Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Sommersemester 2012

Aufgabenblatt 9 15. Juni 2012

Aufgabe 1. (16 Punkte) Sei L = 𝔰𝔩_{2}(K) für einen algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 mit Standardbasis x, y, h und V eine beliebige Darstellung von L. Wir wollen uns mit der Endlichdimensionalität der in der Vorlesung konstruierten Moduln V^{ω} (ω ∈ H^{∗}) bzgl. L befassen.

a) Beschreiben Sie, wie man den Untermodul V′, der die Summe der Gewichtsräume ist, als ⨁_{λ∈K} V_{λ} auffassen kann.

b) Zeigen Sie in dem Fall, dass V endlich-dimensional ist, dass nach geeigneter Festlegung eines Wurzelsystems für L ein Vektor 0 ≠ v ∈ V ein primitives Element ist genau dann, wenn ein λ ∈ K existiert mit v ∈ V_{λ} und V_{λ+2} = 0.

c) Sei λ ∈ K und Z(λ) der unendlich-dimensionale Vektorraum mit (abzählbarer) Basis (v_{0}, v_{1}, v_{2}, …). Wir erinnern an die Formeln (i ∈ ℕ_{0}, v_{−1} := 0):

h.v_{i} = (λ − 2i)v_{i}, y.v_{i} = (i + 1)v_{i+1}, x.v_{i} = (λ − i + 1)v_{i−1}  (1)

Zeigen Sie, dass die Formeln aus (1) eine L-Modulstruktur auf Z(λ) definieren, und dass jeder nicht-triviale L-Untermodul von Z(λ) wenigstens einen primitiven Vektor enthält.

d) Sei λ + 1 = i eine nicht-negative ganze Zahl. Zeigen Sie, dass v_{i} ein primitiver Vektor ist. Zeigen Sie, dass man einen L-Modulhomomorphismus ϕ : Z(μ) → Z(λ), μ = λ − 2i, induziert durch v_{0} ↦ v_{i}, hat. ϕ ist injektiv, und sowohl ϕ(Z(μ)) als auch Z(λ)/ϕ(Z(μ)) sind irreduzible L-Moduln. Z(λ) ist nicht vollständig reduzibel, wenn i > 0.

e) Sei λ + 1 keine nicht-negative ganze Zahl. Zeigen Sie, dass Z(λ) irreduzibel ist.

f) Zeigen Sie, dass der Modul V^{λ} = U(L) ⊗_{U(B)} W^{λ} aus der Vorlesung isomorph zu Z(λ) ist. Folgern Sie damit, dass dim E^{λ} = dim V^{λ}/N^{λ} < ∞ genau dann, wenn λ eine nicht-negative ganze Zahl ist.

g) Sei nun L = A_{l} oder L = C_{l}. Beschreiben Sie nochmal so explizit wie möglich die Fundamentalgewichte und primitiven Vektoren bezüglich der natürlichen Darstellung auf V = ℂ^{l+1} bzw. V = ℂ^{2l}.

     Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie2

Abgabe bis spätestens 22. Juni 2012 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.