Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Sommersemester 2012

Aufgabenblatt 5 18. Mai 2012

Es gelten die üblichen Voraussetzungen: K ist ein Körper der Charakteristik 0, alle Lie-Algebren bzw. Darstellungen werden als endlich-dimensional vorausgesetzt.

Aufgabe 1. (8 Punkte) Sei K algebraisch abgeschlossen und L eine Lie-Algebra über K. Man kann das nilpotente Radikal 𝔫 von L definieren als Durchschnitt der Kerne aller irreduzibler (endlich-dimensionalen) Darstellungen σ von L. Sei σ : L → 𝔤𝔩(V) eine solche Darstellung.

a) Zeigen Sie, dass σ(Rad(L) ∩ [L, L]) = {0}, d.h. insbesondere Rad(L) ∩ [L, L] ⊂ 𝔫. Wenden Sie dazu das Lemma von Schur auf die höheren derivierten Lie-Algebren von Rad(L) an (hier benötigen wir algebraisch abgeschlossen).

b) Zeigen Sie, dass 𝔫 ein nilpotentes Ideal von L ist. Betrachten Sie dazu die adjungierte Darstellung von L und verfahren Sie induktiv, indem Sie Unter- bzw. Quotientenmoduln von L betrachten.

c) Zeigen Sie, dass 𝔫 = Rad(L) ∩ [L, L].

d) Zeigen Sie mit dem Satz von Levi, dass 𝔫 = [L, Rad(L)].

Aufgabe 2. (5 Punkte) Sei L eine Lie-Algebra über K. Zeigen Sie, dass man eine Sequenz von Idealen

{0} = L_{0} ⊆ L_{1} ⊆ … ⊆ L_{n} = L

in L hat, sodass L_{i}/L_{i−1} entweder eindimensional oder einfach ist. Eine solche Sequenz nennt man Jordan-Hölder-Reihe von L. Zeigen Sie ausserdem, dass die Menge der Quotienten {L_{i}/L_{i−1} : i = 1, …, k} nicht von der speziellen Jordan-Hölder-Reihe abhängt.

Aufgabe 3. (3 Punkte) Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Wir wissen, dass 𝔰𝔩(V) ⊆ 𝔤𝔩(V) halbeinfach ist. Zeigen Sie, dass Rad(L) = Z(L) ≅ K und dass 𝔰𝔩(V) ein Levi-Komplement von 𝔤𝔩(V) ist.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie2

Abgabe bis spätestens 25. Mai 2012 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.