Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Sommersemester 2012

Aufgabenblatt 6 25. Mai 2012

Es gelten die üblichen Voraussetzungen: K ist ein Körper der Charakteristik 0, alle Lie-Algebren bzw. Darstellungen werden als endlich-dimensional vorausgesetzt.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei L eine Lie-Algebra über K, die sich als direkte Summe L = M ⊕ N zweier Lie-Algebren M, N schreiben lässt. Zeigen Sie, dass man einen kanonischen Isomorphismus U(L) = U(M) ⊗_{K} U(N) hat.

Aufgabe 2. (5 Punkte) Sei L eine Lie-Algebra über K, I ⊂ L ein Ideal sowie π : L → L/I die kanonische Projektion. Zeigen Sie: Die induzierte Abbildung π̃ : U(L) → U(L/I) ist surjektiv und Ker(π̃) ist das Ideal, das von dem Bild von I ↪ L → U(L) erzeugt wird.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K und T V = ⨁_{n≥0} T^{n}V die Tensoralgebra von V mit kanonischer Inklusion ι : V → T V. Sei ausserdem I das Ideal in T V, das von u⊗v −v ⊗u, u, v ∈ T^{1}V = V erzeugt wird. Überprüfen Sie explizit die universellen Abbildungseigenschaften für T V bzw. T V/I: Ist A eine (für T V/I: zusätzlich kommutative) assoziative K-Algebra mit Eins und f : V → A eine lineare Abbildung, so existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus von (für T V/I: zusätzlich kommutativen) assoziativen Algebren mit Eins g : T V → A (bzw. g : T V/I → A), sodass f = g ∘ ι.

Aufgabe 4. (3 Punkte) Sei L die nicht-abelsche Lie-Algebra von Dimension 2 über K. Zeigen Sie direkt (ohne PBW), dass ι : L → U(L) injektiv ist.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie2

Abgabe bis spätestens 1. Juni 2012 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.