Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Dr. Rolf Busam Andreas Riedel

Aufbau der Zahlsysteme

Sommersemester 2010

Aufgabenblatt 5 17. Mai 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Zeigen Sie, dass die Fermatzahl F_{5} := 2^{2^{5}} + 1 durch 641 teilbar ist. Tipp: F_{5} = 2^{32} + 1 = (2 · 2^{7})^{4} + 1 und 641 = 5 · 2^{7} + 1.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Zeigen Sie, dass für m, n ∈ ℕ, m ≠ n, die Fermatzahlen F_{m} und F_{n} stets teilerfremd sind: ggT(F_{m}, F_{n}) = 1. Folgern Sie hieraus den Satz von Euklid über die Unendlichkeit der Primzahlen.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Zeigen Sie unter Verwendung der Aussage des Primzahlsatzes, dass es positive Konstanten c_{1} und c_{2} gibt, so dass für die n-te Primzahl p_{n} gilt (n hinreichend groß):

c_{1}n log n < p_{n} < c_{2}n log n.

Folgern Sie hieraus die Divergenz der Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{p_{n}} und damit erneut den Satz von Euklid.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Seien a, b ∈ ℤ mit (a, b) ≠ (0, 0). Zeigen Sie, dass die Menge

M := {xa + yb; x, y ∈ ℤ} ⊆ ℤ

natürliche Zahlen enthält. Ist d = Min(M ∩ ℕ), so gilt d = ggT(a, b) und M = ℤd = {dx; x ∈ ℤ}.

         Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/zahlen

Abgabe bis spätestens 24. Mai 2010, in der Vorlesung.