Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Sommersemester 2012

Aufgabenblatt 10 22. Juni 2012

Sei L eine halbeinfache Lie-Algebra über ℂ. Es gelten die Notationen aus der Vorlesung: H ⊂ L ist eine Cartan-Unteralgebra, Φ ⊂ H^{∗} ein Wurzelsystem, Φ^{+} positive Wurzeln, {h_{1}, …, h_{l}} ⊂ H eine Basis von H, {k_{1}, …, k_{l}} ⊂ H eine duale Basis bzgl. der Killing-Form κ. Man wählt x_{α} ∈ L_{α} und z_{α} ∈ L_{−α} mit κ(x_{α}, z_{α}) = 1 für α ∈ Φ. Zu λ ∈ H^{∗} kann man den Standard zyklischen Modul Z(λ)(= V^{λ} aus Theorem 7) mit höchstem Gewicht λ betrachten.

Aufgabe 1. (6 Punkte) Das Casimir-Element wurde definiert als

c_{L} = ∑_{i=1}^{l} h_{i}k_{i} + ∑_{α∈Φ^{+}} x_{α}z_{α} ∈ U(L).

Zeigen Sie:

a) c_{L} ∈ Z(U(L)).

b) Es existiert ein Algebrenhomomorphismus χ_{λ} : Z(U(L)) → ℂ, durch den jedes Element aus dem Zentrum von U(L) auf Z(λ) operiert.

c) (λ, λ) = ∑_{i=1}^{l} λ(h_{i})λ(k_{i}).

Aufgabe 2. (10 Punkte) Wir erinnern an die Menge 𝔛 aller Funktionen f : H^{∗} → ℂ, deren Träger (Support) in einer endlichen Vereinigung von Mengen der Form {λ − ∑_{α≻0} k_{α}α, k_{α} ∈ ℤ^{+}}, λ ∈ H^{∗}, enthalten ist. Wir haben “Basisfunktionen” e_{λ} = {λ ↦ 1, μ ↦ 0, μ ≠ λ} für jedes λ ∈ H^{∗} und eine Konvolution ∗ für 𝔛 definiert. Für λ ∈ H^{∗} sei p(λ) die Anzahl der Mengen von nicht-negativen ganzen Zahlen {k_{α}, α ≻ 0}, sodass −λ = ∑_{α≻} k_{α}α. Sei ausserdem f_{α} ∈ 𝔛, α ∈ Φ^{+}, definiert durch f_{α}(−kα) = 1, k ∈ ℤ^{+}, f_{α}(μ) = 0 sonst. Die Elemente q = ∏_{α≻0}(e_{α/2} − e_{−α/2}), δ = ∑_{α≻0} \frac{1}{2}α ∈ ℤ[\frac{1}{2}Λ] ebenso wie ch(Z(λ)) fassen wir als Elemente in 𝔛 auf. Zeigen Sie:

a) p(μ − λ) = dim Z(λ)_{μ}, d.h. insbesondere folgt p ∈ 𝔛 (betrachten Sie mit PBW eine Basis von Z(λ)_{μ}).

b) p = ∏_{α≻0} f_{α}.

c) (e_{0} − e_{−α}) ∗ f_{α} = e_{0}.

d) q = e_{δ} ∗ ∏_{α≻0}(e_{0} − e_{−α}).

e) σq = sgn(σ)q (s_{α} permutiert (bis auf α) die positiven Wurzeln).

f) q ∗ p ∗ e_{−δ} = e_{0}.

g) p(μ − λ) = p ∗ e_{λ}(μ).

h) q ∗ ch(Z(λ)) = e_{λ+δ}

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie2

Abgabe bis spätestens 29. Juni 2012 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.