Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Dr. Rolf Busam Andreas Riedel

Aufbau der Zahlsysteme

Sommersemester 2010

Aufgabenblatt 12 5. Juli 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Für eine natürliche Zahl a in der Dezimaldarstellung

a = z_{n}10^{n} + z_{n−1}10^{n−1} + … + z_{1}10^{1} + z_{0}, z_{i} ∈ {0, 1, …, 9}, z_{n} ≠ 0,

sei

Q(a) := z_{0} + z_{1} + … + z_{n} und Q′(a) := z_{0} − z_{1} ± … (−1)^{n}z_{n}.

Zeigen Sie: Für a, b ∈ ℕ gilt

Q(a ± b) ≡ Q(a) ± Q(b) mod 9
Q(ab) ≡ Q(a)Q(b) mod 9.

bzw.

Q′(a ± b) ≡ Q′(a) ± Q′(b) mod 11
Q′(ab) ≡ Q′(a)Q′(b) mod 11.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe der Neuner- und Elferprobe, dass die Rechnung 114116 : 415 = 275 falsch ist. Überprüfen Sie ferner auf die selbe Art die folgenden Rechnungen auf Richtigkeit: 377194 : 637 = 592, 797885 : 825 = 967, 512172 : 694 = 783.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Begründen Sie, dass für alle a ∈ ℕ gilt:

a) Q(Q(a)) ≡ a mod 9,

b) Q′(Q′(a)) ≡ a mod 11.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei p eine Primzahl. Für r ∈ ℚ \ \{0\} hat man r = p^{m} \frac{a}{b} mit einem eindeutig bestimmten m ∈ ℤ und teilerfremden ganzen Zahlen a, b, b > 0, sodass ggT(ab, p) = 1. Für den durch β_{p}(r) = p^{−m}, β_{p}(0) = 0 auf ℚ definierten p-adischen Betrag zeige man für r, s ∈ ℚ:

β_{p}(rs) = β_{p}(r)β_{p}(s), β_{p}(r + s) ≤ max{β_{p}(r), β_{p}(s)}

Man folgere, dass d_{p}(r, s) := β_{p}(r − s) somit eine Metrik auf ℚ definiert.

         Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/zahlen

Abgabe bis spätestens 12. Juli 2010, in der Vorlesung.