Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Sommersemester 2012

Aufgabenblatt 11 29. Juni 2012

Sei L eine (endlich-dimensionale) Lie-Algebra über einem Körper K der Charakteristik 0 sowie M ein L-Modul. Wir verwenden die gängige Notation C^{∗}(L, M) = Hom_{L}(V_{∗}(L), M).

Aufgabe 1. (5 Punkte) Zeigen Sie, dass d^{2} = 0 für das Differential d des Chevalley-Eilenberg-Komplexes V_{∗}(L) gilt, d.h. dieser ist in der Tat ein Komplex.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei L von Dimension n als K-Vektorraum und ⋀^{n} L ≅ K ein L-Modul via

y.x_{1} ∧ … ∧ x_{n} = ∑_{i=1}^{n} x_{1} ∧ … ∧ [y, x_{i}] ∧ … ∧ x_{n}.

Zeigen Sie, dass H^{n}(L, ⋀^{n} L) ≅ K.

Aufgabe 3. (3 Punkte) Sei L = 𝔰𝔩_{2}. Zeigen Sie unter Verwendung des Chevalley-Eilenberg-Komplexes, dass H_{3}(L, K) ≅ H^{3}(L, K) ≅ K gilt für den trivialen L-Modul K.

Aufgabe 4. (4 Punkte)

a) Sei L abelsch und M ein trivialer L-Modul. Zeigen Sie: H^{n}(L, M) = C^{n}(L, M) für alle n.

b) Sei L = K eindimensional und M ein L-Modul. Zeigen Sie: C^{0}(L, M) = M, C^{1}(L, M) ≅ M und C^{n}(L, M) = 0 sonst.

c) Sei L = K^{2} zweidimemsional und abelsch sowie M ein L-Modul. Zeigen Sie: C^{1}(L, M) ≅ M^{2}, C^{2}(L, M) ≅ M und bestimmen Sie explizit H^{2}(L, M).

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie2

Abgabe bis spätestens 6. Juli 2012 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.