Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Sommersemester 2012

Aufgabenblatt 12 6. Juli 2012

Sei L eine (endlich-dimensionale) Lie-Algebra über einem Körper K der Charakteristik 0 sowie M ein endlich-dimensionaler L-Modul.

Aufgabe 1. (3 Punkte) Sei c_{M} der Casimir-Operator, mit der Notation aus Erinnerung 10 der Vorlesung (insbesondere: m = dim_{k}(M), r = dim(H)). Zeigen Sie:

a) c_{M} = r/m · Id in End_{k}(M).

b) Sei L = 𝔰𝔩_{2}(K) mit Standardbasis x, y, h sowie M = K^{2} der kanonische L-Modul. Dann ist c_{M} = 2xy − h + h^{2}/2

Aufgabe 2. (5 Punkte) Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:

a) L ist halbeinfach,

b) H^{1}(L, M) = 0 für alle L-Moduln M,

c) Jeder L-Modul ist vollständig reduzibel.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei L eine reelle Lie-Algebra, κ : L × L → ℝ eine invariante Bilinearform (vgl. Übungsblatt 4) und Γ(κ)(x, y, z) = κ([x, y], z). Zeigen Sie

a) Ist κ schiefsymmetrisch, so gilt Γ(κ) = 0,

b) Ist κ symmetrisch, so ist Γ(κ) ∈ Z^{3}(L, ℝ) ein 3-Zykel.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei M ein L-Modul über ℝ sowie M_{ℂ} der assoziierte L_{ℂ} -Modul. Zeigen Sie: H^{p}(L, M)_{ℂ} ≅ H^{p}(L_{ℂ} , M_{ℂ}) als ℂ-Vektorräume für alle p ≥ 0.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie2

Abgabe bis spätestens 13. Juli 2012 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.