgetreten, daß das allgemeine Reziprozitätsgesetz der m-ten Potenzreste in der sog. Klassenkörpertheorie wurzelt. Neuestens hat Artin eine ganz allgemeine Formulierung des Gesetzes gegeben, die diese Verankerung in besonders durchsichtiger Form hervortreten läßt, und die zudem zu einem ganz einfachen Beweis des Gesetzes auf Grund der Klassenkörpertheorie führt. Über diese Formulierung Artin’s, sowie über die anschließend gemachten Untersuchungen von Artin, Furtwängler und mir will ich nachstehend berichten.

Zunächst sei der Begriff Klassenkörper kurz erläutert. Als Beispiel wähle ich den Körper K_{m} der m-ten Einheitswurzeln: K_{m} = k_{0}(ζ_{m}) über dem rationalen Körper k_{0}. Für diesen gilt bekanntlich das Zerlegungsgesetz:

Eine zu m prime Primzahl p zerfällt in K_{m} in verschiedene Primideale f-ten Grades:

p = 𝔓_{1} ⋯ 𝔓_{g},  N(𝔓_{i}) = p^{f},  fg = φ(m),

wenn f der kleinste positive Exponent mit

p^{f} ≡ 1 mod m

ist.

Die Zerlegungsform der Primzahlen p hängt also nur von der Klasse ab, der p bei der Einteilung in die primen Restklassen mod m angehört. Man nennt daher K_{m} Klassenkörper für die Klasseneinteilung in die primen Restklassen mod m im rationalen Körper k_{0}.

Man betrachtet ferner folgende Gesetzmäßigkeiten:

Die Galoissche Gruppe 𝔊 von K_{m} ist einstufig-isomorph zur Gruppe der „Klassen“ in k_{0}. (Insbesondere der Grad von K_{m} gleich der Anzahl der „Klassen“).

In der Tat werden die Substitutionen von 𝔊 durch ζ_{m} → ζ_{m}^{r} gegeben, und setzen sich so zusammen:

(ζ_{m} → ζ_{m}^{r})(ζ_{m} → ζ_{m}^{s}) = (ζ_{m} → ζ_{m}^{rs}).

Die Diskriminante 𝔡 von K_{m} enthält nur Primteiler des Moduls m der Klassenteilung.

Es ist nämlich 𝔡 Teiler der Diskriminante m^{m} von x^{m} − 1.

Man kann nun in k_{0} auch andere, allgemeinere Klassenteilungen zugrundelegen, nämlich solche, die durch Vergröberung der Teilung in die primen Restklassen mod m entstehen. Das geschieht so, daß man anstelle der Gruppe H_{0} {≡ 1 mod m} eine beliebige (umfassendere) Gruppe H von Restklassen mod m als Hauptklasse nimmt, und deren Nebengruppen (in der Gruppe aller zu m primen Zahlen) als Klassen. Beispiel: Die quadratischen Reste mod m, die k-ten Potenzreste mod m. Die neuen Klassen setzen sich dann aus einer bestimmten (festen) Anzahl der Restklassen mod m zusammen.

Zu jeder solchen gröberen Klasseneinteilung mod m erhält man nun, erzeugt durch die zugehörigen Gaussschen Kreisteilungsperioden ∑_{\begin{matrix}a in H \\ a mod m \end{matrix}} ζ_{m}^{a},

einen zugehörigen Klassenkörper K. Darunter ist ein Körper zu verstehen, in dem das zu obigem analoge Zerlegungsgesetz gilt: ⋯ □□□

Es gilt also der Existenzsatz:

Zu jeder Klassenteilung nach einer Kongruenzgruppe H mod m existiert ein Klassenkörper K.

Ferner zeigt sich, daß dabei analoge Gesetze zu den obigen Gesetzen über Galoissche Gruppe und Diskriminante gelten: ⋯

Schließlich stellt sich heraus, daß die Zuordnung „H → K als Klassenkörper“ eine eindeutige, umkehrbar eindeutige, anordnungsreziproke ist. Es gilt nämlich der Anordnungssatz, speziell Eindeutigkeitssatz:

Ist H → K und H′ → K′ als Klassenkörper, so folgt aus H ≦ H′, daß K ≧ K′ ist, und umgekehrt.

Der Vergröberung der Einteilung entspricht also eine Verkleinerung des Körpers.

Abgerundet wird diese ganze Satzgruppe durch den fundamentalen Satz von Kronecker. Alle Klassengruppen sind ja Abelsch, also alle Körper, die wir betrachteten, Abelsche Körper, was ja auch schon durch ihre Einbettung in die Kreiskörper klar ist. Es gilt nun der Umkehrsatz:

Jeder Abelsche Körper K ist Klassenkörper zu der Klassenteilung nach einer geeigneten Kongruenzgruppe H nach geeignetem mod m.

Damit wird die Theorie der Klassenkörper über dem rationalen Körper k_{0} zu einer Theorie der Abelschen Körper über k_{0}. Man beherrscht diese vollständig von k_{0} aus, indem man jede Aussage über sie als eine Aussage über die zugehörige Klassenteilung aussprechen kann. Das ist der tiefere Sinn der Klassenkörpertheorie.

Diese ganze Theorie über k_{0} gilt nun, wie Furtwängler und Takagi zeigten, mutatis mutandis auch über einen beliebigen algebraischen Zahlkörper k als Grundkörper. Definition und Sätze lauten dann eben so: ⋯

Unter „Kongruenzgruppe H mod m ist jetzt Folgendes zu verstehen: Man überlagert die Einteilung in die gewöhnlichen Idealklassen (Gruppe der Hauptideale) mit einer Restklassenteilung mod m (Gruppe der Hauptideale ≡ 1 mod m) und bildet dann irgendwelche Vergröberungen.

Nun zum Artin’schen Gesetz. Die Klassenkörpertheorie behauptet die abstrakte Isomorphie zwischen der Galoisschen Gruppe 𝔊 von K/k und der Klassengruppe nach H in k. Artin gibt nun eine konkrete Darstellung dieses Isomorphismus. Er gibt also eine Regel an, wie man einer Klasse ℭ nach H in k eine Substitution σ aus 𝔊 so zuordnen kann, daß der fragliche Isomorphismus herauskommt.

Die Artinsche Regel knüpft an Frobenius an. Es wird zunächst ein Primideal 𝔭 aus ℭ betrachtet. Ihm läßt sich eine Substitution σ aus 𝔊 eindeutig so zuordnen:

(F)  A^{N(𝔭)} = σA mod 𝔭  für jedes zu 𝔭 prime A aus K.

(σ ist eine bestimmte Erzeugende der sog. Zerlegungsgruppe für 𝔭 in K/k). Das Artinsche Gesetz lautet nun: Die gemäß der Frobeniusschen Regel (F) einem Primideal 𝔭 aus k zuge-

ordnete Substitution σ aus 𝔊 hängt nur von der Klasse ℭ nach H ab, der 𝔭 angehört. Und die Frobeniussche Zuordnung ist überdies isomorph, d.h. ist

σ den Primidealen aus ℭ,
σ′ ∥  ∥  ∥ ℭ′

zugeordnet, so ist

σσ′ ∥  ∥  ∥ ℭℭ′

zugeordnet.

Für den Kreiskörper ist das auf der Hand liegend. Denn (F) auf A = ζ_{m} angewandt gibt:

ζ_{m}^{p} ≡ σζ_{m} mod p, d.h. ζ_{m}^{p} = σζ_{m}.

σζ_{m} hängt hiernach in der Tat nur von p mod m ab, und zwar isomorph. Was hat das nun mit dem Reziprozitätsgesetz zu tun? Das erkennt man sofort, wenn man es anwendet auf folgenden Fall:

k enthält die m-ten Einheitswurzeln ζ_{m} K = k ( \sqrt[m]{α}), wo α in k.

Es ist dann K/k Abelsch, also Klassenkörper zu einer ganz bestimmten Teilung in k. Die Zuordnung (F) auf A = \sqrt[m]{α} angewandt gibt:

\sqrt[m]{α}^{N(𝔭)} ≡ σ \sqrt[m]{α} = ζ_{m} \sqrt[m]{α} mod 𝔭
ζ_{m} ≡ \sqrt[m]{α}^{N(𝔭)−1} = α^{\frac{N(𝔭)−1}{m}} mod 𝔭
ζ_{m} = (\frac{α}{𝔭})_{m} = Legendresches Symbol der m-ten […]

Also die 𝔭 zugeordnete Substitution ist:

σ = ( \sqrt[m]{α} → (\frac{α}{𝔭})_{m} \sqrt[m]{α})

Das Artinsche Gesetz liefert also:

(\frac{α}{𝔭})_{m} hängt nur von der Klasse ab, der 𝔭 bei der zu k( \sqrt[m]{α}) gehörigen Klassenteilung in k angehört, und multipliziert sich isomorph, also auch (\frac{α}{𝔟})_{m} hängt nur von der Klasse ab, der das beliebige Ideal^{1} 𝔟 angehört.

(\frac{α}{𝔟})_{m} = χ_{m}(𝔟) = erz. Char. d. Klassengr. H

(\frac{α}{𝔟})_{m} = 1 bedeutet 𝔟 in H.

Das ist die wesentliche Aussage des Reziprozitätsgesetzes. Nehmen wir

etwa m = 2 und α = q = Primzahl ≡ 1 mod 4, so findet man: (\frac{q}{p}) hängt

nur von der Klasse ab, der p für die zu k_{0} (\sqrt{q}) gehörige Teilung angehört. Das ist aber eine Teilung mod q, nämlich, wie man durch Einbettung in den Kreiskörper K_{q} findet, die nach den quadratischen Resten mod q. Also

(\frac{q}{p}) = +1 oder − 1, je nachdem (\frac{p}{q}) = +1 oder −1.

1. undeutlich

Ähnlich allgemein.

Man kann zeigen, daß aus dem Artinschen Gesetz folgende elegante Formulierung des Reziprozitätsgesetzes der m-ten Potenzreste folgt:

(\frac{α}{β})_{m} = (\frac{β}{α})_{m},

wenn k ( \sqrt[m]{α}) und k ( \sqrt[m]{β}) zueinander prime Rel. Diskr. haben. Das habe ich in einer an Artin anschließenden Arbeit gezeigt. Ferner habe ich gezeigt, daß auch für beliebiges m die (durch Hilbert, Furtwängler, Takagi nur für m = Primzahl ℓ bewiesene) Produktformulierung des Reziprozitätsgesetzes gilt:

∏_{𝔭}(\frac{α, β}{𝔭})_{m} = 1.

Dabei ist (\frac{α,β}{𝔭})_{m} das m-te Normenrestsymbol, d.h. roh definiert:

(\frac{α, β}{𝔭})_{m} = 1 dann u. nur dann, wenn β ≡ N(A_{n}) mod 𝔭^{n} A_{n} aus k ( \sqrt[m]{α}) für belibig hohe n.

Diese Formel dient als Grundlage für die Aufstellung der sog. expliziten Reziprozitätsformeln, d.h. den allgem. Analoga zu:

(\frac{a}{b}) : (\frac{b}{a}) = (−1)^{\frac{a−1}{2} \frac{b−1}{2}}  wenn  \{ \begin{matrix}a, b prim zu 2 \\ a > 0 \end{matrix} \} .

In dieser Hinsicht habe ich in einer Reihe von Arbeiten zahlreiche Spezialresultate gefunden, zum Teil auch schon für zusammengesetzte Exponenten m. Doch sind die letzteren Untersuchungen noch nicht abgeschlossen. Ich teile daher nur die beiden eleganten Formeln für primzahliges m = ℓ mit:

1.)

(\frac{α}{β})_{ℓ} : (\frac{β}{α})_{ℓ} = ζ^{S(\frac{α−1}{ℓ} \frac{β−1}{λ})},  wenn  \{ \begin{matrix}α ≡ 1 mod ℓ \\ β ≡ 1 mod λ, λ = 1 − ζ \end{matrix} \}

in beliebigen Oberkörpern der ℓ-ten Einheitswurzeln ζ.

2.)

(\frac{α}{β}) : (\frac{β}{α}) = ζ^{∑_{κ=1}^{ℓ−1} κ·^{\frac{N(α^{ζ^{κ}})−1}{ℓ}} ·^{\frac{N(β^{ζ^{κ}})−1}{ℓ}}} ,  wenn  \{ \begin{matrix}α ≡ 1 mod λ^{2} \\ β ≡ 1 mod λ^{2}, \\ für ℓ = 2 \\ noch α ≫ 0. \end{matrix} \}

im Körper der ℓ-ten Einheitswurzeln ζ.

Seine schönste Anwendung fand das Artinsche Reziprozitätsgesetz auf den Hauptidealsatz der allgem. Klassenkörpertheorie. Hilbert hatte 1898 Folgendes, unter den vielen anderen längst bewiesenen Eigenschaften des Klassenkörpers, vermutet:

Im absoluten Klassenkörper K zu k werden alle Ideale des Grundkörpers k zu Hauptidealen.

Absoluter Klassenkörper heißt dabei: Klassenkörper für die Einteilung in die gewöhnlichen („absoluten“) Idealklassen (mod 1). Dies war die „populärste“ Eigenschaft des Klassenkörpers. Bewiesen war sie aber bisher nur für den Fall, daß K zyklisch über k ist.

Das Artinsche Gesetz erlaubt es doch nun, jede Aussage über die Klassen einer Klassenteilung zu übersetzen in eine Aussage über die Substitutionen der Galoisschen Gruppe des zugehörigen Klassenkörpers. Hier soll eine Aussage über die Klassen im Klassenkörper K zu k gemacht werden, nämlich über die, die durch Ideale aus k repräsentiert werden. Dazu wird man also über K noch einmal den absoluten Klassenkörper \overline{K} zu bilden haben.

Es entsteht dann nach der Galoisschen Theorie folgendes Bild:

[figure: \overline{𝔓}; \overline{K}; 1; 𝔓; K; 𝔊; 𝔭; k; \overline{𝔊}]

Da K nach der Theorie der maximale Abelsche Körper zwischen k und \overline{K} ist, so ist die zu K gehörige Gruppe 𝔊 die minimale Untergruppe von \overline{𝔊} mit Abelscher Faktorgruppe, also die Kommutatorgruppe. Und \overline{𝔊} ist eine Gruppe mit Abelscher Kommutatorgruppe.

Es sei nun:

ℭ = ℭ_{1}^{x_{1}} ⋯ ℭ_{r}^{x_{r}} = Basisdarst. der Klassengr. in k
x_{i} mod f_{i}

Nach Artin sei isomorph zugeordnet:

σ𝔊 = σ_{1}^{x_{1}} ⋯ σ_{r}^{x_{r}}𝔊 = Basisdarst. der Gal.Gr. \overline{𝔊}/𝔊 von K/k

Es genügt zu zeigen, daß die Basisklassen ℭ_{i} in K zur Hauptklasse werden.

Sei also 𝔭_{1} ein Primideal aus ℭ_{1}. Da 𝔭_{1}^{f_{1}} als früheste Potenz in der Hauptklasse liegt, zerfällt

𝔭_{1} = 𝔓_{11} ⋯ 𝔓_{1g} mit N(𝔓_{1ν}) = 𝔭_{1}^{f_{1}}

Man stellt leicht fest, daß die 𝔓_{1ν} zu einem 𝔓_{i} aus ihnen konjugiert sind, und in folgender Weise entstehen

𝔭_{1} = 𝔓_{1}^{(1+σ_{2}+···+σ_{2}^{f_{2}−1})···(1+σ_{r}+···+σ_{r}^{fr−1})}

wobei 𝔓_{1}^{σ} = σ𝔓_{1} ist.

Um nun die Klasse von 𝔭_{1} in K zu bilden, multipliziere man einfach die Klassen der richtigen σ𝔓_{1} in K. Wir müssen also diese Klassen durch Substitutionen aus 𝔊 ausdrücken. Nun kann die Frobeniussche Zuordnung auch für \overline{K}/k gemacht werden, in folgender Weise

\overline{A}^{N(𝔭)} ≡ σ\overline{A} mod \overline{𝔓} nicht mehr notw. mod 𝔭;

dann \overline{𝔓} → σ für \overline{K}/k. Auf die A aus K angewandt:

A^{N(𝔭)} ≡ σA mod \overline{𝔓} also mod 𝔭;

dann 𝔭 → σ𝔊 für K/k. Also haben obige σ_{i} folgende Bedeutung:

\overline{A}^{N(𝔭_{i})} ≡ σ_{i}\overline{A} mod \overline{𝔓}_{i} d.h. \overline{𝔓}_{i} → σ_{i} für \overline{K}/K,

wo \overline{𝔓}_{i} ein Primt. von 𝔭_{i} in \overline{K}.

Ist nun 𝔓_{i} der \overline{𝔓}_{i} entsprechende Primteiler in K, so folgt:

N(𝔓_{i}) = N(𝔭_{i})^{f_{i}}, also
A^{N(𝔓_{i})} ≡ σ_{i}^{f_{i}} \overline{A} mod \overline{𝔓}_{i} (also mod 𝔓_{i});
d.h. 𝔓_{i} → σ_{i}^{f_{i}} für \overline{K}/K.

Ist ferner σ irgendeine Substitution, so folgt

σ\overline{A}^{N(σ𝔓_{i})} ≡ σσ_{i}^{f_{i}}σ^{−1}σ\overline{A} mod σ\overline{𝔓}_{i};

d.h. σ\overline{𝔓}_{i} = \overline{𝔓}_{i}^{σ} → σσ_{i}^{f_{i}}σ^{−1} = σ_{i}^{f_{i}σ} für \overline{K}/K.

Daher:

𝔭_{1} = 𝔓_{1}^{(1+σ_{2}+···σ_{2}^{f_{2}−1})(1+···)···(1+···)} → σ_{1}^{f_{1}(1+σ_{2}+···)···(1+σ_{r}+···)}

wegen der durch Artin bewiesenen Isomorphie der Zuordnung für \overline{K}/K. σ_{1}^{f_{1}} ist eine Substitution aus der Kommutatorgruppe 𝔊. Dann und nur dann, wenn die symb. Potenz σ_{1}^{f_{1}(1+σ_{2}+···)···(1+σ_{r}+···)} davon,

d.h. also ein Produkt aus transformierten, gleich 1 ist, ist 𝔭_{2} in K in der Hauptklasse.

Der Hauptidealsatz wird also bewiesen sein, wenn die Relation

σ_{1}^{f_{1}(1+σ_{2}+···+σ_{2}^{f_{2}−1})···(1+σ_{r}+···+σ_{r}^{fr−1})} = 1

und die entsprechenden anderen für Gruppen mit Abelscher Komm. Gruppe bewiesen ist.

Auf Grund dieser Artinschen Reduktion des Problems auf ein rein-gruppentheoretisches Problem ist es Furtwängler eben gelungen, den Nachweis tatsächlich zu erbringen.

Die Artinsche Methode ist weitertragend. Sie ermöglicht die Behandlung ganz allgemeiner entsprechender Probleme.

Man kann mit ihr alle Fragen behandeln, die von folgendem Typus sind:

Gegeben eine Klassenteilung nach H in k. Dazu gibt es einen Klassenkörper K. Gegeben eine Klassenteilung nach G in K. In welche Klasse nach G fällt eine Klasse nach H?

Insbesondere ermöglicht die Artinsche Methode zu untersuchen, wie sich der Prozeß der Hauptidealisierung in den Unterkörpern des abs.^{2} Klassenkörpers vollzieht^{3}. Die Gesetze dafür gehören zu den reizvollsten Problemen der Gegenwart.

2. undeutlich

3. undeutlich

\underline{Erlangen 1929} 44

1.5 Erlangen 1929

Kummer’s ideale Zahlen.

(Vortrag Erlangen, 15. Juni 1929)

Ich will nachstehend über diejenige geniale Idee Kummer’s erzählen, die den Ausgangspunkt für die großartige moderne Entwicklung der Zahlentheorie gebildet hat.

E. Kummer lebte von 1810-1893, zuerst in Breslau, später in Berlin. Die hier zu besprechende Entdeckung fällt in das Jahr 1846 (wo er also 36 Jahre alt war) und steht in Crelle’s Journal, Bd. 135. Zur ungefähren Orientierung über den Zeitpunkt mag noch gesagt werden: Gauss stand damals im 70. Lebensjahr und starb 1855, Dirichlet hatte seine berühmten Arbeiten über die Klassenzahl quadratischer Formen bereits geschrieben und war 41 Jahre alt, Kummer’s Haupt- und Lieblingsschüler Kronecker war 23 Jahre alt und hatte gerade ein Jahr vorher mit einer Arbeit über einen eng verwandten Gegenstand: De unitatibus complexis promoviert.

Kummer kam als junger Mann mit einer Arbeit zu Dirichlet, die den großen Fermatschen Satz mittels der Zahlentheorie der aus Einheitswurzeln gebildeten ganzen Zahlen, sog. Kreisteilungszahlen, behandelte. In seinem jugendlichen Forscherdrang hatte aber Kummer einen Umstand ganz übersehen, der Dirichlet und wohl auch schon Gauss gut bekannt war, daß nämlich für diese Kreisteilungszahlen die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung verloren geht. Damit fiel Kummer’s Beweis für die Unmöglichkeit der Fermatschen Gleichung unter den Tisch. Aber Kummer ließ sich dadurch nicht entmutigen. Er trat in ganz eingehende Untersuchungen der Zahlentheorie dieser Kreisteilungszahlen ein und fand in genialer Weise den richtigen Ausweg aus der Schwierigkeit des Versagens der eindeutigen Primzahlzerlegung, eben durch Einführung seiner idealen Primfaktoren. Er vergleicht diese Einführung mit der Einführung der imaginären Zahlen zur vollständigen Linearfaktorzerlegung ganzer rationaler Funktionen, sowie auch idealer Elemente in der Geometrie. Wenn es ihm auch nicht gelang, so zu einer völligen Erledigung des Fermat-Problems zu kommen – er fand nur, allerdings sehr bemerkenswerte, Teilresultate dazu –, so hat er damit doch den Grundstein zu der modernen Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie gelegt. Seine Idee, die Einführung der idealen Zahlen, ist es, die im Prinzip allen späteren Verallgemeinerungen dieser Idee von Kronecker, Dedekind, Hensel zugrundeliegt, mag sie sich dort auch in noch so abweichender äußerer Form darbieten. So hat das an sich ganz uninteressante Fermat-Problem den Anstoß zu einer großartigen Theorie gegeben, an deren Ausbau, sowohl was die Grundlagen als auch was die letzten Verästelungen anbetrifft, auch die heutige Generation noch zu tun hat.

Ich will im folgenden Kummer’s Entdeckung nicht, wie Kummer selbst, an den Kreisteilungszahlen, sondern vielmehr an den einfachsten algebraischen Irrationalzahlen, den quadratischen Irrationalzahlen auseinandersetzen. Es soll und kann mir hier auch nicht darauf ankommen, Kummer’s Entwicklungen in aller Vollständigkeit wiederzugeben. Vielmehr will ich nur versuchen, die Kummersche Definition der idealen Zahlen möglichst klar, verständlich und naturgemäß herauszuarbeiten.

Wir betrachten als Verallgemeinerung der gewöhnlichen ganzen Zahlen hier die ganzen quadratischen Irrationalzahlen

α = a + b\sqrt{D}

die aus einer festen irrationalen Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl D entspringen, wenn a, b beliebige ganze rationale Zahlen sind.

Im folgenden nenne ich^{1} diese kurz quadratische Irrationalzahlen und bezeichne sie mit griechischen Buchstaben.

Das Ziel der Betrachtung ist, im Bereiche dieser Zahlen eine Zahlentheorie zu entwickeln, die zu der Zahlentheorie der ganzen rationalen Zahlen weitgehendst analog ist. Insbesondere soll es darauf ankommen, eine Zerlegungstheorie dieser Zahlen in Primfaktoren zu entwickeln. Dazu mögen zunächst vorangestellt werden einige

Vorbemerkungen über die Primzahlzerlegung der ganzen rationalen Zahlen.

Hier gilt ja bekanntlich das Gesetz von der eindeutigen Zerlegbarkeit in Primzahlen. Diese einfachsten Bausteine, die Primzahlen p, haben zwei grundlegende Eigenschaften:

(1.) (Definition) p ist nicht echt zerlegbar (d.h. nicht in zwei Faktoren aufspaltbar)

(2.) (Folge aus dem Eukl. Algorithmus) Aus p | ab folgt p | a oder p | b (d.h. p ist nicht auf zwei Faktoren aufspaltbar)

1. undeutlich

Die Eigenschaft (2.) ist deshalb fundamental, weil aus ihr sofort die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung folgt. Sind nämlich^{2} g = p_{1}p_{2} ⋯ p_{r} = q_{1}q_{2} ⋯ q_{s} zwei Zerlegungen, so folgt aus p_{1} | g, daß p_{1} | q_{1} oder … oder p_{1} | q_{s}, also, daß p_{1} einem q_{i} gleich ...

Übrigens ist (1.) eine unmittelbare Folge aus (2.). Denn aus p = ab folgt nach (2.) p | a^{∗)} ^{3} oder p | b, also ±a = p oder ±b = p. Umgekehrt folgt aber (2.) aus (1.) erst durch den komplizierten Mechanismus des Eukl. Algorithmus oder eine verwandte Schlußweise.

Bei den Zahlen α = a+b\sqrt{D} kann man nun auch Primzahlen π definieren durch die Eigenschaft (1.):

(1.) π ist nicht echt zerlegbar.

Das „echt“ muß dabei näher präzisiert werden. Bei den gewöhnlichen ganzen Zahlen sind unechte Zerlegungen diese:

p = ±p · ±1 = ±1 · ±p,

wo also ein Faktor ±1 eine Einheit ist. Hier muß man allgemein als Einheiten ε alle Teiler der 1 rechnen, also alle solchen quadr. Irr. ε, für die eine ebensolche η mit εη = 1 existiert. Z.B. sind ±1 Einheiten, für D = 2 aber z.B. auch 1 − \sqrt{2}, 3 − \sqrt{2}. π = αβ heißt dann eine echte Zerlegung, wenn weder α noch β eine Einheit ist. Zahlen die sich nur um Einheiten unterscheiden, sehen wir bei unserer Zerlegungstheorie als nicht wesentlich verschieden an.

Man kann jetzt jede quadr. Irr. α in Primfaktoren zerlegen, indem man (irgendwie) soweit als möglich aufspaltet:

α = π_{1}π_{2} ⋯ π_{r}.

Daß dabei nur endlich viele Faktoren auftreten können folgt auf eine Art und Weise, die im folgenden häufig anzuwenden ist. Man ersetze überall \sqrt{D} durch −\sqrt{D}:

α′ = π′_{1}π′_{2} ⋯ π′_{r}

also

αα′ = π_{1}π′_{1} π_{2}π′_{2} ⋯ π_{r}π′_{r}

2. Wort in anderer Handschrift

∗). d.h. a = λp, und λ ganz, also p = λpb, d.h. λb = 1, also λ Einheit, d.h. a und b gleich bis auf einen Einheitsfaktor.

3. Fußnote in anderer Handschrift

Nun ist

αα′ = (a + b\sqrt{D})(a − b\sqrt{D}) = a^{2} − b^{2}D

ganz rational. Ebenso sind π_{1}π′_{1}, … π_{r}π′_{r} ganz rational und keine Einheiten, da sonst π_{1}, …, π_{r} solche wären. Also ist die Anzahl r beschränkt.

Für diese Primfaktoren geht nun aber die Eigenschaft (2.) und damit die Eindeutigkeit der Zerlegung unter Umständen verloren. Wenn dennoch (2.) gilt:

(2.) Aus π | αβ folgt π | α oder π | β,

so nennen wir π für den Augenblick echte Primzahl des Bereichs unserer quadr. Irr.

Wir wollen nun diese Frage genauer prüfen, insbesondere auch die Existenz unechter Primzahlen einsehen. Es ist gut, bei diesen Untersuchungen von vorneherein Kummer’s Idee als leitenden Gesichtspunkt an die Spitze zu stellen. Diese Idee ist: Die unechten Primzahlen sind in Wahrheit zusammengesetzt aus gewissen idealen Primfaktoren, (um deren klare Herausschälung es sich handelt). Und wenn π | αβ aber nicht π | α und nicht π | β, so ist das ebenso, als wenn die zusammengesetzte Zahl 6 = 2 · 3 die Eigenschaft hat:

6 | 10 · 21 aber nicht 6 | 10 und nicht 6 | 21

Um nun alle idealen Primfaktoren zu erfassen, die als Faktoren irgendwelcher quadr. Irr. unseres Bereichs in Frage kommen, genügt es, die gewöhnlichen ganzen Zahlen in ideale Faktoren zu zerlegen, denn α = a + b\sqrt{D} kommt ja als Faktor in der Norm N(α) = αα′ = (a + b\sqrt{D})(a − b\sqrt{D}) = a^{2} − b^{2}D vor. Und die Eindeutigkeit (der Zerlegung in ideale Primfaktoren)^{4} im Sinne (2.) vorausgesetzt, genügt es dann weiter, die gewöhnlichen Primzahlen p in ideale Faktoren zu zerlegen.

Wir beschäftigen uns daher zuvor mit der Frage der Zerlegung der gewöhnlichen Primzahlen p in reale (ganze)^{5} Faktoren (unseres Bereichs)^{6}, bestimmen also die (echten oder unechten) Primzahlen unseres Bereichs, die bei der Zerlegung der gewöhnlichen Primzahlen auftreten□□□ (aber keineswegs alle Primz. unseres Bereichs erschöpfen, z.B. ist für zusammengesetztes D die Zahl \sqrt{D} Primzahl, aber nicht Teiler einer gewöhnlichen Primzahl, sondern nur Teiler von D).^{7}

4. in anderer Handschrift

5. dito

6. dito

7. Klammerinhalt stellenweise in anderer Handschrift umformuliert

Zerlegung von p in reale (echte oder unechte) Primzahlen.^{8}

Sei π = x + y\sqrt{D} ein echter Teiler von p und keine Einheit, sodaß also

p = πγ

eine echte Zerlegung ist.^{9} Dann ist

πγ = p
ππ′ = g eine ganz rationale Zahl.

Wenn dies g nicht durch p teilbar wäre, folgte kp + ℓg = 1, also

π(kγ + ℓπ′) = 1,

während doch π keine Einheit sein sollte. Also ist

g = ππ′ = x^{2} − y^{2}D ≡ 0 (p)

Hierbei ist nun

y ≢ 0 (p).

Denn sonst wäre auch x ≡ 0 (p), also π ≡ 0 (p), und somit π kein echter Teiler von p (sondern von p höchstens um eine Einheit unterschieden).

Folglich folgt in bekannter Weise:

u^{2} − D ≡ 0 (p), d.h. (\frac{D}{p}) = +1 D quadr. Rest nach p

als notwendige Bedingung der Zerfällbarkeit von p.

Ferner ist dann auch π′ | p, also ππ′ | p^{2}, und somit ππ′ als ganze rationale Zahl:

ππ′ = ±p oder ± p^{2},

denn ±1 kommt nicht in Frage, weil π keine Einheit. Auch ±p^{2} kann nun nicht sein. Denn sonst folgte aus πγ = p, ππ′γγ′ = p^{2}, daß γγ′ ± 1 wäre, was wieder gegen die Annahme. Somit gilt

±p = ππ′,

8. dito

9. dito

d.h. γ = ±π′. Hierbei sind schließlich π und π′ Primzahlen. Denn aus π = αβ folgte ±p = αα′ββ′.

Damit ist gezeigt, daß eine Primzahl p nur dann echt zerlegbar sein kann, wenn D quadr. Rest nach p ist, und daß dann die Zerfällung, wenn vorhanden von der Form ±p = ππ′ ist, wo π und π′ Primzahlen sind.

Bei der Zerlegung aller gewöhnlichen Primzahlen p in reale Primfaktoren unseres Bereichs treten also folgende drei Fälle auf: □□□

a.) D quadr. Nichtrest nach p, dann p selbst Primzahl auch^{10} im Bereich der qu. Irr.

b.) D quadr. Rest nach p und ±p = ππ′, wo π, π′ Primzahlen im Bereich der qu. Irr.

c.) D quadr. Rest nach p und ±p ≠ ππ′, also p selbst Primzahl im Bereich der qu. Irr.

Wir fragen nun weiter welchen von diesen, auf Grund der Eigenschaft (1.) als Primzahlen zu bezeichnenden Zahlen auch die Eigenschaft (2.) zukommt, d.h. welche dieser Primzahlen echt sind.

a.) Diese Primzahlen p sind echt. Sei nämlich p | αβ, dann p | αα′ββ′, also etwa p | αα′. Ist α = a + b\sqrt{D}, also αα′ = a^{2} − b^{2}D, so folgt also a^{2} − b^{2}D ≡ 0 (p). Wäre darin b ≢ 0(p), so wäre nach obigem D quadr. Rest nach p. Also ist b ≡ 0, a ≡ 0(p), d.h. α ≡ 0(p), p | α.

b.) Auch diese Primzahlen π, π′ sind echt. Um das einzusehen, brauchen wir einen Hilfssatz, der für die Kummersche Idee entscheidend ist:

Es seien ±u die beiden Wurzeln von u^{2} ≡ D (p), (die auch zusammenfallen können, wenn nämlich D ≡ 0 (p)). Aus

±p = x^{2} − y^{2}D ≡ 0 (p)

folgt dann

x^{2} − y^{2}u^{2} = (x + yu)(x − yu) ≡ 0(p)

also

x + yu ≡ 0 (p) oder x − yu ≡ 0 (p).

Ohne Einschränkung sei

x + yu ≡ 0 (p).

10. dito

Dann gilt:

Hilfssatz. Dann und nur dann ist

α = α(\sqrt{D}) = a + b\sqrt{D} teilbar durch π = x + y\sqrt{D}

wenn α(u) = a + bu teilbar durch p

ist. – Entsprechend für π′ und −u. Beweis: 1.) Ist α ≡ 0 (π), also α = πγ, ausführlich

a + b\sqrt{D} = (x + y\sqrt{D})(g + h\sqrt{D})

so bedeutet das

a = xg + yhD ≡ xg + yhu^{2} (p)
b = xh + yg
a + bu ≡ xg + yhu^{2} + xhu + ygu (p)
≡ (x + yu)(g + hu) (p)
≡ 0 (p).

2.) Ist a + bu ≡ 0 (p), so zeige ich απ′ ≡ 0 (p), was ja α ≡ 0 (π) ergibt. Das folgt so:

απ′ = (a + b\sqrt{D})(x − y\sqrt{D}) = (ax − byD) + (bx − ay)\sqrt{D}

Nun ist aber

ax − byD ≡ ax − byu^{2} ≡ ax + ayu ≡ a(x + yu) ≡ 0 (p)
bx − ay ≡ bx + byu ≡ b(x + yu) ≡ 0 (p).

Damit ist der Hilfssatz bewiesen. Entsprechend kann man auch die Teilbarkeit durch höhere Potenzen π^{n} auf die Kongruenzen a + bu ≡ 0 (p^{n}) zurückführen, wenn man unter u nur gleich eine Wurzel von u^{2} ≡ D (p^{n}) versteht. Das erfordert allerdings unter Umständen die Einschränkung p ≠ 2. Ich gehe hier nicht näher darauf ein.

Die π, π′ in b.) sind jetzt sofort als echt erkannt. Denn aus π | αβ folgt p | α(u)β(u), also etwa p | α(u) und somit π | α.

Insbesondere folgt daraus die Eindeutigkeit der Zerlegung ±p = ππ′ bis auf Einheitsfaktoren. c.) Diese Primzahlen p sind unecht. Denn hier ist zwar

p | u^{2} − D, d.h. p | (u + \sqrt{D})(u − \sqrt{D})

aber

p ∤ u + \sqrt{D} und p ∤ u − \sqrt{D}.

Solche p gibt es tatsächlich für manche D, z.B. für D = 6:

p = 2, 3 \{ \begin{matrix}D ≡ 0^{2} (2) \\ D ≡ 0^{2} (3) \end{matrix}

\begin{matrix}±2 ≠ ππ′ = x^{2} − 6y^{2} \\ ±3 ≠ ππ′ = x^{2} − 6y^{2} \end{matrix} \}, wie leicht zu sehen

Mehrdeutigkeit:

6 = 2 · 3 = \sqrt{6} · \sqrt{6}.

Oder für D = −5:

p = 3, 7 \begin{matrix}D ≡ 1^{2} (3) \\ D ≡ 3^{2} (7) \end{matrix}

\begin{matrix}±3 ≠ ππ′ = x^{2} + 5y^{2} \\ ±7 ≠ ππ′ = x^{2} + 5y^{2} \end{matrix} \}, wie leicht zu sehen.
Mehrdeutigkeiten: 3 · 7 = (4 + \sqrt{−5})(4 − \sqrt{−5})

Vom Kummerschen Standpunkt handelt es sich nun darum, diese letzteren unechten Primzahlen p in ideale Faktoren aufzuspalten.

Kummer sagt so: In der Chemie kann es vorkommen, daß man einen zusammengesetzten Stoff tatsächlich in seine Elemente zerlegen kann. Es kann aber auch sein, daß eine isolierte Darstellung der Elemente (damals z.B. des Fluors) auf keine Weise gelingt. Dann ist man zur Erkenntnis, ob und zu welchem Index das betr. Element in einem gegebenen Stoff enthalten ist, auf indirekte Verfahren der chemischen Analyse angewiesen, etwa das Zusetzen von Reagentien, die dann das Vorhandensein des betr. Elementes durch Niederschlag anzeigen. Und die betr. Elemente sind letzten Endes nur auf diese indirekte Weise definiert, nicht durch konkretes Aufweisen des von^{11} allen anderen getrennten Elements. Dieses indirekte Verfahren kann selbstverständlich auch oft mit Vorteil dort angewandt werden, wo an sich das direkte der Aufspaltung noch funktioniert.

11. undeutlich

In unserem Falle sind nun die gesuchten, idealen Primfaktoren der realen Primzahlen p (mit D quadr. Rest nach p) die Elemente. Im Falle b.) können wir sie separiert darstellen, in der Form π = x+y\sqrt{D}, π′ = x−y\sqrt{D}, können uns dagegen auch von ihrem Vorhandensein in irgendeinem zusammengesetzten Element α = α(\sqrt{D}) durch die folgende Reagenz überzeugen:

Man bilde α(±u) und prüfe, ob das durch p teilbar ist und zu welchem Exponenten p darin aufgeht, wobei ±u die beiden Lösungen von u^{2} ≡ D(p^{N}) für hinreichend großes N sind.

Diese Reagenz bleibt aber ohne weiteres anwendbar, wenn auch die reale Zerlegung (von p)^{12} fortfällt. Und sie definiert dann für jedes solche p zwei zugehörige ideale Primfaktoren 𝔭 und 𝔭′. Also explizit:

α(\sqrt{D}) ≡ 0 (𝔭^{n}) , wenn α(u) ≡ 0 (p^{n})
α(\sqrt{D}) ≡ 0 (𝔭′^{n}) , wenn α(−u) ≡ 0 (p^{n}).

Dabei u Wurzel von

u^{2} ≡ D(p^{N})

für N ≧ n.

Diese Primfaktoren 𝔭, 𝔭′ sind zwar unter Umständen nicht durch eine reale Zerlegung faßbar, aber es steht doch von ihnen genau fest, ob und zu welchen Potenzen sie in jeder realen Zahl α aufgehen. Insbesondere gehen sie in p selbst genau zur 1. Potenz auf. Da p keine weiteren idealen Primfaktoren hat, schreibt man daher auch

p = 𝔭𝔭′.

Entsprechend setzt man

α = 𝔭^{m}𝔮^{n} ⋯,

wenn 𝔭, 𝔮, … die Gesamtheit aller in α aufgehenden realen und idealen Primfaktoren bezeichnet, jeweils zum richtigen Exponenten. Diese Gleichung ist natürlich so zu verstehen, daß links eine beliebige Einheit als Faktor angebracht werden darf. Sonst aber nichts, denn einer der nun anschließend bewiesenen Kummerschen Hauptsätze ist, daß α bis auf eine Einheit durch das Aggregat seiner Primfaktoren bestimmt ist. Umgekehrt ist diese Zerlegung eindeutig. Denn die Regel, nach der sie definiert ist, ist eindeutig. Ferner ist sie endlich.

12. dito

Man kann mit ihr rechnen, wie mit der Primfaktorzerlegung der gewöhnlichen ganzen Zahlen, d.h. indem man die Exponenten beim Multiplizieren addiert. Insbesondere gilt:

aus 𝔭 | αβ folgt 𝔭 | α oder 𝔭 | β,

ganz genau nach dem Schema, wie oben für die π. Die idealen Primfaktoren haben also in der Tat die grundlegende Eigenschaft (2.) der gewöhnlichen Primzahlen.

1.6 Marburg 1930

Einiges über die Riemannsche ζ-Funktion.

Koll. Vortr. Marburg 27.6.30, 4.7.30

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}

Absolute Konvergenz:

|\frac{1}{n^{s}} | = \frac{1}{n^{σ}}  (s = σ + it)
∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{σ}} ≦ 1 + ∫_{1}^{∞} \frac{1}{u^{σ}} du

= 1 + \frac{1}{σ − 1}u^{1−σ}|_{∞}^{1}
= 1 + \frac{1}{σ − 1}  für σ > 1

(gleichmäßig für σ ≧ 1 + δ, δ > 0).

0 1 2 3

Für σ ≦ 1 nicht absolut konvergent, sogar divergent (klar für reelles s). Verschiedene Methoden der analytischen Fortsetzung: 1.) Elementare Methode:

\begin{aligned}∫_{1}^{∞} \frac{1}{u^{s}} & = & \frac{1}{s−1} für σ > 1 \\ ∑_{n=1}^{∞} ∫_{n}^{n+1} \frac{1}{u^{s}} & = & \frac{1}{s−1} \\ ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(n + 1)^{s}} & = & ζ(s) − 1 \\ ∑_{n=1}^{∞} \{\frac{1}{(n + 1)^{s}} − ∫_{n}^{n+1} \frac{1}{u^{s}} \} & = & ζ(s) − \frac{1}{s−1} − 1 \end{aligned}

Oder auch:

ζ(s) = 1 + \frac{1}{s − 1} + ∑_{n=1}^{∞} \{\frac{1}{(n + 1)^{s}} − \frac{1}{s − 1} (\frac{1}{n^{s−1}} − \frac{1}{(n + 1)^{s−1}} )\}

Oder auch durch partielle Integration:

ζ(s) = 1 + \frac{1}{s − 1} − s ∑_{n=1}^{∞} ∫_{n}^{n+1} \frac{(u − n)du}{u^{s+1}}

Zunächst für σ > 1. Konvergiert aber für σ > 0 (gleichmäßig für σ ≧ δ > 0):

|∫_{n}^{n+1} \frac{(u − n)du}{u^{s+1}} | ≦ ∫_{n}^{n+1} \frac{(u − n)du}{u^{σ+1}} ≦ ∫_{n}^{n+1} \frac{du}{n^{σ+1}} = \frac{1}{n^{σ+1}}

Also ζ(s) mit Pol 1. Ordn. Res. 1 bei s = 1 behaftet, im übrigen regulär für σ > 0.

Verfahren fortsetzbar. Man integriere

∫_{n}^{n+1} \frac{(u − n)du}{u^{s+1}} = ∫_{0}^{1} \frac{udu}{(n + u)^{s+1}}

erneut partiell nach u. So schrittweise Fortsetzung in die ganze negative Halbebene, Schritte der Breite 1.

2.) Andere elementare Methode.

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}

φ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n^{s}}

φ(s) = (1 − \frac{2}{2^{s}} ) ζ(s)

φ(s) konvergiert für σ > 0 (klar für reelles s), und gleichmäßig für σ ≧ δ > 0.

Auf φ(s) kann man jetzt Summierungsverfahren der arithmetischen Mittel wiederholt anwenden und gelangt wieder in Schritten der Breite 1 zur Fortsetzung in die ganze negative Halbebene.

\underline{Marburg 1930} 56

3.) Erste Riemannsche Methode.

Γ(s) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{s−1}dt (σ > 0)
Γ(s) = n^{s} ∫_{0}^{∞} e^{−nt}t^{s−1}dt
\frac{1}{n^{s}} = \frac{1}{Γ(s)} ∫_{0}^{∞} e^{−nt}t^{s−1}dt

Modifikation:

\frac{1}{n^{s}} = \frac{1}{(n^{2})^{\frac{s}{2}}} = \frac{1}{Γ(\frac{s}{2})} ∫_{0}^{∞} e^{−n^{2}t}t^{\frac{s}{2} −1}dt = \frac{π^{\frac{s}{2}}}{Γ(\frac{s}{2})} ∫_{0}^{∞} e^{−n^{2}πt}t^{\frac{s}{2} −1}dt

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} = \frac{π^{\frac{s}{2}}}{Γ(\frac{s}{2})} ∫_{0}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} e^{−n^{2}πt}t^{\frac{s}{2} −1}dt (σ > 0)

(Reihe konvergiert gleichmäßig für 0 ≦ t ≦ ∞)

∑_{n=−∞}^{∞} e^{−n^{2}πt} = ϑ_{00}(0, it)

= ϑ_{00} (0, −\frac{1}{it}) = \frac{1}{\sqrt{t}} ∑_{n=−∞}^{+∞} e^{− \frac{n^{2}π}{t}}

□□□ π^{− \frac{s}{2}} Γ(\frac{s}{2})ζ(s) = ∫_{0}^{∞} \frac{ϑ_{00}(it) − 1}{2} · t^{\frac{s}{2} −1}dt

= ∫_{0}^{1} + ∫_{1}^{∞}

Im ∫_{0}^{1} Ausführung der Theta-Transformation und t → \frac{1}{t}. Dadurch Überführung in ∫_{1}^{∞}. So erkennt man Fortsetzbarkeit in die ganze Ebene und Funktionalgleichung:

F (s) = π^{− \frac{s}{2}} Γ(\frac{s}{2})ζ(s) inv. bei s → 1 − s.

4.) Zweite Riemannsche Methode

\frac{1}{n^{s}} = \frac{1}{Γ(s)} ∫_{0}^{∞} e^{−nt}t^{s−1}dt
ζ(s) = \frac{1}{Γ(s)} ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−t}}{1 − e^{−t}} t^{s−1}dt = \frac{1}{Γ(s)} ∫_{0}^{∞} \frac{t^{s−1}}{e^{t} − 1}dt (σ > 1)

Man betrachte

F (s) = \frac{1}{2πi} ∫ \frac{t^{+(s−1)}}{1 − e^{−t}} dt t^{s−1} = e^{(s−1) log t}

Einerseits

F (s) = \frac{1}{2πi} ∫_{−∞}^{0} \frac{e^{+(s−1)[log(−t)−πi]}}{1 − e^{−t}} dt + \frac{1}{2πi} ∫_{0}^{−∞} \frac{e^{+(s−1)[log(−t)+πi]}}{1 − e^{−t}} dt
= \frac{+(e^{(s−1)πi} − e^{−(s−1)πi})}{2πi} ∫_{0}^{∞} \frac{t^{s−1}}{e^{+t} − 1}dt
= \frac{sin(s − 1)π}{π} Γ(s)ζ(s) (σ > 1)

Andererseits

F (s) = −Residuensumme für die t = 2nπi σ < 0

□□□

F (s) = − ∑_{n=1}^{∞}(2nπi)^{s−1} − ∑_{n=1}^{∞}(−2nπi)^{s−1}
= −(2π)^{s−1}ζ(1 − s) (e^{\frac{s−1}{2} πi} + e^{− \frac{s−1}{2} πi})
= −(2π)^{s−1}ζ(1 − s)2 cos \frac{s − 1}{2}π

Also

\frac{1}{π} sin \frac{s − 1}{2}πΓ(s)ζ(s) = −(2π)^{s−1}ζ(1 − s)
\frac{2 cos \frac{sπ}{2}Γ(s)ζ(s)}{(2π)^{s}} = ζ(1 − s)

(andere Form der Funktionalgleichung, hängt mit der ursprünglichen durch elementare Transformation zusammen)

5.) Meine Methode.

Elementar, aber kräftiger als bisherige elementare Methoden. Liefert Fortsetzung gleich mit einem Schritt, wie Riemannsche Methoden, leider aber nicht die Funktionalgleichung. Gibt aber der Funktionalgleichung eine rein reelle Bedeutung, und zwar in einer einzigen Formel, gültig für σ > 1, während die obigen elementaren Methoden das nur mit mehreren Formeln, für jeden Streifen der Breite 1 eine neue, tun.□□□

\underline{Göttingen 1931} 59

1.7 Göttingen 1931

Über Schiefkörper.

13.1.1931 Vortrag in der Mathematischen Gesellschaft Göttingen

Nachdem die kommutative algebraische Zahlentheorie heute zu einem gewissen Abschluß gelangt ist, was die Theorie der Abelschen Zahlkörper betrifft, und zu einem gewissen Stillstand, was die Theorie der Galoisschen Zahlkörper betrifft, hat sich das Interesse der Verallgemeinerung ins nichtkommutative Gebiet zugewandt, nämlich der Algebra und Arithmetik der hyperkomplexen Zahlsysteme. Neben dem großen Interesse, das diese neue Theorie durch die Schönheit und Einfachheit ihrer Hauptresultate und die Beziehungsreichheit zu anderen Gebieten und Fragestellungen beansprucht, erhofft man von ihr insbesondere auch eine Förderung großer noch offener Fragen im kommutativen Spezialfall, der algebraischen Zahlentheorie.

Den ersten entscheidenden Vorstoß in die Theorie der hyperkomplexen Zahlsysteme hat Wedderburn gemacht, indem er die algebraische Struktur dieser Systeme weitgehend enthüllte. Unter Beschränkung auf die halbeinfachen hyperkomplexen Systeme, d.h. solche deren Diskriminante nicht verschwindet, lauten die Wedderburnschen Hauptsätze:

I. Jedes halbeinfache hyperkomplexe System läßt sich (eindeutig bis auf die Reihenfolge) als direkte Summe einfacher Systeme darstellen (und umgekehrt).

Hierdurch wird die Strukturfrage in jeder nur wünschenswerten Durchsichtigkeit auf den Fall der einfachen Systeme zurückgeführt, d.h. solcher, die keine echten invarianten Teilsysteme besitzen.

II. Jedes einfache hyperkomplexe System läßt sich (bis auf Transformation eindeutig) als volles Matrizensystem aus einem Schiefkörper darstellen (und umgekehrt).

Hierdurch wird die Strukturfrage weiter in völliger Durchsichtigkeit auf den Fall der Schiefkörper zurückgeführt, d.h. der nullteilerfreien Systeme. Solche Schiefkörper sind Systeme, die bis auf das kommutative Gesetz der Multiplikation allen formalen Gesetzen algebraischer Erweiterungskörper endlichen Grades des Koeffizientenkörpers genügen.

Über die algebraische Struktur der Schiefkörper hat man nun heute zwar eine Reihe von wichtigen Einsichten, aber doch noch kein abschließendes Resultat. Ich will darüber hier einiges erzählen.

Zunächst hat man als dritten Hauptsatz von Wedderburn:

III. Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ.

Dieses Resultat ist von entscheidender Bedeutung für die arithmetische Theorie, die sich im Anschluß an die Wedderburnsche Strukturtheorie in neuester Zeit entwickelt hat. Einerseits haben Artin und Brandt die Arithmetik der halbeinfachen hyperkomplexen Zahlsysteme mit rationalem Koeffizientenkörper in weitgehender Analogie zur kommutativen algebraischen Zahlentheorie aufgebaut. Sie gehen dabei nach dem Muster der Dedekindschen Idealtheorie vor. Ich selbst habe einen Aufbau der Artin-Brandtschen Theorie (mit leichter Verallgemeinerung auf einen algebraischen Zahlkörper endlichen Grades als Koeffizientenkörper) gegeben, der in Fortführung der ursprünglichen Speiserschen Ansätze nach dem Muster der Henselschen p-adischen Grundlegung der algebraischen Zahlentheorie vorgeht.

Diese arithmetische Theorie ist nicht nur eine Krönung des algebraischen Unterbaus, sondern strahlt auch ihre Auswirkungen auf die Struktur dieses Unterbaus zurück.

Zur Durchführung meines Aufbaus mußte ich nämlich das Strukturproblem für Schiefkörper über p-adischem Koeffizientenkörper lösen. Aus dieser Lösung haben sich mir jetzt wichtige Einsichten in das Strukturproblem für Schiefkörper mit algebraischem Zahlkörper endlichen Grades als Koeffizientenkörper ergeben, über die ich nachstehend berichten will.

Zunächst will ich jedoch vorausschicken, was man allgemein über die Struktur der Schiefkörper weiß. Ich setze dabei gleich voraus, daß der Koeffizientenkörper ein algebraischer Zahlkörper K von endlichem Grade ist. Ist S ein Schiefkörper über K, so ist das Zentrum Z von S, d.h. die Gesamtheit der mit allen Elementen von S vertauschbaren Elemente von S, eine endliche algebraische Erweiterung von K und S kann als Schiefkörper mit dem Koeffizientenkörper Z angesehen werden. Die Struktur von Z über S ist aus der kommutativen Algebra hinlänglich bekannt. Das typisch nicht-Kommutative findet sich in der Struktur von S über Z. Ohne Einschränkung kann daher vorausgesetzt werden, daß S Schiefkörper über dem algebraischen Zahlkörper endlichen Grades K als Zentrum ist.

Aus der Wedderburnschen Theorie ergibt sich dann leicht:

IV. Der Rang von S über K ist eine Quadratzahl n^{2}, und n ist der Grad von S über K.

Ferner haben E. Noether und R. Brauer bewiesen:

V. S besitzt eine (und nur eine) irreduzible Matrizendarstellung vom Grade n, diese ist in Zahlkörpern L n-ten Grades über K rational wählbar. Die Gesamtheit dieser Körper L ist identisch mit der Gesamtheit der kommutativen Teilkörper n-ten Grades von S. D.h. mit der Gesamtheit derjenigen Körper n-ten Grades L, für die SL über KL in ein volles Matrizensystem zerfällt (Zerfällungskörper).

Aus dieser Beziehung zur Theorie der irreduziblen Matrizendarstellungen hat R. Brauer eine Übersicht über alle Schiefkörper entwickelt. Er charakterisiert die Schiefkörper eineindeutig durch Klassen assoziierter Faktorensysteme und gibt auch formelmäßig an, wie man vom Schiefkörper zum Faktorensystem kommt und umgekehrt. Jedoch ist diese Theorie nicht eine Lösung des Strukturproblems im tiefsten Sinne, weil sie die algebraische Struktur, d.h. das Multiplikationsschema, der Schiefkörper nicht mit derselben Einfachheit und Durchsichtigkeit in Evidenz setzt, wie das die beiden ersten Wedderburnschen Struktursätze für die Struktur der halbeinfachen und einfachen Systeme relativ zur Schiefkörperstruktur tun.

Ich schildere jetzt zunächst meine Lösung des Strukturproblems im padischen Falle.

Sei also K_{p} ein p-adischer Zahlkörper, d.h. die Henselsche Erweiterung eines gewöhnlichen algebraischen Zahlkörpers K nach einem Primideal p von K. Ferner sei S_{p} ein Schiefkörper mit K_{p} als Zentrum vom Grade n (Rang n^{2}). Dann ist S_{p} über K_{p} von folgender Struktur:

S_{p} = K_{p}(ω, π) = L_{p}(π)

wobei:

L_{p} = K_{p}(ω) ein zyklischer Körper n-ten Grades über K_{p} in dessen Diskriminante p nicht aufgeht, und der somit durch eine primitive (q^{n} − 1)-te Einheitswurzel ω erzeugbar ist, wo q = N(p), deren Konjugierte dann ω, ω^{q}, ω^{q^{2}}, …, ω^{q^{n−1}} lauten.

πωπ^{−1} = ω^{q^{rp}}  mit (r_{p}, n) = 1
π^{n} = p ein Primelement zu p aus K_{p}.

Durch diese Relationen ist die Multiplikation in S_{p} völlig übersehbar: S_{p} entsteht aus dem zyklischen Teilkörper L_{p} = K_{p}(ω) durch Hinzunahme eines Elements π, das durch Transformation die Automorphismen der Galoisschen Gruppe von L_{p} erzeugt. E. Noether nennt daher S_{p} ein verschränktes Produkt von L_{p} mit seiner Galoisschen Gruppe.

Die Größe p ist keineswegs ein invariantes Bestimmungsstück von S_{p}, kann vielmehr durch jedes andere Primelement zu p aus K_{p} ersetzt werden. Dagegen ist der Exponent r_{p} eine charakteristische Invariante von S_{p}. Neben dem Grade n gibt es also nur diese eine charakteristische Invariante r_{p}, d.h. es gibt genau φ(n) Typen p-adischer Schiefkörper S_{p} vom Grade n über K_{p} als Zentrum.

Auch die nach dem E. Noether–R. Brauerschen Satze in L_{p} vorhandene Matrizendarstellung n-ten Grades läßt sich unmittelbar hinschreiben:

Dem Element α = α_{0} + α_{1}π + ⋯ + α_{n−1}π^{n−1}, wo die α_{i} zu L_{p} gehören, ist die Matrix

∥\begin{matrix}α_{0} & α_{1} & … & α_{n−1} \\ pα_{n−1}′ & α_{0}′ & … & α_{n−2}′ \\ … & … & … & … \\ pα_{1}^{(n−1)} & pα_{2}^{(n−1)} & … & α_{0}^{(n−1)} \end{matrix}∥

zugeordnet, wo der Strahl den Automorphismus ω → ω^{q^{rp}} bezeichnet.

Das Resultat ist ganz analog zu der bekannten Tatsache, daß es über dem reellen Zahlkörper K_{∞}, der ja ein gewisses Analogon der p-adischen Zahlkörper ist, als Zentrum nur den einzigen Schiefkörper, die Quaternionen gibt:

S_{∞} = K_{∞}(i, j) = L_{∞}(j)
L_{∞} = K_{∞}(i) der Körper aller komplexen Zahlen, die einzi- ge algebraische Erweiterung von K_{∞}, zyklisch vom Grade 2

jij^{−1} = −i
j^{2} = −1,
wo α = α_{0} + α_{1}j,  α_{0}, α_{1} aus L_{∞}

die Matrix

∥\begin{matrix}α_{0} & α_{1} \\ −α_{1}′ & α_{0}′ \end{matrix}∥

zugeordnet ist.□□□

Die p-adischen Schiefkörper sind hiernach durchweg als verschränkte Produkte aus zyklischen Körpern darstellbar, und sogar aus besonders einfachen zyklischen Körpern. Ich will allgemein einen Schiefkörper S zyklisch erzeugbar nennen, wenn er als verschränktes Produkt aus einem über dem Zentrum K zyklischen Teilkörper L und dessen Gruppe, also in der Form darstellbar ist:

S = K(α, σ) = L(σ)
L = K(α) zyklisch vom Grade n über K
α, α′, …, α^{(n−1)} Zyklus der konjugierten
σασ^{−1} = α′
σ^{n} = s aus K,

wo dann zu

α = α_{0} + α_{1}σ + ⋯ + α_{n−1}σ^{n−1}

die Matrix

∥\begin{matrix}α_{0} & α_{1} & … & α_{n−1} \\ sα_{n−1}′ & α_{0}′ & … & α_{n−2}′ \\ … & … & … & … \\ sα_{1}^{(n−1)} & sα_{2}^{(n−1)} & … & α_{0}^{(n−1)} \end{matrix}∥

zugeordnet ist.

Dieser Typus ist zuerst von Dickson aufgestellt und untersucht. Dickson beweist:

VI. S ist sicher dann wirklich Schiefkörper, wenn erst die n-te Potenz von s Norm einer Zahl aus L = K(α) ist.

Umgekehrt leicht zu sehen:

VII. ist S Schiefkörper, so jedenfalls s selbst nicht Norm einer Zahl aus L = K(α). Bezeichnet allgemeiner ℓ den frühesten Exponenten, sodaß s^{ℓ} Norm aus L wird, so ist ℓ | n und besteht aus denselben Primfaktoren wie n.

Schließlich folgt aus einem Satze von Wedderburn-Artin:

VIII. Damit S zyklisch erzeugbar ist, ist (notwendig und) hinreichend, daß S einen maximalen Teilkörper L enthält, der zyklisch ist.

Man kann natürlich entsprechend auch die allgemeineren Begriffe bilden: Abelsch erzeugbar, Galoissch erzeugbar, durch Körper der Gruppe 𝔊 erzeugbar. Das tut Dickson auch und stellt Untersuchungen dieser Typen an. Im p-adischen Falle lassen sich alle diese allgemeineren Typen, die sehr wohl existieren, durchweg auch zyklisch erzeugen. Das legt die Vermutung nahe:

Jeder Schiefkörper S über einem algebraischen Zahlkörper endlichen Grades K als Zentrum ist zyklisch erzeugbar.

In dieser Hinsicht weiß man bisher trivialerweise, daß das für n = 2 gilt, ferner durch Wedderburn, daß es für n = 3 gilt. Für n = 4 ist eine gewisse Normierung in den neuen darauf bezüglichen Resultaten von Albert. Dieser weist jedenfalls nach, daß S für n = 4 stets Abelsch erzeugbar ist. Sein Beweis dagegen, daß man sogar stets mit 𝔊 vom Typus (2, 2) auskommt, muß falsch sein, denn es gibt, wie leicht zu sehen, solche zyklisch erzeugbare S mit n = 4, □□□ die bestimmt nicht auch durch Körper der Gruppe 𝔊 vom Typus (2, 2) erzeugbar sind. □□□

Für den p-adischen Fall ist ferner durchweg ℓ = n. Das legt die Vermutung nahe:

Für jeden zyklisch erzeugbaren Schiefkörper S über einem algebraischen Zahlkörper endlichen Grades K als Zentrum ist ℓ = n.

Alle Versuche, ein Gegenbeispiel zu finden, scheiterten bisher. Für Körper mit Unbestimmten hat aber R. Brauer ein solches.

Die vorstehenden Ausführungen sollten vor allem dazu dienen, die Bedeutung der zyklisch-erzeugbaren Schiefkörper für die Strukturtheorie der Schiefkörper ins rechte Licht zu setzen. Das Strukturproblem wäre in denkbar einfachster Weise gelöst, wenn es gelänge, die beiden ausgesprochenen Vermutungen zu beweisen. Um ev. zu solchen Beweisen zu gelangen, wird man gut tun, die zyklisch erzeugbaren Schiefkörper genau zu untersuchen. Hier erhebt sich vor allem die Frage nach der Kennzeichnung durch Invarianten.

Die Darstellung als verschränktes Produkt eines zyklischen Körpers mit seiner Galoisschen Gruppe setzt nämlich zwar die Struktur in helles Licht, aber weder der zyklische Körper L noch die Zahl s sind invariante Bestimmungsstücke. Es erhebt sich also die Frage nach invarianten Bestimmungsstücken für S. Damit wird dann zugleich das Identitätsproblem gelöst sein:

Wann sind S = L(σ) und S′ = L′(σ′) mit σ^{n} = s, σ′^{n} = s′ identisch? Die Lösung dieses Problems sehe ich in folgender Richtung: Für die Frage

ob S wirklich Schiefkörper ist, ist das Normenverhalten von s in bezug auf den Körper L bestimmend. Das legt es nahe, die Normenrestsymbole

(\frac{s, L}{p})

für alle Primstellen p von K ins Auge zu fassen. Diese Normenrestsymbole sind im Sinne meiner allgemeinen Normenresttheorie Abelscher Körper zu verstehen, also bestimmte Elemente der Galoisschen Gruppe von L. Wie aber soll man diese Symbole für verschiedene Körper L, L′, also verschiedene, nur abstrakt-isomorph zyklische Gruppen in Beziehung setzen? Das geht nun höchst einfach in folgender Weise:

Ist L = K(α) und σασ^{−1} = 𝔰α, also dem σ die Substitution 𝔰 der zyklischen Gruppe von L durch die Transformationsgleichung zugeordnet, so setze man an:

(\frac{s, L}{p}) = 𝔰^{e_{p}}.

Die so definierten Exponenten e_{p} hängen nicht davon ab, welches Element als erzeugendes der Gruppen gewählt wird. Geht man von 𝔰 zu 𝔰^{a}, also von σ zu σ^{a} über, so ist auch s durch s^{a} zu ersetzen, und das Normenrestsymbol durch seine a-te Potenz, e_{p} bleibt also invariant.

Sei ebenso

(\frac{s′, L′}{p}) = 𝔰′^{e′_{p}},

so nenne ich

(\frac{s, L}{p}) = (\frac{s′, L′}{p}),

wenn e_{p} ≡ e′_{p} mod n. Es ist zu vermuten, daß die so definierten (\frac{s,L}{p}) das vollständige Invariantensystem von S bilden:

Dann und nur dann ist S = S′, wenn für alle Primstellen p von K

(\frac{s, L}{p}) = (\frac{s′, L′}{p}), d.h. e_{p} ≡ e′_{p} mod n

gilt.

Vom Beweis dieser Vermutung bin ich nicht mehr ganz so weit entfernt, wie vom Beweis der beiden anderen ausgesprochenen Vermutungen; ich kann sie im Spezialfall, daß der Grad n eine Primzahl ist, „fast“ beweisen. Speziell für n = 2 ist sie schon in den Resultaten meiner Dissertation und Habilitationsschrift enthalten.

Im Primzahlfalle fällt zunächst die Schwierigkeit der zweiten Vermutung fort, es ist ℓ = n, und also S dann und nur dann wirklich Schiefkörper, wenn erst s^{n} Norm aus L ist.

Der schwierigste Punkt beim Beweis ist die Tatsache, daß (\frac{s,L}{p}) eine Invariante ist. In dieser Hinsicht □□□ folgt aus dem Dicksonschen Satz, angewandt im p-adischen Körper K_{p} und dem p-adischen System S_{p} ohne weiteres, daß jedenfalls die Alternative (\frac{s,L}{p}) = 1 oder ≠ 1 invariant ist; denn sie entscheidet ja darüber, ob S_{p} kein Schiefkörper ist oder doch.

Diese Invarianztatsache ist übrigens der Deuringsche Beweis des rohen Vertauschungssatzes für das Hilbertsche Normenrestsymbol. Denn wenn K die n-ten Einheitswurzeln enthält, sodaß L = K (\sqrt[n]{a}) gesetzt werden kann, so liefert die Anwendung von (\frac{s,L}{p}) auf α = \sqrt[n]{a} die Multiplikation mit (\frac{s,a}{p}), sodaß also dies letztere Symbol als Invariante dienen kann. Dann ist aber

S = K(α, σ) mit \{ \begin{matrix}α^{n} & = & n \\ σασ^{−1} & = & ζα, also ασα^{−1} = ζ^{−1}σ \\ σ^{n} & = & s \end{matrix}

antisymmetrisch in a und s, sodaß für die Erzeugung aus L′ = K(σ) die Invariante (\frac{a,s}{p})^{−1} wird. Es folgt also, daß beide Symbole (\frac{s,a}{p}) und (\frac{a,s}{p}) gleichzeitig 1 oder ≠ 1 sind. Aus meinem schärferen Invarianzbeweis, folgt natürlich der scharfe Vertauschungssatz

(\frac{s, a}{p}) = (\frac{a, s}{p})^{−1}.

Ich beweise nun die genaue Invarianz so, daß ich als Bindeglied zwischen S = L(σ) und S = L′(σ′) die p-adische Erzeugung S_{p} = L_{p}(π) einschiebe, und also nur

(\frac{s, L}{p}) = (\frac{p, L_{p}}{p})

beweise. In der Tat ist, sofern wirklich (\frac{s,L}{p}) ≠ 1 ist, S_{p} Schiefkörper und von der zuvor angeführten Struktur:

S_{p} = L_{p}(π), L_{p} = K_{p}(ω)
πωπ^{−1} = ω^{q^{rp}}, (r_{p}, n) = 1
π^{n} = p

Man berechnet leicht:

(\frac{p, L_{p}}{p}) = 𝔭^{−r_{p}^{−1}}, wenn πωπ^{−1} = 𝔭ω gesetzt ist,

sodaß also die Behauptung

e_{p} ≡ −r_{p}^{−1} mod n

lautet. Hierdurch ist zugleich auch die oben herausgehobene einzige Invariante r_{p} der p-adischen Schiefkörper als Normenrestsymbolexponent gedeutet.

Der Nachweis von e_{p} ≡ −r_{p}^{−1} mod n ist mir nun zunächst für alle p ∤ n gelungen, ferner auch für p | n wenn für die Verzweigungsart von p in L ein besonders einfacher Typ vorausgesetzt wird. Die Erledigung für p | n allgemein ist nur noch eine technische Frage. □□□

Der umgekehrte Beweis ist viel einfacher. Seien zwei zyklisch erzeugte Schiefkörper n-ten Grades:

S = L(σ) mit σ^{n} = s, S′ = L′(σ′) mit σ′^{n} = s′

gegeben mit

(\frac{s, L}{p}) = (\frac{s′, L′}{p}) für alle p.

Dann ist nach dem vorigen Beweis jedenfalls S_{p} = S′_{p} für alle p. Daher ist L_{p} für jedes p Zerfällungskörper für S′_{p} ^{1}, d.h. das direkte Produkt S′L hat über KL die Eigenschaft, daß die \overline{p}-adische Erweiterung (S′L)\overline{p} für jedes \overline{p} aus KL zerfällt über (KL)\overline{p}. Nach einem Satz von Hilbert-Furtwängler zerfällt aber ein zyklisch-erzeugter Schiefkörper n-ten Grades, der für jedes \overline{p} zerfällt, auch im gewöhnlichen Sinne. Das bedeutet hier, daß S′L über KL zerfällt, daß also L Zerfällungskörper für S′ ist. Stellt man demgemäß dar:

S′ = L(τ), τ^{n} = t,

so wird nach der Voraussetzung:

(\frac{t, L}{p}) = (\frac{s, L}{p}),

also ist t von s nur um eine Norm aus L unterschieden, und das bedeutet S′ = S.

1. undeutlich

1.8 Marburg 1931

I. Zyklische Algebren von Primzahlgrad ℓ über ℜ.

Vortrag auf dem „Schiefkörper-Kongreß“, Marburg 26.2.31

𝔄 = ℜ(α, β) α Wurzel zykl. Polyn.
f(x) = (x − α)(x − α^{S}) ⋯ (x − α^{S^{ℓ−1}})in 𝔎
βαβ^{−1} = α^{S}
β^{ℓ} = b ≠ 0 in ℜ

𝔄 einfach, Zentrum ℜ, Grad ℓ, Rang ℓ^{2}, max. Teilkörper L = 𝔎(α) Kurz 𝔄 = (L, S, b), zyklische Erzeugung. Abs. irred. Darstellung 𝔇 in L: A = ξ_{0} + ξ_{1}β + ⋯ + ξ_{ℓ−1}β^{ℓ−1}, ξ_{i} aus L

M_{A} = (\begin{matrix}ξ_{0} & ξ_{1} & & & ξ_{n−1} \\ bξ_{n−1}^{S} & ξ_{0}^{S} & ξ_{1}^{S} \\ & ... & ... & ... \\ & & ... & ... & ξ_{1}^{S^{n−2}} \\ bξ_{1}^{S^{n−1}} & & & bξ_{n−1}^{S^{n−1}} & ξ_{0}^{S^{n−1}} \end{matrix} )

𝔄 dann und nur dann volles Matrizensystem, wenn b Norm […] L; zerfällt

𝔄 dann und nur dann Schiefkörper, wenn erst b^{ℓ} Norm aus L; unzerlegt Zerfällungskörper für 𝔄 vom Grade ℓ = Teilkörper von […] vom Grade

ℓ = Darstellungskörper für 𝔇 vom Grade ℓ. Problem: Kennzeichnung durch invariante Bestimmungsstücke, speziell Identitätsproblem: Wann ist (L, S, b) = (L′, S′, b′) ? Bei festem L leicht lösbar:

β′ = ξβ^{k},  ξ ≠ 0 aus L, (k, ℓ) = 1
b′ = N(ξ)b^{k}

Relative Invariante: Normklasse

II. Übergang zu ℜ_{p}. p Primzahl, ℜ_{p} p-adischer Zahlkörper 𝔄_{p} Erweiterung auf ℜ_{p}, bleibt einfach mit ℜ_{p} als Zentrum

Entw a.) 𝔄_{p} zerfällt (in volles Matrizensystem)

oder b.) 𝔄_{p} bleibt unzerlegt (Schiefkörper))

a.) dann und nur dann, wenn b Norm aus L_{p}, insbes. wenn L_{p} d.h. p in L zerfällt

b.) dann und nur dann, wenn erst b^{ℓ} Norm aus L_{p}.

Im Falle b.) ist eine weitere, ausgezeichnete zyklische Erzeugung da:

𝔄_{p} = ℜ_{p}(ω, π) ω^{p^{ℓ}} = ω (primitiv)
πωπ^{−1} = ω^{p^{rp}}, (r_{p}, ℓ) = 1
π^{ℓ} = p

Arithmetik in 𝔄_{p}: Alle ganzen Elemente bilden Integritätsbereich mit nur einem Primideal ℘ = (π), ℘^{n} = p; Restklassenkörper durch ω erzeugt, endlich vom Grade ℓ. Einzige absolute Invariante: r_{p} mod ℓ; bei Transformation mit beliebigem Primelement π zu ℘ erfährt der Restklassenkörper mod ℘ den Automorphismus γ → γ^{p^{rp}}.

Im Falle a.) sei r_{p} ≡ 0 mod ℓ gesetzt.

Dann bilden die r_{p} absolutes Invariantensystem.

III. Deutung der Invarianten durch Normenrestsymbole.

Die Unterscheidung a.), b.) kann durch das Symbol beschrieben werden:

a.) (\frac{b, L}{p}) = 1, b.) (\frac{b, L}{p}) ≠ 1 (Normenrestsymbol)

Nun gibt es exakte Definition dieses Symbols als Element der Galoisschen Gruppe von L, also als Potenz von S:

(\frac{b, L}{p}) = S^{e_{p}}.

Bildungsvorschrift:

b_{0} ≡ b mod f_{p}, b_{0} ≡ 1 mod \frac{f}{f_{p}} f Führer von L

b_{0} = p^{k}q, (q, p) = 1

(\frac{b, L}{p}) = \frac{L}{q} = (\frac{L}{q_{1}}) ⋯ (\frac{L}{q_{n}}) q = q_{1} … q_{n}

(\frac{L}{q_{i}}) = Erz. d. Zerl. Gr. zu q_{i}, und zwar dieje- nige, die im Restklassenkörper mod 𝔮_{i} den Automorphismus γ → γ^{p} erzeugt.

Haupteigenschaft dieses Symbols ist eben die obige Alternative a.), b.) Es liegt nahe, Beziehung zwischen den r_{p} und e_{p} zu vermuten. Diese besteht:

e_{p} ≡ 0 für r_{p} ≡ 0 mod ℓ
e_{p} ≡ r_{p}^{−1} ∥ r_{p} ≢ 0 mod ℓ

Folglich bilden auch die e_{p}, und somit die (\frac{b,L}{p}) ein absolutes Invariantensystem. – Abhängigkeit:

∑_{p} e_{p} ≡ 0 mod ℓ,  ∏_{p} (\frac{b, L}{p}) = 1.

Deurings Beweis, speziell e_{p} ≡ 0 mod ℓ ↔ 𝔄 zerfällt (Hilbert-Furtw.) Beweis bisher leider nicht einfach. Für relative Invarianz leicht zu sehen.

NB. Deutung auch der r_{p} durch Normenrestsymbole möglich:

𝔚_{p} = ℜ_{p}(ω) S_{p} = (ω → ω^{p^{rp}})

(\frac{p, 𝔚_{p}}{p}) = S^{−r_{p}^{−1}}

IV. Vollständigkeit der Invarianten.

Sei

(\frac{b, L}{p}) ≡ (\frac{b′, L′}{p}), d.h. e_{p} ≡ e′_{p} mod ℓ

Dann auch

r_{p} ≡ r′_{p} mod ℓ.

Wegen der Einzigkeit der r_{p}-Invarianten also:

𝔄_{p} ≡ 𝔄′_{p}.

p der Sorte a.) und Sorte b.) sind insbesondere für 𝔄 und 𝔄′ dieselben.

p Sorte b.) Dann L_{p} Zerfällungskörper für 𝔄′_{p}, also 𝔄′_{p} × L_{p} = (𝔄′ × L)_{p} zerfällt über L_{p}

p Sorte a.) Dann ev. p in L zerlegt in mehrere 𝔭. Jedenfalls gilt dann stets

(𝔄′ × L)_{𝔭} zerfällt über L_{𝔭},

denn schon

𝔄′_{p} zerfällt über ℜ_{p}

Also

(𝔄′ × L)_{𝔭} zerfällt für alle 𝔭 aus L.

Wenn nun L′ ≠ L, ist 𝔄′×L ebenfalls zyklisch über L, erzeugt als (L′L, S′, b′)^{1}. Aus dem vollständigen Zerfallen folgt:

(\frac{b′, L′L}{𝔭}) ≡ 1.

Daraus aber nach dem Hilbert-Furtwänglerschen Satz:

b′ Norm aus L′L in L,

d.h.

𝔄′ × L zerfällt über L.

Also ist L Zerfällungskörper vom Grade ℓ für 𝔄′. Daher auch Teilkörper von 𝔄′. Für L′ = L ist das von vornherein klar.

Sei demgemäß 𝔄′ = (L, S, c) zyklisch aus L erzeugt. Dann nach Voraussetzung

S^{e′_{p}} ≡ (\frac{c, L}{p}) ≡ (\frac{b, L}{p}) ≡ S^{e_{p}},

1. undeutlich

also

(\frac{bc^{−1}, L}{p}) ≡ 1
bc^{−1} ≡ Norm aus L
𝔄′ ≡ 𝔄

Damit also 𝔄′ = 𝔄 ist, ist notwendig und hinreichend, daß die Invariantengleichheit (\frac{b′,L′}{p}) ≡ (\frac{b,L}{p}) gilt.

V. Verallgemeinerung auf zusammengesetzten Grad n und beliebigen algebraischen Grundkörper 𝔎 endlichen Grades.

Index m =Grad d. Div. Alg. 𝔅 i.d. Wedderburnschen Zerfällung 𝔄 = 𝔅×𝔐

Exponent m_{0} =frühester Exponent, für den b^{m_{0}} Norm aus L^{2}

Satz. m_{0} | m und enthält jeden Primteiler von m. Beweis. Zurückführung auf Index u. Exponent eines Faktorensyst. Nämlich für 𝔇 bzgl. L ist

c_{1,S^{μ},S^{μ+ν}} = \{ \begin{matrix}1 & für & 0 ≦ μ + ν < n \\ b & ∥ & μ + ν > n \end{matrix} \} 0 ≦ μ < n, 0 ≦ ν < n

Allgemein ist solches Faktorensystem dann und nur dann ∼ 1, wenn b Norm aus L. Denn

a.) ist c ∼ 1, so

c_{1,S^{μ},S^{μ+ν}} = \frac{ξ_{1,S^{μ}}ξ_{S^{μ},S^{μ+ν}}}{ξ_{1,S^{μ+ν}}} = \frac{ξ_{1,S^{μ}}ξ_{1,S^{ν}}^{S^{μ}}}{ξ_{1,S^{μ+ν}}} .

b = ∏_{μ=0}^{n−1} c_{1,S^{μ},S^{μ+1}} = N(ξ_{1,S})

b.) ist b = N(ξ) = ξ^{1+S+···+S^{n−1}}, so setze man

ξ_{1,S^{ν}} = ξ^{1+S+···+S^{ν−1}}, ξ_{S^{μ},S^{μ+ν}} = ξ_{1,S^{ν}}^{S^{μ}}

2. undeutlich

und hat dann

c_{1,S^{μ},S^{μ+ν}} = \frac{ξ_{1,S^{μ}}ξ_{S^{μ},S^{μ+ν}}}{ξ_{1,S^{μ+ν}}} ∼ 1

Nun entspricht dem Faktorensystem c^{k} die Zahl b^{k}. Das beweist alles.

Anstelle der Unterscheidung a.) b.) tritt jetzt für jedes einzelne 𝔭 eine Unterscheidung in unsere Typen:

𝔄_{𝔭} einfach über 𝔎_{𝔭} als Zentrum 𝔄_{𝔭} = 𝔅_{𝔭} × 𝔐_{𝔭}

Index m_{𝔭} unterscheidet die Typen

Satz. Exponent m_{0𝔭} = m_{𝔭}. Typen also auch durch die Ordnung m_{0𝔭} von (\frac{b,L}{𝔭}) unterschieden. Diese daher absolut invariant.

Vermutung. Überdies

(\frac{b, L}{𝔭}) = S^{e_{𝔭}}

selbst invariant, und wieder

e_{𝔭} ≡ r_{𝔭}^{−1} mod m_{𝔭}

Beweis deshalb vorläufig nicht gelungen, weil Theorie der expliziten Formeln für die Normenrestsymbole nicht genügend bekannt. Auch macht die Adjunktion der m_{𝔭}-ten Einheitswurzeln hier Schwierigkeiten, da der Grad ihres Körpers nicht notwendig prim zu m_{𝔭}, wie für Primzahlgrad

Vollständigkeit läßt sich ebenso folgern, allerdings unter Benutzung des Analogons Hilbert-Furtwänglerschen Satzes, das bisher für zusammengesetzten Grad nicht bewiesen. Insbesondere würde sich mit diesem Satze auch ergeben:

Index m = Exponent m_{0}.

\underline{Halle 1931} 74

1.9 Halle 1931

Der Wittsche Beweis des Wedderburnschen Satzes über endliche Schiefkörper.

Vortrag Halle, 1. Juli 1931.

S Schiefkörper, d.h. Körper abgesehen ev. vom komm. Ges. d. Mult.

Wedderburnscher Satz. Ist 𝔖 endlich, so ist 𝔖 kommutativ, d.h. Körper.

Beweise von Wedderburn, Artin, R. Brauer, E. Noether; kompliziert oder kunstvoll. Neuer, ganz elementarer Beweis von Witt (Herglotz-Schüler, Göttingen); benutzt allgemein die Idee, mit der Wedderburn gewisse Ausnahmefälle erledigt.

1.) Der Beweis beruht auf der Betrachtung gewisser Teilschiefkörper von 𝔖:

a ≠ 0 aus 𝔖 : 𝔑_{a} = Gesamtheit der mit a vertauschbaren Elemente aus S = Normalisator von a in 𝔖, ℨ = Gesamtheit der mit allen a ≠ 0 (und natürlich auch mit 0) vertauschbaren Elemente aus 𝔖 = Durchschnitt aller 𝔑_{a} = Zentrum von 𝔖.

Hilfssatz 1. Ist 𝔗 Teilschiefkörper von 𝔖, so ist die Elementzahl von 𝔖 eine Potenz der Elementzahl von 𝔗. Beweis. 𝔖 besitzt eine Basisdarstellung

a = a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{r}X_{r},

wo a_{1}, …, a_{r} ein festes Maximalsystem in bezug auf 𝔗 rechtsseitig lin. unabh. Elemente aus 𝔖 ist, während X_{1}, …, X_{r} unabhängig von einander alle Elemente aus 𝔗 durchlaufen. Für die Elementzahlen folgt daraus:

s = t^{r}.

Anwendungen (Lateinische Buchstaben bezeichnen stets die zu den deutschen gehörigen El. Zahlen):

x = z^{r}
n_{a} = z^{r_{a}}  s = (z^{r_{a}})^{q_{a}}, also r_{a} | r.

2.) 𝔖^{∗}, 𝔑_{a}^{∗}, ℨ^{∗} seien die Gruppen, die durch Auslassung der 0 entstehen. Elementzahlen

s_{1}, n_{a} − 1, z − 1.

also

z^{r} − 1, z^{r_{a}} − 1, z − 1.
𝔑_{a}^{∗} = Normalisator von a in 𝔖^{∗}
ℨ^{∗} = Zentrum von 𝔖^{∗}

Der Beweis beruht nun auf der Zerlegung von 𝔖^{∗} in Klassen konjugierter Elemente:

𝔖^{∗} = ∑_{a} ℭ^{a}

wo a im folgenden ein festes Repräsentantensystem dieser Klassen durchläuft.

Hilfssatz 2. Die Elementzahl c_{a} von ℭ_{a} ist gleich dem Index des Normalisators 𝔑_{a}^{∗} in 𝔖^{∗}.

ℭ_{a} = {x^{−1}ax} x läuft durch 𝔖^{∗}
c_{a} = Anz. der versch. unter den x^{−1}ax

Nun

y^{−1}ay = x^{−1}ax ↔ (yx^{−1})^{−1}ayx^{−1} = a
↔ yx^{−1} in 𝔑_{a}^{∗} ↔ y in 𝔑_{a}^{∗}X

Ist also

𝔖^{∗} = ∑_{i} 𝔑_{a}^{∗}x_{i}

die Zerlegung in Restklassen von 𝔖^{∗} nach 𝔑_{a}^{∗}, so ist c_{a} die Anzahl dieser Restklassen:

c_{a} = Ind 𝔑_{a}^{∗} in 𝔖^{∗} = \frac{Ord 𝔖^{∗}}{Ord 𝔑_{a}^{∗}} = \frac{s − 1}{n_{a} − 1} = \frac{z^{r} − 1}{z^{r_{a}} − 1}.

3.) Die Elementebilanz von 𝔖^{∗} liefert nun:

s − 1 = ∑_{a} c_{a}

d.h.

z^{r} − 1 = ∑_{a} \frac{z^{r} − 1}{z^{r_{a}} − 1}.

Hier trennen wir diejenigen Summanden ab, für die r_{a} = r ist:

r_{a} = r ↔ 𝔑_{a}^{∗} = 𝔖^{∗} ↔ 𝔑_{a} = 𝔖 ↔ a in ℨ^{∗}.

Also

z^{r} − 1 = z − 1 + \begin{matrix}∑ & ′ \\ a \end{matrix} \frac{z^{r} − 1}{z^{r_{a}} − 1},

wo in ^{∑′} alle r_{a} Teiler von r sind, die kleiner als r sind.

4.) Situation ganz analog zu Existenzbeweis des Zentrums > E einer p-Gruppe 𝔊. Dort liefert Klassenaufzählung:

g = z + \begin{matrix}∑ & ′ \\ a \end{matrix} c_{a},

und es resultierte aus z = 1 durch Betrachtung mod p ein Widerspruch. Es handelt sich jetzt darum, einen geeigneten Teiler zu finden, der für

r > 1 zum Widerspruch führt, also etwa der dann in z^{r} − 1 und den \frac{z^{r} − 1}{z^{r_{a}} − 1} aufgeht, aber nicht in z − 1.

Ein solcher Teiler ist nun das r-te irreduzible Kreisteilungspolynom:

f_{r}(z) = ∏_{(k,r)=1} (z − e^{\frac{2πik}{r}} )

Bekanntlich ist es ein ganz-rationalzahliges Polynom.

Ferner ist

\frac{z^{r}−1}{f_{r}(z)}  ganzzahliges Polynom für max z, also ganze Zahl für unser z
\frac{z^{r}−1}{(z^{ra} −1)f_{r}(z)}  ∥  ∥  ∥  ∥  ∥  ∥  ∥  ∥

letzteres weil r_{a} | r und r_{a} < r.

Daher folgt

f_{r}(z) | z − 1.

Es ist aber jeder Faktor |z − e^{\frac{2πik}{r}} | ≧ z − 1:

also |f_{r}(z)| ≧ z − 1, und = z − 1 nur für r = 1.

[figure: 1; z]

\underline{Zürich 1932} 78

1.10 Zürich 1932

Vortrag Zürich September 1932 (Kiel, November 1932)

Grundbegriffe:

halbeinfache Algebra A = Algebra ohne nilpotente Ideale außer 0

(von Null versch. Basisdet.)

einfache Algebra A = Algebra ohne Ideale außer 0, A
Divisionsalgebra A = Algebra ohne Nullteiler außer 0

(Schiefkörper endl. Ranges)

Wedderburnsche Struktursätze:

I. Jede halbeinfache Algebra ist (eindeutig bis auf die Reihenfolge) als direkte Summe einfacher Algebren darstellbar (und umgekehrt).

II. Jede einfache Algebra ist (eindeutig bis auf innere Automorphismen) als volles Matrizensystem über einer Divisionsalgebra darstellbar (und umgekehrt).

Hierdurch Strukturprobleme auf Untersuchung der Divisionsalgebren zurückgeführt.

Lösung für den Fall eines algebraischen Grundkörpers Ω im letzten Jahr gelungen; ergibt sich durch Kombination von

a.) algebraischer Theorie von R. Brauer und E. Noether (fußend auf Dickson, Speiser, Schur),

b.) arithmetischer Theorie von Hasse (fußend auf Hensel, Speiser).

a.) Einiges aus der algebraischen Theorie.

Da Zentrum algebraisch von endl. Grad über Grundkörper Ω, ohne Einschränkung Ω selbst Zentrum; normale Algebra über Ω.

Nach zweitem Struktursatz gehören Divisionsalgebren D und Matrixalgebren A = D_{r} darüber eng zusammen; Klasse 𝔄, charakterisiert durch D. Grad m von D heißt Index von 𝔄; Grad von A ist dann n = mr. Klassen 𝔄 bilden bei direkter Multiplikation Gruppe 𝔊 (R. Brauer)

Algebraischer Hauptsatz (R. Brauer, E. Noether):

Zerfällungskörper K von 𝔄 vom Grad n = Teilkörper max. Grades n
(Erweiterung 𝔄_{K} = Hauptklasse K)  von A = D_{r} (n = rm)

(Darstellung als verschr. Prod. zu K, insbes. im galoisschen Fall)

Speziell, wenn K zyklischer Körper Z, ist A als zyklische Algebra darstellbar:

\{ \begin{matrix}A = Z + uZ + ⋯ + u^{n−1}Z \\ zu = uz^{S} (z bel. in Z, S erz. Aut. von Z) \\ u^{n} = α in Ω. \end{matrix} \} , kurz A = (α, Z, S).

Diesen Typus zuerst von Dickson eingeführt und in seiner Bedeutung für Strukturproblem erkannt.

b.) Einiges aus der arithmetischen Theorie.

Durch Studium von D an den einzelnen Primstellen 𝔭 von Ω ist jeder Klasse 𝔄 in eindeutiger invariant definierter Weise ein System von Restklassen

(\frac{𝔄}{𝔭}) ≡ ϱ_{𝔭} ≡ \frac{μ_{𝔭}}{m_{𝔭}} mod 1

zugeordnet. Dabei

𝔄_{1} = 𝔄_{2} ↔ (\frac{𝔄_{1}}{𝔭}) ≡ (\frac{𝔄_{2}}{𝔭}) mod 1 für alle 𝔭 (Hasse-Brauer-Noether || Albert) (invariante Charakterisierung der Klasse 𝔄)

(\frac{𝔄_{1}𝔄_{2}}{𝔭}) ≡ (\frac{𝔄_{1}}{𝔭}) + (\frac{𝔄_{2}}{𝔭}) mod 1 (Gruppe 𝔊)

Summenrelation  ∑_{𝔭}(\frac{𝔄}{𝔭}) ≡ 0 mod 1

Umgekehrt: Jedes Zahlsystem ϱ_{𝔭} mod 1 (mit naturgem. Einschr. bei den unendlichen 𝔭) mit ∑_{𝔭}ϱ_{𝔭} ≡ 0 mod 1 tritt als Invariantensystem einer Klasse

𝔄 auf; damit Struktur der abelschen Gruppe 𝔊 vollständig erkannt (Untergruppe eines direkten Produkts).

Arithmetischer Hauptsatz (Hasse)

Kriterium für Zerfällungskörper: K alg. Körper vom Grad n, Zerlegung nach 𝔭:

𝔭 = 𝔓_{1}^{e_{1}} ⋯ 𝔓_{r}^{e_{r}}, N(𝔓_{i}) = 𝔭^{f_{i}}, e_{i}f_{i} = n_{𝔓_{i}},
(𝔓_{i} Grad von K = Grad von K_{𝔓_{i}})

∑_{i=1}^{r} n_{𝔓_{i}} = n.

K Zerfällungskörper von 𝔄 ↔ m_{𝔭} | n_{𝔓_{i}} für alle 𝔭, i.

D.h. die notwendigen Teilbarkeitsbedingungen an den sämtlichen Primstellen 𝔭 sind zusammengefaßt auch hinreichend; Zerfällungskörper im Großen dann und nur dann, wenn Zerfällungskörper überall im Kleinen.

c.) Anwendungen.

1.) Lösung des Strukturproblems der Divisionsalgebren.

Es existieren zyklische Zerfällungskörper Z für jeden möglichen Grad n = mr (Hasse, Grunwald), insbesondere für m selbst als Grad. Demgemäß tritt den beiden Wedderburnschen Struktursätzen zur Seite:

III. Jede Divisionsalgebra über einem algebraischen Zahlkörper ist als zyklische Algebra (über ihrem Zentrum) darstellbar. – (Zyklisch im Großen, weil zyklisch überall im Kleinen)

Für die Fälle n = 2, 3, 4 wurde das bereits von Dickson, Wedderburn, Albert bewiesen.

Die Darstellung ist nicht eindeutig, und es gilt auch nicht die Umkehrung. Aber in beiden Richtungen gibt obige Invariantentheorie erschöpfende Auskunft.

IIIa. Jede zyklische Algebra A = (α, Z, S) ist einfach und normal über Ω. Ihren Index m gibt die früheste Potenz von α, die Norm aus Z ist. Insbesondere ist also A Divisionsalgebra dann und nur dann, wenn zuerst α^{n} Norm aus Z ist.

IIIb. Zwei zyklische Algebren A = (α, Z, S) und A′ = (α′, Z′, S′) sind dann und nur dann identisch, wenn ihre Invarianten

(\frac{A}{𝔭}) ≡ (\frac{A′}{𝔭}) mod 1

für alle 𝔭 sind.

Dabei berechnen sich die Invarianten (\frac{A}{𝔭}) aus dem Normenrestsymbol (\frac{α,Z}{𝔭}) nach der Regel:

(\frac{A}{𝔭}) ≡ (\frac{ν_{𝔭}}{n}) mod 1, wenn (\frac{α, Z}{𝔭}) = S^{ν_{𝔭}}

Diese Regel kann umgekehrt als Definition des Normenrestsymbols auf lokale Art benutzt werden (E. Noether, Chevalley, Hasse). Sie läßt den […] Satz der Klassenkp. i. Kl. unmittelbar erkennen.

2.) Aus der obigen Summenrelation ergibt sich bei Anwendung auf zyklische Algebren die Produktrelation für das Normenrestsymbol

∏_{𝔭}(\frac{α, Z}{𝔭}) = 1,

d.h. das Hilbertsche Reziprozitätsgesetz für zyklische Körper Z. Daraus erschließt man dann leicht auch das Artinsche Reziprozitätsgesetz für Z (insbes. d. […] Satz der Klassenkp Th. i. Gr.)

Voraussetzung aus der Klassenkörpertheorie dabei der Umkehrsatz im zykl. Fall, d.h.

a.) die analytische Theorie, h ≦ n;

b.) die arithmetische Theorie, h ≧ n, und zwar bestehend aus

α.) Dem Nachweis der entsprechenden Tatsache im Kleinen (für die einzelnen Primstellen 𝔭). – Das geht bereits sehr einfach hyperkomplex (Chevalley, Hasse); siehe oben.

β.) Dem Nachweis einer analogen Tatsache für das Komplement von endl. vielen Primstellen […] […] […] – das muß noch hyperkomplex durchdacht^{1} werden.

3.) Aus dem Kriterium für Zerfällungskörper folgt leicht die Antwort auf eine berühmte I. Schursche Frage: Die absolut-irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe der Ordnung n sind stets im Körper der n^{h}-ten Einheitswurzeln für hinreichend hohes h möglich. (Hasse)

Ob man schon mit den n-ten Einheitswurzeln auskommt, ist noch unbekannt. Man muß dazu die Diskriminanten der einfachen Bestandteile des Gruppenrings genauer untersuchen.

1. undeutlich

4.) Das Kriterium für Zerfällungskörper zeigt einen einfachen Zusammenhang der Theorie der Algebren mit dem Zerlegungsgesetz der allgemeinen Zahlkörper. Schon heute steht fest, daß man hier an der Quelle der lange erstrebten Klassenkörpertheorie der allgem. galoisschen Zahlkörper ist. So konnte ich gestützt auf das Kriterium bereits den Eindeutigkeitssatz dieser Klassenkörpertheorie beweisen:

Ein galoisscher Körper K ist durch die von ihm zerfällte Untergruppe 𝔊_{K} der vollen Algebrenklassengruppe eindeutig bestimmt.

Allgemeiner gilt der Anordnungssatz:

K ≦ K′ ↔ 𝔊_{K} ≦ 𝔊_{K′}.

Allerdings geht aus den Untersuchungen von Artin, E. Noether und mir hervor, daß zum vollen Aufbau dieser Klassenkörpertheorie, insbesondere zum Aussprechen des Existenzsatzes, Isomorphiesatzes und Zerlegungsgesetzes, noch ein wesentlicher Gedanke fehlt.

\underline{Kiel, Hamburg 1932} 83

1.11 Kiel, Hamburg 1932

Über das asymptotische Verhalten von Kongruenzlösungsanzahlen mod p.

Vortrag \{ \begin{matrix}Kiel, \\ Hamburg \end{matrix} \} November 1932.

0.) Zur Einübung der Fragestellungen und Begriffe beginne ich mit einem ganz einfachen Beispiel, nämlich der Fermatschen Kongruenz

x^{ℓ} + y^{ℓ} + z^{ℓ} ≡ 0.

Im folgenden sind alle Kongruenzen stillschweigend nach einem Primzahlmodul p verstanden, der als Grundvariable zu betrachten ist. Es kommt auf p → ∞ an; daher dürfen vorkommende Konstanten o. B. d. A. ≢ 0 angenommen werden. In unserem Falle ist es ferner keine Einschränkung, wenn man ℓ | p − 1 annimmt; denn allgemein ist die Lösungsanzahl obiger Kongruenz dieselbe wie für

x_{0}^{ℓ_{0}} + y_{0}^{ℓ_{0}} + z_{0}^{ℓ_{0}} ≡ 0 mit ℓ_{0} = (ℓ, p − 1),

weil dann x_{0}^{ℓ_{0}} ≡ x^{ℓ} eindeutig nach x auflösbar ist.

Schur hat gezeigt, daß jene Kongruenz für hinreichend hohes p stets (mit xyz ≢ 0) lösbar ist und auch eine untere Grenze für p angegeben, nämlich

p > e · ℓ! + 1.

Aber sowohl der Schursche Beweis (kombinatorisch) als auch seine Grenze für p sind lange nicht so gut, wie der folgende sehr einfache und verallgemeinerungsfähige Beweis von Mordell und Davenport (2 Varianten derselben Methode):

Natürlich interessiert man sich nur für nicht–identische Lösungen, kann also sogleich die inhomogene Kongruenz

x^{ℓ} + y^{ℓ} + 1 ≡ 0

zugrundelegen. Die fragliche Methode ist aber ebenso anwendbar auf den etwas allgemeineren Fall

ax^{m} + by^{n} + c ≡ 0, wo o. B. d. A. m, n | p − 1 und a, b, c ≢ 0.

Sei N die Lösungszahl dieser Kongruenz. Dann hat man:

N = \frac{1}{p} ∑_{x,y,t} e[t(ax^{m} + by^{n} + c)].

Dabei soll, wie stets im folgenden, die Summation immer über ein volles Restsystem mod p erstreckt werden, und es bedeutet allgemein e(u) = e^{\frac{2πi}{p} u}.

Man findet heraus:

N = \frac{1}{p} ∑_{t} ∑_{x} e(tax^{m}) · ∑_{y} e(tby^{n}) · e(tc) = p + \frac{1}{p} \begin{matrix}∑ & ′ \\ t \end{matrix} · · · · · ·

Nun ist

∑_{x} e(tax^{m}) = ∑_{ξ} ∑_{χ_{m}} χ_{m}(ξ)e(taξ)

wo χ_{m} die m Charaktere nach der Gruppe der m–ten Potenzreste mod p durchläuft; denn dann ist ∑_{χ_{m}} χ_{m}(ξ) die

Anzahl der Lösungen von ξ ≡ x^{m}.

Also weiter

∑_{x} e(tax^{m}) = ∑_{χ_{m}} \overline{χ}_{m}(ta) ∑_{ξ} χ_{m}(ξ)e(ξ) = ∑_{χ_{m}} \overline{χ}_{m}(ta)G(χ_{m}),

wo G(χ_{m}) = ∑_{ξ} χ_{m}(ξ)e(ξ) die zu χ_{m} gehörige Gausssche Summe ist, Betrag

\sqrt{p}. Daher

N = p + \frac{1}{p} \begin{matrix}∑ & ′ \\ t \end{matrix} ∑_{χ_{m},χ_{n}} \overline{χ}_{m}(a)\overline{χ}_{n}(b)G(χ_{m})G(χ_{n})\overline{χ}_{m}\overline{χ}_{n}(t)e(tc)

= p + \frac{1}{p} ∑_{χ_{m},χ_{n}} \overline{χ}_{m}(a)\overline{χ}_{n}(b)χ_{m}χ_{n}(c)G(χ_{m})G(χ_{n})G(\overline{χ}_{m}\overline{χ}_{n})

und somit

|N − p| < \sqrt{p} · mn, oder N = p + 𝒪(\sqrt{p}),

und also

N > 0, wenn p > m^{2}n^{2}.

Im Falle der Fermatschen Kongruenz interessiert man sich für Lösungen mit xy ≢ 0. Solche mit xy ≡ 0 gibt es höchstens 2ℓ. Um dann N > 2ℓ zu erreichen, genügt es p > (ℓ^{2} + 1)^{2} zu nehmen. Das ist viel besser, als die Schursche Schranke e · ℓ! + 1.

Mit analogen, komplizierteren Methoden haben Dickson und Hurwitz eine noch etwas bessere Schranke gefunden; jedoch ist die Verbesserung nicht wesentlich, das Hauptglied ist nach wie vor ℓ^{4}, und uns interessiert das hier nicht weiter. Wir vermerken nur noch folgendes:

Reduziert man die Restabschätzung auf ihren Mittelwert, so schreibt sich das allgemeine Resultat so:

\frac{N − p}{p} = 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ) oder \frac{1}{p}N = 1 + 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ).

Wir werden sehen, daß dies eine bestmögliche Restabschätzung im Sinne der späteren Überlegungen ist.

1.) Wir beginnen jetzt systematisch mit der Untersuchung von Kongruenzlösungsanzahlen mod p, indem wir zunächst die allgemeine Kongruenz in einer Variablen x behandeln. Es handelt sich also um die Lösungsanzahl N_{a} von

f_{m}(x) ≡ a,

wo mit f_{m}(x) irgendein Polynom höchstens m–ten Grades bezeichnet sei. Natürlich ist N_{a} durch den Grad m beschränkt (außer für m = 0). Wenn man will kann man f(x) ohne absolutes Glied annehmen, was ja durch Wahl von a kompensiert werden kann. Man weiß auch noch trivialerweise

∑_{a} N_{a} = p.

Wir führen die Verteilungsfunktion

S(f_{m}) = \frac{1}{p} ∑_{x} e(f_{m}(x)) = \frac{1}{p} ∑_{a}N_{a}e(a)

(p → ∞, Konstanten prim zu p)

( \begin{matrix}Bedeutung von e(u) \\ Summation \end{matrix} )

ein. Sie zeigt durch ihr Kleinwerden eine gleichmäßige Verteilung der Funktion N_{a} auf das Restsystem a an:

Völlig gleichverteilter Fall: S(f_{1}) = 0, alle N_{a} = 1, (f_{1}(x) = a_{0} + a_{1}x mit a_{1} ≢ 0). Einer ungleichmäßigen Verteilung entspricht ein großer Wert der Verteilungsfunktion:

Extremer Fall: |S(f_{0})| = 1, alle N_{a} = 0 bis auf N(a_{0}) = p. Allgemein ist jedenfalls

|S(f_{m})| ≦ 1.

Die Funktion S(f_{m}) ist als Mittel aus allen p–ten Einheitswurzeln e(a) mit den Gewichten N_{a} anzusehen.

Nächsthöherer Fall:

S(f_{2}) = \frac{1}{p} ∑_{x} e(a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2}), (a_{2} ≢ 0)

Dies reduziert sich sofort auf die Gausssche Summe \frac{1}{p} ∑_{y} e(a_{2}y^{2}), und man

weiß also:

|S(f_{2})| = p^{− \frac{1}{2}} .

Auch in gewissen höheren Fällen läßt sich S(f_{m}) noch auf Gausssche Summen zurückführen, nämlich z. B. für f_{m}(x) = a_{0} +a_{m}x^{m}, und man findet dann jedenfalls

S(f_{m}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ), (Bedeutung von 𝒪)

wenn auch kaum exakte Formel mehr für den Betrag.

Hiernach liegt es nahe zu vermuten, daß allgemein (von dem extremen Fall m = 0 fortan abgesehen) gilt:

S(f_{m}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ).

Diese Vermutung ist bis heute noch nicht bestätigt.

Man kann jedoch über die Trivialität |S(f_{m})| ≦ 1 hinausgehende Aussagen gewinnen. Der erste, der das allgemein anfaßte, war H. Weyl mit seiner schönen Gleichverteilungsmethode, die in iterierter Potenzierung des absoluten Betrages und Anwendung der Schwarzschen Ungleichung besteht. Weyls Methode liefert:

S(f_{m}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2^{m−1}} +ε})

(Es sei allgemein bemerkt: Alle unsere Fehlerglieder sind absolut, d. h. auf den mittleren Wert 1 der zu untersuchenden Anzahlfunktion — hier N_{a} — normiert; sie sind stets von der Form 𝒪(p^{−r}) mit positivem r — r = 0 wäre trivial — und je größer r ist, umso besser die Abschätzung; in nicht–linearen — völlig gleichverteilten — Fällen kommt man nie \frac{1}{2} hinaus, während man \frac{1}{2} nur selten erreicht; es ist leicht zu zeigen, daß \frac{1}{2} oder \frac{1}{2} + ε der bestmögliche Fehlerexponent in allen unseren Fällen ist.)

Weyls Methode ist aber für unsere Zwecke viel zu grob. Sie berücksichtigt gar nicht die arithmetische Eigenart unseres Problems, da sie auf beliebige reellzahlige Polynome f_{m}(x) anwendbar ist.

Mordell hat nun eine auf ähnlichen Gedanken aufgebaute Methode entwickelt, die für dieses und höhere Probleme viel bessere Resultate gibt, als die Weylsche Methode. Sie liefert hier:

S(f_{m}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{m}}).

Ich will die Methode an dem vorliegenden Problem genau auseinandersetzen, da sie mir von allgemeiner Bedeutung zu sein scheint. Sie beginnt wie die Weylsche Methode:

|S(f_{m})|^{2} = \frac{1}{p^{2}} ∑_{x,y} e(f_{m}(x) − f_{m}(y))

Während aber Weyl jetzt x − y = h als neue Summationsvariable einführt und die Schwarzsche Ungleichung anwendet, geht Mordell direkt zu höheren Potenzen des Betrages über:

|S(f_{m})|^{2k} = \frac{1}{p^{2k}} ∑_{x_{k},y_{k}} e[(f_{m}(x_{1}) − f_{m}(y_{1})) + ⋯ + (f_{m}(x_{k}) − f_{m}(y_{k}))],

und summiert nunmehr über alle betrachteten Polynome f_{m}. Er setzt dabei die f_{m} bereits von ihren absoluten Gliedern befreit voraus, was auf den Betrag von S(f_{m}) nichts ausmacht. Dann gibt es p^{m} verschiedene Polynome f_{m} (mod p gerechnet). Man erhält so

∑_{f_{m}} |S(f_{m})|^{2k} = \frac{1}{p^{2k}} ∑_{X_{k},Y_{k}} ∑_{a_{1},...,a_{m}} e[a_{1}(X_{k} − Y_{k}) + ⋯ + a_{m}(X_{k}^{m} − Y_{k}^{m})].

Dabei ist zur Abkürzung gesetzt: X_{k}^{μ} = x_{1}^{μ} + ⋯ + x_{k}^{μ}. Die ∑_{a_{1},...,a_{m}} zerspaltet

sich in ein Produkt von Summen des Typus ∑_{a_{μ}} e(a_{μ}(X_{k}^{μ} − Y_{k}^{μ})), und diese sind p oder 0, je nachdem X_{k}^{μ} ≡ Y_{k}^{μ} oder nicht. Also:

∑_{f_{m}} |S(f_{m})|^{2k} = \frac{1}{p^{2k−m}} N ( \begin{matrix}X_{k} ≡ Y_{k} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ X_{k}^{m} ≡ Y_{k}^{m} \end{matrix} ) .

Für k = 1 folgt N = p, also ∑_{f_{m}} |S|^{2} = p^{m−1}. Von den p^{m} − 1 Summanden für
f_{m} ≠ 0 muß also mindestens einer ≧ \frac{p^{m−1}}{p^{m}−1} = 𝒪(p^{−1}) sein, d. h. mindestens
ein |S| = 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} )

Als bestgeeigneter Wert für k erweist sich hier k = m. Dann kann man nämlich die Lösungsanzahl unseres Kongruenzensystems sehr genau abschätzen. Das System fordert ja dann das Übereinstimmen der ersten m Potenzsummen der x_{k} und y_{k}, also nach den Newtonschen Formeln (p > m) auch ihrer elementarsymmetrischen Funktionen. Bei beliebig gegebenen y_{k} sind also die x_{k} dann bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. Man erhält somit höchstens m!p^{m} Lösungen. Somit gilt:

(1 ≦) ∑_{f_{m}} |S(f_{m})|^{2m} ≦ m! = 𝒪(1).

Nun kommt der Hauptgedanke. Die Gesamtheit der Polynome f_{m} besitzt Substitutionen in sich, erzeugt durch ganze lineare Substitutionen der Variablen x (immer unter Auslassung des absoluten Gliedes), und zwar mod p gerechnet p(p − 1) solche. Dabei ändert sich jeweils der Betrag von S(f_{m}) nicht. Daß eine solche Substitution ein Polynom f_{m} in sich überführt, kann vorkommen; ist aber x′ = αx + β eine solche Substitution, so legt der höchste Koeffizient α^{m} ≡ 1, also α höchstens m–deutig fest und der zweite dann β eindeutig, sodaß höchstens m solche Substitutionen für jedes f_{m} existieren, jedenfalls für die nichtlinearen f_{m}. Die linearen lassen p Substitutionen zu, das Nullpolynom alle p(p − 1). Läßt man die letzteren aus der Summe fort und summiert im übrigen nur über nicht–äquivalente f_{m} — Bezeichnung ∑∗ — , so erhält man eine Abschätzung

\frac{p(p − 1)}{m} \begin{matrix}∑ & ∗ \\ f_{m} \end{matrix} |S(f_{m})|^{2m} = 𝒪(1)

also sicherlich für nicht–lineare f_{m}

|S(f_{m})|^{2m} = 𝒪(p^{−2}).

Daraus folgt

S(f_{m}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{m}}), w. z. b. w.

Die Mordellsche Methode gibt in ihrer ersten Hälfte eine genaue Formel für den Mittelwert:

\frac{1}{p^{m}} ∑_{f_{m}} |S(f_{m})|^{2k} = \frac{1}{p^{2k}} N ( \begin{matrix}X_{k} ≡ Y_{k} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ X_{k}^{m} ≡ Y_{k}^{m} \end{matrix} )

bei beliebigem k. Nimmt man an, daß alle S(f_{m}) von derselben genauen Größenordnung sind, so muß dieses die des Mittelwerts sein, d. h. (k = m):

|S(f_{m})|^{2m} = \frac{1}{p[…]} 𝒪(p^{m}) = 𝒪(p^{m})

woraus

S(f_{m}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} )

folgen würde. Die Schwierigkeit des Problems liegt aber gerade darin, daß man nicht genug Automorphismen zur Verfügung hat. In f_{m} stecken p^{m} Parameter, aber nur 𝒪(p^{2}) können durch Automorphismen eliminiert werden, es bleiben also 𝒪(p^{m−2}) unabhängige Parameter. In allen ähnlichen Problemen erhält man die bestmögliche Abschätzung 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ) nur dann, wenn man alle Parameter durch Automorphismen entfernen kann.

Man könnte im Anschluß an die Mordellsche Methode darauf kommen, anstelle der Elimination der Parameter bei festem, möglichst günstig gewähltem k vielmehr durch k → ∞ das größte Glied in der Summe links herauszuholen und abzuschätzen (Bernoullische Näherungsmethode!). Dazu müßte man die Lösungsanzahl des Kongruenzensystems

\begin{matrix}X_{k} ≡ Y_{k} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ X_{k}^{m} ≡ Y_{k}^{m} \end{matrix}

in 2k Variablen x_{k}, y_{k} sehr genau abschätzen. Der Hauptgrund, weswegen der ganze Gedanke auf Schwierigkeiten stößt, liegt zunächst darin, daß in der Summe links das Nullpolynom mit vorkommt und sicherlich das größte Glied liefert: S(0) = 1. Ihm entspricht rechts das Hauptglied der Lösungsanzahl, nämlich p^{2k−m} entsprechend der Anzahl 2k der Unbekannten und m der Kongruenzen. Man hat also unter Auslassung dieser Glieder:

\begin{matrix}∑ & ′ \\ f_{m} \end{matrix} |S(f_{m})|^{2k} = \frac{1}{p^{2k}} (N − p^{2k−m}) ,

und es kommt daher auf die Restabschätzung unserer Kongruenzlösungszahl an. Die Theorie der Kongruenz f_{m}(x) ≡ a mit nur einer Unbekannten x aber Parametern wird durch die Mordellsche Methode zurückgeführt auf die Theorie des Kongruenzensystems X_{k} ≡ Y_{k}, …, X_{k}^{m} ≡ Y_{k}^{m} mit 2k Unbekannten x_{k}, y_{k} aber ohne Parameter, (und umgekehrt!).

Wüßte man für dessen Lösungsanzahl eine Abschätzung:

\frac{1}{p^{2k−m}} (N − p^{2k−m}) = 𝒪(p^{−k+r(m)}),

wo r(m) nicht von k abhängt, so folgte auch:

|S(f_{m})|^{2k} = 𝒪(p^{−k+r(m)})

und somit

S(f_{m}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2} + \frac{r(m)}{2k}})

für jedes k, d. h.

S(f_{m}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2} +ε}).

Aber die Behandlung des Kongruenzensystems ist sehr schwierig, und bis jetzt kommt man so nicht weiter.

Es gibt einige Fälle [von den parameterlosen Fällen (Gausssche Summen) abgesehen], wo man über die Mordellsche Abschätzung hinauskommt, nämlich zunächst den Fall m = 3. In diesem hat Davenport allgemein gezeigt, daß gilt:

S(f_{3}) = 𝒪(p^{− \frac{3}{8}} ),

also besser als Mordells 𝒪(p^{− \frac{1}{3}} ), aber noch nicht 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ). Davenports Methode ist sehr speziell, aber sie läßt sich unserem Grundgedanken mit den Automorphismen unterordnen; er macht von der speziellen Tatsache Gebrauch, daß sich die kubische Gleichung durch Wurzelzeichen auflösen läßt, und benutzt insbesondere gewisse quadratische Automorphismen zur Zurückführung auf Gausssche Summen, entsprechend der bei der Auflösung auftretenden Quadratwurzel. —

Ferner noch Davenport allgemein: S(f_{m}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{m_{0}}} ), wo m_{0} Zahl einer der Formen 2^{ν}, 3 · 2^{ν} unter m inkl. m^{1}

Ferner hat Mordell noch die bessere Abschätzung

S(f_{m}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2r}})

bewiesen für spezielle Polynome f_{m}, nämlich solche, die genau r nichtkonstante Glieder enthalten. Auch dies ist manchmal besser als 𝒪(p^{− \frac{1}{m}}), nämlich wenn wirklich Glieder fehlen. Die Methode ist dieselbe, nur daß man hier nur die p−1 Automorphismen x′ ≡ αx zur Verfügung hat, die die vorausgesetzte Struktur von f_{m} invariant lassen. Daher nur \frac{1}{2r} statt des früheren \frac{1}{m}.

Dies Mordellsche Resultat gilt auch wenn die Glieder negative Exponenten haben. Überhaupt ist ja unsere Fragestellung naturgemäß auch auf beliebige rationale Funktion R(x) statt der Polynome f_{m}(x) anwendbar:

S(R) = \frac{1}{p} \begin{matrix}∑ & ′ \\ x \end{matrix} e(R(x)),

wo jetzt nur die Nullstellen des reduzierten Nenners von f(x) von der Summation auszuschließen sind und die Division natürlich mod p zu verstehen ist. Hier hat man jetzt zwar 𝒪(p^{3}) Automorphismen x′ ≡ \frac{αx+β}{γx+δ} , aber die Mordellsche Methode überträgt sich nicht so ohne weiteres. Eventuell kommt man durch Partialbruchzerlegung von R(x) zum Ziel.

Ein Spezialfall interessiert hier besonders, nämlich die sog. Kloostermanschen Summen:

S(ax + bx^{−1}) = \frac{1}{p} \begin{matrix}∑ & ′ \\ x \end{matrix} e(ax + bx^{−1}), (a, b ≢ 0).

Sie messen sozusagen die Gleichmäßigkeit der Verteilung der Reziproken mod p. Am einfachsten sieht man das, wenn man den einen Parameter a durch den Automorphismus ax ≡ x′ entfernt und dann schreibt:

S(x − αx^{−1}) = \frac{1}{p} \begin{matrix}∑ & ′ \\ x \end{matrix} e(x − \frac{α}{2}x^{−1}) = \frac{1}{p} ∑_{uv≡α} e (\frac{u + v}{2} ) = \frac{1}{p} ∑_{a} N_{a}e(a),

1. Ende des Satzes undeutlich

wo jetzt N_{a} angibt, wie oft von zwei zu a symmetrisch gelegenen Resten u, v das Produkt uv ≡ α wird.

Für diese Summen gibt das Mordellsche oben genannte Resultat (r = 2):

S(ax + bx^{−1}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{4}} ).

Das hatte schon Kloosterman bewiesen, der bei verfeinerten Untersuchungen der singulären Reihen aus der Hardy–Littlewoodschen Theorie auf diese Summen gekommen war.

Neuerdings haben jedoch Salié und Davenport unabhängig voneinander

S(ax + bx^{−1}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{3}} )

bewiesen. Natürlich vermutet man auch hier 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ).

Schließlich sei noch gesagt, daß sich auch das allgemeine quadratische R_{2}(x) auf eine Kloostermansche Summe reduzieren läßt. Eine Beziehung der Kloostermanschen Summen zu quadratischen Gleichungen erkennt man ja

bereits an unserer homogenen Schreibweise: \{ \begin{matrix}u + v = 2a \\ uv = α \end{matrix} \}.

Ferner hat Davenport noch bewiesen:

\begin{matrix}S(ax^{n} + bx^{2n}) & = & 𝒪(p^{− \frac{3}{8}} ) \\ S(ax^{n} + bx^{−n}) & = & 𝒪(p^{− \frac{1}{3}} ) \end{matrix} \} n ≠ 0 (pos. oder neg.)

2.) Der nächsthöhere Fall sind die Kongruenzen mit zwei Variablen x, y, also ganz allgemein f(x, y) ≡ 0 mit Polynomen f(x, y). Hier ist vor allem der Spezialfall f(x, y) = f_{m}(x) − y^{n} untersucht, wo ohne Beschränkung n | p − 1 angenommen werden kann. Ich bezeichne ihre Lösungszahl mit

N(f_{m}(x) ≡ y^{n}) = N(f_{m}, n).

Ihr ungefährer Wert ist p, weil zwischen den p^{2} Wertsystemen x, y eine Bedingung festgelegt ist. Wir werden also studieren den Mittelwert. Trivial ist die Abschätzung N(f_{m}(x) ≡ y^{n}) ≦ np, weil zu jedem x höchstens n Werte y gehören.

\frac{N(f_{m}, n)}{p} = \frac{1}{p}N(f_{m}, n).

\underline{Kiel, Hamburg 1932} 93 Darstellung durch Exponentialsummen:

\frac{1}{p}N(f_{m}, n) = \frac{1}{p} ∑_{x} ∑_{χ_{n}} χ_{n}(f_{m}(x))

[ = \frac{1}{p^{2}} ∑_{t,x,y} e[t(f_{m}(x) − y^{n})] ]

= 1 + \frac{1}{p} ∑_{x} \begin{matrix}∑ & ′ \\ χ_{n} \end{matrix} χ_{n}(f_{m}(x))

[ = \frac{1}{p^{2}} ∑_{t} ∑_{y} e(−ty^{n}) ∑_{x} e(tf_{m}(x)) ]

= 1 + \frac{1}{p} ∑_{x} \begin{matrix}∑ & ′ \\ χ_{n} \end{matrix} \frac{G(f_{m}(x), χ_{n})}{G(χ_{n})}

[ = 1 + \frac{1}{p^{2}} \begin{matrix}∑ & ′ \\ χ_{n} \end{matrix} G(\overline{χ}_{n})χ_{n}(−1) ∑_{t,x} χ_{n}(t)e(tf_{m}(x)) ]

= 1 + \frac{1}{p} \begin{matrix}∑ & ′ \\ χ_{n} \end{matrix} \frac{1}{G(χ_{n})} ∑_{t,x} χ_{n}(t)e(tf_{m}(x))

[ = 1 + \begin{matrix}∑ & ′ \\ χ_{n} \end{matrix} \frac{χ_{n}(−1)G(\overline{χ}_{n})}{\sqrt{p}}S(f_{m}, χ_{n}) ]

= 1 + \begin{matrix}∑ & ′ \\ χ_{n} \end{matrix} \frac{\sqrt{p}}{G(χ_{n})} · \frac{1}{p\sqrt{p}} ∑_{t,x} χ_{n}(t)e(tf_{m}(x))
= 1 + \begin{matrix}∑ & ′ \\ χ_{n} \end{matrix} ε(χ_{n}) · S(f_{m}, χ_{n}), wo |ε(χ_{n})| = 1

und

S(f_{m}, χ_{n}) = \frac{1}{p\sqrt{p}} ∑_{t,x} χ_{n}(t)e(tf_{m}(x));

Hiernach gilt:

\frac{1}{p}N(f_{m}, χ_{n}) = 1 + 𝒪(S(f_{m}, χ_{n})).

NB. Es kommt nur n > 1 und χ_{n} ≠ χ_{1} in Frage! Für n = 1 wissen wir ja auch schon N(f_{m}(x) ≡ y) = ∑_{a} N_{a} = p. Und allgemein ist für χ_{1}: ∑_{t,x} χ_{1}(t)e(tf_{m}(x)) = N_{0}

Einfachster Fall, m = 1:

S(f_{1}, χ_{n}) = 0; denn

∑_{t,x} χ_{n}(t)ε(t(a_{0} + a_{1}x)) = ∑_{t,y} χ_{n}(t)e(ty),  (a_{1} ≢ 0)
= ∑_{y} \overline{χ}_{n}(y) · G(χ_{n}) = 0, weil χ_{n} ≠ χ_{1}

Wieder vermutet man allgemein:

S(f_{m}, χ_{n}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ),

also dann

\frac{1}{p}N(f_{m}, n) = 1 + 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ),

und man vermutet auch dasselbe für \frac{1}{p}N(f(x, y) ≡ 0) bei beliebigem absolut– irreduziblem f(x, y).

Hier ist die Anwendung der Mordellschen Methode komplizierter. Fangen wir nämlich an:

|S(f_{m}, χ_{n})|^{2} = \frac{1}{p^{3}} ∑_{\begin{matrix}t,x \\ u,y \end{matrix}} χ_{n}(t)\overline{χ}_{n}(u)e(tf_{m}(x) − uf_{m}(y)),

so würden beim sofortigen Weiterpotenzieren in die Charaktere Produkte t_{1} … t_{k}, u_{1} … u_{k} eingehen, und eine Summe über die Lösungen gewisser Kongruenzen mit jeweils diesen Charakterwerten als Summanden entstehen. Das ist nicht brauchbar. Jedenfalls kann man aber folgendes tun:

\frac{1}{p} ∑_{a_{0}} |S(f_{m}, χ_{n})|^{2} = \frac{1}{p^{3}} ∑_{t,x,y} e[t(f_{m}(x) − f_{m}(y))],

(NB. Dies Mittel hat die Ordnung 𝒪(p^{−1}), wenn wirklich S(f_{m}, χ_{n}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ) gilt.)

und jetzt durch Potenzierung:

(\frac{1}{p} ∑_{a_{0}} |S(f_{m}, χ_{n})|^{2})^{k} = \frac{1}{p^{3k}} ∑_{t_{κ},x_{κ},y_{κ}} e[t_{1}(f_{m}(x_{1}) − f_{m}(y_{1})) + ⋯

⋯ + t_{k}(f_{m}(x_{k}) − f_{m}(y_{k}))]

∑_{a_{1},...,a_{m}} (\frac{1}{p} ∑_{a_{0}} |S(f_{m}, χ_{n})|^{2})^{k} = \frac{1}{p^{3k−m}} N ( \begin{matrix}(T X)_{k} & & ≡ & & (T Y)_{k} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ (T X^{m})_{k} & & ≡ & & (T Y^{m})_{k} \end{matrix} ) ,

wo (T X^{μ})_{k} = t_{1}x_{1}^{μ} + ⋯ + t_{k}x_{k}^{μ}.

Man erhält ein Kongruenzensystem von m Kongruenzen mit 3k Unbekannten ohne Parameter. Durch geeignete Wahl von k wird man so Abschätzungen jedenfalls für den Mittelwert \frac{1}{p} ∑_{a_{0}} |S(f_{m}, χ_{n})|^{2} herleiten können, und damit

dann auch Abschätzungen für S(f_{m}, χ_{n}) selbst. Bezüglich den Automorphismen muß man aber jetzt sich auf die p − 1 Automorphismen x′ = αx beschränken, weil nur bei ihnen die Summationseinteilung invariant ist. Auch kann man hier nicht ein k > 1 finden, für das man dem Kongruenzensystem die Lösungszahl leicht ansieht; man ist auf die Behandlung spezieller Fälle (kleiner m) angewiesen. Man könnte allerdings vermuten, daß für k = m bei willkürlich gegebenen t_{κ} wieder zu jedem System y_{κ} 𝒪(1) Systeme x_{κ} existieren, sodaß man dann 𝒪(p^{2m}) Lösungen hätte. Das gäbe:

∑_{a_{1},...,a_{m}} (\frac{1}{p} ∑_{a_{0}} |S(f_{m}, χ_{n})|^{2})^{m} = 𝒪(1),

also unter Berücksichtigung der 𝒪(p) Automorphismen

\frac{1}{p} ∑_{a_{0}} |S(f_{m}, χ_{n})|^{2} = 𝒪(p^{− \frac{1}{m}})

S(f_{m}, χ_{n}) = 𝒪(p^{\frac{1}{2} − \frac{1}{2m}}),

was etwas unter der trivialen Abschätzung 𝒪(p^{\frac{1}{2}} ) liegt. Aber von N(f(x) ≡ y^{n}) her ist sogar 𝒪(1) trivial! Doch ist hier der Schluß mit den symmetrischen Funktionen nicht mehr angängig, und die Schlußweise bedarf noch der Klärung.

Um mit k → ∞ das bestmögliche Resultat zu erhalten, müßte man für unser Kongruenzensystem eine Abschätzung

\frac{1}{p^{3k−m}} N ( \begin{matrix}(T X)_{k} ≡ (T Y)_{k} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ (T X^{m})_{k} ≡ (T Y^{m})_{k} \end{matrix} ) = 𝒪(p^{−k+r(m)})

kennen. Denn dann folgt:

\frac{1}{p} ∑_{a_{0}} |S(f_{m}, χ_{n})|^{2} = 𝒪(p^{−1+ \frac{r(m)}{k}}), also = 𝒪(p^{−1+ε}),

wie es dem bestmöglichen S(f_{m}, χ_{n}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2} +ε}) entspricht. Doch ist jetzt kein Rückschluß auf S(f_{m}, χ_{n}) selbst möglich.

Wir wollen noch auf die von Mordell und Davenport behandelten Spezialfälle eingehen.

Zunächst der erste, nichttriviale Fall, m = 2:

Hier kann man auf Grund lin. Transf. x′ = x + β, t′ = γt zunächst die spezielle Gestalt

f_{2}(x) = x^{2} − d

zugrundelegen, also

S(f_{2}, χ_{n}) = \frac{1}{p\sqrt{p}} ∑_{x, t} χ_{n}(t)e(t(x^{2} − d)).

Aber auch der Parameter d kann noch durch lin. Transf. x′ = αx, t′ = γt auf die drei Einzelfälle χ_{2}(d) = +1, −1, 0 reduziert werden.

Der Fall χ_{2}(d) = 0 steht für sich. Hier ist

S(x^{2}, χ_{n}) = \frac{1}{p\sqrt{p}} ∑_{t,x} χ_{n}(t)e(tx^{2})

= \frac{1}{p\sqrt{p}} ∑_{t,y} χ_{n}(t)(1 + χ_{2}(y))e(ty)

= \frac{1}{p\sqrt{p}} ∑_{t,y} χ_{n}(t)χ_{2}(y)e(ty)

= \frac{1}{p\sqrt{p}} ∑_{t} χ_{n}(t)χ_{2}(t) · G(χ_{2})

= \begin{cases}0 & für χ_{n} ≠ χ_{2}, d. h. für n > 2 \\ 𝒪(1) & für χ_{n} = χ_{2}, d. h. für n = 2 \end{cases}

S(x^{2}, χ_{2}) fällt also aus unserer Vermutung heraus, allgem. S(f_{2}, χ_{2}) mit d = 0.

Jedenfalls kann jetzt aus einer bestm. Absch. d. Mittels:

\frac{1}{p} ∑_{d} |S(f_{2}, χ_{n})|^{2} = 𝒪(p^{−1})

sofort auf

S(f_{2}, χ_{n}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ) (wenn nicht n = 2 und d = 0 ist)

geschlossen werden.

Nach der Mordellschen Methode ist nun

\frac{1}{p} ∑_{d} |S(f_{2}, χ_{n})|^{2} = \frac{1}{p^{3}} ∑_{t,x,y} e(t(x^{2} − y^{2}))

= \frac{1}{p^{3}} · pN(x^{2} ≡ y^{2})

= \frac{1}{p^{2}} (1 + 2(p − 1)) = 𝒪(p^{−1}).

Daher folgt wirklich

S(f_{2}, χ_{n}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ),

bestmöglich, ausgenommen den Fall n = 2, d = 0.

Mit ähnlichen speziellen Methoden haben Mordell und Davenport folgen-

de Resultate erhalten: Allgemeines m \{ \begin{matrix}= & 2k − 1 \\ = & 2k \end{matrix} \}:

S(f_{m}, χ_{2}) = 𝒪 (p^{− \frac{1}{(k+1)2^{k−2}}} ) (für f_{m} mit rat. Wurzeln)

(bis k = 4 sicher; sonst Kongruenzunabhängigkeit noch nicht voll bewiesen)

m = 3 S(f_{3}, χ_{2}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{3}} ) (Mordell)
S(f_{3}, χ_{3}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ) (Mordell), bestmöglich!
S(f_{3}, χ_{n}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{4}} ) (Mordell)
m = 4 S(f_{4}, χ_{2}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{3}} ) (Mordell)
S(f_{4}, χ_{4}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{3}} ) (Davenport)
S(f_{4}, χ_{n}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{6}} ) (Davenport)
m = 5 S(f_{5}, χ_{2}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{8}} ) (Mordell)
S(f_{5}, χ_{5}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{6}} ) (Davenport)
m = 6 S(f_{6}, χ_{2}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{8}} ) (Mordell)
S(f_{6}, χ_{3}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{8}} ) (Davenport)
S(f_{6}, χ_{6}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{8}} ) (Davenport)
m = 7 S(f_{7}, χ_{2}) = 𝒪(p^{− \frac{1}{20}} ) (Davenport)

NB. Natürlich sind wieder Fälle der Art n = 2, d = 0 auszunehmen, z. B. die f_{n}(x) ≡ y^{n} entsprechenden Fälle!

Anwendungen auf Verteilungsfragen in der Theorie der n–ten Potenzreste

Wieder n | p − 1. Vorgegeben inkongruente a_{1}, …, a_{r} und zugeordnet n–te Einheitswurzeln ε_{1}, …, ε_{r}.

Anzahlfunktion: N ( \begin{matrix}a_{1}, …, a_{r} \\ ε_{1}, …, ε_{r} \end{matrix} ) = N ( \begin{matrix}χ_{n}(x + a_{1}) = ε_{1} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ χ_{n}(x + a_{r}) = ε_{r} \end{matrix} ) ,

wo χ_{n} erzeugender n–ter Potenzrestcharakter.

Speziell Sequenzen: (a_{1}, …, a_{r}) ≡ (0, 1, …, r − 1). — Mittelwert \frac{p}{n^{r}}

Ausdruck durch Charaktersumme:

\frac{N ( \begin{matrix}a_{1}, …, a_{r} \\ ε_{1}, …, ε_{r} \end{matrix} ) + \frac{1}{n}N_{0} ( \begin{matrix}a_{1}, …, a_{r} \\ ε_{1}, …, ε_{r} \end{matrix} )}{\frac{p}{n^{r}}} = \frac{1}{p} ∑_{x} ∏_{ρ=1}^{r} ∑_{ν=0}^{n−1} ε_{ρ}^{−ν}χ_{n}^{ν}(x + a_{ρ})

= \frac{1}{p} ∑_{x} ∏_{ρ=1}^{r} ∑_{ν=0}^{n−1} χ_{n}^{ν}(\frac{x+a_{ρ}}{e_{ρ}}),
wo χ_{n}(e_{ρ}) = ε_{ρ};

Dabei N_{0} ( \begin{matrix}a_{1}, …, a_{r} \\ ε_{1}, …, ε_{r} \end{matrix} ) = Anzahl der x,

wo alle r Forderungen bis auf eine, und statt dieser χ(x+a_{ρ}) = 0, d. h. x+a_{ρ} ≡ 0, erfüllt sind; N_{0} ≦ r, also der Zusatzsummand links ist 𝒪(p^{−1}).

\frac{N ( \begin{matrix}a_{1}, …, a_{r} \\ ε_{1}, …, ε_{r} \end{matrix} )}{\frac{p}{n^{r}}} = 1 + \frac{1}{p} ∑_{x} \begin{matrix}n−1 \\ ∑ & ′ \\ ν_{ρ}=0 \end{matrix} χ_{n}^{ν_{1}}(\frac{x + a_{1}}{e_{1}}) ⋯ χ_{n}^{ν_{r}}(\frac{x + a_{r}}{e_{r}}) + 𝒪(p^{−1})

= 1 + \frac{1}{p} ∑_{x} n−1 ; ^{∑′′} ; \begin{matrix}ν_{ρ}=0 \\ (nicht[…]) \end{matrix} \begin{matrix}n−1 \\ ∑ & ′ \\ ν=0 \end{matrix} χ_{n}^{ν}((\frac{x + a_{1}}{e_{1}})^{ν_{1}} ⋯

⋯ (\frac{x + a_{r}}{e_{r}})^{ν_{r}}) + 𝒪(p^{−1})

= 1 + \frac{1}{p} ∑_{x} \begin{matrix}n−1 \\ ∑ & ′′ \\ ν_{ρ}=0 \end{matrix} \begin{matrix}∑ & ′ \\ χ_{n} \end{matrix} χ_{n}(f_{ν_{ρ}}(x)) + 𝒪(p^{−1})

= 1 + 𝒪 (\frac{1}{p} ∑_{x} \begin{matrix}∑ & ′ \\ χ_{n} \end{matrix} χ_{n}(f_{ν_{ρ}}(x))) + 𝒪(p^{−1})

= 1 + 𝒪(S(f_{ν_{ρ}}(x), χ_{n})) + 𝒪(p^{−1}).

Ist also die obige Vermutung für die S(f_{ν_{ρ}}(x), χ_{n}) richtig, so folgt

\frac{N ( \begin{matrix}a_{1}, …, a_{r} \\ ε_{1}, …, ε_{r} \end{matrix} )}{\frac{p}{n^{r}}} = 1 + 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ).

Im Falle n = 2 ist der Höchstgrad m der auftretenden Polynome f_{ν_{ρ}}(x) gleich r selbst, allgemein m = (n − 1)r. Man kann im Falle n = 2 die Mordellsche Methode etwas modifiziert für allgemeinen Grad m durchführen und erhält folgende Fehlerglieder:

n = 2,  r = \{ \begin{matrix}2k − 1 \\ 2k \end{matrix} \}  𝒪 (p^{− \frac{1}{(k+1)2^{k−2}}} )

allerdings nur bis k = 5 sicher, sonst noch mit der Davenportschen Vermutung der Kongruenzunabhängigkeit belastet.

Im Falle der Sequenzen läßt sich für ungerades r = 2k +1 das Höchstglied besonders behandeln und auf den Grad 2k zurückführen, außer für r = 5, wo man so nur auf 𝒪(p^{− \frac{1}{4}} ) statt 𝒪(p^{− \frac{1}{3}} ) kommt. Das erniedrigt noch einige Resultate. Für r = 2, 3 hatte im Falle der Sequenzen schon Jacobsthal die besseren (bestmöglichen) Resultate:

\begin{matrix}n = 2, & r = 2 & 𝒪(p^{−1}) \\ n = 2, & r = 3 & 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ). \end{matrix}

Für höhere n liefert die Mordellsche Methode, soweit sie oben auseinandergesetzt wurde, noch den Fall:

n = 3, r = 2 𝒪(p^{− \frac{1}{6}} )

Aber Davenport hat durch andere Methoden viel mehr bewiesen:

n bel. r = 2 𝒪(p^{− \frac{1}{2}} ) (bestmöglich)
n bel. r = 3 𝒪(p^{− \frac{1}{4}} )
n bel. r = 4 𝒪(p^{− \frac{1}{16}} ),  für n = 3 sogar 𝒪(p^{− \frac{1}{6}} )

\underline{Göttingen 1933 I} 101

1.12 Göttingen 1933 I

Über die Nullstellen der Artinschen Kongruenzzetafunktionen.

Vortrag in der Math. Ges. Göttingen, 10. 1. 1933.

1.) In seiner Dissertation hat Artin gezeigt, daß der Körper P_{p}(t) = P der rationalen Funktionen einer Unbestimmten t über dem endlichen Körper P_{p} von p Elementen weitgehend analoge zahlentheoretische Gesetzmäßigkeiten zum Körper der rationalen Zahlen besitzt. Den ganzen Zahlen entsprechen dabei die Polynome in t, d. h. der Ring P_{p}[t], den Primzahlen die Primpolynome (d. h. die irreduziblen ganzzahligen Polynome mod p), dem absoluten Betrag der Grad, oder richtiger p^{Grad}.

Artin entwickelt in voller Analogie zur Theorie der gewöhnlichen quadratischen Zahlkörper die Theorie der quadratischen Zahlkörper K = P(\sqrt{D}) über P, wo D = D(t) ohne Einschränkung ein Polynom über P_{p} ohne quadratische Teiler ist. Er beweist mit ihrer Hilfe ein vollständiges Analogon zum quadratischen Reziprozitätsgesetz. Ferner entwickelt er auch in voller Analogie die analytische Theorie der quadratischen Zahlkörper K, indem er ihre Zetafunktionen definiert und für sie das Residuum bei s = 1, den Zusammenhang mit der Klassenzahl, eine Funktionalgleichung, und das Analogon der Riemannschen Vermutung studiert, sowie Anwendungen dieser Theorie auf asymptotische Verteilungsfragen der Primpolynome gibt (Analogon des Primzahlsatzes, sowie des Satzes über die Primzahlen in arithmetischen Progressionen).

Die Artinsche Theorie ist ohne weiteres verallgemeinerbar auf den Fall, wo statt P_{p} ein beliebiger endlicher Körper P_{q} von q = p^{r} Elementen zugrundeliegt; doch hat es wenig Interesse gleich diesen allgemeineren Fall zu behandeln, weil gar keine neuen Gedanken hinzukommen.

Ferner hat F. K. Schmidt die Artinsche Theorie, oder jedenfalls die theoretischen Hauptpunkte dieser Theorie, auf die allgemeinsten Erweiterungen endlichen Grades K von P ausgedehnt, wobei neben der Analogie zu den gewöhnlichen algebraischen Zahlkörpern auch die Analogie zu den Körpern algebraischer Funktionen einer Variablen eine entscheidende Rolle spielt. Bei der letzteren Analogie hat man P_{p} selbst (nicht erst P_{p}(t)) mit dem Körper der rationalen (oder der komplexen) Zahlen in Analogie zu setzen und K = P_{p}(t, x), definiert durch eine irreduzible Gleichung F (t, x) = 0, als algebraischen Funktionenkörper über P_{p} aufzufassen. Bei dieser zweiten Analogie erweist sich die Funktionalgleichung der Zetafunktion von K als formal identisch mit dem Analogon des Riemann–Rochschen Satzes der algebraischen Funktionentheorie.

Ich will mich hier im wesentlichen auf den ursprünglichen Artinschen Fall K = P(\sqrt{D}) beschränken, der vom Standpunkte der algebraischen Funktionentheorie als der hyperelliptische Fall zu bezeichnen ist.

Die gewöhnliche Zetafunktion (von P selbst) ist in der Artinschen Theorie ganz trivial. Sie ist die Summe bzw. das Produkt

ζ(s) = ∑_{A} \frac{1}{|A|^{s}} = ∏_{P} \frac{1}{1 − \frac{1}{|P |^{s}}}

wo \{ \begin{matrix}A & alle Polynome \\ P & alle Primpolynome \end{matrix} \} über P_{p} mit höchstem Koeffizienten 1 durch-

läuft und |A| = p^{Grad von A} bedeutet. Da es von jedem Grad n genau p^{n} Polynome A gibt, ist

ζ(s) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{p^{n}}{p^{ns}} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{p^{n(s−1)}} = \frac{1}{1 − \frac{1}{p^{s−1}}} .

Wesentlich interessanter ist die Zetafunktion des quadratischen Körpers K = P(\sqrt{D}). Sie ist

ζ_{D}(s) = ∑_{𝔄} \frac{1}{N(𝔄)^{s}} = ∏_{𝔓} \frac{1}{1 − \frac{1}{N(𝔓)^{s}}} ,

wo \{ \begin{matrix}𝔄 & alle ganzen Ideale \\ 𝔓 & alle Primideale \end{matrix} \} von K durchläuft, und N die Absolutnorm

(Betrag der Norm = Anzahl der Restklassen) bedeutet. Analog zum Fall der gewöhnlichen quadratischen Körper zerspaltet sich diese Zetafunktion so:

ζ_{D}(s) = ζ(s)L_{D}(s),

wo

L_{D}(s) = ∑_{A} [\frac{D}{A}]\frac{1}{|A|^{s}} = ∏_{P} \frac{1}{1 − [\frac{D}{P}]\frac{1}{|P |^{s}}} ,

wobei [\frac{D}{P}] = +1, −1, 0, je nachdem D quadr. Rest, quadr. Nichtrest, ≡ 0 mod P ist, und [\frac{D}{A}] durch Zusammensetzung von A aus Primpolynomen erklärt ist. Hier haben wir das Analogon zu den gewöhnlichen L–Funktionen mit quadr. Charakteren vor uns.

Diese L–Funktionen sind in Wahrheit Polynome in \frac{1}{p^{s}} , nämlich

L_{D}(s) = ∑_{ν=0}^{n−1} \frac{σ_{ν}}{p^{νs}} ,

wo n der Grad von D ist und

σ_{ν} = ∑_{|A|=p^{ν}} [\frac{D}{A}] (A höchsten Koeffizienten 1).

Hierbei ist allerdings noch der triviale Fall auszuschließen, wo n = 0, also K schon über P_{p} algebraisch ist; dann ist L_{D}(s) = _{\frac{1}{1+ \frac{1}{p^{s−1}}}} . Wir lassen diesen

Fall im folgenden beiseite.

L_{D}(s) und ζ_{D}(s) sind periodisch mit der Periode \frac{2πi}{log p}, und sind daher unendlich viel einfacher als die gewöhnlichen L–Funktionen und ζ–Funktionen, bei denen nur Fastperiodizität auf senkrechten Geraden gilt.

Es soll hier nicht meine Aufgabe sein, über Residuum bei s = 1, Funktionalgleichung, Klassenzahlformeln und asymptotische Verteilungsfragen zu berichten. Ich will nur auf das Nullstellenproblem eingehen.

Hier weiß man (vermöge Produktdarstellung und Funktionalgleichung), daß alle Nullstellen von ζ_{D}(s) und L_{D}(s) im Streifen 0 ≦ ℜ(s) ≦ 1 liegen. Ist der Grad n von D gerade, so liegt je eine Nullstelle des Periodenstreifens 0 · · · · · · \frac{2πi}{log p} auf ℜ(s) = 0, nämlich entweder 0 oder \frac{πi}{log p}. Für ungerades n ist das nicht der Fall. Im übrigen liegen alle Nullstellen wirklich im Inneren des kritischen Streifens. Durch linear gebrochene Transformation in t kann man stets auf D von ungeradem Grade n kommen. Dann liegen also im Inneren des kritischen Streifens im Periodenabschnitt genau n−1 Nullstellen ρ_{1}, …, ρ_{n−1} . Diese sind gegeben durch die n − 1 Nullstellen β_{1}, …, β_{n−1} des Polynoms

F (z) = σ_{0}z^{n−1} + σ_{1}z^{n−2} + ⋯ + σ_{n−1} ,

vermöge der Substitution

z = p^{s}, β_{i} = p^{ρ_{i}}.

Das Analogon der Riemannschen Vermutung besagt, daß alle diese Nullstellen ρ_{i} auf der Geraden ℜ(s) = \frac{1}{2} liegen, d. h. daß alle β_{i} auf dem Kreise |z| = p^{\frac{1}{2}} liegen (bekannt ist, daß die β_{i} in 1 < |z| < p liegen).

Die Bestimmung der β_{i} hängt von den Summen

σ_{ν} = ∑_{|A|=p^{ν}} [\frac{D}{A}]

ab. Von diesen ist

σ_{0} = 1 , d. h. F (2) hat höchsten Koeffiz. 1.

Ferner ist

σ_{1} = ∑_{a mod p} [\frac{D(t)}{t − a}] = ∑_{a mod p} [\frac{D(a)}{t − a}] = ∑_{a mod p} (\frac{D(a)}{p}).

Das ist eine Summe über gewöhnliche Legendre–Symbole. Die höheren σ_{ν} lassen sich nicht so einfach durch gewöhnliche Legendre–Symbole ausdrücken. Man kann aber auf andere Art an sie herankommen. Es ist

−σ_{1} = β_{1} + ⋯ + β_{n−1}.

Geht man nun von P_{p} zum endlichen Körper P_{q} = P_{p^{r}} über, so ist einfach überall p durch p^{r} zu ersetzen, d. h. auch z durch z^{r}, β_{i} durch β_{i}^{r}, sodaß also

−σ_{1}^{(r)} = β_{1}^{r} + ⋯ + β_{n−1}^{r}

(NB. Zur genaueren Ausführung hat man die Zerspaltung ζ_{D}(s) = ∏_{χ} L_{D}(s, χ) zu benutzen,

wo χ(𝔄) = ε^{ν} wenn |N(𝔄)| = p^{ν}, und ε alle r–ten Einheitswurzeln durchläuft.

wird. Kennt man also die Summen σ_{1}^{(r)} für alle r, so beherrscht man alle Potenzsummen der Nullstellen β_{i}, und damit diese selbst. Genauer:

Weiß man, daß mit wachsendem r (bei festem p)

σ_{1}^{(r)} = 𝒪 (q^{\frac{1}{2} +ε}) = 𝒪 (p^{r( \frac{1}{2} +ε)})

mit einem ε > 0 ist, das nicht von r (und p) abhängt, und wo auch 𝒪 gleichmäßig in r gemeint ist, so folgt nach dem vom Graeffeschen Näherungsverfahren her bekannten Schluß für die Nullstellen

|β_{i}| ≦ p^{\frac{1}{2} +ε},

sodaß also die ρ_{i} im Streifen \frac{1}{2} − ε ≦ ℜ(s) ≦ \frac{1}{2} + ε liegen.

Weiß man sogar, daß die genannte Abschätzung für beliebig kleine ε > 0 gilt, so folgt also

|β_{i}| = p^{\frac{1}{2}} , ℜ(ϱ_{i}) = \frac{1}{2}

und überdies verschärft sich die Abschätzung von σ_{1} zu

|σ_{1}| ≦ (n − 1)p^{\frac{1}{2}} .

Entsprechende Tatsachen gelten auch für den allgemeinen von F. K. Schmidt behandelten Fall. Hier tritt an die Stelle von

σ_{1} = ∑_{a mod p} (\frac{D(a)}{p}) = ∑_{a mod p} (1 + (\frac{D(a)}{p})) − p
= N (D(t) ≡ x^{2}) − p

das entsprechend gebaute Fehlerglied

σ_{1} = N(F (t, x) ≡ 0) − p.

Hierdurch ist also das Nullstellenproblem der Artinschen und F. K. Schmidtschen Zetafunktionen zurückgeführt auf die Restabschätzung der Lösungsanzahlen von Kongruenzen mod p. Man muß dabei diese Restabschätzung allerdings nicht nur in P_{p}, sondern in jedem P_{q} = P_{p^{r}} durchführen, d. h. also bei gegebenem Polynom D(t) bzw. F (t, x) über P_{p} die Variablen t, x nicht nur in P_{p} sondern der Reihe nach in jedem P_{q} laufen lassen.

2.) Die Restabschätzung von Kongruenzlösungsanzahlen ist in letzter Zeit systematisch von den englischen Mathematikern Davenport und Mordell in Angriff genommen worden. Sie haben eine Fülle von Einzelresultaten gefunden, die sich auf spezielle solche Kongruenzen, vor allem solche mit niedrigen Gradzahlen beziehen. Diese Resultate ergeben sich durch mehr oder weniger spezielle, dem betr. Problem angepaßte Abschätzungsmethoden. Den meisten dieser Methoden gemeinsam ist eine sehr schöne Idee von Mordell, die ich hier auseinandersetzen will. Ich wähle dazu den allereinfachsten Fall der Kongruenzen mit nur einer Unbekannten:

N_{a} = N(F (t) ≡ a),

wo F (t) ein Polynom über P_{p} ist. (Den allgemeineren Fall des beliebigen endlichen Körpers P_{q}, den Mordell nicht behandelt hat, lasse ich zunächst beiseite.) Zusammenhang mit ζ–Funktionen bisher unbekannt.

Über die Lösungsanzahlen N_{a} weiß man trivialerweise:

0 ≦ N_{a} ≦ n (Grad von F (x))

∑_{a} N_{a} = p.

Ohne Einschränkung darf man F (t) ≡ a_{n}t^{n} + ⋯ + a_{1}t ohne absolutes Glied annehmen: Die Verteilungsfunktion

S(F) = ∑_{t} e(F (t)), wo e(u) = e^{\frac{2πi u}{p}} ,

= ∑_{a} N_{a}e(a)

mißt die Abweichung der Anzahlfunktion N_{a} von der Gleichverteilung (Linearer Fall, n = 1, F (t) ≡ a_{1}t, alle N_{a} = 1, S(F) = 0; extremer Fall n = 0, F (t) ≡ 0, N_{0} = p, alle anderen N_{a} = 0, S(F) = p; allgemein |S(F)| ≦ p.) Der erste nichttriviale Fall ist n = 2, F (t) ≡ a_{2}t^{2} + a_{1}t. Hier liegt eine Gaußsche Summe vor:

|S(F)| = p^{\frac{1}{2}} .

Auch gewisse höhere Fälle führen noch auf höhere Gaußsche Summen, nämlich F (t) ≡ a_{n}t^{n}, wo dann wieder jedenfalls

S(F) = 𝒪(p^{\frac{1}{2}} )

gilt. Hierbei ist 𝒪 hier und im folgenden stets sogar gleichmäßig in den Konstanten von F zu verstehen, abhängig lediglich vom Grad n.

Man vermutet nun allgemein in diesem Sinne:

S(F) = 𝒪 (p^{\frac{1}{2}} ) .

Bewiesen ist dies allerdings bisher in keinem über die Gaußschen Summen hinausgehenden Falle. Doch hat man weniger scharfe allgemein–gültige Aussagen, wo \frac{1}{2} durch einen größeren Exponenten α (< 1) ersetzt ist.

Eine erste nichttriviale Aussage ergibt sich nach Weyl’s schöner Gleichverteilungsmethode (iterierte Potenzierung des absoluten Betrags von S(F) mit 2 und Anwendung der Schwarzschen Ungleichung). Man erhält damit

S(F) = 𝒪 (p^{1− \frac{1}{2^{n−1}} +ε}) für jedes ε > 0.

Weyl’s Methode ist aber für unser Problem inadäquat (zu grob), da sie auf beliebige reellzahlige Polynome anwendbar ist.

Mordell’s Methode baut in ihrem ersten Schritt auf einem ganz ähnlichen Gedanken auf, nämlich Berechnung des absoluten Betrags wie bei Weyl:

|S(F)|^{2} = ∑_{t,u} e(F (t) − F (u)).

Während aber Weyl jetzt t − u = h als neue Summationsvariable einführt und die Schwarzsche Ungleichung anwendet, geht Mordell direkt zu höheren Potenzen des Betrags über:

|S(F)|^{2k} = ∑_{t_{κ},u_{κ}} e[F (t_{1}) − F (u_{1}) + ⋯ + F (t_{k}) − F (u_{k})],

und summiert nunmehr über alle betrachteten Polynome F (vom Grade ≦ n, ohne abs. Glied), d. h. über p^{n} Polynome F, repräsentiert durch die p^{n} Wertsysteme a_{1}, …, a_{n}. Er erhält so:

∑_{F} |S(F)|^{2k} = ∑_{t_{κ},u_{κ}} ∑_{a_{1},...,a_{n}} e[a_{1}(T_{k} − U_{k}) + ⋯ + a_{n}(T_{k}^{(n)} − U_{k}^{(n)})],
wo zur Abkürzung T_{k}^{(ν)} = t_{1}^{ν} + ⋯ + t_{k}^{(ν)}.

Die Summe ∑_{a_{1},...,a_{n}} zerspaltet sich in ein Produkt von Summen

∑_{a_{ν}} e[a_{ν}(T_{k}^{(ν)} − U_{k}^{(ν)})] = \{ \begin{matrix}p & wenn T_{k}^{(ν)} ≡ U_{k}^{(ν)} \\ 0 & sonst \end{matrix} \} .

Somit wird

∑_{F} |S(F)|^{2k} = p^{n}N(T_{k}^{(ν)}_{(ν=1,...,n)} ≡ U_{k}^{(ν)}).

Bemerkung. Für k = 1 folgt N = p, also ∑_{F} |S(F)|^{2} = p^{n+1}. Von den p^{n} − 1

Summanden mit F ≠ 0 muß also mindestens einer ≧ \frac{p^{n−1}}{p^{n}−1} = Ω(p) sein, d. h. mindestens ein S(F) = Ω(p^{\frac{1}{2}} ). Mehr als 𝒪(p^{\frac{1}{2}} ) ist also allgemein nicht richtig.

Zur bestmöglichen Abschätzung der Lösungsanzahl des Kongruenzensystems T_{k}^{(ν)} ≡ U_{k}^{(ν)} führt der Wert k = n. Dann fordert das System ja das Übereinstimmen der ersten n Potenzsummen der t_{κ} und u_{κ}, also nach den Newtonschen Formeln (p > n) auch ihrer symmetrischen Grundfunktionen. Bei beliebig gegebenen u_{κ} sind also dann die t_{κ} bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. Man erhält somit höchstens n!p^{n} Lösungen. Somit gilt:

∑_{F} |S(F)|^{2n} ≦ n!p^{2n} = 𝒪(p^{2n}).

Nun kommt der Hauptgedanke. Die Gesamtheit der betrachteten Polynome F (t) besitzt Automorphismen in sich, erzeugt durch lineare ganze Substitutionen der Variablen t (immer unter Auslassung des absoluten Gliedes), und zwar gibt es p(p − 1) = 𝒪(p^{2}) solche Substitutionen t′ ≡ αt + β. Dabei ändert sich jeweils der Betrag von S(F) nicht. Zwar kann es vorkommen, daß ein F bei einer solchen Substitution in sich übergeht. Ist dabei F vom genauen Grade ν, so folgt α^{ν} ≡ 1, also ist α höchstens ν–deutig festgelegt, und β dann eindeutig falls ν > 1 ist; es gibt also für jedes nichtlineare F höchstens n solche Substitutionen, für lineares F ≢ 0 dagegen p, und für F ≡ 0 sogar p(p−1). Läßt man die sowieso trivialen linearen F aus der Summe fort und summiert im übrigen nur über nicht–äquivalente F, so erhält man eine Abschätzung

\frac{p(p − 1)}{n} \begin{matrix}∑ & ∗ \\ F \end{matrix} |S(F)|^{2n} = 𝒪(p^{2n}),
\begin{matrix}∑ & ∗ \\ F \end{matrix} |S(F)|^{2n} = 𝒪(p^{2n−2}),
|S(F)| = 𝒪(p^{1− \frac{1}{n}}).

Das ist das Resultat von Mordell. Es ist nicht besser, als das Resultat der Weylschen Methode.

Bemerkung 1. Die Mordellsche Methode gibt in ihrer ersten Hälfte eine genaue Formel für den Mittelwert:

\frac{1}{p^{n}} ∑_{F} |S(F)|^{2k} = N(T_{k}^{(ν)}_{(ν=1,...,n)} ≡ U_{k}^{(ν)})

bei beliebigem k. Sie reduziert das Studium der einen Kongruenz F (t) ≡ a mit einer Variablen aber n Parametern a_{1}, …, a_{n} auf das Studium eines Systems von n Kongruenzen mit 2k Variablen aber ohne Parameter. — Nimmt man an, daß alle S(F) genau von derselben Größenordnung sind, so muß dieses die des Mittelwerts sein, und für k = n folgt dann:

|S(F)|^{2n} = 𝒪(p^{n})

(die Lösungszahl ist genau n!p^{n} + 𝒪(p^{n−1})), d. h.

|S(F)| = 𝒪(p^{\frac{1}{2}} ).

Die Schwierigkeit des Problems liegt aber gerade darin, daß man nicht genug Automorphismen hat, um alle S(F) als von gleicher Größenordnung zu erkennen. In F stecken n Parameter a_{1}, …, a_{n}, aber nur 2 von ihnen können durch die 𝒪(p^{2}) Automorphismen eliminiert werden, es bleiben also n − 2 unabhängige Parameter. In allen verwendeten Problemen erhält man die „wahre“ Abschätzung nur dann, wenn es gelingt alle Parameter durch Automorphismen zu eliminieren.

Bemerkung 2. Kleinere k liefern schlechtere Resultate. Man könnte aber daran denken, mit größeren k, ja mit k → ∞ nach dem Prinzip der Graeffeschen Näherungsmethode zu arbeiten. Dabei tritt ein Umstand ins Gewicht, der bei k = n gerade noch harmlos ist, nämlich das Glied mit F = 0 links, mit S(0) = p. Es liefert zu dem Mittelwert \frac{1}{p^{n}} ∑_{F} |S(F)|^{2k} den Beitrag p^{2k−n},

der gerade dem Hauptglied der Lösungsanzahl rechts entspricht (n Kongruenzen für 2k Unbekannte). Für k = n ist die Summe der übrigen Glieder links (wenn S(F) = 𝒪(p^{\frac{1}{2}} ) genau richtig ist) noch von derselben Ordnung: \frac{1}{p^{n}} (p^{n} − 1)𝒪(p^{n}) = 𝒪(p^{n}). Für k > n wird dagegen diese Summe von kleinerer Ordnung: \frac{1}{p^{n}} (p^{n} − 1)𝒪(p^{k}) = 𝒪(p^{k}), und die Abschätzung läuft auf die Restabschätzung der Kongruenzlösungsanzahl des Systems T_{k}^{(ν)} ≡ U_{k}^{(ν)} hinaus. Diese ist aber keineswegs einfach. Um auf S(F) = 𝒪(p^{\frac{1}{2}} ) schließen zu können, müßte man diese Restabschätzung mit der Genauigkeit

N(T_{k}^{(ν)} ≡ U_{k}^{(ν)}) = p^{2k−n} + 𝒪(p^{k+r(n)})

machen, wo r(n) nicht von k abhängt. Dann folgte in der Tat für k → ∞ jedenfalls:

S(F) = 𝒪(p^{\frac{1}{2} +ε}) für jedes ε > 0.

Man kommt aber bis heute auf diesem Wege nicht durch.

Es gibt einige Fälle, von den parameterfreien Gaußschen Summen abgesehen, wo man jedenfalls bessere Resultate als das Mordellsche S(F) = 𝒪(p^{1− \frac{1}{n}}) hat.

Zunächst hat im Falle n = 3 Davenport durch Eingehen auf die algebraische Struktur der kubischen Polynome bewiesen:

S(F) = 𝒪(p^{\frac{5}{8}} ) für n = 3.

Mordell’s Resultat gibt hier nur 𝒪(p^{\frac{2}{3}} ).

Ferner hat Davenport das Mordellsche Resultat allgemein etwas verschärft:

S(F) = 𝒪(p^{1− \frac{1}{n_{0}}} ),  wenn n_{0} die größte Zahl einer der For- men 2^{ν}, 3.2^{ν} ist, die ≦ n ist.

Schließlich hat Mordell noch die Abschätzung bewiesen:

S(F) = 𝒪(p^{1− \frac{1}{2r}}),  wenn r die genaue Anzahl der in F wirklich vorkommenden nicht–konstanten Glieder ist.

Diese ist unter Umständen besser als die vorher hergeleitete allgemeine Abschätzung.

Dies letztere Mordellsche Resultat gilt auch, wenn man für die Glieder von F negative Exponenten zuläßt. Dann fällt die betr. Summe unter den allgemeinen Typus

S(R) = \begin{matrix}∑ & ′ \\ t \end{matrix} e(R(t)),

wo R(t) eine beliebige rationale Funktion über P_{p} ist, und die Summation natürlich die Nullstellen des Nenners zu vermeiden hat. Hier hat man zwar 𝒪(p^{3}) Automorphismen t′ ≡ \frac{αt+β}{γt+δ} , aber die Mordellsche Methode der Summation über die Koeffizienten von F überträgt sich nicht ohne weiteres auf R. Ansätze mittels Partialbruchzerlegung von R(t) stoßen auf Schwierigkeiten. Immerhin dürfte dies Problem mit einigem Geschick zu einem Resultat der Form 𝒪(p^{1− \frac{1}{N}}) durchführbar sein, wo N von der algebraischen Struktur von R abhängt. Das wird durch Davenportsche Untersuchungen für niedrigere Gradzahlen bestätigt.

Besonders bemerkenswert ist noch der Spezialfall der Kloostermanschen Summen:

R(t) ≡ at + bt^{−1},

die mit der Verteilung der Reziproken mod p zu tun haben. Für sie liefert das angeführte Mordellsche Resultat (r = 2) sofort:

S(R) = 𝒪(p^{\frac{3}{4}} ).

Das hatte schon Kloosterman bewiesen; der bei verfeinerter Untersuchung des quadratischen quaternären Darstellungsproblems nach der Hardy–Littlewoodschen Methode auf diese Summen gestoßen war. Neuerdings haben Davenport und Salié unabhängig voneinander

S(R) = 𝒪(p^{\frac{2}{3}} )

bewiesen. Natürlich vermutet man auch hier, wie überhaupt für die allgemeinste rationale Funktion R

S(R) = 𝒪(p^{\frac{1}{2}} ).

Das Mordellsche Hauptresultat

S(F) = 𝒪(p^{1− \frac{1}{n}})

überträgt sich leicht auf den Fall eines beliebigen endlichen Körpers P_{q} statt P_{p}. Hier handelt es sich um die Summe

S(F) = ∑_{t} e(Sp F (t)),

wo jetzt F (t) ein beliebiges Polynom über P_{q} ist, t den Körper P_{q} durchläuft, und Sp die Spur in P_{q} bezeichnet:

Sp a ≡ a + a^{p} + ⋯ + a^{\frac{q}{p}} .

Hier hat man nur die folgende Tatsache zu beachten:

Sp uv ≡ 0 für alle v ⟷ u ≡ 0,

die ohne weiteres aus der Tatsache folgt, daß P_{q} über P_{p} die „Diskriminante“ 1 hat, d. h. |v_{i}^{p^{ν}}| ≢ 0 (i, ν = 0, …, n − 1) für eine Basis v_{i} von P_{q}. Mittels dieser Tatsache sieht man zunächst ein, daß wieder

S(F) = ∑_{a} N_{a}e(Sp a),

also ein Mittelwert der Kongruenzlösungszahlen

N_{a} = N(F (t) ≡ a)

ist (alle Summationen etz. jetzt in P_{q} verstanden!). Ferner liefert auf Grund dieser Tatsache die Mordellsche Methode fast ohne Änderung das Resultat:

S(F) = 𝒪(q^{1− \frac{1}{n}}),

wenn F vom Grade n.

Es scheint mir ohne Zweifel — wenn ich es auch noch nicht explizit durchgeführt habe — , daß auch alle genannten Verschärfungen des Mordellschen Hauptresultats sich in gleicher einfacher Weise auf P_{q} übertragen.

3.) Ich will jetzt noch auf den Fall der Kongruenzen in 2 Variablen eingehen, der für die Artinschen und F. K. Schmidtschen Zetafunktionen wichtig ist.

Sei F (t, x) ein irreduzibles Polynom in x, t über P_{p}. Dann kommt es zum Nachweis der Riemannschen Vermutung für jene Funktionen auf den Nachweis der Tatsache an:

in P_{p} : N(F (t, x) ≡ 0) = p + 𝒪(p^{\frac{1}{2} +ε}) für jedes ε > 0,

und allgemeiner

in P_{q} : N(F (t, x) ≡ 0) = q + 𝒪(q^{\frac{1}{2} +ε}) ∥ ∥ ∥ .

In dieser Richtung weiß man nun bis heute sehr wenig. Für den Fall eines quadratischen Polynoms F (x, t) weiß man durch Untersuchungen von Jacobsthal, die schon bei Gauß vorbereitet sind, daß sogar

N = p, p + 1 oder p − 1

ist (und entsprechend in P_{q}). Aber dies ist für unsere Zwecke uninteressant, weil hier bei Reduktion auf den Typus D(t) ≡ x^{2} das Polynom D(t) den Grad n = 1 bekommt, also gar keine nicht–trivialen Nullstellen von ζ_{D}(s) vorliegen.

Ferner weiß man hier ein schönes Resultat von Mordell für den Fall eines kubischen Polynoms F (t, x), nämlich

in P_{p} : N(F (t, x) ≡ 0) = p + 𝒪(p^{\frac{2}{3}} ).

Auch dieses Mordellsche Resultat läßt sich nach den oben genannten Prinzipien sofort auf P_{q} übertragen:

in P_{q} : N(F (t, x) ≡ 0) = q + 𝒪(q^{\frac{2}{3}} ),

sodaß dann also bewiesen ist, daß die Nullstellen der betr. ζ–Funktionen alle im Streifen \frac{1}{3} ≦ ℜ(s) ≦ \frac{2}{3} liegen.

Weitere Resultate in der genannten Richtung kennt man durch Mordell und Davenport in dem bei Artin betrachteten hyperelliptischen Fall F (t, x) ≡ D(t) − x^{2}, wo wir wieder D(t) ohne Einschränkung als quadratfrei und von ungeradem Grad n ≧ 3 annehmen dürfen:

(NB. Für n = 1 gilt ohne weiteres q+𝒪(q^{\frac{1}{2}} ) — Gaußsche Summen — also die Riemannsche Verm.)

N(D(t) ≡ x^{2}) − q = 𝒪(q^{\frac{2}{3}} )  für  n = 3 (Mordell)
= 𝒪(q^{\frac{7}{8}} )  ∥  n = 5 (Mordell)
= 𝒪(q^{\frac{19}{20}} )  ∥  n = 7 (Davenport)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

und allgemein in Fortführung

dieser Resultate:

= 𝒪 (q^{1−_{\frac{1}{(n+3)2 \frac{n−5}{2}}}} )  (Davenport)

Die Folgerungen hieraus für die ζ–Funktionsnullstellen liegen auf der Hand nach dem schon Gesagten.

Für die beiden letztgenannten Resultate ist allerdings noch eine algebraische Eliminationsschwierigkeit zu überwinden, sowie die Übertragung auf den Fall P_{q} zu kontrollieren — bei Mordell und Davenport wird immer nur der Fall P_{p} behandelt. Die Mordellschen Anfangsresultate ergeben sich nach einer weitgehend analogen Methode zu der oben auseinandergesetzten Mordellschen Methode für die Kongruenzlösungsanzahlen in einer Variablen. Für die höheren Davenportschen Resultate ist eine Weiterbildung der Mordellschen Methode erforderlich, die in sukzessivem Quadrieren und Anwendung quadratischer Substitutionen besteht.

Mordell und Davenport haben dann auch noch den allgemeineren Fall D(t) ≡ x^{m} untersucht, wo ohne Einschränkung m als Teiler von p − 1 angenommen werden darf. Hier ist das am meisten hervorstechende Resultat:

N(D(t) ≡ x^{3}) = q + 𝒪(q^{\frac{1}{2}} ) (Mordell), wenn n = 3.

Davenport konnte sogar die Lösungszahl genau ausdrücken, als Funktion der Koordinaten a, b in p = a^{2} + ab + b^{2}.

Für diesen Fall ist also das Analogon der Riemannschen Vermutung bestätigt.

Außerdem haben Mordell und Davenport noch eine Reihe weiterer Resultate in dieser Richtung gefunden, die ich aber hier nicht alle aufzählen will.

\underline{Marburg 1933 I} 115

1.13 Marburg 1933 I

Über die Nullstellen der Artinschen und F. K. Schmidtschen Kongruenzzetafunktionen.

Vortrag Marburg, Februar 1933.

1.) P_{p} beliebiger endlicher Körper, p Elementzahl (Potenz einer Primzahl p_{0})

P_{p}(x) Körper der rationalen Funktionen einer Unbestimmten x über P_{p}. Weitgehende Analogie zur gewöhnlichen Zahlentheorie im Körper der ra-

tionalen Zahlen:

Ganze Zahlen  Integritätsbereich P_{p}[x] der Polynome in x über P_{p}.
Primzahlen  Primpolynome P (x)
absoluter Betrag p^{Grad}
Einheiten (±1) Elemente ≠ 0 aus P_{p}

Artin hat nun in seiner Dissertation die Theorie der quadratischen Körper K = P_{p}(x, \sqrt{F (x)}) über P_{p}(x) in weitgehender Analogie zur Theorie der gewöhnlichen quadratischen Körper entwickelt. Und F. K. Schmidt hat in seiner Dissertation dann auch die allgemeine Theorie der algebraischen Erweiterungskörper K endlichen Grades von P_{p}(x) durchgeführt. Außer der bereits genannten Analogie zur Zahlentheorie steht bei F.K. Schmidt eine zweite Analogie im Vordergrund: Eine algebraische Erweiterung K endlichen Grades über P_{p}(x) wird nämlich definiert durch Adjunktion einer Nullstelle eines Polynoms F (x, y) über P_{p}[x], und kann daher als „Körper algebraischer Funktionen über P_{p}“ aufgefaßt und in Analogie zur gewöhnlichen Theorie der algebraischen Funktionen über dem Körper der komplexen Zahlen behandelt werden. Bei dieser Auffassung verliert die unabhängige Variable x ihre ausgezeichnete Bedeutung, sie kann durch jedes über P_{p} transzendente Element u ersetzt werden, und K dann in der Form P_{p}(u, v) mit über P_{p}(u) algebraischem v dargestellt werden (birationale Transformation).

Artin und F.K. Schmidt haben beide ihre algebraisch–arithmetische Theorie durch Einführung des Analogons zur Dedekindschen ζ–Funktion und Entwicklung einer analogen Theorie von Residuum bei s = 1, Funktionalgleichung und Nullstellenproblem ergänzt. Über diese analytische Theorie will ich nachstehend berichten, und zwar insbesondere über das Nullstellenproblem. Dieses ist zwar unendlich viel einfacher, als das Nullstellenproblem der Riemannschen und der Dedekindschen ζ–Funktionen, hauptsächlich deshalb, weil die Artinschen und F.K. Schmidtschen Kongruenzzetafunktionen periodisch im imaginären Teil t von s = σ + it (mit der Periode \frac{2π}{log p}) sind, während die Riemannsche und die Dedekindschen ζ–Funktionen nur fastperiodisch in t sind. Aber es bleibt noch immer ein tiefliegendes mathematisches Problem, das bis heute nur in Spezialfällen befriedigend gelöst ist. Immerhin zeigen schon diese Spezialfälle, und weitere in Richtung des Analogons zur Riemannschen Vermutung liegenden Teilresultate, daß für die Artinschen und F.K. Schmidtschen ζ–Funktionen das Nullstellenproblem mit den heutigen Hilfsmitteln „angreifbar“ ist, während es bei der Riemannschen und den Dedekindschen ζ–Funktionen heute völlig „unangreifbar“ erscheint.

Ich werde mich hier sofort an die allgemeine F.K. Schmidtsche Definition der ζ–Funktion ζ_{K}(s) eines Körpers K der oben beschriebenen Art halten. Diese ist nicht nur durch die Allgemeinheit von der Artinschen unterschieden — Artin behandelt nur quadratische Körper K über P_{p}(x) — , sondern auch dadurch, daß F.K. Schmidt von vornherein den birational invarianten Standpunkt der algebraischen Funktionentheorie einnimmt, bei dem der Körper P_{p}(x) und folglich auch der Grad [K : P_{p}(x)] gar keine invariante Bedeutung hat, und eine birational invariante Funktion ζ_{K}(s) definiert. Der Übergang zu der nicht–invarianten Artinschen Funktion im Artinschen Spezialfall, der invariant als der „hyperelliptische“ Fall charakterisiert ist, kann dann leicht vollzogen werden (Abspaltung endlich vieler trivialer Faktoren), interessiert aber nicht weiter.

2.) Die F.K. Schmidtsche Definition der Funktion ζ_{K}(s) beruht auf dem Begriff der Primstelle und des Primdivisors von K, die in voller Analogie zur Theorie der gewöhnlichen algebraischen Funktionen einführbar sind. Man muß zur Herstellung der Analogie nur nicht von der geometrisch–anschaulichen Definition der Riemannschen Fläche und ihrer Stellen ausgehen, sondern von der arithmetisch–abstrakten. Am besten kommt das in der Sprechweise der Bewertungstheorie zum Ausdruck.

Unter einer Primstelle 𝔓 von K versteht man eine Bewertung von K. Es stellt sich heraus, daß jede Bewertung von K diskret ist, d. h. es gibt ein Element Π größten Wertes < 1, und jedes Element A ≠ 0 von K ist dann eindeutig in der Form

A = E Π^{a}

darstellbar, wo a ganz–rational ist und E den Wert 1 hat, sodaß

|A|_{𝔓} = |Π|_{𝔓}^{a}

der Wert von A für 𝔓 ist. a heißt die Ordnung von A für 𝔓. A heißt ganz für 𝔓, wenn a ≧ 0, durch 𝔓^{b} teilbar, wenn a ≧ b. Hiernach ist klar, was Restklasse mod 𝔓^{b} (im Bereich der für 𝔓 ganzen A) heißt. Die Restklassen mod 𝔓 bilden einen Körper. Dieser erweist sich als endlich, sein Grad f über P_{p} heißt der (absolute) Grad von 𝔓, seine Elementzahl p^{f} heißt die (absolute) Norm von 𝔓, Bezeichnung 𝔑𝔓 = p^{f}.

Dabei ist hier wie durchweg im folgenden P_{p} bei gegebenem K als der größte endliche Teilkörper von K zu verstehen. Dann ist also jedes nicht zu P_{p} gehörige Element x aus K über P_{p} transzendent und kann zum algebraischen Aufbau von K von P_{p}(x) aus verwendet werden.

Eine Übersicht über alle Primstellen 𝔓 von K werden wir gleich entwickeln. Sie ergibt insbesondere, daß es nur abzählbar viele solche gibt. Die ζ–Funktion von K ist dann definiert durch:

ζ_{K}(s) = ∏_{𝔓} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑𝔓^{s}}} .

Indem man formal beliebige Potenzprodukte je endlich vieler 𝔓:

𝔄 = 𝔓_{1}^{a_{1}} ⋯ 𝔓_{r}^{a_{r}}

mit ganz–rationalen Exponenten als Divisoren einführt (die 𝔓 heißen daher dann auch Primdivisoren) und die ganzen Divisoren als solche mit Exponenten a_{i} ≧ 0 erklärt, erhält man (vorbehaltlich des Konvergenznachweises) die andere Darstellung:

ζ_{K}(s) = ∑_{𝔄} \frac{1}{𝔑𝔄^{s}} ,

wo über alle ganzen Divisoren 𝔄 von K summiert ist und

𝔑𝔄 = 𝔑𝔓_{1}^{a_{1}} ⋯ 𝔑𝔓_{r}^{a_{r}}

gesetzt ist.

Die sämtlichen Primstellen 𝔓 von K kann man durch Einführung einer Darstellung

K = P_{p}(x, y)

von P_{p}(x) aus durch algebraische Erweiterung übersehen. Jede Bewertung 𝔓 von K entsteht nämlich durch Fortsetzung einer Bewertung 𝔭 von P_{p}(x), und umgekehrt läßt sich jede Bewertung 𝔭 von P_{p}(x) auf endlich viele Arten zu Bewertungen 𝔓 von K fortsetzen. Genauer gilt dabei: Sind 𝔓_{1}, …, 𝔓_{r} die zu 𝔭 gehörigen Primstellen von K und e_{1}, …, e_{r} ihre Relativordnungen (ein Primelement π für 𝔭 hat die Ordnung e_{i} für 𝔓_{i}), f_{1}, …, f_{r} ihre Relativgrade (der Restklassenkörper mod 𝔓_{i} hat über dem mod 𝔭 den Relativgrade f_{i}), so ist

∑_{i=1}^{r} e_{i}f_{i} = n_{x}

der Grad von K über P_{p}(x). Man schreibt dann auch:

𝔭 = 𝔓_{1}^{e_{1}} ⋯ 𝔓_{r}^{e_{r}}, N(𝔓_{i}) = 𝔭^{f_{i}}.

(So kann dann auch die Relativnorm beliebiger Divisoren in bezug auf P_{p}(x) erklärt werden, doch brauchen wir das nicht.) Ist f_{0} der Absolutgrad von 𝔭, so sind f_{0}f_{i} die Absolutgrade der 𝔓_{i}. Die Aufgabe, alle Primdivisoren 𝔓 von K zu ermitteln reduziert sich dann auf zwei Punkte:

a.) alle Primdivisoren 𝔭 von P_{p}(x) zu ermitteln,

b.) die Zerlegung der 𝔭 in K zu ermitteln.

Die letztere Aufgabe ist das Analogon zur Herleitung des Zerlegungsgesetzes in der algebraischen Zahlentheorie. Für über P_{p}(x) abelsche K hat F. K. Schmidt sie in voller Analogie dazu durch Übertragung der gesamten Klassenkörpertheorie gelöst. Wir brauchen das hier nicht, sind ja auch nicht bloß mit dem abelschen Spezialfall beschäftigt; für den Artinschen Spezialfall liegt natürlich gerade ein solcher abelscher Fall vor. Wir brauchen hier im wesentlichen nur den schon angegebenen allgemeinen Typ des Zerlegungsgesetzes.

Die erstere Aufgabe ist leicht gelöst. An Bewertungen 𝔭 von P_{p}(x) gibt es genau die folgenden: Für jede (normierte) Primfunktion P (x) eine, nämlich nach der Teilbarkeit durch P (x), π = P (x), f_{0} = Grad von P (x); und außerdem eine unendliche Primstelle 𝔭_{∞}, der „absoluten“ Bewertung von P_{p}(x) (nach dem Grad) entsprechend, π = \frac{1}{x}.

Aus dieser Übersicht über die Primdivisoren und damit alle Divisoren von K ergibt sich die Konvergenz und Gültigkeit obiger beiden Darstellungen von ζ_{K}(s) dort.

Die Artinsche ζ–Funktion würde entstehen, wenn man die endlich vielen 𝔓/𝔭_{∞} ausläßt. Wir wollen das nicht weiter verfolgen.

3.) Um nun zu tieferliegenden Einsichten in die Struktur von ζ_{K}(s) zu gelangen, braucht man ein ziemlich tief liegendes Theorem über die Divisoren von K, nämlich das Analogon des Riemann–Rochschen Satzes. Für die additive Darstellung der Funktion ζ_{K}(s) kommt es nämlich nur darauf an zu wissen, wieviel ganze Divisoren 𝔄 mit gegebener 𝔑𝔄 = p^{n} es in K gibt. Ich nenne n auch den Grad des Divisors 𝔄. Jeder durch ein Element A ≠ 0 aus K gelieferte Divisor hat den Grad 0 und legt das Element A bis auf eine Einheit (Element aus P_{p}) eindeutig fest. Diese Divisoren sind (bis auf den den Einheiten entsprechenden Divisor 1) sämtlich gebrochen, treten also in ζ_{K}(s) nicht direkt in Erscheinung. Wohl aber indirekt so: Mit 𝔄 haben auch alle Divisoren 𝔄A den Grad n. Diese bilden die Klasse des Divisors 𝔄. Für die Funktion ζ_{K}(s) kommt es also nur darauf an:

a.) Die Divisorenklassen zu übersehen,

b.) Die Anzahl der ganzen Divisoren einer Klasse zu kennen.

Das letztere, und dann auch das erstere, leistet der Riemann–Rochsche Satz, und zwar das letztere genau nach dem Schema der algebraischen Zahlentheorie:

Ist C eine Klasse, ℭ fest aus C^{−1}, so entsprechen die ganzen Divisoren 𝔄 aus C auf Grund von

𝔄 = \frac{A}{ℭ}

umkehrbar eindeutig bis auf den willkürlichen Einheitsfaktor den ganzen Multipla A ≠ 0 von ℭ. Genauer ist d die Anzahl der bzgl. P_{p} linear unabhängigen ganzen Multipla von ℭ, so ist d unabhängig von der Auswahl des festen Divisors ℭ aus C (Dimension von C, Bezeichnung {C}), und dann \frac{p^{d}−1}{p−1} die Anzahl aller ganzen Divisoren von C. Das Analogon des Riemann– Rochschen Satzes macht nun eine Aussage über die Dimension {C}. Ganz analog wie in der algebraischen Zahlentheorie kann man nämlich zu jeder Klasse C eine komplementäre Klasse C′ definieren. Man stützt sich dazu auf ein festes x (so, daß K über P_{p}(x) von 1. Art ist, was stets erreichbar), und betrachtet zunächst den Divisor

ℨ_{x} = \frac{𝔇_{x}}{𝔑_{x}^{2}} ,

wo 𝔇_{x} der Differentendivisor von K über P_{p}(x) ist (in üblicher Weise erklärt) und 𝔑_{x} der Nennerdivisor von x. Die Klasse W dieses Divisors erweist sich als eine Invariante (Analogon der Differentialklasse der algebraischen Funktionentheorie), insbesondere also auch sein Grad, den man als 2g − 2 bezeichnet. Es ist dann g das Analogon des Geschlechts, das sich (gerade durch den Riemann–Rochschen Satz) als ganzzahlig ≧ 0 erweist, und das man aus den Graden d_{x} und n_{x} von 𝔇_{x} und 𝔑_{x} also so berechnet:

2g − 2 = d_{x} − 2n_{x}, g = \frac{d_{x}}{2} − n_{x} + 1.

Zwei Klassen C, C′ heißen komplementär, wenn

CC′ = W

ist. Und das Analogon des Riemann–Rochschen Satzes sagt aus:

{C} = {C′} + n − (g − 1)

und somit

\{C\} − \frac{n}{2} = \{C′\} − \frac{n′}{2} ,

wenn n, n′ die Grade von C und C′ sind. Das ergibt insbesondere die Ganzzahligkeit von g, und (für n = 2g − 1) auch g ≧ 0. Für n > 2g − 2 ist n′ < 0 also sicher {C′} = 0, d. h.

{C} = n − (g − 1) für n > 2g − 2.

Mittels des Analogons des Riemann–Rochschen Satzes ergibt sich dann ferner, daß es für jeden Grad n nur endlich viele, und zwar gleich viele Divisorenklassen gibt. Diese Anzahl h, eine wichtige Invariante von K, heißt die Klassenzahl von K.

[ h ist nicht das genaue Analogon der gewöhnlichen Klassenzahl algebraischer Zahlkörper. Dieses kommt vielmehr erst heraus, wenn man ein Element x auszeichnet und zu den Idealen des Integritätsbereichs ℑ_{x} der in x ganzen Elemente übergeht (Auslassung der endlich vielen Primdivisoren 𝔓/𝔭_{∞} = \frac{1}{x}, Artinscher Standpunkt). Man findet:

h = \frac{h_{x}R_{x}}{u_{x}} ,

wo

h_{x} die Idealklassenzahl in ℑ_{x}
R_{x} der Regulator von ℑ_{x}
u_{x} der gr. gem. Teiler der Grade der 𝔓/𝔭_{∞} = \frac{1}{x}.]

Daß es wirklich für jeden Grad n Divisoren in K gibt, ist allerdings erst eine Folge aus der analytischen Theorie (Residuum von ζ_{K}(s)). Ich stelle diese Tatsache hier, wo es sich nur um einen Tatsachenbericht nicht um Beweise handelt, voran, um die Formeln nicht mit einem Parameter n_{0} (gr. gem. Teiler der Grade aller Primdivisoren — kleinster positiver Divisorengrad) zu belasten, der sich dann doch nachträglich als 1 herausstellt.

Ferner ergibt sich dann auch noch, daß man x stets so wählen kann, daß [K : P_{p}(x)] = g +1 ist (für n = g +1 ist {C} ≧ 2, was die Existenz eines nicht zu P_{p} gehörigen Hauptdivisors x mit Zähler und Nenner vom Grade g + 1 ergibt). Für g = 0 folgt speziell, daß K als P_{p}(x) selbst darstellbar ist.

4.) Aus dem Vorstehenden ergibt sich unmittelbar folgende Entwicklung für ζ_{K}(s):

ζ_{K}(s) = ∑_{n=0}^{∞} ∑_{i=1}^{h} \frac{p^{\{C_{n}^{(i)}\}} − 1}{p − 1} · \frac{1}{p^{ns}} ,

wo C_{n}^{(i)} jeweils die h Klassen des Grades n durchläuft, und dann weiter:

ζ_{K}(s) = ∑_{n=0}^{2g−2} ∑_{i=1}^{h} \frac{p^{\{C_{n}^{(i)}\}} − 1}{p − 1} · \frac{1}{p^{ns}} + h · ∑_{n=2g−1}^{∞} \frac{p^{n−(g−1)} − 1}{p − 1} · \frac{1}{p^{ns}}

(auch für g = 0, weil dann der formal eingeführte Summand mit n = −1 in der zweiten Summe Null ist, während die erste Summe ja leer ist). Für g = 0 (also h = 1) ergibt sich so als Analogon der gewöhnlichen Riemannschen ζ–Funktion:

ζ(s) = \frac{1}{p − 1} [\frac{p}{1 − \frac{p}{p^{s}}} − \frac{1}{1 − \frac{1}{p^{s}}} ]

= \frac{1}{1 − \frac{p}{p^{s}}} · \frac{1}{1 − \frac{1}{p^{s}}}

= \frac{p^{s}}{p − 1} [1 + \frac{p^{1−s}}{1 − p^{1−s}} + \frac{p^{s}}{1 − p^{s}} ] .

Für g > 0 kann man ferner so schreiben:

ζ_{K}(s) = \frac{1}{p − 1} ∑_{n=0}^{2g−2} ∑_{i=1}^{h} \frac{p^{\{C_{n}^{(i)}\}}}{p^{ns}} + \frac{h}{p − 1} \frac{1}{p^{(g−1)s}} [\frac{p^{g(1−s)}}{1 − p^{1−s}} + \frac{p^{gs}}{1 − p^{s}} ] .

Hieraus liest man ab:

I.) ζ_{K}(s) ist periodisch mit der Periode \frac{2πi}{log p} und regulär in der ganzen Ebene bis auf Pole 1. Ordnung bei s = 0, s = 1 und den homologen Stellen mit den Residuen

−\frac{h}{p − 1} · \frac{1}{log p} , \frac{1}{p^{g−1}} · \frac{h}{p − 1} · \frac{1}{log p} .

Ferner folgert man leicht:

II.) ζ_{K}(s) genügt der Funktionalgleichung:

p^{(g−1)s}ζ_{K}(s) = p^{(g−1)(1−s)}ζ_{K}(1 − s).

Für die Polglieder ist das aus obiger Schreibweise ersichtlich: sie tauschen sich bei s → 1 − s aus. Das tun auch die Glieder der ersten Summe, die man nach Abspaltung des Faktors \frac{1}{p−1} · \frac{1}{p^{(g−1)s}} ja so schreiben kann:

p^{(g−1)s} ∑_{n=0}^{2g−2} ∑_{C_{n}} \frac{p^{\{C_{n}\}}}{p^{ns}} = p^{\frac{g−1}{2}} ∑_{n=0}^{2g−2} ∑_{C_{n}} \frac{p^{\{C_{n}\}− \frac{n}{2}}}{p^{(n−(g−1))(s− \frac{1}{2} )}}

= p^{\frac{g−1}{2}} ∑_{n=0}^{2g−2} ∑_{C_{n}} \frac{p^{\{C_{n}\}− \frac{n}{2}}}{p^{(\{C_{n}\}−\{C′_{n′}\})(s− \frac{1}{2} )}} ;

hier sind \{C_{n}\} − \frac{n}{2} und \{C_{n}\} − \{C′_{n′}\} symmetrisch bzw. antisymmetrisch in den komplementären Klassen C_{n}, C′_{n′} (ersteres nach dem Analogon des Riemann–Rochschen Satzes), und der Summationsbereich wird durch C_{n} → C′_{n′} in sich abgebildet. —

In der üblichen, von der gewöhnlichen Riemannschen ζ–Funktion bekannten Weise folgert man aus der Produktentwicklung und dem Pol bei s = 1 ferner:

III.) ζ_{K}(s) ≠ 0 für σ = 1; daher liegen die ev. Nullstellen von ζ_{K}(s) sämtlich in 0 < σ < 1.

Ferner:

IV.) Es ist

\frac{ζ_{K}(s)}{ζ(s)} = 1 + \frac{σ_{1}}{p^{s}} + ⋯ + \frac{σ_{2g}}{p^{2gs}} = P (z)

ein Polynom vom Grade 2g in z = \frac{1}{p^{s}} . Hierin ist

σ_{1} = N_{1} − (p + 1),

wo N_{1} die Anzahl der ganzen (Prim–)Divisoren vom Grade 1 in K ist, und

σ_{2g} = p^{g}.

ζ_{K}(s) hat also für g > 0 wirklich Nullstellen, nämlich genau 2g im Periodenstreifen.

Zum Beweis betrachte man ζ_{K}(s) und ζ(s) als rationale Funktionen von z = \frac{1}{p^{s}} . Im Endlichen haben beide Pole genau bei z = 1 und z = \frac{1}{p}, und zwar von der 1. Ordnung. Also ist der Quotient \frac{ζ_{K}(s)}{ζ(s)} ein Polynom in z, da ja ζ(s) keine Nullstellen hat. Grad und höchster Koeffizient ergeben sich ohne weiteres durch Betrachtung der höchsten Glieder in z bei ζ_{K}(s) und ζ(s):

\{C_{2g−2}^{(i)}\} = \begin{cases}g − 1 & für C_{2g−2}^{(i)} ≠ W, \\ g & für C_{2g−2}^{(i)} = W. \end{cases}

ζ_{K}(s) : z^{2g−2} (\frac{(h−1)p^{g−1}+p^{g}}{p−1} − \frac{hp^{g−1}}{p−1} ) = z^{2g−2}p^{g−1}
ζ(s) : z^{−2}p^{−1}
ζ_{K}(s) : z^{2g}p^{g} , also Grad 2g, σ_{2g} = p^{g}.

Der Koeffizient von z ergibt sich einfach aus:

ζ_{K}(s) = 1 + \frac{N_{1}}{p^{s}} + ⋯
ζ(s) = 1 + \frac{p+1}{p^{s}} + ⋯,

letzteres, da in P_{p}(x) genau p+1 Primdivisoren vom Grad 1 vorhanden sind, entsprechend den p linearen Primfunktionen x − a, nebst dem unendlichen Primdivisor 𝔭_{∞} = \frac{1}{x} . —

5.) Für die Behandlung der Nullstellen von ζ_{K}(s) ist es bequemer, z = p^{s} zu setzen und

p^{2gs} \frac{ζ_{K}(s)}{ζ(s)} = P (z) = z^{2g} + σ_{1}z^{2g−1} + ⋯ + σ_{2g}
= z^{2g} + (N_{1} − (p + 1))z^{2g−1} + ⋯ + p^{g}

zu schreiben. Seien ρ_{1}, …, ρ_{2g} die Nullstellen und

β_{i} = p^{ρ_{i}}

die ihnen entsprechenden z–Werte, also

p^{2gs} \frac{ζ_{K}(s)}{ζ(s)} = P (z) = (z − β_{1}) ⋯ (z − β_{2g}).

Dann liegen also die β_{i} alle im Kreisring

1 < |β_{i}| < p.

Das Analogon der Riemannschen Vermutung besagt:

|β_{i}| = p^{\frac{1}{2}} = \sqrt{p}

NB. Die Residuen bei s = 0 und s = 1 liefern dann übrigens folgende Klassenzahlformeln:

h = (1 − β_{1}) ⋯ (1 − β_{2g}) = P (1)
h = p^{−g}(p − β_{1}) ⋯ (p − β_{2g}) = p^{−g}P (p)

die durch die Funktionalgleichung zusammenhängen:

z^{−g}P (z) = (\frac{p}{z})^{−g}P (\frac{p}{z}).

Eine erste Annäherung daran kann man durch direkte Berechnung des Koeffizienten

σ_{1} = N_{1} − (p + 1) = −(β_{1} + ⋯ + β_{2g})

erhalten. Um an die β_{i} selbst heranzukommen, ist es aber unbequem, auch die weiteren Koeffizienten von P (z) durch die Anzahlen der Divisoren höherer Grade auszudrücken. Man kann vielmehr eleganter und wirksamer stattdessen mit den höheren Potenzsummen der Wurzeln β_{i} operieren, die einer Deutung in unserer analytischen Theorie fähig sind. Es gilt nämlich:

V.) Entsteht K_{r} aus K durch (die!) Erweiterung r–ten Grades des Koeffizientenkörpers P_{p} zu P_{p^{r}}, so ist

ζ_{K_{r}}(s) = ∏_{ρ=0}^{r−1} ζ_{K} (s − \frac{2πi}{log p} · \frac{ρ}{r})

ζ_{r}(s) = ∏_{ρ=0}^{r−1} ζ (s − \frac{2πi}{log p} · \frac{ρ}{r})

also

p^{2grs} \frac{ζ_{K_{r}}(s)}{ζ_{r}(s)} = P_{r}(z^{r}) = ∏_{ρ=0}^{r−1} (z − e^{\frac{2πiρ}{r}} β_{1}) ⋯ (z − e^{\frac{2πiρ}{r}} β_{2g})
= (z^{r} − β_{1}^{r}) ⋯ (z^{r} − β_{2g}^{r}),

NB. Es tritt z^{r} = p^{rs} an Stelle von z.

und somit

σ_{1}^{(r)} = N_{1}^{(r)} − (p^{r} + 1) = −(β_{1}^{r} + ⋯ + β_{2g}^{r}).

Das folgt einfach aus der Produktentwicklung

ζ_{K}(s) = ∏_{𝔓} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑𝔓^{s}}} , ζ(s) = ∏_{𝔭} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑𝔭^{s}}}

und dem leicht herleitbaren Zerlegungsgesetz bei Übergang von K zu K_{r} bzw. P_{p}(x) zu P_{p^{r}}(x) (Kreiskörper der (p^{r} − 1)–ten E. W.!):

𝔓 = 𝔓_{1}^{(r)} ⋯ 𝔓_{j}^{(r)}, N𝔓_{i}^{(r)} = 𝔓^{k}; 𝔭 = 𝔭_{1}^{(r)} ⋯ 𝔭_{j_{0}}^{(r)} , N𝔭_{i}^{(r)} = 𝔭^{k_{0}} , jk = r, j_{0}k_{0} = r

wenn k, k_{0} die frühesten Exponenten sind, für die

𝔑𝔓^{k} ≡ 1 mod p^{r} − 1, 𝔑𝔭^{k_{0}} ≡ 1 mod p^{r} − 1,

d. h. wenn

𝔑𝔓 = p^{n},  𝔑𝔭 = p^{n_{0}}

ist, für die

kn ≡ 0 mod r,  k_{0}n_{0} ≡ 0 mod r

ist. Es ist formal genau dasselbe, wie die Aufspaltung der gewöhnlichen Dedekindschen ζ–Funktion des Klassenkörpers in die L–Reihen der Charaktere der zugeordneten Klasseneinteilung des Grundkörpers. Hier sind eben K_{r}, P_{p^{r}}(x) Klassenkörper zu den Gruppen

𝔑𝔄 ≡ 1 mod p^{r} − 1, 𝔑𝔞 ≡ 1 mod p^{r} − 1

in K, P_{p}(x). —

6.) Zur vollen Beherrschung der β_{i} genügt es daher, die Anzahlen N_{1}^{(r)} in den K_{r} zu studieren. Diese hängen nun mit den Lösungsanzahlen N^{(r)} einer K definierenden Gleichung

F (x, y) = 0

in den endlichen Koeffizientenkörpern P_{p^{r}} zusammen.

NB. F (x, y) ist so normiert angenommen, daß es Polynom in P_{p}[x] mit höchstem Koeffizienten 1 in y ist.

In der Tat entspricht jedenfalls jedem 𝔓 vom Grad 1 in K, von den 𝔓/𝔭_{∞} = \frac{1}{x} abgesehen, eine Lösung a, b von F (x, y) in P_{p}. Denn mod 𝔓 sind alle Restklassen in P_{p} vertretbar und

F (a, b) ≡ 0 mod 𝔓 ⟷ F (a, b) = 0.

Umgekehrt entspricht jeder Lösung a, b mindestens ein 𝔓 vom Grade 1, nämlich 𝔓 | 𝔭 = x − a. Es kann allerdings sein, daß einer u. derselben Lösung a, b mehrere 𝔓 entsprechen (die sich erst durch Betrachtung der Grundgleichung F (x, y) = 0 nach höheren Potenzen von 𝔭 = x − a als Modul voneinander trennen). Dies tritt aber, wie in der algebraischen Zahlentheorie, nur für außerwesentliche Diskriminantenteiler 𝔭 ein, d. h. für solche Teiler der Diskriminante D(x) von F (x, y) in bezug auf y, die in der Diskriminante 𝔡_{x} = N(𝔇_{x}) von ℑ_{x} nicht ebensohoch aufgehen. Da sie dann im Quadrat in D(x) aufgehen, muß für sie D(x) die Doppelwurzel a haben.

Hat also D(x) keine Doppelwurzel in P_{p}, so ist die Anzahl der endlichen 𝔓 vom Grade 1 genau gleich der Lösungszahl N, und ganz entsprechend auch für die 𝔓^{(r)} und N^{(r)}, wenn D(x) überhaupt keine Doppelwurzel hat. Allgemein zeigt F. K. Schmidt, daß die Differenz zwischen beiden Anzahlen ≦ \frac{\overline{d}_{x}n_{x}}{2} ist, wenn \overline{d}_{x} den Grad von D(x) in x angibt;

N. B. \overline{d}_{x} ist ≧ d_{x}, wo d_{x} die obige Bedeutung (S. 8^{▶}) hat.

denn den höchstens \frac{\overline{d}_{x}}{2} Doppelwurzeln können immer höchstens n_{x} Lösungen und Primteiler 𝔓 entsprechen. Berücksichtigt man noch die höchstens n_{x} unendlichen 𝔓/𝔭_{∞} = \frac{1}{x} vom Grad 1, so folgt also stets:

|N_{1}^{(r)} − N^{(r)}| ≦ (\frac{\overline{d}_{x}}{2} + 1) n_{x}.

Wesentlich ist, daß die rechte Seite von r und auch von den Koeffizienten von F unabhängig ist, sondern nur von den durch F definierten Gradzahlen \overline{d}_{x} und n_{x} abhängt. In diesem Sinne sei im folgenden stets das auf r → ∞ bezügliche Landausche 𝒪(⋯) verstanden, also hier:

N_{1}^{(r)} = N^{(r)} + 𝒪(1).

Wir wollen jetzt annehmen, es sei

(A) N^{(r)} − p = 𝒪(p^{ϑr})

mit einem ϑ im Intervall \frac{1}{2} ≦ ϑ < 1 bewiesen, das nicht von r abhängt. Dann folgt nach dem Prinzip des Graeffeschen Näherungsverfahrens, weil ja dann auch

N_{1}^{(r)} − (p + 1) = −(β_{1}^{(r)} + ⋯ + β_{2g}^{(r)}) = 𝒪(p^{ϑr})

ist, daß jedes

|β_{i}| ≦ p^{ϑ}

ist. (Hier wird wesentlich die Gleichmäßigkeit der 𝒪 in r benutzt.) Das ist dann also ein Resultat in Richtung der Riemannschen Vermutung für die Funktion ζ_{K}(s), und für ϑ = \frac{1}{2} sie selbst. Überdies folgt automatisch die genauere Abschätzung

|N_{1}^{(r)} − (p + 1)| ≦ 2gp^{ϑr},

und daraus

|N^{(r)} − p| ≦ 2gp^{ϑr} + 1 + (\frac{\overline{d}_{x}}{2} + 1) n_{x},

statt der zunächst nur angenommenen rohen Abschätzungen.

Alles kommt also auf die Herleitung einer Abschätzung vom Typus (A) an.

7.) Ich beschäftige mich jetzt mit dem hyperelliptischen Spezialfall, wo also K durch eine Gleichung

F (x, y) = y^{2} − F (x) = 0 (F (x) Polynom über P_{p})

definiert ist:

K = P_{p}(x, \sqrt{F (x)} ).

NB. Ist F (x) nicht konstant, so ist dabei in der Tat auch P_{p} der größte in K enthaltene absolut–abelsche Körper.

In diesem Fall haben die englischen Mathematiker Mordell und Davenport neuerdings Abschätzungen vom Typus (A) hergeleitet, allerdings nur für den Fall, daß p Primzahl ist, wo es sich dann also um die Lösungsanzahl einer Kongruenz des obigen Typus mit ganz–rationalen Zahlkoeffizienten nach einem Primzahlmodul p handelt. Der allgemeine Fall (p Primzahlpotenz), der in dieser Sprechweise der Kongruenzlösungsanzahl nach einem Primidealmodul eines algebraischen Zahlkörpers entspricht, läßt sich aber, wie ich zeigen konnte, mit denselben Methoden durch Hinzufügung einer einzigen neuen Idee behandeln. Das will ich nachstehend auseinandersetzen.

Wir setzen zunächst p ≠ 2 voraus. Für p = 2 ist nämlich K von 2. Art über P_{p}(x), also — Irreduzibilität — von 1. Art über P_{p}(y), und wegen P_{p}(y) ≅ P_{p}(y^{2}) ist g = 0. Das interessiert also nicht.

Wir setzen ferner voraus, daß F (x) keine Doppelwurzel hat (weder in P_{p} noch in irgendeinem P_{p^{k}}). Denn sonst reduziert sich die Aufgabe über einem geeigneten P_{p^{k}} auf eine Gleichung y^{2} − Φ(x) = 0 mit Φ von niedrigerem Grade als F, und für unsere Aufgabe kommt es doch nur auf die Behandlung in einer Serie „aufsteigender“ P_{p^{r}} an, gleichgültig, ob man bei P_{p} selbst oder bei einem P_{p^{k}} anfängt.

Unter diesen Voraussetzungen ist für den Körper K:

n_{x} = 2, d_{x} = 2n, wenn F vom Grade 2n − 1 oder 2n ist,

also

g = \frac{d_{x}}{2} − n_{x} + 1 = n − 1

Daher können wir auch noch den Fall n = 1 eines linearen oder quadratischen F ausschließen, der ja wieder auf g = 0 führt.

Die Lösungsanzahl N = N(F) von F (x) = y^{2} in P_{p} läßt sich nun mittels des quadratischen Charakters χ von P_{p} folgendermaßen ausdrücken:

N(F) = ∑_{x} (1 + χ(F (x))) = p + ∑_{x} χ(F (x)),

wo x den Körper P_{p} durchläuft; denn 1 + χ(b) ist die Lösungszahl von y^{2} = b in P_{p}.

Nun gilt für den Charakter χ die folgende Darstellung: Es sei

e(u) = e^{\frac{2πiSp u}{p}} , wo Sp u = u + u^{p_{0}} + ⋯ + u^{p_{0}^{r_{0}−1}} die Spur in P_{p} ist (p = p_{0}^{r_{0}}).

Dann ist

∑_{t} χ(t)e(tb) = χ(b) ∑_{t} χ(t)e(t),

da tb für b ≠ 0 mit t den Körper P_{p} durchläuft, während für b = 0 beide Seiten 0 sind. Hier ist bekanntlich

∑_{t} χ(t)e(t) = G(χ) = ±\sqrt{χ(−1)p} (Gaußsche Summe; auf das Vorzeichen kommt es hier nicht an).

Daraus folgt die angekündigte Darstellung:

χ(b) = \frac{1}{G(χ)} ∑_{t} χ(t)e(tb) = \frac{±\sqrt{χ(−1)}}{\sqrt{p}} ∑_{t} χ(t)e(tb).

Damit erhält man für die zu bestimmende Anzahlfunktion:

N(F) − p = \frac{±\sqrt{χ(−1)}}{\sqrt{p}} ∑_{x,t} χ(t)e(tF (x)).

Das erheben wir in die 2n + 2 –te Potenz:

\begin{aligned}(N(F) − p)^{2n+2} = \frac{χ(−1)^{n+1}}{p^{n+1}} ∑_{x_{ν},t_{ν}} & χ(t_{1} ⋯ t_{2n+2})e(t_{1}F (x_{1}) + ⋯ \\ & ⋯ + t_{2n+2}F (x_{2n+2})), \end{aligned}

und summieren dann über alle p^{2n+1} Polynome F in P_{p}, deren Grad ≦ 2n ist (ohne Rücksicht auf die oben geforderten Einschränkungen für F — die uns interessierenden F kommen ja dabei sicher alle vor!). Rechts ziehen wir die Summation über die Koeffizienten c_{ν} von

F (x) = c_{0} + c_{1}x + ⋯ + c_{2n}x^{2n}

\underline{Marburg 1933 I} 130 nach innen. Dann entsteht:

∑_{F} (N(F) − p)^{2n+2} = \frac{χ(−1)^{n+1}}{p^{n+1}} ∑_{x_{ν},t_{ν}} χ(t_{1}, …, t_{2n+2}) ∑_{c_{ν}} e(c_{0}S_{0} + ⋯
⋯ + c_{2n}S_{2n})

= \frac{χ(−1)^{n+1}}{p^{n+1}} ∑_{x_{ν},t_{ν}} χ(t_{1}, …, t_{2n+2}) ∑_{c_{0}} e(c_{0}S_{0}) ⋯

⋯ ∑_{c_{2n}} e(c_{2n}S_{2n}),

wo zur Abkürzung gesetzt ist:

S_{0} = t_{1} + ⋯ + t_{2n+2}

S_{1} = t_{1}x_{1} + ⋯ + t_{2n+2}x_{2n+2}
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
S_{2n} = t_{1}x_{1}^{2n} + ⋯ + t_{2n+2}x_{2n+2}^{2n}.

Nun gilt

∑_{c} e(cu) = \begin{cases}p & für u = 0 \\ 0 & für u ≠ 0 \end{cases}

Ersteres ist klar. Um letzteres einzusehen, stelle man c durch eine Basis w_{1}, …, w_{r_{0}} von P_{p} dar:

c = γ_{1}w_{1} + ⋯ + γ_{r_{0}}w_{r_{0}}, γ_{i} in P_{p_{0}}.

Dann wird

∑_{c} e(cu) = ∑_{γ_{1}} e(γ_{1}w_{1}u) ⋯ ∑_{γ_{r_{0}}} e(γ_{r_{0}}w_{r_{0}}u).

Hier ist nun

∑_{γ} e(γwu) = ∑_{γ} e^{\frac{2πiγSp(wu)}{p}} = \begin{cases}p & für Sp(wu) = 0 \\ 0 & ∥ Sp(wu) ≠ 0. \end{cases}

Wäre nun durchweg

Sp(w_{i}u) = 0 (i = 1, …, r_{0}),

so folgte wegen

|w_{i}^{p_{0}^{k}}| ≠ 0

notwendig

u = 0.

Somit ist für u ≠ 0 mindestens eine Sp(w_{i}u) ≠ 0, d. h. die entsprechende ∑_{γ_{i}} e(γ_{i}w_{i}u) = 0, und daher auch ∑_{c} e(cu) = 0.

Für unsere Anzahlfunktion folgt daraus:

∑_{F} (N(F) − p)^{2n+2} = \frac{χ(−1)^{n+1}}{p^{n+1}} · p^{2n+1} · ∑_{x_{ν},t_{ν} ; erfüllen ; (G)} χ(t_{1} ⋯ t_{2n+2}),

wo über die Lösungen x_{ν}, t_{ν} des Gleichungssystems

(G)  \{ \begin{matrix}t_{1} + ⋯ + t_{2n+2} & = & 0 \\ t_{1}x_{1} + ⋯ + t_{2n+2}x_{2n+2} & = & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ t_{1}x_{1}^{2n} + ⋯ + t_{2n+2}x_{2n+2}^{2n} & = & 0 \end{matrix}

zu summieren ist. Es genügt, über diejenigen Lösungen zu summieren, für die alle t_{ν} ≠ 0 sind, wegen χ(0) = 0.

(G) ist bei festen x_{ν} linear homogen in den t_{ν} und enthält 2n+1 Gleichungen für 2n + 2 Unbekannte. Werden nun die x_{ν} zunächst alle untereinander verschieden vorgeschrieben, so ist der Rang gleich 2n + 1, also die t_{ν} bis auf einen Proportionalitätsfaktor eindeutig bestimmt, und zwar

t_{1} : t_{2} : ⋯: t_{2n+2} = Δ_{1} : −Δ_{2} : · · · · · · : −Δ_{2n+2},

wo Δ_{1}, …, Δ_{2n+2} die 2n + 1 –reihigen Unterdeterminanten der Matrix

(\begin{matrix}1 & · · · · · · · · · · · · & 1 \\ x_{1} & · · · · · · · · · · · · & x_{2n+2} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ x_{1}^{2n−1} & · · · · · · · · · · · · & x_{2n+2}^{2n−1} \\ x_{1}^{2n} & · · · · · · · · · · · · & x_{2n+2}^{2n} \end{matrix})

sind (Δ_{ν} entsteht durch Streichung der ν–ten Spalte), also

Δ_{ν} = ∏_{\begin{matrix}i>k \\ i,k≠ν \end{matrix}}(x_{i} − x_{k}).

Da bei der gemachten Voraussetzung alle Δ_{ν} ≠ 0 sind, sind für die Lösung auch wirklich alle t_{ν} ≠ 0, wenn nur der Proportionalitätsfaktor nicht 0 ist, und es ist (weil 2n + 2 gerade ist)

χ(t_{1} ⋯ t_{2n+2}) = χ(−1)^{n+1}χ(Δ_{1} ⋯ Δ_{2n+2}).

In Δ_{1} ⋯ Δ_{2n+2} kommt aber jede feste Differenz x_{i} −x_{k} (i > k) genau 2n–mal vor (nämlich für alle ν außer i und k). Daher ist Δ_{1} ⋯ Δ_{2n+2} ein Quadrat, und somit χ(Δ_{1} ⋯ Δ_{2n+2}) = 1, also

χ(t_{1} ⋯ t_{2n+2}) = χ(−1)^{n+1}.

Da es p(p − 1) ⋯ (p − (2n + 1)) Systeme durchweg verschiedener x_{ν} gibt und jedem p − 1 Lösungen t_{ν} ≠ 0 entsprechen, ergibt sich hiernach:

∑_{F} (N(F) − p)^{2n+2} = p^{n} · p(p − 1) ⋯ (p − (2n + 1)) · (p − 1)+

+ χ(−1)^{n+1}p^{n} \begin{matrix}∑ & ′ \\ (G) \end{matrix} χ(t_{1} ⋯ t_{2n+2})

= p^{3n+3} + 𝒪(p^{3n+2}) + χ(−1)^{n+1}p^{n} \begin{matrix}∑ & ′ \\ (G) \end{matrix} χ(t_{1} ⋯ t_{2n+2}),

wo die Restsumme nur noch über die Lösungen mit nicht durchweg verschiedenen x_{ν} zu erstrecken ist. 𝒪 bezieht sich auf p → ∞, was im Sinne unserer Anwendung liegt — Ersetzung von p durch p^{r} mit r → ∞.

Es seien jetzt unter den x_{ν} genau s < 2n+2 verschiedene, die in Gruppen von je ν_{1}, …, ν_{s} gleichen auftreten. Faßt man die Glieder dieser Gruppen in (G) zusammen, so entsteht ein System linearer homogener Gleichungen in der Anzahl 2n + 1 für s ≦ 2n + 1 Unbekannte, nämlich die den Gruppen entsprechenden Summen aus den t_{ν}. Hierbei haben die ersten s Gleichungen eine von 0 verschiedene Determinante, legen also jene t_{ν}–Summen zu 0 fest, und die übrigen Gleichungen bestehen dann von selbst.

NB. Das wird nicht gebraucht! ⟵ [ Ist also auch nur ein ν_{i} = 1, so wird das entsprechende t_{ν_{i}} = 0, und die Lösung fällt für uns aus. ]

Allgemein gibt es p(p − 1) ⋯ (p − (s − 1)) Möglichkeiten für die Werte der s verschiedenen x_{ν}, und wenn man noch die Verteilung auf die 2n + 2 Plätze berücksichtigt, jedenfalls nur 𝒪(p^{s}) Systeme der betrachteten Art. Jedem solchen System entsprechen genau p^{(ν_{1}−1)+···+(ν_{s}−1)} = p^{2n+2−s} Systeme t_{ν} (ohne Rücksicht auf t_{ν} ≠ 0). Schätzt man also für alle diese Lösungen χ(t_{1} ⋯ t_{2n+2}) noch durch 1 ab, so wird jedenfalls

\begin{matrix}∑ & ′ \\ (G) \end{matrix} χ(t_{1} ⋯ t_{2n}) = 𝒪(p^{2n+2}),

und damit endlich:

∑_{F} (N(F) − p)^{2n+2} = p^{3n+3} + 𝒪(p^{3n+2}).

Wir haben uns nunmehr mit der linken Seite zu befassen und dort das Äquivalent des „Hauptgliedes“ p^{3n+3} rechts zu suchen. Dies Äquivalent wird von denjenigen F geliefert, für die eine Zerfällung der Form

F = cF_{0}^{2}

in P_{p} besteht. Den Fall F = 0 können wir außer Acht lassen, da ersichtlich N(0) = p ist. Ist nun F = cF_{0}^{2} mit c ≠ 0, F_{0} ≠ 0, so bestimmt sich die Anzahl N(F) so:

a.) χ(c) = +1, also c = c_{0}^{2} in P_{p}. Dann reduziert sich die Forderung F (x) = y^{2} auf eine der beiden Forderungen:

c_{0}F_{0}(x) = y, c_{0}F_{0}(x) = −y.

Jede einzelne dieser Forderungen hat genau p Lösungen. Bei der Zusammenfügung sind genau diejenigen n_{0} Lösungen nur einmal zu zählen, für die y = 0 also F_{0}(x) = 0 ist; das sind höchstens n. Also:

N(F) = 2p − n_{0}, N(F) − p = p − n_{0}, wo 0 ≦ n_{0} ≦ n

b.) χ(c) = −1. Dann muß notwendig F_{0}(x) = 0, y = 0 sein, was genau n_{0} Lösungen ergibt:

N(F) = n_{0}, N(F) − p = n_{0} − p.

Für die betrachteten F = c_{0}F_{0}^{2} ≠ 0 wird also

|N(F) − p| = p + 𝒪(1).

Solche F gibt es nun genau p^{n+1} − 1. Denn F_{0} ≠ 0 gibt es p^{n+1} − 1, c ≠ 0 gibt es p − 1, und cF_{0}^{2} = c′F′_{0}^{2} ist dann und nur dann der Fall, wenn F′_{0} = kF_{0} mit k ≠ 0 (und dann c′ = \frac{c}{k^{2}} ) ist, was je p − 1 Darstellungen von F zusammenfallen läßt.

Somit ist

∑_{F =cF_{0}^{2}} (N(F) − p)^{2n+2} = (p^{n+1} − 1)(p^{2n+2} + 𝒪(p^{2n+1}))
= p^{3n+3} + 𝒪(p^{3n+2}).

In der Tat liefern also diese F das Hauptglied p^{3n+3}. Läßt man sie aus, so folgt also

∑_{F ≠cF_{0}^{2}} (N(F) − p)^{2n+2} = 𝒪(p^{3n+2}).

Wir betrachten nunmehr die linear gebrochenen Substitutionen

x′ = \frac{ax + b}{cx + d} , ad − bc ≠ 0.

Setzt man

y′ = \frac{y}{(cx + d)^{n}} ,

so geht y′^{2} = F (x′) dabei über in eine Gleichung^{1}

y′^{2} = F′(x),

wo auch

F′(x) = (cx + d)^{2n}F (\frac{ax + b}{cx + d})

wieder ein Polynom vom Grade ≦ 2n ist. Da diese Substitutionen umkehrbar eindeutig sind, ist dabei N(F′) = N(F) + 𝒪(1) (letzteres wegen des Unendlichen!). Ferner ist die Beschränkung auf F ≠ cF_{0}^{2} bei diesen Substitutionen invariant, und auch die gleich einzuführende Doppelwurzelfreiheit und die Eigenschaft, genau vom Grade 2n − 1 oder 2n zu sein, sind invariant.

Gehen wir von einem doppelwurzelfreien F vom Grade 2n − 1 oder 2n aus, und führt eine Substitution der betrachteten Art F in sich über, so sind ihre Koeffizienten a, b, c, d durch die Übergänge (man beachte 2n − 1 ≧ 3 wegen n > 1 !) dreier solcher Wurzeln in irgendeins der \binom{2n}{3} Systeme von drei Wurzeln von F bis auf einen Proportionalitätsfaktor k festgelegt, und dieser Faktor (der sich F′ als k^{2n} mitteilt) ist selbst höchstens 2n–deutig festgelegt. Solcher Substitutionen gibt es also höchstens 2n · \binom{2n}{3} = 𝒪(1). Es gibt also auch nur 𝒪(1) Substitutionen, die F in dasselbe F′ überführen.

1. vielleicht auch y^{2} = F′(x)

Wir gehen jetzt von einem festen doppelwurzelfreien F vom Grade 2n−1 oder 2n aus — wie zu Beginn — und haben dann jedenfalls nach obigem

\begin{matrix}∑ & ′ \\ F′∼F \end{matrix} (N(F′) − p)^{2n+2} = 𝒪(p^{3n+2}),

wo über alle zu F in der genannten Weise äquivalenten, untereinander verschiedenen F′ zu summieren ist. Läßt man die Bedingung der Verschiedenheit der F′ fallen, so ist also jedes F′ jetzt 𝒪(1)–mal statt 1–mal als Summand zu setzen, was nichts ausmacht:

∑_{F′∼F} (N(F′) − p)^{2n+2} = 𝒪(p^{3n+2}).

Links steht jetzt so oft ein Summand der Form (N(F) + 𝒪(1) − p)^{2n+2}, als es Substitutionen der betrachteten Art gibt, d. h. p^{4} + 𝒪(p^{3}) mal.

Daher folgt:

(p^{4} + 𝒪(p^{3}))(N(F) + 𝒪(1) − p)^{2n+2} = 𝒪(p^{3n+2}),
(N(F) + 𝒪(1) − p)^{2n+2} = 𝒪(p^{3n−2})
N(F) + 𝒪(1) − p = 𝒪 (p^{\frac{3n−2}{2n+2}} ) .

Leider gibt das nur für die beiden Anfangswerte n = 2 und n = 3 nicht– triviale Resultate, nämlich:

\begin{matrix}N(F) − p = 𝒪(p^{\frac{2}{3}} ) & für & n = 2 \\ N(F) − p = 𝒪(p^{\frac{7}{8}} ) & für & n = 3. \end{matrix}

Das sind die beiden Resultate von Mordell (in Verallgemeinerung auf beliebige P_{p}).

Davenport hat durch feinere Methoden auch für beliebiges n ein Resultat dieser Art erhalten, das allerdings nicht so scharf ist. Auch dieses verallgemeinert sich in gleicher Weise auf beliebige P_{p}. Es lautet:

N(F) − p = 𝒪 (p^{1− \frac{1}{(2n+2)2^{n−3}}} ) .

Allerdings ist der Davenportsche Beweis bisher nur bis n = 5 komplett. Im allgemeinen Fall ist noch eine algebraische Eliminationsschwierigkeit zu überwinden, was aber wohl in endlicher Zeit geschehen wird.

Für die Nullstellen der (in diesem Falle Artinschen) ζ–Funktionen folgt also:

Im hyperelliptischen Fall y^{2} = F (x) mit doppelwurzelfreiem F (x) vom Grade 2n − 1 oder 2n liegen alle Nullstellen von ζ_{K}(s) im Streifen \frac{1}{3} ≦ σ ≦ \frac{2}{3} (n = 2), \frac{1}{8} ≦ σ ≦ \frac{7}{8} (n = 3), \frac{1}{(2n+2)2^{n−3}} ≦ σ ≦ 1 − \frac{1}{(2n+2)2^{n−3}} (allgemein)

Schließlich möchte ich noch anführen, das die englischen Mathematiker auch Gleichungen der Art

y^{m} = F_{n}(x), F_{n}(x) vom Grade n

in entsprechender Weise für spezielle Werte von m und n behandelt haben. Hier ist das am meisten hervorstechende Resultat (Mordell):

N(y^{3} = F_{3}(x)) − p = 𝒪(p^{\frac{1}{2}} ).

Auch dies überträgt sich wieder auf beliebige P_{p} in analoger Weise. Für diesen Fall ist damit also die Riemannsche Vermutung bestätigt. Es ist der einzige bisher bekannte Fall, in dem man solch ein scharfes Resultat hat, von den Artinschen rechnerisch hergeleiteten Bestätigungen für kleine Primzahlen p abgesehen.

Übrigens konnte Davenport hier sogar die Lösungszahl bis auf ein Glied 𝒪(1) genau ausdrücken, als Funktion der Koordinaten a, b in p = a^{2} + ab + b^{2} (der Fall p ≡ −1 mod 3 ist natürlich trivial).

\underline{Marburg 1933 II} 137

1.14 Marburg 1933 II

Riemannsche Vermutung für Kongruenzzetafunktionen im elliptischen Fall.

Vortrag Marburg, Mai 1933.

1. Rekapitulation aus Februarvortrag.^{▶}

E_{q} endlicher Körper (q = p^{f}). K algebraischer Funktionenkörper über E_{q}, erzeugt durch F (x, y) = 0 oder beliebige birationale Transformierte. E_{q} als größter in K enthaltener Konstantenkörper vorausgesetzt.

Zwei wichtige Invarianten: Geschlecht g (≧ 0), Klassenanzahl h (der Divisoren jedes festen Grades).

F. K. Schmidtsche ζ–Funktion von K:

ζ_{K}(s) = ∏_{𝔓} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(𝔓)^{s}}} = ∑_{𝔄} \frac{1}{𝔑(𝔄)^{s}} .

Wird trivial für g = 0:

ζ(s) = \frac{1}{1 − \frac{1}{q^{s}}} · \frac{1}{1 − \frac{q}{q^{s}}} .

Eigenschaften:

I. Periodisch mit \frac{2πi}{log q}. Regulär bis auf Pole 1. Ordnung bei 0, 1 und homologen Stellen mit Residuen

−\frac{h}{q − 1} \frac{1}{log q} , \frac{1}{q^{g} − 1} \frac{h}{q − 1} \frac{1}{log q} .

II. Funktionalgleichung:

q^{(g−1)s}ζ_{K}(s) bei s → 1 − s invariant.

III. ζ_{K}(s) ≠ 0 für ℜ(s) = 1. Nullstellen also allein in 0 < ℜ(s) < 1.

IV. Wesentlich Polynom 2g–ten Grades in z = q^{s}:

z^{2g} \frac{ζ_{K}(s)}{ζ(s)} = P(z) = z^{2g} + σ_{1}z^{2g−1} + ⋯ + σ_{2g}

σ_{1} = N_{1} − (q + 1),  N_{1} Anzahl der ganzen (Prim–)Divi- soren 1. Grades in K. Ungefähr An- zahl der Lösungen von F (x, y) = 0 in E_{q}; aber im Gegensatz dazu birational invariant.

Also wirklich genau 2g Nullstellen ρ_{i}

P(z) = ∏_{i=1}^{2g}(z − β_{i}), β_{i} = q^{ρ_{i}}.

Analogon der Riemannschen Vermutung:

|β_{i}| = q^{\frac{1}{2}} .

V. Bei Übergang zu K^{(1)} über E_{q^{r}} entsprechendes Polynom:

z^{2g} \frac{ζ_{K}^{(r)}(s)}{ζ^{(r)}(s)} = P^{(r)}(z) = ∏_{i=1}^{2g}(z − β_{i}^{r}), z = q^{rs}.

Es genügt also, Riemannsche Vermutung für geeignete Erweiterung K^{(r)} zu bestätigen.

Elliptischer Spezialfall, g = 1. ζ_{K}(s) allein durch h bestimmt:

ζ_{K}(s) = \frac{q + h − 1}{q − 1} + \frac{h}{q − 1} (\frac{q^{s}}{1 − q^{s}} + \frac{q^{1−s}}{1 − q^{1−s}} ) .
z^{2} \frac{ζ_{K}(s)}{ζ(s)} = P(z) = z^{2} + σ_{1}z + σ_{2} = (z − β)(z − \overline{β}).

σ_{1} = N_{1} − (q + 1) = h − (q + 1) (also N_{1} = h) σ_{2} = q.

β, \overline{β} entweder konjugiert–komplex (dann stimmt

Riemannsche Vermutung) oder reell verschieden (dann nicht).

Nachweis der Riemannschen Vermutung läuft auf

|N_{1} − (q + 1)| ≦ 2q^{\frac{1}{2}}

hinaus, also auf Abschätzung des Faktors der Anzahl N_{1} gegenüber ihrem Mittelwert q + 1.

Durch Anwendung des Übergangs zu K^{(r)} genügt es allgemein, N_{1}^{(r)}−(q^{r}+ 1) = 𝒪(q^{\frac{n}{2}} ) für r → ∞ zu beweisen. Ist 𝒪 (q^{r( \frac{1}{2} +ϑ)}) für ein ϑ bekannt, so

folgt, daß die Nullstellen ℜ(ρ) ≦ \frac{1}{2} +ϑ haben. Durch Übertragung elementar– analytischer Abschätzungen von Mordell und Davenport von E_{p} auf E_{q^{r}} so Teilreduktion erreichbar für hyperelliptische Fälle.

2. Darstellung des elliptischen Körpers K in Weierstrassscher Normalform.

Für p ≠ 2, 3 ist K in der Form erzeugbar

y^{2} = 4x^{3} − c_{2}x − c_{3}, mit ∂ = c_{2}^{3} − 27c_{3}^{2} ≠ 0.

Im folgenden Spezialfälle c_{2} = 0 oder c_{3} = 0 beiseite gelassen. Analoger Behandlung fähig, aber mit unliebsamen Modifikationen. Mühe dafür unnütz, da elementar völlig behandelbar (Davenport, Methoden von ihm und Mordell).

Charakteristische Invarianten von K:

k = \frac{(12c_{2})^{3}}{∂} und χ_{2}(c_{3}).

Aus ihnen abgeleitete weitere wichtige Invarianten:

k̂ = k − 12^{3} = \frac{(216c_{3})^{2}}{∂} und χ_{4}(c_{2}), χ_{6}(c_{3}), χ_{12}(∂).

Wegen c_{2} ≠ 0, c_{3} ≠ 0 dabei hier immer k, k̂ ≠ 0.

Normalform, die allein Invarianten enthält, nur irrational möglich:

ξ = \frac{12c_{2} · 216c_{3}}{∂} · 12x, η = \frac{y}{\sqrt[4]{∂}}

führt zu

2^{4}3^{3}k\sqrt{k̂}^{3}η^{2} = ξ^{3} − 3kk̂ξ − 2kk̂^{2}.

Das erzeugt also K^{(δ)} über E_{q^{δ}}, wo δ die Ordnung von \sqrt[4]{∂} und \sqrt{k̂} durch \sqrt[4]{∂} normiert.

Im folgenden wird N_{1}^{(δ)} für K^{(δ)} bestimmt:

N_{1}^{(δ)} = N^{(δ)} + 1,

wo N^{(δ)} die gewöhnliche Lösungszahl der Gleichung zwischen ξ, η in E_{q^{δ}}. Die zusätzliche 1 repräsentiert die eine unendliche Lösung.

3. Uniformisierung durch elliptische Funktionen.

Weierstrasssche Normalform:

℘′^{2} = 4℘^{3} − g_{2}℘ − g_{3}, Δ = g_{2}^{3} − 27g_{3}^{2} ≠ 0.

Dabei ℘ = ℘(u, 𝔴), g_{2} = g_{2}(𝔴), g_{3} = g_{3}(𝔴). Geht durch analoge Transformation

τ = \frac{12g_{2} · 216g_{3}}{Δ} · 12℘,  τ̂ = \frac{℘′}{\sqrt[4]{Δ}}

über in

2^{4}3^{3}j\sqrt{ĵ}^{3}τ̂^{2} = τ^{3} − 3j ĵτ − 2j ĵ^{2}.

Dabei

j = \frac{(12g_{2})^{3}}{Δ} ,  ĵ = j − 12^{3} = \frac{(216g_{3})^{2}}{Δ} .

τ, τ̂, j, ĵ Funktionen 0. Dimension.

„Singuläre“ Werte dieser Funktionen für

𝔴 = 𝔞 (Modul aus imaginär quadratischem Körper Ω = P(\sqrt{d}))
u = ρ (Zahl aus Ω)

sind durchweg algebraisch und erzeugen abelsche Körper über Ω, die nach den Methoden der Klassenkörpertheorie durch Idealgruppen in Ω charakterisierbar.

Prinzip meiner Methode: Darstellung der Koeffizienten der gegebenen Gleichung, also wesentlich k, als Kongruenzwerte der entsprechenden Modulfunktionen für geeignetes singuläres Argument 𝔞 nach Primteiler 𝔓 von p. Erzeugung des ganzen E_{q^{δ}} durch Kongruenzwerte von τ(ρ, 𝔞) für geeignete Argumente ρ als volles Restsystem nach Primteiler 𝔓^{∗} von 𝔓. Untersuchung, ob die zugehörigen Kongruenzwerte von τ̂(ρ, 𝔞) auch noch mod 𝔓^{∗} rational sind, durch Untersuchung des Zerlegungsgesetzes für 𝔓^{∗} bei weiterer Adjunktion von τ̂(ρ, 𝔞). Kurz: Darstellung der Gleichung in E_{q^{δ}} durch Kongruenzbetrachtung einer Zahlengleichung.

□□□

Fundamentales Uniformisierungstheorem.

k Element ungeraden Grades f_{0} über E_{p}, also erzeugt E_{q_{0}} (q_{0} = p^{f_{0}}) von ungeradem Grade. Es existiert imaginär–quadratischer Modul 𝔞 derart, daß p im Körper K_{0} = Ω(j(𝔞)) (Ω Körper von 𝔞) in Primideale 𝔓_{0} vom Grade f_{0} zerfällt — also der Restklassenkörper mod 𝔓_{0} zu E_{q_{0}} isomorph ist, und bei einer isomorphen Abbildung

j(𝔞) ≡ k mod 𝔓_{0}, also auch ĵ(𝔞) ≡ k̂ mod 𝔓_{0}

gilt.

K_{0} Ringklassenkörper mod m über Ω, wenn 𝔞 Moduldiskriminante D = m^{2}d hat, wo d Diskriminante von Ω ist; also Klassenkörper zur Gruppe aller Hauptideale (λ) aus Ω, mit λ ≡ rat. zu m primer Zahl mod m. Nach Zerlegungsgesetz für K_{0} gilt dabei

q_{0} = p^{f_{0}} = π_{0}\overline{π}_{0} im Ring mod m, mit (π_{0}) = 𝔭^{f_{0}}, (\overline{π}_{0}) = \overline{𝔭}^{f_{0}},

wo 𝔭, \overline{𝔭} die beiden gleichen oder verschiedenen Primteiler von p in Ω; insbesondere also (\frac{d}{p}) = 0^{1} oder 1 (für (\frac{d}{−p}) = −1 wird Grad der Primteiler gerade). Ferner wird m prim zu p. Dabei ist Ω, d. h. d, in jedem Falle eindeutig bestimmt, ebenso die Faktoren π_{0}, \overline{π}_{0} bis aufs Vorzeichen, und im allgemeinen auch 𝔞, d. h. insbesondere D oder m; nur im Spezialfall d = −p (p ≡ −1 mod 4) kommen ev. zwei 𝔞 mit D = −p und D = −4p in Frage.

Wegen k, k̂ ≠ 0 wird noch d ≠ −4, −3, d. h. die ausgearteten Fälle der elliptischen und Modulfunktionen und die Ω mit höheren Einheitswurzeln kommen bei dieser Voraussetzung nicht vor; sie entsprechen eben den ausgearteten Fällen c_{3} = 0, c_{2} = 0.

Natürlich besteht erst recht Zerlegung

q = p^{f} = π_{1}\overline{π}_{1} im Ring mod m,

1. undeutlich

wenn k (nicht notw. primitives) Element aus E_{q}, und der Restklassenkörper mod 𝔓_{0} ist als Teilkörper von E_{q} darstellbar.

Um Koeffizienten der Normalform zu erfassen, Übergang zu Ringklassen-

körper K = Ω (\sqrt{ĵ(𝔞)}), mod m oder 2m, je nachdem 2 ∤ D oder 2 | D. Sei

𝔓 Primteiler von 𝔓_{0} darin, so zeigt sich: Der Restklassenkörper mod 𝔓 ist als Teilkörper von E_{q^{δ}} darstellbar, es gilt

q^{δ} = p^{fδ} = π\overline{π} im Ring mod zm (z = (2, D)),

und

j(𝔞) ≡ k, ĵ(𝔞) ≡ k̂, \sqrt{ĵ(𝔞)} ≡ \sqrt{k̂} mod 𝔓,

bei richtiger Normierung der \sqrt{ĵ(𝔞)}. Damit Koeffizienten der Normalform uniformisiert.

Uniformisierung leider bisher nur für ungeraden Grad der Invariante k durchführbar, also z. B. sicher, wenn E_{q} ungeraden Grad f hat, insbesondere für E_{q} = E_{p}.

4. Uniformisierung der Variablen. Geschieht durch die Funktionswerte

τ (\frac{α}{π − 1}, 𝔞) und τ (\frac{α}{π + 1}, 𝔞) ,

wo α die Zahlen aus 𝔞 durchläuft; und zwar lassen wir α so laufen, daß gerade jedesmal ein volles Periodenparallelogramm (ohne Nullpunkt) durchlaufen wird: (π ∓ 1)–te Teilwerte. Durch Adjunktion zum Koeffizientenkörper K entsteht über Ω abelscher Körper K^{∗}. Sei 𝔓^{∗} Primteiler von 𝔓 in K^{∗}, und π unter π, \overline{π} so gewählt, daß 𝔓^{∗} Primteiler von 𝔭 in Ω. Dann zeigt sich aus komplexer Multiplikation:

𝔓^{∗} hat genau Grad fδ, d. h. Restklassenkörper mod 𝔓^{∗} ist zu E_{q^{δ}} isomorph. Die obigen Teilwerte, von denen insgesamt immer genau zwei entgegengesetzte einander gleich sind (zweite Teilwerte in beiden Serien auftretend!) sind sämtlich mod 𝔓^{∗} ganz und inkongruent, soweit verschieden, bilden also genau zweimal den Körper E_{q^{δ}}.

Bemerkung. Ersetzt man q^{δ} durch beliebige Potenz q^{δr}, also π durch π^{r}, so gilt ganz Entsprechendes. Somit Uniformisierung von K^{(∞)} (bei K^{(δ)} anfangend) durch Teilwerte von τ und τ̂. Unsere Aufgabe, bei festem E_{q^{δ}} zu untersuchen, wieviele entsprechende Werte von τ̂ in E_{q^{δ}} liegen. — Antwort durch Zerlegungsgesetz für 𝔓^{∗} in den einzelnen über Ω abelschen Körpern K^{∗} (τ̂ (\frac{α}{π∓1}, 𝔞)). Ergibt: bei richtiger Normierung von π unter ±π sind genau die τ̂ (\frac{α}{π−1}, 𝔞) in E_{q^{δ}}, die τ̂ (\frac{α}{π+1}, 𝔞), soweit nicht zweite Teilwerte, d. h. auch in der ersten Serie vertreten, nicht in E_{q^{δ}}.

Anzahl der τ̂ (\frac{α}{π−1}, 𝔞) ist 𝔑(π − 1) − 1 = 𝔑(π) − 𝔖(π) = q^{δ} − (π + \overline{π}).^{2}

Jedem nicht–zweiten Teilwert darunter entsprechen
∥  zweiten  ∥  ∥  ∥
zwei Lösungen (da τ̂ dann ≠ 0)
eine  ∥  (da τ̂ dann 0).

Die ersteren kommen aber zweimal, die letzteren einmal vor. Daher Anzahl der Lösungen einfach

N^{(δ)} = q^{δ} − (π + \overline{π}), N_{1}^{(δ)} = h = q^{δ} + 1 − (π + \overline{π})

Folglich wegen π\overline{π} = q^{δ} sind also einfach π und \overline{π} die Wurzeln des Polynoms

P(z) = z^{2} − (q^{δ} + 1 − N_{1}^{(δ)})z + q^{δ},

das zur Funktion ζ_{K}^{(δ)}(s) gehört:

β^{δ} = π, \overline{β}^{δ} = \overline{π}.

Das beweist Riemannsche Vermutung, da π, \overline{π} konjugiert–komplex oder reell gleich sind.

Ferner folgt

β = π_{1}, \overline{β} = \overline{π}_{1},

wo π_{1}, \overline{π}_{1} die im Vorzeichen richtig normierten Faktoren von

q = p^{f} = π\overline{π} in Ω; (π) = 𝔭^{f}, (\overline{π}) = \overline{𝔭}^{f}

sind.

Die richtige Normierung von π unter ±π und π_{1} unter ±π_{1} läßt sich in einigen Fällen noch durch Kongruenzen mod 4 angeben; leider bisher nicht allgemein.

2. Das hier als 𝔖 wiedergegebene Zeichen ist schwer zu lesen.

Für die Fälle c_{2} = 0, c_{3} = 0 (d = −3, −4) gilt ganz Entsprechendes. Hier nur Normierung komplizierter, da mehr Einheitswurzeln, aber voll angebbar.

Analogie zu Siegels Behandlung der Transzendenzprobleme und Diophantischer Gleichungen. Höheres Geschlecht entsprechend verknüpft mit abelschen Funktionen. Ev. auch A. Weils Methoden allein schon ausreichend, zusammen mit algebraisch gefaßtem Abelschem Theorem.

Wurzeln von ζ_{K}(s) erscheinen als transzendent bestimmt: Wesentlich gegeben bei Kenntnis von Ω, als Faktoren von q in Ω. Bestimmung von Ω eindeutig durch Lösung des Uniformisierungsproblems

j(𝔞) ≡ k mod 𝔓_{0}.

Zur rein algebraischen Erfassung wäre also diese Uniformisierung losgelöst von Theorie der elliptischen Funktionen zu leisten, insbesondere also transzendentes Argument 𝔞 der Modulfunktion zu gewinnen. Dazu führt vielleicht eine abstrakt aufgebaute Theorie der Modulfunktionen und elliptischen Funktionen über unendlichem Galoisfeld E_{∞}. Addition der Perioden algebraisch erfaßbar durch Additionstheorem.

5. Anhang. Illustration der Methode an trivialem Problem y^{2} = 1 − x^{2}

Uniformisierung:

x = c(u), y = s(u),

wo

c(u) = cos 2πu, s(u) = sin 2πu.

Koeffizientenuniformisierung tritt nicht auf, da hier Geschlecht 0, kein Parameter. Uniformisierung der Variablen:

c (\frac{u}{p − 1}) , c (\frac{v}{p + 1}) μ = 0, …, p − 2; ν = 0, …, p.

Das sind 2p Werte. Je zwei einander gleich (zweite Teilwerte in beiden Serien gemeinsam, entsprechen trivialen Lösungen ±1, 0). Also genau p verschiedene Werte. Erzeugen zusammen das Kompositum K der reellen Teilkörper des Körpers der (p − 1)–ten und des Körpers der (p + 1)–ten Einheitswurzeln. In K zerfällt p in Primideale 𝔭 vom 1. Grade, da p ≡ 1 mod p − 1 und p ≡ −1 mod p + 1. Die verschiedenen unter den Teilwerten sind inkongruent mod p. Dies folgt entweder durch Theorie der Multiplikations– oder Teilungsgleichung c(u), indem man nachweist

∏_{μ} (t − c(\frac{μ}{p − 1})) ∏_{ν} (t − c(\frac{ν}{p + 1})) ≡ (t^{p} − t)^{2} mod p,

oder durch Darstellung des Differenzenprodukts der verschiedenen Teilwerte durch Einheitswurzeln mittels Additionstheorem 2. Art der Funktion c(u) und Erkenntnis, daß es prim zu p ist.

Erstere Methode führt bei j(𝔴) zum Uniformisierungsproblem, letztere für τ(u, 𝔴) zur Konstruktion des Restsystems.

Entscheidung über Lösbarkeit durch Adjunktion eines Wertes s(\frac{μ}{p−1}) oder s(\frac{ν}{p+1}). Dieser erzeugt jeweils vollen Kreiskörper der d–ten Einheitswurzeln über K, wenn d reduzierter Nenner des Teilpunkts. In ihm zerfällt 𝔭 dann und nur dann, wenn p ≡ +1 mod d. Von den zweiten Teilpunkten abgesehen ist das nur der Fall für Serie \frac{μ}{p−1}, für Serie \frac{μ}{p+1} ist p ≡ −1 mod d, also auch p ≡ +1 mod d nur für d = 1, 2. so kommen

2\frac{p−1−2}{2} = p − 3 Lösungen für die nicht–zweiten Teilwerte
1 Lösung  1, 0 für ersten Teilwert
1 Lösung −1, 0 ∥ zweiten Teilwert
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
insgesamt  p − 1 Lösungen

\underline{Würzburg 1933} 146

1.15 Würzburg 1933

Die Riemannsche Vermutung bei den F.K. Schmidtschen Kongruenzzetafunktionen.

Vortrag Würzburg, September 1933.

1. Problemstellung.

Mordellsches Problem: Gegeben endlicher Körper E_{q} (q = p^{f}; — bei Mordell nur q = p) und Polynom F (x, y) in E_{q}, absolut–irreduzibel (d. h. bei beliebiger algebr. Erweiterung von E_{q} zu E_{q^{r}} irreduzibel). Gesucht möglichst genaue Bestimmung der Anzahl N der Lösungen von F (x, y) = 0 in E_{q}.

Da für die q^{2} Wertsysteme x, y q Funktionswerte F (x, y) zur Verfügung stehen, ist zu erwarten, daß N ungefähr q ist. Man fragt dann nach der Größe von N − q. Ist speziell F (x, y) = y − F (x), so ist trivialerweise genau N = q. Allgemein sucht man eine Abschätzung vom Typus:

|N − q| ≦ Cq^{ϑ}, (kurz: (ϑ, C)–Abschätzung),

wo ϑ < 1 und C > 0 Konstanten sind, die nur von den algebraischen Eigenschaften von F (x, y) abhängen, etwa bei Betrachtung aller Polynome eines festen Grades in x, y nur von diesem Grad, nicht von q und den Koeffizienten. Die genaue Präzisierung des zu erwartenden und in gewissen Fällen bewiesenen Resultats lautet allerdings etwas anders.

Dazu führt das Studium des durch F (x, y) erzeugten algebraischen Gebildes über E_{q}. Dies ist ein Körper K algebraischer Funktionen über E_{q}. Umgekehrt wird jeder solche durch eine Relation F (x, y) = 0 erzeugt. Der absoluten Irreduzibilität von F (x, y) entspricht dabei die Tatsache, daß E_{q} der umfassendste in K enthaltende absolut–algebraische Körper (Konstantenkörper) ist.

x, y sind nicht ausgezeichnet innerhalb K, birationale Transformation. Daher auch F (x, y) und Lösungsanzahl N keine Invarianten von K. F. K. Schmidt hat aber birational invarianten Punktbegriff des Gebildes eingeführt: Punkt = Primdivisor P von K, definiert durch Bewertung von K = homomorphe Abbildung von K auf einen Konstantenkörper E_{q^{r}}, r Grad von P. Dabei entsprechen insbesondere die Primdivisoren P_{1} vom Grade 1 wesentlich eineindeutig den Lösungen a, b von F (x, y) = 0 in E_{q}, abgesehen von endlich vielen nicht birational invarianten Ausnahmeprimdivisoren (außerwesentliche Diskriminantenteiler von F (x, y), Nennerteiler von x, y). Die Anzahl N_{1} der P_{1} ist das birational invariante Äquivalent für N. Die Aufgabe ist also, eine (ϑ, C)–Abschätzung für N_{1} − (q + 1) zu finden (q + 1 mit Rücksicht auf das Unendliche theoretisch richtiger als q). Daraus ist dann in jedem Falle durch genaues Studium von N_{1} − N (stets ≧ 0) der Übergang zu der ursprünglichen Mordellschen Aufgabe betr. N − q möglich.

Die Punkte P von höherem Grade r entsprechen ebenso wesentlich eineindeutig den Serien konjugierter Lösungen α, β in E_{q^{r}}, und sie lösen sich in K^{(r)} = E_{q^{r}}(x, y) in r Punkte vom Grade 1 auf. Betrachtet man also das „algebraisch abgeschlossene“ Gebilde \overline{K} = \overline{E}(x, y), wo \overline{E} der algebraisch abgeschlossene absolut–algebraische Körper der Charakteristik p ist, so entsprechen dessen Punkte \overline{P} im wesentlichen eineindeutig der Gesamtheit aller algebraischen Lösungen von F (x, y) = 0. Eine grundlegende Invariante von \overline{K} (und damit von K) ist das Geschlecht g, das von F. K. Schmidt in formaler Analogie zur gewöhnlichen algebraischen Funktionentheorie eingeführt ist (Verzweigungstheorie). g = 0 ist gleichbedeutend mit der linearen Erzeugbarkeit von K, y = F (x), Beweis allerdings bisher nur analytisch.

Die Bestimmung von N_{1} kann hiernach in folgende zwei Teilaufgaben zerlegt werden:

a.) Übersicht über alle algebraischen Punkte des Gebildes.

b.) Aussonderung der in E_{q} rationalen Punkte.

2. Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung.

Auf Grund seines birational invarianten Divisorenbegriffs definiert F. K. Schmidt die K invariant zugeordnete Zetafunktion:

ζ_{K}(s) = ∏_{P} \frac{1}{1 − \frac{1}{N(P)^{s}}} , wo N(P) = q^{r},

eine mit der Periode \frac{2πi}{log q} periodische Funktion von s. Speziell für g = 0, also K = k = E_{q}(x), ist diese Funktion trivial:

ζ_{K}(s) = ∏_{p} \frac{1}{1 − \frac{1}{N(p)^{s}}} = \frac{1}{1 − \frac{q}{q^{s}}} \frac{1}{1 − \frac{1}{q^{s}}} .

Sie hat keine Nullstellen, und die Pole 1. Ordnung

s = \frac{2πiv}{log q} , 1 + \frac{2πiv}{log q} .

Diese treten als einzige Pole von ζ_{K}(s) auf, nämlich

\frac{ζ_{K}(s)}{ζ_{k}(s)} = 1 + \frac{N_{1} − (q + 1)}{q^{s}} + ⋯ + \frac{q}{q^{2gs}}

ist ein Polynom in \frac{1}{q^{s}} vom Grade 2g. Es gibt ferner daher genau 2g Serien von Nullstellen von ζ_{K}(s), wegen der Produktdarstellung und der von F. K. Schmidt bewiesenen Funktionalgleichung jedenfalls im „kritischen Streifen“ (inkl. Rand) gelegen, im folgenden beschrieben durch die zugehörigen 2g Nullstellen β_{i} in z = q^{s} des z–Polynoms

z^{2g} \frac{ζ_{K}(s)}{ζ_{k}(s)} = z^{2g} + (N_{1} − (q + 1))z^{2g−1} + ⋯ + q,

dessen Koeffizienten sich als ganz–rational erweisen; insbesondere ist der zweithöchste gerade die zu untersuchende Differenz, und diese also dargestellt als die negative Summe der Nullstellen β_{i}:

N_{1} − (q + 1) = − ∑_{i=1}^{2g} β_{i}.

Die Nullstellen liegen jedenfalls im „kritischen“ Kreisring 1 ≦ z ≦ q, und die Riemannsche Vermutung für ζ_{K}(s) besagt:

|β_{i}| = q^{\frac{1}{2}} .

Sie impliziert hiernach:

|N_{1} − (q + 1)| ≦ 2gq^{\frac{1}{2}} ,

also eine (\frac{1}{2}, 2g)–Abschätzung. Das ist die oben in Aussicht gestellte Präzisierung des zu erwartenden Resultats. Jedes rohere Resultat |β_{i}| ≦ cq^{ϑ} (\frac{1}{2} < ϑ < 1) impliziert ebenso eine rohere Abschätzung, nämlich eine (ϑ, 2gc)– Abschätzung.

Dieser Zusammenhang ist umkehrbar (Artin) durch simultane Betrachtung der zu den K^{(r)} = E_{q^{r}}(x, y) gehörigen Anzahlen N_{1}^{(r)}. Für diese gilt nämlich:

N_{1}^{(r)} − (q^{r} + 1) = − ∑_{i=1}^{2g} β_{i}^{r}

Eine (ϑ, C)–Abschätzung aller N_{1}^{(r)} mit von r unabhängigem C impliziert also |β_{i}| ≦ q^{ϑ} und führt überdies zur (ev.) Verbesserung des ursprünglichen C in 2g. Insbesondere folgt aus einer (\frac{1}{2}, C)–Abschätzung für alle N_{1}^{(r)} − (q^{r} + 1) die Riemannsche Vermutung.

3. Elliptischer Fall, g = 1.

Nächsteinfacher Fall nach dem trivialen g = 0.

Sei p ≠ 2, 3. Dann K durch Weierstraßsche Normalform

y^{2} = 4x^{3} − c_{2}x − c_{3} mit ∂ = c_{2}^{3} − 27c_{3}^{2} ≠ 0

erzeugbar. Die Spezialfälle c_{2} = 0, c_{3} = 0 seien ausgeschlossen.

Übergang zu von Dimension 0 homogener Normalform

η^{2} = 4ξ^{3} − κ_{2}ξ − κ_{3} mit κ_{2}^{3} − 27κ_{3}^{2} = 1

durch Multiplikationstransformation

η = \frac{y}{\sqrt[4]{∂}} , ξ = \frac{x}{\sqrt[6]{∂}} ; κ_{2} = \frac{c_{2}}{\sqrt[3]{∂}} , κ_{3} = \frac{c_{3}}{\sqrt[2]{∂}} .

Ist verbunden mit Erweiterung zu K^{(t)} = E_{q^{t}}(x, y), wo t | 12, was nicht wesentlich ist.

Teilaufgabe a.) Übersicht über alle algebraischen Punkte des Gebildes; wird bewerkstelligt durch Uniformisierung mittels elliptischer Funktionen. Diese selbst zur Uniformisierung nicht geeignet, da in einem Zahlkörper (Char. 0) verlaufend. Übergang zu Körper der Char. p wird erreicht, durch Übergang zu den Restklassen nach einem Primidealteiler von p in einem algebraischen Zahlkörper, dem die zu betrachtenden Funktionswerte angehören (Komplexe Multiplikation). Diese Uniformisierung ist mir bisher in allen Fällen gelungen, wo der Grad der Invariante κ_{2}^{3} = \frac{c_{2}^{3}}{∂} über E_{p} ungerade ist, speziell also, wenn ursprünglich E_{p} selbst als Grundkörper gegeben war.

Uniformisierungstheorem.

I. Koeffizienten. Es existiert ein eindeutig (in einem Spezialfall zweideutig) b. a. prop. bestimmter Modul a = [α_{1}, α_{2}] in einem imaginär–quadratischen Zahlkörper Ω = P(\sqrt{d}), der reguläres Ringideal mod m für ein zu p primes m ist, derart, daß

1.) p = p\overline{p} in Ω (\overline{p} = p oder \overline{p} ≠ p),

p^{f} = (ϖ), \overline{p}^{f} = (\overline{ϖ}), ϖ\overline{ϖ} = p^{f} = q;

2.) für einen Primteiler P von p in dem durch die Modulfunktionswerte

γ_{2}(𝔞) = \frac{g_{2}(𝔞)}{\sqrt[3]{Δ(𝔞)}} , γ_{3}(𝔞) = \frac{g_{3}(𝔞)}{\sqrt[2]{Δ(𝔞)}}

über Ω bestimmten Ringklassenkörper K der Restklassenkörper mod P isomorph in E_{q^{t}} enthalten ist und dabei gilt:

γ_{2}(a) ≡ κ_{2} , γ_{3}(a) ≡ κ_{3} mod P.

Damit ist die zu untersuchende Relation dargestellt als realisiert durch Betrachtung der Identität

π̂(u, 𝔞)^{2} = 4π(u, 𝔞)^{3} − γ_{2}(𝔞)π(u, 𝔞) − γ_{3}(𝔞),

wo

π(u, 𝔞) = \frac{℘(u, 𝔞)}{\sqrt[6]{Δ(𝔞)}} ,  π̂(u, 𝔞) = \frac{℘′(u, 𝔞)}{\sqrt[4]{Δ(𝔞)}} ,

als Kongruenz mod P.

II. Variable. Läßt man u alle rationalen Teilpunkte \frac{α}{n} (α in a) mit zu p primem Nenner n des Periodenmoduls a durchlaufen, und bezeichnet \overline{P} einen Primteiler von P in dem durch alle zugehörigen Teilwerte der Funktionen π(u, a), π̂(u, a) erzeugten unendlichen algebraischen Zahlkörper \overline{K} über K, so erhält man genau alle Punkte des algebraisch–abgeschlossenen Gebildes \overline{K}.

Damit ist die Teilaufgabe a.) gelöst.

Teilaufgabe b.) Aussonderung der in E_{q^{t}} rationalen Punkte; erfordert geeignete Auswahl unter den sämtlichen Teilpunkten \frac{α}{n}. Zunächst durchläuft für die Teilpunkte \frac{α}{ϖ^{t}±1} der Funktionswert π(u, a) mod \overline{P} genau zweimal den Körper E_{q^{t}} (in isomorpher Abbildung). Dann zeigt das Zerlegungsgesetz für die durch die zugehörigen Funktionswerte π̂(u, a) erzeugten Strahlklassenkörper, daß genau für die eine der beiden Teilpunktserien, bei passender Normierung etwa die Serie \frac{α}{ϖ^{t}−1}, auch der Funktionswert π̂(u, a) in E_{q^{t}} liegt.

Damit ist die Uniformisierung auch unter Beschränkung auf das ursprüngliche Gebilde K, oder vielmehr auf K^{(t)}, geleistet. Die fragliche Anzahl N_{1}^{(t)} ist sogar genau bestimmt:

N_{1}^{(t)} = (q^{t} + 1) − (ϖ^{t} + \overline{ϖ}^{t}),

und daraus folgt weiter durch den Artinschen Rückschluß auf K selbst: Bei richtiger Normierung der beiden konjugierten Faktoren ϖ, \overline{ϖ} von q in Ω sind diese die Nullstellen des zu ζ_{K}(s) gehörigen Polynoms, und es ist

N_{1} = (q + 1) − (ϖ + \overline{ϖ}), also |N_{1} − (q + 1)| ≦ 2q^{\frac{1}{2}} .

Die Riemannsche Vermutung stimmt, da ϖ, \overline{ϖ} konjugiert–komplex sind.

Bemerkung. Die Bestimmung von Ω, m, a, ϖ, \overline{ϖ} zu K ist vorläufig nur auf dem transzendenten Wege über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen gegeben. Ich möchte vermuten, daß man auf Grund des Additionstheorems der ℘–Funktion in seiner rationalen Gestalt zu einer abstrakten Theorie der Modul– und elliptischen Funktionen der Char. p kommen kann, die dann den Schlüssel zur algebraischen Bestimmung der Nullstellen der Zetafunktion liefert.

Für höheres Geschlecht g hätte man dasselbe mit der allgemeinen Theorie der abelschen Funktionen zu machen. Das scheint im Hinblick auf die Erfolge Siegels mit dieser Theorie für die Behandlung des Problems der Lösungsanzahl diophantischer Gleichungen hoffnungsvoll.

4. Weitere Fälle.

a.) Ausnahmefälle c_{2} = 0, c_{3} = 0 subsumieren sich durch bir. Transf. unter allgemeinen Fall

F (x, y) = ax^{m} + by^{n} − c in E_{q}, (a, b, c ≠ 0)

wo oBdA m, n | q −1 angenommen werden darf. In diesem Falle Bestimmung der Nullstellen von ζ_{K}(s), und damit von N_{1} und N, elementar ausführbar (Davenport–Hasse; Publikation demnächst). Nullstellenanzahl nach allgemeiner Theorie:

2g = (m − 1)(n − 1) − (d − 1), wo d = (m, n).

Methode:

K = E_{q}(x, y) = k ( \sqrt[m]{\frac{ct}{a}}, \sqrt[n]{\frac{c(1 − t)}{b}}) über k = E_{q}(t) vom Geschlecht 0,
wo t = ax^{m} = 1 − by^{n}.

ζ_{K}(s) = ∏_{χ,ψ} L_{k}(s, XΨ),

wo

X(𝔞) = (\frac{\frac{ct}{a}}{𝔞})_{m}^{μ}, Ψ(𝔞) = (\frac{\frac{c(1−t)}{b}}{𝔞})_{n}^{ν} (μ = 0, …, m − 1;
ν = 0, …, n − 1)

Charaktere (Legendre–Symbole) nach Teilkörpern k ( \sqrt[m]{\frac{ct}{a}} ) , k (\sqrt[n]{\frac{c(1−t)}{b}} )

durchlaufen. Auf Grund der Klassenkörpertheorie (Reziprozitätsgesetz, Dedekind) dieser beiden Körper findet man:

L_{k}(s, XΨ) = ζ_{k}(s)  für χ = 1, ψ = 1
= 1  für χ = 1 oder ψ = 1
oder χψ = 1 sonst
= 1 + \frac{1}{q^{s}} \frac{τ_{a}(χ)τ_{b}(χ)}{τ_{c}(χψ)}  für χ ≠ 1, ψ ≠ 1, χψ ≠ 1.

Dabei χ, ψ die in bestimmter Weise X, Ψ zugeordneten Charaktere in E_{q}, und

τ_{a}(χ) = ∑_{x in E_{q}} χ(x)e^{\frac{2πia}{p} Sp(x)} (a–te Gausssche Summe zu χ)

Also sind die (m − 1)(n − 1) − (d − 1) Grössen

ϖ(χ, ψ) = −\frac{τ_{a}(χ)τ_{b}(ψ)}{τ_{c}(χψ)} (Faktorensystem der Gaussschen Summen) die Nullstellen des zu ζ_{K}(s) gehörigen Polynoms (Bestätigung des Geschlechts) und die Riemannsche Vermutung stimmt (Betrag der Gaussschen Summe ist q^{\frac{1}{2}} ). Durch Verallgemeinerung der Kummerschen Resultate über Primidealzerlegung der Gaussschen Summen lassen sich die Nullstellen ϖ(χ, ψ) arithmetisch genau charakterisieren, nämlich als bestimmte Potenzprodukte der Primidealteiler von p im Körper der (q−1)–ten E. W. mit bestimmten Kongruenzeigenschaften. Übrigens noch merkwürdige bisher unbekannte Relationen zwischen Gaussschen Summen:

∏_{χ^{n}=φ} τ(χ) = φ(n)τ(φ) ∏_{\begin{matrix}ψ^{n}=1 \\ ψ≠1 \end{matrix}} τ(ψ).

Beweis durch Koeffizientenvergleich in

L\overline{k}(s, \overline{X}) = ∏_{Ψ} L_{k}(s, XΨ) (für x^{m} + y^{n} = 1)

für \overline{k} = k(y), K = k( \sqrt[m]{1 − y^{n}}) und den X entspr. Charakter \overline{X} in \overline{k}.

Übrigens subsumiert sich auch allererster Fall mit bew. Riemannscher Vermutung, nämlich Mordellscher Fall y^{3} = F_{3}(x) (kub. Pol.) dem eben betr. allgem. Fall durch birat. Transf. (ell. Fall mit c_{2} = 0).

b.) Hyperelliptische Fälle.

y^{n} = F (x) (oBdA F (x) Pol., n | q − 1)

Riemannsche Vermutung dafür äquivalent mit (\frac{1}{2}, C)–Abschätzung der Mordellschen Charaktersummen

S(χ) = ∑_{x in E_{q}} χ(F (x)), (χ n–ter Potenzcharakter in E_{q}),

also Problem aus der Verteilung des n–ten Potenzcharakters in E_{q}.

Im elliptischen Falle (p ≠ 2, 3) wie gesagt, durch meine Uniformisierungstheorie bestätigt. Allgemein Teilresultate von Davenport und Mordell (gewisse ϑ > \frac{1}{2}).

c.) Zyklische Körper vom Grad p. Artinsche Gleichungen

y^{p} − y = F (x) (rat. Funkt.).

Hängt völlig analog zusammen mit Mordellschen Exponentialsummen

S_{ν} = \begin{matrix}∑ & ′ \\ x in E_{q} \end{matrix} e^{\frac{2πiν}{p} Sp(F (x))} (x keine Nennernullstelle, aber ev. ∞)

Ich konnte nämlich in Ergänzung von F. K. Schmidt zeigen, dass hier K^{1} Klassenkörper ist nach Klasseneinteilung durch Charakter

X(𝔞) = [\frac{F (x)}{𝔞}]_{p} = e^{\frac{2πi}{p} (Sp(F (x))} (Spur mod 𝔞) ∥ _{für diesen p–ten Charakter!}^{Insbes. Artinsches Rez. Ges.}

dessen zugeordneter additiver Charakter in E_{q} ist:

χ(a) = e^{\frac{2πia}{p}} , also S(χ) = \begin{matrix}∑ & ′ \\ x in E_{q} \end{matrix} χ(F (x)) = S_{1}.

Riemannsche Vermutung äquivalent mit (\frac{1}{2}, C)–Abschätzung der S_{ν}.

Bis auf triviale Spezialfälle (s. u.) bisher nur Teilresultate von Mordell und Davenport (gewisse ϑ > \frac{1}{2}).

Erledigter Spezialfall:

y^{p} − y = x^{m}. 2g = (m − 1)(p − 1)

Führt ganz analog wie oben durch Betrachtung von K = k ( \sqrt[m]{t}, \sqrt[p]{t}) über k = E_{q}(t) (t = y^{p} − y = x^{m}) zu

ζ_{K}(s) = ζ_{k}(s) ∏_{χ≠1} ∏_{ν≠0} L_{k}(s, χ, ν) mit L_{k}(s, χ, ν) = 1 + \frac{1}{q^{s}} τ_{ν}(χ).

Also sind die Nullstellen einfach die −τ_{ν}(χ), neue Deutung der Gaussschen Summen.

Nach Geschlecht gemessen (2g = (v−2)(p−1), wo v = Grad des Führers, aus Nenner von F (x) bestimmt) sind niedrigste Fälle:

a.) F (x) kub. Pol. (Davenport: ϑ = \frac{5}{8})

b.) F (x) Quot. zweier quadr. Pol. (äquiv. mit Klostermannschen Summen; Davenport–Salié: ϑ = \frac{2}{3}).

1. undeutlich

Ich hoffe, gerade in diesen beiden Fällen durch Uniformisierung mittels elliptischer Transformationsgleichungen höherer Stufe zu ϑ = \frac{1}{2} und exakten Nullstellen zu kommen.

4. Weitere Fälle.

Die Ausnahmefälle, wo c_{2} = 0 oder c_{3} = 0, subsumieren sich (durch birationale Transformation) unter den allgemeinen Fall:

F (x, y) = ax^{m} + by^{n} − 1 in E_{q},

wo oBdA m, n | q − 1 angenommen werden darf. In diesem Fall läßt sich die Bestimmung der Nullstellen der Zetafunktion und damit der fraglichen Anzahl N_{1} (und auch N) leicht elementar ausführen, wie Davenport und ich gezeigt haben (Veröffentlichung demnächst). Die Nullstellenanzahl ist

2g = (m − 1)(n − 1) − (d − 1), wo d = (m, n).

Man findet durch Ausrechnen der Lösungsanzahl mittels der m–ten und n– ten Potenzcharaktere χ und ψ in E_{q}:

N_{1} − (q + 1) = ∑_{χ,ψ,χψ≠1} χ(a)ψ(b)\frac{τ(χ)τ(ψ)}{τ(χψ)} = ∑_{χ,ψ,χψ≠1} ϖ(χ, ψ),

und N = N_{1} − N, wo N die sofort angebbare Anzahl der Lösungen von z^{d} = −\frac{a}{b} in E_{q} ist. τ(χ) bedeutet die Gaußsche Summe zum Charakter χ:

τ(χ) = ∑_{x in E_{q}} χ^{−1}(x)e^{\frac{2πi}{p} Sp(x)}.

Der Hauptschluß besteht in dem Nachweis, daß bei Übergang zu E_{q^{r}} die Summanden ϖ(χ, ψ) rechts sich einfach mit r potenzieren, also einem interessanten Theorem über Gaußsche Summen in endlichen Körpern. Daraus folgt unmittelbar, daß diese ϖ(χ, ψ) gerade die gesuchten Nullstellen sind; die Anzahl ist in der Tat gerade 2g. Ihr Betrag ist nach der bekannten Tatsache über Gaußsche Summen wirklich q^{\frac{1}{2}} , Riemannsche Vermutung.

Durch Verallgemeinerung der Kummerschen Resultate über die Primidealzerlegung der Gaußschen Summen kann man ferner hier die fraglichen Nullstellen arithmetisch genau charakterisieren, nämlich als bestimmte Potenzprodukte der Primidealteiler von p im Körper der q − 1 –ten Einheitswurzeln mit bestimmten Kongruenzeigenschaften. Übrigens wird man dabei noch zu merkwürdigen Relationen zwischen den Gaußschen Summen geführt, nämlich

∏_{χ^{n}=X} τ(χ) = X(n)τ(X) ∏_{\begin{matrix}ψ^{n}=1 \\ ψ≠1 \end{matrix}} τ(ψ).

Es sei bemerkt, daß sowohl die Ausdrücke ϖ(χ, ψ), als auch diese Relation sich mittels hyperkomplexer Faktorensysteme deuten lassen. Vielleicht liegt hier die algebraische Quelle für diese Relationen.

Übrigens subsumiert sich auch der allererste Fall, in dem die Riemannsche Vermutung festgestellt wurde, nämlich der von Mordell erledigte Fall

y^{3} = F_{3}(x) (kubisches Polynom),

dem oben betrachteten allgemeinen Fall durch geeignete birationale Transformation (elliptischer Fall mit c_{2} = 0).

5. Charaktersummen und Exponentialsummen.

Mordell hat im Zusammenhang mit den Lösungsanzahlen N zwei Sorten von Summen studiert.

a.) Charaktersummen:

S(χ) = ∑_{x in E_{q}} χ(F (x)),

wo F (x) eine rationale Funktion über E_{q} (oBdA ein Polynom) und χ ein m–ter Potenzcharakter in E_{q} mit oBdA m | q − 1 ist. Deren Untersuchung ist äquivalent mit der Untersuchung der Lösungszahl N im hyperelliptischen Falle

y^{m} = F (x).

Die Riemannsche Vermutung für dieses Gebilde ist äquivalent mit:

|S(χ)| ≦ Cq^{\frac{1}{2}} ,

wo C eine mit dem Geschlecht des Gebildes zusammenhängende leicht angebbare Konstante ist. Im elliptischen Falle (und p ≠ 2, 3) ist das, wie ich oben ausführte, bestätigt. Allgemein liegen jedenfalls Teilresultate von Davenport und Mordell vor (mit gewissen ϑ > \frac{1}{2}). b.) Exponentialsummen:

S_{ν} = \begin{matrix}∑ & ′ \\ x in E_{q} \end{matrix} e^{\frac{2πiν}{p} Sp(F (x))} (x keine Nennernullstelle)

Ich konnte zeigen, daß diese Summen in ganz analoger Weise mit denjenigen Gebilden verknüpft sind, die durch eine zyklische Gleichung vom Grade p über E_{q}(x) erzeugt werden, also eine Gleichung vom Artinschen Typus:

y^{p} − y = F (x),

wo die rationale Funktion F (x) über E_{q} jetzt nicht mehr einfach als Polynom angenommen werden darf. Anders gesagt, können also die Exponentialsummen aufgefaßt werden als Charaktersummen für die Charaktere, die der Bildung y^{p} − y statt der m–ten Potenz y^{m} entsprechen.

Die Riemannsche Vermutung für das genannte Gebilde ist äquivalent mit:

|S_{ν}| ≦ (v − 2)q^{\frac{1}{2}} ,

wo v der Grad desjenigen Divisors ist, der entsteht, wenn man die Exponenten der Nennerprimteiler von F (x) um 1 erhöht; es ist 2g = (p − 1)(v − 2). Der fragliche Divisor vom Grade v ist der Führer des Körpers K im Sinne der Klassenkörpertheorie. Diese Klassenkörpertheorie war bei F. K. Schmidt anders als in den Fällen mit durch p unteilbarem Grade noch nicht entwickelt. Ich konnte dies tun, und insbesondere das Artinsche Reziprozitätsgesetz für diese zyklischen Körper vom Grade p beweisen, woraus sich dann der eben angeführte Zusammenhang ergab.

Die Riemannsche Vermutung ist für diese Exponentialsummen noch in keinem Falle bestätigt. Aber es liegen wieder Teilresultate von Davenport und Mordell mit ϑ > \frac{1}{2} vor.

Das Geschlecht, d. h. die darin steckende Zahl v gibt ein gewisses Maß für die Höhe des betr. Problems. Der in diesem Sinne niedrigste Typus, v −2 = 2 (= 1 ist trivial) liegt vor, wenn

α.) F (x) ein kubisches Polynom ist (Davenport: ϑ = \frac{5}{8}),

β.) F (x) Quotient zweier quadratischer Polynome ist (äquivalent mit sogen. Klostermanschen Summen; Davenport, Salié: ϑ = \frac{2}{3}).

In diesen beiden Fällen hoffe ich bis zur vollen Wahrheit, der Riemannschen Vermutung vordringen zu können durch Uniformisierung mittels Transformationsgleichungen höherer Stufe der elliptischen Funktionen.

\underline{Göttingen 1933 II} 158

1.16 Göttingen 1933 II

Quaternionenkörper und Darstellungstheorie der quadratischen Formen.

Vortrag Göttingen, Dezember 1933.

Gewöhnliche Quaternionen.

System der Größen

ξ = w + xi + yj + zij

mit Zahlkoordinaten w, x, y, z, gebildet aus 4 hyperkomplexen Einheiten 1, i, j, ij mit den Rechenvorschriften

i^{2} = −1,  j^{2} = −1,  ij = −ji.

Die Zahlkoordinaten w, x, y, z nimmt man gewöhnlich als reelle Zahlen. Dann gelten alle Rechengesetze bis auf das komm. Gesetz der Multiplikation. Insbesondere ist die Division durch ξ ≠ 0 stets möglich, weil der dabei in den Koordinaten auftretende Nenner

N(ξ) = ξξ′ = w^{2} + x^{2} + y^{2} + z^{2}

nicht Null ist. Dieser Nenner ist das Produkt von ξ mit den konjugierten

ξ′ = w − xi − yj − zij,

und die Division \frac{η}{ξ} vollzieht sich nach dem Schema \frac{ηξ′}{N(ξ)}. Alles dies gilt a

fortiori bei Beschränkung auf rationale Koordinaten. Im folgenden stets so.

Verallgemeinerte Quaternionen.

System der Größen

ξ = w + xα + yβ + zαβ

mit rationalen Zahlkoordinaten w, x, y, z, gebildet aus 4 hyperkomplexen Einheiten 1, α, β, αβ mit den Rechenvorschriften

α^{2} = a,  β^{2} = b,  αβ = −βα.

Dabei a, b gegebene rationale Zahlen ≠ 0. Es gelten wieder die Gesetze der Addition, Subtraktion und Multiplikation bis auf das komm. Gesetz der Multiplikation. Die Division muß untersucht werden. Rechnet man wieder

ξ′ = w − xα − yβ − zαβ

als das konjugierte zu ξ, so ist hier

N(ξ) = ξξ′ = w^{2} − ax^{2} − by^{2} + abz^{2},

und für die Division kommt es genau wie oben darauf an, ob diese quadr. Form nicht-identische Nulldarstellungen hat. (Nullform!), und zwar entsprechend unserer Grundvoraussetzung mit rationalen w, x, y, z.

Ich bezeichne das verallgemeinerte hyperkomplexe Quaternionensystem mit den Koeffizienten a, b durch (a, b). In diesem Sinne sind die gewöhnlichen Quaternionen (−1, −1).

1. Hauptfrage. Wann ist (a, b) ein Nullsystem? Bezeichnung: (a, b) ∼ 1. Gleichbedeutend mit der Frage: Wann ist die quaternäre quadratische Form

F = w^{2} − ax^{2} − by^{2} + abz^{2}

Nullform? Oder auch: Wann ist die ternäre quadratische Form

f = w^{2} − ax^{2} − by^{2}

Nullform?

Ist nämlich F Nullform, so a fortiori auch F. Ist umgekehrt F Nullform,

(w_{0}^{2} − ax_{0}^{2}) − b(y_{0}^{2} − az_{0}^{2}) = 0,

so entweder a Quadrat und f trivialerweise Nullform; oder a kein Quadrat, dann

y_{0}^{2} − az_{0}^{2} ≠ 0

und

\frac{w_{0}^{2} − ax_{0}^{2}}{y_{0}^{2} − az_{0}^{2}} = \frac{N(w_{0} + αx_{0})}{N(y_{0} + αz_{0})} = N (\frac{w_{0} + αx_{0}}{y_{0} + αz_{0}} ) = N(u_{0} + av_{0}) = u_{0}^{2} − av_{0}^{2} = b,

also wieder f Nullform. – 2. Hauptfrage. Äquivalenz. Durch Ausübung einer nicht-singulären Basistransformation T auf 1, α, β, αβ kann man neue Basis ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}, ω_{4} herleiten. Dabei erfahren die Koordinaten w, x, y, z die kontragrediente Transformation T′^{−1}, und F geht in eine äquivalente quadratische Form F′ über. Im allgemeinen wird das Multiplikationsschema der neuen Basis ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}, ω_{4} nicht wieder von derselben einfachen Art sein, wie für 1, α, β, αβ, und dementsprechend F′ nicht von derselben einfachen Art wie F. Es kann jedoch sein, daß T eine neue Basis der Form 1, α′, β′, α′β′ mit

α′^{2} = a′,  β′^{2} = b′,  α′β′ = −β′α′

liefert, und demgemäß

F′ = w′^{2} − a′x′^{2} − b′y′^{2} + a′b′z′^{2}

wird. Man sieht auch leicht, daß umgekehrt, wenn F′ diese Form bekommt, die neue Basis das genannte einfache Multiplikationsschema hat. Wir schreiben dann (a′, b′) = (a, b). Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist die Äquivalenz F′ ∼ F. Die Transformationskoeffizienten sind dabei, wie alle vorkommenden Zahlen, als rationale Zahlen gedacht.

Z.B. ist so stets (aa_{0}^{2}, bb_{0}^{2}) = (a, b) für beliebige a_{0}, b_{0} ≠ 0, d.h. es kommt für die a, b nicht auf quadratische Faktoren an, sie können stets als ganze quadratfreie Zahlen angenommen werden. Ferner ist z.B. stets

(a, b) = (a, b′), wenn (a, \frac{b}{b′} ) ∼ 1, d.h. \frac{b}{b′} = u_{0}^{2} − av_{0}^{2}.

Denn dann

F = (w^{2} − ax^{2}) − b(y^{2} − az^{2}) = (w^{2} − ax^{2}) − b′(u_{0}^{2} − av_{0}^{2})(y^{2} − az^{2}) =

= (w^{2} − ax^{2}) − b′(y′^{2} − az′^{2}).

Die 2. Hauptfrage lautet also: Wann ist (a′, b′) = (a, b)? Gleichbedeutend mit: Wann ist F′ ∼ F?

Wir wollen uns hier hauptsächlich mit der Lösung der 1. Hauptfrage beschäftigen. Daraus kann man dann, wie ich anschließend skizzieren werde, auch zu einer Lösung der 2. Hauptfrage kommen. Die Lösung wird uns überdies einen Einblick in zentrale Fragestellungen und Theorien der modernen Algebra und Arithmetik vermitteln.

Lösung der 1. Hauptfrage. Dafür kommt es nicht auf die Unterscheidung verschiedener Erzeugungsarten (a, b), (a′, b′) desselben Systems, d.h. auf die Unterscheidung äquivalenter F, F′ an. Die Lösung beruht auf einem Fundamentalsatz über quadratische Formen, den ich in den Mittelpunkt dieses Vortrags stellen will. Dieser findet sich schon als beherrschendes Prinzip in der klassischen Theorie der quadratischen Formen, wie sie in den berühmten Disqu. Arbeiten von Gauß entwickelt ist, allerdings in etwas anderer Einkleidung. Und er hat sich in näherer Zeit als leitendes Grundprinzip für viele zahlentheoretische Fragestellungen erwiesen.

Auf dies Prinzip führt folgende Überlegung: Ist die Form

f = w^{2} − ax^{2} − by^{2}

(a, b ganz rational quadratfrei) Nullform, so ist sie sicher auch Nullform mod m für jede ganze Zahl m > 0, d.h. sie kann teilbar durch m gemacht werden und zwar so, daß w, x, y mit m keinen gemeinsamen Teiler haben. Denn die Zahl 0 ist teilbar durch jedes m. Nun ist aber die 0 durch diese Eigenschaft auch unter allen ganzen Zahlen charakterisiert. Also sollte man annehmen, daß eine Form f, welche Nullform für jedes m > 0 ist, auch Nullform schlechthin ist. Das ist natürlich so nicht unmittelbar einsichtig, denn die Variablenwerte, welche f teilbar durch m machen, werden i.a. mit m variieren. Der Fundamentalsatz behauptet nun:

Ist f Nullform mod m für jedes ganze m > 0 und zudem Nullform im reellen Zahlbereich, so ist f rationale Nullform; und umgekehrt (trivial).

Die Forderung, f solle auch Nullform im reellen Zahlbereich sein, ist durchaus einsichtig. Sie verlangt, daß a, b nicht beide negativ sind. Beweis. Wir setzen wie gesagt, a, b als ganz quadratfrei voraus, und setzen voraus, daß f Nullform mod m für alle m > 0 und reelle Nullform ist. Wir verwenden vollständige Induktion nach der absoluten Größe der Koeffizienten a, b, und zwar denken wir uns diese (o.B.d.A.) immer so geordnet: |a| ≦ |b|, und schließen dann induktiv in der Rangordnung

(1, 1); (1, 2), (2, 2); (1, 3), (2, 3), (3, 3); …

für die absoluten Beträge |a|, |b|.

Für |a| = |b| = 1 stimmt die Behauptung. Denn da f reelle Nullform, ist notwendig a oder b = +1, und daher f ersichtlich rationale Nullform.

Sei nun (|a|, |b|) in der Rangordnung höher als (1, 1), und sei angenommen, die Behauptung sei bereits für alle in der Rangordnung vorangehenden (die Nullformvoraussetzungen erfüllenden) Formen bewiesen. □□□

Wir benutzen, daß nach Voraussetzung f sicher Nullform mod b^{2} ist:

w_{0}^{2} − ax_{0}^{2} − by_{0}^{2} ≡ 0 mod b^{2}, mit (w_{0}, x_{0}, y_{0}, b) = 1.

Dabei ist sicher x_{0} prim zu b. Denn wäre p ein gemeinsamer Primteiler, so wäre p^{2} in w_{0}^{2}, x_{0}^{2} enthalten, ferner in b, also in by_{0}^{2}, und wegen der Quadratfreiheit von b also auch in y_{0}^{2}, gegen die obige Zusatztatsache. Betrachtet man also die Kongruenz nur mod |b| und dividiert durch die prime Restklasse von x_{0}, so erhält man eine Lösung u_{0} der Kongruenz:

a ≡ u_{0}^{2} mod |b| (u_{0} ≡ \frac{w_{0}}{x_{0}} mod |b|) .

Dies u_{0} kann im absolut-kleinsten Restsystem mod |b| gewählt werden:

|u_{0}| ≦ \frac{|b|}{2}.

Wir setzen:

u_{0}^{2} − a = bb′, wo also b′ ganz.

Ist hier b′ = 0, so ist a Quadrat und f ersichtlich Nullform. Ist aber b′ ≠ 0

(Hauptfall), so ist der oben angewandte Schluß anwendbar, da \frac{b}{b′} = (\frac{u_{0}}{b′})^{2} −

(\frac{1}{b′})^{2}, und es resultiert (a, b) = (a, b′). Hierbei ist

|b′| = |\frac{u_{0}^{2}}{b} − \frac{a}{b}| ≦ \frac{|b|^{2}}{4|b|} + \frac{|a|}{|b|} ≦ \frac{|b|}{4} + 1 < |b|, da |b| > 1.

Folglich geht (a, b′) = (b′, a) in der Rangordnung voran, d.h. (a, b′) ∼ 1 nach Induktionsannahme, also auch (a, b) ∼ 1, d.h. f rationale Nullform.

Damit ist der Fundamentalsatz durch vollständige Induktion bewiesen.

Weitere Reduktion der Lösung der 1. Hauptfrage.

Durch den Fundamentalsatz wird die Lösung des in der 1. Hauptfrage liegenden rein algebraischen Problems auf die Lösung eines arithmetischen Problems zurückgeführt, nämlich die Frage, ob

f = w^{2} − ax^{2} − by^{2} ≡ 0 mod m mit (w, x, y, m) = 1

lösbar ist. Dies kann man nun nach elementaren arithmetischen Methoden weiter behandeln.

Zunächst sieht man leicht, daß es genügt, für m alle Primzahlpotenzen p^{ν} zugrundezulegen. Denn aus Lösungen für eine Reihe von Primzahlpotenzen läßt sich eine Lösung für ihr Produkt zusammenbauen (und trivialerweise umgekehrt).

Ferner kann man dann zeigen, daß es (bei quadratfreien ganzen a, b) sogar genügt, die Potenzen 2^{3} oder 2^{4} und p oder p^{2} (p ≠ 2) zugrundezulegen, indem aus einer Lösung für sie nach einem einfachen zahlentheoretischen Schluß Lösungen für die höheren Potenzen konstruiert werden können.

Schließlich kann man dann die Lösbarkeitsbedingungen für diese Potenzen nach der Theorie der quadratischen Reste explizit aufstellen.

Ich will hier nur das Resultat dieser arithmetischen Untersuchung angeben und dann daran weitere Beobachtungen knüpfen.

Sei zunächst p ≠ 2 und r_{p} eine primitive Wurzel mod p. Dann lassen sich die Zahlen a, b so darstellen:

a ≡ p^{α}r_{p}^{α′} mod p^{α+1}
b ≡ p^{β}r_{p}^{β′} mod p^{β+1}.

(Hierzu brauchen a, b nicht einmal quadratfrei, und bei geeignetem Kongruenzbegriff auch nicht einmal ganz normiert zu sein; sind sie ganz quadratfrei, so ist der Modul entweder p oder p^{2}). Es stellt sich dann heraus, daß f Nullform für alle Potenzen p^{ν} dann und nur dann ist, wenn die Einheit

(\frac{a, b}{p}) = (−1)^{\frac{p−1}{2} αβ+αβ′+α′β}

den Wert +1 hat. Insbesondere ist dies also stets der Fall, wenn α, β = 0 sind, d.h. es sind von vornherein nur die endlich vielen Primteiler p der Koeffizienten a, b kritisch.

Für p = 2 lassen sich a, b so darstellen:

a ≡ 2^{α}(−1)^{α′}5^{α′′} mod 2^{α+3}
b ≡ 2^{β}(−1)^{β′}5^{β′′} mod 2^{β+3}

(Der Modul ist für quadratfreie a, b entweder 2^{3} oder 2^{4}). Und f ist Nullform für alle Potenzen 2^{ν} dann und nur dann, wenn die Einheit

(\frac{a, b}{2}) = (−1)^{αβ′′+α′β′+α′′β}

gleich +1 ist.

Schließlich läßt sich auch noch die Bedingung, daß f reelle Nullform sei, auf diese Form bringen. Stellt man nämlich a, b in der Form

a = (−1)^{a}a_{0}
b = (−1)^{β}b_{0} (a_{0}, b_{0} > 0)

dar, wo also das Positivsein jetzt die Rolle des kongruent 1 Seins des Restfaktors bekommen hat, so lautet die Bedingung so, daß die Einheit

(\frac{a, b}{p_{∞}}) = (−1)^{αβ}

den Wert +1 haben muß (p_{∞} soll symbolisch die Betrachtung dem Vorzeichen nach andeuten).

So ist also jeder quadratischen Form f = w^{2} − ax^{2} − by^{2} und mittelbar also auch jedem Quaternionensystem (a, b) ein System von Einheiten

c_{p} = (\frac{a, b}{p}) = ±1

zugeordnet, und zwar für jede Primzahl p eine und zudem noch für das Symbol p_{∞} (die Betrachtung dem Vorzeichen nach) eine solche Einheit. Von diesen Einheiten sind von vornherein nur endlich viele gleich −1, nämlich höchstens für 2, p_{∞} und die ungeraden Primteiler p der ganz quadratfrei normierten Koeffizienten.

Dies System von Einheiten c_{p} entscheidet darüber ob f Nullform, d.h. ob (a, b) ∼ 1 ist, und zwar so:

f Nullform ↔ F Nullform ↔ (a, b) ∼ 1 ↔

↔ c_{p} = (\frac{a, b}{p}) = +1 für alle p.

Bei Gauß tritt dieser Satz (in anderer Terminologie – quadr. Restsymbol statt unserer Formeln für das Symbol c_{p} = (\frac{a,b}{p})) im Zusammenhang mit dem quadratischen Reziprozitätsgesetz, seinem theorema fundamentale auf. Es stellt sich nämlich heraus, daß auf Grund dieses berühmten Gesetzes:

(\frac{p}{q})(\frac{q}{p}) = (−1)^{\frac{p−1}{2}} ^{(\frac{q−1}{2})} für verschiedene ungerade Primzahlen p, q und seiner Ergänzungssätze

\begin{matrix}(\frac{−1}{p}) & = & (−1)^{\frac{p−1}{2}} \\ (\frac{2}{p}) & = & (−1)^{\frac{±p−1}{4}} (±p ≡ 1 mod 4) \end{matrix} \} für ungerade Primzahlen p

zwischen den einzelnen Einheiten c_{p} = (\frac{a,b}{p}) eine Abhängigkeit besteht, nämlich

∏_{p} c_{p} = ∏_{p} (\frac{a, b}{p}) = +1,

d.h. die Anzahl der endlich vielen kritischen p (p mit Symbolwert −1) ist stets gerade. Daher in dem obigen Fundamentalsatz eine Bedingung, z.B. die auf die Vorzeichen bezügliche, entbehrlich.

Wir wollen das eine Hauptgesetz bestätigen. Dazu betrachten wir das Quaternionensystem (p, q), d.h. die Form

f = w^{2} − px^{2} − qy^{2}

für zwei verschiedene ungerade Primzahlen p, q. Die Einheiten sind von vornherein +1 außer für 2, p, q. Für p lauten die Darstellungen:

p = p^{1}
q ≡ r_{p}^{β′} mod p,

wo β′ gerade oder ungerade, je nachdem (\frac{q}{p}) = +1 oder −1. Also:

c_{p} = (\frac{p, q}{p}) = (−1)^{β′} = (\frac{q}{p}).

Ebenso:

c_{q} = (\frac{p, q}{q}) = (\frac{p}{q}).

Für 2 lauten die Darstellungen:

p ≡ (−1)^{α′}5^{α′′} mod 8
q ≡ (−1)^{β′}5^{β′′} mod 8,

c_{2} = (\frac{p, q}{2}) = (−1)^{α′β′}.

Es kommt also nur auf die Exponenten α′, β′ an, die bereits durch

p ≡ (−1)^{α′} mod 4
q ≡ (−1)^{β′} mod 4

charakterisiert sind, und zwar offenbar

α′ ≡ \frac{p − 1}{2} mod 2
β′ ≡ \frac{q − 1}{2} mod 2.

Also:

c_{2} = (\frac{p, q}{2}) = (−1)^{\frac{p−1}{2} \frac{q−1}{2}} .

In der Tat ist also nach dem Reziprozitätsgesetz c_{2}c_{p}c_{q} = 1.

Entsprechend bestätigt man auf Grund auch der Ergänzungssätze, daß allgemein das obige Produkttheorem gilt. Man muß dabei nur beachten, daß wegen der Linearität und Homogenität der Exponenten von −1 in der Definition von (\frac{a,b}{p}) in den Exponenten von a und b die Zerlegungssätze gelten:

(\frac{a, b_{1}b_{2}}{p}) = (\frac{a, b_{1}}{p})(\frac{a, b_{2}}{p}), (\frac{a_{1}a_{2}, b}{p}) = (\frac{a_{1}, b}{p})(\frac{a_{2}, b}{p}).

Dadurch reduziert sich der Beweis auf die Fälle, wo a und b entweder eine ungerade Primzahl q oder die Primzahl 2 oder die Einheit −1 ist. Man hat dann alle wesentlich verschiedenen (7) Kombinationen dieser Fälle in gleicher Weise wie eben durchzugehen.

Das obige Produkttheorem ist hiernach eine einheitliche Formulierung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze. Es ist zuerst von Hilbert in dieser Form ausgesprochen worden. Gauß hat umgekehrt den aufgedeckten Zusammenhang mit der Theorie der ternären Form f = w^{2} − ax^{2} − by^{2} dazu benutzt um einen Beweis des Reziprozitätsgesetzes zu geben, das er mit Recht für so grundlegend hielt, daß er dafür 6 auf den verschiedensten Grundlagen aufgebaute Beweise gab.

Lösung der 2. Hauptfrage (Skizze).

Die gewonnenen Einheiten c_{p} = (\frac{a,b}{p}) vermitteln ohne weiteres auch die Lösung der 2. Hauptfrage. Es gilt nämlich der Satz:

\begin{matrix}(a, b) & = & (a′, b′) \\ d.h. F & ∼ & F′ \end{matrix} \} ↔ (\frac{a, b}{p}) = (\frac{a′, b′}{p}) für alle p.

Auch das Äquivalenzproblem ist hierdurch auf arithmetischem Wege gelöst. Auf den Beweis kann ich hier nicht im einzelnen eingehen. Ich will nur soviel andeuten. Es genügt zu zeigen, daß unter der angegebenen Bedingung die Formen

ax^{2} + by^{2} − abz^{2} und a′x′^{2} + b′y′^{2} − a′b′z′^{2}

äquivalent sind. Denkt man sich hier für x, y, z die linearen Formen in x′, y′, z′ eingesetzt und setzt x′ = 1, y′, z′ = 0, so entsteht eine Darstellung von a′ durch die erste Form. Man beweist nun zunächst, daß eine solche jedenfalls besteht. Das kommt homogen geschrieben auf eine Relation

ax_{0}^{2} + by_{0}^{2} = abz_{0}^{2} + a′u_{0}^{2} (u_{0} ≠ 0)

hinaus, oder also auf die Existenz einer Hilfszahl h, so daß gleichzeitig

ax^{2} + by^{2} − h[…]^{2} und abz^{2} + a′u^{2} − ht^{2}

Nullformen sind. Nun hat man ja nach dem obigen das Kriterium, wann eine ternäre Form Nullform ist (daß ein Koeffizient 1 ist, kann man natürlich stets durch Division der Form durch einen der Koeffizienten erreichen). Man muß dann also nur prüfen, ob man ein h so wählen kann, daß beide Formen gleichzeitig Nullformen sind. Es zeigt sich nun, daß das stets geht. Dazu braucht man den berühmten Dirichletschen Satz von der arithmetischen Progression, daß es in jeder teilerfremden arithmetischen Progression Primzahlen gibt. Die Nullformkriterien führen nämlich auf bestimmte arithmetische Progressionen für h, die zwar Teiler haben, aber nach Abspaltung dieser durch eine Primzahl p erfüllt werden können. Dann stimmen die Nullformkriterien für alle Primzahlen bis auf ev. dies p. Für dieses müssen sie dann auch stimmen nach dem Produktgesetz.

Daß man stets auch noch u_{0} ≠ 2 erreichen kann, zeigt man durch direkte Umformung einer Relation mit u_{0} = 0 in eine solche mit u_{0} ≠ 0.

Hat man so erst einmal den „Anfang“ der Transformation, indem man a′ durch die erste Form dargestellt hat, so kann man die Transformation ohne weiteres so ausbauen, daß eine Form

a′x′′^{2} + b′′y′′^{2} − a′b′′z′′^{2}

mit einem gewissen b′′ entsteht (der letzte Koeffizient regelt sich durch die Invarianz des Diskriminantenkerns bei Transformationen). Diese Form hat dann auch dieselben Einheiten wie a′x′^{2} + b′y′^{2} − a′b′z′^{2}, d.h.

(\frac{a′, b′′}{p}) = (\frac{a′, b′}{p}) für alle p,

also

(\frac{a′, \frac{b′′}{b′}}{p} ) = 1 für alle p,

Dann ist aber, wie wir bewiesen haben, (a′, \frac{b′′}{b′} ) ∼ 1, also (a′, b′′) = (a′, b′), was zu beweisen war. –

Nach diesem Äquivalenzsatz bilden die Einheiten c_{p} = (\frac{a,b}{p}) ein vollständiges Invariantensystem für die Quaternionensysteme (a, b) oder auch für die quadratischen Formen F = w^{2} − ax^{2} − by^{2} + abz^{2} bzgl. rationaler Transformation. Dies System gestattet die beiden algebraischen Hauptfragen nach Nullsystem (Nullform) und Identität (Äquivalenz) zu entscheiden. Zudem vermittelt es eine Übersicht über alle verschiedenen Quaternionensysteme (Formenklassen). Diese entsprechen eineindeutig den möglichen Verteilungen von Einheiten c_{p} = ±1 auf die „Stellen“ p mit den beiden Einschränkungen:

(1.) nur endlich viele c_{p} ≠ +1

(2.) ∏_{p} c_{p} = +1

Es gilt nämlich in Abrundung der bewiesenen Tatsachen der Existenzsatz: Zu jedem System c_{p}, das den Bedingungen (1.), (2.) genügt, existiert wirklich ein Quaternionensystem (a, b) mit c_{p} = (\frac{a,b}{p}), d.h. (1.) und (2.) sind auch die einzigen Einschränkungen. Z.B. hat das gewöhnliche Quaternionensystem (−1, −1) die Invarianten c_{2} = −1, c_{p_{∞}} = −1, sonst c_{p} = +1.

Weitere Ausblicke.

I. Theorie der allgemeinen hyperkomplexen Systeme (mit rationalen Koeffizienten).

Die weiteste Verallgemeinerung des Begriffs der Quaternionensysteme ist so: Gegeben n hyperkomplexe Einheiten ε_{1}, …, ε_{n} mit linear-homogenen Multiplikationsregeln

ε_{i}ε_{j} = ∑_{ℓ=1}^{n} a_{ijℓ}ε_{ℓ}

Man betrachtet das System 𝔖 der hyperkomplexen Zahlen

ξ = x_{1}ε_{1} + ⋯ + x_{n}ε_{n}.

Ganz willkürlich wird man aber dabei die a_{ijℓ}, das Analogon der obigen a, b, nicht wählen, sondern jedenfalls so, daß die Multiplikation assoziativ ist:

(ε_{i}ε_{j})ε_{k} = ε_{i}(ε_{j}ε_{k}).

Das gibt eine Reihe von bilinearen Bedingungsgleichungen zwischen den a_{ijℓ}, die bei den Quaternionen erfüllt sind (dort sind die a_{ijℓ} = a, b, 0, ±1). Außerdem ist es vernünftig sich auf Systeme 𝔖 zu beschränken, für die eine gewisse Determinante aus den a_{ijℓ}, die sog. Diskriminante des Systems, nicht 0 ist; auch das ist bei den Quaternionensystemen erfüllt.

Es gelten dann ganz entsprechende Tatsachen. Wieder existiert ein arithmetisch definiertes Invariantensystem in Zuordnung zu den einzelnen Primzahlen p (inkl. p_{∞}), nur mit 2 Unterschieden gegen obigen Spezialfall:

a.) Für jedes p hat man eine feste Zahl c_{p}^{(1)}, … c_{p}^{(r)} von Einheiten.

b.) Diese Einheiten sind jetzt allgemeiner Einheitswurzeln fester Exponenten m_{1}, … m_{r}. Wieder wird das Identitätsproblem gelöst durch das Übereinstimmen aller dieser Einheiten. Und wieder bestehen die beiden Einschränkungen; und zwar als einzige:

(1.) für jedes ϱ sind nur endlich viele c_{p}^{(ϱ)} ≠ 1

(2.) für jedes ϱ ist ∏_{p} c_{p}^{(ϱ)} = 1.

Die letztere ist die einheitliche Formulierung der höheren Reziprozitätsgesetze. Man kann dann auch von hier aus, analog zu Gauß, zu einem Beweis dieser höheren Reziprozitätsgesetze kommen, der sich vor allen anderen durch seine Natürlichkeit und gedankliche Einfachheit auszeichnet. II. Allgemeine Theorie der quadratischen Formen.

Man kann die speziellen Erkenntnisse über ternäre und quaternäre Formen ausnutzen, um allgemein über das Äquivalenzproblem der quadratischen Formen mit rationalen Koeffizienten von beliebig vielen Variablen zu entscheiden.

Eine solche ist ein Ausdruck:^{1}

F (x_{i}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ii}x_{i}^{2} + 2 ∑_{i<k} a_{ik}x_{i}x_{k} = ∑_{i,k=1}^{n} a_{ik}x_{i}x_{k} (a_{ik} = a_{ki})

1. Index i unklar

Vernünftigerweise nimmt man die Form nicht-singulär an, d.h. ihre Diskriminante

D = |a_{ik}| ≠ 0.

Man kann elementar (rational) f auf eine reine Form

f = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}^{2}

transformieren, wie sie ja auch in unseren obigen Überlegungen nur vorkommen.

Invarianten sind dann:

a.) die Variablenzahl n

b.) der quadratische Kern d der Diskriminante D.

c.) der Trägheitsindex I, d.h. die Anzahl der negativen a_{i}

d.) ein System von Einheiten C_{p} = ±1 mit denselben beiden Einschränkungen wie in unseren obigen Spezialfällen (Endlichkeits- und Produktbedingung). Und zwar ist explizit:

C_{p} = ∏_{i≦k}(\frac{a_{i}, a_{k}}{p}).

Bei unseren obigen Formen F reduziert sich das leicht auf unsere obigen Einheiten c_{p}; die Invariante n ist natürlich da fest = 4, ferner d fest = 1, und I wird da schon völlig durch c_{p_{∞}} beschrieben.

Das Fundamentaltheorem besagt nun, daß die genannten Invarianten ein vollständiges Invariantensystem für rationale Äquivalenz bilden. Wieder ist also ein rein algebraisches Problem dadurch arithmetisch gelöst. Ferner existiert wieder zu jedem Invariantensystem auch wirklich eine Formenklasse (allerdings muß man dabei noch einige weitere Einschränkungen berücksichtigen, nämlich Bindungen zwischen d, I und C_{p_{∞}}).

Die Zurückführung des Äquivalenzproblems auf die einzelnen „Stellen“ p spricht sich inhaltlich in dem Fundamentalprinzip aus:

Zwei quadratische Formen F und F′ sind rational äquivalent dann und nur dann, wenn sie mod m äquivalent sind für jedes m > 0 und zudem reelläquivalent.

Mithilfe der Invarianten kann man wieder speziell auch die Nullformfrage allgemein lösen, d.h. Kriterien dafür angeben, wann eine Form F Nullform ist. Und noch allgemeiner auch Kriterien dafür, ob eine rationale Zahl a rational durch F darstellbar ist. In beiden Fällen zerfallen die Kriterien wieder in solche für die einzelnen p, und diese sind gerade die Kriterien für die betr. Frage mod p^{ν}, sodaß auch hier wieder das Fundamentalprinzip gilt:

Eine quadratische Form F stellt eine rationale Zahl a (im Falle a = 0 nicht-identisch) dann und nur dann dar, wenn dies mod m für jedes m > 0 und reell der Fall ist.

Diese Theorie der quadratischen Formen erledigt zwar eine große Reihe von Fragestellungen, ist aber doch noch nicht tief genug, um die von Gauß in den Mittelpunkt der Theorie gestellten Fragen anzugreifen. Diese Fragen legen nämlich anstatt des Bereichs aller rationalen Zahlen nur den Bereich aller ganzen rationalen Zahlen zugrunde, und sogar dementsprechend nach ganzzahliger Äquivalenz, ganzzahligen Darstellbarkeit, also z.B. die klassischen Fragen nach der Darstellbarkeit einer ganzen rationalen Zahl a > 0 als Summe von 2, 3, 4, … Quadraten. Im Bereich der ganzzahligen Formen liefert unsere Betrachtung nur eine verhältnismäßig grobe Klasseneinteilung. Diese läßt sich mit den angegebenen Hilfsmitteln noch etwas verfeinern, indem man statt der rationalen Äquivalenz die quasiganze Äquivalenz fordert. Hierfür spricht sich das Fundamentaltheorem so aus:

Nat. Äquiv. ↔ Äquivalenz nach jedem m > 0

und reelle Äquiv.

Quasiganze Äquiv. ↔ ganze Äquiv. nach jedem m > 0

und reelle Äquiv.

(beliebig normierbare^{2} Nenner)  ([…] Geschlechtes)

Weiter kommt man jedoch mit dieser Methode nicht. Das Problem der ganzzahligen Äquivalenz gestattet nicht mehr eine Aufspaltung nach den einzelnen Stellen p. Dies liefert nur notwendige Bedingungen, nicht immer hinreichend. Entsprechend für die Darstellbarkeitsprobleme.

Die Theorie der Quaternionen öffnet aber auch den Weg zu solchen ganzz. Problemen. Z.B. liefert sie sehr elegant den Satz, daß jede positive ganze Zahl sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen läßt.

\underline{Königsberg 1936} 172

1.17 Königsberg 1936

Ein Hauptsatz über quadratische Formen mit rationalen Koeffizienten

Vortrag in Königsberg, 13. May 1936.

Eine für die Theorie der quadratischen Formen mit rationalen Koeffizienten und überhaupt für einen großen Fragenkomplex aus der Zahlentheorie grundlegende Frage ist, unter welchen Bedingungen eine ternäre quadratische Form der Gestalt

f_{a,b} = f_{a,b}(x, y, z) = x^{2} − ay^{2} − bz^{2} ,

wo a, b von Null verschiedene rationale Zahlen sind, rationale Nullform ist, d. h. die Null mit nicht sämtlich verschwindenden rationalen Werten von x, y, z darstellt. Die Antwort wurde zuerst von Legendre gegeben, und zwar mittels eines von Lagrange stammenden Reduktionsverfahrens.

Da man etwaige quadratische Faktoren der rationalen Zahlen a, b in die Variablen y, z ziehen kann, ist es keine Beschränkung, wenn man a, b als ganze quadratfreie Zahlen voraussetzt. Legendre führt überdies noch die einschränkende Voraussetzung ein, daß a und b teilerfremd seien. Sein Resultat lautet dann:

f_{a,b} ist rationale Nullform dann und nur dann, wenn (1.) a und b nicht beide negativ sind,

und (2.) a qu. Rest mod. b und b qu. Rest mod. a ist.

Die Bedingung (2.) kann in bekannter Weise auch aufgespalten werden in:

(2’.) (\frac{a}{p}) = 1 für alle ungeraden Primzahlen p | b und

(\frac{b}{p}) = 1 für alle ungeraden Primzahlen p | a.

Man sieht leicht, daß diese Bedingungen notwendig sind. (1.) ist notwendig, weil für negative a, b eine Summe von drei nicht sämtlich verschwindenden positiven Zahlen vorliegt. Um (2.) als notwendig zu erkennen, bemerken wir, daß in einer rationalen Nulldarstellung x, y, z als ganze teilerfremde Zahlen angenommen werden dürfen (primitive Nulldarstellung). Ist dann p | b, so ist notwendig p ∤ y, weil aus p | y folgte p | x , p^{2} | x^{2} − ay^{2} , p^{2} | bz^{2} , also wegen der Quadratfreiheit von b auch p | z. Somit folgt

x^{2} − ay^{2} ≡ 0 mod. p mit y ≢ 0 mod. p ,

und daraus

a ≡ u^{2} mod. p (mit u aus yu ≡ x mod. p).

Daß die Bedingungen hinreichend sind, liegt tiefer. Ich will hier eine moderne Umgestaltung des klassischen Beweises von Lagrange–Legendre geben, die zugleich tiefer in die Bedeutung des Legendreschen Resultats hineinblicken läßt.

Die obigen notwendigen Bedingungen kommen dadurch zustande, daß man die Gleichung x^{2} − ay^{2} − bz^{2} = 0 in rationalen (ohne Einschränkung ganzen teilerfremden) Zahlen einerseits als Gleichung in reellen Zahlen, andererseits als Kongruenz nach gewissen Primzahlen als Modul auffaßt. Führt man diesen Gedanken systematisch durch, so wird man darauf geführt, nicht nur gewisse Primzahlen (die ungeraden Primteiler von a und b), sondern gleich alle Primzahlen und weiter auch alle Primzahlpotenzen als Betrachtungsmoduln einzuführen (eigentlich auch alle zusammengesetzten ganzen Zahlen, aber die Kongruenzen nach ihnen lassen sich ja in bekannter Weise auf Kongruenzen nach den darinsteckenden Primzahlpotenzen zurückführen).

Wir wollen dementsprechend die folgenden Begriffe einführen (dabei a, b ganze Zahlen, aber nicht notwendig quadratfrei):

f_{a,b} heißt reelle Nullform, wenn die Gleichung x^{2} − ay^{2} − bz^{2} = 0 durch reelle nicht sämtlich verschwindende x, y, z lösbar ist.

f_{a,b} heißt Nullform für eine Primzahl p, wenn die Gleichung x^{2} − ay^{2} − bz^{2} = 0 durch ganze für p teilerfremde x, y, z lösbar ist.

Die Kernaussage des Legendreschen Satzes ist dann die folgende grundlegende Tatsache, die ich in den Mittelpunkt meines heutigen Vortrages stellen möchte:

Hauptsatz. Damit f_{a,b} rationale Nullform ist, ist notwendig und hinreichend, daß f_{a,b} Nullform für jede Primzahl p und reelle Nullform ist.

Daß die Bedingungen notwendig sind, ist nach dem Gesagten klar. Ich werde hier ausführlich beweisen, daß sie hinreichend sind. Damit ist dann zunächst noch nicht das explizite Kriterium von Legendre bewiesen, sondern erst eine Vorstufe dazu. Diese Vorstufe stellt aber eine wesentliche Reduktion des Problems dar. Denn die Untersuchung, wann f_{a,b} Nullform für ein einzelnes p ist, ist erheblich einfacher als die ursprüngliche Frage, sie kann mit den Hilfsmitteln der Theorie der quadratischen Reste leicht erledigt werden. Und wann f_{a,b} reelle Nullform ist, ist schon oben in trivialer Weise explizit entschieden.

Die genannte Vorstufe ist aber auch an sich von hohem theoretischem Interesse. Sie ist der einfachste Fall eines die gesamte moderne Zahlentheorie beherrschenden Prinzips, nämlich der Zurückführung von Eigenschaften im Großen (für rationale Zahlen) auf Eigenschaften im Kleinen oder lokale Eigenschaften (Verhalten als Kongruenz nach den einzelnen Primzahlpotenzen, Verhalten im Reellen), ganz analog wie man in der komplexen Funktionentheorie das Prinzip hat: Eine Funktion ist dann und nur dann rational, wenn sie an jeder endlichen Stelle und im Unendlichen rationalen Charakter hat. Die einzelnen rationalen Primzahlen entsprechen den endlichen Stellen z = a der komplexen Ebene (die zugehörigen Linearfaktoren z − a sind die Primfunktionen, aus denen sich die rationalen Funktionen zusammensetzen), und das Reelle entspricht der unendlichen Stelle (auf der Kugel). Aus diesem auch noch tiefer verfolgbaren Analogiegrunde wollen wir für reelle Nullform auch die formale Ausdrucksweise Nullform für p_{∞} einführen, und wollen die Tatsache, daß eine rationale Zahl a das Vorzeichen ±1 hat, auch formal als Kongruenz a ≡ ±1 mod. p_{∞} schreiben.

Übrigens ist der hier behandelte Spezialfall des genannten zahlentheoretischen Prinzips der einzige bekannte, wo der Beweis ohne analytische Hilfsmittel, mit elementar–zahlentheoretischen Mitteln durchführbar ist; daher sein besonderes Interesse.

Dem Beweis des Hauptsatzes stellen wir einige Vorbetrachtungen voran. Wir wollen zwei Formen f_{a,b} und f_{c,d} äquivalent (im engeren Sinne) nen-

nen, wenn f_{a,b}(x, y, z) durch eine lineare Substitution

\begin{aligned}x & = & a_{11}\overline{x} & + & a_{12}\overline{y} & + & a_{13}\overline{z} \\ y & = & a_{21}\overline{x} & + & a_{22}\overline{y} & + & a_{23}\overline{z} \\ z & = & a_{31}\overline{x} & + & a_{32}\overline{y} & + & a_{33}\overline{z} \end{aligned}

mit rationalen Koeffizienten und nicht verschwindender Determinante, die also in der gleichen Form umkehrbar ist, in f_{c,d}(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) übergeht:

f_{a,b}(x, y, z) = f_{c,d}(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) , kurz f_{a,b} ≃ f_{c,d} .

f_{a,b} und f_{c,d} sollen äquivalent (im weiteren Sinne) heißen, wenn ebenso mit einem unbestimmten rationalen Faktor r (≠ 0) gilt:

f_{a,b}(x, y, z) = r · f_{c,d}(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) , kurz f_{a,b} ∼ f_{c,d} .

Dann ist zunächst ohne weiteres klar:

Ist f_{a,b} ∼ f_{c,d}, so sind f_{a,b} und f_{c,d} gleichzeitig rationale Nullformen oder nicht.

Ferner auch:

Ist f_{a,b} ∼ f_{c,d}, so sind f_{a,b} und f_{c,d} gleichzeitig reelle Nullformen oder nicht. Denn die rationalen (reellen) x, y, z ≠ 0, 0, 0 entsprechen bei der Substitution eineindeutig den rationalen (reellen) \overline{x}, \overline{y}, \overline{z} ≠ 0, 0, 0 .

Es gilt aber auch (dabei a, b ganz vorausgesetzt):

Ist f_{a,b} ∼ f_{c,d}, so sind f_{a,b} und f_{c,d} gleichzeitig Nullformen für p oder nicht.

Sei nämlich f_{a,b}(x, y, z) ≡ 0 mod. p^{n} mit (x, y, z, p) = 1 , so ist jedenfalls

r · f_{c,d}(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) ≡ 0 mod. p^{n} ,

aber dabei sind \overline{x}, \overline{y}, \overline{z} möglicherweise gebrochen. Sei nun die Transformation kurz mit (x, y, z) = A (\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) bezeichnet, ihre Umkehrung entsprechend mit (\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) = \overline{A} (x, y, z) , und seien g, \overline{g} die Generalnenner der Transformationskoeffizienten von A, \overline{A}. Dann sind

\overline{g}\overline{x}, \overline{g}\overline{y}, \overline{g}\overline{z} = \overline{g} \overline{A} (x, y, z)

ganz; sei p^{δ} die ihnen gemeinsame Potenz von p, also

\overline{g}\overline{x}, \overline{g}\overline{y}, \overline{g}\overline{z} = p^{δ}x′, p^{δ}y′, p^{δ}z′ , mit (x′, y′, z′, p) = 1 .

Dann hat man

f_{a,b}(x, y, z) = r · f_{c,d}(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) = r \frac{p^{2δ}}{\overline{g}^{2}} f_{c,d}(x′, y′, z′) ≡ 0 mod. p^{n}.

Wegen g \overline{g}(x, y, z) = g A (\overline{g}(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})) ist dabei p^{δ} | g\overline{g}, und daher folgt aus der genannten Kongruenz durch Multiplikation mit der ganzen Zahl g^{2}\overline{g}^{2}p^{−2δ} erst recht rg^{2}f_{c,d}(x′, y′, z′) ≡ 0 mod. p^{n}. Bezeichnen also p^{ϱ}, p^{γ} die in r, g steckenden Potenzen von p, so ergibt sich, jedenfalls soweit n > h = ϱ + 2γ ist,

f_{c,d}(x′, y′, z′) ≡ 0 mod. p^{n−h} mit (x′, y′, z′ p) = 1 .

Da h fest ist (d. h. von n und damit von x, y, z unabhängig), durchläuft n−h alle positiven Exponenten, wenn n alle Exponenten > h durchläuft. Daher ist dann f_{c,d} in der Tat Nullform für p. Wegen der Symmetrie kann natürlich auch rückwärts von f_{c,d} auf f_{a,b} geschlossen werden.

Wir haben damit bewiesen:

Hilfssatz 1. Ist f_{a,b} ∼ f_{c,d}, so sind f_{a,b} und f_{c,d} gleichzeitig rationale Nullform, reelle Nullform, Nullform für p, oder nicht.

Bemerkung. Der Beweis für p wird hier deshalb formal komplizierter als der Beweis für rationale und reelle Zahlen, weil die Restklassen mod. p^{n} (für n > 1 ) nur einen Ring bilden, während die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen Körper bilden. Nun hat aber Hensel erkannt, daß sich das Studium des Verhaltens der rationalen Zahlen für alle Potenzen p^{n} einer festen Primzahl p als Modul durch einen Erweiterungskörper R_{p} des rationalen Zahlkörpers R beschreiben läßt, den Körper der sogen. p–adischen Zahlen. Diese Körper R_{p} treten gleichberechtigt zur Seite der Erweiterung des Körpers R zum Körper der reellen Zahlen, der in diesem Zusammenhang mit R_{p_{∞}} bezeichnet sei. Nullform für p bedeutet, wie sich zeigt, gerade Nullform im Körper R_{p}, ebenso wie reelle Nullform bedeutet Nullform im Körper R_{p_{∞}}. Auf dieser Grundlage wird also der Beweis für p von derselben formalen Einfachheit wie für die rationalen und reellen Zahlen. Das gilt auch für die gesamte in diesem Vortrag behandelte Theorie: Ihre endgültige und glatte Form erhält sie erst durch Einführung der einzelnen p–adischen Zahlkörper R_{p} neben dem reellen Zahlkörper R_{p_{∞}}. Ich wollte jedoch hier die Theorie der p–adischen Zahlen nicht als bekannt voraussetzen.

Wir beweisen weiter:

Hilfssatz 2. Ist die rationale Zahl c ≠ 0 in der Form

c = u^{2} − av^{2}

rational darstellbar, so gilt

f_{a,b} ∼ f_{a,bc} .

Denn die Transformation

x = u · \overline{x} + av · \overline{y}_{y = v · \overline{x} + u · \overline{y}}_{z = c · \overline{z}} mit der Determinante

(u^{2} − av^{2})c = c^{2} ≠ 0

liefert ersichtlich

f_{a,b}(x, y, z) = x^{2} − ay^{2} − bz^{2} = c\overline{x}^{2} − ac\overline{y}^{2} − bc^{2}\overline{z}^{2} = c · f_{a,bc}(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) .

Wir können Hilfssatz 2 auch in der Form aussprechen:

Es ist

f_{a,b} ∼ f_{a,b′} ,

wenn bb′ in der Form u^{2} − av^{2} rational darstellbar ist. Denn dann ist auch

\frac{b′}{b} = (\frac{u}{b})^{2} − a(\frac{v}{b})^{2} = \overline{u}^{2} − a \overline{v}^{2} .

Für zwei Formen f_{a,b} und f_{a,b′} mit bb′ = u^{2} − av^{2} können wir also sagen, daß beide gleichzeitig rationale Nullform, reelle Nullform, Nullform für p sind, oder nicht. In dieser Form werden wir die Hilfssätze anwenden.

Beweis des Hauptsatzes.

Voraussetzung: f_{a,b} ist Nullform für jedes p und für p_{∞}.

Behauptung: f_{a,b} ist rationale Nullform.

Dabei seien, wie gesagt, a, b als ganze rationale Zahlen vorausgesetzt; die Quadratfreiheit soll aus technischen Gründen für den Beweis nicht gefordert werden.

Der Satz ist richtig für die kleinsten Absolutwerte der Koeffizienten:

|a| = 1 , |b| = 1 .

Denn von den vier Formen x^{2} ± y^{2} ± z^{2} wird x^{2} + y^{2} + z^{2} durch die Voraussetzung für p_{∞} ausgeschlossen, die drei übrigen sind ersichtlich rationale Nullformen.

Sei demgemäß f_{a,b} jetzt eine Form mit |a| > 1 oder |b| > 1 , und sei angenommen, der Satz sei bereits bewiesen für alle Formen f_{c,d}, für die die Absolutwerte der Koeffizienten kleiner sind, in dem genaueren Sinne, daß

|c| ≤ |a| , |d| < |b|

bei geeigneter Reihenfolge von a, b und c, d ist. Wir zeigen dann, daß der Satz auch für f_{a,b} gilt. Dann folgt seine Allgemeingültigkeit durch vollständige Induktion. Dies ist der Kern des auch von Legendre benutzten Lagrangeschen Reduktionsverfahrens.

Sei dazu etwa

1 ≤ |a| ≤ |b| , also dann sicher |b| > 1 .

1.) Ist a ein rationales Quadrat, a = u^{2} , so ist f_{a,b} trivialerweise rationale Nullform:

u^{2} − a · 1^{2} − b · 0^{2} = 0 .

2.) Ist b nicht quadratfrei, b = g^{2}b′ mit |g| > 1 , so ist ersichtlich

f_{a,b′} ≃ f_{a,b} und |a| = |a| , |b′| < |b| .

Daher hat man das Schlußschema:

Vor. für f_{a,b}  Beh. für f_{a,b}
↓ (Hilfss. 1)  ↑ (Hilfss. 1)
Vor. für f_{a,b′}  ⟶  Beh. für f_{a,b′}

(Ind. Ann.)

Vor. für f_{a,b}  Beh. für f_{a,b}
↓(Hilfss. 1)  ↑(Hilfss. 1)
Vor. für f_{a,b′} \overrightarrow{(Ind. Ann.)} Beh. für f_{a,b′}

3.) Ist a kein rationales Quadrat und b quadratfrei, so konstruieren wir eine ganze Zahl b′ ≠ 0 mit den beiden Eigenschaften:

(1.) bb′ = u^{2} − a = u^{2} − a · 1^{2} mit (ganzem) rationalem u, (2.) |b′| < |b|.

Dann ist nach Hilfssatz 2

f_{a,b′} ∼ f_{a,b} und dabei wieder |a| = |a| , |b′| < |b| ,

und also hat man nach Hilfssatz 1 und Induktionsannahme wieder genau das obige Schlußschema.

Um b′ zu konstruieren, nutzen wir die Voraussetzung für die Primzahlen p_{i} | b aus, und zwar die Nullformeigenschaft mod. p_{i}^{2} :

x_{i}^{2} − ay_{i}^{2} − bz_{i}^{2} ≡ 0 mod. p_{i}^{2} , (x_{i}, y_{i}, z_{i}) = 1 .

Dabei ist dann notwendig nach einem ganz analogen Schluß wie oben in der Einleitung y_{i} ≢ 0 mod. p_{i}, und man hat daher

a ≡ u_{i}^{2} mod. p_{i} (mit u_{i} aus y_{i}u_{i} ≡ x_{i} mod. p_{i}).

Durch Zusammensetzung dieser Kongruenzlösungen u_{i} für die sämtlichen Primteiler p_{i} des quadratfreien |b| = p_{1} … p_{r} ergibt sich eine Lösung u von

a ≡ u^{2} mod. |b| ,

und diese kann im absolut–kleinsten Restsystem mod. |b| gewählt werden:

|u| ≤ \frac{|b|}{2} .

Dann hat man also einerseits

u^{2} − a = bb′ , b′ ganz, b′ ≠ 0 (da a kein rat. Quadrat) ,

andererseits

|b′| = |\frac{u^{2} − a}{b}| < |\frac{u^{2}}{b} | + |\frac{a}{b}| < \frac{|b|}{4} + 1 < |b| (da |b| > 1 ) ,

d. h. die angeführten Eigenschaften (1.) und (2.).

Das vollendet den Beweis des Hauptsatzes.

Im folgenden will ich ohne Beweis noch eine Reihe von weiteren Tatsachen anführen, die teils die explizite Legendresche Formulierung des Nullformkriteriums ergeben, teils die Bedeutung des ganzen Fragenkomplexes beleuchten sollen.

Durch den Hauptsatz ist, wie gesagt, die Bestimmung des rationalen Nullformcharakters von f_{a,b} zurückgeführt auf die Bestimmung des Nullformcharakters für die einzelnen p. Dieser hängt nur von dem Kongruenzverhalten von a und b nach Potenzen von p als Modul ab, und zwar, wie sich genauer zeigt, nicht nach beliebig hohen Potenzen, sondern nur nach den Potenzen

p^{α+1} und p^{β+1} für ungerade Primzahlen p ,
2^{α+3} und 2^{β+3} für p = 2 ,

wo α und β die genauen Exponenten bezeichnen, zu denen p in a und b aufgeht. Dementsprechend kommt es auf die folgenden eindeutigen Darstellungen von a und b nach diesen p–Potenzen als Moduln an: a.) p ungerade Primzahl; w primitive Wurzel mod. p.

a ≡ p^{α}w^{α′} mod. p^{α+1} ; α ganz , α′ mod. p − 1 ,
b ≡ p^{β}w^{β′} mod. p^{β+1} ; β ganz , β′ mod. p − 1 .

b.) p = 2 .

a ≡ 2^{α}(−1)^{α′}5^{α′′}; α ganz , α′, α′′ mod. 2 ,
b ≡ 2^{β}(−1)^{β′}5^{β′′}; β ganz , β′, β′′ mod. 2 .

c.) p = p_{∞}.

\begin{aligned}a & ≡ & (−1)^{α}; & α mod. 2 , \\ b & ≡ & (−1)^{β}; & β mod. 2 . \end{aligned}

Es zeigt sich dann genauer, daß der Nullformcharakter für p nur von dem Kongruenzwert mod. 2 der Exponenten in diesen eindeutigen Basisdarstellungen abhängt (entsprechend der Tatsache, daß es auf a und b nur bis auf quadratische Faktoren ankommt), und daß er in folgender Form gegeben ist:

f_{a,b} Nullform für p ⟷ (\frac{a, b}{p}) = 1 ,

wo ( ), das berühmte Hilbertsche (Normenrest–) Symbol, in folgender Weise explizit definiert ist:

a.) (\frac{a, b}{p}) = (−1)^{\frac{p−1}{2} αβ+α′β+αβ′}

b.) (\frac{a, b}{2}) = (−1)^{αβ′′+α′β′+α′′β}

c.) (\frac{a, b}{p_{∞}}) = (−1)^{αβ}.

Der Beweis für dieses explizite Nullformkriterium beruht auf der Theorie der quadratischen Reste.

Das Hilbertsche Symbol hat, wie man leicht aus seiner Definition abliest, die folgenden Eigenschaften:

(\frac{a, b_{1}b_{2}}{p}) = (\frac{a, b_{1}}{p})(\frac{a, b_{2}}{p}) , (\frac{a_{1}a_{2}, b}{p}) = (\frac{a_{1}, b}{p})(\frac{a_{2}, b}{p})

(\frac{a, b}{p}) = (\frac{b, a}{p}) ,

ferner

(\frac{a, b}{p}) = 1  stets, wenn p eine ungerade Prim- zahl ist, die nicht in a und b auf- geht (also = −1 höchstens für end- lich viele p),

(\frac{a, b}{p}) = (\frac{a}{p}) ,  wenn p eine ungerade Primzahl ist, die nicht in a aufgeht; allgemeiner gilt dasselbe, wenn p links oben durch eine genau durch p^{1} teilbare Zahl ersetzt wird,

(\frac{a, −1}{2}) = (−1)^{\frac{a−1}{2}} ,  wenn 2 nicht in a aufgeht,
(\frac{a, 2}{2}) = (−1)^{\frac{a^{2}−1}{8}} ,  wenn 2 nicht in a aufgeht,
(\frac{a, b}{2}) = (−1)^{\frac{a−1}{2} \frac{b−1}{2}} ,  wenn 2 nicht in a und b auf- geht.

Aus allen diesen Eigenschaften ergibt sich nun (durch Zerlegung von a und b in Faktoren −1, 2 und ungerade p) nach dem quadratischen Reziprozitätsgesetz und seinen beiden Ergänzungssätzen die grundlegende Hilbertsche Produktformel:

∏_{p} (\frac{a, b}{p}) = 1 , für beliebige rationale a, b ≠ 0 ,

wo p alle Primzahlen und die unendliche Stelle p_{∞} durchläuft. Diese Produktformel kann geradezu als eine einheitliche und elegante Zusammenfassung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner beiden Ergänzungssätze aufgefaßt werden. Sie sagt aus, daß die nach dem schon vorher Gesagten jedenfalls endliche Anzahl der p, für die das Hilbertsche Symbol (mit festen a, b) den Wert −1 hat, stets eine gerade Zahl ist. Sie kann auch als ein zahlentheoretisches Analogon zu dem bekannten Residuensatz der Funktionentheorie angesehen werden, der aussagt, daß ein rationales Differential nur an endlich vielen Stellen der komplexen Zahlenkugel von 0 verschiedene Residuen hat, und daß deren Summe stets 0 ist.

Nach unserem Hauptsatz ist nun f_{a,b} dann und nur dann rationale Nullform, wenn

(\frac{a, b}{p}) = 1 für alle p

ist. Nach der Produktformel kann dabei ein p, etwa p = p_{∞} oder besser p = 2 außer Acht gelassen werden. Ferner können jedesmal auch alle diejenigen unendlichvielen ungeraden p außer Acht gelassen werden, die nicht in a oder b aufgehen. Es bleiben dann nur noch p_{∞} und die ungeraden Primteiler von a und b zu betrachten. So ergibt sich die oben angeführte Legendresche explizite Formulierung des rationalen Nullformkriteriums:

p_{∞} ergibt die Bedingung: a und b nicht beide negativ;

die ungeraden p | a ergeben: (\frac{b}{p}) = 1 , also b qu. Rest mod. a;

die ungeraden p | b ergeben: (\frac{a}{p}) = 1 , also a qu. Rest mod. b.

Dabei sind die Legendreschen Voraussetzungen gemacht:

a und b quadratfrei und teilerfremd.

Die Symbole (\frac{a, b}{p}) für die einzelnen p sind nach Hilfssatz 1 Invarianten gegen rationale Äquivalenz im weiteren Sinne der Form f_{a,b}. Es läßt sich nun durch einen ziemlich tiefliegenden Schluß , nämlich durch Anwendung des berühmten Dirichletschen Satzes von den Primzahlen in einer arithmetischen Progression, zeigen, daß das Übereinstimmen dieser Invarianten für alle p nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend für die rationale Äquivalenz im weiteren Sinne ist, also:

f_{a,b} ∼ f_{c,d} ⟷ (\frac{a, b}{p}) = (\frac{c, d}{p}) für alle p.

Auch läßt sich mittels des Hilbertschen Symbols ganz allgemein eine vollständige Invariantentheorie der rationalen Äquivalenz (im engeren oder auch weiteren Sinne) quadratischer Formen f(x_{1}, …, x_{n}) von n Variablen geben. Ich will das Resultat für die Äquivalenz im engeren Sinne angeben, an der man vornehmlich interessiert ist; die Äquivalenz im weiteren Sinne hat nur untergeordnete Bedeutung, sie kam oben durch die Beschränkung auf Formen mit erstem Koeffizienten 1 herein.

Ohne Einschränkung kann man f als reine Form, d. h. in der Gestalt

f = a_{1}x_{1}^{2} + ⋯ + a_{n}x_{n}^{2} mit rationalen a_{i} ≠ 0

annehmen. Dann hat f als Invarianten gegen rationale Äquivalenz im engeren Sinne:

1.) den quadratfreien Kern d der Diskriminante a_{1} … a_{n},

2.) die Charaktere ∏_{i≥j} (\frac{a_{i}, a_{j}}{p}) für alle p,

3.) den Trägheitsindex J , d. h. die Anzahl der negativen a_{i}.

Dies Invariantensystem ist ein vollständiges Invariantensystem für die rationale Äquivalenz im engeren Sinne, d. h. zwei Formen sind dann und nur dann im engeren Sinne rational äquivalent, wenn sie in diesen Invarianten übereinstimmen.

Auch lassen sich mit diesen Invarianten notwendige und hinreichende Kriterien dafür angeben, daß f rationale Nullform ist oder eine gegebene rationale Zahl a ≠ 0 rational darstellt.

Siehe zu alledem meine Arbeiten in Crelle 152, 153, 172, sowie auch eine demnächst in Crelle 176 erscheinende Arbeit von E. Witt.

Die entsprechende Äquivalenztheorie und Darstellbarkeitstheorie bei durchgängiger Beschränkung auf ganzzahlige Koeffizienten und Variablenwerte liegt viel tiefer. Man kennt für sie kein vollständiges Invariantensystem.

Es gibt jedoch eine Zwischenstufe zwischen beiden Theorien, nämlich die der quasiganzen Äquivalenz und Darstellbarkeit, ein von E. Artin eingeführter Begriff, der besagt, daß man bei der rationalen Äquivalenz oder Darstellung jeden vorgegebenen Primzahlnenner in den Substitutionskoeffizienten bzw. darstellenden Variablen vermeiden kann, daß man also den evtl. unvermeidbaren Nenner von beliebigen Primstellen wegschieben kann. Diese Theorie wird ebenfalls durch ein arithmetisches Invariantensystem aus der Theorie der quadratischen Reste beherrscht, das eine Verfeinerung des obigen Invariantensystems für rationale Äquivalenz darstellt. Die zugehörige Klasseneinteilung der ganzzahligen quadratischen Formen ist unter dem Namen Geschlechtereinteilung in der Literatur bekannt. In seinen kürzlich in den Annals of Mathematics erschienenen tiefen Arbeiten zur Theorie der quadratischen Formen hat Siegel mein rein qualitatives Übertragungsprinzip von den einzelnen Stellen aufs Große durch eine quantitative Relation unterbaut, die formal denselben Charakter hat wie die Hilbertsche Produktformel. Sie sagt aus, daß die geeignet definierte Dichte der quasiganzen Darstellungen durch eine ganzzahlige quadratische Form gleich dem Produkt der geeignet definierten Darstellungsdichten für die einzelnen p ist.

\underline{Baden–Baden 1938} 185

1.18 Baden–Baden 1938

Bericht über neuere Untersuchungen und Fragestellungen in der arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionenkörper.

Vortrag Baden–Baden, September 1938.

Im 19. Jahrhundert entwickelte sich ein großes, heute im wesentlichen abgeschlossenes Gebiet der Zahlentheorie, die Theorie der algebraischen Zahlkörper (algebraische Gleichungen in einer Unbestimmten). Zu Beginn des 19. Jahrhunderts wurden große Entdeckungen auf diesem Gebiet gemacht, man sah aber das Gebiet noch nicht in seiner heutigen, abgerundeten Form vor sich. Vieles, was wir heute an wohlbestimmter Stelle in die algebraische Zahlentheorie eingegliedert haben, stand damals noch zusammenhangslos nebeneinander.

Im 20. Jahrhundert haben wir eine ähnliche Sachlage für die Theorie der algebraischen Funktionenkörper über algebraischen Zahlkörpern (algebraische Gleichungen in zwei Unbestimmten). Wir haben eine Reihe von wichtigen Einzelergebnissen, ohne daß diese im Bewußtsein der Forscher schon ihren wohlbestimmten Platz in einer abgerundeten Theorie haben.

Ich gebe im folgenden einen Überblick darüber, wie ich dieses neue Gebiet als Ganzes sehe und wie sich die bereits vorhandenen Ergebnisse und die noch offenen Fragen einordnen. Ich benutze diese Gelegenheit gleichzeitig, um den neuesten Stand der Arbeit an den verschiedenen Einzelfragen zu schildern.

Ich glaube, daß es für den Forscher notwendig ist, sich gelegentlich einmal auf die Zusammenhänge im Großen seines Arbeitsgebiets zu besinnen, und sich nicht völlig in die Einzelarbeit im Kleinen zu verlieren. Sonst wird ihm schnell der Boden unter den Füßen verschwinden, und er wird die unmittelbare Berührung mit der Welt des Greifbaren und Wirklichen in seinem Gebiet verlieren. In diesem Sinne möge man schon die Tatsache, daß ich die im folgenden zu besprechenden Einzelfragen in den Rahmen eines Vortrags einordne und sie von einem einheitlichen Gesichtspunkt aus sehe, als einen Versuch ansehen, an der Verschmelzung dieser Gedankenkreise zu einer abgerundeten Theorie nach besten Kräften mitzuwirken.

Allgemeines.

Die Theorie der algebraischen Funktionenkörper als solche gehört eigentlich nicht zur Zahlentheorie. In ihrer klassischen Form (Konstantenkörper der komplexe Zahlkörper) gehört sie zur Funktionentheorie, oder wenn der Nachdruck auf der Kurvendeutung der algebraischen Funktionen liegt, zur algebraischen Geometrie. In ihrer modernen Form (Konstantenkörper ein beliebiger Körper) gehört sie zur Algebra. Die Zahlentheorie ist vornehmlich an dem Fall interessiert, daß der Konstantenkörper ein algebraischer Zahlkörper ist. Sie darf von der Behandlung dieses Falles einmal eine Befruchtung gewisser Fragestellungen der algebraischen Zahlentheorie erwarten, dann aber auch wesentliche neue Fragestellungen und Ergebnisse.

Schon in der algebraischen Zahlentheorie selbst zieht man nun aber neben den eigentlich interessierenden algebraischen Zahlkörpern auch andere Körper heran, die nicht aus Zahlen im klassischen Sinne bestehen, nämlich einmal die endlichen Körper, die als Restklassenkörper nach Primidealen der algebr. Zahlkörper auftreten, und dann die ℘–adischen Körper, die als perfekte Hüllen zu den Bewertungen der algebraischen Zahlkörper auftreten. Daher ist die rein algebraische Theorie der algebraischen Funktionenkörper (Konstantenkörper beliebig) auch für die Zwecke des Zahlentheoretikers wichtig.

Wir betrachten demgemäß zunächst einen algebraischen Funktionenkörper (einer Unbestimmten) K über einem beliebigen Konstantenkörper Ω. Für den Fall, daß Ω Primzahlcharakteristik hat, setzen wir voraus, daß K/Ω separabel erzeugbar ist:

K = Ω(u, v) mit g(u, v) = 0

wo g(u, v) ein absolut–irreduzibles Polynom über Ω ist, das in u oder v separabel ist. Wir wollen ferner durchweg voraussetzen, daß K/Ω aufgeschlossen ist, d. h. mindestens einen Primdivisor ersten Grades enthält; das kann stets durch endlich–algebraische Erweiterung von Ω erreicht werden. Durch Übergang zur algebraisch–abgeschlossenen Hülle \overline{Ω} von Ω entsteht der zu K gehörige abgeschlossene Funktionenkörper

\overline{K} = \overline{Ω}(u, v) mit g(u, v) = 0,

für den alle Primdivisoren vom ersten Grade sind. Wir zeichnen einen festen Primdivisor ersten Grades 𝔬 von K als Bezugsprimdivisor aus. K besitzt dann eine durch 𝔬 bis auf elementare Transformationen eindeutig festliegende Normalerzeugung:

K = Ω(x; y_{1}, …, y_{n})

mit Multiplikationsschema

(M) y_{i}y_{j} = ∑_{k=1}^{n} f_{ijk}(x)y_{k}.

Dabei ist:

x Element mit möglichst niedriger 𝔬–Potenz 𝔬^{n} im Nenner [K : Ω(x)] = n; es ist stets n ≦ g + 1, wo g das Geschlecht von K. y_{1}, …, y_{n} Basis der in x ganzalgebraischen Elemente aus K in bezug auf die in x ganzalgebraischen Elemente aus Ω(x) (Polynome in x).

In einfachen Fällen kann y_{1}, …, y_{n} in der Form 1, y, …, y^{n−1} gewählt werden; dann reduziert sich (M) auf eine einzige Gleichung

f(x, y) = 0,

die absolut–irreduzibel, in y separabel, und vom höchsten Koeff. 1 in y ist. Ist z. B. g = 1 und Char. Ω ≠ 2, 3, so hat man die Weierstrasssche Normalform

y^{2} = 4x^{3} − g_{2}x − g_{3}, g_{2}^{3} − 27g_{3}^{2} ≠ 0.

Den trivialen Fall g = 0 (wo n = 1, y_{1} = 1), lassen wir in der Folge durchweg beiseite. Der Einfachheit halber schreiben wir die Normalerzeugung kurz (auch allgemein kurz) in der Form

K = Ω(x, y) mit f(x, y) = 0

und nennen f(x, y) = 0 die Grundgleichung; im allgemeinen ist dabei also y ein n–gliedriges System und f(x, y) = 0 ein Multiplikationsschema.

Primdivisoren 𝔭 ≠ 𝔬 von K ⟷ über Ω algebr. nicht konj. Lösungen
(a, b) von f(x, y) = 0
𝔬  ⟷ Lösung (∞, ∞)
Primdivisoren ersten Grades ⟷ Lösungen (a, b) in Ω von f(x, y) = 0

𝔭 ≠ 𝔬 von K (rationale Punkte)

Primdivisoren \overline{𝔭} von \overline{K}  ⟷ Lösungen (\overline{a}, \overline{b}) in \overline{Ω} von f(x, y) = 0

(Punkte)

Ungenaue Beschreibung durch Lös. von g(u, v) = 0.

Von besonderer Bedeutung für alle zu behandelnden Fragen ist die Divisorenklassengruppe nullten Grades von K; sie sei im folgenden mit D_{K} bezeichnet. Die Divisorenklassen nullten Grades lassen sich in der Form repräsentieren:

\frac{𝔤}{𝔬^{g}} , 𝔤 ganzer Divisor g–ten Grades von K.

Die ganzen Divisoren g–ten Grades entsprechen vermöge

𝔤 = \overline{𝔭}_{1} ⋯ \overline{𝔭}_{g} in \overline{K}, \overline{𝔭}_{i} ⟷ (\overline{a}_{i}, \overline{b}_{i}) in \overline{Ω} (Koord. System von 𝔤)

umkehrbar eindeutig den g–gliedrigen Systemen (\overline{a}_{i}, \overline{b}_{i}) von über Ω algebraischen Grundgleichungslösungen, deren symm. Funktionen in Ω liegen (rationale g–gliedrige Punktgruppen).

Die Repräsentation ist (für g > 1) nicht immer eindeutig; vielmehr tritt eine Ausnahmemannigfaltigkeit von höchstens g − 1 Dimensionen in der g– dimensionalen Mannigfaltigkeit aller 𝔤 auf, für die je unendlich viele 𝔤 dieselbe Klasse bestimmen. Man kann sie aber so eindeutig machen:

\frac{𝔤_{γ}𝔬^{g−γ}}{𝔬^{g}} = \frac{𝔤_{γ}}{𝔬^{γ}} (0 ≦ γ ≦ g)

wo 𝔤_{γ} alle ganzen, nicht durch 𝔬 teilbaren Divisoren mit dim 𝔤_{γ} = 1 durchläuft; für deren Grade γ gilt von selbst die angegebene Ungleichung. Wir denken uns dies (oder irgendein) eindeutiges Repräsentantensystem für die 𝔤 zugrundegelegt. Dann stellt sich das Rechnen in D_{K} durch das Rechnen mit diesen Repräsentanten dar:

\frac{𝔤}{𝔬^{g}} \frac{𝔤′}{𝔬^{g}} ∼ \frac{𝔤′′}{𝔬^{g}} .

Dafür schreiben wir kurz additiv:

𝔤 + 𝔤′ ∼ 𝔤′′.

In dieser Relation steckt natürlich 𝔬 als Bezugsprimdivisor. Dieser Darstellung des Rechnens in D_{K} liegen rationale Formeln für die Koordinaten (\overline{a}_{i}, \overline{b}_{i}), (\overline{a}′_{i}, \overline{b}′_{i}), (\overline{a}′′_{i}, \overline{b}′′_{i}) von 𝔤, 𝔤′, 𝔤′′ zugrunde; die Koordinaten von 𝔤′′ bestimmen sich durch Auflösung algebraischer Gleichungen g–ten Grades aus denen von 𝔤, 𝔤′.

Im klassischen Falle (Ω der komplexe Zahlkörper) ist die Struktur von D_{K} bekannt. Nach Abelschem Theorem und Jacobischen Umkehrsatz stellt sich D_{K} isomorph durch das additive Rechnen mit dem g–gliedrigen Vektor

𝔲 ≡ ∫_{𝔬^{g}}^{𝔤} d𝔲 mod Per

der Integrale 1. Gattung mit Reduktion nach dem komplex–g–dimensionalen Periodenparallelotop dar; dabei durchläuft 𝔲 alle g–gliedrigen Vektoren aus komplexen Zahlen.

I. Der Satz von A. Weil

Sei Ω ein algebraischer Zahlkörper. Welche Struktur hat D_{K} dann? Der Satz von A. Weil besagt, daß dann D_{K} von endlichem Rang r ist. Als abelsche Gruppe von endlichem Rang besitzt D_{K} dann eine Basis. Da die Elemente endlicher Ordnung ein Teilgitter des 2g–dimensionalen Periodengitters bilden, sieht diese Basisdarstellung so aus:

𝔤 ∼ μ_{1}𝔞_{1} + ⋯ + μ_{2g}𝔞_{2g} + ν_{1}𝔟_{1} + ⋯ + ν_{r}𝔟_{r} \{ \begin{matrix}μ_{i} mod m_{i} \\ ν_{i} ganzrational \end{matrix} \} .

Dabei sind die 𝔞_{i}, 𝔟_{i} feste ganze Divisoren g–ten Grades. Also: Herleitung aller „rationalen“ g–gliedrigen Punktgruppen aus endlich vielen durch die Additionsrelation (und die darauf gestützte Multiplikation).

□□□

Weil beweist seinen Satz auf analytischem Wege, nämlich durch Heranziehung der zum Periodenparallelotop gehörigen Abelschen Funktionen (Thetafunktionen). Es ist uns in meinem Seminar gelungen, diesen Beweis im Falle g = 1 rein algebraisch durchzuführen. Dadurch gewinnt er erheblich an Einfachheit und Durchsichtigkeit. Gleichzeitig ergibt sich ein interessanter Ausblick auf eine Verallgemeinerung der Klassenkörpertheorie. Für g > 1 wollen wir dasselbe im nächsten Seminar durchführen.

Ich skizziere nachstehend kurz den Gedankengang des rein algebraischen Beweises für g = 1. Es wird zunächst die Weilsche Distributionslehre entwickelt; auch deren Begründung können wir gegenüber Weil stark vereinfachen. Dabei kann g noch beliebig sein.

Durchläuft 𝔭 die Primdivisoren von K und Ω_{𝔭} die zugehörigen Restklassenkörper von K — endlich–algebraische Erweiterungen von Ω, deren Grade f_{𝔭} die Grade der 𝔭 sind — so versteht man unter einer Distribution 𝔞_{𝔭} von K eine Funktion der 𝔭, deren Werte Ideale aus den Ω_{𝔭} sind. Zwei Distributionen heißen gleich

𝔞_{𝔭} ≐ 𝔞′_{𝔭′},

wenn zwei von 𝔭 unabhängige Ideale 𝔲, 𝔲′ aus Ω existieren derart, daß

𝔲𝔞_{𝔭} = 𝔲′𝔞′_{𝔭} für alle 𝔭

ist. Es kommt also für die Distributionen auf „beschränkte“ Faktoren nicht an.

Jedem Element a ≠ 0 entspricht eine Hauptdistribution a(𝔭), geliefert durch die Hauptideale der Reste a mod 𝔭 in Ω_{𝔭}; auf die endlich vielen 𝔭 mit a(𝔭) = ∞ kommt es im Sinne ≐ nicht an. a(𝔭) hängt nur von a als Hauptdivisor ab. Der Weilsche Hauptsatz über die Distributionen lautet nun:

Jedem Divisor 𝔞 von K entspricht eindeutig eine Distribution 𝔞(𝔭) derart, daß Multipl., Division, gr. gem. Teilerbild. sich isomorph übertragen und für Hauptdivisoren die angegebenen Hauptdistributionen vorliegen. Insbesondere entsprechen ganzen Divisoren ganze Distributionen (beschr. Nenner).

Ein erster rein algebraischer Teil des Weilschen Endlichkeitsbeweises stellt fest, daß der Index [D_{K} : nD_{K}] endlich ist für jedes natürliche n. Dies beweist man für g = 1 so. Ohne Einschränkung sei Ω so groß, daß die n^{2} Klassen vom Exponenten n von \overline{K} bereits zu K gehören. Sie bilden eine abelsche Gruppe vom Typus (n, n), repräsentiert durch die Primdivisoren ersten Grades 𝔲 mit n𝔲 ∼ 𝔬. Man betrachtet dann den durch n–Multiplikation entstehenden zu K isomorphen Teilkörper Kn.

K/Kn ist abelsch vom Typus (n, n); die Galoisgruppe wird durch die den 𝔲 entsprechenden Translationsautomorphismen σ_{𝔲} geliefert. Das Zerlegungsgesetz lautet:

𝔭n = ∏_{\overline{𝔮}} \overline{𝔮} mit n\overline{𝔮} ∼ 𝔭.

Dabei ist 𝔭 ein Primdivisor ersten Grades von K, 𝔭n sein isomorphes Bild in Kn. Die \overline{𝔮} entstehen aus einem durch die σ_{𝔲}:

σ_{𝔲}\overline{𝔮} ∼ \overline{𝔮} + 𝔲.

Insbesondere ist K/Kn unverzweigt. Voll zerlegt in K sind genau die Primdivisoren ersten Grades 𝔭n von Kn, für die 𝔭 eine Klasse aus nD_{K} repräsentiert.

Es sei nun

K = Kn(\sqrt[n]{z_{1}n}, \sqrt[n]{z_{2}n})

eine Kummersche Erzeugung von K/Kn. Man erhält sie in der Form

z_{1} ≅ \frac{𝔲_{1}^{n}}{𝔬^{n}} , z_{2} ≅ \frac{𝔲_{2}^{n}}{𝔬^{n}} ,

wo 𝔲_{1}, 𝔲_{2} eine Basis der Klassen vom Exponenten n sind. Dann wird der Restklassenkörper Ω\overline{𝔮} für die Primdivisoren \overline{𝔮} durch

z_{1}(n\overline{𝔮}) = z_{1}(𝔭), z_{2}(n\overline{𝔮}) = z_{2}(𝔭)

erzeugt:

Ω\overline{𝔮} = Ω(\sqrt[n]{z_{1}(𝔭)}, \sqrt[n]{z_{2}(𝔭)}).

Dieser Restklassenkörper ist als Verschärfung des Grades der Primdivisoren bei der Zerlegung anzusehen; für nicht–endliche Restklassenkörper ist die Zerlegung nicht allein durch den Grad gekennzeichnet. Es gilt nun das Zerlegungsgesetz:

Die Multiplikationsgruppe der z_{1}(𝔭), z_{2}(𝔭) im Sinne =_{n} (Kummer–Erzeugung) ist isomorph zur Klassengruppe D_{K}/nD_{K} bei der Repräsentation durch die 𝔭.

In diesem Sinne kann K/Kn (besser Kn^{−1}/K) als Klassenkörper zu D_{K}/ nD_{K} bezeichnet werden.

Aus der Distributionenlehre entnimmt man nun leicht, daß die Gruppe der z_{1}(𝔭), z_{2}(𝔭) im Sinne =_{n} endlich ist. Daraus folgt dann die Endlichkeit von D_{K}/nD_{K}.

Der zweite Teil des Weilschen Endlichkeitsbeweises geht so vor sich: Sei n fest gewählt (Weil nimmt n = 2), und sei ℜ ein Repräsentantensystem der Klassen von D_{K}/nD_{K}. Dann hat man für jeden Primdivisor 𝔭 ersten Grades von K eine Reduktion:

𝔭 ∼ 𝔯 + n𝔮 , 𝔯 in ℜ

auf einen weiteren Primdivisor 𝔮 ersten Grades von K. Man zeigt, daß bei hinreichend häufiger Fortsetzung dieses Verfahrens man auf einen endlichen Wertevorrat für den Restprimdivisor kommt. Dazu hat man die Koordinaten von 𝔮 durch die von 𝔭 abzuschätzen (descente infinie). Man nimmt dazu zweckmäßig die Koordinaten nicht für eine Normalerzeugung, sondern folgendermaßen: Die n^{2} Elemente

x_{𝔲} ≅ \frac{𝔲n}{𝔬^{n^{2}}} = \frac{𝔵𝔲}{𝔬^{n^{2}}}

bilden eine Basis des Moduls (\frac{1}{𝔬^{n^{2}}}). Man zeigt leicht, daß dann die Kummer– Erzeugung von K/Kn in der folgenden Form geschrieben werden kann

x_{𝔲}^{n^{2}} = t^{n^{2}} ∑_{𝔳}a_{𝔲𝔳} · (x_{𝔳}n), t ≅ \frac{𝔬n}{𝔬^{n^{2}}} .

Ist einfach 𝔭 ∼ n𝔮, so hat man

x_{𝔲}(𝔮)^{n^{2}} = t(𝔮)^{n^{2}} ∑_{𝔳}a_{𝔲𝔳}x_{𝔳}(𝔭).

Nun kann man eine Distribution 𝔬(𝔮) als Hauptideale normieren; dann werden auch die daran durch Hauptdivisorbeziehungen gekoppelten Distributionen Hauptideale

x_{𝔳}(𝔭) = \frac{𝔵(𝔭)}{𝔬(𝔭)^{n^{2}}} ,

und obige Formeln stellen sich für die Zähler so dar:

𝔵𝔲(𝔮)^{n^{2}} ≐ ∑_{𝔳}a_{𝔲𝔳}𝔵_{𝔳}(𝔭).

Dabei haben die 𝔵_{𝔳}(𝔭), 𝔵𝔲(𝔮) als ganze Distributionen beschränkte Nenner und können in den letzten Formeln im Sinne ≐ auch durch ganzalgebraische Zahlen ersetzt werden. Für das Maximum der absoluten Beträge (bei sämtlichen arch. Bewertungen von Ω) erhält man so die Abschätzung:

X(𝔮) ≦ C · X(𝔭)^{\frac{1}{n^{2}}} .

Nimmt man noch die Addition des Repräsentanten 𝔯 aus ℜ hinzu, so folgt ähnlich:

X(𝔮) ≦ CX(𝔭)^{\frac{2}{n^{2}}} .

Hieraus folgt durch Iteration, wegen n^{2} > 2, daß die 𝔮 schließlich einem endlichen Wertevorrat angehören, weil die X(\overline{𝔮}) schließlich beschränkt sind.

Zur Verallgemeinerung dieses Beweises auf g > 1 muß die Weilsche Distributionenlehre auf den zu K gehörigen Abelschen Funktionenkörper (Transzendenzgrad g) verallgemeinert werden. Weil hat das mit algebraisch–geometrischen Methoden gemacht, jedoch ist gerade dieser Teil seines Beweises am wenigsten durchsichtig. Ansätze dazu, die sich auf die Krullsche Theorie der Zerlegung der Primideale niedrigster Dimension (Stellen) stützen, haben wir bereits, und wir hoffen im Wintersem. damit durchzukommen.

Im Anschluß an den Weilschen Satz erhebt sich natürlich die Frage, wie sich der Rang r von D aus den arithm. Eigenschaften des Zahlkörpers Ω und den K kennzeichnenden Invarianten (Moduln) bestimmt. Dies ist meiner Ansicht nach das allerwichtigste Problem der neuen Theorie. Man weiß bisher in dieser Richtung so gut wie nichts. Nagell und Billing haben Abschätzungen von r im Falle g = 1 gegeben, wo K durch einen Modul j gekennzeichnet ist. Dabei spielen Klassenzahlen und Einheiten von Ω eine Rolle (oder vielmehr von Ω(θ), wo θ Nullstelle des Polynoms 4x^{3} − g_{2}x − g_{3} ist). Ferner ist aus Beispielen bekannt, daß r ≧ 1 sein kann.

Interessant wäre z. B. die Frage nach dem Wert von r für den mit dem Fermatproblem verbundenen Funktionenkörper

K = P(x, y) mit x^{p} + y^{p} = 1

vom Geschlecht

g = \frac{(p − 1)(p − 2)}{2},

der von keinem Koeffizientenparameter abhängt.

Allgemein liefert jede Aussage über r einen tiefliegenden Satz über Diophantische Gleichungen.

II. Der Satz von C. Siegel.

Dieser Satz entspringt der Frage nach den Lösungen einer beliebigen Gleichung g(u, v) = 0 über Ω vom Geschlecht g ≧ 1 in ganzalgebraischen Zahlen u, v aus Ω. Er sagt aus, daß es nur endlich viele solche Lösungen gibt, und auch nur endlich viele Lösungen mit ganzem u. Er kann so ausgesprochen werden:

Ist u ein nicht–konstantes Element aus K, so gibt es höchstens endlich viele Primdivisoren ersten Grades 𝔭 von K, für die u(𝔭) ganzalgebraisch ist, oder auch nur: für die u(𝔭) beschränkten Nenner hat.

Mittels der Weilschen Distributionenlehre reduziert er sich auf den folgenden Satz:

Ist 𝔲 ein Primdivisor ersten Grades von K, so ist die Distribution 𝔲(𝔭) ≐ 1̸ für jede unendliche Menge von Primdivisoren ersten Grades 𝔭 von K.

Zum Beweis leitet man aus der gegenteiligen Annahme eine Approximationsaussage von folgender Art her: ein g–gliedriges System α_{1}, …, α_{g} über Ω algebraischer Zahlen wird sehr scharf durch Zahlbrüche \frac{ξ_{1}}{ξ_{0}} , …, \frac{ξ_{g}}{ξ_{0}} aus Ω approximiert. Das widerspricht dann einer Verallgemeinerung des Thue–Siegelschen Satzes.

Zur Herleitung dieser Approximationsaussage verwendet Siegel wieder die Thetafunktionen. Es ist uns in meinem Seminar gelungen, den Beweis für g = 1 rein algebraisch durchzuführen; für g > 1 wollen wir das im Wintersem. durchführen.

Der Grundgedanke für die Herleitung der Approximationsaussage ist wieder die Verwendung der n–Multiplikation, diesmal aber nicht mit festem n sondern mit n → ∞.

Aus der Annahme, daß 𝔲(𝔭) ≐ 1 für unendlich viele 𝔭 ist, folgt für g = 1 nach dem Weilschen Satz, daß dies auch für unendlich viele 𝔭 der Fall ist, die — bei geeignetem Bezugsprimdivisor 𝔬 — von der Form 𝔭 ∼ n𝔮 sind. Dann ist aber (𝔲n)(𝔮) ≐ 1 für unendlich viele 𝔮, und man hat jetzt einen ganzen Divisor 𝔲n vom Grade n^{2} mit lauter verschiedenen Primteilern, statt des Primdivisors 𝔲. Man zeigt dann, daß hieraus folgt, daß die x–Koordinate

α eines Primteilers von 𝔲n sehr stark durch die x–Koordinaten \frac{ξ[…]}{ξ_{0}} der 𝔮 approximiert wird, und zwar nach einer ähnlichen Methode wie oben im Beweis des Weilschen Satzes, mittels der Distributionen.

Für g > 1 hat man ganze Divisoren g–ten Grades statt der Primdivisoren ersten Grades als Vertreter der Klassen; man beginnt formal mit 𝔭^{g}, erhält dann aber durch die n–Teilung nicht etwa 𝔮^{g}, sondern einen allgemeinen ganzen Divisor g–ten Grades 𝔤. So kommt man hier zu einer simultanen Approximation.

Die fragliche Verallgemeinerung des Thue–Siegelschen Satzes ist in der Siegelschen Arbeit mit der Anwendung auf die dort auftretenden Thetafunktionen verschmolzen. Wir haben folgenden eleganten Approximationssatz herausgearbeitet:

Ω algebr. Zahlkörper vom Grade k

α_{1}, …, α_{g} algebraische Zahlen, deren Körper Ω(α_{1}, …, α_{g}) über Ω den Relativgrad r hat, und deren lin. Unabhängigkeitsmaß über Ω den Wert d hat (die Potenzprod. bis zur Dimension d hin sind noch lin. unabh. über Ω). Wenn dann die Ungleichungen

|\frac{ξ_{i}}{ξ_{0}} − α_{i}| ≦ C. N(X)^{−e} (i = 1, …, g)

\{ \begin{matrix}C pos. Konstante \\ X = Max(|ξ_{0}|, |ξ_{1}|, …, |ξ_{g}|) \end{matrix} \}

unendlich viele Lösungen \frac{ξ_{1}}{ξ_{0}} , …, \frac{ξ_{g}}{ξ_{0}} in ganzen ξ_{0}, ξ_{1}, …, ξ_{g} aus Ω haben, so ist notwendig

e ≦ Min_{δ=0,1,...,d} (δ + \frac{kr}{\binom{g+δ}{g}})

\binom{g+δ}{g} ist die Anzahl der Potenzprodukte bis zur Dimension δ hin.

Für g = 1 wird d = r − 1 und

e ≦ Min_{ρ=0,1,...,r−1} (ρ + \frac{kr}{ρ + 1}) .

Das ist genau der Thue–Siegelsche Satz.

III. Der Satz von E. Lutz.

Für die genauere Untersuchung von D_{K} wird man wichtige Hilfsmittel bekommen, wenn man analog zur Theorie der quadratischen Formen und der Algebren die entsprechende Frage im Kleinen stellt.

Für g = 1 hat E. Lutz diese Frage erschöpfend beantwortet. Ist Ω ein ℘–adischer Zahlkörper, so ist D_{K} sogar eine Operatorgruppe mit den ganzen ℘–adischen Zahlen aus Ω als Operatorenbereich und hat als solche den Rang 1. Man hat daher eine eindeutige Basisdarstellung der Form:

𝔭 ∼ μ_{1}𝔞_{1} + μ_{2}𝔞_{2} + ν𝔟 \{ \begin{matrix}μ_{i} mod m_{i} \\ ν ganz ℘–adisch aus Ω \end{matrix} \} .

Hieran anschließend erheben sich die Fragen: Wie steht es mit den ganzzahligen ℘–adischen Lösungen einer beliebigen Gleichung g(u, v) = 0 vom Geschlecht 1?

Wie lautet die Verallgemeinerung des Satzes von Frl. Lutz für g > 1 ? Besteht ein Zusammenhang zwischen D_{K} für einen algebr. Zahlkörper

Ω und den D_{K_{℘}} für seine ℘–adischen Erweiterungen Ω_{℘} nach Analogie der Siegelschen Produktformel für die Lösungsdichten bei quadr. Formen?

Über diese Fragen ist nichts bekannt. Besonders die letzte Frage scheint mir der Schlüssel zu genaueren Aussagen über D_{K} zu sein.

IV. Der Satz von H. Hasse.

Anstatt bei einem algebraischen Zahlkörper Ω zu den ℘–adischen Erweiterungen Ω_{℘} überzugehen, kann man auch erst einmal nur zur Kongruenz mod ℘ übergehen. Für fast alle ℘ entsteht dabei ein algebraischer Funktionenkörper K mit endlichem Konstantenkörper Ω von gleichem Geschlecht g und mit der sich durch Restbildung ergebenden Normalerzeugung.

Die Theorie der Funktionenkörper K mit endlichem Konstantenkörper Ω hat auch großes selbständiges Interesse, abgesehen von der Bedeutung, die die so entstehenden Kongruenzfunktionenkörper für die Untersuchung eines Funktionenkörpers mit algebraischem Zahlkörper als Konstantenkörper haben. Denn es bestehen weitgehende Analogien zwischen den Kongruenzfunktionenkörpern und den algebraischen Zahlkörpern. Die Kongruenzfunktionenkörper sind sogar einfacher als die algebraischen Zahlkörper, weil bei ihnen alle Bewertungen diskret sind, während bei den algebraischen Zahlkörpern endlich viele Kontinuierliche Bewertungen auftreten. Anstelle der durch diese kontinuierlichen Bewertungen bedingten Approximationsaussagen (Minkowskische Diskriminantenabschätzung) treten für die Kongruenzfunktionenkörper genaue Aussagen (Riemann–Rochscher Satz).

Diese größere Einfachheit äußert sich insbesondere für die Zetafunktion von K:

ζ(s) = ∏_{𝔭} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(𝔭)^{s}}}

wo 𝔑(𝔭) = q^{𝔣_{𝔭}} die Elementanzahl des endlichen Restklassenkörpers Ω_{𝔭} von K mod 𝔭 bezeichnet; q bezeichnet die Elementanzahl von Ω. Diese Funktion ist nämlich wesentlich ein Polynom in \frac{1}{q^{s}}:

ζ(s) = ζ_{0}(s)L(s)

ζ_{0}(s) = \frac{1}{1 − \frac{1}{q^{s}}} \frac{1}{1 − \frac{q}{q^{s}}}

L(s) = 1 + \frac{N_{1} − (q + 1)}{q^{s}} + ⋯ + \frac{q^{g}}{q^{2gs}} ,

und zwar vom Grade 2g, mit höchstem Koeffizienten q^{g} und Koeffizienten N_{1} − (q + 1) des linearen Gliedes. Dabei bezeichnet N_{1} die Anzahl der Primdivisoren ersten Grades von K. N_{1} − (q + 1) ist die Abweichung von N_{1} gegenüber seinem wahrscheinlichen Wert q + 1 ; N_{1} ist ja die Anzahl der Lösungen von f(x, y) = 0 in Ω (inkl. ∞).

Die Riemannsche Vermutung für diese Zetafunktion ist gleichwertig mit der Aussage

|N_{1} − (q + 1)| ≦ 2gq^{\frac{1}{2}}

(für Ω und alle endlichen Erweiterungskörper in der Rolle von Ω). Es ist mir gelungen, diese Riemannsche Vermutung für g = 1 zu beweisen, und zwar nicht etwa durch Bestätigung der Abschätzung, sondern als eine Strukturaussage über D_{K}. Für g = 1 ist N_{1} = h die Ordnung von D_{K} (Klassenzahl von K).

Um diese Strukturaussage auszusprechen und zu beweisen, braucht man ein weiteres rein algebraisches Rüstzeug, die Theorie der Korrespondenzen und des Multiplikatorenrings von K, die kürzlich von Deuring für beliebigen Konstantenkörper in einer für die arithmetischen Anwendungen brauchbaren Form entwickelt wurde. In der Sprache der algebraischen Geometrie findet sie sich schon in den Arbeiten der italienischen Schule entwickelt, insbesondere bei Severi.

Eine Primkorrespondenz von K zu sich entspringt aus einer Lösung ξ, η von f(x, y) = 0 in der algebraisch–abgeschlossenen Hülle \overline{\overline{K}} von K. Sie bewirkt einen Homomorphismus von D\overline{K} in sich. Zusammengesetzte Korrespondenzen werden durch formale Homomorphismenaddition erklärt. So ist K eindeutig ein (nur von \overline{K} abhängiger) nichtkommutativer Operatorenring M von D\overline{K} zugeordnet, der Multiplikatorenring von K. Im klassischen Falle stellt sich dieser Ring M durch die komplexen Multiplikationen der Periodenmatrix der Integrale 1. Gattung von K dar.

Jedem solchen Multiplikator μ ≠ 0 ist eine natürliche Zahl N(μ) zugeordnet, der Grad von K(ξ, η)/Ω(ξ, η). Man kann zeigen, daß N(μ) (von Inseparabilitätsausnahmen abgesehen) der Index [D : μD] ist. M hat ferner stets die Charakteristik 0, auch wenn Ω Primzahlcharakteristik hat. M enthält also den Ring Γ der ganzrationalen Zahlen, entsprechend der schon oben benutzten natürlichen Multiplikation.

M besitzt einen involutorischen Antiautomorphismus μ ⟶ \overline{μ}, entsprechend der Umkehrung der Korrespondenzrichtung.

Für endlichen Körper Ω liefert

(ξ, η) = (x^{q}, y^{q})

eine Korrespondenz π mit N(π) = q^{g}. Die Anwendung von π auf einen ganzen Divisor g–ten Grades 𝔤 von K stellt sich als q–Potenzierung seiner Koordinaten und also auch ihrer symmetr. Grundfunktionen dar. So folgt, daß D_{K} innerhalb D\overline{K} durch π\overline{𝔤} ∼ \overline{𝔤} oder also (π − 1)\overline{𝔤} ∼ 𝔬 gekennzeichnet ist ((π − 1)–te Teilwerte). Es ist daher

N(π − 1) = h.

Für g = 1 zeigt man nun leicht, daß N(μ) = μ\overline{μ} ist und auch μ + \overline{μ} zu Γ gehört. Daher genügt jedes μ zusammen mit \overline{μ} einer quadratischen Gleichung über Γ, und zwar wegen N(μ) > 0 einer solchen mit konjugiert komplexen Wurzeln. Für endlichen Körper Ω hat π die Gleichung

π^{2} + vπ + q = 0,

wo v wegen N(π − 1) = h = N_{1} den Wert

v = N_{1} − (q + 1)

hat. Daher ist diese Gleichung wesentlich das Polynom

q^{2s}L(s) = q^{2s} + (N_{1} − (q + 1))q^{s} + q,

d. h. π ist zusammen mit \overline{π} formal das Wurzelpaar der Zetafunktion. Als Multiplikatoren sind π, \overline{π} konjugiert–komplex, und dies bedeutet

|N_{1} − (q + 1)| ≦ 2q^{\frac{1}{2}}

d. h. die Riemannsche Vermutung für g = 1.

Für g > 1 bleibt noch zu zeigen, daß die Elemente μ aus M algebraischen Gleichungen vom Grade 2g über Γ genügen, und daß dabei μ ⟶ \overline{μ} formal der Übergang zum konj. kompl. ist. Und zwar ist genauer zu zeigen, daß μ und \overline{μ} Wurzeln derj. Gleichung sind, die sich aus

N(t − μ) = f(t)

ergibt, wenn man die ganze Zahl t als Unbestimmte auffaßt. Daß dies wirklich ein Polynom vom Grade 2g liefert, ist nicht auf der Hand liegend. Ist dies bewiesen, so folgt die Identität mit dem L–Polynom nach einem Identitätssatz von Rohrbach. Darüber hinaus ist dann aber noch zu zeigen, daß μ ⟶ \overline{μ} für dieses Polynom den Übergang zum konj. komplexen bedeuten.

Als Aussage über D_{K} kann die Riem. Vermutung so ausgesprochen werden: D_{K} ist innerhalb D\overline{K} als die durch den Operator π − 1 annullierte Untergruppe ((π − 1)–te Teilwerte) gekennzeichnet, und dabei ist π formal eine der beiden Nullstellen der Zetafunktion in q^{s}.

Grob gesagt ist die Riemannsche Vermutung für Kongruenzfunktionenkörper im Falle g = 1 das Äquivalent zu der Tatsache, daß im klassischen Falle der Periodenquotient \frac{ω_{2}}{ω_{1}} von Null verschiedenen Imaginärteil hat. Für g > 1 ist die Verallgemeinerung hierzu im klassischen Falle, daß für die Periodenmatrix (Ω_{1}, Ω_{2}) der Quotient Ω_{1}^{−1}Ω_{2} eine (g–reihige) Matrix ist, deren Imaginärteil eine definite quadr. Form hat. Das Äquivalent hierzu ist die Riemannsche Vermutung für Kongruenzfunktionenkörper im Falle g > 1. Das zum Beweis noch zu leistende besteht darin, im klassischen Falle hierfür eine rein algebraische Deutung zu geben.

V. Der Satz von M. Deuring.

Deuring hat für den Fall g = 1 die Hauptsätze der komplexen Multiplikation rein algebraisch gedeutet und bewiesen.

In analytischer Formulierung lauten diese Hauptsätze so: Es sei k ein imaginär–quadratischer Zahlkörper und ω_{1}, ω_{2} eine Ganzheitsbasis von k, ferner j(ω_{1}, ω_{2}) der Wert der normierten Modulfunktion für sie. Dann ist k(j(ω_{1}, ω_{2})) der absolute Klassenkörper zu k. Es sei ferner τ(u; ω_{1}, ω_{2}) die aus der Weierstrassschen ℘–Funktion durch Normierung entspringende Webersche Funktion. Ist dann 𝔪 ein ganzes Ideal von k und ρ ≅ \frac{𝔯}{𝔪} ein reduzierter Idealbruch vom Nenner 𝔪. Dann ist k(j(ω_{1}, ω_{2}), τ(ρ; ω_{1}, ω_{2})) der Strahlklassenkörper mod 𝔪 zu k.

□□□

Zur algebraischen Formulierung dieser beiden Hauptsätze der komplexen Multiplikation betrachtet Deuring zunächst den Multiplikatorenring M eines algebr. Funktionenkörpers K vom Geschlecht g = 1 über irgendeinem Konstantenkörper Ω. Dann hängt M nur vom zugehörigen abgeschlossenen Funktionenkörper \overline{K} ab. Es gibt einen kleinsten Konstantenkörper Ω_{0} derart, daß die Multiplikatoren von \overline{K} sich bereits im Koeffizientenbereich Ω_{0} rational darstellen, also Multiplikatoren der zugehörigen Konstantenerweiterung K_{0} sind.

M hat notwendig einen der drei folgenden Typen:

a.) M = Γ

b.) M Ordnung in einem imag. quadr. Zahlkörper k

c.) M Ordnung in einer imag. quadr. Divisionsalgebra.

Die beiden letzten Typen kommen höchstens dann vor, wenn Ω_{0} absolut– algebraisch ist, der letzte nur für Ω_{0} von Primzahlcharakteristik.

Es sei nun Ω ein algebraischer Zahlkörper; dann kommt nur der erste (reguläre) und der zweite (singuläre) Typus vor. Sei vorausgesetzt, daß der singuläre Typus vorliegt, und — der Einfachheit halber — daß M die Hauptordnung seines imaginär–quadratischen Quotientenkörpers k ist. Dann lautet der erste Hauptsatz in rein–algebraischer Formulierung einfach so:

Der zugehörige kleinste Konstantenkörper Ω_{0} ist der absolute Klassenkörper zu k.

Ist nämlich y^{2} = 4x^{3}−g_{2}x−g_{3} die Normalerzeugung, so liegen g_{2}, g_{3} in Ω_{0}, also auch j = \frac{12^{3}g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}−27g_{3}^{2}} . Ferner ist auch k isomorph in Ω_{0} vertreten, vermöge der Anwendung der Multiplikatoren μ auf das ganze Differential \frac{dx}{y} :

\frac{d(xμ)}{yμ} = c_{μ} \frac{dx}{y} .

Es zeigt sich dann, daß Ω_{0} durch diese Repräsentation von k und durch j erzeugt ist.

Zum rein–algebraischen Beweis ist natürlich erheblich mehr zu tun, als bloß diese formale Zurückführung auf den analytisch formulierten Satz zu geben. Deuring gibt einen reinalgebraischen Beweis, indem er für den Körper Ω_{0} das Klassenkörperzerlegungsgesetz bestätigt. Dieses ergibt sich durch die von mir gegebene Kennzeichnung von D_{K_{0} mod ℘} für die Primideale ℘ von Ω_{0} durch die Multiplikatoren von \overline{K mod ℘}. Deurings Beweis ist so ein Beispiel für die Beherrschung von K_{0} durch die zugehörigen Kongruenzfunktionenkörper mod ℘.

Der zweite Hauptsatz lautet in rein–algebraischer Formulierung so:

Es sei 𝔪 ein beliebiges ganzes Ideal von k und \overline{𝔭} ein Primdivisor von \overline{K} mit der Eigenschaft

μ\overline{𝔭} ∼ 𝔬 genau für μ ≡ 0 mod 𝔪.

Die durch \overline{𝔭} bestimmte Klasse kann in diesem Sinne als 𝔪–ter Teilwert bezeichnet werden. Genauer sei \overline{𝔭} ein primitiver 𝔪–ter Teilwert, d. h. 𝔪 kann nicht durch einen echten Teiler ersetzt werden. Ferner sei K_{0}^{∗} derjenige Teilkörper von K_{0}, der bei den Einheitsoperatoren aus M invariant ist (im allgem. sind das nur ε = ±1, und es ist K_{0}^{∗} = Ω_{0}(x)). Dann ist K_{0}^{∗} mod \overline{𝔭} der Strahlklassenkörper mod 𝔪 von k.

Diese Deuringschen Sätze lassen die Frage offen, welche imag. quadr. Körper k als Quotientenkörper von Multiplikatorenringen M auftreten, derart daß M die Hauptordnung von k ist. Analytisch weiß man, daß alle imag.– quadr. Körper auftreten. Ein rein–algebr. Beweis hierfür dürfte sehr schwierig sein. Erst damit wären die Hauptsätze der komplexen Multiplikation in ihrem vollen Umfang rein algebraisch bewiesen.

Allgemein kann man die auftretende Frage für beliebiges Geschlecht g stellen: Welche Ringe M treten als Multiplikatorenringe algebr. Funktionenkörper auf?

Von der Periodenmatrix ausgehend wird diese Frage in den Arbeiten von Albert behandelt. Diese Untersuchungen gehen aber gar nicht auf den tiefliegenden Unterschied zwischen Periodenmatrizen überhaupt und Periodenmatrizen algebraischer Funktionenkörper ein, auf den es hier gerade ankommt.

Abgesehen von dieser sehr tiefliegenden Frage besitzt Deuring auch die Verallgemeinerung seiner rein algebraischen Formulierungen auf beliebiges Geschlecht g. Wie sie lauten, hat er allerdings noch nicht mitgeteilt. Jedenfalls ist man damit der Lösung des Hilbertschen Problems der Klassenkörperkonstruktion durch Abelsche Funktionen ein gutes Stück näher gekommen. Es sieht so aus, als ob die rein algebraische Behandlung im Rahmen der in diesem Vortrag entwickelten Theorie erheblich bessere Aussichten auf die endgültige Lösung hat, als die mit viel unnötigem Ballast beladene Lösung auf funktionentheoretischem Wege. Das ist im Falle g = 1 (elliptische Funktionen) ganz klar zu erkennen. Es liegt das vor allem daran, daß man bei der rein algebraischen Behandlung sofort den ganzen Körper charakterisiert, während man ihn bei der funktionentheoretischen Behandlung durch einen bestimmten Funktionswert als primitives Element erzeugt.

\underline{Helsinki, Djursholm 1938} 203

1.19 Helsinki, Djursholm 1938

Neuere Untersuchungen und Fragestellungen in der arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionenkörper.

Vortrag Helsinki, Djursholm. September 1938.

Einleitung.

Zwei Richtungen in neuerer Zahlentheorie, unterschieden durch Fragestellung:

Wie groß ist etwas?  Wie ist etwas gebaut?

z. B. bei quadratischen Formen:

Anzahl der Darstellungen?  Gesetze für die Darstellbarkeit?
Anzahl der Klassen?  Zusammenhänge zwischen den

Klassen?

Im allgemeinen:

Fragestellungen sehr einfach,  Fragestellungen und Methoden
Methoden in keinem Verhältnis erwachsen organisch aus
dazu. (Hardy–Littlewood)  einander. (Hilbert, Artin)

Antworten sind:

Gesetze des Zufalls.  Organische Gesetze.

Trennung nach Nationalitäten im Großen gesehen:

englisch (russisch)  deutsch (französisch, italienisch).

Die folgenden Betrachtungen fallen unter die zweite Kategorie. Sie betreffen ein Gebiet der Zahlentheorie, das noch ganz jung ist, nämlich die Zahlentheorie der algebraischen Gleichungen in zwei Variablen.

Im 19. Jahrhundert entwickelte sich ein großes, heute im wesentlichen abgeschlossenes Gebiet der Zahlentheorie, die algebraische Zahlentheorie. Sie kann als die Zahlentheorie der algebraischen Gleichungen in einer Variablen beschrieben werden. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts wurden große Entdeckungen auf diesem Gebiete gemacht. Man sah aber das Gebiet noch nicht in seiner heutigen abgerundeten Form vor sich. Vieles, was wir heute an wohlbestimmter Stelle in die algebraische Zahlentheorie eingegliedert haben, stand damals noch zusammenhangslos nebeneinander.

Im 20. Jahrhundert haben wir eine ähnliche Sachlage für die Zahlentheorie der algebraischen Gleichungen in zwei Variablen. Wir haben eine Reihe von wichtigen Einzelergebnissen, ohne daß im Bewußtsein der Forscher diese Tatsachen schon ihren wohlbestimmten Platz in einer abgerundeten Theorie haben.

Ich gebe im folgenden einen Überblick darüber, wie ich diese Theorie sehe und wie sich die bereits vorhandenen Ergebnisse und die noch offenen Fragen einordnen.

I. Die Grundbegriffe.

In der zu betrachtenden Theorie handelt es sich um algebraische Gleichung in zwei Variablen mit algebraischen Koeffizienten:

f(x, y) = 0

Ohne Einschränkung:

f(x, y) absolut–irreduzibel (nicht in ebensolche Faktoren zerlegbar),

f(x, y) ganzalgebraische Koeffizienten.

Ähnlich wie bei algebraischen Gleichungen in einer Variablen betrachtet man hier gleich den Körper K aller rationalen Funktionen von x, y mit Koeffizienten aus einem gegebenen endlich–algebraischen Zahlkörper Ω, der die Koeffizienten von f(x, y) enthält:

K = Ω(x, y) mit f(x, y) = 0

heißt algebraischer Funktionenkörper einer Variablen über Ω als Konstantenkörper. Es zeigt sich, daß man zu glatten Begriffen und Tatsachen nur kommt, wenn man diesen Körper als den eigentlich zu behandelnden Gegenstand ansieht, und die Gleichung als eine unter unendlich vielen Möglichkeiten seiner Erzeugung (Körperinvarianz, birationale Transformation).

In der klassischen Theorie der algebraischen Funktionen nimmt man statt eines endlich–algebraischen Zahlkörpers Ω den Körper aller komplexen Zahlen als Konstantenkörper. Ich darf die Begriffsbildungen und Hauptsätze dieser klassischen Theorie hier als in großen Zügen bekannt voraussetzen. Man verwendet dabei weitgehend die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Variablen, selbst wenn man sich der Analogie mit der Zahlentheorie und ihrer Ausdrucksweise bedient (Hensel–Landsberg). Ein Weg zum Aufbau der Theorie für einen endlich–algebraischen Zahlkörper Ω ergibt sich, indem man Ω als Teilkörper des komplexen Zahlkörpers ansieht und aus den klassischen Sätzen solche über den Körper K durch diese Einbettung (Beschränkung der Koeffizienten auf Ω) herleitet. Das ist aber einerseits nicht methodenrein; andrerseits ist es für den Aufbau der Theorie, wie ich ihn mir denke, unerläßlich, eine von analytischen Methoden freie Begründung zu geben. Wie wir noch genauer sehen werden, braucht man nämlich die entsprechende Theorie auch für Körper Ω als Konstantenkörper, die nicht im Körper der komplexen Zahlen enthalten sind.

Es gibt nun in der Tat eine von analytischen Methoden ganz freie Begründung der arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionenkörper K über einem beliebigen Konstantenkörper Ω:

K = Ω(x, y) mit f(x, y) = 0

f(x, y) absolut–irreduzibel über Ω, d. h. nicht in Faktoren mit über Ω algebraischen Koeffizienten zerlegbar. Für den Fall, daß Ω Primzahlcharakteristik p hat, ist noch zu fordern, daß f(x, y) etwa in y separabel ist.

ich gebe nachstehend eine Übersicht über die Grundbegriffe dieser Theorie, und zwar erläutere ich diese Grundbegriffe durch Gegenüberstellung der entsprechenden Begriffe der klassischen Theorie.

Ω beliebiger Körper  Ω Körper der komplexen Zahlen
Primdivisoren 𝔭 von K, definiert  Punkte 𝔭 der Riemannschen
durch Bewertungen w_{𝔭}(z) von K/Ω  Fläche ℜ zu K.
oder durch formale Potenzreihen–  K besteht aus den auf ℜ im
entwicklungen.  Kleinen analytischen, im Großen

eindeutigen Funktionen.

Restbildung mod 𝔭 bildet die Ele–

mente z von K auf Elemente  Wert z(𝔭) an der Stelle 𝔭 von ℜ,

z(𝔭) einer endlich–algebraischen

Erweiterung Ω_{𝔭} von Ω ab  Ω_{𝔭} = Ω, 𝔣_{𝔭} = 1.

(inkl. ∞). Deren Grad 𝔣_{𝔭} heißt der Grad von 𝔭.

Man erhält alle Primdivisoren 𝔭 von K auch, indem man alle solchen Abbildungen von K nimmt. Dabei entspricht über Ω konjugierten Abbildungen

(Fortsetzung auf der nächsten Seite)

Ω beliebiger Körper  Ω Körper der komplexen Zahlen

derselbe Primdivisor 𝔭.

Entsprechend einer Erzeugung  Die Stellen 𝔭 von ℜ sind bis auf
K = Ω(x, y) mit f(x, y) = 0 können  endlich viele Ausnahmen durch
die Primdivisoren 𝔭 bis auf endlich  die Lösungen x(𝔭) = a, y(𝔭) = b
viele Ausnahmen auch durch die  von f(x, y) = 0 in komplexen
Lösungen x(𝔭) = a, y(𝔭) = b von  Zahlen gekennzeichnet.

f(x, y) = 0 in über Ω algebraischen Elementen a, b gekennzeichnet werden, wobei über Ω konju– gierten Lösungen derselbe Primdivisor entspricht.

Jeder Primdivisor 𝔭 vom Grade 𝔣_{𝔭}  Ist Ω endlich–algebraisch, so entsprechen
zerfällt—der Unterscheidung der  die Primdivisoren von \overline{K} umkehrbar
𝔣_{𝔭} Konjugierten entsprechend—  eindeutig denjenigen Punkten von ℜ,
in 𝔣_{𝔭} Primdivisoren ersten Grades \overline{𝔭}_{i}  für die alle Funktionen z aus K
des Körpers \overline{K}, der durch Erweiterung  über Ω algebraische Werte haben.
des Konstantenkörpers auf seine  Die Primdivisoren von K entstehen
algebraisch–abgeschlossene Hülle \overline{Ω}  daraus, indem jeweils die bezgl. Ω
entsteht.  konjugierten Primdivisoren

von \overline{K} zusammengefaßt werden.

Wir setzen (durch endl. alg. Erw. von Ω) voraus, daß K auf– geschlossen ist, d. h. mindestens einen Primdivisor ersten Grades 𝔬 enthält. Ein solcher sei als Bezugs– primdivisor ausgezeichnet. Dann

übersieht man alle Primdivisoren  Auszeichnung eines bestimmten
𝔭 ≠ 𝔬 von K (ausnahmslos) auf  Elements aus K als unabhängige
Grund einer zu 𝔬 gehörigen Nor–  Variable: x Funktion aus K mit
malerzeugung:  einzigem Pol in gegebenem Punkt 𝔬
x Element, das nur bei 𝔬  von ℜ, von möglichst niedriger
unendlich wird, von möglichst  Ordnung n. Zugehörige Darstellung
niedriger Ordnung n (liegt durch  der (abstrakten) Fläche ℜ als n–blättr.
𝔬 bis auf ganze lineare Substitu–  Fläche über der x–Kugel.
tionen fest). K/Ω(x) vom Grade n  y_{1}, …, y_{n} Basis derj. Funktionen aus K,
y_{1}, …, y_{n} Basis der von x ganzalg.  die 𝔬 als einzigen Pol haben; sie ist
abhängigen Elemente aus K  nicht notwendig von der Form
1, y, …, y^{n−1}.
K = Ω(x; y_{1}, …, y_{n})  𝔬 wird bei der gewonnenen Reali–
mit Multiplikationstafel  sierung von ℜ das Unendliche; dieses

(Fortsetzung auf der nächsten Seite)

Ω beliebiger Körper  Ω Körper der komplexen Zahlen
(M) y_{i}y_{j} = ∑_{k=1}^{n} f_{ijk}(x)y_{k}, f_{ijk}(x)  ist dabei Verzweigungspunkt der
Polyn. über Ω.  Ordnung n.

(Verallgemeinerung einer Erzeugung durch Grundgleichung).

Die endlichen Stellen 𝔭 ≠ 𝔬 von ℜ

Primdivisoren 𝔭 ≠ 𝔬 von K entsprechen  werden
jetzt umkehrbar eindeutig den über Ω  jetzt umkehrbar eindeutig durch
algebraischen nicht konjugierten Lösungen die zugeordneten Wertsysteme
x(𝔭) = a; y_{1}(𝔭) = b_{1}, …, y_{n}(𝔭) = b_{n}  x(𝔭) = a; y_{1}(𝔭) = b_{1}, …, y_{n}(𝔭) = b_{n}
von (M). Bei Unterscheidung der  beschrieben.

Konjugierten erhält man die Prim– Divisoren \overline{𝔭}_{i} von \overline{K}. Die Primdivisoren ersten Grades 𝔭 ≠ 𝔬 von K entsprechen umkehrbar eindeutig den Lösungen von (M) in Ω.

Divisoren von K:  Vorgabe von Nullstellen und Polen
𝔞 = ∏_{𝔭} 𝔭^{α_{𝔭}}  mit vorgeschriebenen Ordnungen;
(α_{𝔭} ganzrat. nur endl. viele α_{𝔭} ≠ 0)  Endlichkeitsbedingung

Hauptdivisoren:

z ≅ ∏_{𝔭} 𝔭^{w_{𝔭}(z)}, ∑_{𝔭} 𝔣_{𝔭}w_{𝔭}(z) = 0  Elemente von K erfüllen
z durch seinen Hauptcharakter eindeutig neben der Endlichkeitsbedingung
bis auf Konstante ≠ 0 als Faktor  noch die Summenformel:
festgelegt.  ∑_{𝔭} w_{𝔭}(z) = 0

für die funktionentheoretischen Ordnungszahlen w_{𝔭}(z) an den einzelnen Stellen 𝔭 von ℜ. Durch Angabe der Nullstellen und Pole mit Ordnungszahlen liegt eine Funktion des Körpers bis auf Konstante ≠ 0 als Faktor fest.

Grad 𝔣_{𝔞} = ∑_{𝔭} 𝔣_{𝔭}α_{𝔭}

Hauptdivisoren 𝔞 ≅ z haben 𝔣_{𝔞} = 0

Divisorengruppe

Divisorengruppe nullten Grades

Divisorenklassengruppe (Fortsetzung auf der nächsten Seite)

Ω beliebiger Körper  Ω Körper der komplexen Zahlen

Divisorenklassengruppe nullten Grades (für alles Folgende wichtigster Begriff).

Differentiale wdz,  Integralfunktionen auf ℜ
zugeordneter Differentialdivisor.  (im Kleinen analytisch bis auf

logar. […]stellen, im Großen Perioden)

Ganze Differentiale, solche mit  Integrale 1. Gattung
ganzem zugeordneten Divisor.  (im Kleinen regulär,

im Großen Perioden).

Geschlecht g = Anzahl der linear unabh. g fällt mit topologischem Geschlecht
ganzen Differentiale.  von ℜ zusammen.
g = 0 ist (für aufgeschlossene K) gleich–  Dann bestimmen die Integrale
bedeutend damit, daß K = Ω(t)  1. Gattung durch kanonische
rational ist. Im folgenden sei  Zerschneidung von ℜ ein
durchweg g ≧ 1 vorausgesetzt.  Periodenparallelotop von g

komplexen Dimensionen.

Nach Riemann–Rochschem Satz gibt es in jeder Divisorenklasse nullten Grades mindestens einen Vertreter der Form \frac{𝔤}{𝔬^{g}} , wo 𝔤 ganzer Divisor vom Grade g, und mit Ausnahme einer Mannigfaltigkeit

niederer Dimension (im algebr.  Die Struktur der Klassengruppe
Sinne) für 𝔤 auch nur einen  nullten Grades wird durch das
solchen Vertreter.  Abelsche Theorem und den Jacobischen
Das Rechnen in der Klassengruppe  Umkehrsatz vollständig gegeben. Diese
nullten Grades stellt sich dann  beiden Sätze sagen zusammen aus,
durch diese Vertreter  daß die Klassengruppe nullten Grades
so dar:  von K isomorph ist zur Additions–
\frac{𝔤_{1}}{𝔬^{g}} · \frac{𝔤_{2}}{𝔬^{g}} ∼ \frac{𝔤}{𝔬^{g}} .  gruppe der g–gliedrigen Vektoren
Dafür schreiben wir kurz:  aus komplexen Zahlen, wobei mit
𝔤_{1} + 𝔤_{2} ∼ 𝔤 (𝔬)  den Vektoren nach dem Perioden–
Daß dabei die Vertreter 𝔤 nicht  parallelotop als Modul gerechnet
immer eindeutig bestimmt sind,  wird; und zwar wird dieser
schadet nichts. Man rechne mit  Isomorphismus gegeben durch
irgendeinem vollen Vertretersystem.  𝔲 ≡ ∫_{𝔬^{g}}^{𝔤} d𝔲 mod P𝔞

(Fortsetzung auf der nächsten Seite)

Ω beliebiger Körper  Ω Körper der komplexen Zahlen

wo 𝔲 ein Basisvektor der

Für g = 1 sind sie immer eindeutig  Integrale 1. Gattung von K ist,
bestimmt.  und ∫_{𝔬^{g}}^{𝔤} = ∫_{𝔬}^{𝔭_{1}}+ ⋯ + ∫_{𝔬}^{𝔭_{g}}

für 𝔤 = 𝔭_{1} ⋯ 𝔭_{g}.

Die Vertreter 𝔤 entsprechen  𝔲 durchläuft alle g–gliedrigen kom–
umkehrbar eindeutig  plexen Vektoren mod P𝔞. Zwei 𝔤
den g–gliedrigen Lösungssystemen von  gehören dann und nur dann zur
(M) in über Ω algebraischen Elementen,  selben Klasse, wenn die 𝔲 mod P𝔞
deren symmetr. Funktionen in Ω  kongr. sind, und der Klassen–
liegen; dabei ist 𝔬 formal die unend–  multiplikation entspricht die
liche Lösung zuzuordnen.  Addition der 𝔲 mod P𝔞.
Das oben erklärte additive  Die Vertreter 𝔤 sind genau die
Rechnen mit den 𝔤 im Sinne ∼ (𝔬)  g–gliedrigen Punktgruppen auf ℜ.

ist als das algebraische Äquivalent zum Rechnen im Periodenparallelotop anzusehen. Es kann durch rationale Formeln ausgedrückt werden.

Als den zu K gehörigen Körper  Der so rein algebraisch definierte
Abelscher Funktionen bezeichnet man  Abelsche Funktionenkörper 𝔎
den Körper  besteht aus der Gesamtheit der zum
𝔎 = Ω{𝔵_{1}, …, 𝔵_{g}}  Periodenparallelotop gehörigen
der rationalen symmetrischen  analytischen Funktionen eines
Funktionen mit Koeffizienten aus  g–gliedrigen komplexen Vektors
Ω von g  𝔲.

algebraisch–unabhängigen Lösungssystemen 𝔵_{i} = (x_{i}; y_{i1}, …, y_{in}) von (M), also sozusagen von g unabhängigen variablen Primdivisoren 𝔵_{1}, …, 𝔵_{g} von K, die man dann auch zu einem variablen ganzen Divisor 𝔵 = 𝔵_{1} ⋯ 𝔵_{g} vom Grade g zusammenfassen kann. □□□

Gekürzte Einleitung.^{1}

1. Hasses Seitenzählung beginnt hier erneut bei -1-

Im Werden begriffene neue Theorie: Zahlentheorie der algebraischen Gleichungen in zwei Variablen

Vergleich mit Zahlentheorie der algebraischen Gleichungen in einer Variablen im vorigen Jahrhundert.

Zweck dieses Vortrags ist: Bisherige Hauptergebnisse der neuen Theorie in einheitlichem Rahmen auszusprechen und den Weg für weitere Forschung zu weisen. Dadurch mitzuhelfen an dem Zustandekommen einer einheitlichen und geschlossenen Theorie.

Grundbegriffe.

Ω beliebiger Körper; Hauptanwendung auf algebraische Zahlkörper; doch braucht man dazu als Hilfsmittel auch abstrakte Körper.

K = Ω(x, y) mit f(x, y) = 0 (abs. irr.)

Prinzip der Körperinvarianz (birationale Invarianz)

Erster wichtiger Grundbegriff: Punkt oder Prindivisor von K. Im klassischen Fall: Punkt der zugehörigen Riemannschen Fläche.

Allgemein roh gesagt: Über Ω algebraische Lösung der Grundgleichung. Dazu Ergänzungen hinsichtlich ∞ und Verzweigungspunkten. Besonders wichtig: Primdivisoren 1. Grades, entsprechen Grundgleichungslösungen in Ω selbst. Dadurch Anknüpfung an klassisches Problem der Zahlentheorie: Lösungen diophantischer Gleichungen.

Zur scharfen Fassung des Punktbegriffs Normalerzeugung. Ohne Einschränkung Ω so groß (endl. alg. Erw.), daß ursprüngliche Grundgleichung eine Lösung in Ω hat, d. h. daß K einen Primdivisor 1. Grades hat. Ein solcher als Bezugsprimdivisor 𝔬 zugrundegelegt.

x Element aus K, das nur 𝔬 im Nenner hat, und zu möglichst niedrigem Exponenten n. Dann x bis auf ganze lineare Substitution x ⟶ αx + β festgelegt. [K : Ω(x)] = n. Ferner dann y_{1}, …, y_{n} Basis der von x ganzalgebr. abh. Elemente aus K in bezug auf Polynombereich Ω[x]. Dann K bestimmt durch Multiplikationsschema

y_{i}y_{j} = ∑_{k=1}^{n} f_{ijk}(x)y_{k} (M)

Es übernimmt Rolle der Grundgleichung; Raumkurve in n + 1 Dimensionen, statt 2–dimensionaler Kurve. Basis y_{1}, …, y_{n} liegt bis auf leicht angebbare Substitutionen fest. Somit liegt Normalerzeugung wesentlich eindeutig durch 𝔬 fest.

Geschlecht g. Im klassischen Falle das topologische Geschlecht der Riemannschen Fläche. Die Riemannsche Formel hat rein algebraischen Charakter und überträgt sich auf beliebigen Konstantenkörper Ω. g = 0 ⟷ K = Ω(x) (bei geeignetem x); dieser Fall sei durchweg ausgeschlossen. Also g ≧ 1. Für g = 1 ist Normalerzeugung^{2}

y^{2} = 4x^{3} − g_{2}x − g_{3} , g_{2}^{3} − 27g_{3}^{2} ≠ 0

(vorausgesetzt, daß Char Ω ≠ 2, 3; sonst auch leicht angebbar).

Stets ist n ≦ g + 1 (nach Riemann–Rochschem Satz).

Primdivisoren ≠ 𝔬 ⟷ über Ω algebr., nicht konj. Lösungen von (M)
𝔬 ⟷ Lösung (∞; ∞, …, ∞).

Unterscheidet man die konj., so erhält man die Primdiv. (1. Grades) von \overline{K}, entspr. Übergang zu algebr.–abgeschl. Hülle \overline{Ω}.

Primdivisoren 1. Grades ≠ 𝔬 ⟷ Lösungen von (M) in Ω.

Die α; β_{1}, …, β_{n} zu Punkt 𝔭 heißen seine Koordinaten (bezgl. der Normalerz.) entsprechen den Funktionswerten bei 𝔭 im klassischen Fall.

Zweiter wichtiger Grundbegriff: Rechnen mit den g–gliedrigen Punktgruppen (ganzen Divisoren g–ten Grades):

𝔤 = 𝔭_{1} ⋯ 𝔭_{g}

Dabei 𝔭_{1}, …, 𝔭_{g} Punkte von \overline{K} derart, daß die symm. Funktionen der Koordinaten in Ω liegen (die 𝔭_{i} = 0 nicht mitzurechnen).

𝔤 ∼ 𝔤′, wenn \frac{𝔤}{𝔤′} ein El. aus Ω entspricht (nach Nullst. u. Polen).

Verknüpfungsrelation:

\frac{𝔤}{𝔬^{g}} · \frac{𝔤′}{𝔬^{g}} ∼ \frac{𝔤′′}{𝔬^{g}} , kurz 𝔤 + 𝔤′ ∼ 𝔤′′ (𝔬).

𝔤′′ existiert nach Riemann–Rochschem Satz immer, und im allgemeinen auch eindeutig. Wir denken ein volles Repr. System für die 𝔤 im Sinne ∼ gewählt.

2. Relationszeichen der zweiten der beiden folgenden Relationen undeutlich

Dann ist die Verkn. eindeutig und unbeschränkt und liefert eine abelsche Gruppe, die Divisorenklasssengruppe nullten Grades D_{K} von K; sie ist sogar unabhängig von 𝔬, also Invariante von K. Um sie handelt es sich wesentlich. Grob gesagt handelt es sich bei D_{K} um ein bestimmtes Rechnen mit den g– gliedrigen Lösungssystemen einer Grundgleichung f(x, y) = 0 (oder schärfer eines Mult. Schemas (M)), deren symm. Funktionen in Ω liegen. Für g = 1 wird das Rechnen durch die Koord. so beschrieben:

|\begin{matrix}1 & α & β \\ 1 & α′ & β′ \\ 1 & α′′ & β′′ \end{matrix}| = 0

(Add. Th. der ell. Funkt.). Für g > 1 hat man eine entspr. Determinanten– Darst. des Rechnens mit den g–gliedr. Punktgr.)

Im klassischen Falle (Ω der kompl. Zahlkörper) stellt sich das Rechnen in D_{K} transzendent so dar:

d𝔲 g–gliedriger Basisvektor der Diff. 1. Gattung (ganzen Diff.)

𝔲 ≡ ∫_{𝔬^{g}}^{𝔤} d𝔲 ≡ ∑_{i=1}^{g} ∫_{𝔬}^{𝔭_{i}}d𝔲 mod P𝔞.

liefert Vektor 𝔲 aus kompl. Zahlen mod P𝔞. (Parallelotop von g komplexen Dimensionen).

Nach Abelschem Theorem: 𝔤 ∼ 𝔤′ ⟷ 𝔲 ≡ 𝔲′ mod P𝔞.

Nach Jacobischem Theorem: 𝔲 durchl. alle kompl. Vektoren.

Daher

D_{K} ≅ Rechnen mit g–gliedrigen kompl. Vekt. mod P𝔞.

II. Der Satz von A. Weil.

Es sei jetzt wie zu Beginn Ω ein endlichalgebraischer Zahlkörper. Der Satz von A. Weil macht eine allgemeine Aussage über die Struktur der Divisorenklassengruppe nullten Grades von K. Er sagt aus, daß diese Gruppe endlichen Rang r hat. Als abelsche Gruppe besitzt sie dann eine Basisdarstellung der Form:

𝔤 ∼ μ_{1}𝔞_{1} + ⋯ + μ_{2g}𝔞_{2g} + ν_{1}𝔟_{1} + ⋯ + ν_{r}𝔟_{r} (𝔬) \{ \begin{matrix}μ_{i} mod m_{i} \\ ν_{i} ganzrational \end{matrix} \} .

(𝔤; 𝔞_{1}, …, 𝔞_{2g}; 𝔟_{1}, …, 𝔟_{r} ganze Divisoren g–ten Grades).

Die Anzahl der Basiselemente endlicher Ordnung ist notwendig ≦ 2g, entsprechend dem Periodenparallelotop.

Weil hat diesen Satz mit analytischen Hilfsmitteln bewiesen. Er benutzt die Darstellung der zu K gehörigen Abelschen Funktionen durch Thetafunktionen. Für g = 1 wurde der Satz schon vorher durch Mordell bewiesen, und zwar entsprechend unter Benutzung der Darstellung der Funktionen aus K als elliptische Funktionen. Es ist uns in meinem Seminar gelungen, den Beweis für g = 1 rein arithmetisch zu führen. Für g > 1 haben wir dazu ebenfalls einen Ansatz und wollen ihn im nächsten Semester durchführen. Der Beweis gewinnt dadurch an Einfachheit und Durchsichtigkeit.

Wir wollen uns die Bedeutung des Satzes von Weil am Spezialfall g = 1 (Mordell) klarmachen. Eine Normalerzeugung von K kann in der Weierstrassschen Normalform angenommen werden:

y^{2} = 4x^{3} − g_{2}x − g_{3} (g_{2}^{3} − 27g_{3}^{2} ≠ 0).

Die Klassen nullten Grades entsprechen hier umkehrbar eindeutig den Primdivisoren ersten Grades, also einfach den Lösungen a, b dieser Gleichung in Ω, wobei der Bezugsprimdivisor 𝔬 der unendlichen Lösung entspricht. Die Additionsrelation

𝔭_{1} + 𝔭_{2} ∼ 𝔭 (𝔬)

in der Klassengruppe nullten Grades wird rational durch die Formeln des Additionstheorems der Weierstrassschen Funktionen

x = ℘(u), y = ℘′(u)

dargestellt. Diese Formeln liefern aus Lösungen in Ω wieder Lösungen in Ω. Der Satz von Mordell sagt aus, daß man alle Lösungen in Ω aus endlich vielen durch wiederholte Addition und Subtraktion im Sinne des Additionstheorems herleiten kann. Analytisch kann er auch so formuliert werden: die Punkte u im Periodenparallelogramm, für die ℘(u), ℘′(u) in Ω liegen, werden in eindeutiger Basisdarstellung in folgender Form gegeben:

u ≡ μ_{1}α_{1} + μ_{2}α_{2} + ν_{1}β_{1} + ⋯ + ν_{r}β_{r} mod P𝔞. \{ \begin{matrix}μ_{i} mod m_{i} \\ ν_{i} ganzrational \end{matrix} \}

Im allgemeinen Falle (Weil) treten an Stelle der Lösungen der Grundgleichung in Ω die g–gliedrigen Lösungssysteme des Multiplikationsschemas (M) einer Normalerzeugung von K, deren symmetrische Funktionen in Ω liegen, und anstelle der u, α_{1}, α_{2}, β_{1}, …, β_{r} g–gliedrige Vektoren im Periodenparallelotop. Grob gesagt handelt es sich um einen Endlichkeitssatz für die g–gliedrigen Lösungssysteme einer beliebigen Grundgleichung f(x, y) = 0, deren symmetrische Funktionen in Ω liegen.

An den Satz von Weil schließt sich naturgemäß die tiefere Frage an, wie die Invarianten m_{i} und r der Klassengruppe nullten Grades von K bestimmt sind. Darüber ist noch recht wenig bekannt. Für g = 1 hat man obere Abschätzungen von Nagell und Billing, die eng mit arithmetischen Eigenschaften von Ω oder einer algebr. Erweiterung von Ω (Einheiten, Klassenzahl) verknüpft sind. Man hat für g = 1 Beispiele dafür, daß r > 0 sein kann, daß also die durch die komplexe Multiplikation gelieferten algebraischen Teilwerte der elliptischen Funktionen keineswegs die einzigen algebraischen Werte sind.

Ich möchte es als eine Hauptaufgabe der hier besprochenen Theorie hinstellen, genaue Aussagen über die Bestimmung der Invarianten m_{i}, r aus den arithmetischen Eigenschaften von Ω und aus den Invarianten (Moduln) von K zu gewinnen.

Hinsichtlich des Fermatproblems wäre es z. B. interessant, diese Aufgabe für den (parameterfreien) Funktionenkörper mit der Grundgleichung

x^{p} + y^{p} = 1

vom Geschlecht

g = \frac{(p − 1)(p − 2)}{2}

in Angriff zu nehmen.

III. Der Satz von C. Siegel.

Eine tieferliegende Frage ist die nach den Lösungen von f(x, y) = 0 in ganzalgebraischen Zahlen aus Ω. Hier hat C. Siegel den tiefliegenden Endlichkeitssatz bewiesen, daß die Anzahl dieser Lösungen für g ≧ 1 endlich ist. Siegel zeigt genauer: Ist x ein nicht–konstantes Element aus K, so ist x(𝔭) höchstens für endlich viele Primdivisoren ersten Grades 𝔭 von K ganzalgebraisch (in Ω).

Der Beweis erfolgt bei Siegel unter Ausnutzung des Satzes und der analytischen Methoden von Weil. Es ist uns auch hier gelungen, den Beweis für g = 1 rein arithmetisch zu führen. Im allgemeinen Falle wollen wir diese Aufgabe im nächsten Semester angreifen. Allgemeinste descente infinie.

Der Siegelsche Beweis erfolgt so: aus der Annahme, x(𝔭) sei ganz für unendlich viele Primdivisoren ersten Grades von K wird eine scharfe Approximation eines Systems über Ω algebraischer Zahlen α_{1}, …, α_{g} durch Zahlen \frac{ξ_{1}}{ξ_{0}} , …, \frac{ξ_{g}}{ξ_{0}} aus Ω konstruiert. Diese steht im Widerspruch zu einer Verallgemeinerung des Thue–Siegelschen Satzes. Diese Verallgemeinerung wird allerdings in der Siegelschen Arbeit nicht explizit ausgesprochen; sie ist dort in den recht komplizierten Beweis mittels der Thetafunktionen verwoben. Wir haben sie wie folgt herausgearbeitet:

Ω algebraischer Zahlkörper vom Grade k

α_{1}, …, α_{g} algebraische Zahlen, deren Körper Ω(α_{1}, …, α_{g}) über Ω den Relativgrad r hat, und deren lineares Unabhängigkeitsmaß in bezug auf Ω gleich d ist (die Potenzprodukte bis zur Dimension d hin noch lin. unabh. über Ω). Wenn dann die Ungleichungen

|\frac{ξ_{i}}{ξ_{0}} − α_{i}| ≦ C · N(X)^{−e} \{ \begin{matrix}C positive Konstante \\ X = Max(|ξ_{0}|, |ξ_{1}|, …, |ξ_{g}|) \end{matrix} \}

unendlich viele Lösungen \frac{ξ_{1}}{ξ_{0}} , …, \frac{ξ_{g}}{ξ_{0}} in ganzen ξ_{0}, ξ_{1}, …, ξ_{g} aus Ω haben, so ist notwendig

e ≦ Min_{δ=0,1,...,d} (δ + \frac{kr}{\binom{g+δ}{g}}) .

Für g = 1 wird d = r − 1 und

e ≦ Min_{ρ=0,1,...,r−1} (ρ + \frac{kr}{ρ + 1}) .

Das ist genau der Thue–Siegelsche Satz.

IV. Der Satz von E. Lutz.

Motivierung der Fragestellung: Zusammenhang zwischen Lösungsanzahl im Großen und Lösungsanzahlen im Kleinen bei quadratischen Gleichungen:

über Ω , über den ℘–adischen Erweiterungen Ω_{℘}, die den Prim- idealen und unendlichen Primstellen von Ω entsprechen Entsprechend bei Frage der Zerfällung von Algebren.

Daher liegt es nahe, auch bei algebraischen Funktionenkörpern nach einem Zusammenhang zu fragen zwischen der Divisorenklassengruppe nullten Grades von

K = Ω(x, y) mit f(x, y) = 0,

und den Divisorenklassengruppen nullten Grades der ℘–adischen Erweiterungen

K_{℘} = Ω_{℘}(x, y) mit f(x, y) = 0.

In dieser Richtung ist bisher noch gar nichts bekannt. Ich sehe aber gerade in dieser Richtung den Zugang zu der erwünschten genaueren Einsicht in den Aufbau der Divisorenklassengruppe nullten Grades von K.

Als ersten Punkt eines Vorstoßes in dieser Richtung hat man die Divisorenklassengruppe einer einzelnen ℘–adischen Erweiterung K_{℘} zu untersuchen. Das tut Frl. Lutz. Sie bestimmt die Struktur der Divisorenklassengruppe nullten Grades für einen algebraischen Funktionenkörper

K_{℘} = Ω_{℘}(x, y) mit f(x, y) = 0

über einem ℘–adischen Zahlkörper (℘ Primideal von Ω) vom Geschlecht g = 1. Es stellt sich heraus, daß die Divisorenklassengruppe nullten Grades hier neben den ganzrationalen Zahlen auch die ganzen ℘–adischen Zahlen (aus Ω_{℘}) als Operatoren zuläßt, und daß sie als solche Operatorgruppe den Rang 1 hat. Man hat also eine eindeutige Basisdarstellung der Form

𝔭 ∼ μ_{1}𝔞_{1} + μ_{2}𝔞_{2} + ν𝔟 (𝔬) \{ \begin{matrix}μ_{i} mod m_{i} \\ ν ganz ℘ adisch, in Ω_{℘} \end{matrix} \} .

Es erhebt sich weiter die Frage nach den Primdivisoren ersten Grades 𝔭, für die eine ℘–adisch ganzzahlige Weierstraßsche Normalerzeugung y^{2} = 4x^{3} − g_{2}x − g_{3} ganzzahlige ℘–adische Lösungen hat. Darüber ist noch nichts bekannt.

Ebenso ist nicht bekannt, wie sich der Satz von Frl. Lutz auf beliebiges Geschlecht g verallgemeinert.

V. Der Satz von H. Hasse.

Eine noch gröbere Fragestellung ergibt sich, wenn man nur die Näherungswerte mod ℘ der ℘–adischen Zahlen betrachtet. Diese Untersuchung spielt in der vorschwebenden Theorie dieselbe Rolle, wie die Kongruenztheorie der algebraischen Zahlen nach einer Primzahl. Man hat es dabei mit einem algebraischen Funktionenkörper

K = Ω(x, y) mit f(x, y) = 0

zu tun, dessen Konstantenkörper Ω ein endlicher Körper ist. Diese Theorie ist, auch abgesehen von der eben gegebenen Einordnung in die hier vorschwebende Theorie, interessant. Denn diese Körper K sind selbst weitgehend analog zu den algebraischen Zahlkörpern. Sie sind sogar einfacher als diese, weil für sie alle Bewertungen diskret sind, während bei den algebraischen Zahlkörpern endlich viele nicht–diskrete Bewertungen (unendliche Primstellen) auftreten. Anstelle der durch diese nicht–diskreten Bewertungen bedingten analytischen Approximationsaussagen (Minkowskische Diskriminantenabschätzungen u. s. w.) treten für die Körper K genaue Aussagen (Riemann–Rochscher Satz).

Diese größere Einfachheit äußert sich insbesondere in der Zetafunktion von K:

ζ(s) = ∏_{𝔭} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(𝔭)^{s}}} ,

wo 𝔑(𝔭) = q^{f_{𝔭}} die Elementanzahl des endlichen Restklassenkörpers Ω_{𝔭} von K mod 𝔭 bezeichnet; q ist die Elementanzahl von Ω. Diese Funktion ist nämlich wesentlich ein Polynom in \frac{1}{q^{s}} :

ζ(s) = ζ_{0}(s)L(s)
ζ_{0}(s) = \frac{1}{1 − \frac{1}{q^{s}}} \frac{1}{1 − \frac{q}{q^{s}}}
L(s) = 1 + \frac{N_{1} − (q + 1)}{q^{s}} + ⋯ + \frac{q^{g}}{q^{2gs}} ,

und zwar vom Grade 2g. Der höchste Koeffizient ist q^{g}, der Koeffizient des linearen Gliedes N_{1} − (q + 1), wo N_{1} die Anzahl der Primdivisoren ersten Grades von K ist.

Die Riemannsche Vermutung für diese Zetafunktion ist gleichwertig mit der Aussage

|N_{1} − (q + 1)| ≦ 2gq^{\frac{1}{2}}

(für Ω und alle endlichen Erweiterungskörper in der Rolle von Ω). N_{1} ist wesentlich die Anzahl der Lösungen von f(x, y) = 0 im endlichen Körper Ω, der unter Hinzunahme des ebenfalls zu betrachtenden ∞ die Elementanzahl q+1 hat; q +1 ist also der wahrscheinliche Wert für N_{1}, und die Riemannsche Vermutung ist gleichwertig mit der angegebenen Abschätzung der Abweichung zwischen N_{1} und seinem wahrscheinlichen Wert q + 1.

Es ist mir gelungen, diese Riemannsche Vermutung für g = 1 zu beweisen, und zwar nicht etwa durch Bestätigung der Abschätzung sondern als eine Strukturaussage. Für g = 1 ist N_{1} = h die Anzahl der Divisorenklassen nullten Grades von K, und mein Satz kann als eine genaue Bestimmung dieser Anzahl angesehen werden; so ordnet er sich den Sätzen von A. Weil, C. Siegel, E. Lutz zur Seite, die ja sämtlich Aussagen über die Divisorenklassengruppe nullten Grades sind.

Diese Deutung der Riemannschen Vermutung und mein Beweis stützen sich auf die allgemeine Theorie der Korrespondenzen in algebraischen Funktionenkörpern, die kürzlich von M. Deuring in einer für den vorliegenden Zweck brauchbaren rein algebraischen Form entwickelt wurde.

Funktionentheoretisch gesagt ist eine Korrespondenz von K eine konforme Abbildung einer Überlagerungsfläche von ℜ auf eine andere solche (je mit endlicher Überlagerungszahl). Sie bewirkt eine Operation vom Typus einer Multiplikation im Perioden–Parallelotop (komplexe Multiplikation) und damit eine abstrakte Operatormultiplikation in der Divisorenklassengruppe nullten Grades von K. Deuring hat gezeigt, wie man diese Operationen bei beliebigem Konstantenkörper rein algebraisch einführen kann.

Man erhält so zu jedem algebraischen Funktionenkörper \overline{K} einen abstrakten Ring M, den Multiplikatorenring von \overline{K}, der aus Operationen μ vom Typus einer Multiplikation in der Divisorenklassengruppe nullten Grades von \overline{K} besteht. Durch den Querstrich haben wir angedeutet, daß zur Definition dieses Ringes M der Konstantenkörper Ω durch seine algebraisch–abgeschlossene Hülle \overline{Ω} ersetzt wird. Für g = 1 im klassischen Falle ist dieser Ring M das algebraische Äquivalent derjenigen Multiplikationen μu, die für u als Element des Periodenparallelogramms eindeutig erklärt sind (komplexe Multiplikation im klassischen Sinne).

Im allgemeinen ist M nicht kommutativ. M besitzt einen involutorischen Antiautomorphismus, der Umkehrung der Korrespondenzrichtung entsprechend. M hat ferner stets die Charakteristik 0, enthält also den Ring Γ der ganzrationalen Zahlen (natürliche Multiplikation, wie sie vorher schon mehrfach in der Divisorenklassengruppe nullten Grades auftrat). Die Elemente μ von M stellen sich rein algebraisch dar als die Substitutionen einer Normalerzeugung x; y_{1}, …, y_{n} von K mit Multiplikationsschema (M) in Systeme ξ; η_{1}, …, η_{n} die (M) befriedigen und von x; y_{1}, …, y_{n} algebraisch (mit Koeffizienten aus \overline{Ω}) abhängen; man nennt solche Substitutionen Meromorphismen.

Für g = 1 kann man zeigen, daß jedes Element μ aus M zusammen mit \overline{μ} einer quadratischen Gleichung mit Koeffizienten aus Γ genügt, und daß μ\overline{μ} = N(μ) (für μ ≠ 0) ein gewisser Körpergrad ist und daher stets positiv ist. Daraus folgt, daß sich μ, \overline{μ} formal wie konjugiert–komplexe Zahlen verhalten.

Im Falle eines endlichen Körpers Ω ist nun

(x, y) ⟶ (x^{q}, y^{q})

ein Meromorphismus π von \overline{K}, weil dabei die Grundgleichung f(x, y) erhalten bleibt. Der fragliche Körpergrad ist hier N(π) = q. Die Wirkung von π in der Divisorenklassengruppe nullten Grades von \overline{K} stellt sich so dar:

\overline{𝔭} ⟷ (\overline{a}, \overline{b}) , π\overline{𝔭} ⟷ (a^{q}, b^{q}).

Es ist also (π − 1)\overline{𝔭} ∼ 𝔬 dann und nur dann, wenn \overline{𝔭} = 𝔭 ein Primdivisor ersten Grades von K selbst ist, d. h. die N_{1} = h Primdivisoren ersten Grades 𝔭 von K sind innerhalb aller \overline{𝔭} von \overline{K} durch (π − 1)\overline{𝔭} ∼ 𝔬 gekennzeichnet ((π − 1)–te Teilwerte!). Daraus folgert man N(π − 1) = N_{1} = h.

Zusammengenommen bestimmt sich damit die quadratische Gleichung für π so:

π^{2} + (N_{1} − (q + 1))π + q = 0.

Vergleich mit dem Polynom

q^{2s}L(s) = q^{2s} + (N_{1} − (q + 1))q^{s} + q

zeigt, daß dieses Polynom konjugiert–komplexe Wurzeln hat. Dies besagt

|N_{1} − (q + 1)| ≦ 2gq^{\frac{1}{2}} ,

also die Riemannsche Vermutung.

Als Aussage über die Divisorenklassengruppe nullten Grades von K kann diese Riemannsche Vermutung so ausgesprochen werden: diese Gruppe ist die in der Divisorenklassengruppe nullten Grades von \overline{K} durch den Operator π − 1 annullierte Gruppe, und dabei ist π formal eine der beiden Nullstellen der Zetafunktion.

Ein umfangreicher Teil dieses Beweises läßt sich auf g > 1 übertragen. Ich kann aber für g > 1 bisher nicht zeigen, daß die Operatoren μ algebraische Gleichungen vom Grade 2g mit Koeffizienten aus Γ genügen und daß dabei μ ⟶ \overline{μ} formal der Übergang zum Konjugiert–komplexen ist.

Grob gesagt ist die Riemannsche Vermutung für Kongruenzfunktionenkörper im Falle g = 1 das Äquivalent zu der Tatsache, daß im klassischen Falle der Periodenquotient \frac{ω_{2}}{ω_{1}} von Null verschiedenen Imaginärteil hat. Für g > 1 ist die Verallgemeinerung dazu im klassischen Falle, daß für die Periodenmatrix (W_{1}, W_{2}) der Quotient W_{1}^{−1}W_{2} eine Matrix ist, deren Imaginärteil eine definite quadr. Form hat. Das Äquivalent hierzu ist die Riemannsche Vermutung für Kongruenzfunktionenkörper im Falle g > 1. Das zum Beweis noch zu leistende Kunststück besteht darin, für diese Tatsache im klassischen Falle eine rein algebraische Deutung zu geben.

VI. Der Satz von M. Deuring.

Ist k ein imaginär–quadratischer Zahlkörper und ω_{1}, ω_{2} eine Basis der ganzen Zahlen (oder eines Ideals) von k, so entsteht aus k durch Adjunktion von j(ω_{1}, ω_{2}) bekanntlich der absolute Klassenkörper K von k.

Deuring hat diesem 1. Hauptsatz der komplexen Multiplikation durch seine rein–algebraische Theorie des Multiplikatorenrings eine neue Beleuchtung und gleichzeitig einen rein–algebraischen Beweis gegeben. In derselben Weise hat er auch den 2. Hauptsatz der komplexen Multiplikation, der die Strahlklassenkörper betrifft, rein algebraisch bewiesen. Seine Methode besteht in der Herstellung eines Zusammenhangs zwischen dem Multiplikatorenring von K bei endlich–algebraischem Konstantenkörper Ω und dem Multiplikatorenring eines Kongruenzfunktionenkörpers K_{℘} der sich durch Übergang zu einem Restklassenkörper Ω_{℘} nach einem Primideal ℘ von Ω ergibt.

Deuring besitzt ferner Ansätze zur Verallgemeinerung dieser Beweise auf beliebiges Geschlecht g ≧ 1. Die Durchführung zielt hier auf die Lösung des Hilbertschen Problems der Klassenkörperkonstruktion durch automorphe Funktionen ab. Dabei werden aber diese automorphen Funktionen rein algebraisch gefaßt. Deuring hofft so die Schwierigkeiten zu überwinden, die sich bisher der Lösung dieses Problems auf analytischem Wege entgegengestellt haben.

Deurings Ergebnisse sind insofern noch unvollständig, als sie von einem gegebenen Funktionenkörper und seinem Multiplikatorenring ausgehen. Es entsteht die sehr tiefliegende Frage, welche Ringe M als Multiplikatorenringe auftreten, also die Frage der Existenz eines algebraischen Funktionenkörpers zu vorgegebenem Multiplikatorenring.

Schluß.

Der hauptsächliche Zweck dieses Vortrages war, einmal die verschiedenen mehr oder weniger kurz berührten Sätze und Fragestellungen in einem einheitlichen Rahmen auszusprechen und gegenüberzustellen. Wie schon in der Einleitung gesagt, ist es meine Überzeugung, daß diese und manche andere hier nicht berührten Gedankengänge im Laufe der nächsten Zukunft immer mehr zu einem einheitlichen von organischen Sätzen beherrschten Gebiet der Zahlentheorie verschmelzen werden. Ich glaube, daß es für den Forscher gut ist, sich gelegentlich einmal auf die Zusammenhänge im Großen seines Arbeitsgebiets zu besinnen, und sich nicht völlig in die Einzelarbeit im Kleinen zu verlieren. Sonst wird ihm schnell der Boden unter den Füßen verschwinden, und er wird den Kontakt mit der Welt des Wirklichen und Greifbaren in seinem Gebiet verlieren.

\underline{HU Berlin 1953} 222

1.20 HU Berlin 1953

(Vortrag 1. Math. Inst. Humboldt Univ. Berlin) 3. März 1953

Riemannsche Vermutung in Kongruenzfunktionenkörpern. (Nach P. Roquette) I. Arithmetische Formulierung.

Ω_{1} endlicher Körper von q Elementen K_{1}/Ω_{1} algebr. Funktionenkörper über Ω_{1} als Konstantenkörper, Erzeugung f(t, u) = 0, abs. irr. über Ω_{1} Geschlecht g.

ζ_{K_{1}}(s) = ∑_{𝔤 ganz} \frac{1}{𝔑(𝔤)^{s}} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{N_{n}}{q^{ns}} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{N_{n}}{z^{n}} = Z_{K_{1}}(z) (q^{s} = z)

wo N_{n} = Anzahl der gz. Div. n–ten Grades von K_{1}/Ω_{1}, speziell N_{1} = Anzahl der Primdiv. 1–ten Grades von K_{1}/Ω_{1}

Speziell für g = 0, also K_{1} = P_{1} = Ω_{1}(t) ist N_{n} = \frac{q^{n+1}−1}{q−1} , und daher

ζ_{P_{1}}(s) = \frac{1}{1 − \frac{1}{q^{s}}} \frac{1}{1 − \frac{q}{q^{s}}} = \frac{1}{1 − \frac{1}{z}} \frac{1}{1 − \frac{q}{z}} = Z_{P_{1}}(z)

Nach R. R. Satz erkennt man

ℓ_{K_{1}}(s) = \frac{ζ_{K_{1}}(s)}{ζ_{P_{1}}(s)} = 1 + \frac{N_{1} − (q + 1)}{z} + ⋯ + \frac{q^{g}}{z^{2g}} = L_{K_{1}}(z),

also

z^{2g}L_{K_{1}}(z) normiertes Polynom in z = q^{s} vom Grad 2g

mit

\underline{HU Berlin 1953} 223

Nullstellensumme = (q + 1) − N_{1} = = Fehlerglied der Anzahl N_{1} gegen Mittelwert q + 1 Riem. Verm. besagt (im Falle g ≧ 1) für die 2g Nullstellen:

ℜ(s) = \frac{1}{2} ⟷ |q^{s}| = q^{\frac{1}{2}} ,

also Fehlerabschätzung

|(q + 1) − N_{1}| ≦ 2g q^{\frac{1}{2}} .

Ähnlich wie bei gew. Riem. Verm. und Primzahlsatz ist auch hier diese Fehlerabschätzung äquivalent mit Riem. Vermutung, wenn man sie für alle endl. Körper Ω_{1} hat. Bei Übergang zu endl. Konst. Erw. K_{r}/Ω_{r} vom Grade r gilt nämlich:

Z_{K_{r}}(z^{r}) = ∏_{ζ^{r}=1} Z_{K_{1}}(ζz)
L_{K_{r}}(z^{r}) = ∏_{ζ^{r}=1} L_{K_{1}}(ζz)

Nullstellen in z^{r} = q^{rs} von z^{2gr}L_{K_{r}}(z^{r}) = r–te Potenzen der
Nullstellen in z = q^{s} von z^{2g}L_{K_{1}}(z).
Nullstellensumme = (q^{r} + 1) − N_{1}^{(r)}

Weiß man

|(q^{r} + 1) − N_{1}^{(r)}| ≦ 2g q^{\frac{r}{2}}

für alle r, so folgt Riem. Verm. für die Nullstellen von z^{2g}L_{K_{1}}(z).

II. Hilfsmittel zum Roquetteschen Beweis.

Betrachte algebr. abgeschl. Konstantenerweiterung K/Ω von K_{1}/Ω_{1}. Jeder Primdivisor n–ten Grades 𝔬_{1} von K_{1}/Ω_{1} zerfällt in n verschiedene Primdivisoren 1–ten Grades von K/Ω (sogar schon von K_{n}/Ω_{n}). Primdivisoren 1. Grades 𝔬_{1} von K_{1}/Ω_{1} sind dadurch gekennzeichnet, daß sie in K/Ω unzerlegt bleiben. Dies äußert sich in ihrem Restklassenkörper dadurch, daß die 𝔬_{1}–ganzen Elemente aus K_{1} Reste in Ω_{1} haben.

Bilde den Doppelkörper (zunächst mit irgendzwei K/Ω, K′/Ω)

Δ = K × K′ = Ω(t, u; t′, u′) mit \{ \begin{matrix}f(t, u) = 0 \\ f′(t′, u′) = 0 \end{matrix} \}

(t′, u′) von (t, u) algebr. unabh.

Primdivisoren von Δ/Ω entstehen aus den Primpolynomen des rationalen Doppelkörpers

Δ_{0} = P × P′ = Ω(t, t′)

durch Bew. Forts. bei endl. algebr. Erw. Entsprechend den drei Primpolynomsorten

p(t), p(t′), p(t, t′)(binär)

gibt es drei Primdivisorsorten

𝔭 schon von K/Ω, 𝔭′ schon von K′/Ω, 𝔪 binär.

Binäre Primdiv. 𝔪 entsprechen umkehrbar eindeutig den durch Restklassenbildung mod 𝔪 gelieferten Isomorphismenpaaren μ, μ′ von K/Ω, K′/Ω nach folgendem Schema:

[figure: Δ; Δ𝔪; K′; K′μ′; K; Kμ; mod 𝔪; μ′; μ; gr_{Δ/K′}(𝔪) = [Δ𝔪 : Kμ] ,; gr_{Δ/K}(𝔪) = [Δ𝔪 : K′μ′] .]

Dabei μ, μ′ nur bis auf willk. ([…]) Isomorphismen der gew. alg. Fkt. Kp. Δ𝔪/Ω bestimmt. Man kann normieren:

μ′ = 1, K′μ′ = K′.

Dann die μ als Isom. von K/Ω in endl. alg. Erw. von K′ bestimmt, wobei es auf die Unterscheidung K′–konj. μ, d. h. K′–konj. Bildkörper Kμ nicht ankommt.

Formale Zusammensetzung der Primdivisoren liefert die volle Divisorengruppe von Δ/Ω.

Darin Klassenbildung nach

\{ \begin{matrix}Hauptdivisoren (gew. Klassen) \\ Hauptdiv. u. Div. von K/Ω, K′/Ω (gröbere Kl.) \end{matrix} \} .

Bei letzteren kokmmt es nur auf den linearen Bestandteil an. Schreibweise der Divisoren additiv.

Roquette definiert nun für je zwei zueinander prime Divisoren 𝔞, 𝔟 von Δ/Ω ein

Restprodukt ⟨𝔞, 𝔟⟩ = ⟨𝔞, 𝔟⟩_{K} + ⟨𝔞, 𝔟⟩_{K′}

als direkte Summe zweier Divisoren von K/Ω, K′/Ω mit folgenden Eigenschaften:

⟨𝔞, 𝔟⟩ bilinear in 𝔞, 𝔟,
⟨𝔞, 𝔟⟩ symmetrisch in 𝔞, 𝔟,
⟨𝔞, 𝔟⟩ klasseninvariant für gew. Div. Klassen,
gr ⟨𝔞, 𝔟⟩ = gr_{K/Ω} ⟨𝔞, 𝔟⟩_{K} = gr_{K′/Ω} ⟨𝔞, 𝔟⟩_{K′}

Die Definition stützt sich auf eine Theorie der Divisorrestbildung:

𝔞𝔫 = Divisor von Δ𝔫/Ω, der durch lokale g. g. T. –Bildung aus den Resten a𝔫 für die Elemente a eines lokalen Vielfachenideals zu 𝔞 erhalten wird.

Man setzt dann (für binäre Primdivisoren 𝔫):

⟨𝔞, 𝔫⟩ = N_{Δ𝔫/Kν}(𝔞𝔫)ν^{−1} + N_{Δ𝔫/K′ν′}(𝔞𝔫)ν′^{−1}
= ⟨𝔞, 𝔫⟩_{K} + ⟨𝔞, 𝔫⟩_{K′}

und in den ausgearteten Fällen sinngemäß.

Die Symmetrie des Restprodukts beruht auf einer anderen Darstellung, die auch als Definition genommen werden kann. Für zwei verschiedene binäre Primdivisoren 𝔪, 𝔫 ist nämlich bei K–Normierung:

𝔪𝔫 = ∑_{μ} 𝔇_{μ,ν}

⟨𝔪, 𝔫⟩_{K′} = ℜ_{\underline{μ},\underline{ν}} = ∑_{μ,ν} 𝔇_{μ,ν} ,

wo \underline{μ}, \underline{ν} die vollen Systeme K′–konj. Isom. μ, ν zu 𝔪, 𝔫 durchlaufen und 𝔇_{μ,ν} die Differente des Isomorphismenpaares μ, ν bedeutet, letztere nach dem Schema der gewöhnlichen lokalen Differententheorie definiert; ℜ_{\underline{μ},\underline{ν}} dann die Resultante der Is. Systeme \underline{μ}, \underline{ν}.

Die Klasseninvarianz des Restprodukts erlaubt es, für die gewöhnlichen Divisorenklassen A, B von Δ/Ω einschränkungslos ein Klassenrestprodukt

⟨A, B⟩ = ⟨A, B⟩_{K} + ⟨A, B⟩_{K′}

zu definieren, als direkte Summe zweier Klassen von K/Ω, K′/Ω. Insbesondere findet sich dabei für eine Klasse M, die einem binären Primdivisor 𝔪 vom K′–Grad 1 entspringt, die Formel

⟨M, M⟩ = − ⟨W, M⟩ = −gr_{Δ/K}(𝔪)W − W μ,

wo W die Diff. Klasse von K/Ω (als solche von Δ/K′).

Aus diesem Klassenrestprodukt entspringt eine invariante ganzrationalwertige Metrik

gr ⟨A, B⟩ = gr_{K/Ω} ⟨A, B⟩_{K} = gr_{K/Ω} ⟨A, B⟩_{K′}

in der gew. Div. Klassengruppe von Δ/Ω, wobei kurz

Metrik = bilineare, symmetr. Zahlfunktion.

Grob gesagt handelt es sich um die Metrik aus den Schnittpunktzahlen der durch die Divisoren 𝔞, 𝔟 definierten Kurven auf der durch den Doppelkörper Δ = K × K′ definierten zylindrischen Fläche des vierdimensionalen Raums, genauer Schnittpunktszahlen der Kurvenklassen, so daß auch Schnittpunkte einer Kurve mit sich selbst (Doppelpunkte!) vernünftig definiert.

Dieser nichttrivialen Metrik steht eine triviale Metrik zur Seite, nämlich

gr{A, B} = gr_{Δ/K}(A)gr_{Δ/K′}(B) + gr_{Δ/K′}(A)gr_{Δ/K}(B).

Im Falle eines rationalen Doppelkörpers stimmen die beiden Metriken überein. Im nicht–rationalen Falle ist die von A. Weil eingeführte Differenzmetrik

δ(A, B) = gr{A, B} − gr ⟨A, B⟩

von grundlegender Bedeutung. Sie mißt, um wieviel geringer (oder größer) die Schnittpunktzahl im algebraischen Falle gegenüber dem rationalen Fall ist, ähnlich wie das Geschlecht angibt, um wieviel geringer die wahre Doppelpunktanzahl gegenüber der dem Grade nach zu erwartende Doppelpunktanzahl ist.

Diese Metrik ist klasseninvariant im gröberen Sinne.

Durch eine auf den R. R. Satz gestützte genaue Abschätzung des Grades der Diskriminante

𝔡\underline{μ} = ∑_{μ≠μ′} 𝔇_{μ,μ′}

für ein volles Isomorphismensystem \underline{μ} von K/Ω in \overline{K}′/Ω zu einem Primdivisor 𝔪 oder allg. ganzen Divisor 𝔞 von Δ/Ω beweist nun Roquette die grundlegende Tatsache, daß die Weilsche Metrik positiv–definit ist:

δ(A, A) > 0 für A ≉ 0.

III. Skizze des Roquetteschen Beweises.

Jetzt wird K′/Ω als zweites, algebr. unabh. Exemplar von K/Ω angenommen. Dann hat man also einen

Isom. ε von K/Ω auf K′/Ω, def. durch (t, u)ε = (t′, u′).

Er definiert Primdivisor 𝔢 von Δ/Ω nach dem Schema:

[figure: Δ𝔢 = Kε = K′; K′; K; Δ; ε; 1; mod 𝔢]

mit

gr_{Δ/K}(𝔢) = 1, gr_{Δ/K′}(𝔢) = 1, gr{E, E} = 2
⟨E, E⟩ = −W − W ε,  gr ⟨E, E⟩ = −2g + 2
δ(E, E) = 2g

Ferner besitzt K/Ω einen Isomorphismus π in sich, def. durch

Kπ = K^{q}, explizit (t, u)π = (t^{q}, u^{q}).

Dann

Kπε = K′^{q}, explizit (t, u)πε = (t′^{q}, u′^{q})

ein Isom. πε von K/Ω in K′/Ω. Er definiert Primdivisor 𝔭 von Δ/Ω nach dem Schema:

[figure: Δ; K; K′; Δ𝔭 = K′; Kπε; K′_{1}; K′_{1}^{q}; mod 𝔭; πε; 1; q; q]

mit

gr_{Δ/K}(𝔭) = q, gr_{Δ/K′}(𝔭) = 1, gr{P, P } = 2q
⟨P, P ⟩ = −gr_{Δ/K}(𝔭)W − W πε, gr ⟨P, P ⟩ = −q(2g − 2)
δ(P, P) = 2qg

Es interessiert dann noch das Restprodukt ⟨𝔢, 𝔭⟩ = ⟨E, P ⟩. Da beide 𝔢, 𝔭 vom Grad 1 über K′, ist einfach die Komp.

⟨𝔢, 𝔭⟩_{K′} = 𝔇_{ε,πε} = 𝔇_{1,π}ε.

Nun

𝔬 | 𝔇_{1,π} ⟷ a ≡ aπ mod 𝔬 für alle 𝔬–ganzen a aus K
d. h. a_{1} ≡ a_{1}^{q} mod 𝔬 für alle 𝔬–ganzen a_{1} aus K_{1}
d. h. Restkl. Kp. mod 𝔬 von K_{1}/Ω fällt mit Ω zusammen
d. h. 𝔬 = 𝔬_{1} Primdiv. ersten Grades von K_{1}/Ω

(wie sie für Riem. Verm. in N_{1} zu zählen).

Genauer für einen solchen die a_{1} − a_{1}π = a_{1} − a_{1}^{q} gemeinsam nur einfach durch 𝔬 teilbar, also

𝔇_{1,π} = ∑_{𝔬_{1}}𝔬_{1} , gr_{K/Ω}(𝔇_{1,π}) = N_{1}.

Damit

gr{𝔬, 𝔭} = q + 1
gr ⟨𝔬, 𝔭⟩ = N_{1}
δ(E, P) = q + 1 − N_{1}
= abzuschätzendes Fehlerglied.

\underline{HU Berlin 1953} 229

Nun wird Hauptsatz über die Weilsche Metrik ausgenutzt. Bei einer pos. def. Metrik δ(A, B) (sogar schon bei pos. semidef.) gilt:

G(m, n) = δ(mA + nB, mA + nB) ≧ 0 für alle ganzen m, n, also Schwarzsche Ungleichung

|\begin{matrix}δ(A, A) & δ(A, B) \\ δ(A, B) & δ(B, B) \end{matrix}| ≧ 0.

Hier

\begin{aligned}0 ≦ |\begin{matrix}δ(E, E) & δ(E, P) \\ δ(E, P) & δ(P, P) \end{matrix}| = & |\begin{matrix}2g & (q + 1) − N_{1} \\ (q + 1) − N_{1} & 2qg \end{matrix}| \\ & = (2g)^{2}q − ((q + 1) − N_{1})^{2}, \end{aligned}

w. z. b. w.

\underline{Akad. Berlin 1953} 230

1.21 Akad. Berlin 1953

5. März 1953

Riemannsche Vermutung für Funktionenkörper.

Vortrag Deutsche Akad. d. Wiss. Berlin

1. Gewöhnliche Riemannsche Vermutung.

Verteilung der Primzahlen in der Folge der natürlichen Zahlen.

Gauss: Vermutete auf Grund experimenteller Auszählung, daß Dichte der Primzahlen in der Umgebung einer Stelle x (d. h. auf Intervall der Länge 1 bezogenen Anzahl) ungefähr \frac{1}{log x} ist, und daher Gesamtanzahl der Primzahlen unter x ungefähr

π(x) ∼ ∫_{0}^{x} \frac{dx}{log x} = Li(x) (Integrallogarithmus).

Hadamard–de Vallée Poussin: Bewiesen das strenge, und zwar in dem Sinne, daß

lim_{x→∞} \frac{π(x)}{Li(x)} = 1.

Blieb die Frage, wie genau die Annäherung von Li(x) an π(x) ist, d. h. wie groß der Fehler

π(x) − Li(x)

höchstens werden kann.

Riemann: Hatte schon vorher gezeigt, daß dies Problem aufs Engste mit den Nullstellen der Zetafunktion

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} = ∏_{p} \frac{1}{1 − \frac{1}{p^{s}}}

als Funktion der komplexen Variablen s zusammenhängt. Seine Vermutung war, daß diese Nullstellen (von trivialen negativen abgesehen) alle auf der Geraden

s = \frac{1}{2} + it

liegen. Diese berühmte Riemannsche Vermutung hat bisher allen Beweisversuchen getrotzt. Ist wohl das schwerste unter den zahlreichen noch ungelösten Problemen der modernen Mathematik.

Man weiß aber heute, daß die Riemannsche Vermutung völlig äquivalent ist mit der folgenden genauen Abschätzung des obigen „Fehlers“ bei der Primzahlverteilung

|π(x) − Li(x)| ≦ c\sqrt{x} log x, kurz 𝒪(\sqrt{x} log x)

Das ist genau die Größenordnung des Fehlers, die man nach dem „Gesetz der großen Zahlen“ aus der Statistik zu erwarten hat, wenn die Verteilung der Primzahlen eine völlig regellose, zufällige ist.

So ist die Riemannsche Vermutung mit dem statistischen Problem äquivalent, die völlige Regellosigkeit der Verteilung der Primzahlen streng nachzuweisen.

2. Riemannsche Vermutung in Funktionenkörpern.

Nun gibt es andere zahlentheoretische Probleme, die ebenfalls von solcher statistischer Natur sind, und die etwas leichter angreifbar erscheinen.

Ich will hier über ein solches Problem sprechen, das in ganz analoger Weise mit einer Zetafunktion und Riemannschen Vermutung verknüpft ist, und bei dem man in der letzten Zeit die vollständige Lösung gefunden hat.

Gegeben sei eine ganzzahlige algebraische Gleichung

f(x, y) = 0

in zwei Variablen x, y. Genauer: es sei f(x, y) ein Polynom, das aus Gliedern der Gestalt

a_{μν}x^{μ}y^{ν} (μ = 0, …, m; ν = 0, …, n)

aufgebaut ist, und dabei seien die Koeffizienten a_{μν} ganze rationale Zahlen.

Ferner sei irgendeine Primzahl p gegeben. Man rechne nun nicht mit der gewöhnlichen Gleichheit f(x, y) = 0, sondern mit der Kongruenz mod p, d. h. der Gleichheit der Reste bei der Division durch p, also etwa für p = 2 mit den beiden Resten 0, 1 als Repräsentanten der Alternative gerade–ungerade:

f(x, y) ≡ 0 mod p.

Dann kann man die Variablen x, y auf die je p Werte 0, 1, …, p−1 beschränken.

Man interessiert sich dann für die Anzahl N der Lösungen dieser Kongruenz mod p.

Man setzt dabei zweckmäßig voraus, daß das Polynom f(x, y) irreduzibel ist, d. h. nicht in „kleinere“ Polynome aufgespalten werden kann. Seine „Schwierigkeitsstufe“ wird dann durch eine bestimmte ganze Zahl g gemessen, die man das Geschlecht des Polynoms nennt, und die sich grob gesagt aus der Anzahl der Doppelpunkte der Kurve f(x, y) = 0 bestimmt.

Ferner ist es zweckmäßig auch die in bestimmter Weise (projektive Geometrie) definierten unendlichen Lösungen mitzuzählen, also für die Variablen x, y auch noch das Symbol ∞ zuzulassen.

Jede der Variablen x, y durchläuft dann p + 1 Werte 0, 1, …, p − 1, ∞. Die geforderte Kongruenz

f(x, y) ≡ 0 mod p

legt aber durchschnittlich zu jedem Wert von x einen Wert von y fest, genauer natürlich für manche x kein y, dafür für andere x mehrere y. Roh geschätzt hat man daher p + 1 Lösungen zu erwarten. Die genaue Lösungsanzahl N wird davon abweichen, und die Frage ist, wie groß dieser Fehler

N − (p + 1)

sein kann.

Man kann sich nun, wie gesagt, auch zu diesem Problem eine Zetafunktion konstruieren und zeigen, daß ein ganz entsprechender Zusammenhang zwischen der Größe des genannten Fehlers und der Lage der Nullstellen dieser Zetafunktion besteht, wie im Falle der Primzahlverteilung und der gewöhnlichen Riemannschen Vermutung. Dieses Analogon zur Riemannschen Vermutung ist völlig äquivalent mit der Fehlerabschätzung

|N − (p + 1)| ≦ 2g\sqrt{p}.

Denkt man sich ein u. dasselbe Polynom f(x, y) nacheinander für alle unendlich vielen Primzahlen p betrachtet, so ist das wieder eine Fehlerabschätzung von der Größenordnung 𝒪(\sqrt{p}), wie sie nach dem statistischen Gesetz der großen Zahlen zu erwarten ist, wenn die Verteilung der Lösungen eine völlig regellose, zufällige ist.

3. Methoden zum Beweis der Riemannschen Vermutung.

Dies Problem wurde zuerst von Artin 1921 in seiner Dissertation aufgeworfen, dort allerdings nur im einfachsten (nichttrivialen) Spezialfall des Geschlechtes g = 1, dann einige Jahre später allgemein von F. K. Schmidt. In dem Artinschen Spezialfall g = 1 gelang mir 1934 die Lösung mittels der Theorie der elliptischen Funktionen.

Während des Krieges fand A. Weil die Lösung für den allgemeinen Fall. Diese hat er nach dem Kriege in einer großen Abhandlung publiziert. Sie stützt sich auf die von ihm entwickelte neue Begründung der algebraischen Geometrie in abstrakten Körpern, die er kurz zuvor in einem noch umfangreicheren Buch publiziert hatte.

Ganz abgesehen davon, daß der A. Weilsche Weg zu dem grundlegenden Resultat sehr lang und mühevoll ist, ist auch die benutzte Methodik vom Standpunkt des Arithmetikers aus dem Problem nicht recht angemessen, und überdies genügt sein Beweis nicht den Ansprüchen an Finitheit und Konstruktivität der einzelnen Definitionen und Beweisschritte, die sich in der modernen Arithmetik im Anschluß an Kronecker immer mehr durchsetzen.

So habe ich 1949 meinem Schüler Roquette die Anregung gegeben, einen kürzeren, eleganteren und den genannten methodischen Ansprüchen genügenden Beweis aufzufinden, und diese Aufgabe hat er dann 1951 in seiner Hamburger Dissertation in ausgezeichneter Weise gelöst.

Ich will hier nur noch ein paar Worte über die von ihm geschaffene und benutzte Methode sagen, deren Bedeutung weit über das zum Ausgang genommene Problem hinausreicht.

Man betrachtet zwei Exemplare der gegebenen Kurve:

f(x, y) = 0 , f(x′, y′) = 0

in zwei getrennten Koordinatenebenen (x, y) und (x′, y′). Diese beiden Koordinatenebenen bestimmen zusammen einen vierdimensionalen Raum (x, y, x′, y′), und die beiden Kurven bestimmen in diesem vierdimensionalen Raum eine zweidimensionale, zylindrische Fläche. Die Aufgabe erweist sich dann äquivalent mit einer Aussage über die Schnittpunktzahlen von Kurven A, B dieser zylindrischen Fläche, nämlich damit, zunächst einmal diese Schnittpunktzahlen präzise zu definieren, unter Berücksichtigung aller Komplikationen, die durch mehrfache Punkte der Kurven auftreten können, und dann zu zeigen, daß die Schnittpunktzahlen (A, B) eine positiv–definite Metrik im System der Kurvenscharen auf der Fläche festlegen.

Da es sich um eine Fläche im vierdimensionalen Raum handelt, versagt die Anschauung völlig. Man kann sich aber in folgender Weise doch ein anschauliches Bild machen, das die wesentlichen Züge der Situation darstellt.

Als Kurve nehme man etwa den Kreis

x^{2} + y^{2} − r^{2} = 0.

Man denke sich diese zweidimensionale Kurve künstlich eindimensional gemacht, indem man sie auf einer Geraden abrollen läßt. Dann erhält man eine Strecke

[figure: t]

bei der Anfangs– und Endpunkt zu identifizieren sind. Den anderen Kreis

x′^{2} + y′^{2} − r^{2} = 0

denke man dann auf einer zu der ersten senkrechten Geraden abgerollt:

An die Stelle der Fläche im vierdimensionalen Raum tritt dann eine nur zweidimensionale Quadratfläche, deren Punkte (t, t′) den Paaren von Punkten t und t′ der beiden Kreise genau entsprechen. Dabei sind jeweils die gegenüberliegenden Begrenzungsgeraden des Quadrats zu identifizieren, d. h. wenn man in dem Quadrat spazieren geht und an den Rand kommt, soll man seinen Weg im gegenüberliegenden Randpunkt fortsetzen:

[figure: 2; 1; 3]

Darstellung einer geschlossenen Kurve auf der Fläche.

Man denke sich nun die beiden Kreise etwa durch die Stellungen der beiden Zeiger einer Uhr realisiert:

Sind beide Zeiger frei beweglich, so erhält man als Bilder ihrer möglichen Stellungen alle Punkte des Quadrats. In Wirklichkeit aber sind die beiden Zeiger so gekoppelt, daß der große 12– mal so schnell läuft wie der kleine. Das Bild des Laufens der Uhr gibt demnach die folgende Kurve auf der Fläche:

[figure: 60; 45; 30; 15; 3; 6; 9; 12; 0]

Das sind die wirklichen Zeigerstellungen bei einer Uhr.

Eine andere Kurve wird etwa definiert durch zwei gleichschnell laufende Zeiger. Sie läuft diagonal durch das Quadrat.

Beide Kurven schneiden sich in genau 11 Punkten. Es sind das diejenigen Zeigerstellungen, bei denen sich die beiden Zeiger decken.

Dies ist eine anschauliche Darstellung der Schnittpunkte zweier Kurven auf der zylindrischen Fläche im vierdimensionalen Raum, die durch zwei Kreise erzeugt wird.

Roquette hat nun gezeigt, wie man ganz allgemein bei einer beliebigen algebraischen Kurve f(x, y) = 0 eine präzise Behandlung der Schnittpunktzahlen von irgendwelchen Kurven A, B auf der zylindrischen Fläche erreichen kann. Durch den Nachweis, daß die durch diese Schnittpunktzahlen (A, B) gelieferte Metrik positiv–definit ist, hat er den obigen arithmetischen Satz über die Lösungszahlen von Kongruenzen

f(x, y) ≡ 0 mod p

auf eine sehr elegante und durchsichtige Art erneut bewiesen und durch diese Beweismethode den Grundstein zu vielen interessanten weiteren Anwendungen auf arithmetische und algebraische Probleme gelegt.

\underline{Bonn 1953} 237

1.22 Bonn 1953

Zetafunktion und L–Funktionen eines arithmetischen Funktionenkörpers vom Fermatschen Typus.

Vortrag Bonn, 3. 7. 1953.

§1. Arithmetische Funktionenkörper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 2^{▶}
§2. Primdivisoren, Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 6^{▶}
§3. Die Zetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 13^{▶}
§4. Arithmetische Funktionenkörper vom Fermatschen Typus S. 18^{▶}

§1. Arithmetische Funktionenkörper.

Es gibt zwei Klassen von Körpern, in denen sich eine Arithmetik entwickeln läßt, die weitgehend zur Arithmetik im rationalen Zahlkörper P analog ist, nämlich:

A. Die algebraischen Zahlkörper, d. h. die endlich–algebraischen Erweiterungskörper K/P des rationalen Zahlkörpers P.

B. Die Kongruenzfunktionenkörper, d. h. die endlich–algebraischen Erweiterungskörper K/Ω(t) des rationalen Funktionenkörpers Ω(t) einer Unbestimmten t über einem endlichen Körper Ω.

Der Aufbau der Arithmetik in diesen beiden Körperklassen erfolgt, wenn man die Analogie hervortreten lassen will, auf der Grundlage der Bewertungstheorie. Die Arithmetik fußt wesentlich auf den folgenden Endlichkeitseigenschaften des vollständigen Systems nicht–archimedischer Bewertungen von K bzw. von K/Ω:

I. Die Bewertungen w_{𝔭} sind sämtlich diskret; Primdivisoren 𝔭 von K bzw. K/Ω zugeordnet.

II. Für jedes Element a ≠ 0 aus K sind nur endlich viele Werte w_{𝔭}(a) ≠ 0; in a stecken nur endlich viele 𝔭.

III. Die Restklassenkörper K_{𝔭} sind endlich.

Hat ein Körper K/P bzw. ein nicht–algebraischer Körper K/Ω diese Eigenschaften, so ist er ein algebraischer Zahlkörper bzw. ein Kongruenzfunktionenkörper.

Siehe zu alledem meine „Zahlentheorie“ §20.

In Körpern, die nicht einer dieser beiden Klassen angehören, hat man daher, wenn sich überhaupt eine Arithmetik auf bewertungstheoretischer Grundlage aufbauen läßt, Abweichungen in den Gesetzlichkeiten über

Primdivisorzerlegung, Ganzheit, Einheiten, Kongruenzen

zu erwarten.

Nun werden in den beiden hervorgehobenen, arithmetisch einfachsten Klassen von Körpern K die nicht–archimedischen Bewertungen w_{𝔭}, oder also die ihnen zugeordneten Primdivisoren 𝔭, nach folgendem Schema erhalten. Man geht aus von dem Teilkörper

P  Ω(t)

In ihm entsprechen die Bewertungen w_{𝔭} eineindeutig den

Primzahlen p  Primpolynomen p = p(t).

Für die endlich–algebraische Erweiterung

K/P  K/Ω(t)

entwickelt man dann eine Fortsetzungstheorie der Bewertungen, oder also eine Zerlegungstheorie der Primdivisoren. So erhält man dann jedem p zugeordnet endlich viele w_{𝔭}, 𝔭 mit bestimmten Verzweigungsordnungen und Restklassengraden.

Als nächst einfachere Klasse von Körpern bietet sich eine solche dar, bei der Primdivisoren jedes dieser beiden Typen

𝔭 zu Primzahl p 𝔭 zu Primpolynom p(t)

vorkommen. Grundtypus einer solchen Körperklasse ist der Körper

R = P(t) der rationalen Funktionen einer Unbestimmten t über dem rationalen Zahlkörper.

In ihm hat man eindeutige Primelementzerlegung mit den Primelementen

Primzahlen p ganzzahlige primitive Primpolynome P (t)

und den zugeordneten Restklassenkörpern

R_{p} = P_{p}(t)  R_{P} = P(ω) mit P (ω) = 0

(einfachster Kongruenz– (allgemeinster algebraischer Funktionenkörper)

Zahlkörper)

Durch endlich–algebraische Erweiterung erhält man hieraus die Klasse der Körper

K endlich–algebraischer Erweiterungskörper von R = P(t),

oder also

K = P(t, u) mit irreduzibler Gleichung F (t, u) = 0 über P,

d. h. der algebraischen Funktionenkörper einer Unbestimmten mit dem rationalen Zahlkörper als Koeffizientenkörper. Diese Körper K seien arithmetische Funktionenkörper genannt.

Die vorgenommene endlich–algebraische Erweiterung zerfällt im allgemeinen in einen ersten Schritt, der nur P zu einem bestimmten algebraischen Zahlkörper K erweitert (Grundgleichung von t unabhängig) und einen zweiten Schritt, bei dem keine weiteren absolut–algebraischen Elemente hinzukommen (Grundgleichung in t, u absolut–irreduzibel). Man nennt dann K den Konstantenkörper von K und schreibt die Erzeugung in der Form:

K endlich–algebraischer Erweiterungskörper von R = K(t) mit genauem Konstantenkörper K,

oder also

K = K(t, u) mit absolut–irreduzibler Grundgleichung F (t, u) = 0 über K,

d. h.

K/K algebraischer Funktionenkörper einer Unbestimmten mit einem algebraischen Zahlkörper K als Konstantenkörper.

Die Arithmetik in einem solchen arithmetischen Funktionenkörper K wird dadurch bestimmt, daß man sowohl im Konstantenkörper K einen Ganzheitsbegriff hat, nämlich den der ganzen algebraischen Zahl, als auch im Funktionenkörper K/K, nämlich den der Ganzheit in der Unbestimmten t. Letzterer liegt allerdings erst nach Auszeichnung einer Unbestimmten t fest, ist also nicht birational–invariant; die Bewertungstheorie ermöglicht aber einen birational–äquivalenten Aufbau der Arithmetik von K/K (Hinzunahme von \frac{1}{t} zu den P (t)).

Die Schwierigkeiten für den Aufbau einer Arithmetik von K selbst liegen darin, daß diese bekannte Arithmetik von K/K mit der Arithmetik von K kombiniert werden soll. Was das bedeutet, kann man sich am besten klarmachen, indem man den algebraischen Konstantenkörper K mit seiner aus den Primzahlen p entspringenden Arithmetik durch einen algebraischen Funktionenkörper K/Ω einer Unbestimmten x mit seiner aus den Primpolynomen p(x) über Ω(x) entspringenden Arithmetik ersetzt denkt. Man hat dann einen Körper vom Typus:

K endlich–algebraischer Erweiterungskörper des rationalen Funktionenkörpers Ω(x, t) von zwei unabhängigen Unbestimmten t, x über irgendeinem Körper Ω,

d. h. einen algebraischen Funktionenkörper K/Ω von zwei Unbestimmten. Man weiß, daß hier der geläufige bewertungstheoretische Aufbau der Arithmetik versagt, daß vielmehr viel kompliziertere arithmetische Verhältnisse vorliegen. Komplikationen der gleichen Art liegen auch bei den arithmetischen Funktionenkörpern K vor. Genau wie dort ist auch hier ein birational– invarianter Aufbau der Arithmetik in K bisher nicht möglich. Während für die Relativarithmetik von K/K keine Auszeichnung einer Unbestimmten t erforderlich ist, muß man eine solche Auszeichnung zugrundelegen, wenn man die Arithmetik von K selbst aufbauen will.

§2. Primdivisoren, Punkte.

1. Nach dem Vorbild der Arithmetik in algebraischen Zahlkörpern und Kongruenzfunktionenkörpern (allgemeiner auch der Relativarithmetik in algebraischen Funktionenkörpern K/K einer Unbestimmten mit beliebigem Konstantenkörper K) wird man für den Aufbau der Arithmetik in einem arithmetischen Funktionenkörper K zunächst nach den Primdivisoren von K fragen. Man erhält diese durch Betrachtung der nicht–archimedischen Bewertungen von K, und zwar der Bewertungen im gewöhnlichen Sinne, d. h. mit einer Wertgruppe aus reellen Zahlen.

Diese Bewertungen zerfallen in zwei Sorten, je nachdem der Konstantenkörper K identisch oder nicht–identisch bewertet wird.

Den Bewertungen der ersten Sorte, also denen von K/K, entsprechen die Primdivisoren 𝔓 der bekannten Relativarithmetik von K/K. Sie seien die algebraischen Primdivisoren von K genannt. Bei einem zweistufigen Aufbau^{1}

R = K(t) rein–transzendent, K/R endlich–algebraisch

entspringen diese algebraischen Primdivisoren 𝔓 aus den Primpolynomen P (t) (nebst \frac{1}{t}) über K durch Primzerlegung der zugeordneten Primdivisoren von R/K in K/R. Ihre Restklassenkörper K_{𝔓} sind endlich–algebraische Erweiterungen des Konstantenkörpers K, also algebraische Zahlkörper.

Den Bewertungen der zweiten Sorte entsprechen zunächst Primdivisoren 𝔭 von K, und es handelt sich um deren Fortsetzungen zunächst auf die rein–transzendente Erweiterung R/K, dann auf die endlich–algebraische Erweiterung K/K.

Für den ersten Schritt R/K stehen unendlich viele, schwer übersehbare Möglichkeiten zur Verfügung. Unter ihnen hebt sich aber, wenn man nicht nur den rationalen Teilkörper R = K(t), sondern schärfer dessen erzeugende Unbestimmte t auszeichnet, jeweils eine durch den Primdivisor 𝔭 von K eindeutig bestimmte Möglichkeit hervor, nämlich die Fortsetzung von 𝔭 als sogen. t–Funktionalprimdivisor von R:

𝔭–Potenz in Poly- nom F (t) über K = höchste 𝔭–Potenz in den Koeffizienten von F (t),

𝔭–Potenz in \frac{F (t)}{G(t)} = \frac{𝔭–Potenz in F (t)}{𝔭–Potenz in G(t)} ,
F (t) ganz für 𝔭 ⟷ Koeffizienten von F (t) ganz für 𝔭,
F (t) Einheit für 𝔭 ⟷ Koeffizienten von F (t) ganz und
teilerfrei für 𝔭 (F (t) primitiv für 𝔭),
F (t) ≡ G(t) mod 𝔭 ⟷ koeffizientenweise Kongruenz mod 𝔭.

Begrifflich sind diese t–Funktionalprimdivisoren 𝔭 von R unter allen möglichen Fortsetzungen auf R der Primdivisoren 𝔭 von K am einfachsten durch die Forderung gekennzeichnet, daß die Transzendenzeigenschaft der Unbestimmten t über K, nämlich

1, t, t^{2}, … sind linear–unabhängig über K,

1. Ob es sich im Folgenden um zwei verschiedene ‘R’ handelt, etwa R und R, ist optisch schwer zu entscheiden.

auch bei Übergang zu den Resten mod 𝔭 erhalten bleiben soll, also

1, t, t^{2}, … mod 𝔭 sind linear–unabhängig über K_{𝔭}.

Es ist dann also der Restklassenkörper

R_{𝔭} = K_{𝔭}(t)

der rationale Kongruenzfunktionenkörper in t über dem endlichen Restklassenkörper K_{𝔭}.

Für den zweiten Schritt K/R gilt die gewöhnliche Theorie der Primzerlegung. Sie liefert für jeden t–Funktionalprimdivisor 𝔭 von R eine Zerlegung in endlich viele t–Funktionalprimdivisoren 𝔭 von K, mit bestimmten Restklassengraden und Verzweigungsordnungen. Diese t–Funktionalprimdivisoren 𝔭 von K seien auch die arithmetischen Primdivisoren von K genannt. Ihre Restklassenkörper K_{𝔭} sind endlich–algebraische Erweiterungen der eben genannten rationalen Kongruenzfunktionenkörper R_{𝔭}, also wieder Kongruenzfunktionenkörper.

Schematisch zusammengestellt:

Arithm. Fkt. Kp. K \{ \begin{matrix}mod. algebr. Primdiv. 𝔓 → algebr. Zahlkp. K_{𝔓} über K \\ mod. arithm. Primdiv. 𝔭 → Kongr. Fkt. Kp. K_{𝔭} über K_{𝔭} \end{matrix} \}

Das so bei Auszeichnung einer Unbestimmten t festgelegte Primdivisorsystem 𝔓, 𝔭 von K besteht zwar nicht aus allen überhaupt vorhandenen Primdivisoren von K — die arithmetischen 𝔭 sind ja durch eine sehr einengende Auswahlvorschrift festgelegt — , reicht aber zu einer Beschreibung der arithmetischen Eigenschaften von K aus. Für den Grundtypus R = P(t) entspricht es genau den Primzahlen p und primitiven Primpolynomen P (t) über P, also den sämtlichen Primelementen der eindeutigen Primelementzerlegung, wobei zu den P (t) noch der \frac{1}{t} entsprechende Primdivisor hinzuzunehmen ist (Beseitigung der Auszeichnung von t für die algebraischen Primdivisoren!).

Eine der Grundaufgaben für den Aufbau der Arithmetik in K ist die Herleitung des genauen Zerlegungsgesetzes für die t–Funktionalprimdivisoren von R in solche von K. In dieser Richtung hat Deuring 1942 folgendes bewiesen. Fast alle 𝔭 von R bleiben in K unzerlegt und unverzweigt, d. h. erhöhen nur ihren Restklassenkörper von R_{𝔭} = K_{𝔭}(t) auf die endlich–algebraische Erweiterung K_{𝔭}/R_{𝔭}. Für fast alle 𝔭 ist ferner K_{𝔭} der genaue Konstantenkörper des Kongruenzfunktionenkörpers K_{𝔭}/K_{𝔭}, bleibt nämlich eine Erzeugung

K = K(t, u) mit absolut–irreduziblem F (t, u) = 0 über K auch mod 𝔭 absolut–irreduzibel über K_{𝔭}. Für fast alle 𝔭 bleibt schließlich das Geschlecht 𝔭 von K/K auch das Geschlecht g_{𝔭} des Kongruenzfunktionenkörpers K_{𝔭}/K_{𝔭}.

Für einen leistungsfähigen und voll befriedigenden Aufbau der Arithmetik in K wird man aber über die Feststellung hinaus, daß sich fast alle 𝔭 von R in diesem Sinne regulär verhalten, auch das genaue Verhalten der endlich vielen irregulären 𝔭 von R benötigen. Eine allgemeine Untersuchung über das Zerlegungsgesetz für die t–Funktionalprimdivisoren erscheint mir als eine lohnende Aufgabe.

2. Ebenso wie man in der Theorie der algebraischen Funktionenkörper von zwei Unbestimmten

K endlich–algebraisch über Ω(x, t), also über K(t) mit K = Ω(x)

mit den Primdivisoren allein nicht auskommt, sondern wesentlich auch die Punkte braucht, so wird man auch in der Theorie der arithmetischen Funktionenkörper einer Unbestimmten

K endlich–algebraisch über K(t) mit K algebraisch über P

mit den vorstehend festgelegten algebraischen und arithmetischen Primdivisoren 𝔓, 𝔭 allein nicht auskommen, sondern ein Analogon zu den Punkten brauchen.

Zum besseren Verständnis sei die Analogie der beiden eben genannten Körpertypen zunächst für die Primdivisoren durchgeführt.

Im algebraischen Falle K/Ω(x, t) entspringt ein ausreichendes System von Primdivisoren durch Primzerlegung aus den Primpolynomen P (x, t) (einschl. \frac{1}{x}, \frac{1}{t}) des rationalen Teilkörpers Ω(x, t). Setzt man Ω(x, t) = K(t) mit K = Ω(x), so erhält man das Analogon der

algebraischen Primdivisoren aus den P (x, t), die t wirklich enthalten (einschl. \frac{1}{t}), arithmetischen Primdivisoren aus den P (x), die t nicht enthalten (einschl. \frac{1}{x}).

Diese Einteilung der Primdivisoren trägt nicht der Tatsache Rechnung, daß man die Rollen der beiden Unbestimmten x, t vertauschen kann. Will man diese Symmetrie mehren, so muß man aus den algebraischen Primdivisoren noch diejenigen abspalten, die aus den P (t) (einschl. \frac{1}{t}) entspringen, die also bei dem Ansatz Ω(x, t) = K′(x) mit K′ = Ω(t) arithmetische Primdivisoren sind.

Im arithmetischen Falle K/K(t) mit K/P algebraisch besteht keine derartige Symmetrie: man kann nicht die Rollen von t und K/P als Erzeugende je einer Arithmetik vertauschen, hat vielmehr eine echte Stufung K/P, K/K.

Diese Unsymmetrie macht sich auch geltend, wenn man den Punktbegriff im arithmetischen Falle K/K(t) in Analogie zum algebraischen Falle K/Ω(x, t) aufbauen will.

Im algebraischen Falle K/Ω(x, t) werden die Punkte in der algebraischen Geometrie folgendermaßen definiert. Man betrachte, unter Auszeichnung der Transzendenzbasis x, t, zunächst den rationalen Teilkörper

R = Ω(x, t)

Bei ihm liefert jede Einsetzung

x ⟶ ξ, t ⟶ τ mit über Ω algebraischen ξ, τ (einschl. ∞)

einen Homomorphismus von R/Ω auf eine endlich–algebraische Erweiterung Ω(ξ, τ) von Ω (bei dem neben den bestimmt abgebildeten Elementen auch solche ohne bestimmtes Bildelement vorkommen). Jeder solche Homomorphismus setzt sich — in Analogie zur Primzerlegung — auf endlich viele verschiedene Weisen zu Homomorphismen von K/Ω auf (ξ, τ enthaltende) endlich–algebraische Erweiterungen von Ω fort. Die Gesamtheit der so entstehenden Homomorphismen von K/Ω auf endlich–algebraische Erweiterungen von Ω nennt man die Punkte von K/Ω in bezug auf die zugrundegelegte Transzendenzbasis x, t.

Für die Analogisierung muß man dies in x, t symmetrische Definitionsschema der Punkte von K/Ω zunächst unsymmetrisch machen, nämlich von dem zweistufigen Aufbau

K/R mit R = K(t), K = Ω(x)

ausgehend beschreiben. Hierzu stützt man sich auf die Tatsache, daß bei einem algebraischen Funktionenkörper einer Unbestimmten sich die

Homomorphismen auf endlich–algebraische Erweiterungen des Konstantenkörpers

und die

Primdivisoren

umkehrbar eindeutig entsprechen, indem die Homomorphismen jeweils die Restabbildungen nach den Primdivisoren sind. Danach kann man die Punkte folgendermaßen durch Primdivisoren beschreiben.

Der Einsetzung x ⟶ ξ entspricht in K = Ω(x) das Primpolynom P (x) über Ω mit P (ξ) = 0, und damit in R = K(t) ein t–Funktionalprimdivisor, sowie weiter auch in K ein t–Funktionalprimdivisor 𝔭 derart, daß der durch x ⟶ ξ erzeugte Homomorphismus von K/Ω gerade die Restabbildung mod 𝔭 von K auf den Restklassenkörper K_{𝔭} ist. Dieser Restklassenkörper K_{𝔭} ist eine endlich–algebraische Erweiterung des für R vorliegenden Restklassenkörpers R_{𝔭} = Ω(ξ, t) = Ω_{𝔭}(t) mit Ω_{𝔭} = Ω(ξ), also ein algebraischer Funktionenkörper einer Unbestimmten

K_{𝔭} endlich–algebraisch über Ω_{𝔭}(t).

Der Einsetzung t ⟶ τ entspricht dann in K_{𝔭} ein Primdivisor 𝔓_{𝔭} von K_{𝔭}/Ω_{𝔭}, der durch Primzerlegung aus dem Primpolynom P (t) über Ω mit P (τ) = 0 entspringt, derart, daß der durch t ⟶ τ erzeugte Homomorphismus von K_{𝔭}/Ω_{𝔭} gerade die Restabbildung mod 𝔓_{𝔭} von K_{𝔭} auf den Restklassenkörper K_{𝔭,𝔓_{𝔭}} ist. Dieser Restklassenkörper K_{𝔭,𝔓_{𝔭}} ist eine endlich– algebraische Erweiterung von Ω_{𝔭} = Ω(ξ), die auch τ, also Ω(ξ, τ) enthält.

Zusammengenommen hat man damit folgendes Entstehungsschema der Punkte:

𝔭 ein t–Funktionalprimdivisor von K/Ω, Restklassenkörper

K_{𝔭}/Ω_{𝔭} (alg. Fkt. Kp. einer Unbest.), 𝔓_{𝔭} ein Primdivisor von K_{𝔭}/Ω_{𝔭}, Restklassenkörper K_{𝔭,𝔓_{𝔭}}/Ω_{𝔭}

(endl. algebr.),

K ⟶_{mod 𝔭} K_{𝔭} ⟶_{mod 𝔓_{𝔭}} K_{𝔭,𝔓_{𝔭}}.

Im arithmetischen Falle K/K(t) mit K/P algebraisch läßt sich das letztere stufenweise Entstehungsschema der Punkte ohne weiteres analogisieren:

𝔭 ein t–Funktionalprimdivisor von K, Restklassenkörper

K_{𝔭}/K_{𝔭} (Kongr. Fkt. Kp.), 𝔓_{𝔭} ein Primdivisor von K_{𝔭}/K_{𝔭}, Restklassenkörper K_{𝔭,𝔓_{𝔭}}/K_{𝔭}

(endlich),

K ⟶_{mod 𝔭} K_{𝔭} ⟶_{mod 𝔓_{𝔭}} K_{𝔭,𝔓_{𝔭}}.

Die so definierten zweistufigen Restabbildungen von K seien die Punkte von K in bezug auf die zugrundegelegte Unbestimmte t genannt. Diese Punkte von K können ihrer Definition nach kurz durch (𝔭, 𝔓_{𝔭}) bezeichnet werden. Bei der Restabbildung mod (𝔭, 𝔓_{𝔭}) werden (zum mindesten) die 𝔭–ganzen Elemente aus K bestimmt abgebildet, nämlich auf endliche Elemente aus K_{𝔭,𝔓_{𝔭}} oder ∞, je nachdem das Bildelement mod 𝔭 in K_{𝔭} ganz für 𝔓_{𝔭} ist oder nicht.

Nach einer brieflichen Ankündigung (Mitteilung) von Roquette lassen sich die so festgelegten Punkte (𝔭, 𝔓_{𝔭}) von K auch auf bewertungstheoretischer Grundlage definieren, nämlich mittels der von Krull 1931 untersuchten allgemeinen nicht–archimedischen Bewertungen von K, deren Wertgruppe nicht– archimedisch ist. Der Zweistufigkeit von K entsprechend hat man es dabei im vorliegenden Fall mit einer zweistufig nicht–archimedischen Wertgruppe zu tun, deren Werte also reelle Zahlpaare in lexikographischer Anordnung sind.

§3. Die Zetafunktion.

In einem algebraischen Zahlkörper K hat man für die Zetafunktion ζ_{K}(s) zwei Definitionen, als Dirichletsche Reihe und als Eulersches Produkt, die auf Grund der eindeutigen Primdivisorzerlegung in K miteinander identisch sind:

Dirichletsche Reihe ζ_{K}(s) = ∑_{𝔤} \frac{1}{𝔑(𝔤)^{s}} ,

Eulersches Produkt ζ_{K}(s) = ∏_{𝔭} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(𝔭)^{s}}} .

Dabei durchläuft 𝔤 alle ganzen Divisoren, 𝔭 alle Primdivisoren von K, und 𝔑 bezeichnet die Absolutnorm, definiert als die Restklassenanzahl mod 𝔤 bzw. mod 𝔭 in K.

In einem arithmetischen Funktionenkörper K sind nun für die Primdivisoren die Restklassenanzahlen unendlich:

algebraische 𝔓, Restklassenkörper K_{𝔓} = algebr. Zahlkörper, arithmetische 𝔭, Restklassenkörper K_{𝔭} = Kongr. Funktionenkörper.

Daher läßt sich die obige Definition der Zetafunktion von K jedenfalls nicht mittels der Primdivisoren von K analogisieren.

Dagegen haben die Punkte (𝔭, 𝔓_{𝔭}) von K endliche Restklassenanzahlen

Punkte (𝔭, 𝔓_{𝔭}). Restklassenkörper K_{𝔭,𝔓_{𝔭}} endlich.

Daher lässt sich die Produktdefinition der Zetafunktion von K mittels der Punkte von K analogisieren:

Eulersches Produkt ζ_{K}(s) = ∏_{(𝔭,𝔓_{𝔭})} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(𝔭,𝔓_{𝔭})^{s}}} ,

wo (𝔭, 𝔓_{𝔭}) alle Punkte von K (in bezug auf eine feste Unbestimmte t) durchläuft und 𝔑(𝔭, 𝔓_{𝔭}) jeweils die Elementanzahl von K_{𝔭,𝔓_{𝔭}} bezeichnet.

Eine entsprechende Analogisierung der Reihendefinition der Zetafunktion von K erscheint nicht möglich, weil man in K zwar eine eindeutige Primdivisorzerlegung, nicht aber eine eindeutige Punktzerlegung hat.

Man kann jedoch in dieser Richtung einen ersten Schritt tun, indem man die eindeutige Primdivisorzerlegung in K_{𝔭}/K_{𝔭} anwendet. Es ist zunächst

𝔑(𝔭, 𝔓_{𝔭}) = 𝔑(𝔓_{𝔭}),

weil K_{𝔭,𝔓_{𝔭}} als der Restklassenkörper des Primdivisors 𝔓_{𝔭} von K_{𝔭}/K_{𝔭} zustandekommt. Daher hat man

ζ_{K}(s) = ∏_{𝔭} ∏_{𝔓_{𝔭}} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(𝔓_{𝔭})^{s}}} .

Hier ist aber das innere Produkt nichts anderes als die Zetafunktion des Kongruenzfunktionenkörpers K_{𝔭}/K_{𝔭} in ihrer Eulerschen Produktdarstellung:

ζ_{K_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) = ∏_{𝔓_{𝔭}} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(𝔓_{𝔭})^{s}}} .

Für diese Zetafunktion hat man aber auch die Dirichletsche Reihendarstellung

ζ_{K_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) = ∑_{𝔊_{𝔭}} \frac{1}{𝔑(𝔊_{𝔭})^{s}} ,

wo 𝔊_{𝔭} alle ganzen Divisoren von K_{𝔭}/K_{𝔭} durchläuft. Für die zu untersuchende Zetafunktion

ζ_{K}(s) = ∏_{𝔭}ζ_{K_{𝔭}/K_{𝔭}}(s)

hat man daher neben der zur Definition genommenen Darstellung als Doppelprodukt auch die Darstellung

ζ_{K}(s) = ∏_{𝔭} ∑_{𝔊_{𝔭}} \frac{1}{𝔑(𝔊_{𝔭})^{s}}

als einfaches Produkt Dirichletscher Reihen.

Der zweite Schritt zur Herleitung der Dirichletschen Reihendarstellung würde die Ausmultiplikation dieser unendlich vielen Dirichletschen Reihen erfordern. Formal kann man das natürlich tun; Ziel müßte jedoch sein, zu einem einfachen Bildungsgesetz der Koeffizienten der Produktreihe zu gelangen, das in der Arithmetik von K wurzelt. Vielleicht könnte hierzu die von Deuring und neuerdings allgemeiner von Roquette entwickelte Theorie des Übergangs von den ganzen Divisoren 𝔊 von K/K zu ihren Resten mod 𝔭 dienlich sein; diese Reste sind ja ganze Divisoren von K_{𝔭}/K_{𝔭}.

Wie das zugrundegelegte Punktsystem (𝔭, 𝔓_{𝔭}) erscheint auch die mit seiner Hilfe definierte Zetafunktion ζ_{K}(s) zunächst abhängig von der ausgezeichneten Unbestimmten t aus K. Es ist zu vermuten, daß diese Abhängigkeit in Wahrheit nicht vorhanden ist, daß also ζ_{K}(s) eine birationale Invariante von K ist, ähnlich wie etwa das Geschlecht g von K/K, dessen Definition

2g − 2 = Grad \frac{Differente von K/K(t)}{Nennerquadrat von t}

ja auch zunächst von der Wahl der Unbestimmten t abhängt. Zu diesem Invarianzbeweis wird wahrscheinlich die von Roquette in Aussicht gestellte invariante Kennzeichnung des Punktsystems (𝔭, 𝔓_{𝔭}) mittels der allgemeinen Krullschen Bewertungen führen.

Ich habe schon 1938 vermutet, daß die wie angegeben definierte Zetafunktion von K eine „vernünftige“ Zetafunktion ist, nämlich analoge funktionentheoretische und arithmetische Eigenschaften hat, wie die Zetafunktion von K. Anlaß zu dieser Vermutung waren folgende beiden Bemerkungen.

1.) Im Spezialfall, daß R = K(t) ein rationaler Funktionenkörper ist, sind auch die R_{𝔭} = K_{𝔭}(t) rationale Kongruenzfunktionenkörper. Für diese ist aber einfach

ζ_{R_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) = \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(𝔭)^{s}}} \frac{1}{1 − \frac{𝔑(𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s}}}

Daraus folgt durch Produktbildung die explizite Darstellung

ζ_{R}(s) = ζ_{K}(s)ζ_{K}(s − 1)

der Zetafunktion von R durch die von K. Entsprechend der Zweistufigkeit des Punktsystems (𝔭, 𝔓_{𝔭}) tritt hier das Argumentpaar s, s − 1 auf, demzufolge ζ_{R}(s) nicht nur bei s = 1 sondern auch noch bei s = 2 einen Pol erster Ordnung hat. Diese Darstellung läßt übrigens die Invarianz von ζ_{R}(s) hervortreten.

2.) Im allgemeinen Falle hat die Zetafunktion von K_{𝔭}/K_{𝔭} bekanntlich folgende Struktur. Es ist

ζ_{K_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) = ζ_{R_{𝔭}/K_{𝔭}}(s)L_{K_{𝔭}/K_{𝔭}}(s)

mit einem Polynom

L_{K_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) = 1 − \frac{N_{1}(𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s}} + ⋯ + \frac{𝔑(𝔭)^{g_{𝔭}}}{𝔑(𝔭)^{2g_{𝔭}s}}

vom Grade 2g_{𝔭} in \frac{1}{𝔑(𝔭)^{s}} , wo g_{𝔭} das Geschlecht von K_{𝔭}/K_{𝔭} und N_{1}(g) die Anzahl der Primdivisoren ersten Grades von K_{𝔭}/K_{𝔭} ist. Setzt man für dies Polynom die Linearfaktorenzerlegung

L_{K_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) = ∏_{i=1}^{2g_{𝔭}} (1 − \frac{ω_{i}(𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s}} )

an, so haben nach dem von A. Weil allgemein bewiesenen Analogon zur Riemannschen Vermutung die Nullstellen ω_{i}(𝔭) sämtlich den absoluten Betrag

|ω_{i}(𝔭)| = 𝔑(𝔭)^{\frac{1}{2}} .

Für fast alle 𝔭 ist nun nach Deuring g_{𝔭} = g einfach das Geschlecht von K/K, für die restlichen endlich vielen 𝔭 jedenfalls g_{𝔭} < g. Rechnet man für die letzteren 𝔭 die fehlenden Nullstellen ω_{i}(𝔭) = 0 und ordnet dann für die einzelnen 𝔭 die 2g Nullstellen ω_{i}(𝔭) irgendwie einander zu, so kann man die Produktbildung unter Benutzung des obigen Ergebnisses für ζ_{R_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) folgendermaßen durchführen:

ζ_{K}(s) = ζ_{K}(s)ζ_{K}(s − 1) · ∏_{i=1}^{2g} ∏_{𝔭}(1 − \frac{ω_{i}(𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s}} ) .

Hier konvergiert auf Grund der Riemannschen Vermutung jedes der 2g inneren Produkte für ℜ(s) > \frac{3}{2} . Demnach ist ζ_{K}(s) jedenfalls für ℜ(s) > \frac{3}{2} analytisch und u. A. d. R. V. nullstellenfrei, mit einzigem Pol erster Ordnung bei s = 2.

Für den allgemeinen Fall ist das bis heute alles, was man weiß. Dagegen hat sich meine Vermutung im Spezialfall der arithmetischen Funktionenkörper K vom Fermatschen Typus durch eine kürzlich erschienene Arbeit von A. Weil in vollem Umfange bestätigt, desgleichen nach einer Mitteilung von Deuring auch für diejenigen elliptischen arithmetischen Funktionenkörper (𝔭 = 1), die eine komplexe Multiplikation besitzen.

Nachstehend soll noch skizziert werden, wie die Verhältnisse in dem Weilschen Spezialfall der arithmetischen Funktionenkörper vom Fermatschen Typus liegen, und zwar nur für die einfachsten solchen Körper, bei denen der Kern der Sache ungetrübt durch zusätzliche algebraische und arithmetische Komplikationen hervortritt.

§4. Arithmetische Funktionenkörper vom Fermatschen Typus.

Die von A. Weil behandelten arithmetischen Funktionenkörper vom Fermatschen Typus sind folgende:

K beliebiger algebraischer Zahlkörper

K = K(u_{1}, u_{2}) mit \frac{u_{1}^{m_{1}}}{γ_{1}} + \frac{u_{2}^{m_{2}}}{γ_{2}} = 1,

wo γ_{1}, γ_{2} ≠ 0 Zahlen aus K und m_{1}, m_{2} natürliche Zahlen bedeuten. Wählt man

t = \frac{u_{1}^{m_{1}}}{γ_{1}} = 1 − \frac{u_{2}^{m_{2}}}{γ_{2}}

als ausgezeichnete Unbestimmte, legt also der Erzeugung den rationalen Funktionenkörper

R = K(t)

zugrunde, so hat man umgekehrt

u_{1}^{m_{1}} = γ_{1}t, u_{2}^{m_{2}} = γ_{2}(1 − t),

so daß sich die Erzeugung von K/R in der Form

K = R ( \sqrt[m_{1}]{γ_{1}t}, \sqrt[m_{2}]{γ_{2}(1 − t)})

darstellt.

Hier werde nur der folgende Kernfall behandelt:

m = ℓ Primzahl(≠ 2),

K Körper der ℓ–ten Einheitswurzeln,

K = K(u_{1}, u_{2}) mit u_{1}^{ℓ} + u_{2}^{ℓ} = 1,

K = R (\sqrt[ℓ]{t}, \sqrt[ℓ]{1 − t}) ,

also der Fall der gewöhnlichen Fermatschen Gleichung. Hier ist K/R aus zwei zueinander fremden zyklischen Körpern vom Primzahlgrade ℓ über R komponiert. Für das doppelte Geschlecht von K/K findet sich

2g = (ℓ − 1)(ℓ − 2) (> 0).

Als erste Aufgabe habe ich für diesen gewöhnlichen Fermatschen Fall das Zerlegungsgesetz der Primdivisoren 𝔭 von K, aufgefaßt als t–Funktionalprimdivisoren von R = K(t), im Körper K = R (\sqrt[ℓ]{t}, \sqrt[ℓ]{1 − t}) in Angriff genommen, mit folgendem Ergebnis:

a.) 𝔭 ∤ ℓ, 𝔭 in K träge,  K_{𝔭} = R_{𝔭} (\sqrt[ℓ]{t}, \sqrt[ℓ]{1 − t}) , g_{𝔭} = g,
b.) 𝔩 | ℓ, 𝔩 = \overline{𝔩}^{ℓ} in K \{ \begin{matrix}träge \\ unverzweigt \end{matrix} \}, K\overline{𝔩} = R_{𝔩} (\sqrt[ℓ]{t}) ,  g\overline{𝔩} = 0.

Es verhalten sich also alle Primdivisoren 𝔭 ∤ ℓ regulär; irregulär ist nur der eine Primdivisor 𝔩 | ℓ, mit 𝔩^{ℓ−1} ≅ ℓ, gegeben durch 𝔩 ≅ 1 − ζ, wo ζ eine primitive ℓ–te Einheitswurzel (aus K).

Mit Aufwand einiger Mühe konnte ich ein entsprechendes Zerlegungsgesetz auch für den folgenden allgemeineren Fall herleiten:

γ_{1}, γ_{2} = 1, m_{1}, m_{2} beliebig,

K Körper der [m_{1}, m_{2}]–ten Einheitswurzeln.

Dagegen bin ich im allgemeinsten Falle vom Fermatschen Typus, wo γ_{1}, γ_{2} ≠ 0 aus K beliebig sind und K ein beliebiger Erweiterungskörper des Körpers der [m_{1}, m_{2}]–ten Einheitswurzeln oder gar ein ganz beliebiger algebraischer Zahlkörper ist, noch nicht durchgekommen. Die Herleitung des fraglichen Zerlegungsgesetzes ist in diesen allgemeineren Fällen eine sehr kniffliche arithmetische Aufgabe.

Weiter sind nun im gewöhnlichen Fermatschen Falle (und entsprechend auch in dem vorher genannten allgemeineren Falle) die Nullstellen ω_{i}(𝔭) (i = 1, …, 2g_{𝔭}) der Kongruenzzetafunktionen ζ_{K_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) durch Davenport– Hasse (1934) bekannt. Es sind nämlich die sogenannten Jacobischen Summen zu den Charakteren der Ordnung ℓ in den endlichen Körpern K_{𝔭} von 𝔑(𝔭) Elementen.

Für 𝔭 ∤ ℓ ist 𝔑(𝔭) ≡ 1 mod ℓ, und es gibt ℓ Charaktere vom Exponenten ℓ in K_{𝔭}^{×}. Die Nullstellen ω_{i}(𝔭) sind dann den Paaren χ_{1}, χ_{2} solcher Charaktere mit χ_{1} ≠ 1, χ_{2} ≠ 1, χ_{1}χ_{2} ≠ 1 zugeordnet, die ja gerade in der richtigen Anzahl 2g_{𝔭} = 2g = (ℓ − 1)(ℓ − 2) vorhanden sind. Sie lauten explizit:

ω(χ_{1}, χ_{2}|𝔭) = ∑_{\begin{matrix}x_{1}, x_{2} in K_{𝔭} \\ x_{1}+x_{2}≡1 mod 𝔭 \end{matrix}}χ_{1}(x_{1})χ_{2}(x_{2}) (χ_{1}, χ_{2}, χ_{1}χ_{2} ≠ 1).

Für 𝔩 | ℓ ist 𝔑(𝔩) = ℓ, und es gibt keine Charaktere der Ordnung ℓ in K_{y}^{×} = P_{ℓ}^{×}. Dementsprechend ist ja hier auch 2g_{𝔭} = 0.

Man hat demgemäß explizit:

ζ_{K_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) = ζ_{R_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) ∏_{χ_{1},χ_{2},χ_{1}χ_{2}≠1} (1 − \frac{ω(χ_{1}, χ_{2}|𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s}}) (𝔭 ∤ ℓ),

ζ_{K_{𝔩}/K_{𝔩}}(s) = ζ_{R_{𝔩}/K_{𝔩}}(s).

Diese explizite Darstellung der Kongruenzzetafunktionen ζ_{K_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) ergibt sich aus der klassenkörpertheoretischen Zerlegung

ζ_{K_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) = ∏_{\overline{𝔩}_{𝔭}}L_{R_{𝔭}/K_{𝔭}}(s|χ_{𝔭})

in L–Funktionen über R_{𝔭} = K_{𝔭}(t), wo χ_{𝔭} die Charaktere der Galoisgruppe 𝔊_{𝔭} von K_{𝔭}/R_{𝔭} durchläuft.

Für 𝔭 ∤ ℓ erscheinen nämlich die Charakterpaare χ_{1}, χ_{2} mit χ_{1}, χ_{2}, χ_{1}χ_{2} ≠ 1 vermöge des Artinschen Reziprozitätsgesetzes isomorph zugeordnet den Charakteren χ_{𝔭} (der Galoisgruppe 𝔊_{𝔭}) von K_{𝔭}/R_{𝔭} mit der Eigenschaft:

χ_{𝔭} ist nicht schon Charakter von R (\sqrt[ℓ]{t} ) , R_{𝔭} (\sqrt[ℓ]{1 − t} ),
R_{𝔭} (\sqrt[ℓ]{\frac{1−t}{t}} ); kurz χ_{𝔭} ≁ 1.

Die Zuordnungsvorschrift dabei ist folgende:

Elemente aus 𝔊_{𝔭} isomorph dargestellt durch das Artin–Symbol (\frac{K_{𝔭}/R_{𝔭}}{𝔄_{𝔭}}) für zu t, 1−t prime Divisoren 𝔄_{𝔭} von R_{𝔭}/K_{𝔭}, genauer durch die Kongruenzklassen dieser Divisoren nach dem Führer von K/K_{𝔭}.

Erzeugende Charaktere von 𝔊_{𝔭} dargestellt durch die Wirkung dieses Artin– Symbols auf die beiden Radikale \sqrt[ℓ]{t}, \sqrt[ℓ]{1 − t} aus K_{𝔭}, also durch die beiden ℓ–ten Potenzrestsymbole

(\frac{t}{𝔄_{𝔭}})_{ℓ} , (\frac{1 − t}{𝔄_{𝔭}})_{ℓ} in R_{𝔭} .

Für Primdivisoren ersten Grades 𝔓_{𝔭} von R_{𝔭}/K_{𝔭} (prim zu t bzw. 1 − t), den Primpolynomen t − x mit x aus K_{𝔭} (≢ 0 bzw. 1 mod 𝔭) zugeordnet, berechnen sich diese ℓ–ten Potenzrestsymbole in R_{𝔭} als

(\frac{t}{𝔓_{𝔭}})_{ℓ} = (\frac{x}{𝔭})_{ℓ}, (\frac{1 − t}{𝔓_{𝔭}})_{ℓ} = (\frac{1 − x}{𝔭})_{ℓ},

also als ℓ–te Potenzrestsymbole nach 𝔭 in K. Das ℓ–te Potenzrestsymbol nach 𝔭 in K ist aber ein erzeugender Charakter der Ordnung ℓ von K_{𝔭}.

Aus dieser Zuordnung für die Erzeugenden ergibt sich ein bestimmter Isomorphismus zwischen einerseits

den Charakteren χ_{𝔭} von 𝔊_{𝔭},

andrerseits

den Charakterpaaren χ_{1}, χ_{2} mit dem Exponenten ℓ von K_{𝔭}.

Der Bedingung χ_{1}, χ_{2}, χ_{1}χ_{2} ≠ 1 entspricht dabei gerade die oben genannte Bedingung χ_{𝔭} ≁ 1. Bei diesem Isomorphismus findet sich dann gerade:

L_{R_{𝔭}/K_{𝔭}}(s|χ_{𝔭}) = 1 − \frac{ω(χ_{1}, χ_{2}|𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s}} für χ_{𝔭} ≁ 1,
L_{R_{𝔭}/K_{𝔭}}(s|χ_{𝔭}) = 1  für χ_{𝔭} ∼ 1, χ_{𝔭} ≠ 1,
L_{R_{𝔭}/K_{𝔭}}(s|χ_{𝔭}) = ζ_{R_{𝔭}/K_{𝔭}}(s)  für χ_{𝔭} = 1.

Dementsprechend werden fortan die Nullstellen

ω(χ_{𝔭}|𝔭) = ω(χ_{1}, χ_{2}|𝔭)

als den Charakteren χ_{𝔭} von 𝔊_{𝔭} zugeordnet aufgefaßt.

Für 𝔩 | ℓ artet der analoge Isomorphismus aus. Einerseits ist 𝔊_{𝔩} als Galoisgruppe von K_{𝔩} = R_{𝔩}(\sqrt[ℓ]{t}) über R_{𝔩} nur zyklisch von der Ordnung 𝔩. Andrerseits sind das ℓ–te Potenzrestsymbol (\frac{t}{𝔓_{𝔩}})_{ℓ} in R_{𝔭} und (\frac{x}{𝔩})_{ℓ} in K beide identisch 1, weil die Restklassenkörper mod 𝔓_{𝔩} und mod 𝔩 endliche Körper der Charakteristik ℓ sind. Dementsprechend hat man hier durchweg χ_{𝔭} ∼ 1 zu rechnen, und dann gelten die obigen Formeln für die L–Funktionen formal unverändert (nur die beiden letzten kommen vor).

Man kann nun die Galoisgruppe 𝔊_{𝔭} von K_{𝔭}/R_{𝔭} im Falle 𝔭 ∤ ℓ als isomorphes, im Falle 𝔩 | ℓ als homomorphes Bild der Galoisgruppe 𝔊 von K/R auffassen, weil ja bei der Restabbildung mod 𝔭 im ersteren Falle die algebraische Struktur erhalten bleibt:

K = R (\sqrt[ℓ]{t}, \sqrt[ℓ]{1 − t} ) ⟶_{mod 𝔭} K_{𝔭} = R_{𝔭} (\sqrt[ℓ]{t}, \sqrt[ℓ]{1 − t} ) ,

während im letzteren Falle

K = R (\sqrt[ℓ]{t}, \sqrt[ℓ]{1 − t} ) ⟶_{mod 𝔩} K_{𝔩} = R_{𝔩} (\sqrt[ℓ]{t} )

das zweite Radikal \sqrt[ℓ]{1 − t} ≡ 1 − \sqrt[ℓ]{t} mod 𝔩 wird, also sich auf das erste reduziert. Genauer gesagt handelt es sich hierbei im nicht–trivialen Falle 𝔭 ∤ ℓ um einen festen, unabhängig von 𝔭 definierten Isomorphismus von 𝔊 auf 𝔊_{𝔭}, dadurch gegeben, daß die Einheitswurzelfaktoren ζ aus K an den Radikalen unverändert als ζ mod 𝔭 aus K_{𝔭} übertragen werden; man hat sich dabei K_{𝔭} konkret als K mod 𝔭 gegeben vorzustellen. Dabei χ_{𝔭} ≁ 1 invariant!

Legt man diese Auffassung zugrunde, geht man also von den Charakteren χ von 𝔊 aus und schreibt demgemäß die Nullstellen (Jacobischen Summen) einfacher in der Form

ω(χ|𝔭) = ω(χ_{𝔭}|𝔭) = ω(χ_{1}, χ_{2}|𝔭),

so liegt es nahe, die für die Zetafunktion

ζ_{K}(s) = ∏_{𝔭}ζ_{K_{𝔭}/K_{𝔭}}(s) = ∏_{𝔭} ∏_{χ_{𝔭}}L_{R_{𝔭}/K_{𝔭}}(s|χ_{𝔭})

vorzunehmende Produktbildung über alle Primdivisoren 𝔭 von K bereits in den einfacher gebauten L–Funktionen vorzunehmen, also mit der Produktbildung über die Charaktere χ_{𝔭} von 𝔊_{𝔭} zu vertauschen. So wird man auf folgende neue Bildungen geführt, die sinngemäß als L–Funktionen zu den Charakteren χ (der Galoisgruppe 𝔊) von K/R zu bezeichnen sind:

L_{R}(s|χ) = ∏_{𝔭∤ℓ}(1 − \frac{ω(χ|𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s}}) für χ ≁ 1,
L_{R}(s|χ) = 1  für χ ∼ 1, χ ≠ 1,
L_{R}(s|χ) = ζ_{K}(s)ζ_{K}(s − 1)  für χ = 1.

Bei dieser Definition hat man dann formal das Analogon der Klassenkörpertheoretischen Zerlegung:

ζ_{K}(s) = ∏_{χ} L_{R}(s|χ).

Die Frage, ob ζ_{K}(s) eine „vernünftige“ Zetafunktion ist, reduziert sich damit auf die Frage, ob die L_{R}(s|χ) „vernünftige“ L–Funktionen sind.

Hierzu sei zunächst folgendes bemerkt. Im nicht–trivialen Fall χ ≁ 1, 𝔭 ∤ ℓ hat man nach dem Gesagten, wenn man von den Gruppenelementen zu den Kongruenzdivisorenklassen als χ_{𝔭}–Argument übergeht:

χ_{𝔭}(𝔓_{𝔭}) = (\frac{t}{𝔓_{𝔭}})_{ℓ}^{ν}(\frac{1 − t}{𝔓_{𝔭}})_{ℓ}^{ν′} mit ν, ν′, ν + ν′ ≢ 0 mod ℓ,

und damit

ω(χ|𝔭) = ∑_{𝔑(𝔓_{𝔭})=𝔑(𝔭)} (\frac{t}{𝔓_{𝔭}})_{ℓ}^{ν}(\frac{1 − t}{𝔓_{𝔭}})^{ν′}

(wobei für Führerteiler 𝔓_{𝔭} die Potenzrestsymbole als 0 zu rechnen sind, ebenso wie ja in K_{𝔭} die Charakterwerte für die Nullklasse mod 𝔭 als 0 gerechnet werden, sofern es sich nicht um den Hauptcharakter handelt). Man kann nun, analog zu dem eben durchgeführten Rückgang von 𝔊_{𝔭} zu 𝔊, also von K_{𝔭}/R_{𝔭} zu K/R, auch hier die Potenzrestsymbole nach den Primdivisoren ersten Grades 𝔓_{𝔭} von R_{𝔭}/K_{𝔭} als solche nach den Punkten 𝔭, 𝔓_{𝔭} ersten Grades von R auffassen. Die eingeführten L–Funktionen L_{R}(s|χ) sind so mit einer Klasseneinteilung der Punkte ersten Grades (𝔭, 𝔓_{𝔭}) des rationalen Funktionenkörpers R = K(t) verknüpft, ähnlich wie die Dirichletschen L–Funktionen L_{P}(s|χ) mit einer Klasseneinteilung der Primzahlen p des rationalen Zahlkörpers verknüpft sind. Ob es sinnvoll ist, diesem Gedanken nachzugehen, muß die weitere Entwicklung der noch in ihren Anfängen stehenden Theorie lehren.

Das jetzt zu besprechende Ergebnis von A. Weil, durch das meine Vermutung von 1938 über die „Vernünftigkeit“ der Bildungen ζ_{K}(s), L_{R}(s|χ) bestätigt wird, geht in der Tat nicht diesem Gedanken nach, die Jacobischen Summen ω(χ|𝔭) als Kongruenzcharaktere der Punkte (𝔭, 𝔓_{𝔭}) von K aufzufassen, betrachtet vielmehr diese Summen einfacher als Funktionen der Primdivisoren 𝔭 von K.

A. Weil beweist, was im hier behandelten Falle der gewöhnlichen Fermatschen Gleichung besonders einfach geht, daß die ω(χ|𝔭) die Werte eines Heckeschen Größencharakters in K vom Führer 𝔩^{2} oder 𝔩 für die Primdivisoren 𝔭 ∤ ℓ von K sind. Es läuft dies auf folgende Feststellung hinaus. Man definiere formal

ω(χ|𝔞) = ∏_{𝔭}ω(χ|𝔭)^{w_{𝔭}(𝔞)}

für beliebige zu 𝔩 prime Divisoren 𝔞 = ∏_{𝔭}𝔭^{w_{𝔭}(𝔞)} von K. Diese Bildung hat

folgende drei bekannten Eigenschaften:

(1.) Automorphieverhalten ω(χ^{r}|𝔞) = ω(χ|𝔞)^{σ_{r}^{−1}},

wo σ_{r}^{−1} = (ζ ⟶ ζ^{r}) (r prim zu ℓ)

(2.) Absoluter Betrag  |ω(χ|𝔞)| = 𝔑(𝔞)^{\frac{1}{2}} .
(3.) Primdivisorzerlegung ω(χ, 𝔞) ≅ 𝔞^{∑_{r} δ(χ^{r})σ_{r}},

wo δ(χ^{r}) = 0 oder 1 und

r die primen Restkl. mod ℓ durchl.

Und zwar ist δ(χ^{r}) durch Zurückgehen auf die obigen Exponenten ν, ν′ mod ℓ von χ (also die Darstellung von χ durch Potenzrestsymbole) folgendermaßen bestimmt:

δ(χ^{r}) = Übertragungszahl bei der Addition der kleinsten positiven Reste ν, ν′ mod ℓ.

Aus diesen Eigenschaften folgert man nach dem Prinzip der arithmetischen Kennzeichnung algebraischer Zahlen aus Davenport–Hasse fast unmittelbar die folgende vierte Eigenschaft:

(4.) Führereigenschaft ω(χ|α) = 1 für Zahlen α ≡ 1 mod 𝔩^{2} aus K,

bei gewissen χ unter Umständen sogar für α ≡ 1 mod 𝔩, aber jedenfalls nicht für alle zu 𝔩 primen Zahlen α aus K.

Die Eigenschaften (3.), (4.) besagen, daß ω(χ|𝔞) unter die Definition der Heckeschen Größencharaktere fällt; als Charakter sei er mit ω(χ) bezeichnet.

Über den Führer konnte ich noch genauer folgende interessante Regel beweisen. Für denjenigen Charakter χ, der den Potenzrestsymbolen entspricht (Exponenten ν, ν′ ≡ 1 mod ℓ), und seine Potenzen χ^{r} gilt:

ω(χ) hat den Führer 𝔩 genau dann, wenn \frac{2^{ℓ}−2}{ℓ} ≡ 0 mod ℓ ist, wenn also ℓ eine Wieferichsche Primzahl ist.

Dieser Zusammenhang des Größencharakters ω(χ) mit einem Kriterium zur Fermatschen Vermutung zeigt, daß die entwickelte Theorie ev. Beiträge zu dieser Vermutung liefern kann, wie das ja auch schon daraus klar ist, daß die Zetafunktion ζ_{K}(s) mittels der Punkte (𝔭, 𝔓_{𝔭}) von K definiert ist und sicher etwas mit den algebraischen Primdivisoren 𝔓 von K, insbesondere denen ersten Grades, also den Lösungen in K der Fermatschen Gleichung zu tun hat.

Der Größencharakter ω(χ) in K ist noch nicht, wie bei Hecke, auf (Normbeitrag 1, hier) (absoluten Betrag 1) normiert. Nach der Eigenschaft (2.) ergibt sich als zugehöriger normierter Größencharakter

λ(χ|𝔞) = \frac{ω(χ|𝔞)}{|ω(χ|𝔞)|} = \frac{ω(χ|𝔞)}{𝔑(𝔞)^{\frac{1}{2}}} .

Schreibt man nun die obigen L–Funktionen in R mittels dieses normierten Größencharakters:

L_{R}(s|χ) = ∏_{𝔭∤ℓ}(1 − \frac{λ(χ|𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s− \frac{1}{2}}} ) für χ ≁ 1,

so steht rechts gerade das Reziproke der Eulerschen Produktdarstellung der Heckeschen L–Funktion zu dem normierten Größencharakter λ(χ) in K.

Man hat demnach

L_{R}(s|χ) = L_{K} (s − \frac{1}{2}|λ(χ))^{−1} für χ ≁ 1,
L_{R}(s|χ) = 1  für χ ∼ 1, χ ≠ 1,
L_{R}(s|χ) = ζ_{K}(s)ζ_{K}(s − 1)  für χ = 1,

und somit

ζ_{K}(s) = ζ_{K}(s)ζ_{K}(s − 1) ∏_{χ≁1} L_{K} (s − \frac{1}{2} |λ(χ))^{−1} .

Da die Heckeschen L–Funktionen L_{K}(s|λ) „vernünftige“ L–Funktionen sind, d. h. ganze Funktionen mit Funktionalgleichung des bekannten Typus

bei \{ \begin{matrix}s ⟶ 1 − s \\ λ ⟶ \overline{λ} \end{matrix} \}, ergibt sich, daß auch die neu eingeführten Funktio-

nen L_{R}(s|χ), ζ_{K}(s) „vernünftig“ sind, nämlich jedenfalls meromorph und mit

Funktionalgleichung des bekannten Typus bei \{ \begin{matrix}s ⟶ 2 − s \\ λ ⟶ \overline{λ} \end{matrix} \}.

ζ_{K}(s) hat Pole erster Ordnung bei s = 1, s = 2, ferner bei den nicht– trivialen Nullstellen der L_{K} (s − \frac{1}{2}|λ(χ)), also vermutlich auf der hier kritischen Geraden ℜ(s) = 1 und nicht–triviale Nullstellen auf den beiden hier ebenfalls kritischen Geraden ℜ(s) = \frac{1}{2}, \frac{3}{2} .

\underline{Mainz 1953} 259

1.23 Mainz 1953

Zetafunktion arithmetischer Funktionenkörper.

Vortrag auf DMV–Tagung Mainz, 24. 9. 53

Gliederung.

I. Allgemeine Grundlagen.

§1. Arithmetische Funktionenkörper.^{▶}

§2. Primdivisoren, Punkte.^{▶}

§3. Die Zetafunktion.^{▶}

II. Der Spezialfall vom Fermatschen Typus.

§4. Zerlegungsgesetz für die arithmetischen Primdivisoren.^{▶} §5. Aufspaltung der Kongruenzzetafunktion in Kongruenz–L–Funktionen.^{▶} §6. Die Jacobischen Summen als Größencharaktere.^{▶} §7. Aufspaltung der Zetafunktion in L–Funktionen.^{▶}

I. Allgemeine Grundlagen.

§1. Arithmetische Funktionenkörper.

Arithmetischer Funktionenkörper (vom Transzendenzgrad 1):

K algebraischer Funktionenkörper (vom Transzendenzgrad 1) über einem endlich–algebraischen Zahlkörper K als Konstantenkörper.

Erzeugung durch Transzendente t in folgenden beiden Schritten:

K  endlich–algebraischer Zahlkörper,
R = K(t) rationaler Funktionenkörper

vom Transzendenzgrad 1 über K,

K/R  endlich–algebraische Erweiterung,

fremd zu absolut–algebraischen Erweiterungen.

Analogie zu algebraischem Funktionenkörper K vom Transzendenzgrad 2 über beliebigem Körper Ω; dabei

K = Ω(x) rationaler Funktionenkörper

vom Transzendenzgrad 1,

R = Ω(x, t) rationaler Funktionenkörper

vom Transzendenzgrad 2,

K/R  endlich–algebraische Erweiterung.

|Zur Analogie oben besser P statt K; und K dann als genauen Konst. Kp. einführen.

Aber in diesem algebraischen Fall ist Symmetrie in x, t vorhanden, im arithmetischen Fall besteht zwischen K und t als Erzeugenden je einer Arithmetik keine Symmetrie, sondern echte Stufung.

§2. Primdivisoren, Punkte.

Aufgabe ist, die bekannte Relativarithmetik in K/K durch die Arithmetik in K zu unterbauen. Dies geschieht auf der Grundlage der Theorie der Exponentenbewertungen folgendermaßen:

a.) Relativarithmetik in K/K entspringt aus denjenigen Bewertungen von K, bei denen K identisch bewertet; liefert die algebraischen Primdivisoren 𝔓 von K.

b.) Arithmetik von K entspringt aus den nicht–identischen Bewertungen von K; liefert die Primdivisoren 𝔭 von K. Es handelt sich um deren sämtliche Fortsetzungen auf K. Diese schwer zu übersehen; es genügt jedoch hinreichend große Teilmenge. Dazu zeichne man eine Transzendente t aus K aus. Für den rationalen Teilkörper R = K(t) heben sich die eindeutigen Fortsetzungen der 𝔭 als t–Funktionalprimdivisoren von R hervor:

1, t, t^{2}, … sind ganz für 𝔭 und bleiben mod 𝔭 linear unabhängig.

Diese 𝔭 setzen sich in bekannter Weise auf je endlich viele Weisen von R auf die endlich–algebraische Erweiterung K fort; mit bestimmten Zerlegungsanzahlen, Restklassengraden, Verzweigungsordnungen. So entsteht ein ausreichendes System von arithmetischen Primdivisoren 𝔭 von K.

Ausreichend in dem Sinne, daß durch die Bewertungen zu den 𝔓, 𝔭 die Elemente von K eindeutig bis auf Einheiten von K gekennzeichnet. Restklassenkörper:

algebraische 𝔓 ⟶ K_{𝔓} endl. –alg. Erw. von K (alg. Zahlkp.)
arithmetische 𝔭 ⟶ K_{𝔭} endl. –alg. Erw. von K_{𝔭} (Kongr. Funkt. Kp.)

Zerlegungsgesetz für die t–Funktionalprimdivisoren von R = K(t) in arithmetische Primdivisoren von K. Nach Deuring gilt jedenfalls für fast alle 𝔭 von K:

1.) 𝔭 in K unzerlegt und unverzweigt, vielmehr nur träge mit separablem Restklassenkörper K_{𝔭}/K_{𝔭}.

2.) K_{𝔭} der genaue Konstantenkörper von K_{𝔭}.

3.) Geschlecht g_{𝔭} von K_{𝔭}/K_{𝔭} stimmt überein mit Geschlecht g von K/K.

□□□

Diese arithmetischen 𝔭 von R mögen regulär heißen. Für die Theorie der Zetafunktion von K wird aber, wenn man sie nicht nur bis auf endlich viele 𝔭 genau haben will, auch das Zerlegungsverhalten der irregulären 𝔭 von R gebraucht. Dies allgemein anzupacken, erscheint als ein sehr schwieriges Problem.

Neben dem Primdivisorsystem 𝔓, 𝔭 von K wird — in Analogie zur Theorie der algebr. Funkt. Kp. vom Transzendenzgrad 2 — auch ein ausreichendes System von Punkten von K gebraucht. Durch Verfolgung der Analogie erhält man folgende Vorschrift zur Definition eines solchen Punktsystems.

Betrachte zweistufige Homomorphismen von K:

K ⟶_{mod 𝔭} K_{𝔭} ⟶_{mod 𝔓_{𝔭}} K_{𝔭,𝔓_{𝔭}}

𝔭 arithm. Primdiv. von K, 𝔓_{𝔭} Primdiv. von K_{𝔭}

Punkte (𝔭, 𝔓_{𝔭}) liefern Restabbildung auf endliche Körper K_{𝔭,𝔓_{𝔭}} ; deren Elementanzahl ist 𝔑(𝔓_{𝔭}), eine gewisse Potenz von 𝔑(𝔭).

□□□

Definition der Punkte nach Mitteilung von Roquette auch mittels der allgemeinen Krullschen Bewertungen (mit zweistufig nicht–archimedischer Wertgruppe) möglich.

§3. Die Zetafunktion.

Definition

ζ_{K}(s) = ∏_{𝔭,𝔓_{𝔭}} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(𝔓_{𝔭})^{s}}} [𝔑(𝔭, 𝔓_{𝔭}) = 𝔑(𝔓_{𝔭})],

wo 𝔭 alle arithmetischen Primdivisoren von K (in bezug auf eine feste Transzendente t) und 𝔓_{𝔭} jeweils alle Primdivisoren des Restklassenkörpers K_{𝔭} durchläuft.

Frage der Unabhängigkeit von t, d. h. birationalen Invarianz.

Vermutung erscheint gewagt; jedoch Analogie zu Geschlecht.

Ausmultiplikation über die 𝔓_{𝔭} liefert:

ζ_{K}(s) = ∏_{𝔭}ζ_{K_{𝔭}}(s),

d. h. Darstellung der Zetafunktion von K als Produkt der Zetafunktionen der zugeordneten Kongruenzfunktionenkörper K_{𝔭}.

Definition analogisiert das Eulersche Produkt. Es entsteht Frage nach der Dirichletschen Reihe. Dazu hätte man die Dirichletschen Reihen für die ζ_{K_{𝔭}}(s) auszumultiplizieren und ein Koeffizientengesetz zu suchen, das in der Arithmetik von K wurzelt. Vielleicht hilft hierzu die von Roquette in Aussicht gestellte Definition der Punkte mittels der allgemeinen Krullschen Bewertungen.

Meine Vermutung aus den dreißiger Jahren: ζ_{K}(s) ist meromorphe Funktion mit Funktionalgleichung und entsprechenden Eigenschaften wie ζ_{K}(s).

Neuerdings von A. Weil bestätigt für arithmetische Funktionenkörper vom Fermatschen Typus:

K = K(u_{1}, u_{2}) mit \frac{u_{1}^{m_{1}}}{γ_{1}} + \frac{u_{2}^{m_{2}}}{γ_{2}} = 1

K bel. alg. Zahlkp., m_{1}, m_{2} bel. nat. Zahlen, γ_{1}, γ_{2} ≠ 0 bel. Zahlen aus K,

Ausgezeichnete Unbestimmte

t = \frac{u_{1}^{m_{1}}}{γ_{1}} ,  1 − t = \frac{u_{2}^{m_{2}}}{γ_{2}} ,  R = K(t)
K = R ( \sqrt[m_{1}]{γ_{1}t}, \sqrt[m_{2}]{γ_{2}(1 − t)}) .

Von Deuring, gestützt auf abstrakte Begründung der komplexen Multiplikation und im Grunde auf frühere Formel von mir zum Zerlegungsgesetz, auch bestätigt für elliptische Funktionenkörper mit komplexem Multiplikatorenring.

Sowohl bei Weil als auch bei Deuring ζ_{K}(s) jeweils nur bis auf die endlich vielen irregulären 𝔭 in Betracht gezogen.

Zwei Grundlagen für meine Vermutung: a.) Für rationalen Funktionenkörper R = K(t) wird

ζ_{R_{𝔭}}(s) = \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(𝔭)^{s}}} \frac{1}{1 − \frac{𝔑(𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s}}} ,

also

ζ_{R}(s) = ζ_{K}(s) ζ_{K}(s − 1),

insbesondere unabhängig von der Wahl der Transzendenten t aus R unter allen \frac{αt+β}{γt+δ} , nicht nur den ganzen unimodularen, bei denen die t–Funktionalprimdivisoren invariant sind.

ζ_{R}(s) ist in der Tat meromorph und genügt einer Funktionalgleichung des bekannten Typus bei s ⟶ 2 − s.

b.) Für beliebigen arithmetischen Funktionenkörper K kann man aus den oben erwähnten Resultaten von Deuring über das Zerlegungsverhalten der t–Funktionalprimdivisoren von R in K schließen, daß von den endlich vielen Beiträgen der irregulären 𝔭 abgesehen gilt:

ζ_{K}(s) ∼ ζ_{K}(s)ζ_{K}(s − 1) ∏_{i=1}^{2g} ∏_{𝔭}(1 − \frac{ω_{i}(𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s}} ) ,

wo jeweils ω_{i}(𝔭) die 2g Nullstellen von ζ_{K_{𝔭}}(s) (in 𝔑(𝔭)^{s} gemessen) durchläuft. Nach der von A. Weil bewiesenen Riemannschen Vermutung in Kongruenzfunktionenkörpern sind nun die Beträge

|ω_{i}(𝔭)| = 𝔑(𝔭)^{\frac{1}{2}} .

Daraus liest man ab, daß ζ_{K}(s) jedenfalls für ℜ(s) > \frac{3}{2} analytisch ist, mit einzigem Pol erster Ordnung bei s = 2.

II. Der Spezialfall vom Fermatschen Typus.

§4. Das Zerlegungsgesetz für die arithmetischen Primdivisoren.

Allgemeiner Fermatscher Typus:

K = K(u_{1}, u_{2}) mit \frac{u_{1}^{m_{1}}}{γ_{1}} + \frac{u_{2}^{m_{2}}}{γ_{2}} = 1,

K bel. alg. Zahlkp., m_{1}, m_{2} bel. nat. Zahlen, γ_{1}, γ_{2} ≠ 0 bel. Zahlen aus K,

t = \frac{u_{1}^{m_{1}}}{γ_{1}} , 1 − t = \frac{u_{2}^{m_{2}}}{γ_{2}} , R = K(t)

K = R ( \sqrt[m_{1}]{γ_{1}t} \sqrt[m_{2}]{γ_{2}(1 − t)} )

Bei Betrachtung eines festen arithmetischen Primdivisors 𝔭 von R kann man γ_{1}, γ_{2} ganz für 𝔭 und frei von m_{1}–ten, m_{2}–ten Potenzen für 𝔭 normieren und erhält so für jedes 𝔭 eine besondere Normierung von u_{1}, u_{2}, während ausgezeichnete Transzendente t fest ist.

Geschlecht: 2g = (m_{1} − 1)(m_{2} − 1) − (m_{0} − 1), m_{0} = (m_{1}, m_{2})
Regulär:  alle 𝔭, die nicht in m_{1}, m_{2} und nicht in den m_{1}, m_{2}–Kernen
von γ_{1}, γ_{2} stecken.

Für die irregulären 𝔭 wird Zerlegungsgesetz sehr kompliziert; viele Fallunterscheidungen.

Spezieller Fermatscher Typus:

K enthält die m–ten Einheitswurzeln, m = [m_{1}, m_{2}] γ_{1}, γ_{2} = 1, also u_{1}^{m_{1}} + u_{2}^{m_{2}} = 1.

Dann K bizyklisch vom Typus {m_{1}, m_{2}}.

K = R_{1}R_{2} mit R_{1} = R ( \sqrt[m_{1}]{t}), R_{2} = R ( \sqrt[m_{2}]{1 − t}).

Zerlegungsgesetz lautet dann:

𝔭 stets unzerlegt, also nur einen einzigen Primteiler

Regulärer Fall 𝔭 ∤ m (Spezialfall):

K_{𝔭} = R_{𝔭} ( \sqrt[m_{1}]{t}, \sqrt[m_{2}]{1 − t} ) , g_{𝔭} = g.

Irregulärer Fall 𝔭 | m (allgemeiner Fall):

K_{𝔭} = R′_{𝔭} ( \sqrt[m′_{1}]{t′}, \sqrt[m′_{2}]{1 − t′} ) mit R′_{𝔭} = R_{𝔭}(t′) = R𝔭^{\frac{1}{qq′_{0}}}, t′^{q_{0}q′_{0}} ≡ t mod 𝔭,

2g_{𝔭} = (m′_{1} − 1)(m′_{2} − 1) − (m′_{0} − 1), wo m′_{1}, m′_{2}, m′_{0} die zu p primen Bestandteile von m_{1}, m_{2}, m_{0} und q, q_{0} die p–Potenzen in m, m_{0}, sowie q′_{0} nicht näher bestimmter Teiler von q_{0}.

In jedem Falle läßt sich ein eindeutig bestimmter Restklassenhomomorphismus der Galoisgruppe 𝔊 von K/R auf die Galoisgruppe 𝔊_{𝔭} von K_{𝔭}/R_{𝔭} definieren, nämlich durch Anwendung der S aus 𝔊 auf die erzeugenden Radikale und Übertragung der Einheitswurzelfaktoren ζ aus K als ζ mod 𝔭 aus K_{𝔭}. Im regulären Falle ist das sogar ein Isomorphismus.

Dabei werden die Charaktere χ von 𝔊 homomorph abgebildet auf die Charaktere χ_{𝔭} von 𝔊_{𝔭} und diese weiter nach dem Artinschen Reziprozitätsgesetz isomorph auf die Charakterpaare χ_{1}, χ_{2} der Exponenten m_{1}, m_{2} von K_{𝔭}, nämlich mittels der Potenzrestsymbole:

𝔊_{𝔭} dargestellt durch das Artinsymbol (\frac{K/R}{𝔓_{𝔭}}), wo 𝔓_{𝔭} die Primdiv. ersten Grades von R_{𝔭} durchläuft, gegeben durch t − ξ ≅ \frac{𝔓_{𝔭}}{[…]}, ξ mod 𝔭, ξ in K.

Anwendung von (\frac{K/R}{𝔓_{𝔭}}) auf Radikale \sqrt[m_{1}]{t}, \sqrt[m_{2}]{1 − t} liefert Charaktere von 𝔊_{𝔭}. Diese Anwendung stellt sich so dar:

(\frac{t}{𝔓_{𝔭}})_{m_{1}} = (\frac{ξ}{𝔭})_{m_{1}}, (\frac{1 − t}{𝔓_{𝔭}})_{m_{2}} = (\frac{1 − ξ}{𝔭})_{m_{2}}

mit Potenzrestsymbolen in R_{𝔭} bzw. K_{𝔭}.

Im folgenden interessieren diejenigen Charakterpaare χ_{1}, χ_{2} von K_{𝔭}, für welche

χ_{1} ≠ 1, χ_{2} ≠ 1, χ_{1}χ_{2} ≠ 1 kurz (χ_{1}, χ_{2}) ≁ 1

ist.Ihnen sind als Urbilder isomorph zugeordnet diejenigen Charaktere χ_{𝔭} von 𝔊_{𝔭}, für welche

χ_{𝔭} nicht schon Charakter eines der Teilkörper

R_{𝔭} ( \sqrt[m_{1}]{t}) , R_{𝔭} ( \sqrt[m_{2}]{1 − t}) , R_{𝔭} ( \sqrt[m_{0}]{\frac{t}{1 − t}})

ist, kurz χ_{𝔭} ≁ 1.

Diesen wieder entspringen homomorph aus denjenigen Charakteren χ von 𝔊, für welche χ nicht schon Charakter eines der Teilkörper

R ( \sqrt[m_{1}]{t}) , R ( \sqrt[m_{2}]{1 − t}) , R ( \sqrt[m_{0}]{\frac{t}{1 − t}}) ,

ist, kurz χ ≁ 1.

Es gilt also

χ ∼ 1 ⟶ χ_{𝔭} ∼ 1, χ ≁ 1 ⟵ χ_{𝔭} ≁ 1,

aber nicht notwendig umgekehrt.

§5. Aufspaltung der Kongruenzzetafunktion in Kongruenz–L–Funktionen.

Nach Davenport–Hasse hat man die klassenkörpertheoretische Zerlegung

ζ_{K_{𝔭}}(s) = ζ_{R_{𝔭}}(s) ∏_{χ_{𝔭}≁1} L(s|χ_{𝔭})

mit den Kongruenz–L–Funktionen

L(s|χ_{𝔭}) = 1 − \frac{ω(χ_{1}, χ_{2})}{𝔑(𝔭)^{s}} , χ_{𝔭} ⟷ (χ_{1}, χ_{2})

wo

= ∑_{\begin{matrix}ξ_{1},ξ_{2} mod 𝔭 \\ ξ_{1}+ξ_{2}≡1 mod 𝔭 \end{matrix}}χ_{1}(ξ_{1})χ_{2}(ξ_{2})

die sogen. Jacobischen Summen.

Diese können nach dem eben Gesagten als den Charakteren χ von 𝔊 zugeordnet angesehen werden, und zwar sei festgesetzt:

ω(χ|𝔭) = ω(χ_{1}, χ_{2}), wenn χ_{𝔭} ≁ 1, χ_{𝔭} ⟷ (χ_{1}, χ_{2})
ω(χ|𝔭) = 0, wenn χ_{𝔭} ∼ 1.

Dann hat man

ζ_{K_{𝔭}}(s) = ζ_{R_{𝔭}}(s) ∏_{χ≁1} (1 − \frac{ω(χ|𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s}}) .

Durch Multiplikation über alle 𝔭 erhält man:

ζ_{K}(s) = ζ_{R}(s) ∏_{χ≁1} L_{R}(s|χ)

mit

L_{R}(s|χ) = ∏_{𝔭}L_{R_{𝔭}}(s|χ_{𝔭}) = ∏_{𝔭}(1 − \frac{ω(χ|𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s}}) für χ ≁ 1.

Diese Bildung kann als L–Funktion zu einer Kongruenzklasseneinteilung der Punkte ersten Grades (𝔭, 𝔓_{𝔭}) in R angesehen werden, entsprechend der Schreibweise:^{1}

L_{R}(s|χ) = ∏_{𝔭} ∏_{𝔓_{𝔭}} \frac{1}{1 − \frac{χ_{𝔭}(𝔓_{𝔭})}{𝔑(𝔓_{𝔭})^{s}}} = ∏_{𝔭}L_{R_{𝔭}}(s|χ_{𝔭}).

§6. Die Jacobischen Summen als Größencharaktere.

Es handelt sich jetzt um die Abhängigkeit der Jacobischen Summen ω(χ| 𝔭) von dem Primdivisor 𝔭 von K.

A. Weil hat allgemein gezeigt, daß die ω(χ|𝔭) für reguläre 𝔭 die Primdivisorwerte eines Heckeschen Größencharakters ω(χ|𝔞) von K sind, dessen Führer jedenfalls ein Teiler von m^{2} ist.

Da meine Untersuchungen zur Einbeziehung auch der irregulären 𝔭 für beliebige Exponenten m_{1}, m_{2} und beliebigen Körper K (der die m–ten E. W. enthält) noch nicht abgeschlossen sind, beschränke ich mich fortan auf den Spezialfall:

m_{1} = m_{2} = m_{0} = m = ℓ ≠ 2 Primzahl

der gewöhnlichen Fermatschen Gleichung u_{1}^{ℓ} + u_{2}^{ℓ} = 1 über dem Körper

K = P(ζ), ζ = \sqrt[ℓ]{1} , der ℓ–ten Einheitswurzeln.

Hier läßt sich das Weilsche Resultat ganz einfach aus den Ergebnissen von Davenport–Hasse folgern.

1. teilweise undeutlich

Setze

ω(χ|𝔞) = ∏_{𝔭}ω(χ|𝔭)^{w_{𝔭}(𝔞)}

für beliebige Divisoren 𝔞 von K, die zu dem einzigen irregulären Primdivisor 𝔩|ℓ mit 𝔩^{ℓ−1} ≅ ℓ prim sind. Dann bestehen nach Davenport–Hasse folgende Eigenschaften:

(1.) Automorphieverhalten ω(χ^{r}|𝔞) = ω(χ|𝔞)^{σ_{r}} wo σ_{r}^{−1} = (ζ ⟶ ζ^{r})
(r prim zu ℓ).
(2.) Absoluter Betrag  ω(χ|𝔞) = 𝔑(𝔞)^{\frac{1}{2}} .
(3.) Primdivisorzerlegung ω(χ|𝔞) ≅ 𝔞^{∑_{r} δ(χ^{r})σ_{r}}  (r prim zu ℓ),

wo δ(χ^{r}) = 0 oder 1 die Übertragungszahl bei der Addition der kleinsten positiven Reste rμ_{1}, rμ_{2} mod ℓ ist, die den Exponenten μ_{1}, μ_{2} mod ℓ von χ bei der Darstellung durch Potenzrestsymbole entsprechen.

Aus diesen Eigenschaften folgert man nach dem Prinzip der arithmetischen Kennzeichnung fast unmittelbar, schärfer als bei Weil:

(4.) Führereigenschaft ω(χ|α) = 1 für Zahlen α ≡ 1 mod 𝔩^{2} aus K,

bei gewissen χ unter Umständen sogar für α ≡ 1 mod 𝔩, aber sicher nicht für alle zu 𝔩 primen α.

Die Eigenschaften (3.), (4.) besagen, daß ω(χ|𝔞) unter die Definitionsforderungen der Heckeschen Größencharaktere fällt; dieser Größencharakter werde kurz mit ω(χ) bezeichnet.

Normierter Größencharakter λ(χ)

Über die Alternative, ob der Führer 𝔩^{2} oder 𝔩 ist, konnte ich noch genauer folgende interessante Regel beweisen. Für diejenigen Charaktere χ^{r}, die aus χ mit den Exponenten 1, 1 mod ℓ entspringen, gilt:

ω(χ^{r}) hat den Führer 𝔩 genau dann, wenn \frac{2^{ℓ}−2}{ℓ} ≡ 0 mod ℓ ist, wenn also ℓ eine Wieferichsche Primzahl ist.

Allgemeiner bei 1, μ tritt Frage nach ∑_{(μ+1)r≦ℓ} \frac{1}{r} mod ℓ auf.

Meine Ansätze erscheinen auch zur Behandlung des allgemeineren Falles beliebiger Exponenten m_{1}, m_{2} geeignet. So konnte ich zum Beispiel auch im Falle m_{1} = m_{2} = m_{0} = m = 2^{2} durchkommen und fand abweichend von Weil

ω(χ) hat \{ \begin{matrix}Führer 4 & für Exponenten & (μ_{1}, μ_{2}) ≡ ±(1, 1) & mod 4 \\ Führer 2𝔩 & für Exponenten & (μ_{1}, μ_{2}) ≡ ±(1, 2), ±(2, 1) & mod 4. \end{matrix}

§7. Aufspaltung der Zetafunktion in L–Funktionen.

Durch Ausführung der Multiplikation über alle Primdivisoren 𝔭 von K ergibt sich für die Zetafunktion von K die Aufspaltung

ζ_{K}(s) = ζ_{R}(s) ∏_{χ≁1} L_{R}(s|χ) = ζ_{K}(s)ζ_{K}(s − 1) ∏_{χ≁1} L_{K}(s − \frac{1}{2}|ω(χ))^{−1}

mit

L_{K}(s − \frac{1}{2}|ω(χ)) = ∏_{𝔭} \frac{1}{1 − \frac{ω(χ|𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s}}} = ∏_{𝔭} \frac{1}{1 − \frac{λ(χ,𝔭)}{𝔑(𝔭)^{s− \frac{1}{2}}}} ,

wo der Tatsache |ω(χ, 𝔭)| = 𝔑(𝔭)^{\frac{1}{2}} entsprechend der zugeordnete auf Betrag 1 normierte Heckesche Größencharakter durch

ω(χ, 𝔭) = \frac{λ(χ, 𝔭)}{𝔑(𝔭)^{\frac{1}{2}}}

definiert ist.

Demnach ist ζ_{K}(s) eine meromorphe Funktion mit einer Funktionalgleichung bei s ⟶ 2 − s, und mit Polen erster Ordnung bei s = 1, s = 2 sowie bei den nicht–trivialen Nullstellen der L_{K}(s − \frac{1}{2} |ω(χ)).

Für beliebige Exponenten m_{1}, m_{2} gilt Entsprechendes, wenn es noch gelingt zu zeigen, daß alle Primteiler 𝔭 von m wirklich im Führer von ω(χ) aufgehen, was nicht schwierig erscheint.

Für echte Erweiterungskörper K des m–ten Einheitswurzelkörpers Z erweist sich ganz einfach ω(χ) als derjenige Größencharakter von K, der durch Normbildung mit dem wie vorstehend definierten von Z zusammenhängt.

Wie gesagt:

Grundlage für neue arithmetische Theorie, an einfachem, bis ins letzte Detail durchsichtigen Beispiel erläutert, als Richtlinie für weitere Ausgestaltung der Theorie im allgemeinen Fall.

Es erheben sich nach Analogie der Zahlkörpertheorie mannigfache Fragen, so z. B. nach Herausarbeiten der entsprechenden Dichtigkeitssätze über diophantische Gleichungen, wo ja gerade der behandelte Spezialfall besonders interessant wäre.

Vor allem aber nach einer Einsicht in den klassenkörpertheoretischen Mechanismus, nach dem gerade die Heckeschen L–Funktionen bei den arithmetischen Funktionenkörpern auftreten.

\underline{Istanbul 1955} 271

1.24 Istanbul 1955

Über das Analogon zur Riemannschen Vermutung in Kongruenzfunktionenkörpern.

Vortrag Istanbul, 26. 3. 1955

§1. Gewöhnliche Riemannsche Vermutung und Primzahlsatz.

Die Theorie der Verteilung der Primzahlen fragt nach einem expliziten Ausdruck für die Anzahlfunktion

π_{0}(x) = ∑_{p≦x}1

der Primzahlen p unter einer gegebenen (reell–positiven) Schranke x, und zwar soll der explizite Ausdruck so beschaffen sein, daß man aus ihm eine möglichst gute elementare Annäherungsfunktion ablesen und die Größenordnung des Fehlerglieds bei x ⟶ ∞ abschätzen kann. Es ist das eine Aufgabe über eine statistische Verteilung, wobei als Grundereignis die Eigenschaft einer natürlichen Zahl n auftritt, eine Primzahl p zu sein.

1. Riemann hat zur Behandlung dieser Aufgabe analytische Methoden herangezogen, deren Grundgedanken bereits auf Euler und Dirichlet zurückgehen. Er betrachtet die über alle natürlichen Zahlen n erstreckte Dirichletsche Reihe

ζ(s) = ∑_{n} \frac{1}{n^{s}} ,

und zwar als Funktion einer komplexen Variablen s. Als solche konvergiert sie für ℜ(s) > 1. Sie erweist sich durch das Schleifenintegral

\frac{1}{2πi} ∫ \frac{z^{s}}{e^{−z} − 1} \frac{dz}{z} = \frac{sin πs}{π}Γ(s)ζ(s) = \frac{1}{Γ(1 − s)}ζ(s)

in die ganze s–Ebene analytisch fortsetzbar mit einzigem

Pol 1. Ordnung bei s = 1, Residuum 1.

Ihr Zusammenhang mit den Primzahlen p wird geliefert durch die Eulersche Identität

ζ(s) = ∏_{p} \frac{1}{1 − \frac{1}{p^{s}}} ,

gültig im Konvergenzgebiet ℜ(s) > 1 der zum Ausgang genommenen Dirichletschen Reihe.

2. Die analytische Behandlung des Primzahlproblems beruht darauf, daß sich vermöge dieser Eulerschen Identität eine mit π_{0}(x) eng verwandte Anzahlfunktion π(x) ausdrücken läßt. Die Dirichletsche Reihe

− log ζ(s) = ∑_{p} ∑_{ν} \frac{1}{ν} \frac{1}{p^{νs}} (ℜ(s) > 1)

hat nämlich die Koeffizientenpartialsumme

π(x) = ∑_{p^{ν}≦x} \frac{1}{ν} = π_{0}(x) + \frac{1}{2}π_{0}(x^{\frac{1}{2}} ) + \frac{1}{3}π_{0}(x^{\frac{1}{3}} ) + ⋯

Für die analytische Behandlung ist es zweckmäßig, diese abgerundete Anzahlfunktion π(x) zugrundezulegen, bei der nicht nur die Primzahlen p selbst, sondern auch ihre Potenzen p^{ν} gezählt werden, und zwar mit den Gewichten \frac{1}{ν} . Außerdem soll für ganzzahliges x, wenn speziell x = p^{ν} ist, diese letzte Primzahlpotenz nur halb, also mit dem Gewicht \frac{1}{2ν} , gezählt werden. Die Abrundung von π_{0}(x) zu π(x) ist so, daß ihr Effekt von dem nachher anzugebenden Restglied in der Primzahlformel verschluckt wird.

3. Man kann die analytische Behandlung noch etwas einfacher gestalten, indem man zur logarithmischen Ableitung übergeht:

−\frac{d}{ds} log ζ(s) = −\frac{ζ′(s)}{ζ(s)} = ∑_{p} ∑_{ν} \frac{log p}{p^{νs}} (ℜ(s) > 1).

Deren Koeffizientenpartialsumme

ψ(x) = ∑_{p^{ν}≦x}log p = ψ_{0}(x) + ψ_{0}(x^{\frac{1}{2}} ) + ψ_{0}(x^{\frac{1}{3}} ) + ⋯

zählt die Primzahlpotenzen p^{ν} mit den (von ν unabhängigen) Gewichten log p, wobei wieder für ganzzahliges x, wenn speziell x = p^{ν} ist, diese Primzahlpotenz nur halb, also mit dem Gewicht \frac{1}{2} log p, gezählt werden soll. Sie entspringt aus der weniger organischen Anzahlfunktion

ψ_{0}(x) = ∑_{p≦x}log p

durch Abrundung auf Primzahlpotenzen. Kennt man eine ψ(x) entsprechende Annäherungsfunktion und das dabei auftretende Restglied, so ergeben sich Annäherungsfunktion und Restglied für π(x) durch eine elementare Umrechnung, und auch umgekehrt; kurz die Problemstellungen für π(x) und ψ(x) sind miteinander äquivalent.

4. Die Anzahlfunktionen π(x), ψ(x) sind unstetig, nämlich sogenannte Treppenfunktionen. Aus der Theorie der Fourierschen Reihen ist bekannt, daß man auch derartige Funktionen explizit durch unendliche Reihen stetiger Funktionen darstellen kann. Es ist das Verdienst von Riemann, eine solche explizite, analytische Darstellung für die Primzahlfunktion π(x) angegeben zu haben. Es mag hier genügen, die entsprechende explizite, analytische Darstellung für die modifizierte Primzahlfunktion ψ(x) anzugeben. Sie entsteht durch Auswertung des Integrals

\frac{1}{2πi} ∫_{˙0} (−\frac{ζ′(s)}{ζ(s)}) x^{s} \frac{ds}{s}

über ein nach oben und links ins Unendliche rückendes Rechteck, ein formaler Integrationsprozeß für Dirichletsche Reihen, analog dem Cauchyschen Integrationsprozeß zur Heraushebung der Koeffizienten einer Potenzreihe. Die Auswertung nach dem Residuensatz liefert nach Ausführung des Grenzübergangs mit dem Integrationsweg die folgende explizite Formel:

ψ(x) = x − log 2π − \frac{1}{2} log \sqrt{1 − \frac{1}{x^{2}}} − ∑_{ρ} \frac{x^{ρ}}{ρ} ,

wo die restliche Summe über die nicht–trivialen Nullstellen ρ der Zetafunktion ζ(s) — oder also die nicht–trivialen Pole der logarithmischen Ableitung −\frac{ζ′(s)}{ζ(s)} — erstreckt ist.

5. Über diese nicht–trivialen Nullstellen ist folgendes zu sagen. Die oben angegebene, in der ganzen s–Ebene gültige Darstellung von \frac{1}{Γ(s−1)}ζ(s) als Schleifenintegral gestattet zu folgern, daß die Zetafunktion der Funktionalgleichung genügt:

π^{− \frac{s}{2}} Γ (\frac{s}{2}) ζ(s) ist bei s ⟶ 1 − s invariant,

die eine Spiegelsymmetrie am Punkte s = \frac{1}{2} der angegebenen Bildung bedeutet. Nun ist aus der Eulerschen Produktdarstellung klar, daß ζ(s) in der rechten Halbebene ℜ(s) > 1 keine Nullstellen hat, und man kann auch noch zeigen, daß auf dem Rande ℜ(s) = 1 keine Nullstellen liegen. Die Funktionalgleichung ergibt dann, daß ζ(s) in der linken Halbebene ℜ(s) ≦ 0 nur die trivialen (durch den Γ–Zusatzfaktor bedingten) Nullstellen −2m hat. Nicht– triviale Nullstellen ρ können demnach nur im kritischen Streifen

0 < ℜ(s) < 1

[figure: 0; 1; \frac{1}{2}; 1 − \overline{ρ}; 1 − ρ; ρ; \overline{ρ}]

liegen, und zwar gruppieren sich solche im Hinblick auf die Spiegelung an \frac{1}{2} (durch die Funktionalgleichung) und die Spiegelung an der reellen Achse (durch den Übergang zum konjugiert–komplexen \overline{ζ(s)} = ζ(\overline{s})) in Rechtecken der angegebenen Art.

Daß es wirklich unendlich viele nicht–triviale Nullstellen ρ gibt, beweist man durch Anwendung des Hauptsatzes der Hadamardschen Theorie der ganzen Funktionen auf die ganze, bei s ⟶ 1 − s invariante Funktion

s(1 − s)π^{− \frac{s}{2}} Γ (\frac{s}{2}) ζ(s),

bei der die trivialen Nullstellen −2m durch den Faktor Γ (\frac{s}{2}) und die beiden Pole 0, 1 durch den Faktor s(1 − s) eliminiert sind. Man erkennt übrigens auch noch leicht, daß diese nicht–trivialen Nullstellen nicht auf der reellen Symmetrielinie 0 < s < 1 des kritischen Streifens liegen, weil nämlich die Reihe

(1 − \frac{2}{2^{s}} ) ζ(s) = \frac{1}{1^{s}} − \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} − \frac{1}{4^{s}} + ⋯

sogar für ℜ(s) > 0 noch bedingt konvergiert und im Intervall 0 < s < 1 ersichtlich positiv ist. Die nicht–trivialen Nullstellen ρ von ζ(s) sind also echt komplex.

Mittels der logarithmischen Residuenformel hat man für ihre Anzahl N(T) im Rechteck

0 < ℜ(s) < 1 , |ℑ(s)| < 2πT

die asymptotische Form

N(T) = T log T − T + 𝒪(log T)

bewiesen.

6. Alle diese Aussagen über ζ(s) hat Riemann in seiner berühmten Arbeit „Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze“ (1859) teils bewiesen, teils vermutet und plausibel gemacht, und andere (Hadamard, v. Mangoldt) haben die exakten Beweise erbracht. Nur eine der von Riemann ausgesprochenen Vermutungen ist bis heute unbewiesen geblieben und hat allen Anstrengungen der bedeutendsten Mathematiker des inzwischen vergangenen Jahrhunderts getrotzt. Sie ist heute unter dem Namen „die Riemannsche Vermutung“ bekannt und berühmt. Sie lautet:

Die nicht–trivialen Nullstellen ρ von ζ(s) liegen sämtlich auf der imaginären Symmetrielinie ℜ(s) = \frac{1}{2} des kritischen Streifens.

Wenn diese Riemannsche Vermutung zutrifft, folgt aus der vorher angegebenen expliziten Formel für die modifizierte Primzahlfunktion leicht

ψ(x) = x + 𝒪(\sqrt{x} log^{2} x)

und damit für die von Riemann betrachtete Primzahlfunktion dann

π(x) = ∫_{0}^{x} \frac{du}{log u} + 𝒪(\sqrt{x} log x),

wobei jeweils das erste Glied rechts die Annäherungsfunktion ist das zweite die Größenordnung des Fehlergliedes angibt. Diese Formeln gelten, wie gesagt, auch für die ursprünglichen Anzahlfunktionen ψ_{0}(x), π_{0}(x) bei denen nur die Primzahlen p selbst (nicht auch ihre Potenzen) mit den Gewichten log p bzw. 1 gezählt werden.

Könnte man wenigstens beweisen, daß alle Realteile ℜ(ρ) < θ mit einem festen θ < 1 sind, so würden sich die obigen Formeln mit x^{θ} statt \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} ergeben. Bis heute hat man aber nicht einmal das beweisen können. Daher mußte man sich für das Primzahlproblem mit einer viel gröberen Abschätzung des Fehlergliedes begnügen, bei der die Größenordnung nur „unendlich wenig“ unter der Größenordnung x bzw. \frac{x}{log x} des Hauptgliedes liegt:

ψ(x) = x + 𝒪 (\frac{x}{e^{a\sqrt{log x log log x}}} ) ,

π(x) = ∫_{0}^{x} \frac{du}{log u} + 𝒪 (\frac{x}{e^{a\sqrt{log x log log x}}} ) ,

mit einer positiven Konstante a. Diese als Primzahlsatz mit Restabschätzung bekannten, bisher wirklich bewiesenen Ergebnisse haben aber im Hinblick auf die große Plausibilität der Riemannschen Vermutung nur provisorischen Charakter.

Unter Annahme der Riemannschen Vermutung hat man schließlich zeigen können, daß die Größenordnungen

𝒪 (\sqrt{x} log^{2} x) bzw. 𝒪 (\sqrt{x} log x)

ziemlich genau an den bisher unbekannten wahren Größenordnungen liegen, daß nämlich die unteren Abschätzungen bestehen:

ψ(x) − x = Ω^{±}(\sqrt{x} log log log x),
π(x) − ∫_{0}^{x} \frac{du}{log u} = Ω^{±} (\frac{\sqrt{x}}{log x} log log log x) ,

d. h. das Restglied wird immer mal wieder größer als eine feste Konstante mal dem Ω^{±}–Argument, und zwar sowohl positiv als auch negativ. Zwischen den oberen und unteren Abschätzungen klafft demnach „nur“ eine Lücke von der Größenordnung

\frac{log^{2} x}{log log log x} .

§2. Verteilungsprobleme und Zetafunktionen für Kongruenzfunktionenkörper.

Wir haben gesehen, daß die endgültige Lösung des Primzahlverteilungsproblems von dem Beweis der Riemannschen Vermutung über die nicht– trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion abhängt. Nun gibt es in der höheren Zahlentheorie einen Typus von statistischen Verteilungsproblemen, denen ebenfalls eine Art von Zetafunktionen zugeordnet sind, und wo die Lösung ebenfalls darauf hinausläuft, für diese Zetafunktionen das Analogon zur Riemannschen Vermutung zu beweisen. Dabei ist aber die Sachlage sehr viel einfacher als bei der gewöhnlichen Zetafunktion. Man hat hier den Beweis des Analogons zur Riemannschen Vermutung tatsächlich erbringen können und hat damit die genaue Größenordnung des Restgliedes für die in Rede stehenden statistischen Verteilungsprobleme bestimmt.

1. Die größere Einfachheit liegt daran, daß es sich bei den neuartigen Zetafunktionen um Dirichletsche Reihen handelt, die nicht nach allen natürlichen Zahlen n, sondern nur nach Potenzen p^{ν} einer festen Primzahl p fortschreiten:

ζ(s) = ∑_{ν=0}^{∞} \frac{a_{ν}}{p^{νs}} (ℜ(s) > 1).

Eine solche Dirichletsche Reihe kann durch die Variablensubstitution

z = \frac{1}{p^{s}}

in eine Potenzreihe

Z(z) = ∑_{ν=0}^{∞} a_{ν}z^{ν} (|z| < \frac{1}{p})

transformiert werden. Die Funktion ζ(s) ist periodisch mit der Grundperiode \frac{2πi}{log p}, und der Übergang zu Z(z) bedeutet, daß man den Grundperiodenstreifen:

[figure: ℜ(s) > 1; |ℑ(s)| < \frac{π}{log p}; 1 + \frac{πi}{log p}; 1; 1 − \frac{πi}{log p}]
s–Ebene

umkehrbar eindeutig konform auf das Kreisinnere:

[figure: \frac{1}{p}; 0; z–Ebene; |z| < \frac{1}{p}]

abbildet. Dadurch werden dann ev. Nullstellen ρ von ζ(s) zu Serien homologer

ρ_{k} = ρ_{0} + {2πik \atop log p} (k bel. ganz), kurz ρ mod {2πi \atop log p} ,

zusammengefaßt. Jeder solchen Serie homologer Nullstellen von ζ(s) entspricht eineindeutig eine einzige Nullstelle

ω = {1 \atop p^{ρ}}

von Z(z). Daß bei analytischer Fortsetzung die Nullstellen ρ mod {2πi \atop log p} von ζ(s) sämtlich auf der

(arithm.) Mittellinie ℜ(s) = {1 \atop 2} des kritischen Streifens 0 < ℜ(s) < 1

liegen, übersetzt sich darin, daß bei analytischer Fortsetzung die Nullstellen ω von Z(z) sämtlich auf dem

(geom.) Mittelkreis |z| = \frac{1}{\sqrt{p}} des kritischen Kreisrings 1 > |z| > \frac{1}{p}

liegen:

[figure: ρ_{1}; ρ_{0}; ρ_{−1}; \frac{1}{2}; 0; 1; \frac{2π}{log p}; k = 1; k = 0; k = −1; s–Ebene]

Bei den in Rede stehenden statistischen Verteilungsproblemen ist nun die Funktion ζ(s) so beschaffen, daß die transformierte Funktion Z(z) nur endlich viele Nullstellen ω besitzt, also ζ(s) selbst nur endlich viele Serien homologer Nullstellen ρ mod \frac{2πi}{log p} hat.

Es sollen jetzt die in Rede stehenden statistischen Verteilungsprobleme und die ihnen zugeordneten Zetafunktionen genauer beschrieben werden.

2. Ausgangspunkt dafür ist der rationale Kongruenzfunktionenkörper R zu einer gegebenen Primzahl p, als Analogon des rationalen Zahlkörpers P.

Bekanntlich erhält man für jede Primzahl p einen endlichen Körper Ω von genau p Elementen, indem man mit den gewöhnlichen ganzen Zahlen nur mod p rechnet, d. h. beim Rechnen nicht auf die genaue Größe der Zahlen sondern nur auf ihren Divisionsrest mod p achtet.

Beispiel p = 2:

Rechenelemente \{ \begin{matrix}0 mod 2 = gerade Zahlen; Symbol çift \\ 1 mod 2 = ungerade Zahlen; Symbol tek \end{matrix} \}

çift + çift = çift çift × çift = çift
çift + tek = tek çift × tek = çift
tek + tek = çift tek × tek = tek.

Man betrachtet nun die Gesamtheit der Polynome in einer Unbestimmten x über einem solchen endlichen Körper Ω, also

A = A(x) = α_{0} + α_{1}x + ⋯ + α_{n}x^{n} (α_{ν} in Ω).

Sie bilden einen Integritätsbereich G = Ω[x]. Dieser kann mit dem Integritätsbereich Γ der gewöhnlichen ganzen Zahlen, oder vielmehr mit dem Halbintegritätsbereich Γ^{+} der nicht–negativen ganzen Zahlen a folgendermaßen gegenübergestellt werden:

Elementgesamtheit (Gleichheitsrelation)

a = α_{0}α_{1}α_{2} ⋯ α_{n}  A = α_{0}α_{1}α_{2} ⋯ α_{n}
im p–adischen Ziffernsystem als Koeff. System eines Polynoms σ
geschrieben  über Ω aufgefaßt.

Rechenoperationen (Addition, Multiplikation) nach geläufigem Schema

mit Ziffernübertragung  ohne Ziffernübertragung.

Von diesem Integritätsbereich ℑ = Ω[x] bildet man weiter den Quotientenkörper G = Ω(x), bestehend aus allen Polynomquotienten

\frac{A(x)}{B(x)} mit Nenner B(x) ≠ 0.

Er ist bei dem angegebenen modifizierten Rechenschema das Analogon des rationalen Zahlkörpers P.

∗ Im folgenden durchweg \{ \begin{matrix}G & statt & Ω[x] \\ R & ∥ & Ω(x) \end{matrix} \} schreiben!

Die Polynome A ≠ 0 aus Ω[x] (und damit auch die Polynomquotienten aus Ω(x)) setzen sich eindeutig aus Primpolynomen P und einer Konstanten α ≠ 0 aus Ω zusammen, analog zu der eindeutigen Zusammensetzung der Zahlen a ≠ 0 aus Γ (und damit auch der aus P) aus Primzahlen p und einem Einheitsfaktor ±1. Der Normierung p > 0 der Primzahlen entspricht hierbei die Normierung der Primpolynome P auf höchsten Koeffizienten 1; in der Tat sind die Konstanten α ≠ 0 aus Ω gerade die Einheiten in Ω[x].

Die Polynome A sind zwar keine Zahlen im gewöhnlichen Sinne, sondern nur solche in dem angegebenen modifizierten Sinne. Man kann aber dennoch ihre „Größe“ in vernünftiger Weise durch gewöhnliche Zahlen messen. Für eine gewöhnliche positive ganze Zahl a ist ja ihre „Größe“ auch deutbar als die Anzahl der Restklassen mod a. Hat nun A als Polynom in x den genauen Grad n (oben α_{n} ≠ 0), so besteht das reduzierte Restsystem mod A in Ω[x] aus allen Polynomen über Ω, deren Grad < n ist. Solche Polynome gibt es genau p^{n}. Man definiert demgemäß die Größenmaßzahl von A als

𝔑(A) = p^{n}, wo n = Grad A

und nennt diese Bildung die Absolutnorm von A.

3. Im rationalen Zahlkörper P war nun die Zetafunktion dadurch definiert, daß man die Bildung \frac{1}{a^{s}} über alle positiven ganzen Zahlen a summiert. Im Körper Ω(x) entsprechen den ganzen Zahlen die Polynome A aus dem Integritätsbereich Ω[x], und der Beschränkung auf positive Zahlen entspricht die Normierung auf höchsten Koeffizienten 1. Als Analogon in Ω(x) der Zetafunktion wird man demgemäß die folgende Bildung anzusehen haben:

ζ_{0}(s) = ∑_{A in Ω[x] höchster Koeff. 1} \frac{1}{𝔑(A)^{s}} = ∑_{n=0}^{∞} ∑_{𝔑(A)=p^{n}} \frac{1}{p^{ns}}  (ℜ(s) > 1).

Diese Dirichletsche Reihe von dem zuvor besprochenen Typus läßt sich elementar summieren. Die Anzahl der normierten Polynome A in Ω[x] vom Grade n ist ja einfach p^{n}, und daher hat man

ζ_{0}(s) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{p^{n}}{p^{ns}} = \frac{1}{1 − \frac{p}{p^{s}}} [= \frac{1}{1 − pz} = Z_{0}(z)]

Hierdurch wird ζ_{0}(s) über die ganze s–Ebene fortgesetzt. An Polen tritt lediglich eine Serie homologer bei s ≡ 1 mod \frac{2πi}{log p} von der Ordn. 1 auf. Dagegen besitzt diese Zetafunktion überhaupt keine Nullstellen.

Auf Grund der eindeutigen Primpolynomzerlegung besteht auch hier das Analogon der Eulerschen Produktformel:

ζ_{0}(s) = ∏_{P} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(P)^{s}}} (ℜ(s) > 1).

Man kann mit dieser Zetafunktion das Analogon der gewöhnlichen Primzahlverteilungslehre entwickeln, nämlich die Anzahlfunktion

π_{0}(x) = ∑_{𝔑(P)≦x} 1 oder besser π(x) = ∑_{𝔑(P^{ν})≦x} 1

(mit zweckmäßig x = p^{N}, also: Grad P ≦ N bzw. Grad P^{ν} ≦ N) explizit bestimmen und für x ⟶ ∞ (N ⟶ ∞) durch eine Annäherungsfunktion nebst Restglied darstellen. Es ist aber nicht dieses Verteilungsproblem, auf das wir hier abzielen. Vielmehr ist dies Verteilungsproblem ziemlich trivial. Eine explizite Formel für π_{0}(x) bzw. π(x) kann man schon auf elementar– algebraischem Wege mittels der Möbiusschen Umkehrformeln gewinnen. Es wäre nur eine ganz reizvolle Übungsaufgabe zur Algebra, den ganzen komplizierten Gedankengang der gewöhnlichen Primzahlverteilungslehre einmal für diesen viel einfacher gelagerten Fall in formal analoger Weise durchzuführen und so die gewöhnliche analytische Theorie in formaler, fast rein– algebraischer Weise zu beleuchten.

Analytisch äußert sich die Trivialität dieses Verteilungsproblems in dem schon erwähnten Umstand, daß die Zetafunktion ζ_{0}(s) keine Nullstellen hat. Bei den hier herauszuarbeitenden Verteilungsproblemen nicht–trivialer Art wird die Zetafunktion Nullstellen haben, die zu den nicht–trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion analog sind — triviale Nullstellen werden hier nicht auftreten — , und die Lösung des Verteilungsproblems wird auf den Beweis des Analogons der Riemannschen Vermutung für diese Nullstellen hinauslaufen.

4. Ehe wir an die Formulierung dieses Typus von Verteilungsproblemen gehen können, müssen wir noch die zuvor definierte Zetafunktion ζ_{0}(s) zu einer mehr organischen Zetafunktion ζ(s) abrunden, nämlich zu einer solchen die bei den Automorphismen x ⟶ \frac{αx+β}{γx+δ} (α, β, γ, δ aus Ω, αδ − βγ ≠ 0) invariant ist. Es geschieht das durch eine Umdeutung der Primpolynome P zu Primdivisoren 𝔓 oder Punkten im Sinne der projektiven algebraischen Geometrie. Wie wir schon zur Definition des Größenmaßes 𝔑(P) die Restklassenbildung mod P in Ω[x] herangezogen haben, so soll das jetzt auch für die zu gebende Umdeutung der P geschehen.

Wir betrachten zunächst die einfachsten Primpolynome P, nämlich die vom ersten Grade:

P (x) = x − α (α in Ω).

Sie entsprechen eineindeutig den p Elementen α aus dem Konstantenkörper Ω. Das volle Restsystem mod P besteht nur aus den 𝔑(P) = p Konstanten aus Ω, und zwar erhält man den konstanten Rest mod P eines A aus Ω[x] einfach nach dem Schema

A(x) ≡ A(α) mod P,

also durch Bildung des Funktionswertes A(α). Die Restklassenabbildung mod P ist ein Homomorphismus des Integritätsbereichs Ω[x] auf den Konstantenkörper Ω, der durch die Zuordnung (Einsetzung) x ⟶ α völlig beschrieben wird. Sie setzt sich nach dem Schema

\frac{A(x)}{B(x)} ⟶ \frac{A(α)}{B(α)}

eindeutig auf den vollen Körper Ω(x) fort, wenn man nur noch formal festsetzt, daß im Falle B(α) = 0 (bei reduzierter Bruchdarstellung \frac{A}{B}) der Rest ∞ sein soll, analog zur Einbeziehung des Funktionswerts ∞ in der komplexen Funktionentheorie. Und analog zur Einbeziehung des Arguments ∞ in der komplexen Funktionentheorie wollen wir auch hier noch ∞ zum Konstantenkörper Ω hinzugefügt denken und dementsprechend auch noch den Restklassenhomomorphismus x ⟶ ∞ von Ω(x) auf Ω mit in Betracht ziehen; er liefert in der geläufigen Weise (\frac{1}{x} ⟶ 0) für alle diejenigen \frac{A}{B} endliche Werte, für welche Grad A ≦ Grad B ist, speziell den Wert 0, wenn Grad A < Grad B ist.

Es zeigt sich nun, daß die vorstehend aufgeführten p + 1 Restklassenhomomorphismen von Ω(x) auf Ω überhaupt alle möglichen Homomorphismen von Ω(x) auf Ω sind, wobei „Homomorphismus“ in der angegebenen Weise unter Einbeziehung von ∞ zu verstehen ist. Diesen p + 1 Homomorphismen denken wir Symbole 𝔓 zugeordnet, die wir Primdivisoren ersten Grades oder rationale Punkte von Ω(x) nennen. Man beachte, daß diese Definition nur vom Körper Ω(x), nicht von der Erzeugenden x abhängt, also bei den Automorphismen x ⟶ \frac{αx+β}{γx+δ} von Ω(x) invariant ist.

Für ein Primpolynom P höheren Grades n liefert die Restabbildung mod P von Ω(x), wie aus den Grundlagen der höheren Algebra bekannt, gerade den algebraischen Erweiterungskörper

Ω^{(n)} = Ω(ξ) mit P (ξ) = 0

vom Grade n des Konstantenkörpers. Es ist das ein endlicher Körper von p^{n} Elementen — in amerikanischer Bezeichnung GF(p^{n}) — , der nur von dem Grade n von P (nicht von den Koeffizienten von P) abhängt. Diesen Primpolynomen P ordnen wir demgemäß Symbole 𝔓 zu, die Homomorphismen von Ω(x) auf endliche Erweiterungen von Ω bedeuten und Primdivisoren höheren Grades genannt werden.

Wir setzen allgemein die Absolutnorm

𝔑(𝔓) = p^{n},

wo n der Grad des Restklassenkörpers Ω^{(n)} bei 𝔓 ist.

Denkt man den Konstantenkörper Ω algebraisch–abgeschlossen, also alle Ω^{(n)} in ihn einbezogen, so lösen sich die Primdivisoren n–ten Grades in n Primdivisoren ersten Grades auf, entsprechend der jetzt notwendig werdenden Unterscheidung der n konjugierten ξ^{(ν)} zu dem obigen abstrakt– algebraischen ξ = (x mod P). Die Gesamtheit dieser bei algebraischem Abschluß von Ω entstehenden Primdivisoren — sämtlich ersten Grades — nennt man auch die algebraischen Punkte von Ω(x), weil sie den sämtlichen über Ω algebraischen Einsetzungen x ⟶ ξ, unter Unterscheidung konjugierter, eineindeutig entsprechen, während bei den Primdivisoren über Ω selbst die konjugierten Einsetzungen nicht unterschieden werden.

Für die Zetafunktion von Ω(x) ergibt diese Tieferlegung des Fundaments zunächst eine Auffüllung des Eulerschen Produkts um einen Faktor \frac{1}{1− \frac{1}{p^{s}}} , entsprechend dem hinzugekommenen Homomorphismus x ⟶ ∞, und dann eine veränderte, nämlich invariante Schreibweise. Die endgültige Zetafunktion ist in der Eulerschen Produktdarstellung gegeben durch:

ζ(s) = ∏_{𝔓} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(𝔓)^{s}}} = \frac{1}{1 − \frac{p}{p^{s}}} \frac{1}{1 − \frac{1}{p^{s}}} = \frac{1}{1 − pz} \frac{1}{1 − z} = Z(z).

Um auch die ursprüngliche Definition als Dirichletsche Reihe in dieser neuen, invarianten Weise schreiben zu können, bildet man die aus den Primdivisoren 𝔓 erzeugte freie abelsche Gruppe:

𝔄 = ∏_{𝔓}𝔓^{ν_{𝔓}} (nur endlich viele ν_{𝔓} ≠ 0).

Ihre Elemente nennt man die Divisoren von Ω(x), speziell die mit durchweg ν_{𝔓} ≧ 0 die ganzen Divisoren. Man hat dann, jedenfalls formal:

ζ(s) = ∑_{𝔄 ganz} \frac{1}{𝔑(𝔄)^{s}} ,

wo 𝔑(𝔄) = ∏_{𝔓}𝔑(𝔓)^{ν_{𝔓}} gesetzt ist. Auf die inhaltliche Bedeutung dieser Di-

visoren 𝔄, nämlich ihre Beziehung zu den Elementen A aus Ω(x) soll hier nicht weiter eingegangen werden.

5. Der herauszuarbeitende Typus von Verteilungsproblemen hängt mit den endlich–algebraischen Erweiterungen K des rationalen Funktionenkörpers R = Ω(x) über einem endlichen Körper Ω zusammen.

Wir haben bisher Ω immer als endlichen Körper mit einer Primzahl p als Elementanzahl, kurz als den Primkörper zu einer Primzahl p vorausgesetzt. Jetzt, wo wir endlich–algebraische Erweiterungen betrachten, ist es vernünftig, von vornherein für Ω auch endlich–algebraische Erweiterungen des Primkörpers zuzulassen. Das sind endliche Körper mit einer Potenz q = p^{r} als Elementanzahl, und man lehrt in der Algebra, daß es für jede Primzahlpotenz q = p^{r} genau einen solchen Körpertypus gibt; er ist algebraisch vom Grade r über dem Primkörper zu p. Alles Vorhergehende gilt auch für solche allgemeineren endlichen Körper (in amerikanischer Terminologie GF(p^{r})); denn davon, daß p Primzahl ist, wurde nur insoweit Gebrauch gemacht, daß eben die Restklassen mod p einen (endlichen) Körper bilden.

Eine endlich–algebraische Erweiterung K von R = Ω(x) ist gegeben durch eine Erzeugung

K = R(y) = Ω(x, y) mit F (y) = f(x, y) = 0

wo F ein irreduzibles Polynom in y mit Koeffizienten aus R ist. Man kann diese Koeffizienten durch einen Faktor ≠ 0 aus R — eindeutig bis auf eine Konstante ≠ 0 aus Ω — so normieren, daß sie ganz, d. h. Polynome in x, und ohne gemeinsamen Teiler sind. Dadurch wird F zu einem irreduziblen Polynom f in x, y über Ω.

Man kann ferner ohne Einschränkung voraussetzen, daß dies Polynom f sogar absolut–irreduzibel in x, y ist, d. h. auch bei beliebiger algebraischer Erweiterung von Ω irreduzibel bleibt. Man erreicht das nämlich, indem man bei Vorhandensein einer Zerlegung von f über einer algebraischen Erweiterung von Ω, die notwendig in algebraisch–konjugierte Faktoren erfolgt, die Koeffizienten dieser Faktoren zu Ω adjungiert, so daß sich dann f auf einen (beliebig wählbaren) dieser konjugierten Faktoren reduziert.

Wird diese Erweiterung von Ω als bereits vollzogen, also f als absolut– irreduzibel vorausgesetzt, so heißt Ω der genaue Konstantenkörper von K, weil sich zeigt, daß dann Ω schon mit der Gesamtheit aller Konstanten, d. h. über Ω algebraischen Elemente aus K zusammenfällt.

Sei jetzt K ein solcher algebraischer Funktionenkörper mit dem Konstantenkörper Ω von q (= p^{r}) Elementen. Dann läßt sich eine Theorie der Primdivisoren 𝔓 von K/Ω analog zu der in R entwickeln.

Die Primdivisoren 𝔓 vom ersten Grade oder rationalen Punkte von K/Ω sind gekennzeichnet durch die Homomorphismen von K/Ω auf den Konstantenkörper Ω einschl. ∞. Sie werden explizit beschrieben durch die Ersetzungen

(x, y) ⟶ (α, β) mit α, β in Ω, f(α, β) = 0,

kurz durch die Lösungen α, β in Ω der Grundgleichung f(x, y) = 0. Dabei muß man allerdings diese Lösungen mit Vielfachheiten im Sinne der algebraischen Geometrie zählen, und projektiv, d. h. unter Einbeziehung von ∞. Eine algebraische Präzisierung dieser Zählung ergibt sich, indem man x so wählt, daß im Unendlichen nur ein einziger Punkt liegt und dann anstelle der einen weiteren Erzeugenden y eine Ganzheitsbasis y_{1}, …, y_{n} des Integritätsbereichs ℑ der in x ganzen Elemente aus K über dem Integritätsbereich G = Ω[x] der in x ganzen Elemente aus R = Ω(x) setzt; anstelle der einen Grundgleichung f(x, y) = 0 tritt dabei das Multiplikationsschema der Basis y_{1}, …, y_{n}. Algebraisch–geometrisch bedeutet das: Ersetzung der „Kurve“ f(x, y) = 0 im zweidimensionalen Raum durch ein singularitätenfreies Modell im (n + 1)–dimensionalen Raum.

Allgemein sind die Primdivisoren 𝔓 höheren Grades m gekennzeichnet durch die Homomorphismen von K/Ω auf die algebraische Erweiterung m– ten Grades Ω^{(m)}/Ω einschl. ∞ ohne Unterscheidung konjugierter. Sie werden explizit beschrieben durch die Ersetzungen

(x, y) ⟶ (α, β) mit α, β in Ω^{(m)}, f(α, β) = 0,

kurz durch die vom Grade m über Ω algebraischen Lösungen der Grundgleichung f(x, y) = 0, wobei jedem System konjugierter Lösungen ein einziger Primdivisor 𝔓 entspricht. Man setzt dann wieder die Absolutnorm

𝔑(𝔓) = q^{m},

weil dies als Elementanzahl von Ω^{(m)} gerade die Restklassenanzahl mod 𝔓 in K ist.

Wie vorher sind hierbei die Lösungen wieder mit Vielfachheiten im Sinne der algebraischen Geometrie zu zählen. Unterscheidet man die über Ω konjugierten Lösungen, so zerfällt jeder Primdivisor m–ten Grades in m konj. algebraische Punkte m–ten Grades; diese können auch als Primdivisoren ersten Grades der Konstantenerweiterung K^{(m)}/Ω^{(m)} von K/Ω gedeutet werden.

In der komplexen Funktionentheorie treten bei den Riemannschen Flächen solche Punkte höheren Grades nicht auf, weil dort der Konstantenkörper Ω algebraisch–abgeschlossen, nämlich der komplexe Zahlkörper ist. Ihr Auftreten hier ist einer der wesentlich neuen Züge der arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionenkörper mit endlichem Konstantenkörper.

6. Wir definieren nun die Zetafunktion von K als das Eulersche Produkt:

ζ_{K}(s) = ∏_{𝔓} \frac{1}{1 − \frac{1}{𝔑(𝔓)^{s}}} (ℜ(s) > 1),

erstreckt über alle Primdivisoren 𝔓 von K. Führt man wieder formal die zusammengesetzten Divisoren

𝔄 = ∏_{𝔓}𝔓^{ν_{𝔓}} (nur endlich viele ν_{𝔓} ≠ 0)

und ihre Absolutnormen

𝔑(𝔄) = ∏_{𝔓}𝔑(𝔓)^{ν_{𝔓}}

ein, so stellt sich die Zetafunktion von K formal auch dar als die Dirichletsche Reihe:

ζ_{K}(s) = ∑_{𝔄 ganz} \frac{1}{𝔑(𝔄)^{s}} (ℜ(s) > 1)

erstreckt über alle ganzen Divisoren 𝔄 von K (alle ν_{𝔓} ≧ 0).

Für die Herleitung der wesentlichen Eigenschaften dieser Zetafunktion von K hat man näher auf die inhaltliche Bedeutung der zusammengesetzten Divisoren 𝔄 von K, nämlich ihre Beziehungen zu den Elementen a von K einzugehen. Wegen der Knappheit der zur Verfügung stehenden Zeit kann das hier nicht geschehen. Es sei hier lediglich bemerkt, daß diese Beziehungen dazu führen, neben der aus der Absolutnorm entspringenden additiven Bildung

Grad 𝔄 = m, wenn 𝔑(𝔄) = q^{m}

\underline{Hamburg 1963} 288

1.25 Hamburg 1963

Die algebraischen und zahlentheoretischen Arbeiten von Emil Artin (1898-1962)

Vortrag in der Mathematischen Gesellschaft Hamburg, 13. Juni 1963

I. Funktionenkörper II. Zetafunktionen, L-Reihen, Frobenius-Struktur III. Allgemeines Reziprozitätsgesetz IV. Explizite Reziprozitätsformeln V. Ringe und hyperkomplexe Zahlsysteme VI. Allgemeines zur algebraischen Zahlentheorie VII. Klassenzahl VIII. Bücher IX. Dissertationen

I. Funktionenkörper

2. Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen I, II. Math. Zeitschr. 19 (1924), 153-246 (Dissertation)

Aufbau eines Analogons zur arithmetischen Theorie der quadratischen Zahlkörper in der arithmetischen Theorie der hyperelliptischen Funktionenkörper mit dem Primkörper der Charakteristik p als Konstantenkörper:

K Körper der rationalen Funktionen von t mit Koeffizienten mod. p,
Ω = K(\sqrt{D}), wo D eine oBdA quadratfreie solche

ganze rationale Funktion.

Man kann K auch als Rechnen im p-adischen Ziffernsystem ohne jede Ziffernübertragung beschreiben. Dadurch entstehen einfachere Verhältnisse. Das Analogon wirft so auf im Zahlenkörperfall schwierige Verhältnisse neues Licht.

Artin muß, da nichts vorlag, zunächst die gesamte elementare Algebra und Arithmetik der quadratischen Zahlkörper auf diesen Fall übertragen. Es gelingt ihm bis zum Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes aus der Theorie der Idealklassen quadratischer Körper vorzustoßen.

Diese arithmetische Theorie wurde kurz darauf 1925 von F.K. Schmidt auf beliebige algebraische Funktionenkörper mit endlichem Konstantenkörper verallgemeinert, angeregt durch die Artinschen Untersuchungen.

I. Funktionenkörper

Das Hauptgewicht der Artinschen Arbeit liegt aber zweifellos in ihrem analytischen Teil. Dort wird die Theorie der Zetafunktion auf die betrachteten Körper Ω übertragen, und es werden die Probleme der analytischen Zahlentheorie damit angepackt. Bei Artin erscheinen die Formeln dadurch noch nicht in der heute geläufigen Gestalt, daß er nicht birational-invariant arbeitet, nämlich die unendliche Primstelle des rationalen Funktionenkörpers K nicht mit in die arithmetischen Bildungen einbezieht. In heutiger birational-invarianter Gestalt hat man

\frac{Z_{Ω}(s)}{Z_{K}(s)} = L_{Ω}(s) = 1 + \frac{N_{1} − (p + 1)}{p^{s}} + ⋯ + \frac{p^{g}}{p^{2gs}} .

Das Polynom L_{Ω}(s) hat 2g Nullstellen ω_{ν} in z = p^{s} und es ist

h = ∏_{ν=1}^{2g}(1 − ω_{ν}), N_{1} − (p + 1) = − ∑_{ν=1}^{2g} ω_{ν}.

Die Riemannsche Vermutung besagt, daß alle |ω_{ν}| = \sqrt{p} sind. Artins Arbeit enthält Tafeln, in denen er diese Vermutung für etwa vierzig hyperelliptische Körper bestätigt.

Allgemein wurde sie für den elliptischen Spezialfall durch mich 1933 und dann allgemein durch A. Weil 1948 bewiesen. Roquette gab 1953 einen rein arithmetischen Beweis.

II. Zetafunktionen, L-Reihen, Frobenius-Struktur

1. Über die Zetafunktion gewisser algebraischer Zahlkörper. Math. Ann. 89 (1923), 147-156.

Erstes Eindringen in eigenartige Relationen zwischen den Zetafunktionen der Teilkörper eines relativ-galoisschen Zahlkörpers für gewisse Spezialfälle (metazyklische Körper von Primzahlpotenzgrad, Ikosaederkörper).

In seiner späteren Arbeit 3 wird er diesen Relationen auf den Grund gehen und die Sachlage völlig aufhellen.

Beispiel einer solchen Relation:

K/k kubisch, nicht-zyklisch, Diskriminante d

[figure: K(\sqrt{d}) = Ω; K; k(\sqrt{d}) = ω; k]

ζ_{K}^{2}ζ_{ω} = ζ_{Ω}ζ_{k}^{2}
(\frac{ζ_{K}}{ζ_{k}})^{2} = \frac{ζ_{Ω}}{ζ_{ω}} = ∏_{χ≠1} L_{χ} = L_{χ}L\overline{χ}

II. Zetafunktionen, L-Reihen, Frobenius-Stuktur

3. Über eine neue Art von L-Reihen – Hmb. Abh. 3 (1924), 89-109 (Habilitationsschrift)

Sei K/k ein relativ-galoisscher Zahlkörper mit der Gruppe 𝔊. Den Frobeniussschen Charakteren χ von 𝔊 werden L-Reihen über k zugeordnet, die folgendermaßen erklärt sind:

L_{k}(s, χ) = ∏_{𝔭} \frac{1}{|I − N(𝔭)^{−s}A_{χ}(σ_{𝔓})|},

wo 𝔭 alle Primdivisoren von k durchläuft, die nicht in der Relativdiskriminante von K aufgehen, und jeweils

𝔓  einen Primdivisor von 𝔭 in K,
σ_{𝔓}  seinen Frobenius-Automorphismus: A^{σ_{𝔓}} ≡ A^{N(𝔭)} mod 𝔓,
A_{χ}(σ_{𝔓}) die ihm entsprechende Matrix aus einer Darstellung der

durch χ charakterisierten Klasse.

L_{k}(s, χ_{1} + χ_{2}) = L_{k}(s, χ_{1})L_{k}(s, χ_{2}), L_{k}(s, \overline{χ}) = L_{k}(s, χ) (\overline{χ} Char. von gal. Teilkp. K_{0}/k, χ seine Aufblähung auf K/k)

Für einen Teilkörper Ω von K/k gilt die wichtige Induktionsregel:

L_{Ω}(s, ψ) = L_{k}(s, χ_{ψ}).

[figure: K; 1; K_{0}; Ω; 𝔤; ψ; 𝔑; \overline{χ}; χ_{ψ}; k; 𝔊; K; 1]

Hiernach hat die Zetafunktion von Ω die Aufspaltung

ζ_{Ω}(s) = ∏_{i=1}^{r} L_{k}(s, χ_{i})^{g_{i}},

wenn der durch den Hauptcharakter von 𝔤 induzierte Charakter von 𝔊 die Zerlegung

χ_{Ω} = ∑_{i=1}^{r} g_{i}χ_{i}

in irreduzible Charaktere χ_{i} von 𝔊 hat.

II. Zetafunktionen, L-Reihen, Frobenius-Struktur

Diese Parameterdarstellung der Zetafunktionen durch Artinsche L-Reihen setzt, wenn man die Aufspaltung bis auf den rationalen Zahlkörper zurückführt, sämtliche Relationen zwischen den Zetafunktionen in Evidenz.

Die Frage, ob die Artinschen L-Reihen im Spezialfall abelscher Charaktere χ mit den aus der Klassenkörpertheorie geläufigen L-Reihen zu Kongruenzcharakteren übereinstimmen, läuft auf das Artinsche Reziprozitätsgesetz zurück, das Artin in diesem Zusammenhang erschau[…] und dann in seiner späteren Arbeit 16 allgemein bewiesen hat.

Aus dieser Übereinstimmung ergibt sich der funktionentheoretische Charakter der Artinschen L-Reihen. Unter Vorwegnahme eines wichtigen Satzes von R. Brauer über die Frobeniusschen Charaktere handelt es sich um meromorphe Funktionen mit einer Funktionalgleichung vom geläufigen Typus.

Die von Artin aufgeworfene Frage, ob diese Funktionen sogar ganz sind, ist jedoch bisher nur im Analogiefalle der Funktionenkörper bejahend entschieden (A. Weil 1948).

II. Zetafunktionen, L-Reihen, Frobenius-Struktur

19. Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren. Hamb. Abh. 8 (1931), 292-306.

Die frühere L-Reihen-Arbeit wird in dreierlei Hinsicht abgerundet:

1.) Einbeziehung der Beiträge der Diskriminantenprimteiler. Das kann ohne Schwierigkeit durch Einbeziehung der höheren Verzweigungsgruppen in den gruppentheoretischen Ansatz geschehen.

2.) Explizite Angabe der Funktionalgleichung bis auf einen konstanten Faktor vom Betrage 1, der dann später R. Brauer 1947, Hasse 1954 und Dwork 1955 genau bestimmt und auf seine gruppentheoretische und arithmetische Struktur untersucht wurde.

3.) Deutung der Gammafaktoren als Beiträge der unendlichen Primstellen. – Dadurch wird die gruppentheoretische Struktur der Funktionalgleichung erst wirklich organisch.

In der Funktionalgleichung treten die gruppentheoretisch definierten Artinschen Führer f_{k}(χ) zum betrachteten relativ-galoisschen Zahlkörper K/k auf, die in der nachfolgenden Arbeit 20 eingeführt werden und dort den Schlüssel zur Beherrschung der Diskriminantenstruktur liefern.

II. Zetafunktionen, L-Reihen, Frobenius-Struktur

20. Gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper. – Crelle 164 (1931), 1-11.

K/k relativ-galoisscher Zahlkörper, Ω Zwischenkörper.

χ durchläuft die Charaktere der Galoisgruppe 𝔊.

Analogie:

L_{k}(s, χ) ⟷ f_{k}(χ) = ∏_{𝔭}𝔭^{\frac{1}{v_{0}} ∑_{ν≧0}(v_{ν}χ(1)−χ(𝔙_{ν}))}

𝔙_{ν} die Verzweigungsgruppen v_{ν} ihre Ordnungen f_{k}(χ) ist ganzer Divisor von k.

ζ_{Ω}(s) ⟷ 𝔇_{Ω} Diskriminante von Ω/k

Parameterdarstellung:

ζ_{Ω}(s) = ∏_{i=1}^{r} L_{k}(s, χ_{i})^{g_{i}} ⟷ 𝔇_{Ω} = ∏_{i=1}^{r} f_{k}(χ_{i})^{g_{i}},

wenn

χ_{Ω} = ∑_{i=1}^{r} g_{i}χ_{i}

(Durch den Hauptcharakter der Invariantengruppe von Ω induzierter Charakter von 𝔊).

f_{k}(χ) stimmt für abelsche Charaktere χ mit dem Führer der durch χ gekennzeichneten Kongruenzklasseneinteilung überein. Begriffliche Bedeutung im allgemein-galoisschen Fall noch unbekannt. Eine algebrentheoretische Deutung gab Cahit Arf 1940.

III. Allgemeines Reziprozitätsgesetz

16. Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes. Hmb. Abh. 5 (1927), 353-363.

Angeregt durch ein Überschneidungsverfahren von Tschebotareff, durch das dieser den Frobeniusschen Dichtigkeitssatz von den Abteilungen auf die Klassen konjugierter Elemente verallgemeinern konnte, gelingt Artin hier der Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes in der ihm durch seine L-Reihen-Arbeit suggerierten eigenartigen Gestalt:

Sei K/k ein relativ-abelscher Zahlkörper, Klassenkörper zur Kongruenzklassengruppe D/H. Die nach der Takagischen Klassenkörpertheorie bestehende Isomorphie zwischen D/H und der Galoisgruppe 𝔊 von K/k wird in kanonischer Weise realisiert durch die Zuordnung:

Klasse von 𝔭 nach H ⟶ Frobenius-Automorphismus σ_{𝔭}

(für alle 𝔓/𝔭 gleichzeitig)

Man schreibt heute für diesen Frobenius-Automorphismus (im abelschen Falle) einfach (\frac{K/k}{𝔭}) und nennt das das Artin-Symbol.

Übergang zur klassischen Form des Reziprozitätsgesetzes durch Betrachtung von K = k(\sqrt[n]{α}) und Anwendung (wo k die n-ten Einheitswurzeln enthält)

III. Allgemeines Reziprozitätsgesetz

Des Artin-Symbols auf \sqrt[n]{α}:

\sqrt[n]{α}^{(\frac{k( ^{n} \sqrt{α})}{𝔭})} = (\frac{α}{𝔭})_{n} \sqrt[n]{α},

woe die n-te Einheitswurzel (\frac{α}{𝔭})_{n} durch das Eulersche Kriterium

α^{\frac{𝔑(𝔭)−1}{n}} ≡ (\frac{α}{𝔭})_{n} mod 𝔭

als das n-te Potenzrestsymbol gekennzeichnet ist. Dieses hängt hiernach nur von der Kongruenzklasse ab, in der 𝔭 bei der k(\sqrt[n]{α}) zugeordneten Klasseneinteilung in k liegt.

Von dieser Formulierung kommt man unter Anwendung von Sätzen der Klassenkörpertheorie leicht zu der eigentlichen Reziprozitätsformel:

(\frac{α}{β})_{n} = (\frac{β}{α})_{n},

wenn α, β zueinander und zu n prim und eines von ihnen n-primär.

III. Allgemeines Reziprozitätsgesetz

18. Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz. – Hmb. Abh. 7 (1930), 46-51.

Artin zeigt, wie man mittels seines Reziprozitätsgesetzes Aussagen darüber machen kann, in welche Kongruenzklassen eines Erweiterungskörpers die Divisoren des Grundkörpers fallen. Es geschieht das, indem man diese Klassenfrage vermöge des Artinsymbols in die Galoisgruppe verlagert. Diese Fragestellung überschreitet aber wesentlich den Bereich der abelschen Zahlkörper, weil man dazu die Galoisgruppe eines metabelschen Zahlkörpers braucht:

[figure: K; 1; k′; 𝔊′; k; 𝔊]

Die Divisoren von k werden hinsichtlich ihres Klassenverhaltens bei der K/k′ entsprechenden Einteilung in k′ durch Elemente der Galoisgruppe 𝔊′ von K/k′ dargestellt, die sich durch gruppentheoretische Verlagerung von 𝔊 nach 𝔊′ ergeben.

Ist k′/k der maximale abelsche Teilkörper von K, der Kommutatorgruppe 𝔊′ von 𝔊 zugeordnet, so ergibt diese Verlagerung nach einer Arbeit von Furtwängler durchweg 1. Dadurch wird dann insbesondere (gewöhnliche Klasseneinteilung) der Hilbertsche Hauptidealsatz bewiesen. Eine wesentliche Vereinfachung des Furtwänglerschen Beweises gab neuerdings E. Witt 1954.

IV. Explizite Reziprozitätsformeln

6. Über den zweiten Ergänzungssatz zum Reziprozitätsgesetz der ℓ-ten Potenzreste im Körper k_{ζ} der ℓ-ten Einheitswurzeln und in Oberkörpern von k_{ζ}.

– Crelle 154 (1925), 143-148, gemeinsam mit H. Hasse.

Beweis der Reziprozitätsformeln:

(\frac{λ}{α})_{ℓ} = ζ^{𝒮(\frac{ζ log α}{ℓλ})}, (\frac{ℓ}{α})_{ℓ} = ζ^{−𝒮(\frac{log α}{λ^{ℓ}})}

für α ≡ 1 mod λ.

IV. Explizite Reziprozitätsformeln

17. Die beiden Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz der ℓ^{n}-ten Porenzreste im Körper der ℓ^{n}-ten Einheitswurzeln. – Hmb. Abh. 6 (1928), 146-162, gemeinsam mit H. Hasse.

Beweis der expliziten Reziprozitätsformeln:

(\frac{ζ_{n}}{α})_{ℓ^{n}} = ((−1)^{ℓ−1}ζ_{n})^{\frac{1}{ℓ^{n}} 𝒮_{n}(log α)}  (n ≧ 2 für ℓ = 2)
(\frac{λ_{n}}{α})_{ℓ^{n}} = ζ_{n}^{\frac{1}{ℓ^{n}} 𝒮_{n}(− \frac{ζn}{λn} log α)}

für α ≡ 1 mod λ_{n}.

Während die erste Formel eine einfache Umgestaltung des definitionsge-

mäßen Exponenten \frac{𝒩_{n}(α) − 1}{ℓ^{n}} in Spurform ist, liegt dem Beweis der zweiten Formel eine einigermaßen komplizierte Rechnung zugrunde, die durch Einführung eines neuen quasilogarithmischen Kalküls gebändigt wird.

V. Ringe und hyperkomplexe Zahlsysteme

9. Erhaltung der Kettensätze der Idealtheorie bei beliebigen endlichen Körpererweiterungen. – Gött. Nachr. 1926, 23-27, gemeinsam mit B.L. v.d. Waerden.

Den bekannten fünf Axiomen von E. Noether für eindeutige Primidealzerlegung wird zur Erfassung inseparabler Erweiterungen ein sechstes hinzugefügt:

Endlichkeit des Wurzelrings R^{\frac{1}{p}} bezüglich R bei Charakteristik p.

Dann wird das Erhaltenbleiben des Axiomensystems bei beliebigen (auch inseparabler) algebraischer Erweiterung gezeigt.

V. Ringe und hyperkomplexe Zahlsysteme

13. Über einen Satz von Herrn J.H. Maclagan Wedderburn. – Hmb. Abh. 5 (1927), 245-250.

Gedanklich sehr einfacher, eleganter Beweis des Satzes, daß ein endlicher Schiefkörper notwendig kommutativ ist. Der Satz wird in der Form bewiesen, daß ein endlicher Schiefkörper notwendig mit seinem Zentrum zusammenfällt.

Einen noch einfacheren, wesentlich gruppentheoretischen Beweis gab E. Witt 1931.

V. Ringe und hyperkomplexe Zahlsysteme

14. Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen. – Hmb. Abh. 5 (1927), 251-260

Neue, vereinfachte Begründung der Wedderburnschen Strukturtheorie der Algebren, wobei die Grundlegung gleich so verallgemeinert wird, daß neben den Algebren auch allgemeiner Ringe mit Doppelkettensatz erfaßt werden.

In der späteren Buch-Veröffentlichung 4 wird dann sogar nur der Vielfachenkettensatz (minimum condition) beibehalten.

V. Ringe und hyperkomplexe Zahlsysteme

15. Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen. – Hmb. Abh. 5 (1927), 261-289

Neue, einfachere Begründung, Weiterführung und Vertiefung der von A. Speiser 1926 im Anschluß an das Dicksonsche Buch über Algebren entwickelten Arithmetik in Algebren über dem rationalen Zahlkörper.

Behandelt werden:

Maximalordnungen, Ideale, Rechtsideale, Primideale, Rechtsidealklassen, Typen von Maximalordnungen, Brandtsches Gruppoid der Ideale.

VI. Allgemeines zur algebraischen Zahlentheorie

21. Über die Einheiten relativ galoisscher Zahlkörper. – Crelle 167 (1932), 153-156.

Vereinfachter bewertungstheoretischer Beweis des Minkowskischen Einheitensatzes für galoissche Zahlkörper und der Herbrandschen Verallgemeinerung auf relativ-galoissche Zahlkörper.

VI. Allgemeines zur algebraischen Zahlentheorie

22. Über die Bewertungen algebraischer Zahlkörper. – Crelle 167 (1932), 157-159.

Vereinfachungen der die arithmetischen Bewertungen betreffenden Schlüsse in der Grundlegung der Bewertungstheorie.

VI. Allgemeines zur algebraischen Zahlentheorie

27. Axiomatic characterisation of fields by the product formula for valuations. – Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 469-492, gemeinsam mit G. Whaples.

Kennzeichnung der \{ \begin{matrix}algebraischen Zahlkörper \\ algebraischen Funktionenkörper mit endlichem \\ Konstantenkörper \end{matrix} \}

Durch das Bestehen der Produktformel:

∏_{𝔭}|a|_{𝔭}^{n_{𝔭}} = 1 bzw.  ∏_{𝔭}|a|_{𝔭} = 1

nebst der ihr zugrundeliegenden Endlichkeitseigenschaft:

|a|_{𝔭} ≠ 1 nur für endlich viele 𝔭.

Dabei muß aber zusätzlich noch gefordert werden, daß mindestens eine Bewertung entweder diskret mit endlichem Restklassenkörper oder arithmetisch ist. Dagegen braucht nicht gefordert zu werden, daß es sich um das volle Bewertungssystem handelt.

Mir erscheint diese Kennzeichnung weniger glatt und weniger zweckmäßig als die in meiner „Zahlentheorie“ gegebene durch bloße Endlichkeitseigenschaften.

28. A note on axiomatic characterisation of fields. – Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946), 245-247, gemeinsam mit G. Whaples.

Noch schwächere Forderung: Produkt aller Bewertungen konvergiert gegen 1.

VI. Allgemeines zur algebraischen Zahlentheorie

44. Representatives of the connected component of the idele class group.

– Proc. Internat. Sympos. on Algebraic Number Theory, Tokyo 1956, 51-54.

A. Weil 1951 hat die Zusammenhangskomponente von 1 der Idelklassengruppe eines algebraischen Zahlkörpers nur durch ihr duales Gegenstück beschrieben. Artin gibt hier eine einfache Beschreibung dieser Zusammenhangskomponente selbst durch die Idelkomponenten eines total-positiven Grundeinheitensystems.

VII. Klassenzahl

39. The class-number of real quadratic fields. – Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 37 (1951), 524-525, gemeinsam mit N.C. Ankeny und S. Chowla.

40. The class-number of real quadratic number fields. – Ann. of Math. (2) 56 (1932), 479-493, gemeinsam mit N.C. Ankeny und S. Chowla.

Kongruenzen nach ungeraden Primteilern p der Diskriminante d eines reell-quadratischen Zahlkörpers für den Ausdruck −2h\frac{v}{u}, wo h die Klassenzahl und \frac{u+v\sqrt{d}}{2} die Grundeinheit des Körpers sind.

Diese Kongruenzen sind als erster Vorstoß in ein wissenschaftliches Neuland zu werten, das neuerdings durch H.W. Leopoldts Theorie der p-adischen Klassenzahlformel abelscher Zahlkörper systematisch erschlossen wurde.

VIII. Bücher

5. Algebraic numbers and algebraic functions I. – Princeton-New York 1951, 1-345

Bewertungen Vollständige Körper Die lokalen Grade e, f, n Verzweigungstheorie Differente Vorbereitungen zur lokalen Klassenkörpertheorie Erste und zweite Ungleichung Normsymbol Existenzsatz Anwendungen und Illustrationen Vorbereitungen zur globalen Theorie Kennzeichnung von Körpern durch die Produktformel Differentiale in Produktformelkörpern Riemann-Rochscher Satz Konstantenkörpererweiterungen Anwendungen des Riemann-Rochschen Satzes Differentiale in Funktionenkörpern

9. Class Field Theory. – Havard 1961, 1-259, gemeinsam mit J. Tate

Erste fundamentale Ungleichung Zweite fundamentale Ungleichung Reziprozitätsgesetz Existenzsatz Zusammenhangskomponente der Idelklassengruppe Grunwald-Wangscher Satz Höhere Verzweigungstheorie Explizite Reziprozitätsformeln Gruppenerweiterungen Abstrakte Klassenkörpertheorie Weilsche Gruppen

IX. Dissertationen

1. Hey, Käthe, Analytische Zahlentheorie in Systemen hyperkomplexer Zahlen. – Hamburg 1927.

Berühmt geworden durch Anwendbarkeit auf kurzen analytischen Beweis des Hauptsatzes der Algebrentheorie (Zorn 1933) und damit Begründung der Klassenkörpertheorie (Hasse 1933).

3. Henke, Karl, Zur arithmetischen Idealtheorie hyperkomplexer Zahlen.

– Hamburg 1931. – Hmb. Abh. 11 (1935), 311-332.

Axiomatische Begründung der Idealtheorie auf E. Noetherscher Grundlage.

4. Beller, Josef, Beiträge zur Arithmetik der dreidimensionalen Vektoren. – Hamburg 1933. – Mitt. Math. Ges. Hamburg 7 (1934), 213-231.

5. Nehrkorn, Harald, Über absolute Idealklassengruppen und Einheiten in algebraischen Zahlkörpern. – Hamburg 1932. – Hmb. Abh. 9 (1933), 318-334.

Einbettung der Idealklassen für Teilkörper eines relativ-galoisschen Zahlkörpers K/k wird nach gruppentheoretischem Schema untersucht, entsprechend auch für Einheiten. –

Untersuchungen dieser Art finden heute in den Arbeiten von H.W. Leopoldt ihren systematischen Ausbau.

6. Rothgiesser, Hans, Zum Reziprozitätsgesetz für ℓ^{n}. – Hamburg 1934.

– Hmb. Abh. 11 (1936), 1-16.

Beweis einer interessanten Formel für das allgemeine Reziprozitätsgesetz der ℓ^{n}-ten Potenzreste, in die ein Differentialoperator D und ein ℓ-Potenzierungsoperator P eingehen.

9. Söhngen, Heinz, Zur komplexen Multiplikation. – Hamburg 1934. – Math. Ann. 111 (1935), 302-328.

Übertragung einer Begründung der Strahlklassenkörpererzeugung von der Hauptordnung auf eine beliebige Ordnung des imaginär-quadratischen Grundkörpers.

IX. Dissertationen

10. Weissinger, Johannes, Theorie der Divisorenkongruenzen. – Hamburg 1937. – Hmb. Abh. 12 (1938), 115-126.

Verallgemeinerung des Riemann-Rochschen Satzes für Kongruenzklassen und Herleitung der Funktionalgleichung der zugehörigen L-Funktionen. – Letztere war schon 1934 von mir vermutet und 1936 von E. Witt bewiesen worden, wovon allerdings Verf. keine Kenntnis hatte.

Außerdem 16 in den Vereinigten Staaten angeregte Dissertationen algebraischzahlentheoretischen Inhalts, darunter die von Shapiro, Mills, Ankeny, O’Meara, Wang, Tate, S. Lang, Ramanathan.

Man kann von Artin schon heute sagen, daß er der Mathematik unseres Jahrhunderts seinen Stempel aufgedrückt hat. Seine Art, mathematische Sachverhalte zu sehen, zu durchdringen und in größter Eleganz und Klarheit zu gestalten, lebt fort in seinen Schülern und allen den zahlreichen Fachgenossen, die er durch sein Wirken mitgerissen hat. Dazu dürfen wir uns wohl alle zählen. Er wird uns also auch überhaupt der mathematischen Nachwelt unvergeßlich bleiben.

Kapitel 2 Register

313 Albert, 64, 80, 201 Ankeny, 309, 312 Arf, 295 Artin, 10, 14, 36, 38, 42, 60, 74, 81,

101, 113, 115, 120, 149, 151, 153, 157, 233

Beller, 311 Billing, 193, 214 Brandt, 60, 304 Brauer, R., 60, 74, 78, 293, 294

Chowla, 309

Davenport, 83, 90, 92, 98, 100, 105, 110, 114, 128, 135, 136, 139, 153, 154, 156, 157

Davenport–Hasse, 152, 155, 252, 257,

266, 267 Davenport–Salié, 154, 157 Dedekind, 44, 60, 152 Deuring, 66, 70, 197, 199–201, 218,

220, 242, 248–250, 260, 262, 263

Dickson, 63, 78–80, 85, 304 Dirichlet, 44, 271 Dwork, 294

Eisenstein, 7 Euler, 271

Frobenius, 38 Fueter, 24, 30 Furtwängler, 36, 38, 40, 43, 298

Gauss, 44, 112, 161, 164, 166, 171, 230 Graeffe, 104, 109, 127 Grunwald, 80

Hadamard, 274, 275 Hadamard–de Vallée Poussin, 230 Hardy–Littlewood, 92, 111 Hasse, 78, 80, 81, 196, 216, 294 Hecke, 30, 257 Henke, 311 Hensel, 7, 44, 60, 78 Hensel–Landsberg, 204 Herbrand, 305 Herglotz, 74 Hey, 311 Hilbert, 6, 36, 40, 41, 81, 166 Hurwitz, 85

Jacobsthal, 100, 112

Kloosterman, 91, 92, 111, 154, 157 Kronecker, 23, 37, 44, 233 Krull, 193, 246, 248, 261 Kummer, 9, 44, 51, 191

Landau, 127 Lang, 312 Leopoldt, 309, 311 Lutz, 195, 196, 215, 216

Mills, 312 Minkowski, 196, 217, 305 Mordell, 83, 87, 89, 91, 94, 96, 98, 100,

105, 107, 108, 112, 128, 135, 136, 139, 147, 153, 154, 156, 213

Nagell, 193, 214 Nehrkorn, 311 Noether, 311 Noether, E., 60, 74, 78, 301

O’Meara, 312

Ramanathan, 312 Riemann, 230, 271, 273, 275 Rohrbach, 199 Roquette, 222, 223, 225, 227, 233, 236,

246, 248, 261, 262, 290 Rothgiesser, 311

Salié, 92, 111 Schäfer, 35 Schmidt, F.K., 101, 105, 115, 118, 126,

137, 146–148, 154, 157, 233, 289

Schur, 78, 81, 83 Severi, 197 Shapiro, 312 Siegel, 144, 151, 193, 194, 196, 214 Söhngen, 311 Speiser, 60, 78, 304

Takagi, 36, 38, 40, 296 Tate, 310, 312 Thue–Siegel, 194, 195 Tschebotareff, 296

v. Mangoldt, 275 van der Waerden, 301

Wang, 312 Weber, 28, 29, 199 Wedderburn, 59, 64, 74, 78, 80, 302,

303 Weil, 144, 189, 191, 193, 194, 212, 213,

226, 233, 249, 250, 256, 262, 263, 267, 290, 293, 308

Weissinger, 312

Weyl, 86, 87, 106, 108

Whaples, 307 Wieferich, 268 Witt, 74, 298, 302, 312

Zorn, 311

undeutlich, 7, 14, 17, 29, 30, 35, 39, 43, 45, 51, 67, 71, 72, 81, 171