Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Dr. Rolf Busam Andreas Riedel

Aufbau der Zahlsysteme

Sommersemester 2010

Aufgabenblatt 7 31. Mai 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Beweisen Sie folgende Rechenregeln für den ggT ganzer Zahlen a, b, c:

a) ggT(a, b) = ggT(b, a),

b) ggT(a, ggT(b, c)) = ggT(ggT(a, b), c),

c) ggT(ac, bc) = |c| · ggT(a, b),

d) ggT(a, 1) = ggT(1, a) = 1.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Zeigen Sie: Sind a, b ∈ ℤ, m ∈ ℕ und r ∈ ℕ_{0}, dann ist a ≡ b mod (m) genau dann, wenn a und b bei Division durch m denselben Rest r mit 0 ≤ r < m lassen.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Seien a, b, c ∈ ℤ. Zeigen Sie: Genau dann gibt es x, y ∈ ℤ mit

ax + by = c  (∗)

wenn gilt: d := ggT(a, b) | c. Ist diese Bedingung erfüllt und ist

ax_{0} + by_{0} = d = ggT(a, b) ≠ 0,

dann besteht die Menge aller Lösungen von (∗) aus allen Paaren (x, y) ∈ ℤ × ℤ der Gestalt

x = \frac{cx_{0} + bk}{d} , y = \frac{cy_{0} − ak}{d}

mit beliebigem k ∈ ℤ. Man beachte: (\frac{cx_{0}}{d} , \frac{cy_{0}}{d} ) ist eine spezielle Lösung von (∗).

Aufgabe 4. (4 Punkte) Bestimmen Sie alle positiven Lösungen x, y ∈ ℤ der Gleichung

7x + 5y = 100.

         Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/zahlen

Abgabe bis spätestens 7. Juni 2010, in der Vorlesung.