Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Dr. Rolf Busam Andreas Riedel

Aufbau der Zahlsysteme

Sommersemester 2010

Aufgabenblatt 2 26. April 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Wir ordnen die Primzahlen ihrer Größe nach: p_{1} = 2 < p_{2} = 3 < p_{3} = 5 < . . .. Zeigen Sie, dass für die n-te Primzahl p_{n} gilt:

p_{n} ≤ 2^{2^{n−1}}.

Tipp: Induktion nach n. Was sagt das Beispiel p_{100} = 541 über die “Güte” dieser Abschätzung?

Aufgabe 2. (4 Punkte) Bestimmen Sie mit Hilfe des Siebes des Eratosthenes alle Primzahlen ≤ 200. Wie viele solche Primzahlen gibt es?

Aufgabe 3. (4 Punkte) Führen Sie in dem bezüglich der Multiplikation abgeschlossenen Zahlbereich

H := {3j + 1; j ∈ ℕ_{0}}

die Begriffe Teilen in H, Primzahl in H ein und überprüfen Sie, ob die Primfaktorzerlegung der zusammengesetzten Zahlen in H eindeutig ist.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Zeigen Sie: Ist für n ∈ ℕ_{0} die Zahl M_{n} := 2^{n} − 1 eine Primzahl, dann muss n selbst eine Primzahl sein.

         Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/zahlen

Abgabe bis spätestens 3. Mai 2010, in der Vorlesung.