Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Dr. Rolf Busam Andreas Riedel

Aufbau der Zahlsysteme

Sommersemester 2010

Aufgabenblatt 4 10. Mai 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Für die natürlichen Zahlen a = 220 und b = 284 gilt σ(a) = σ(b) = a + b = 504, wobei für ein a ∈ ℕ die Summe aller Teiler durch

σ(a) = _{∑_{1≤d≤n} ; d|a}d

definiert ist. Zeigen Sie: Ist n ∈ ℕ, n ≥ 2, und sind die drei Zahlen

p := 3 · 2^{n−1} − 1, q := 3 · 2^{n} − 1 und r := 9 · 2^{2n−1} − 1

Primzahlen, dann sind die beiden Zahlen

a := 2^{n} · p · q und b := 2^{n} · r

befreundet, d.h. σ(a) = σ(b) = a + b. Insbesondere sind 220 und 284 befreundet. Finden Sie zwei weitere befreundete Zahlenpaare.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass p^{n}, n ∈ ℕ, stets defizient ist. Warum hat p^{2} keinen Freund?

Aufgabe 3. (4 Punkte) Bestimmen Sie alle abundanten Zahlen aus der Menge

𝔸_{50} = {x ∈ ℕ; 1 ≤ x ≤ 50}.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Bestimmen Sie mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus den ggT der folgenden Zahlen a, b, c und stellen Sie den ggT jeweils als ganzzahlige Linearkombination der betreffenden Zahlen dar:

a) a = 1001, b = 781,

b) a = 6894, b = 1116,

c) a = 345, b = 111, c = 678.

Tipp: Bei c) ist die Eigenschaft ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c) nützlich.

         Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/zahlen

Abgabe bis spätestens 17. Mai 2010, in der Vorlesung.