Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Sommersemester 2012

Aufgabenblatt 4 11. Mai 2012

Wir halten uns an die Notation der Vorlesung (𝕂 = ℝ oder ℂ). Alle auftauchenden Objekte werden als endlich-dimensional (im jeweiligen Sinne) vorausgesetzt.

Aufgabe 1. (12 Punkte) Sei L eine Lie-Algebra. Eine symmetrische Bilinearform κ : L × L → K heisst invariant, wenn κ([x, y], z) = κ(x, [y, z]) für alle x, y, z ∈ L gilt. Zeigen Sie:

a) Ist π : L → 𝔤𝔩(V) eine Darstellung von L, so ist die Form κ_{π}(x, y) = tr(π(x), π(y)) invariant. Insbesondere ist die Killing-Form κ_{L} = κ_{ad} invariant.

b) Das Radikal einer invarianten symmetrischen Bilinearform κ auf L ist definiert als Rad(κ) = {x ∈ L| κ(x, L) = {0}}. Rad(κ) ist ein Ideal.

c) Man hat eine Inklusion Rad(κ_{L}) ⊂ Rad(L). Überprüfen Sie anhand des Beispiels von Aufgabe 3, Blatt 1, dass die umgekehrte Inklusion im allgemeinen nicht gelten muss.

d) Sei L eine reelle Lie-Algebra. Dann gilt Rad(κ_{L_{ℂ}}) = Rad(κ_{L})_{ℂ}.

e) Ist I ein nilpotentes Ideal von L, so ist I orthogonal zu L bzgl. der Killing-Form. (d.h. κ_{L}(I, L) = {0}).

f) Das orthogonale Komplement von [L, L] bzgl. der Killing-Form ist Rad(L).

g) Sei L die zweidimensionale nicht-abelsche Lie-Algebra, von der wir wissen, dass sie auflösbar ist. L hat eine nicht-triviale Killing-Form.

h) Sei L = 𝔰𝔩_{2}(𝕂). Berechnen Sie die Matrixgestalt der Killing-Form bzgl. der Standardbasis x, y, h. Berechnen Sie die duale Basis relativ zur Killing-Form.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei L halbeinfach. Zeigen Sie: ad(L) = Der(L). Hinweis: Zeigen Sie [Der(L), ad(L)] ⊂ ad(L) und benutzen Sie die Killing-Form, um das orthogonale Komplement von ad(L) in Der(L) zu bestimmen.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie2

Abgabe bis spätestens 18. Mai 2012 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.