Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Sommersemester 2012

Aufgabenblatt 8 8. Juni 2012

Wir arbeiten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K der Charakteristik 0.

Aufgabe 1. (10 Punkte) Sei V eine (nicht notwendigerweise endlich-dimensionale Darstellungen) einer endlich-dimensionalen halbeinfachen Lie-Algebra L. Zeigen Sie zunächst, dass die Summe der Gewichtsräume V_{w}, w ∈ H^{∗}, direkt ist. Sei jetzt V für den folgenden Teil irreduzibel. Zeigen Sie:

a) Hat V mindestens einem nicht-trivialen Gewichtsraum, so ist V die direkte Summe seiner Gewichtsräume.

b) V hat einen nicht-trivialen Gewichtsraum genau dann, wenn U(H).v endlich-dimensional für alle v ∈ V ist.

c) Sei h ∈ H und U ⊂ U(H) die Unteralgebra, die von 1 und h erzeugt wird. V hat einen nicht-trivialen Gewichtsraum genau dann, wenn U.v endlich-dimensional für alle v ∈ V ist.

d) Sei R ein (assoziativer) Ring mit Eins. Jede Nichteinheit x ∈ R ist in einem maximalen Linksideal enthalten. R/I ist ein einfacher R-Modul, d.h. es existieren keine nicht-trivialen Untermoduln.

e) Sei nun L = 𝔰𝔩_{2}(K) mit Standardbasis (x, y, h). x − 1 ist nicht invertierbar in U(L), enthalten in einem maximalen Linksideal I und V = U(L)/I ist ein irreduzibler L-Modul.

f) Man hat (x − 1)^{r}h^{s} ≡ 0 mod I falls r > s bzw. (x − 1)^{r}h^{r} ≡ (−2)^{r}r! mod I.

g) Die Vektoren 1, h, h^{2}, …, ∈ V sind linear unabhängig, d.h. V besitzt keinen nicht-trivialen Gewichtsraum.

Aufgabe 2. (6 Punkte) Sei E ein (endlich-dimensionaler) Euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt (−, −) und Φ ein reduziertes Wurzelsystem in E. Für α, β ∈ E setzen wir ⟨β, α⟩ := 2(β, α)/(α, α). Eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit Wurzelsystemen spielt die Weyl-Gruppe W von Φ, die als die Untergruppe von GL(E) definiert ist, die von den Spiegelungen s_{α}, α ∈ Φ, erzeugt wird. Ein Automorphismus von Φ ist ein Vektorraumautomorphismus ϕ von E mit ⟨ϕ(β), ϕ(α)⟩ = ⟨β, α⟩. Für α ∈ Φ definiert man α^{∨} = 2α/(α, α). Zeigen Sie:

a) W ist endlich.

b) Φ^{∨} = {α^{∨}|α ∈ Φ} ist ein Wurzelsystem in E, dessen Weyl-Gruppe kanonisch isomorph zu W ist. Man hat ⟨α^{∨}, β^{∨}⟩ = ⟨β, α⟩.

c) W ist ein Normalteiler von AutΦ.

Hinweis: Humphreys, Lemma 9.2.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie2

Abgabe bis spätestens 15. Juni 2012 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.