Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Dr. Rolf Busam Andreas Riedel

Aufbau der Zahlsysteme

Sommersemester 2010

Aufgabenblatt 3 3. Mai 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Zeigen Sie, daß für jedes n ∈ ℕ die n aufeinanderfolgenden Zahlen

(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, …, (n + 1)! + n + 1

zusammengesetzt sind und folgern Sie, dass die Folge

(d_{n}) := (p_{n+1} − p_{n})

der Differenzen zweier aufeinanderfolgender Primzahlen nicht nach oben beschränkt ist.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Finden Sie die Primfaktorzerlegung von 720, 9797, 360^{360} und 2^{32} − 1.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Bestimmen Sie

a) ggT(3600, 3240),

b) ggT(360^{360}, 540^{180}),

c) ggT(2^{32} − 1, 3^{8} − 2^{8}),

d) ggT(a^{m} − 1, a^{n} − 1), wobei m, n, a ∈ ℕ mit a > 1.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Beweisen Sie die Eindeutigkeitsaussage beim Satz über die Division mit Rest.

         Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/zahlen

Abgabe bis spätestens 10. Mai 2010, in der Vorlesung.