Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Dr. Rolf Busam Andreas Riedel

Aufbau der Zahlsysteme

Sommersemester 2010

Aufgabenblatt 8 7. Juni 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Eine Teilmenge 𝔞 ⊂ ℤ heisst Ideal von ℤ, wenn gilt:

a) (𝔞, +) ist eine Untergruppe von (ℤ, +),

b) Für alle k ∈ ℤ und alle a ∈ 𝔞 gilt ka ∈ 𝔞.

Zeigen Sie: Jedes Ideal 𝔞 ⊂ ℤ hat die Gestalt 𝔞 = ℤa mit geeignetem a ∈ 𝔞.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Für zwei Ideale 𝔞 = ℤa und 𝔟 = ℤb von ℤ sei

𝔞 + 𝔟 := {x + y; x ∈ 𝔞, y ∈ 𝔟}.

Zeigen Sie, dass 𝔞 + 𝔟 ein Ideal in ℤ ist mit 𝔞 + 𝔟 = ℤd, wobei d = ggT(a, b).

Aufgabe 3. (4 Punkte) Bestimmen Sie jeweils den Tausenderrest von 7^{9999}, 11^{9999}, 13^{9999}.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Für m ∈ ℕ sei

φ(m) = #{k ∈ {1, …, m}; ggT(k, m) = 1} ∈ ℕ.

Zeigen Sie: φ(m) ist gerade für m ≥ 3.

         Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/zahlen

Abgabe bis spätestens 14. Juni 2010, in der Vorlesung.