Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Sommersemester 2012

Aufgabenblatt 3 4. Mai 2012

Wir halten uns an die Notation der Vorlesung (𝕂 = ℝ oder ℂ). Alle auftauchenden Objekte werden als endlich-dimensional (im jeweiligen Sinne) vorausgesetzt.

Aufgabe 1. (3 Punkte)

Seien ℍ die Quaternionen, die man in Matrizenform als ℍ = \{(\begin{matrix}a & −\overline{b} \\ b & \overline{a} \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℂ)| a, b ∈ ℂ\} mit

der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation darstellen kann. Seien GL_{n}(ℍ) die invertierbaren Elemente im Ring M_{n}(ℍ). Zeigen Sie: GL_{n}(ℍ) = {A ∈ M_{n}(ℍ| det_{ℂ} (A) ≠ 0}, wobei det_{ℂ} : M_{2n}(ℂ) → ℂ die gewöhnliche Determinante ist.

Aufgabe 2. (5 Punkte) Seien V, W endlich-dimensionale 𝕂-Vektorräume und β : V × V → W eine bilineare Abbildung. Zeigen Sie, dass für (x, y) ∈ End(V) × End(W) äquivalent sind:

a) e^{ty}β(v, v′) = β(e^{tx}v, e^{tx}v′) für alle t ∈ ℝ, v, v′ ∈ V,

b) yβ(v, v′) = β(xv, v′) + β(v, xv′) für alle v, v′ ∈ V.

Folgern Sie damit, dass die Lie-Gruppe

Aut(V, β) = {g ∈ GL(V)| β(gv, gv′) = β(v, v′) ∀ v, v′ ∈ V }

die Lie-Algebra

L(Aut(V, β)) = {x ∈ 𝔤𝔩(V)| β(xv, v′) + β(v, xv′) = 0 ∀ v, v′ ∈ V }

hat. Bestimmen Sie damit die Lie-Algebren zu O_{n}(𝕂), O_{p,q}(𝕂), Sp_{2n}(𝕂), U_{p,q}(ℂ).

Aufgabe 3. (4 Punkte) Seien L, L′ Lie-Algebren und α : L′ → Der(L) ein Lie-Algebrenhomomorphismus. Wir definieren die semidirekte Summe L ⋊_{D} L′ von L, L′ als L ⊕ L′ (als Vektorräume), wobei die Lieklammer durch

[(x, x′), (y, y′)] := (α(x′)y − α(y′)x + [x, y], [x′, y′])

bestimmt sei. Zeigen Sie: Ist M eine Lie-Algebra, L ⊂ M ein Ideal und L′ ⊂ M eine Unteralgebra mit M = L+L′, L∩L′ = {0}, so ist D : L′ → Der(L), D(x) = adx|_{L} ein Lie-Algebrenhomomorphismus, und die Abbildung f : L ⋊_{D} L′ → M, (x, y) ↦ x + y ein Isomorphismus.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Wir betrachten L = ℂ^{2} = ℂe_{1}⊗ℂe_{2} als abelsche Lie-Algebra über ℂ, ausgestattet mit der Derivation D′(e_{1}) = 2e_{1}, D′(e_{2}) = ie_{2}. Sei M = L ⋊_{D} ℂ, wobei D : ℂ → Der(L), t ↦ tD′. Zeigen Sie, dass M keine reelle Form hat. Hinweis: Angenommen, M = N ⊕ iN für eine reelle Lie-Algebra N, und sei σ die entsprechende komplexe Konjugation (d.h. die ℝ-lineare Abbildung (n, in′) ↦ (n, −in′)). Zeigen Sie, dass σ eine Involution auf V induziert und dass diese die die D-Eigenräume permutiert. Folgern Sie, indem Sie σ(0, 1) betrachten, einen Widerspruch.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie2

Abgabe bis spätestens 11. Mai 2012 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.